aula de teoria das placas
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ANÁLISE DE ESTRUTURAS I
PROF. EVANDRO PARENTE JUNIOR (UFC)
PROF. ANTÔNIO MACÁRIO CARTAXO DE MELO (UFC)
Flexão de Placas
Universidade Federal do CearáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil
Teoria Clássica das Placas
Hipóteses básicas:O material é homogêneo, isotrópico e elástico linear;
Os deslocamentos são pequenos, comparados com a espessura h;
A placa é fina
As tensões normais que atuam perpendicularmente à superfície média podem ser desprezadas.(*)
Um segmento de reta normal à superfície média indeformada se conserva normal à superfície média após a deformação, permanecendo reto e com o mesmo comprimento.(*)
(*): Conhecidas como hipóteses de Kirchhoff ou, às vezes, de Kirchhoff-Love, por Love tê-las estendidas às cascas:
Correspondem às hipóteses de Navier-Bernoulli para vigas.
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Cargas externas
Placa sujeita a um carregamento q(x,y)
Teoria Clássica das Placas
Campo de deslocamentos:
xwzzyxu∂∂
−=),,(
ywzzyxv∂∂
−=),,(
),(),,( yxwzyxw =
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Teoria Clássica das Placas
Relações deformação-deslocamento:
Ou
xx zκε −=
yy zκε −=
xyxy zκγ 2−=
2
2
xwzx ∂
∂−=ε
yxwzxy ∂∂
∂−=
2
2γ
2
2
ywzy ∂
∂−=ε
Equações Constitutivas
O material é homogêneo, isotrópico e elástico linear.
O estado de tensões em cada lâmina da placa é plano.
Deformações não nulas:
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Equações Constitutivas
Invertendo e usando as relações deformação-deslocamento:
( )zEyxx υκκ
υσ +
−−= 21
zExyxy κ
υτ
+−=
1
( ) (*)1 2 zE
xyy υκκυ
σ +−
−=
Tensões atuantes
Elemento da placa de dimensões dx, dy e h
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Esforços internos
Resultantes das tensões (esforços por metro)Integração ao longo da espessura (h):
∫−
=
2
2
h
h
yx
xy
y
x
yx
xy
y
x
dzz
MMMM
ττσσ
∫−
=
2
2
h
h yz
xz
y
x dzzQQ
ττ
Substituindo nas expressões dos esforços resultantes e integrando em z:
(**)
Relações momento-curvatura
Rigidez à flexão das placas
( )
( )
( ) xyxyxy
xyy
yxx
DMM
DM
DM
κυ
υκκ
υκκ
−−==
+−=
+−=
1
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Teoria Clássica das Placas
Tensões ao longo da espessuraUtilizando as equações (*) e (**) obtém-se:
zhM x
x 3
12=σ
zhM xy
xy 3
12=τ
zhM y
y 3
12=σ
Momentos
Curvaturas:
Teoria Clássica das Placas
2
2
xw
x ∂∂
=κ 2
2
yw
y ∂∂
=κyx
wxy ∂∂
∂=
2
κ
( )( )
( ) xyxyxy
xyy
yxx
DMMDMDM
κυ
υκκ
υκκ
−−==
+−=
+−=
1
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Esforços na superfície média
Momentos fletores (Mx e My), torsores (Mxy) e Forças cortantes (Qx e Qy)
Teoria Clássica das Placas
Equações de equilíbrio:
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Teoria Clássica das Placas
Eliminando Qx e Qy das equações de equilíbrio:
Escrevendo os momentos em função das curvaturas:
Dq
yyxxyxyx =
∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
2
22
2
2
2κκκ
Teoria Clássica das Placas
Escrevendo as curvaturas em função dos deslocamentos obtém-se a Equação de Lagrange (1811):
É o operador biarmônico
Dqw =∇4ou
onde
Dq
yw
yxw
xw
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
4
4
22
4
4
4
2
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Teoria Clássica das Placas
Solução analítica (Eq. Dif. Parcial de 4ª ordem)Caso geral (geometria, carregamento e condições de contorno):
Solução difícil.
Em muitos casos impossível achar uma solução exata.
Geometrias e condições de contorno simples:Placas circulares (soluções fechadas).
Placas retangulares (soluções por séries):
Solução de Navier.
Solução de Levy.
Teoria Clássica das Placas
Soluções aproximadasMétodos semi-analíticos:
Rayleigh-Ritz.
