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NR-10
Aula
03/04/2012
Prof.: Ivo Chaves da Silva Junior
CEL033
Circuitos Lineares I
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NR-10
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes vinculadas (geradores dependentes)
Fontes Vinculadas:
Análise Nodal
Fontes de Corrente
Fontes de Tensão
Controladas Corrente ou
Tensão
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NR-10
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes vinculadas (geradores dependentes)
Circuitos contendo Fontes Vinculadas
Análise Nodal Modificada
Na análise nodal modificada algumas correntes , denominadas de essenciais, devem fazer parte da análise. São estas:
Análise Nodal
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NR-10
Correntes que passam através de FONTES VINCULADAS DE TENSÃO;
Correntes que controlam FONTES VINCULADAS (Tensão ou Corrente).
Correntes Essenciais:
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes vinculadas (geradores dependentes)
Análise Nodal
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NR-10
A B
C
Caso 3
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por tensão - FTCT
Análise Nodal
Corrente Essencial: 3i tensãode ganho
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NR-10
Caso 3
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por tensão -FTCT
EQUAÇÃO NÓ A
EQUAÇÃO NÓ B
EQUAÇÃO NÓ C
IvvGvvG CABA )()( 51
0)( 321 ivGvvG BAB
0)( 354 ivvGvG ACC
Variáveis: 3ivvv CBA
Equações: 3
Sistema Indeterminado ( Precisa-se de uma equação adicional)
)( BACB vvvv
EQUAÇÃO ADICIONAL
Análise Nodal
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NR-10
EQUAÇÃO NÓ A
EQUAÇÃO NÓ B
EQUAÇÃO NÓ C
IvvGvvG CABA )()( 51
0)( 321 ivGvvG BAB
0)( 354 ivvGvG ACC
0)( BACB vvvv EQUAÇÃO ADICIONAL
Caso 3
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por tensão -FTCT
Análise Nodal
Variáveis:
Equações: 4
3ivvv CBA
Sistema Possível e Determinado
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NR-10
0
0
0
011
10
10
0
3
545
211
5151 I
i
v
v
v
GGG
GGG
GGGG
C
B
A
Caso 3
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por tensão -FTCT
Forma matricial do sistemas de equações lineares
Análise Nodal
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NR-10
1º) Determine, na forma matricial, o sistema de equações do circuito abaixo.
Análise Nodal
EXERCÍCIO
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NR-10
Caso 4
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por corrente - FTCC
Análise Nodal
Corrente Essencial: 31 ieitênciatransresisr
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NR-10
Caso 4
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por corrente -FTCC
EQUAÇÃO NÓ 1
EQUAÇÃO NÓ 2
EQUAÇÃO NÓ 3
IvvGi )( 3151
01322 iivG
0)( 313534 ivvGvG
Variáveis: 31 iivvv CBA
Equações: 3
Sistema Indeterminado ( Precisa-se de duas equações adicionais)
132 rivv
EQUAÇÕES ADICIONAIS
1121 iRvv
Análise Nodal
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NR-10
EQUAÇÃO NÓ 1
EQUAÇÃO NÓ 2
EQUAÇÃO NÓ 3
EQUAÇÃO ADICIONAL
Caso 4
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por tensão -FTCT
IvvGi )( 3151
01322 iivG
0)( 313534 ivvGvG
0132 rivv
EQUAÇÃO ADICIONAL
01121 iRvv
Análise Nodal
Variáveis:
Equações: 5
31 iivvv CBA
Sistema Possível e Determinado
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NR-10
Caso 4
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por tensão -FTCT
0
0
0
0
0011
0110
100
1100
010
1
3
3
2
1
1
545
2
55 I
i
i
v
v
v
R
r
GGG
G
GG
Forma matricial do sistemas de equações lineares
Análise Nodal
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NR-10
2º) Determine, na forma matricial, o sistema de equações do circuito abaixo.
