aula 9 variáveis aleatória contínua - parte 2
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Outros modelos para variável
aleatória contínua
Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes
MAT013 Departamento de Matemática e
Computação UNIFEI
Aula 9
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Distribuição Gama
• O modelo gama é uma extensão do modelo
exponencial.
• A v.a. contínua X, assumindo valores positivos,
tem uma distribuição gama com parâmetros
>=1 e >0, se sua f.d.p. for dada por:
• Se =1 obtém-se a distribuição exponencial.
0,0
0,)(
1
),;(/1
x
xexxf
x
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E(X)= e Var(X) = 2
• Em que () é a função gama, importante em muitas
áreas da matemática, dada por:
Sendo n um inteiro positivo.
.)2/1(
,1)1(
,)!1()(
0,)(0
1
nn
dxxe x
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Função de densidade Gama
=1 =3 =2 =3
E(X)= 3 Var(X)=9 E(X)= 6 Var(X)=18
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Distribuição Qui-Quadrado
• Fazendo no modelo gama =/2 e =2, com
>0 inteiro, tem-se uma distribuição qui-
quadrado, com graus de liberdade e f.d.p.
dada por:
• E(X)= , Var(X)=2
0,0
0,2)2/(
1
);(2/12/
2/
x
xexxf
x
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• Grau de liberdade é, em estatística, o
número de determinações independentes
(dimensão da amostra) menos o número
de parâmetros estatísticos a serem
avaliados na população.
• Os graus de liberdade, , podem ser
qualquer número real maior que zero.
• Geralmente considera-se =n-1
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Função de densidade Qui-
quadrado
=1 =2
E(X)= 1 Var(X)=2 E(X)= 2 Var(X)=4
=3
E(X)= 3 Var(X)=6
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• A distribuição Qui-quadrado tem muitas aplicações em
Estatística, e como no caso da normal, existem tabelas
para obter probabilidades.
• Por exemplo, considere =10 graus de liberdade.
• P(X>2,56) = 0,99 e P(X>18,31) = 0,05
• Exemplo tabela.
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• Se >30 utilizar a distribuição Normal.
• Ou seja, se X tiver distribuição Qui-quadrado
com >30 graus de liberdade, então a v.a.
• Exemplo, consultando a tabela Qui-quadrado,
com =30 graus e liberdade tem-se
P(X>40,27)=0,10.
)1,0(~122 NXZ
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Usando a aproximação da normal tem-se:
P(Z>1,292)=0,5-0,4015 = 0,099 0,10.
)1,0(~122 NXZ
292,1130*2256,40*2 Z
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Distribuição t-Student
• A distribuição t-Student é importante no que se refere a inferências sobre médias populacionais, que veremos adiante.
• A distribuição t-Student é uma distribuição de probabilidade para dados contínuos, sua curva é simétrica, semelhante à curva normal padrão (N(0,1)).
• Difere da curva normal padrão pois tem apenas um parâmetro chamado de grau de liberdadeque alteram a forma da curva.
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Quanto menor o grau de liberdade, maior é a
área nas caudas da distribuição (probabilidade.)
Distribuição t-Student
= 1
= 3
= 5
N(0,1)
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A função densidade de probabilidade da distribuição t-
Student é dada por:
Sendo -<x<+,
são os graus de liberdade da distribuição e =n-1,
(.) represente a função gama
Função densidade de probabilidade t-Student
2
12
1
2
2
1
);(
x
xf
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Os principais momentos da distribuição são:
Essa distribuição é utilizada para dados contínuos,
simétricos, que a amostra é pequena, ou seja, n<30.
Função densidade de probabilidade t-Student
2para2
][Var
1para0][E
X
X
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Exemplo
• Para calcular as probabilidades, também utiliza-
se tabelas que fornecem a probabilidade de:
P(-xc<X<xc)=1-p,
para alguns valores de p e de .
• Se =6,
• P(-1,943<X<1,943)=0,90
• P(X>2,447)=0,025.
• Para n>120 utilizar a distribuição Normal.
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Distribuição F de Snedecor
• Uma v.a. W tem distribuição F de Snedecor, com 1 e 2
graus de liberdade, se possui a f.d.p. dada por:
• Para obter as probabilidades também utiliza-se uma
Tabela.
0,)/1()2/()2/(
)2/)((),,(
2/)(
21
2/)2(2/
2
1
21
2121
21
11
ww
wwf
)4()2(
)2(2)(,
2)(
2
2
21
21
2
2
2
2
WVarWE
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Função densidade F
1 =2; 2=2 1 =4; 2 = 2
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Exemplo
• Considere 1 = 5 e 2 = 7. Consultando a tabela
da distribuição F tem-se:
• P(W>3,97)=0,05
• P(W<3,97)=0,95
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• W~F(5,7)
• P(W>0,205)=0,95
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Outras distribuições contínuas
•Pareto
•Weibull
•Beta
•Log-Normal
•Meia-normal
•Cauchy
•Etc.