UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMTICA

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENSINO DE MATEMTICA

RICARDO DE SOUZA SANTOS

TECNOLOGIAS DIGITAIS NA SALA DE AULA PARA APRENDIZAGEM DE CONCEITOS DE GEOMETRIA

ANALTICA: MANIPULAES NO SOFTWARE GRAFEQ

PORTO ALEGRE 2008

RICARDO DE SOUZA SANTOS

TECNOLOGIAS DIGITAIS NA SALA DE AULA PARA APRENDIZAGEM DE CONCEITOS DE GEOMETRIA

ANALTICA: MANIPULAES NO SOFTWARE GRAFEQ

Dissertao realizada sob a orientao do Dr. Marcus Vinicius de Azevedo Basso, apresentada ao Instituto de Matemtica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, em preenchimento parcial dos requisitos para a obteno do ttulo de Mestre em Ensino de Matemtica.

PORTO ALEGRE 2008

AGRADECIMENTOS

Universidade Federal do Rio Grande do Sul, por mais uma

oportunidade oferecida.

Aos professores do Programa de Ps-Graduao, pelos exemplos.

Aos colegas no mestrado, em especial os que me acompanham desde

a graduao.

Aos colegas das escolas onde leciono, principalmente aos da rea da

Matemtica, por servirem de ouvintes para os meus anseios,

frustraes e reflexes.

Aos meus alunos, por me causarem inquietaes acerca da Educao

Matemtica.

Aos meus familiares e amigos em geral, pela compreenso das

excessivas faltas no sentido mais geral que a palavra reserva.

Ao Arthur, que nasceu durante o mestrado, trazendo felicidade para

o seu pai em momentos de fraqueza e servindo como exemplo

prximo de desenvolvimento e interao com o meio ao seu redor.

Cristina, pelo apoio em todos os momentos, pela pacincia e,

principalmente, pela companhia.

Ao meu orientador, Dr. Marcus Vinicius de Azevedo Basso,

responsvel direto pela minha formao (acadmica, profissional e

humanitria) desde a graduao e, sem dvida, pelo exemplo de

profissional competente, sensvel e feliz com o seu trabalho.

RESUMO

Este estudo aborda a utilizao de recursos disponibilizados pelas tecnologias digitais

no ensino-aprendizagem de Matemtica. Mais especificamente, o objeto de estudo a

introduo do software GrafEq no ensino de Geometria Analtica no Ensino Mdio da

Escola Bsica, com reflexes acerca das contribuies identificadas. Para verificar o

alcance destas contribuies, foi implantada uma sequncia de atividades em duas

turmas do segundo ano do nvel mdio em uma escola da rede privada de Porto Alegre.

A anlise dos resultados foi obtida de forma emprica utilizando-se, como mtodo, o

Estudo de Caso. Para isso, o estudo foi fundamentado pelas teorias de James J. Kaput

sobre introduo das tecnologias digitais na Educao Matemtica. Os resultados

encontrados apontam para o uso de tecnologias digitais como uma possvel contribuio

no ensino-aprendizagem de Geometria Analtica, a qual se constitui em um importante

tpico de Matemtica do Ensino Mdio. Como elementos integrantes dessa dissertao

foram elaborados um tutorial para uso do programa, na forma de pginas para web

(linguagem html), e um conjunto de atividades envolvendo tpicos de Geometria

Analtica e uso do software.

Palavras chave: Educao Matemtica. Geometria Analtica. Tecnologias Digitais.

Software Educacional. GrafEq.

ABSTRACT

This study approaches the use of available resources by digital technologies in

teaching-learning Mathematics. Specifically, the object of study is the introduction of

the software GrafEq in teaching Analytical Geometry in High School in Secondary

Education, with considerations about the identified contributions. To check the reach of

these contributions, a sequence of activities was introduced in two Second Grade classes

from Secondary Education in a private school in Porto Alegre. The analysis of the

results was obtained by empirical form when the Case Study was used as method. For

that, the study was substantiated by James J. Kaput theories on introduction of the

digital technologies in the Mathematical Education. The considered results point to the

use of digital technologies as a possible contribution in the teaching-learning of

Analytical Geometry, which constitute an important topic of Mathematics in Secondary

Education. As integral elements of that dissertation were elaborated a tutorial for using

the program, in the form of web pages (html language), and a group of activities

involving topics of Analytical Geometry and use of the software.

Words key: Mathematical Education. Analytical Geometry. Digital Technologies.

Education Software. GrafEq.

RESUMEN

Este estudio aborda la utilizacin de recursos disponibilizados por las tecnologas

digitales en la enseanza-aprendizaje de la Matemtica. Ms especficamente, el objeto

de estudio es la introduccin del software GrafEq en la enseanza de la Geometra

Analtica en la Enseanza Secundaria de la Escuela Bsica, con reflexiones acerca de

las contribuciones identificadas. Para verificar el alcance de estas contribuciones, fue

implantada una secuencia de actividades en dos grupos del cuarto ao de la enseanza

secundaria en una escuela de la red privada de Porto Alegre. El anlisis de los resultados

fue obtenido de forma emprica utilizndose, como mtodo, el Estudio de Caso. Para

ello, el estudio fue fundamentado por las teoras de James J. Kaput sobre introduccin

de las tecnologas digitales en la Educacin Matemtica. Los resultados encontrados

apuntan para el uso de tecnologas digitales como una posible contribucin en la

enseanza-aprendizaje de la Geometra Analtica, la cual se constituye en un importante

tpico de la Matemtica de la enseanza secundaria. Como elementos integrantes de esa

disertacin fueron elaborados una tutora para el uso del programa, en forma de pginas

web ( lenguaje html), y un conjunto de actividades envolviendo tpicos de Geometra

Analtica y uso del software.

Palabras clave: Educacin Matemtica. Geometra Analtica. Tecnologas Digitales.

Software Educacional. GrafEq.

LISTA DE FIGURAS

Nmero Nome Pgina Figura 01 - Interface do GrafEq ................................................................................. 16 Figura 02 - Reta x ....................................................................................................... 19 Figura 03 - Retas verticais .......................................................................................... 20 Figura 04 - Ponto G (Demonstrao Sinttica) .......................................................... 20 Figura 05 - Ponto G (Demonstrao Analtica) .......................................................... 21 Figura 06 - Operaes fsicas e mentais ..................................................................... 28 Figura 07 - Sistema de Notao X Cognies Associadas ......................................... 30 Figura 08 - Sistemas de Notao ................................................................................ 31 Figura 09 - Sistema resposta ....................................................................................... 32 Figura 10 - Transferncias entre sistemas de notao ................................................ 32 Figura 11 - Contribuio Computacional ................................................................... 33 Figura 12 - Processos Mentais/ Tall ........................................................................... 40 Figura 13 - Atividade 1/ DAG .................................................................................... 49 Figura 14 - Atividade 2/ DAG .................................................................................... 50 Figura 15 - Atividade 3/ DAG (imagem 1 do vdeo) ................................................. 51 Figura 16 - Atividade 3/ DAG (imagem 4 do vdeo) ................................................. 52 Figura 17 - Atividade4/ DAG: Sol e mar ................................................................... 53 Figura 18 - Carrinho/ DAG ........................................................................................ 53 Figura 19 - Atividade 7/ DAG - Lula Molusco .......................................................... 55 Figura 20 - Atividades iniciais/ DAL ......................................................................... 57 Figura 21 - Atividade 3/ DAL .................................................................................... 58 Figura 22 - Atividade 4/ DAL cruz ......................................................................... 59 Figura 23 - Atividade 4/ DAL casa ......................................................................... 60 Figura 24 - y = sen x < 0 ............................................................................................ 60 Figura 25 - Atividade 4/ DAL - sol e mar .................................................................. 61 Figura 26 - Atividade 4/ DAL - carro ......................................................................... 61 Figura 27 - Atividade 5/ DAL .................................................................................... 63 Figura 28 - Atividade 1/ DEB .................................................................................... 65 Figura 29 - Atividade 1/ DEB .................................................................................... 66 Figura 30 - Atividade 3/ DEB .................................................................................... 66 Figura 31 - Atividade 4/ DEB - casa .......................................................................... 67 Figura 32 - Atividade 4/ DEB - sol e mar .................................................................. 68 Figura 33 - Atividade 4/ DEB - carro (imagem 11) ................................................... 71 Figura 34 - Atividade 4/ PAC - sol e mar .................................................................. 74 Figura 35 - Atividade 4/ PAC - carro ........................................................................ 74 Figura 36 - Atividade 5/ PAC ..................................................................................... 75 Figura 37 - Atividade 6/ PAC - relaes .................................................................... 76 Figura 38 - Atividade 6/ PAC - arquivo salvo ........................................................... 77 Figura 39 - Atividade 6/ PAC - vdeo (imagem 1) ..................................................... 77 Figura 40 - Atividade 6/ PAC - vdeo (imagem 2) ..................................................... 78 Figura 41 - Atividade 6/ PAC - vdeo (imagem 3) ..................................................... 78 Figura 42 - Atividade 6/ PAC - vdeo (imagem 4) ..................................................... 79 Figura 43 - Atividade 6/ PAC - vdeo (imagem 5) ..................................................... 79 Figura 44 - Atividade 6/ PAC - vdeo (imagem 6) ..................................................... 80 Figura 45 - Atividade 6/ PAC - vdeo (imagem 7) ..................................................... 80 Figura 46 - Atividade 8/ PAC ..................................................................................... 82 Figura 47 - Atividade 8/ PAC - construo 1 ............................................................. 82

