aula 27 funções vetoriais e curvas espaciais, continuidade, derivada e integral
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Aula 27
Funções Vetoriais e curvas Espaciais, Continuidade,
Derivada e Integral
Função Vetorial
Uma função vetorial, ou função de valor vetorial, é uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores.
t
( )r t
R
3R
Funções Componentes
( ), ( ) e ( )f t g t h tSe são os componentes do vetor , então são funções de valor real chamadas funções componentes de e escrevemos
( )r t
, e f g h
r
( ) ( ), ( ), ( )r t f t g t h t
ou
( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k
Exemplo 1
Se então as funções coordenadas são
3( ) , ln(3 ),r t t t t
3( )f t t ( ) ln(3 )g t t ( )h t t
Exemplo 1
Se então as funções coordenadas são
3( ) , ln(3 ),r t t t t
3( )f t t ( ) ln(3 )g t t ( )h t t
( ) [0,3)Dom r
Limite
O limite de uma função vetorial é definido tomando-se os limites de suas funções:
desde que os limites das funções componentes existam.
r
lim ( ) lim ( ), lim ( ), lim ( )t a t a t a t a
r t f t g t h t
Exemplo 2
Determine onde
Resp.
0lim ( )t
r t
3 sen( ) (1 ) t t
r t t i te j kt
0lim ( )t
r t i k
Continuidade
Uma função é contínua em se
ou seja, é contínua em se e somente se suas
funções componentes são contínuas em .
r
a
lim ( ) ( )t a
r t r a
a, , e f g h
a
r
Curvas
Suponha que f , g , e h sejam funções reais contínuas em um intervalo I.
Então o conjunto C de todos os pontos (x,y,z) no espaço para os quais
x = f(t) y = g(t) z = h(t)
e t varia no intervalo I é chamado curva espacial.
Equações ParamétricasParâmetro
Traço de uma curva
Exemplo 3
Descreva a curva definida pela função vetorial
( ) 1 ,2 5 , 1 6r t t t t
Solução
( ) 1 ,2 5 , 1 6r t t t t
1
2 5
1 6
x t
y t
z t
Equação de uma reta
Exemplo 4
Esboce a curva cuja função vetorial é dada por
( ) cos senr t t i t j t k
Usando Computador
(4 sen 20 )cos
(4 sen 20 )sen
cos 20
x t t
y t t
z t
Usando Computador
(2 cos1,5 )cos
(2 cos1,5 )sen
sen1,5
x t t
y t t
z t
Derivadas
A derivada de uma função é definida do mesmo modo como feito para as funções reais:
se o limite existir.
r r
0
( ) ( )( ) lim
h
dr r t h r tr t
dt h
Interpretação Geométrica
r
r
Reta tangente
r
reta tangente
0 0
0 0
0 0
x x tx
y y ty
z z tz
t
R
Exemplo 1
a) Determine a derivada de
b) Encontre o versor tangente no ponto
c) Encontre a equação da reta tangente no ponto
3( ) (1 ) i j sen 2 ktr t t te t
0t
0t
Solução
1
(c) 0
0
x
y
z
0tt2t
1
2
x
y t
z t
Exemplo 2
Determine as equações paramétricas da reta tangente à hélice de equação
2cos senx t y t z t
Solução
Derivada segunda
A derivada segunda de uma função é definida do mesmo modo como feito para as funções reais:
r
( ) ( )r t r t
Curva lisa
Uma curva dada por uma função vetorial em um intervalo é denominada lisa se for contínua e (exceto possivelmente nos extremos de ).
( )r t
I( )r t ( ) 0r t
I
Exemplo 3
Determine se a parábola semicúbica
é lisa.
3 2( ) (1 ) i jr t t t
cúspide
Lisa por Partes
Regras de derivação
Suponha e funções vetoriais diferenciáveis , um escalar e uma função real. Então
1. ( ) ( )d
u v u t v tdt
2. ( ) ( )d
cu t cu tdt
3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d
f t u t f t u t f t u tdt
u
v
c f
Regras de derivação
Suponha e funções vetoriais diferenciáveis , um escalar e uma função real. Então
4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d
u t v t u t v t u t v tdt
6. ( ( )) ( ) ( ( )) (Regra da Cadeia)d
u f t f t u f tdt
5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d
u t v t u t v t u t v tdt
u
v
c f
Exemplo 4
Mostre que, se (uma constante),então é ortogonal a para todo .
( )r t c
( )r t ( )r t
t
Integrais
A integral definida de uma função contínua pode ser estabelecida da mesma forma que para a função real, exceto que a integral resulta em um vetor.
( )r t
*
1
( ) lim ( )nb
ia ni
r t dt r t t
* * *
1 1 1
lim ( ) i ( ) j ( ) kn n n
i i ini i i
f t t g t t h t t
Integrais
A integral definida de uma função contínua pode ser estabelecida da mesma forma que para a função real, exceto que a integral resulta em um vetor.
( )r t
( ) ( ) i ( ) j ( ) kb b b b
a a a ar t dt f t dt g t dt h t dt
Exemplo 5
Calcule , onde
2
0( )r t dt
( ) 2cos i sen j 2 kr t t t t
Solução