Análise Nodal
EXERCÍCIO
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NR-10
EQUAÇÃO NÓ 1
sivGi 112
EQUAÇÃO NÓ 2
0)( 2432423 iivvGvG
EQUAÇÃO NÓ 3
0)( 234354 vvGvGi
Análise Nodal
Corrente Essencial: 42 iei
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NR-10
EQUAÇÕES ADICIONAIS
232 irvv m
Variáveis: 24321 iivvv
Equações: 3
Sistema Indeterminado ( Precisa-se de duas equações adicionais)
sivGi 112
0)( 2432423 iivvGvG
0)( 234354 vvGvGi
2212 )( ivvG
Análise Nodal
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NR-10
232 irvv m
sivGi 112
0)( 2432423 iivvGvG
0)( 234354 vvGvGi
2212 )( ivvG
Análise Nodal
EQUAÇÕES ADICIONAIS
5
5
EQUAÇÕES
VARIÁVEIS
42321 ,,, ieivvv
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NR-10
EQUAÇÃO ADICIONAL (EA1):
)( 21232 vvGrvv m
)( 2122 vvGi
0)()1( 21322 GrvvGrv mm
232 irvv mSubstituindo i2 da equação EA1 em, , tem-se:
ou ainda:
Análise Nodal
SivGvvG 11212 )(
Substituindo i2 da equação EA1 em, , (equação do nó 1), tem-se:
sivGi 112
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NR-10
11212 )( vGvvGiS
0)()( 432423122 ivvGvGvvG
0)( 234354 vvGvGi
0)()1( 21322 GrvvGrv mm
Colocando o sistema de equações apresentado na forma matricial, tem-se:
Análise Nodal
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NR-10
0
0
0.
011
10
1
00
4
3
2
1
22
544
44322
221 s
mm
i
i
v
v
v
GrGr
GGG
GGGGG
GGG
Matriz de condutâncias original (G)
Equação Adicional ( nova linha e coluna na matriz A )
Vetor com as variáveis do problema
Vetor de correntes nodais (fontes independentes)
Forma Matricial ( sistema do tipo A.x=B):
Análise Nodal
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NR-10
Análise Nodal
EXERCÍCIO
3º) Determine através da análise nodal, a forma matricial do conjunto de equações lineares para o circuito elétrico abaixo.
06i
24 3
32
V60+
-
0i1v
2v 3v
????)(4
sentidoi
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NR-10
Análise Nodal
06i
24 3
32
V60+
-
0i1v
2v 3v
EQUAÇÃO NÓ 2
03
40
3 iiv
0242
600
22
ivv
EQUAÇÃO NÓ 3
EQUAÇÃO ADIC.1
03023 ivv
EQUAÇÃO ADIC.2
066003 iv
4i
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NR-10
Análise Nodal
06i
24 3
32
V60 +
-
0i1v
2v 3v
EQUAÇÃO NÓ 3 03
40
3 iiv4
i
Matriz A
Vetor B
BAX .1
V2 V3 io i4
Solução
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NR-10
Análise Nodal
06i
24 3
32
V60 +
-
0i1v
2v 3v
EQUAÇÃO NÓ 3 03
40
3 iiv4
i
Matriz A
Vetor B
BAX .1
V2 V3 io i4
Solução
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NR-10
Análise Nodal
06i
24 3
32
V60 +
-
0i1v
2v 3v
4i
Ai 84
06i
24 3
32
V60 +
-
0i1v
2v 3v
4i
Ai 84
SENTIDO ADOTADO NÃO INTERFERE
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NR-10
4º ) Calcule a tensão sobre o resistor de 4Ω
Resp: 32 v
i
v30
4
8
v
+
-
v24
vi5
3 6
EXERCÍCIO (sala)
Correntes Essenciais ?
v1 v2
v3
T
1i
Fi
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NR-10
Forma matricial do sistema de equações
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NR-10
Solução do sistema de equações:
1v
2v
3vi
1i
Fi