Figura 48 - Atividade 8/ PAC - construo 2 ............................................................. 83 Figura 49 - Atividade 9/ PAC - relao ...................................................................... 84 Figura 50 - Atividade 9/ PAC - grfico ...................................................................... 84 Figura 51 - Atividade 1/ GIU - construo ................................................................. 86 Figura 52 - Atividade 3/ GIU - vdeo (imagem 1) ...................................................... 87 Figura 53 - Atividade 3/ GIU - vdeo (imagem 4) ...................................................... 88 Figura 54 - Atividade 3/ GIU - vdeo (imagem 5) ...................................................... 88 Figura 55 - Atividade 4/ GIU - casa ........................................................................... 89 Figura 56 - Atividade 7/ GIU ..................................................................................... 90 Figura 57 - Atividade 1/ MAU ................................................................................... 92 Figura 58 - Atividade 2/ MAU - retngulos ............................................................... 92 Figura 59 - Atividade 2/ MAU - tringulo ................................................................. 93 Figura 60 - Atividade 3/ MAU ................................................................................... 93 Figura 61 - Atividade 4/ MAU - cruz ......................................................................... 94 Figura 62 - Atividade 4/ MAU - sol e mar ................................................................. 94 Figura 63 - Atividade 4/ MAU - carro ........................................................................ 95 Figura 64 - Atividade 4/ MAU - casa ......................................................................... 95 Figura 65 - Atividade 4/ MAU - casa/telhado ............................................................ 96 Figura 66 - Atividade 5/ MAU - disco que no invade o 1 quadrante ...................... 97 Figura 67 - Atividade 5/ MAU - disco X retas ........................................................... 98 Figura 68 - Atividade 6/ MAU ................................................................................... 98 Figura 69 - Atividade 1/ AKE .................................................................................... 101 Figura 70 - Atividade 2/ AKE .................................................................................... 102 Figura 71 - Atividade 7/ AKE - manipulaes trigonomtricas ................................. 103 Figura 72 - Atividade 7/ AKE - Emotion (relaes) .................................................. 104 Figura 73 - Atividade 4/ PED - carro ......................................................................... 106 Figura 74 - Atividade 1 e 2/ JEA ................................................................................ 108 Figura 75 - Atividade 3/ JEA - imagem 1 .................................................................. 109 Figura 76 - Atividade 3/ JEA - imagem 2 .................................................................. 109 Figura 77 - Atividade 7/ JEA - figura original ........................................................... 110 Figura 78 - Atividade 7/ JEA - rplica ....................................................................... 110 Figura 79 - Atividade 1/ GAB .................................................................................... 111 Figura 80 - Atividade 2/ GAB .................................................................................... 112 Figura 81 - Atividade 1/ JUL ...................................................................................... 114 Figura 82 - Atividade 4/ JUL - casa ........................................................................... 114 Figura 83 - Atividade 4/ BON - casa ......................................................................... 116 Figura 84 - Guia de Estudos para o GrafEq/ tela inicial ............................................. 134 Figura 85 - Guia de Estudos para o GrafEq/ navegao ............................................ 134 Figura 86 - GeoGebra/ interface ................................................................................. 135

LISTA DE QUADROS

Nmero Nome Pgina Quadro 01 - Hiptese e tese para a proposio 1 ......................................................... 19 Quadro 02 - Evoluo: Geometria Analtica/ Computao ......................................... 25 Quadro 03 - Mudanas no perfil do professor ............................................................. 37 Quadro 04 - Exemplos de atividades da fase de coleta de dados ................................. 44 Quadro 05 - Estudantes observados (siglas para identificao) ................................... 47 Quadro 06 - Atividade 3/ DAG (imagens 2 e 3 do vdeo) ........................................... 51 Quadro 07 - Atividade 3/ DAG (imagem 5 e 6 do vdeo) ............................................ 52 Quadro 08 - Atividade 4/ DAL - carro (imagens da construo) ................................ 61 Quadro 09 - Atividade 4/ DAL - carro (imagens da construo 2) ............................. 62 Quadro 10 - Atividade 4/ DAL - carro (imagens da construo 3) ............................. 63 Quadro 11 - Atividade 4/ DEB - carro (imagens 1 e 2) ............................................... 68 Quadro 12 - Atividade 4/ DEB - carro (imagens 3 e 4) ............................................... 69 Quadro 13 - Atividade 4/ DEB - carro (imagens 5 e 6) ............................................... 69 Quadro 14 - Atividade 4/ DEB - carro (imagens 7 e 8) ............................................... 70 Quadro 15 - Atividade 4/ DEB - carro (imagens 9 e 10) ............................................. 70 Quadro 16 - Atividade 2/ PAC ..................................................................................... 73 Quadro 17 - Atividade 7/ PAC ..................................................................................... 81 Quadro 18 - Atividade 1/ GIU - relaes ..................................................................... 86 Quadro 19 - Atividade 3/ GIU - vdeo (imagens 2 e 3) ............................................... 87 Quadro 20 - Dilogo: Pesquisador e MAU .................................................................. 96 Quadro 21 - Atividade 7/ MAU - Bandeira da Grcia ................................................. 99 Quadro 22 - Atividade 1/ AKE - mensagem ................................................................ 101 Quadro 23 - Atividade 7/ AKE - Emotion (original e rplica) .................................... 104 Quadro 24 - Atividade livre/ JEA - mensagem ............................................................ 110 Quadro 25 - Contribuies da proposta ....................................................................... 118 Quadro 26 - Respostas frequentes ................................................................................ 120 Quadro 27 - Coleta de dados/ Atividade 1 ................................................................... 130 Quadro 28 - Coleta de dados/ Atividade 2 ................................................................... 130 Quadro 29 - Coleta de dados/ Atividade 3 ................................................................... 131 Quadro 30 - Coleta de dados/ Atividade 4 ................................................................... 131 Quadro 31 - Coleta de dados/ Atividade 8 ................................................................... 133

SUMRIO

1 INTRODUO.....................................................................................................

1.1. Justificativa da Pesquisa ....................................................................................

1.2. Objetivos Questo da Pesquisa ......................................................................

2 BASES TERICAS .............................................................................................

2.1. Geometria Analtica ..........................................................................................

2.2. Tecnologias Digitais e Educao Matemtica ..................................................

3 MTODO PARA COLETA E INTERPRETAO DOS DADOS ...............

3.1. Estudo de Caso ...................................................................................................

3.2. Caracterizao da Amostra ................................................................................

3.2.1. Delineamento do estudo ..................................................................

3.2.1. Local de realizao do estudo .........................................................

3.2.3. Populao em estudo .......................................................................

3.2.4. Coleta de dados ...............................................................................

3.2.5. Consideraes ticas .......................................................................

3.3. Material Utilizado ..............................................................................................

4 ANLISE DOS DADOS ......................................................................................

4.1. Descrio ...........................................................................................................

4.2. Anlise das produes individuais dos estudantes ............................................

4.3. Anlise geral das produes: principais contribuies ......................................

5 CONCLUSO ......................................................................................................

6 REFERNCIAS....................................................................................................

7 APNDICES..........................................................................................................

7.1. APNDICE A: Atividades utilizadas na coleta de dados .................................

7.2. APNDICE B: Amostra do Tutorial - Guia de Estudos para o GrafEq ............

7.3. APNDICE C: Interface do GeoGebra .............................................................

7.4. APNDICE D: Guia de Estudos para o GrafEq (CD) .......................................

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1 INTRODUO

1.1. Justificativa da Pesquisa

A Geometria parte importante dos currculos de Matemtica da

Educao Bsica, pois pode desenvolver no estudante capacidades como compreenso,

esprito de investigao, representao e resoluo de problemas - habilidades

contempladas nos Parmetros Curriculares Nacionais (PCNs). Esta matria se desdobra

em vrios ramos, mas, para efeito deste estudo, trataremos da Geometria Analtica, que

tem como funo tratar algebricamente as propriedades e os elementos geomtricos.

Neste mbito, o estudante pode perceber outros modelos que explicam o espao de

forma mais elaborada com linguagens e raciocnios diferentes dos utilizados na

geometria euclidiana.

Segundo EVES (1969), a base para a geometria analtica moderna foi

concebida no sculo XVII, simultaneamente, por Descartes e Fermat, sendo que a

diferena entre os dois estudos que o primeiro um ramo da geometria e no segundo,

ao menos no incio, temos um mtodo geomtrico. Os estudos de Descartes foram

importantes por mostrar uma outra forma de pensar Matemtica e contribuir para o

desenvolvimento histrico do conhecimento, ou seja, mesmo que alguns historiadores

defendam que outros matemticos j haviam empregado coordenadas para representar

pontos e equaes relacionadas a curvas, a evoluo do simbolismo algbrico fazendo

equivalncias com situaes geomtricas no plano cartesiano e a forma atual da

geometria analtica se deve, ao mesmo tempo, a Descartes e Pierre de Fermat origina-

se o que foi chamado cartesianismo.

Deixando de lado tais diferenas fica a certeza de que a geometria

analtica ocupa lugar de destaque como ramo da matemtica por um motivo simples a

relao lgebra-Geometria. Problemas geomtricos podem ser resolvidos por mtodos

algbricos, muitas vezes simples, ou propriedades algbricas podem ser facilmente

verificadas geometricamente. Em suma, ela estabelece uma equivalncia entre

enunciados geomtricos e proposies relativas a equaes ou desigualdades algbricas.

Tambm preciso registrar que a importncia da geometria analtica

no est apenas em estudos avanados da mesma. J no Ensino Mdio tem se abordado

11

conceitos de grande valor como as igualdades e desigualdades lineares, base do estudo

para um ramo das matemticas aplicadas a programao linear com aplicaes na

Economia e para a Teoria dos Jogos.

O que a geometria analtica prope vincular a representao

geomtrica a uma representao algbrica equivalente. Esta propriedade de permutar

entre a geometria e a lgebra j aparece em meio aos conceitos tratados no Ensino

Mdio os PCNs citam representaes no plano cartesiano, interseces e posies

relativas de figuras como retas e circunferncias. Desde a simples localizao de pontos

no plano cartesiano determinando coordenadas at o estudo de retas e circunferncias,

atravs de suas respectivas equaes, o estudante, ao estudar geometria analtica, lida

conjuntamente com as representaes algbrica e geomtrica.

