1.1

lgebra Linear

Mauro Rincon

Mrcia Fampa

Aula 1: Vetores

Informaes sobre o curso

Bibliografia

Introduo a lgebra Linear com Aplicaes6 edioEditora: LTCAutor: Bernard Kolman

1.2

1.1 - Vetores

Grandezas Fsicas Escalares

Massa

Presso

Velocidade

Fora

Grandezas Fsicas Vetoriais

1.3

Deslocamento

1.1 - Vetores

1.4

Todos os segmentos orientados que tm a mesmadireo, o mesmo sentido e o mesmo comprimentoso representantes de um mesmo vetor.

A C

DB

1.1 - Vetores

1.5

1.1 - Vetores

1.6

Vetor Nulo

1.1 - Vetores

1.7

Vetor Unitrio

Vetor Simtrico (ou oposto)

v-v

1.1 - Vetores

1.8

Vetores Colineares

v

uA

BC

D

uA

B vCD

1.1 - Vetores

1.9

eq=\LARGE\[ E\,=\,M\,C^2\]

Vetores Coplanares

uB

A

C Dv

1.2 - Operaes com vetores

1.10

1.2.1 - Adio de vetores

u

B

A

v

C

D

1.2 - Operaes com vetores

1.11

1.2.1 - Adio de vetores

b)

a)

1.2 - Operaes com vetores

1.12

1.2.1 - Adio de vetores

u

B=C

A

v

Du+v

1.2 - Operaes com vetores

1.13

1.2.1 - Adio de vetores

Regra do ParalelogramoUma forma prtica de calcular a soma entredois vetores construindo um paralelogramo.

u

B

VoltarvC

D AdioA

A=C v

u u + v

1.2 - Operaes com vetores

1.14

1.2.1 - Adio de vetores

Propriedades da AdioAssociativa: 1)

Voltar

v

u

w

u + v

v

u

Adio

u + vw

y=

x=

name=uv_w

(u+v)+w

v

u

w

v

w v + wv + w

uu+(v+w)

1.2 - Operaes com vetores

1.15

1.2.1 - Adio de vetores

Propriedades da Adio

Comutativa:2)

4)

3)

1.2 - Operaes com vetores

1.16

1.2.1 - Adio de vetores

Observao

v

u

DB

A

u+v

v+u u

v

D B

A

u

-v

u

-v

u-v

1.2 - Operaes com vetores

1.17

1.2.2 - Multiplicao de um nmero real por um vetor

b)

c)

a)

1.2 - Operaes com vetores

1.18

1.2.2 - Multiplicao de um nmero real por um vetor

1.2 - Operaes com vetores

1.19

1.2.2 - Multiplicao de um nmero real por um vetor

a)

c)

d)

b) (propriedade distributiva)

1.20

1.3 - Vetores no

AB

P

1.3 - Vetores no

1.21

Vetores representados por segmentos de retasorientados com origem na origem do sistema

1.3 - Vetores no

1.22

Vetores representados por segmentos de retasorientados com origem na origem do sistema

1.4 - Igualdade e Operaes

1.23

Igualdade

Exemplos:1)2)

1.4 - Igualdade e Operaes

1.24

Operaes

b)

a)

1.4 - Igualdade e Operaes

1.25

Operaes

1.26

1.5 - Vetor definido por dois pontos

1.27

1.5 - Vetor definido por dois pontos

1.28

1.6 - Produto Escalar

Definio

1.29

1.6 - Produto Escalar

Mdulo de um vetor

1.30

1.6 - Produto Escalar

Vetor unitrio

1)Observao

1.31

1.6 - Produto Escalar

2)

1.32

1.6 - Produto Escalar

Propriedades do Produto Escalar

II)

III)

IV)

I)

1.33

1.6 - Produto Escalar

ObservaoDas propriedades (I) - (IV) obtemos que:

De fato:

Mostre que, de forma anloga:

1)

1.34

1.7 - ngulo de dois vetores

1.35

1.7 - ngulo de dois vetores

Clculo do ngulo de dois Vetores

1.36

1.7 - ngulo de dois vetores

Clculo do ngulo de dois Vetores

1.37

1.7 - ngulo de dois vetores

Clculo do ngulo de dois Vetores

1

21 2

1.38

1.7 - ngulo de dois vetores

Clculo do ngulo de dois Vetores

1.39

1.7 - ngulo de dois vetores

1.40

1.7 - ngulo de dois vetores

1.41

1.8 - Paralelismo e Ortogonalidadede Dois Vetores

a)

3

3

1.42

1.8 - Paralelismo e Ortogonalidadede Dois Vetores

u

v

62

-3

-4

1.43

1.8 - Paralelismo e Ortogonalidadede Dois Vetores

b)

1.44

1.8 - Paralelismo e Ortogonalidadede Dois Vetores

1.45

1.9 - Vetores no

1.9 - Vetores no

1.46

Propriedades:1)

2)

1.9 - Vetores no

1.47

Propriedades:

3)

4)

5)

1.9 - Vetores no

1.48

Propriedades:

7)

a)

b)

6)

1.49

1.10 - Vetores no

1.10 - Vetores no

1.50

.b)

.c)

.d)

.e)

a)

1.51

Exerccios

Faa os seguintes exerccios da seo 3.1, pginas115/116 do livro texto.

(a), (c) e (e)1)(a) e (b)2)

3)(a), (b) e (c)5)(a), (b) e (c)7)

(a) e (c)12)

(a) e (d)10)

14)(a) e (b)19)(b) e (c)21)(a), (b) e (c)24)

Exerccios Tericos

T.1, T.3, T.5 e T.8.