Programação para EngenhariaProfº Carlos Eduardo

A Matemática Computacional e o Método Numérico

Material originalmente desenvolvido pelo prof. Flávio Bortolozzi

Matemática

Computacional

ConceitoConceito

Matemática ComputacionalMatemática Computacional A Matemática computacional é uma área da matemática e da

computação que, na prática, tenta solucionar problemas de todas as áreas das ciências exatas.

Também é chamada de computação científica.

Essa é uma área muito promissora, que ainda não foi completamente descoberta, e promete ter tantos graduados quanto a matemática. O objetivo dessa computação é solucionar problemas complexos de matemática com o auxílio da máquina.

ConceitoConceito

Matemática ComputacionalMatemática Computacional Antes de sairmos à busca de um procedimento para resolver um dado problema, é conveniente termos garantia de que o problema realmente tem solução algorítmica. Ademais, também precisamos ser capazes de medir a qualidade dos algoritmos: sua eficácia (exatidão) e eficiência.

(Alan Turing, c. 1945 )

DISCIPLINAS QUE COMPÕEM A DISCIPLINAS QUE COMPÕEM A

MATEMÁTICA MATEMÁTICA

COMPUTACIONALCOMPUTACIONAL1. Álgebra Linear Computacional .2. Algoritmos em Grafos e Algoritmos Numéricos.3. Análise de Sinais.4. Análise Multivariada.5. Combinatória Poliedral.6. Computabilidade e Complexidade sobre os Reais.7. Computação Biológica .8. Computação Científica.9. Computação Quântica .10. Criptografia .11. Econometria .12. Estruturas Combinatórias. 13. Inferência Bayesiana.

DISCIPLINAS QUE COMPÕEM A DISCIPLINAS QUE COMPÕEM A

MATEMÁTICA MATEMÁTICA

COMPUTACIONALCOMPUTACIONAL14. Inferência Estatística 15. Lógica Aplicada 16. Métodos de Computação Gráfica 17. Métodos de Otimização18. Probabilidade 19. Processamento de Sinais 20. Programação Linear 21. Séries Temporais 22. Teoria Assintótica 23. Teoria Computacional do Caos 24. Teoria da Regressão 25. Teoria dos Modelos e Complexidade Descritiva 26. Teoria Estatística de Formas

Sites Interessantes de Sites Interessantes de

Matemática Matemática

AMS - American Mathematical Society EMATH - Electronique MATHématique FRrançaise EMIS - The European Mathematical Information Service. ETHZ D-math - [Zurich] IMA - The Institute of Mathematics and its Applications IMO - International Mathematical Olympiad IMU - The International Mathematical Union MAA - The Mathematical Association of America MATH-NET - Links to the Mathematical World MATHWORLD - Eric Weisstein's World of Mathematics

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Matemática Matemática

MAX-PLANCK - Institut für Mathematik [Bonn] MSRI - Mathematical Sciences Research Institute OIM - Olimpíada Iberoamericana de Matemática OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática PENN STATE Math Dept. - Mathematics web sites around the

world SBEM - Sociedade Brasileira de Educação Matemática SBM - Sociedade Brasileira de Matemática SBMAC - Sociedade de Matemática Aplicada e Computacional SIAM - Society for Industrial and Applied Mathematics The WWW Virtual Library [CERN]

O que são os

métodos numéricos?

Cálculo NuméricoCálculo Numérico O Cálculo Numérico corresponde a um

conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada.

Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

Por que produzir

resultados numéricos?

1. Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema.

Exemplo: solução de sistemas de

equações lineares.

2. A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente).

Exemplos:

a) Integrais que não pode ser resolvido analiticamente.

c) Equações diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente só em casos particulares.

• Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para as formulações matemáticas.

• Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não é um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição.

• Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação, do erro, do desvio.

Função do Cálculo Numérico na Engenharia

“Buscar solucionar problemas técnicos através de Métodos

Numéricos

Modelo Matemático”

Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento

Limitação na representação numérica (24 bits)

Influência dos Erros nas Soluções

Falha no lançamento de mísseis(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil

Patriot)

Erro de trajetória 36,7 sapós o lançamento

Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits)

Prejuízo: U$ 7,5 bilhõeshttp://ta.twi.tudelft.nl/users/vuik/wi211/disasters.html

Influência dos Erros nas SoluçõesExplosão de foguetes

(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)

USO DO MATLABUSO DO MATLAB Matemática e Computação. Desenvolvimento de Algoritmos. Aquisição de Dados. Modelagem, Simulação e Prototipação. Análise, Exploração e Visualização de

Gráficos Científicos e de Engenharia. Desenvolvimento de Aplicativos, incluindo

desenvolvimento de interface gráfica.

Ferramentas de Ferramentas de SuporteSuporte

Verificar validade dos resultados obtidos Verificar validade dos resultados obtidos

Desenvolver Utilizar

Programas

Computador

Uso do método numérico

Ferramentas de Ferramentas de SuporteSuporte

Programas de Computação Numérica (software numérico)

Programa Individual.

Pacote.

Biblioteca.

Sistema de Software.

Ferramentas de Ferramentas de SuporteSuporte

Programa Individual

Composto de alguns módulos.

Função: executar uma computação específica.

Exemplo de aplicação: obter uma integral definida de uma função dada.

Ferramentas de Ferramentas de SuporteSuporte

Pacote (Toolbox)

Coleção de programas para solucionar problemas de uma área.

Exemplo de aplicação. Solução de sistemas de equações lineares. Redes Neurais. Visão Computacional.

Ferramentas de Ferramentas de SuporteSuporte

Biblioteca

Coleção sistematizada de programas para resolução de diversas classes de problemas de matemática.

Tipicamente contém algumas centenas de programas.

Ferramentas de Ferramentas de SuporteSuporte

Sistema de SoftwareConstituído de um pacote ou de um

conjunto de bibliotecas ou pacotes com uma interface de comunicação com o usuário.

Utiliza uma linguagem especial.

Exemplos: OCTAVE, MATLAB, MATHCAD, MAPLE, SPSS,

MATHEMATICA, etc.