Em termos de aprendizado o estudante aumenta sua capacidade de se

expressar sobre problemas geomtricos (ou problemas que se utilizam da geometria)

atravs de uma linguagem matemtica (lgebra) assim como podem valer-se da

geometria para comprovar resultados algbricos vistos anteriormente ou que possam

surgir na sequncia de seus estudos. Este fato representa, ao estudante, uma percepo

de que um problema matemtico pode ser abordado de diversas maneiras. Tambm

ressaltamos que a Geometria Analtica, s vezes chamada de mtodo, no consiste

apenas em um conjunto de frmulas ou receitas matemticas, mas consiste em um

sistema de raciocnios e dedues geomtricos ligados lgebra, devendo assim, esta

ideia estar clara aos estudantes. Segundo os PCNs+ (2006, p. 124), ... mais importante

do que memorizar diferentes equaes para um mesmo ente geomtrico, necessrio

investir para garantir a compreenso do que a geometria analtica prope.

Alm disso, a Geometria Analtica alcana outros objetivos da

Matemtica no Ensino Mdio para gerao de aprendizado significativo como:

compreenso de conceitos, procedimentos e estratgias matemticas e aplicao de

conhecimentos matemticos a situaes diversas, utilizando-os na interpretao da

cincia, na atividade tecnolgica e nas atividades contemporneas. Este ltimo objetivo

aliado habilidade de interpretar ou aplicar modelos analticos, envolvendo equaes

algbricas, inequaes ou sistemas lineares, favorece a compreenso de fenmenos

naturais ou processos de produo tecnolgica. H tambm o desenvolvimento e

aprimoramento de outras competncias como leitura, interpretao e utilizao de

representaes matemticas e transcrio de mensagens matemticas da linguagem

corrente para a linguagem simblica (Representao e Comunicao). Fazer e validar

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conjecturas, recorrendo a modelos e esboos (Investigao e Compreenso), desenvolve

a capacidade de utilizar a Matemtica na interpretao e interveno do real, isto ,

aplicar conhecimentos e mtodos matemticos em situaes reais, em especial, em

outras reas do conhecimento.

Os PCNs+, em relao a este tema, listam uma srie de contedos e

habilidades a serem desenvolvidos:

- representaes no plano cartesiano e equaes; interseco e posies relativas de figuras; - Interpretar e fazer uso de modelos para a resoluo de problemas geomtricos; - Reconhecer que uma mesma situao pode ser tratada com diferentes instrumentais matemticos, de acordo com suas caractersticas; - Associar situaes e problemas geomtricos a suas correspondentes formas algbricas e representaes grficas e vice-versa; - Construir uma viso sistemtica das diferentes linguagens e campos de estudo da Matemtica, estabelecendo conexes entre eles. (PCNs+, 2006, p. 122)

O estudo de inequaes complementa o de equaes, pois acaba

representando regies no plano limitadas por curvas. Essas regies representam

possibilidades de solues em muitos problemas prticos e tambm justificam

resultados algbricos encontrados no ensino fundamental.

Porm, contrariando a riqueza do mtodo analtico, o que ditam os

PCNs e os atuais padres mundiais de ensino, h uma sria deficincia na rede de

ensino brasileira a respeito da aprendizagem destes contedos, assim como outros

tpicos matemticos no Ensino Mdio. Um estudo, que pode servir de parmetro, de

instncia internacional, o PISA (Programa para Avaliao Internacional de Alunos)

organizado desde 1997 pela OCDE (Organizao para Cooperao e Desenvolvimento

Econmico). Esse Programa representa o compromisso dos pases membros de

examinar atravs de um teste os resultados de seus sistemas educativos, medidos em

funo das avaliaes alcanadas por seus estudantes de 15 anos. O nmero de pases

que estavam no Programa em 2006 era de 56 pases, representando 90% da economia

mundial e reforando a representatividade do Programa em relao a dados

educacionais mundiais. Infelizmente, preciso relatar o (alarmante) dado de que o Brasil

ficou abaixo da 50 posio.

Os especialistas envolvidos no programa defendem que essencial

que os estudantes desenvolvam habilidades de carter mais amplo como comunicao,

adaptabilidade, flexibilidade, capacidade de solucionar problemas e utilizao das

13

Tecnologias da Informao. O texto determina, a respeito do conhecimento matemtico

mais amplo para a vida adulta, que:

... ser capaz de racionar quantitativamente e de representar relaes ou dependncias tem maior valor na hora de aplicar as habilidades matemticas na vida cotidiana que a capacidade de responder as perguntas que s figuram nos livros textos. (PISA: Conocimientos y habilidades en Ciencias, Matemticas y Lectura, 2006, p. 10)

O Programa divide o contedo matemtico em quantidade, espao e

forma, relaes e probabilstico. Define como processos matemticos o emprego da

linguagem matemtica, a criao de modelos e soluo de problemas. Estas habilidades

tm aplicao em diversas situaes do cotidiano como pessoais, educativas,

profissionais, pblicas, cientficas e tecnolgicas. A competncia matemtica vista

como a capacidade que tem um indivduo de identificar e compreender o papel que

desempenha as matemticas no mundo, emitir juzos bem fundamentados e utilizar e

implicar-se nas matemticas de uma maneira que satisfaa suas necessidades vitais

como um cidado construtivo, comprometido e reflexivo. O que vemos na Educao

Bsica nacional a omisso de tais situaes didticas no ensino-aprendizagem de

Geometria Analtica, incluindo uma grande deficincia nas relaes entre os aspectos

algbricos e geomtricos em circunstncias propostas.

Reafirmando esta realidade, Elon Lages Lima (LIMA, 2007) faz uma

anlise crtica dos principais livros didticos que esto nas salas de aula brasileiras.

Segundo esse autor, alm de ignorar a existncia de calculadoras e computadores, os

livros que servem como guia para os professores e, por conseguinte, determinam a

qualidade de ensino destes so carentes de situaes-problema que ressaltem a

aplicabilidade e a importncia da Matemtica. Em relao a esta discrepncia com a

realidade, o autor aponta o seguinte:

O livro deve ajudar a preparao do aluno para tarefas relevantes na sociedade de hoje. Para isso, ele deve libertar-se de tpicos e mtodos ultrapassados, substituindo-os por outros que correspondam aos dias de hoje. (LIMA, 2007, p. 4)

Em geral, no tpico de geometria analtica, LIMA v uma srie de

falhas. Primeiramente existe uma demasiada fragmentao do contedo, tornando

complicado o seu entendimento mais global. Existe tambm o excesso de problemas de

carter mais manipulativo e de frmulas (problemas estritamente algbricos),

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contrastando com a falta de demonstraes de resultados importantes. Um bom exemplo

o uso do determinante para justificar o alinhamento entre trs pontos. De acordo com

o autor, o determinante surge sem maiores explicaes e perde-se a oportunidade de

introduzir a ideia de coeficiente angular. H tambm a ausncia de demonstraes de

situaes em geometria plana utilizando o mtodo analtico e uma introduo de

vetores, delegando este ltimo tpico, mais uma vez, para a disciplina de fsica. Para

Lima (2007), importante salientar que estes livros simulam o conhecimento

matemtico difundido nas escolas brasileiras. Percebemos ento o quanto est

prejudicada a Educao Matemtica, resumida nela mesma e ao vestibular, como nas

palavras do autor:

... as escolas ocupam boa parte do tempo adestrando seus alunos para o exame vestibular... ... Como j dissemos antes, isso contribui para fortalecer no aluno (e, por extenso, na sociedade) a crena de que a Matemtica que se estuda na escola serve apenas para passar no exame vestibular. Na verdade, do modo como as coisas esto, essa crena bastante justificada. Mas no deveria ser assim. (LIMA, 2007, p. 370)

Essa realidade tambm foi constatada pelo autor desta dissertao em

anlise dos livros oferecidos pelas editoras nas escolas da rede particular de ensino de

Porto Alegre. Portanto, necessria uma proposta, para o estudo de Geometria

Analtica, que contemple um real aprendizado das relaes entre curvas no plano e suas

representaes algbricas. Desta forma, apresenta-se a seguir uma proposta de pesquisa

nesta rea de ensino.

1.2. Objetivos Questo da Pesquisa

Os problemas identificados acima tambm so notrios na prtica do

autor desse texto como professor de Ensino Mdio e como professor de cursos pr-

vestibular. Estes ltimos propiciam uma troca de experincias com estudantes

provenientes de diversas realidades escolares, ampliando a representatividade das

reflexes. O quadro se resume em uma falta de conexo entre as representaes

algbrica e geomtrica, desqualificando o ensino-aprendizagem de geometria analtica e

resumindo-o a memorizaes de frmulas. Dessa forma, em grande parte dos casos, os

15

estudantes que possuem algum conhecimento esto limitados reproduo de frmulas

sem ter ideia de como essas solues algbricas se refletem num plano coordenado.

Talvez uma causa plausvel para a formao desse quadro o fato de que h uma

dificuldade em, por mtodos tradicionais como giz e quadro negro, rgua e compasso

etc., proporcionar um ambiente que torne natural esta via lgebra-geometria e que a

evoluo dos estudantes no domnio da lgebra, da geometria e das equivalncias entre

estas se torne expressivo.

Com base na importncia do estudo de Geometria Analtica e das

dificuldades no ensino ressaltadas acima se prope neste trabalho uma anlise da

aplicao do software grfico GrafEq como recurso didtico no estudo de Geometria

Analtica, analisando, atravs de testagem no contexto de uma sala de aula normal no

Ensino Mdio, a flutuao entre as representaes geomtrica e algbrica. Alm disso,

ser apresentada uma sequncia de atividades na forma de mdulo de ensino

includa em um tutorial para uso do software. A expectativa que esse material poder

ser utilizado por professores no ensino-aprendizagem de Geometria Analtica fazendo

uso do GrafEq.