Galerkin.
Métodos numéricos:Método das Diferenças Finitas.
Método dos Elementos Finitos.
Método dos Elementos de Contorno.
Métodos sem malha (meshless).
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Condições de contorno
Bordo simplesmente apoiado:w = 0Mp = 0 (Mp é o momento na direção ⊥ ao bordo)
Bordo engastado:w = 0θb = 0 (θb é a rotação em torno do bordo)
Bordo livre:Mp = 0Vp = 0 (Vp é o cortante efetivo na direção ⊥ ao bordo)
Esforço Cortante Efetivo
Momento de torção (Mxy) em um elemento da borda x = a de comprimento dy:
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Esforço Cortante Efetivo
Substituição por duas forças verticais de módulo Mxy
separadas de dy:
Esforço Cortante Efetivo
O momento de torção não se altera. Há apenas uma mudança localizada na distribuição de tensões numa região muito próxima da borda da placa (Princípio de Saint-Venant).
Nos elementos dy da borda x = a, a distribuição de Mxy é estaticamente equivalente a um esforço cortante distribuído e a forças concentradas nos cantos.
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Esforço Cortante Efetivo
Esforço Cortante Efetivo
Esforço cortante efetivo na borda x = a é definido como:
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Exemplo 1
Placa retangular simplesmente apoiada e sujeita a uma carga senoidal:
Com q0 = intensidade do carregamento no centro da placa
Exemplo 1
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Exemplo 1
Substituindo a Eq. (1) na equação de Lagrange:
Condições de contorno (flechas e momentos nulos nos bordos):
Em x = 0 e x = a: Em y = 0 e y = b:
Exemplo 1
Solução candidata:
Família de soluções que satisfazem as condições de contorno (Eq. 3) e (Eq. 4).
Constante C: Selecionada tal que a equação diferencial (Eq. 2) seja satisfeita.
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Exemplo 1
MetodologiaAvaliar as derivadas de w (Eq. 5) necessárias e substituir na Eq. (2).
Obter C igualando os dois lados da equação para qualquer x e y.
Solução final:
Exemplo 1
Momentos
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Exemplo 1
Cortantes
Exemplo 1
Reações de apoio (cortante efetivo)Para x = a
Para y = b
Onde:
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Exemplo 1
Forças concentradas nos cantos:Em x = a e y = b:
Obs: R < 0 – Sentido para baixo.
Exemplo 1
Demais cantos: da simetria, têm a mesma força com o mesmo sentido.
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Exemplo 1
ObservaçõesO equilíbrio entre a carga aplicada q e as reações;O aparecimento de R decorre da hipótese simplificadora de Kirchhoff(cortante efetivo);Teoria mais refinada, incluindo a deformação de cisalhamento transversal:
As reações concentradas desaparecem;Próximo aos cantos as reações continuam distribuídas, apontando para baixo, com efeito equivalente ao de R.
Reações para baixo nos cantosPlacas apoiadas nas bordas, mas não presas nelas, tendem a levantar nos cantos, R impede este levantamentoSe os cantos não forem devidamente presos, os momentos fletores na região central aumentarão.
Exemplo 2
Placa retangular simplesmente apoiada e sujeita a carga:
m e n: inteiros positivos (número de meias-ondas).
De forma análoga ao Exemplo 1:
Esforços e reações obtidas da mesma forma.
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Solução de Navier
Equação diferencial linear – superposição de soluções do tipo (*)
Representando o carregamento como uma série de Fourier:
Dq
yw
yxw
xw
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
4
4
22
4
4
4
2
Solução de Navier
A solução para o carregamento transversal será
onde os coeficientes qmn são dados por:
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Exemplo 3
Placa retangular simplesmente apoiada submetida a carga uniformemente distribuída q0 .
Exemplo 3
Expansão do carregamento em série de Fourier
onde
m,n = 1, 3, 5, 7...
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Exemplo 3
Deslocamentos transversais:
Momentos
Exemplo 3
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Exemplo 3
Placa quadrada (a = b):w, Mx, My máximos – centro (x = y = a/2)
Exemplo 3
Resultados para v = 0.3
Termos wmax/(q0a4/D) Mmax/(q0a2)1 (m = n = 1) 0,00416 (2,5%) 0,0534 (11,5%)4 (m,n = 1,3) 0,00406 (0,0%) 0,0469 (-2,1%)Valor exato 0,00406 0,0479