Ausgewählte Kapitel der Physik

MechanikDas Gesetz von Hooke

Mechanik

• WerkstoffprüfungDie Kraft auf einen Körper kann neben einer Beschleunigung zu einer Deformation führen. Der Widerstand gegen eine Deformation bzw. Formänderung hängt von vielen Parametern ab:

–Vom Werkstoff,–dessen Vorbehandlung und Form–Kraftverlauf (örtlich und zeitlich)

Das Hookesche Gesetz formuliert den Zusammenhang zwischen Kraft und Formänderung im linear-elastischen Bereich.Aus der Hookeschen Gerade F = k * x lässt sich der E-Modul als Werkstoffkenngröße bestimmen. In allgemeiner Formulierung geht man von der Kraft zur mechanischen Spannung Sigma =F/So

über und bezieht die Längenänderung auf eine bestimmte Anfangs-Messlänge : L / Lo =

In der Messtechnik wird meist die Deformation erfasst und daraus die Kraft bestimmt.

• Gesetz von Hooke

Typisches Spannungs- Dehnungs-Diagramm einer Stahlprobe.Die Formel = E * gilt für den ersten linearen Bereich, dort ist die Steigung E=konstant. Der anschließende plastische Verformungsbereich und die weitere Festigkeitszunahme bis zum Bruch benötigt komplexere Formulierungen.

Mechanik

• WerkstoffprüfungUniversal- Zugprüfmaschinen. Rechts steht ein hydraulisch angetriebenes Modell aus den Zwischenkriegsjahren und ist mitunter noch im Einsatz.Dieses Modell arbeitet mit kontinuierlichem Druckaufbau (kraftgesteuert). Die Datenerfassung erfolgt durch Ablesen des Zeigers und manueller Weiterverarbeitung.

Neuere Zugprüfmaschinen arbeiten weggesteuert mit gleichmäßiger Dehnung. Die Krafteinleitung erfolgt bei diesen Maschinen über einen Spindeltrieb. Außerdem besitzen Sie elektronische Weg- und Druckaufnehmer deren Daten online weiter verarbeitet werden können.Neuere Weggeber und Dickenmesser arbeiten berührungslos mit einem Laserscanner .

Mechanik• Werkstoffprüfung• Universal-Zug-Druck-Biege-Prüfmaschine mit

Spindelantrieb (weggesteuert)

• A… Querhaupt• B…Kraftaufnehmer• C…Oberer Prüfraum• D…Kugelumlaufspindel• E…Traverse• F…Kraftaufnehmer• G…Unterer Prüfraum• H…Säule• I…Arbeitsplatte• K…Sockel• L…Untersetzungsgetriebe• M…Tachogenerator• N…Scheibenläufermotor• O…Biegevorrichtung• P…Keilspannzeug

Mechanik

• WerkstoffprüfungDie Probenformen und das Prüfverfahren sind

weitgehend genormt.Vor der Prüfung werden auf der Probe Markierungen

angebracht, deren Abstand nach dem Reißen der Probe wieder ausgemessen wird.

So wird die Bruchdehnung ermittelt.

Wird noch vor dem Reißen der Probe wieder entlastet,so beobachtet man eine plastische bleibende

Verformung. Wenn bei einer Belastung 0,2% plastische Verformung

auftritt, dann wird dieser Spannungswert als Rp0,2 registriert. Der maximale Spannungswert heißt Rm.

Der elastische Teil der Verformung bildet sich wieder zurück.

Mechanik

• Federwaage

Die Federwaage beruht auf dem Hookeschen Gesetz, denn die Dehnung der Feder bleibt im elastischen, linearen Bereich.

Kraft F und Verlängerung x hängen linear zusammen gemäß:

F = D . x

Die Proportionalitätsfaktor D heißt Federkonstante und charakterisiert die vorliegende Feder. Je kleiner D ist, desto weicher und empfindlicher ist die Feder.

z. B.: D=1kN/cm wie weit würde sich die Feder bei mir (85kg) ausziehen lassen?