Para esta investigao, entre os recursos informticos

disponibilizados atualmente escolhemos o software GrafEq pela sua interface apurada e

didtica quanto disponibilidade de equaes e sinais algbricos em contraponto a

softwares como Maple ou o Derive, que funcionam como ferramentas de computao

para matemtica e esto distantes, na sua forma, dos estudantes do Ensino Mdio. Estes

sistemas so ideais para desenvolvimento e aplicao da matemtica. Para engenheiros,

so as ferramentas ideais para um rpido e eficiente acesso a numerosas operaes e

funes matemticas, para visualizao dos problemas e de suas solues em diversas

formas. (KUTZLER e KOKOL-VOLJC, 2001, p.1).

O software coloca os estudantes em situaes que permitam a

explorao de acordo com a sua necessidade (descoberta dos menus,

modificao/sobreposio de cores ou alteraes nas configuraes dos eixos, por

exemplo) e semelhana da escrita das equaes com a escrita no caderno. O dinamismo

encontrado no uso do GrafEq notado quando o estudante altera os parmetros da

relao algbrica e verifica diferenas na representao geomtrica equivalente.

Entretanto, a clareza para digitar equaes e verifica-las no plano cartesiano (tambm h

a opo de se utilizar coordenadas polares), o acrscimo de um menu especial com

expresses e funes conhecidas e outras atribuies, parece garantir, servindo aos

16

objetivos desta pesquisa, uma navegao rpida e prtica, por parte do usurio, pelas

relaes entre as equaes (lgebra) e suas representaes grficas (geometria).

Por exemplo, quando o estudante comea a fazer inferncias,

alterando e refletindo sobre uma relao algbrica R(x), verificando as transformaes

ocasionadas por estas aes nas representaes grficas, sugere um desenvolvimento

quanto ao seu conhecimento e manuseio de expresses algbricas e suas equivalncias

geomtricas. As variaes em R(x) podem envolver operaes com constantes (R(x) + c

ou c.R(x) - seja c uma constante qualquer), mudanas de coeficientes ou expoentes,

entre outras. As transformaes nas representaes grficas podem sex exemplificadas

por translaes, simetrias, paralelismos, perpendicularidades, (de)crescimentos etc.

Assim, o objetivo desta pesquisa verificar, analisando o alcance

destas, as seguintes questes:

A manipulao de igualdades e desigualdades no GrafEq,

verificando suas representaes no plano cartesiano, ajudar aos estudantes na

apropriao da linguagem algbrica representativa de situaes no plano? Quais

problemas ou atividades sero geradores desta situao de aprendizagem?

Tambm se acrescenta o fato de que este estudo trar benefcios tanto

para as escolas, estendendo o conhecimento para os colegas da rea, como para os

estudantes. Entre os fatores benficos aos estudantes cabe ressaltar a apropriao da

tecnologia para aprender Matemtica, a disseminao da cultura informtica e a

apropriao da escrita em Matemtica.

Figura 01 Interface do GrafEq

17

No prximo captulo, abordo as concepes que subsidiam e

fundamentam esta pesquisa, no campo da Geometria Analtica e das Tecnologias

Digitais, mostrando o alcance e/ou os avanos para a Educao Matemtica.

Primeiramente temos um breve resumo da evoluo histrica da geometria analtica,

pontuando suas caractersticas peculiares e suas conexes com o desenvolvimento da

Matemtica como cincia at a chegada da era da informao. Em seguida exponho

teorias que analisam as tecnologias digitais especificamente informtica e sua

introduo no ensino, relacionando os seus aspectos ao Ensino de Matemtica.

No captulo seguinte, explico o mtodo para coleta e interpretao

dos dados. Temos a definio de pesquisas empricas como o Estudo de Caso e a

caracterizao das atividades que foram analisadas bem como os estudantes envolvidos

na pesquisa.

O quarto captulo contm a anlise das produes dos estudantes.

Aqui esto colocadas as reflexes sobre os avanos no contedo de geometria analtica

obtidos, pelos estudantes, nas suas interaes com o GrafEq ao longo das atividades

propostas.

Na concluso, so retomadas, em paralelo, as questes norteadoras

do estudo e a resultante do captulo anterior. Embasado no referencial terico,

apresenta-se tambm as expectativas para a utilizao do tutorial elaborado, inclusive

por outros professores de Matemtica. Tambm contemplada a possibilidade de

futuras complementaes das atividades com a introduo de outro software o

GeoGebra.

Finalmente, temos as referncias utilizadas neste estudo e os

apndices que fornecem, na ntegra, as atividades utilizadas na testagem e extratos

elucidrios do tutorial (Guia de Estudos para o GrafEq), incluindo as atividades

propostas.

18

2 BASES TERICAS

2.1. Geometria Analtica

Deve-se oportunizar ao estudante do Ensino Mdio o conhecimento

desse mtodo que transforma problemas geomtricos em algbricos atravs de equaes

ou inequaes, pela sua importncia no processo histrico de construo do

conhecimento matemtico (e em outras reas que fazem uso de resultados matemticos

como: Fsica, Astronomia,...) e como ferramenta para resoluo de problemas

matemticos. Uma abordagem correta tambm serve para desvincular a lgebra da

simples e retroativa ideia de aritmtica simblica.

A essncia da Geometria Analtica, de acordo com EVES (2004),

consiste em estabelecer equivalncia entre pontos do plano e coordenadas reais (pares

ordenados), em um sistema referencial de eixos, viabilizando correspondncia entre

equaes e curvas no plano e suas respectivas propriedades algbricas e geomtricas.

Dessa forma, transfere-se a tarefa de demonstrar um teorema em geometria (que

chamaremos Geometria Sinttica) para a de provar esta mesma proposio em lgebra.

Podemos notar esta facilidade adquirida com o uso de processos

analticos comparando com a Geometria Sinttica. Enquanto que nesta primeira exige-

se em suas demonstraes habilidade, experincia e prtica adquiridas com o tempo na

resoluo de problemas, os procedimentos com o uso da geometria analtica podem se

mostrar mais claros aos estudantes. Tal clareza se deve ao fato de que, com a Geometria

Analtica, se tem um procedimento mais concreto, por meio de resultados e tcnicas

algbricas.

Para comparar estas ideias vamos demonstrar, por meios sintticos e

analticos, duas proposies.

Proposio 1: Se duas retas paralelas distintas interceptam uma

transversal, ento os ngulos alternos (ou os ngulos correspondentes) so

congruentes.

19

Hiptese Tese

, //a b a b

Quadro 01 Hiptese e tese para a proposio 1

Se e no fossem congruentes, existiria uma reta x, distinta de b,

passando por P, {P} = b t, tal que:

xt = ` alterno de e '

Pelo teorema da existncia1, ` //x a .

Figura 02 Reta x

Por P teramos duas retas distintas x e b, ambas paralelas reta a, o

que absurdo, pois contraria o postulado das paralelas2. Logo, congruente a , isto

, . Demonstrao encontrada em DOLCE e POMPEO (1998, p. 64).

O estilo da demonstrao acima, apesar de simples e bem

fundamentado dentro do mtodo sinttico, s vezes, encontra resistncia at em alunos

no incio da graduao. No entanto, com conceitos analticos abordados no Ensino

Mdio, podemos chegar prova da seguinte maneira:

Sejam duas retas paralelas de equaes y = ax + b (1) e y = ax + c

(2) e uma transversal de equao y = dx + e (3).

1 Existncia da paralela (Recproca da proposio em questo): Se duas retas distintas e uma reta transversal, todas coplanares, determinam ngulos alternos congruentes, ento essas duas retas so paralelas. 2 Unicidade da paralela: Por um ponto passa uma nica reta paralela a uma reta dada.

20

Sabemos que os coeficientes angulares das retas (1), (2) e (3) so,

respectivamente, a, a e d e que a relao 2 1

2 11

m mtg

m m

=

+ nos fornece a tangente do

ngulo agudo entre duas retas a partir dos coeficientes angulares m1 e m2.

Assim, temos que os ngulos agudos (para simplificar, utilizei o

mesmo smbolo) entre as retas (1) e (3) e entre as retas (2) e (3) possuem a mesma

tangente 1

d atg

ad

= +

. Logo, estes ngulos agudos (que so os alternos internos) so

congruentes. Para no perdermos em generalidade, devemos considerar os casos onde as

retas so verticais. Em um primeiro caso, onde as retas paralelas so verticais e formam

um ngulo reto (tangente inexistente) com o eixo das abscissas e a transversal um

ngulo , temos que o ngulo agudo entre as retas paralelas e a transversal 90-

(figura 03 esquerda). Da mesma forma, se a reta transversal vertical e as retas

paralelas formam um ngulo com o eixo das abscissas, ento o ngulo entre elas

tambm ser 90 - (figura 03 direita).

Figura 03 Retas verticais

Proposio 2: As medianas de um tringulo concorrem em um ponto

que trisecta a cada uma delas. Demonstrao encontrada em EVES (1969, p. 3).

Analisemos a figura 1.

Figura 04 Ponto G (Demonstrao Sinttica)

21

Seja G o ponto de interseco das medianas BE e CF do tringulo

ABC e sejam M e N os pontos mdios de BG e CG, respectivamente. Traa-se FE, MN,

FM e EM. Ento FE paralelo a BC e igual a sua metade (teorema da base mdia). De

forma anloga, MN paralelo a BC e igual a sua metade. Por conseguinte, FE paralelo

e igual MN, sendo por tanto, FENM um paralelogramo. Deduz-se ento que MG = GE

e NG = GF. As medianas BE e CF se cortam em um ponto G que est a dois teros da

distncia de uma ou outra aos vrtices B e C e a um tero desta distncia do ponto

mdio do lado oposto. Dado que isto vlido para um par qualquer de medianas do

tringulo ABC, deduz-se que as trs medianas concorrem em um ponto que triseca a

cada uma delas.

A demonstrao anterior no difcil, mas exige experincia para

decidir por onde comear, que segmentos traar ou qual enfoque abordar (diagonais do

paralelogramo). Agora abordaremos o problema por mtodos analticos. Colocamos o

tringulo ABC em uma situao geral de um sistema cartesiano (ver figura 2). Ento (a1,

a2), (b1, b2) e (c1, c2) sero as coordenadas dos vrtices A, B e C no sistema.

