aula 17 - ss2 - 2015-1.pptx
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GEE031 - CONTROLE DIGITAL DE PROCESSOS - CDP
Aula 02 (cap. 05 da apostila): A transformada Z
Prof. Aniel Silva de Morais2015/1
• A transformada Z é um método matemático muito poderoso quando se trabalha com sistemas de tempo discreto.
• Assim como a transformada de Laplace promove uma mudança de base que lineariza as respostas exponenciais no tempo ( ), a transformada Z promove também uma mudança de base que lineariza atrasos de transporte ( ), também conhecidos como tempo morto.
atese
A transformada Z
Sinais e tempo discreto: Se o sistema envolve um período de amostragem T. O sinal amostrado x(t) fica: 0 , , 2 , 3 , 4 ....x x T x T x T x T
[ ]x nT x n
A transformada Z
Definindo um trem de impulsos:
*
0 0
[ ] ( )Tn n
x t t x t x t nTn x tT nTn
0
Tn
t t nT
t nT
A transformada Z: Aplicando a transformada de Laplace a um sistema amostrado.
Definindo:
*
0
£ £n
x t x n t nT
1lnsT sz ze
T
*
0
1ln n
n
x z x s z x n zT
*
00
st
n
x s e x n t nT dt
0
*
0 0
st n
n n
Tse t nT dtx s x n x n e
*
0n
Tsnex s x n
0
( ) n
n
x z x n z
A transformada z é:
( ) [ ]x n x nT
A transformada Z unilateral
A transformada Z é uma série infinita em , cujo raio de absoluta convergência é . Ou seja, ela só converge para
.Relembrando que uma série geométrica é dada pela equação: para
O sistema somente será estável para
0
n
n
x z x n z
1 2
1 2
[0] [ ] [2 ] ... [ ] ...
0 1 2 ... ...
n
n
x z x x T z x T z x nT z
x z x x z x z x n z
1z
z
0, , 0x z para t
1z
1z
11
0 1n
k
aS a q
q
1q
A transformada Z de funções elementares:
Função degrau unitário:
Série geométrica (série infinita)
Unit-step sequence:
1,1
0,x t t
0
0
t
t
0 0
1 1 1n n
n n
x z t n z z
0 0
[ ] n n
n n
x z x nT z x n z
1 2 3
11
1 11 ...
11x z z z z
zz
1,1
0,n
0,1,2,3...
0
n
n
1
0
n
n
z
A transformada Z de funções elementares:
Função rampa unitária:
,
0,
tx t
0
0
t
t
0 0
n n
n n
x z t nT z T n z
1 2 3 1 1 22 3 ... 1 2 3 ...x z T z z z Tz z z
,x n nT 0,1,2,3..k
2 11
1 21
1
1 1
Tzx z Tz
z z
A transformada Z de funções elementares:
Função exponencial:
,
0,
atex t
0
0
t
t
1
0 0
nat anT n aT
n n
x z e e z e z
1
1
1 aTx z
e z
,anTx n e 0,1,2,3..n
0
1
1n
n
x z yy
Propriedades e teoremas importantes da transformada Z
1. Multiplicação por constante
2. Linearidade
3. Multiplicação por exponencial
4. Derivada da transformada
a x t b y t a x z b y z
a x t a x z
at aTe x t x e z
11
n
nnd z
n z n zdz
Propriedades e teoremas importantes da transformada Z
5. Deslocamento (Shifting): A cada atraso de T segundos (1 período de amostragem) basta multiplicar a função por .
6. Teorema do valor final
7. Teorema do valor inicial
1 11
1lim lim limlim 1k z zz
zy kT y z z y z G z
z
1z
0
1lim lim limlimk z z z
zy kT y z G z
zy z
A transformada Z inversa
Método 1: Séries de potência: Envolve dividir o numerador pelo denominador.
Coeficientes
2
21 2 3
31 4
48 8
z zY z
z zz z z
1 2 31 4 8 8z z z
2 3 4z z 2( 3 4)z z
0 1,
4,
2 8,
3 8,
y
y T
y T
y T
4 4z 1(4 12 16 )z z
18 16z
2z z
A transformada Z inversa
4 1 8 2 8 3y n n n n n ( ) [ ]n nT
A transformada Z inversa
Método 2: Frações parciais. Similar à transformada inversa de Laplace. Tabelas de transformadas Z. Coeficientes
1 2
zY z
z z
1
1 2 1 2
Y z A B
z z z zz
0 0
1,
2 3,
3 7,
y
y T
y T
y T
2 1 1A z B z
1 2
z zY z
z z
1 2ny n
A transformada Z inversa
Caso II: Raízes de múltiplas ordens
Apostila Pág. 93
1 1 1 1 1
r
N z N zY z
z p z p z p z p z p
31 2
2 31 1 1 1
rr
Y zz p z p z p z p
1
!i
nr
r n in
z p
X zdz p
k dz z
A transformada Z inversa
Método 3: Método da convolução integral (Convolution Integral Method). A transformada Z inversa pode ser obtida utilizando a integral inversa, definida por:
1 1
1
n n
z a z b
n
z c
Y kT z a Y z z z b Y z z
z c Y z z
1
1 1
. .
1. .
2n
n n
Para polos derY z z
y kT Y z z dz residuos deY z zj
A Tabelada:
A transformada Z