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Métodos Estatísticos BásicosAula 8 - Variáveis aleatórias
Regis A. Ely
Departamento de EconomiaUniversidade Federal de Pelotas
25 de agosto de 2020
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Conteúdo
DefiniçõesExemplos de variáveis aleatórias
Variáveis aleatórias discretasDistribuição de BernoulliDistribuição Binomial
Variáveis aleatórias contínuasDistribuição uniforme
Função de distribuição acumuladaDistribuição uniforme acumuladaPropriedades da função de distribuição acumulada
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Definições
• Variável aleatória: dado um experimento e um espaço amostralΩ, uma variável aleatória é uma função X , que associa umnúmero real X (ω) a cada elemento ω ∈ Ω• Há duas interpretações de variável aleatória:
1. Realizamos um experimento, que resulta em ω ∈ Ω, e a seguircalculamos o número X (ω)
2. O número X (ω) é pensado como o próprio resultado doexperimento, e a imagem de X (ω), denotada RX , torna-se oespaço amostral
Lembre da definição de uma função:• ∀ ω ∈ Ω,∃ y ∈ R tal que X (ω) = y• ∀ y , z ∈ R com X (ω) = y e X (ω) = z , temos y = z
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Exemplos de variáveis aleatórias
• Ex 1: No experimento de lançar duas moedas e observar osresultados, temos Ω = (H , H), (H , T ), (T , H), (T , T ). Podemosdefinir a variável aleatória X como sendo o número de carasobtidas, de modo que X (H , H) = 2, X (H , T ) = X (T , H) = 1 eX (T , T ) = 0. Note que ao aplicar a função X alteramos aobservação do experimento• Ex 2: Considere o experimento de lançar 3 moedas e observar a
descrição detalhada de como e onde as moedas pousaram.Poderíamos avaliar:• X (ω) = nº de caras que aparecem• Y (ω) = distância máxima entre 2 moedas quaisquer• Z (ω) = distância mínima entre as moedas e a borda da mesa
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Exemplos de variáveis aleatórias
• Podemos incluir a avaliação de X (ω) na descrição do nossoexperimento, de modo que RX = {0, 1, 2} (ex. 1) é o nosso novoespaço amostral• Podemos também relacionar certos eventos A ⊆ Ω a eventos de
RX . Seja B ⊆ RX , podemos definir A comoA = {ω ∈ Ω|X (ω) ∈ B}. Dizemos então que A e B sãoequivalentes
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Variáveis aleatórias discretas
• Uma variável aleatória discreta possui o conjunto imagem X (Ω)finito ou infinito enumerável• A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é
uma função que associa para cada resultado x1, x2, ... ∈ X , umnúmero p(xi) = P(X = xi), tal que:1. p(xi ) ≥ 0 para todo i2. ∑∞i=1 p(xi ) = 1
• Chamamos p de probabilidade, e a coleção de pares [xi , p(xi)]para i = 1, 2, ... de distribuição de probabilidade de X
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Variáveis aleatórias discretas
• Seja B ⊆ X (Ω) tal que B = {xi1, xi2, ...}, então P(B) =P[ω|X (ω) ∈ B] = P[ω|X (ω) = xij , j = 1, 2, ...] =
∑∞j=1 p(xij)
• Ou seja, a probabilidade de um evento B é igual a soma dasprobabilidades dos resultados individuais associados a B
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Distribuição de Bernoulli
• Considere um evento A associado a um experimento e definaP(A) = p e P(Ā) = 1− p. Agora considere a seguinte variávelaleatória: X = 0, se ω /∈ A (fracasso), ou X = 1, se ω ∈ A(sucesso)• Qual a função de probabilidade desta variável aleatória?• Distribuição de Bernoulli: P(X = k) = pk(1− p)1−k para
k ∈ 0, 1
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Distribuição Binomial
• Considere n repetições independentes do experimento de Bernoulli,sendo que P(A) permanece a mesma para todas as repetições• O espaço amostral deste novo experimento será formado por
todas as sequências possíveis {a1, a2, ..., an}, onde cada aipertence a A ou Ā• A variável aleatória X = nº de elementos favoráveis à A (número
de sucessos), terá valores possíveis que vão de 0 até n. Já onúmero total de formas de se obter k sucessos em n repetições doexperimento é
(nk
). Assim, a distribuição de X será:
• Distribuição binomial: P(X = k) =(
nk
)pk(1− p)n−k para
k = 0, 1, ..., n
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Exemplo de distribuição binomial
Qual a probabilidade de obtermos menos de 3 caras em 5 lançamentosde uma moeda justa?