Figura 05 - Ponto G (Demonstrao Analtica)

Determinemos as coordenadas (g1, g2) do segundo ponto de triseco

G da mediana AD. Usaremos a chamada frmula da razo da geometria analtica, que

diz que as coordenadas (p1, p2) de um ponto P que divide um segmento de reta MN de

modo que MP/PN = r/s so p1= (s.m1 + r.n1) / (s + r) e p2= (s.m2 + r.n2) / (s + r), sendo

(m1, m2) e (n1, n2) as coordenadas de M e N, respectivamente.

Pela frmula vemos que as coordenadas de D so

d1= (b1 + c1) / 2 e d2 = (b2 + c2) / 2.

22

Utilizando novamente a frmula temos as coordenadas de G:

g1= (a1 + 2d1) / 3 = (a1 + b1+ c1) / 3,

g2= (a2 + 2d2) / 3 = (a2 + b2+ c2) / 3.

De forma anloga, tambm vemos que G o segundo ponto de

triseco de BE e CF.

Esta demonstrao nos mostra uma vantagem do mtodo analtico.

Primeiro situamos a figura em um sistema de coordenadas e depois, simplesmente,

determinamos as coordenadas do ponto G, fazendo uso de um resultado analtico

(frmula da razo), assim como na demonstrao sinttica utilizamos o teorema da base

mdia (resultado da geometria plana).

Os exemplos acima, de forma alguma so para invalidar o mtodo

sinttico, mas sim para apresentar, aos estudantes, a Geometria Analtica como opo

potente na prova de resultados geomtricos. A seguir, retrato alguns fatos que marcam a

evoluo desse campo da Matemtica.

A inveno da Geometria Analtica, mesmo que alguns autores

digam que outros matemticos j haviam se utilizado do mtodo analtico, se deve a

Descartes e Fermat. Segundo EVES,

Os gregos dedicaram-se consideravelmente lgebra geomtrica e a ideia de coordenadas foi usada no mundo antigo pelos egpcios e os romanos, na agrimensura, e pelos gregos na confeco de mapas. Apolnio (grego) deduziu o cerne de sua geometria das seces cnicas de equivalentes geomtricos de certas equaes cartesianas dessas curvas ideia que parece ter-se originado com Menaecmo. Nicole Oresme (sec XIV) representou graficamente certas leis, confrontando a varivel dependente com a independente. (EVES, 2004, p. 382)

De acordo com esse autor, os dois matemticos nunca trabalharam

juntos, mas estavam avanando nestes estudos a mesma poca. A contribuio de

Descartes foi escrita em um tratado filosfico sobre a cincia universal. O Tratado

intitulado Discours de la Mthode pour Bien Conduire sa Raison et Chercher la Vrit

dans les Sciences (Discurso do Mtodo para Bem Conduzir a Razo e Procurar a

Verdade nas Cincias, publicado em 1637) continha trs apndices e coube ao terceiro,

La gomtrie, tratar da Geometria Analtica. Apesar de avanar muito em relao a

matemticos anteriores e este apndice (nica publicao de contedo matemtico de

23

Descartes) ter aproximadamente cem pginas, Descartes no desenvolveu

sistematicamente o mtodo analtico at a forma que conhecemos hoje. Palavras como

coordenadas, abscissas e ordenadas foram utilizadas pela primeira vez, no sentido

tcnico atual, por Leibniz em 1692.

A diferena entre estes estudos e os de Pierre de Fermat que, onde

Descartes partia de um lugar geomtrico para encontrar sua equao, Fermat partia de

uma equao e ento buscava o lugar geomtrico correspondente. essa reciprocidade

o princpio fundamental da Geometria Analtica.

A relevncia da Geometria Analtica pode ser justificada por trs

grandes contribuies histricas para o desenvolvimento da Matemtica. A primeira

delas foi servir de apoio ao Clculo (sculo XVII). Com ele e com a Geometria

Analtica se atacou problemas que no poderiam ser solucionados anteriormente.

Outra contribuio, impulsionada pela criao da Geometria

Analtica, foi a adaptao frente a diversos outros problemas matemticos. Como

exemplo, temos a criao de coordenadas polares para se trabalhar com curvas

impraticveis em coordenadas cartesianas os espirais so timos exemplos. Em 1829,

Julius Plcker notou que o elemento fundamental no precisa ser um ponto, podendo ser

qualquer ente geomtrico, e explorou a geometria analtica das coordenadas lineares.

Sem dvida, a Geometria Analtica contribuiu com diversos avanos

na Matemtica Pura. Sem desconsiderar a evoluo da Matemtica e da Tecnologia

como um todo, no podemos deixar de citar a Matemtica Aplicada em especial a

Computacional e a Educao Matemtica.

No campo computacional, diversos matemticos, como Pascal e

Leibniz, concentraram esforos na construo de mquinas para calcular e acumular

instrues iniciando uma busca pelo aperfeioamento que culminou em mquinas de

computar, prottipos das atuais mquinas de calcular. Outro matemtico que contribuiu

para esta revoluo foi o ingls Charles Babbage. A mquina construda por ele e

denominada mquina analtica, gerou descendentes como o ASCC (convnio entre a

IBM, a Universidade de Harvard e o Departamento Naval dos Estados Unidos, em

1944) e o ENIAC (convnio entre a Universidade da Pensilvnia e o Laboratrio de

Pesquisas Balsticas do Exrcito dos Estados Unidos, 1945).

A evoluo dessas mquinas acompanhou a revoluo tecnolgica, as

vlvulas foram substitudas pelos transistores e estes pelos microchips, tornando-as mais

leves, mais rpidas e capazes de realizar diferentes tarefas. Segundo EVES (2004),

24

Dana S. Scott, em 1958, programou o MANIAC para procurar todas as solues de um

problema consistindo em juntar um conjunto completo de doze pentamins3 de modo a

formar um quadrado oito por oito com um quadrado vazio dois por dois no meio. Mas

no s na Matemtica Recreativa houve avanos impulsionados pela tecnologia

computacional. Em 1976, Kenneth Appel e Wolfgang Haken comprovaram o problema

das quatro cores da topologia4, utilizando recursos computacionais para verificar o

exame de 1960 configuraes redutveis, cada uma envolvendo o estudo de meio milho

de opes lgicas para verificar a redutibilidade.

Assim, os computadores deixaram de servir exclusivamente a

propsitos militares e comearam a ser projetados para auxiliar nas mais diversas reas,

sejam elas comerciais, empresariais, da administrao pblica ou de setores da

engenharia. Nos dias de hoje, os microcomputadores j so artigos domsticos servindo

a tarefas comuns em lares de todo o globo. A realidade que h geraes de indivduos

que nasceram j na presena destas mquinas e que a interao com estas fez parte do

seu desenvolvimento infantil at a idade pr-escolar e continua durante sua

escolaridade.

Ento esta presena tambm surge na escola, o lugar onde colocamos

o nosso desejo humanitrio da continuao do desenvolvimento. Ser esta incluso o

objeto de anlise do prximo tpico. Aqui cabem apenas algumas indagaes: Se a

computao ajudou em descobertas no campo da Matemtica Pura e Aplicada, por que

no utiliz-la na Educao Matemtica? Ser que as descobertas que a criana faz frente

sua interao com a mquina no causam o mesmo impacto nelas que os impactos

causados na Matemtica e na Sociedade por grandes descobertas como a Geometria

Analtica e a Computao?

3 Um pentamin um arranjo plano de cinco quadrados unitrios unidos ao longo de seus lados. 4 A conjetura afirmava que possvel pintar qualquer mapa plano ou sobre uma superfcie de uma esfera sem que se usem mais do que quatro cores, sem que regies vizinhas possuam a mesma cor.

25

Evoluo: Geometria Analtica/ Computao

Ano Matemtico/ Acontecimento

Geometria Analtica/ Computao

1360 Nicole Oresme Coordenadas

1635 Fermat Geometria Analtica

1637 Descartes Geometria Analtica

1640 De Beaune Geometria Cartesiana

1650 Blaise Pascal Mquinas de Calcular

1682 Leibniz Mquinas de Calcular

1731 Alxis Clairaut Geometria Analtica Slida 1748 Agnesi Geometria Analtica 1829 Plcker Geometria Analtica Superior 1830 Babbage Mquinas de Computar 1937 John V. Atanasoff designou o primeiro computador eletrnico

digital 1939 Atanasoff e Clifford Berry demonstraram o prottipo ABC 1941 Konrad Zuse, na Alemanha, desenvolveu em segredo o Z3. 1943 Na Inglaterra, o Colossus foi designado em segredo para

decodificar mensagens alems. 1944 IBM Automatic Sequence Controlled Calculator (ASCC). 1945 Eletronic Numerical Integrator and Computer (ENIAC). 1948 Instalado no Campo de Provas da Marinha (Dahlgren, Virgnia) um

computador ASCC aprimorado. 1953 IBM introduziu o modelo 604 computer, o primeiro com transistor. 1955 IBM introduziu o 702 business computer. 1959 Texas Instruments patenteou o primeiro circuito integrado. 1971 Micro Computer Co. patenteou o microprocessador. 1971 venda a primeira calculadora porttil. 1973 IBM desenvolveu o primeiro disco rgido (Winchester) 1976 Jobs e Wozniak desenvolveram o computador pessoal Apple. 1984 Apple Computer introduziu o Macintosh. 1985 Entram em uso os supercomputadores. 1991 Desenvolvida a WWW. 1994 Netscape Navigator 1.0. 1996 Microsoft Explorer 3.0.

H. Eves (2004) e David B. Zandvliet (2006) Quadro 02 Evoluo: Geometria Analtica/ Computao

26

2.2. Tecnologias Digitais e Educao Matemtica

A pertinncia do uso da tecnologia informtica justificada por

diversos fatores. A disponibilidade de recursos como internet e softwares educacionais

abrem um leque de possibilidades didticas, modificando as relaes entre professor e

aluno. DAMBRSIO e BARROS (1990) acrescentam que estas mudanas causam

grandes impactos na sociedade, gerando reflexos conceituais e curriculares na Educao

Bsica e na Educao Superior. Matemtica cabe o papel de desenvolver nos

estudantes, tambm nesse mbito, habilidades como selecionar e analisar informaes,

tomar decises, resolver problemas e transcrev-los em linguagem correta.