Mechanik

• Dehnmessstreifen

Linearitätsfehler < 0,005% für Druck- und Zugkräfte geeignet für Vollbrücken ≥120Ω geeignet einstellbare Übertragungsfrequenz 15Hz; 1,3kHz; 3,5kHz einstellbarer Ausgang 0…±10V, 0..±20mA, 4…20mA Nullpunkt und Verstärkung einstellbar , grob / fein Versorgung 24VDC Schutzklasse IP65 Schraubmontage geeignet

Trägerfrequenz-Verstärker für DMS

Mechanik

• FederpendelEin Zustand wird herausgegriffen: Die Masse M bewegt sich nach unten mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Wegen der Massenträgheit möchte sich die Masse weiterbewegen, allerdings nimmt mit zunehmender Dehnung die Rückzugskraft der Feder zu.Daraus resultiert eine verzögerte Bewegung

F = m.a = -D*xx ist dabei der Abstand zur Ruhe-Lage der Masse.Ohne Berücksichtigung einer Reibung ergibt dies die Differentialgleichung: d²x/dt² + D/m *x = 0Eine Lösung ist x(t) = A.sin(t)eingesetzt in die DGL: -A.² sin (.t) + D/m .A.sin(.t) =0Dies stimmt, wenn ² = D/mWegen :=2.f = 2/T folgt T² = (4²/D) .m

Werden nun verschiedene Massen m an die Feder angehängt und die jeweiligen Schwingungsdauern gemessen. Die Messwerte müssten auf einer Geraden liegen, wenn auf der Ordinate T² und auf der Abszisse m aufgetragen wird. Aus der Steigung der Geraden (=4²/D) kann die Federkonstante ermittelt werden. Die massebehaftete Feder trägt sie mit einer effektiven Masse von 1/3 der Federmasse zur Bewegungsgleichung bei. Die Gerade ist daher um diesen Betrag nach links verschoben. (Laborübung)

Mechanik

• DrehpendelBei feststehender Schubstange lautet die DGL derBewegung:Winkelbescheunigung = Bremsmoment + Federmoment

JA C °D

Wenn auch noch ein periodisches AnregungsmomentMa=Mo*cos(*t) dazukommt, ergibt sich folgende

Gleichung

JA 2t

d

d

2 C

td

d °D Mo cos a t

durch das Trägheitsmoment dividiert, ergibt dies:

2t

d

d

22

td

d o

2 Fo cos a t

dabei wurden die Ausdrücke:

C/2JA , °D/JA=2 und Fo=Mo/JA eingeführt.

heißt Abklingkonstante,

o ist die Eigenfrequenz des ungedämpften

Systemsdie Lösung lautet daher

t( ) a cos a t

a

Fo

o2

1

1a

o

2

2

2

o

a

o

2

arctan2 a

o2

a2

Mechanik

• Drehpendel

Wenn man das für alle Frequenzen macht, hier von =1/100s bis 100/s und die Amplitude über derFrequenz einträgt, so gibt dies nebenstehendesDiagramm:

Angenommen man hätte die Abklingkonstante und die Eigenfrequenz o aus

aus dem Abklingen einer einmaligen Anregung ermittelt

0.5s1 o 2 s

1 <----o

1

lnAk 1

Ak

2

und die mit a periodische Momenteinleitung wäre

a 1 s1 Fo 1

N m

kg m2

a

Fo

o2

1

1a

o

2

2

2

o

a

o

2

atan2 a

o2

a2

t( ) a cos a t F t( ) Fo cos a t t 0 0.01s 20s

0 5 10 15 201

0

1

t( )

F t( )

t

s

H a Fo

1 2 j Da

o

a

o

2

Betrag_H a Fo

1a

o

2

2

2 Da

o

2

Phase_H a atan2 a

o2

a2

Mechanik

• Drehpendel

Wenn man das für alle Frequenzen macht, hier von =1/100s bis 100/s und die Amplitude über derFrequenz einträgt, so gibt dies nebenstehendesDiagramm:

H a Fo

1 2 j Da

o

a

o

2

Betrag_H a Fo

1a

o

2

2

2 Da

o

2

Phase_H a atan2 a

o2

a2

a1 10

2s

1.1 102

s

102

s

0.01 0.1 1 10 100180

160

140

120

100

80

60

40

20

0

20

20 log H a

arg H a Grad

a