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X < 3) =(
50
)(1/2)0(1/2)5 +
(51
)(1/2)1(1/2)4 +
(52
)(1/2)2(1/2)3
P(X < 3) = 1/32 + 5(1/32) + 10(1/32) = 1/2
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Exemplo no R
No R podemos calcular a probabilidade acima com a função dbinom:
dbinom(2, size=5, prob=0.5) +dbinom(1, size=5, prob=0.5) +dbinom(0, size=5, prob=0.5)
[1] 0.5
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Variáveis aleatórias contínuas
• Variável aleatória contínua: quando a imagem da variávelaleatória X gera um conjunto infinito não-enumerável de valores• Neste caso substituímos a probabilidade p, definida somente para
x1, x2, ..., por uma função f , definida para todos os valores de x• Função densidade de probabilidade: X é uma variável
aleatória contínua se existir uma função f , denominada funçãodensidade de probabilidade (fdp) de X , que satisfaça:1. f (x) ≥ 0 para todo x2.∫+∞−∞ f (x)dx = 1
3. Para quaisquer a, b com −∞ < a < b
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Distribuição uniforme
• Distribuição uniforme: variável aleatória contínua X comvalores no intervalo [a, b], sendo a e b finitos• Se X for uniformemente distribuída, então terá fdp dada por:
f (x) =
1b−a se a ≤ x ≤ b0 caso contrário
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Exemplo de distribuição uniforme
• Ex: Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta [0, 2].Qual a probabilidade de que o ponto esteja entre 1 e 3/2?
f (x) = 12 para 0 < x < 2. Logo,P(1 ≤ x ≤ 3/2) = ∫ 3/21 12 = 12 .32 − 12 .1 Assim, P(1 ≤ x ≤ 3/2) = 14
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Exemplo no R
Podemos calcular o exemplo anterior no R utilizando a função punif:
punif(3/2, min=0, max=2)-punif(1, min=0, max=2)
[1] 0.25
Este código calcula P(X ≤ 3/2)− P(X ≤ 1) utilizando a chamadafunção de distribuição acumulada da distribuição uniforme
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Função de distribuição acumulada
• A Função de Distribuição Acumulada (fd) de uma variávelaleatória discreta ou contínua X é definida comoF (x) = P(X ≤ x)1. Se X for uma variável aleatória discreta, F (x) = ∑j p(xj) para
todo j tal que xj ≤ x2. Se X for uma variável aleatória contínua com fdp f ,
F (x) =∫ x−∞ f (s)ds
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Exemplo de distribuição acumulada
Ex: Seja X uma variável aleatória contínua com fdp f (x) = 2x para0 < x < 1 e igual a zero para quaisquer outros valores valores de x .Nesse caso, a função de distribuição acumulada será dada por:
F (x) =
0 se x ≤ 0∫ x
0 2sds = x2 se 0 < x ≤ 11 se x > 1
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Distribuição uniforme acumulada
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória contínuauniformemente distribuída será:
F (x) =
0 se x < ax−ab−a se a ≤ x < b1 se x > b
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Exemplo no R
Podemos calcular a probabilidade de obtermos menos de 3 caras em 5lançamentos de uma moeda justa através da função de distribuiçãobinomial acumulada utilizando a função pbinom no R:
pbinom(2, size=5, prob=0.5)
[1] 0.5
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Propriedades da função de distribuição acumulada
• A função F é não-decrescente, ou seja, se x1 ≤ x2, teremosF (x1) ≤ F (x2)• lim
x→−∞F (x) = 0 e lim
x→∞F (x) = 1
• f (x) = dF (x)dx para todo X no qual F é derivável• Se X é variável aleatória discreta com valores x1, x2, ... tais que
x1 < x2 < ...; então p(xi) = p(X = xi) = F (xi)− F (xi−1)
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Exemplo de propriedades da distribuição acumulada
Suponha que uma variável aleatória contínua tenha fd dada por:
F (x) =0 se x ≤ 01− e−x se x > 0
Nesse caso, F ′(x) = e−x para x > 0, e a fdp será f (x) = e−x parax > 0, e zero para quaisquer outros valores
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DefiniçõesExemplos de variáveis aleatórias
Variáveis aleatórias discretasDistribuição de BernoulliDistribuição Binomial
Variáveis aleatórias contínuasDistribuição uniforme
Função de distribuição acumuladaDistribuição uniforme acumuladaPropriedades da função de distribuição acumulada