Dessa forma, nos deparamos com a necessidade social gerada pela

evoluo de tais tecnologias. Cada vez mais os indivduos precisam aumentar sua

interao com as mquinas, conhecendo suas vantagens e limites, utilizando-as em

benefcio do aprender e do trabalho. Assim, no podemos ignorar a interseco entre

estas duas reas (Educao Matemtica e Informtica), objetivando o Ensino de

Matemtica para a utilizao dos recursos tecnolgicos, de forma racional e vinculada

ao saber matemtico.

Os PCNs (2006) determinam, para a Educao Matemtica e os

recursos tecnolgicos, uma relao de reciprocidade. A Matemtica deve servir para

entender e se apropriar das tecnologias digitais assim como esta deve ser ferramenta

para entender a Matemtica. Outra habilidade contemplada a utilizao adequada de

calculadoras e computadores, reconhecendo suas limitaes e potencialidades. Mais

especificamente sobre computadores h a sugesto de se utilizar softwares matemticos,

que caracterizem e influenciem o pensar matemtico, e a Internet. Em relao

contextualizao scio-cultural, os PCNs+ (2006, p. 118) ditam que a Matemtica deve

acompanhar criticamente o desenvolvimento tecnolgico contemporneo, tomando

contato com os avanos das novas tecnologias nas diferentes reas do conhecimento

para se posicionar frente s questes de nossa atualidade.

Porm, o uso das tecnologias digitais na sala de aula deve ser

antecedido por reflexes consistentes sobre o alcance destas e o papel da escola. Uma

questo, levantada por Kaput (1992), sobre a utilizao do verdadeiro potencial das

tecnologias computacionais no Ensino de Matemtica. preciso rever os processos de

ensino tradicionais de Matemtica que visam aquisio de tcnicas aritmticas e

27

aplicao demasiada de frmulas para chegar a valores numricos sem significado,

desprezando o real fazer matemtico. Deve-se oportunizar ao aluno a chance de

desenvolver e utilizar o raciocnio lgico para testar e validar suas hipteses evoluo

natural do conhecimento matemtico, escondido pela escola tradicional. Assim,

defende-se uma reforma nas prticas tradicionais, revisando o impacto das novas

tecnologias em tais prticas e no currculo matemtico.

De acordo com Kaput (1992), historicamente o uso do computador

na escola vem apenas renergizando velhas prticas, transferindo o livro texto, suas

questes fechadas e os alunos ouvintes e receptores para uma sala de aula com

computadores os laboratrios de informtica. Segundo o autor, houve uma

disseminao dos CAI (Computer Assisted Instruction), que foram as primeiras

tentativas do uso do computador na Educao:

Basicamente, estes programas davam instrues para os alunos e indicava o acerto (ou erro) do estudante nas questes propostas. Os tutoriais matemticos tendem a se basear no ensino guiado de sistemas de notaes, tanto aritmticos, algbricos ou geomtricos. Designers transferiram o sistema tradicional de ensino para um novo meio usando a caracterstica visual do computador, porm estes programas se mostram fracos em termos curriculares e pedaggicos. (KAPUT, 1992, p. 519)

Papert (1988), criador da linguagem de programao LOGO

(linguagem da tartaruga)5, e Kaput (1992) criticam essa tendncia, apontando novas

possibilidades e mudana de paradigmas. Para o primeiro, a criana deve programar o

computador para ir em busca de conhecimentos, ressaltando que na ao haver o real

aprendizado caracterizado por descobertas e reorganizao destas, construindo e se

apropriando de significados. Nessa linha, o segundo aponta que um aspecto dos

computadores que os distinguem de outras mdias utilizadas na educao a capacidade

de servir como ferramenta de produo/ construo. Acerca disto, Basso (2003, p. 49)

assinala que uma utilizao mais significativa da tecnologia, a favor da educao, deva

incluir dimenses do desenvolvimento como: interao, troca, intercmbio,

comunicao bi ou multilateral, negociao, colaborao e cooperao.

Kaput (1992) defende que para refletirmos melhor sobre a

contribuio das tecnologias digitais na Educao Matemtica, precisamos inicialmente

entender como funcionam as interaes humanas com o conhecimento. Dentre essas

interaes, o autor determina qual ou quais so particularmente relacionadas com o

5 Tambm existem outras linguagens de programao como BASIC e Pascal. (PAPERT, 1988)

28

aprender matemtico, bem como quais so as possibilidades significativas da utilizao

de tecnologias digitais como interferncia positiva na aprendizagem matemtica.

Segundo ele (KAPUT, 1992, p. 522), nosso aparato mental, embora muito limitado no

processamento e manipulao da capacidade de memria, notavelmente efetivo em

levantar ideias complexas e processos, concretos ou abstratos. Esta fora est baseada

na interao entre duas origens da organizao da experincia:

(i) As estruturas inerentes ao nosso conhecimento construdo, e (ii) Nossa habilidade para explorar meios fsicos da experincia organizada

no caso da experincia matemtica, utilizaremos sistemas de notao (definidos mais a frente) como formas de externalizar uma estrutura conceitual. O autor faz a seguinte analogia: Ns usamos isto na nossa atividade matemtica como um carpinteiro utiliza um esquadro na carpintaria. (KAPUT, 1992, p. 522)

Assim, Kaput argumenta que apoiamos nossa explorao sobre uma

estrutura organizacional fora do pensamento, o que coloca a nossa discusso acerca

da experincia numa relao entre pensamento e linguagem construda para incluir

algum tipo de linguagem matemtica. Com isso, ns produzimos um senso para dar

continuidade pela experincia via interaes entre o meio fsico (objeto da experincia)

e as estruturas mentais. Consequentemente nos colocamos entre dois mundos: (i) o

mundo das operaes mentais, sempre hipottico, e (ii) o mundo das operaes fsicas,

frequentemente observvel. Na figura abaixo, extrada de Kaput (1992, p. 523), vemos

que estes dois mundos interagem em direes opostas, sugerindo um fenmeno cclico.

KAPUT, 1992, p. 523

Figura 06 Operaes fsicas e mentais

29

Na seta apontada para cima temos os atos interpretativos na base do

objeto do processo, que chamamos de interpretao ativa (ou deliberada). Na outra seta

concentramos o processo do fenmeno mental evocado pela matria fsica. Kaput

determina que neste caso temos a ao de projetar a estrutura material existente

mentalmente e de produzir novas estruturas, incluindo elaboraes fsicas sobre as pr-

existentes, testando a viabilidade de suposies.

Para produzir percepo das interaes entre processos fsicos e

mentais, Kaput (1992) cria uma linguagem para organizar e ligar registros dessas

interaes. Para avaliar estas linguagens no mbito da Educao Matemtica, ele utiliza

o termo sistema de notao. Na Matemtica h uma grande familiaridade com os

variados sistemas de notaes, incluindo neste conjunto o sistema numrico de base

dez, o sistema de notao algbrico para uma ou mais variveis, os sistemas de

coordenadas grficas de diferentes dimenses, os sistemas de tabelas de dados, entre

outros. Segundo o autor, um sistema de notao definido como um conjunto de regras

para:

(i) Identificar ou criar caracteres, (ii) Oper-los entre eles, e (iii) Determinar relaes com outros sistemas de notaes principalmente relaes equivalentes. (KAPUT, 1992, p.523)

Transformaes dentro e atravs de sistemas de notaes podem ser

exemplificadas com atividades tpicas de manipulao algbrica, operando com

expresses e mudando a sua forma. Analisemos as seguintes aes:

(i) Subtrair 6x de (x + 6x + 9), e (ii) Expandir a binomial (x + 3) para (x + 6x + 9). (KAPUT, 1992, p.524)

No primeiro caso, ns estamos agindo inteiramente com o mesmo

sistema de notao, efetuando transformaes. No segundo caso, ns sucedemos para

uma transformao da expresso para outra forma equivalente (uma identidade),

mudando a visualizao do objeto fixado, enquanto que no item (i) transformamos o

objeto em uma representao diferente. Tais mudanas dentro de um mesmo sistema de

notao podem ser visualizadas na seguinte figura:

30

KAPUT, 1992, p. 524.

Figura 07 Sistema de Notao X Cognies Associadas

No exemplo, tanto em (i) como em (ii), poderamos acoplar uma

mudana na transformao vista em outro sistema de notao, que poderia ser um

sistema de coordenadas grficas. De acordo com o autor, isso acontece em grande parte

da Matemtica presente na Educao Bsica, onde as atividades envolvem constantes

tradues de um sistema de notao para outro.

Um dos exemplos mais comuns de se usar tradues entre sistemas

de notaes diferentes a representao algbrica de uma funo e o seu respectivo

grfico, facilmente verificveis no GrafEq. Mais genericamente, podemos estender este

arqutipo para as relaes de equivalncia entre entes algbricos (relaes) e suas

representaes geomtricas, base do estudo da Geometria Analtica.

Estas tradues so diretas, dependendo da interao e das operaes

mentais realizadas pelo estudante. Kaput (1992) exemplifica que para transferir a

funo y=x+6x+9 para o sistema de coordenadas grficas podemos utilizar o processo

de computao dos valores da funo e plotar os pares ordenados resultantes. Ou, iniciar

com o grfico de um modelo e, atravs de conhecimento de parbolas e funes

quadrticas, desenvolver inferncias mais sofisticadas que resultam numa translao do

grfico para a funo quadrtica desejada. Podemos identificar situaes como

manipular a expresso algbrica e encontrar valores para plotar o grfico. Ou identificar

no grfico o intercepto-y, por exemplo, e procurar uma equivalncia na notao

algbrica (termo independente).

Estas relaes entre sistemas de notao diferentes (no exemplo,

algbrico e geomtrico) e a integrao de cognies associadas esto descritas,

genericamente, na figura abaixo:

31

KAPUT, 1992, p. 524.

Figura 08 Sistemas de Notao

Kaput tambm defende que se alguma variao precisa ser projetada

para permitir que o estudante a leia e a interprete, so necessrios meios dinmicos que

facilitem essa projeo difcil de ser desenvolvida em uma mdia esttica. Por

exemplo, se um professor ou estudante, utilizando a lousa ou papel e caneta, quer

descrever a variao de um ente geomtrico qualquer (ponto, reta etc.) atravs de uma

figura geomtrica, ele dever incluir vrias instncias da situao talvez com o auxlio

da indicao da direo do movimento do objeto. Mas esta ilustrao, utilizando um

software como o Cabri Geometry6, pode ser mais interessante e mais representativa em

termos cognitivos na aprendizagem matemtica. Sobre isso, Kaput diz:

Um aspecto muito importante do pensamento matemtico a abstrao da invarincia. Mas claro que reconhecemos invarincia quando estudamos variaes. A mdia dinmica inerente produo de variaes. (KAPUT, 1992, p. 526)

E ainda:

Assim, podemos dizer que a transio contnua do estgio intermedirio uma importante caracterstica cognitiva do sistema dinmico, aqui entendido como um sistema que permite variaes do objeto estudado. J pela mdia interativa, a possibilidade de construir interaes envolvendo contribuies fsicas (aes do sujeito) e os sistemas de notao instantnea. (KAPUT, 1992, p. 526)

6 Software de geometria dinmica. Uma espcie de rgua e compasso eletrnicos que permite movimento nas construes geomtricas. Desenvolvido pelo Institut d'Informatiqe et de Mathematiques Appliquees em Grenoble - IMAG. Site de origem: http://www-cabri.imag.fr/index-e.html

32

Dessa forma, as tecnologias digitais podem performar as aes do

usurio vistas na figura abaixo, fazendo uma ligao mais densa entre as cognies

associadas com uma ao e as cognies resultantes do sistema resposta.

KAPUT, 1992, p. 526.

Figura 09 Sistema resposta

Um recurso computacional pode fazer equivalncias entre sistemas

de notao a partir da ao do usurio em um sistema, como por exemplo, faz o GrafEq

- o usurio pode manipular como desejar as informaes algbricas de um objeto

(relao) enquanto que o software retorna as equivalncias geomtricas, potencializando

a situao exposta no esquema da figura 08. Essas transferncias de um sistema para

outro so verificadas na ilustrao a seguir:

KAPUT, 1992, p. 529.

Figura 10 Transferncias entre sistemas de notao

33

O usurio realiza uma sequncia de aes no meio digital que podem

ser ligadas a outros recursos (diversos programas), modificadas e includas em outra

sequncia de aes e formando uma rede de aes, em vrios sistemas de notaes.

Segundo Kaput (1992), esta caracterstica do meio digital causa influncias nas

estruturas mentais do estudante e pode ser resumida nos termos construo, recordao

e visualizao. No exemplo do GrafEq, um sistema de forma algbrica em A de duas

variveis (funes, por exemplo) ligadas com os grficos em B fazendo a equivalncia

expresso algbrica em A constitui um grfico em B. Se as aes em A incluem

simplificaes e outras mudanas na forma fixa da funo, gerar outros pares

ordenados e outro grfico em B. Assim estas aes em A so refletidas em B. A

contribuio do software, neste caso, que para o estudante analisar e construir

inferncias a respeito do sistema algbrico (onde suas aes foram empregadas), ele

possa, antes de criar suas associaes cognitivas, visualizar esta situao em outro meio

(geomtrico) ou, ao contrrio, utilizar estas inferncias para modificar o campo

algbrico e obter um resultado geomtrico. Lembramos que, no caso deste estudo, o

mais importante a construo, compreenso e aplicao das equivalncias entre estas

relaes algbricas e geomtricas princpio norteador do estudo da Geometria

Analtica. Estas relaes esto descritas, de forma geral, na figura abaixo.

KAPUT, 1992, p. 530.

Figura 11 Contribuio Computacional

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Acerca desta interferncia do meio digital, Gravina (1998) aponta

que o computador (nome recebido quando a mquina ainda s fazia grandes operaes)

permite ao estudante explorar objetos na tela como se fossem concretos. Estes objetos

podem ser manipulados, junto com relaes mentais, chegando-se abstrao de forma

mais natural, ou seja, expanso do conhecimento atravs das reestruturaes de

pensamento permitidas com a interao entre o estudante e os objetos de estudo na

interface informtica.

Para esta pesquisa, usamos como apoio ou facilitador de

aprendizagem o software GrafEq, que utilizado para a plotagem de grficos de

funes em coordenadas cartesianas e polares. Para as atividades propostas na coleta de

dados, os estudantes no precisavam ser experientes no manejo do software, portanto,

bastava seguir as atividades (apndice A). A diferena entre o GrafEq e outros softwares

existentes no mercado para engenheiros e matemticos (puros e aplicados), como o

Derive e o Maple, que este foi projetado para fins educacionais, com um layout e

ferramentas que se adaptam matemtica estudada no ensino bsico.

De acordo com o site de origem do GrafEq7, o software se caracteriza

como intuitivo, flexvel, preciso e robusto programa de produo de grficos de

equaes implcitas e desigualdades. A pgina tambm determina que o GrafEq foi

projetado para promover um visual para forte compreenso da matemtica,

disponibilizando grficos confiveis e incentivando a explorao. Alm disso, o

software oferece interfaces em Ingls, Alemo, Espanhol, Francs, Coreano e Japons,

sugerindo fcil adaptao em diferentes pases e culturas.

A seguir, temos algumas caractersticas especficas do GrafEq:

(i) O GrafEq pode salvar e abrir arquivos em diferentes formatos. (ii) Suporte para a plotagem de vrios grficos na mesma janela, para que os

efeitos das diversas transformaes possam ser claramente visualizados. (iii) GrafEq prev / suporta outras caractersticas distintivas como: botes fceis,

funes e relaes, equaes e desigualdades, plano cartesiano e polar, fcil utilizao de expresses trigonomtricas, exponenciais e logartmicas, valor absoluto, modulo, zoom-in / zoom-out, pontos, encostas, distncias e ngulos.

(iv) GrafEq um programa fcil de usar para apresentar graficamente as equaes encontradas na currculo matemtico da educao bsica, que inclui: funes lineares, polinmios, cnicas, funes trigonomtricas, funes exponenciais, relaes envolvendo valor absoluto, etc.

(v) Respeita convenes matemticas e fornece pistas para entradas incorretas de equaes. Tambm sugere correes mais diretas como quando parnteses no so corretamente empregados.

7 www.peda.com/grafeq

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(vi) O GrafEq foi concebido com/para a matemtica da Educao Bsica. (www.peda.com/grafeq - acessado em dezembro de 2008)

No GrafEq as intersees das relaes, entre si e com os eixos

ordenados, podem ser descobertas visualmente, sendo uma ferramenta bastante

importante no estudo de desigualdades e regies no plano cartesiano. Alm disso,

coordenadas de pontos do plano podem ser encontradas por zoom. No estudo de

equaes lineares podem se abordar vrios aspectos importantes atravs de ferramentas

como, por exemplo, a determinao do coeficiente angular atravs de dois pontos

quaisquer da reta.

A utilizao do computador nas atividades propostas neste material,

conforme anlise apresentada no captulo 4 serviu para que os estudantes testassem suas

hipteses, refutaes e outros processos que fazem parte do ato de estudar matemtica e

resolver problemas. Por isso, o software nem a dinmica das aulas se deram somente

sobre os erros e acertos dos alunos, privilegiando os procedimentos exploratrios dos

alunos associados s suas aes mentais. A dinmica interativa que permeou o trabalho

dos estudantes durante as atividades foi a manipulao dos objetos algbricos com

instantnea visualizao das representaes geomtricas, dando suporte s suas

estruturas cognitivas e contribuindo para uma aprendizagem significativa em Geometria

Analtica. A principal contribuio do GrafEq a possibilidade de alterao das

equaes j utilizadas dando a chance ao aluno de ir revendo, durante o processo de

construo, o que mais se ajusta resoluo do problema proposto. Assim, o aluno

trabalha simultaneamente com conceitos geomtricos e algbricos indo de encontro ao

que diz Gravina:

Os programas que fazem tradues entre diferentes sistemas de representao apresentam-se como potentes recursos pedaggicos, principalmente porque o aluno pode concentrar-se em interpretar o efeito de suas aes frente as diferentes representaes, at de forma simultnea,... (GRAVINA, 1998, p. 1)

No podemos esquecer de que na escola est arraigado um sistema de

ditar do mestre e escrita manuscrita do aluno8 junto a algum material impresso (apostila,

livro,...). preciso levar em conta estes fatores, pois fazem parte da cultura dos nossos

estudantes de Ensino Mdio e at mesmo neste fato a escola tem um pouco de culpa,

8 Aristteles, que era inclusive professor, dizia que seus discpulos eram alunos, porque essa palavra a juno de a com luno, ou seja, segundo ele, eram pessoas sem luz, mas que a receberiam atravs do conhecimento das coisas. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Aluno, acessado em 10 de Janeiro de 2008.

36

pois estes j nasceram na era da informao e ainda esto habituados com a tradicional

forma de avanar nos estudos. Assim, este trabalho visa ajudar, levando os estudantes a

raciocinarem (neste caso, sobre matemtica) com o uso da mquina, situao comum no

mercado de trabalho hoje e que aumenta com a velocidade da era da informao,

reservando-lhes um mercado que j no aceita indivduos desprovidos de tais

habilidades.

Contudo, depois de defendermos a implantao das tecnologias

digitais na educao, preciso refletir sobre as prticas pedaggicas envolvidas neste

processo. Ponte (2000), pesquisador das influncias e desafios trazidos, para as

licenciaturas, pelas tecnologias de informao e comunicao (TIC), determina que

estes avanos geram mudanas tecnolgicas e pedaggicas.

O autor diz que temos aqui um problema de terminologia. Durante

muitos anos falava-se apenas no computador. Depois, com a proeminncia que os

perifricos comearam a ter (impressoras, plotters, scanners, etc.), comeou a falar-se

em novas tecnologias de informao (NTI). Com a associao entre informtica em

telecomunicaes generalizou-se o termo tecnologias de informao e comunicao

(TIC).

Qualquer das designaes redutora, porque o que importante no a mquina, nem o fato de lidar com informao, nem o de possibilitar a sua comunicao distncia em condies francamente vantajosas. Mas no h, por enquanto, melhor termo para designar estas tecnologias. (Ponte, 2000, p.3)

Citando Canavarro, o autor destaca trs perspectivas diferentes dos

professores para a utilizao do computador no ensino da Matemtica:

i. Como elemento de animao, com capacidade para melhorar o ambiente geral da aula;

ii. Como elemento facilitador, permitindo realizar determinadas tarefas tradicionalmente realizadas mo; e

iii. Como elemento de possibilidade, permitindo equacionar a realizao de atividades que seriam difceis de efetuar de outro modo. (Ponte, 2000, p. 3)

Recordando as relaes entre mdia eletrnica e educao

matemtica, realizadas anteriormente, percebemos que apenas a ltima das perspectivas

representam inovaes efetivas na introduo das TIC na escola. Entretanto, precisamos

analisar que para muitos profissionais mais fcil optar pelas opes mais imediatas,

menos trabalhosas e, principalmente, que no interfiram em suas concepes.

37

Este ltimo ponto mais delicado, pois representa mudanas nas

prticas dos professores e isso s se resolve com formao continuada e quebra de

paradigmas. No quadro abaixo, Ponte assinala algumas mudanas necessrias no perfil

(papel) dos professores para a implantao, na sala de aula, das TIC.

Velhos papis Novos papis

Fornecer informao Criar situaes de aprendizagem

Controlar Desafiar, apoiar

Uniformizar Diversificar Ponte, 2003, p.5

Quadro 03 Mudanas no perfil do professor

Com aceitao dos papis identificados acima e com o conhecimento

de softwares especficos a sua disciplina e ferramentas de uso geral e familiaridade

com Internet, os professores estaro aptos a lecionar de forma moderna e,

especialmente, significativa. Dessa maneira, favorece-se, segundo Ponte (2003, p.1), o

desenvolvimento nos alunos de importantes competncias, bem como de atitudes mais

positivas em relao matemtica e estimula uma viso mais completa sobre a natureza

desta cincia.

Segundo Kaput (2007), a gradual evoluo do emprego da tecnologia

na Educao Matemtica acontece de forma lenta devido a problemas infraestruturais. O

foco so os gastos ambguos nas formas de TIC nas escolas, seus impactos e a falta de

uma coevoluo nas formas de ensinar e no currculo. Ento, primeiramente deve-se

resolver estes problemas, encontrando solues mais efetivas e prticas, para que

possamos construir relaes simbiticas mais produtivas entre a Matemtica e Educao

Matemtica com as TIC.

Por exemplo, relacionando a geometria dinmica e os CAS

(Computer Algebra System) vemos florescer, no meio computacional, as ideias de

Descartes, uniformizando ainda mais a prtica matemtica. As TIC criam novas formas

de prtica e, consequentemente, novas matemticas surgem com a utilizao de

softwares mais interativos e que servem como ferramentas que potencializam e

incrementam as capacidades humanas. Isto acontece com a redistribuio das operaes

prticas do ser humano para a mquina.

38

Entre as matemticas e as TIC, os mais importantes avanos so

representacionais os meios pelos quais as pessoas pensam, computam, se comunicam

etc. Em particular, os procedimentos matemticos so decodificados nos sistemas de

notao e nas aes entre estes. Em outras palavras, os indivduos precisam externalizar

seus pensamentos variados em sistemas escritos na Matemtica, exemplos de sistemas

de notao operatrios, sintaticamente estruturados e que suportam a ao humana, so

as infraestruturas representacionais algbricas e aritmticas. Assim, forma-se uma classe

diferente de relaes entre humanos e ferramentas, diminuindo os limites entre suas

cognies internas e os objetos.

Porm, h a estrutura educacional conservadora, com problemas

rgidos, fixos e descontextualizados. Um exemplo deste retardo a insistncia da

implantao de tecnologias computacionais na escola atravs de laboratrios, sugerindo

a necessidade de um local mais avanado tecnologicamente e evitando que as TIC

cheguem s salas de aula (ZANDVLIET, 2006).

Para isso, precisamos nos concentrar no epicentro da educao

matemtica a sala de aula. Mudanas ocorrem na natureza do ensino pela fundamental

alternncia das estruturas de participao. Alm de habilitar os estudantes para

utilizarem diversos tipos de softwares, o professor deve implantar e desenvolver

atividades, segundo Kaput, como:

(i) A mobilidade de mltiplas representaes como reflexos na habilidade para passar informao bi-direcionada e flexvel entre professor e estudantes e entre estudantes, usando mltiplos esquemas.

(ii) A habilidade de flexionar, agregar, manipular e visualizar representacionalmente as ricas construes dos estudantes na sala de aula.

(iii) Construir estruturas sociais participativas. (Kaput, 2007, p. 181)

Engenhar e inserir estas novas atividades estruturais com as

matemticas para ensinar, ativando uma conectividade na sala de aula e suscitando

novos problemas matemticos, representa uma visualizao da mdia computacional na

Educao Matemtica. Os estudantes, familiarizando-se com os objetos, entendem uma

criao atravs da matemtica, gerando novas atividades de estudo e resolvendo

problemas matematicamente. As combinaes matemticas podem emergir nas

interaes entre mltiplos estudantes e a mdia computacional, criando uma

infraestrutura tecnolgica. Assim, estudantes observando matematicamente suas

experincias no espao social da sala de aula agregam representaes em comum.

39

O papel do professor no desaparece, apenas muda. Este

responsvel, por exemplo, por causar inquietaes nos estudantes, estruturar as

atividades e fazer intervenes como utilizar uma descoberta de um estudante para

discutir com a classe. Usando estratgias dessa forma, ocorrer instigao, aprendizado

e atividades investigativas de novas ideias matemticas que serviro como problemas de

motivao na matemtica escolar pela personificao das matemticas nas realidades

sociais dos estudantes. Na educao bsica, para Kaput,

... essas so possibilidades de rpidos avanos, com surgimento de novos tipos de interao social e pensamento e novos caminhos para produzir matemticas menos abstratas e mais acessveis para uma larga populao de estudantes. (KAPUT, 2007, p. 191)

Sem desviar-se do objetivo especfico deste estudo, preciso

algumas consideraes sobre as contribuies das TIC para as relaes entre os meios

algbrico e geomtrico. Como o arrolamento entre estes meios a base do estudo da

Geometria Analtica, se faz necessrio entender como a manipulao de equaes (ou

inequaes), seguida da visualizao destas representaes num plano cartesiano R x R,

interfere no aprendizado de conceitos e tcnicas analticas.

De acordo com TALL (1992)

O crebro humano fortemente equipado para processar informaes visuais. Pelo uso de grficos computacionais possvel desarrolhar esta fora para ajudar estudantes a obter uma grande compreenso de muitos conceitos matemticos. (TALL, 1992, p. 1)

Representaes de processos matemticos no meio digital, e aliado s

exploraes e manipulaes dos estudantes, desencadeiam um real aprendizado que

dificilmente pode ser obtido com textos e figuras estticos. O emprego de softwares

grficos na Educao Matemtica aumenta as capacidades natas de explorao, gerando

introspeco de conceitos matemticos envolvidos nas construes de sala de aula.

A interface entre usurio e computador requer que o usurio tome

decises mentais para escolher uma ao (fsica) que determine dados para que o

computador construa, por exemplo, um grfico (gerando imagem visual). Na figura

abaixo, temos esquemas que representam a interferncia do computador nos processos

mentais do estudante e na evoluo destes. Por fim, temos um esquema semelhante ao

40

de Kaput (figura 11), determinando a partir das decises mentais conjeturas e testes

sobre a imagem visual que retornam, por sua vez, feedbacks para o campo mental.

TALL, 1993, p. 11

Figura 12 Processos Mentais/ Tall

Visualizaes de uma curva qualquer permitem exploraes gerais e

mais pontuais, com recursos de zoom, mudando o foco da figura para melhor observ-

la. Neste caminho do ensino podemos desenvolver noes intuitivas acerca do objeto

estudado neste caso, uma equao (com suas caractersticas e propriedades algbricas)

e sua representao geomtrica (igualmente detentora de propriedades), unindo

simbolismo matemtico (lgebra) e representao grfica (TALL, 1998, p. 3). A

pergunta Quais so as ligaes entre o simbolismo e o visual na Educao

Matemtica? respondida por Tall (1999, p. 11) da seguinte forma: uma evidncia

considerar que a exposio de valores nas representaes visuais ajuda na

conceitualizao.

Para retornarmos utilizao do GrafEq, cito aqui duas propostas de

atividades j realizadas. A primeira consiste no uso do GrafEq para reproduzir a obra do

artista abstrato Mir, realizada em 2005 pela professora Marlusa Benedetti da Rosa, no

Colgio Aplicao (CAp) da UFRGS, com a ajuda de Maira Leandra Alves (na poca,

mestranda em Educao em Cincias e Matemtica na PUCRS). As autoras descrevem

o sucesso da atividade dizendo que:

O GrafEq um desses programas que permite contemplar grande parte das caractersticas apontadas anteriormente, na medida em que oportuniza aos alunos

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interagir e reformular suas aes quantas vezes achar necessrio. Outra caracterstica importante desse programa que ele utiliza a linguagem matemtica corrente, o que facilita aos alunos a utilizao e a aplicao de conhecimentos matemticos adquiridos previamente. Dessa forma, o programa no exige dos alunos a compreenso de uma linguagem de programao, ao contrrio apresenta-lhes u