MATEMATIKA

VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA JE 150 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba digitrona nije dozvoljena. Pažljivo pročitajte uputstvo. Ne okredite stranice i ne rješavajte zadatke dok to ne dozvoli dežurni nastavnik. Test sadrži 20 zadataka. Tokom rada možete koristiti formule koje su date na stranama 4 i 5. Uz test je dat i list za odgovore za zadatke višestrukog izbora. Potrebno je da na odgovarajude mjesto pažljivo prepišete svoje odgovore za prvih 8 zadataka. Očekuje se da je kod zadataka otvorenog tipa detaljno napisan postupak rješavanja, da je krajnji rezultat sveden (npr. izvršeno je skradivanje razlomaka, sabiranje članova iste vrste) i da je napisana odgovarajuda jedinica mjere (kod zadataka iz stereometrije). Zadatak de se vrednovati sa 0 bodova ako je:

netačan zaokruženo više ponuđenih odgovora nečitko i nejasno napisan rješenje napisano grafitnom olovkom

Grafike i geometrijske slike možete crtati grafitnom olovkom. Ukoliko pogriješite, prekrižite i rješavajte ponovo. Ako ste zadatak riješili na više načina, nedvosmisleno označite koje rješenje ocjenjivač boduje. Kad završite sa rješavanjem, provjerite svoje odgovore. Želimo vam puno uspjeha!

AVGUST 2015.

PRAZNA STRANA

4

,,12 biazi Rbabiaz ,,

,33)( 32233 babbaaba ))(( 2233 babababa

n

m

n m aa

Vietova pravila: a

cxx

a

bxx 2121 ,

Tjeme parabole: )4

4,

2(

2

a

bac

a

bT

a

bb

c

ca

log

loglog , b

kb aak log

1log

Skalarna projekcija vektora na osu cos aaprx

Skalarni proizvod vektora preko koordinata 21212121 zzyyxxaa

Vektorski proizvod vektora preko koordinata

kxyyxjzxxziyzzyaa

)()()( 21212121212121

cossin22sin , 22 sincos2cos cossincossin)sin( ,

sinsincoscos)cos(

tgtg

tgtgtg

1)(

2

cos2

sin2sinsin

, 2

sin2

cos2sinsin

2

cos2

cos2coscos

, 2

sin2

sin2coscos

Sinusna teorema: Rcba

2sinsinsin

Kosinusna teorema : cos2222 bccba

Trougao: 2

aahP ,

2

sinabP ,

))()(( csbsassP , 2

cbas

, srP ,

R

abcP

4

Paralelogram: ahaP , Romb: 2

21 ddP

Trapez: h

baP

2

Prizma: MBP 2 , HBV

Piramida: MBP , HBV 3

1

Zarubljena piramida: MBBP 21 , )(3

2211 BBBBH

V

FORMULE

5

R – oznaka za poluprečnik

Valjak: )(22 HRRMBP , HRHBV 2

Kupa: )( lRRMBP , HRHBV 2

3

1

3

1

Zarubljena kupa : ))(( 21

2

2

2

1 lRRRRP , )(3

1 2

221

2

1 RRRRHV

Sfera: 24RP Lopta: 3

3

4RV

Rastojanje između dvije tačke: 2

12

2

12 )()( yyxxAB

Površina trougla: )()()(2

1213132321 yyxyyxyyxP

Ugao između dvije prave: 21

12

1 kk

kktg

Rastojanje između tačke i prave: 22

00

BA

CByAxd

Kružna linija: 222 )()( Rbyax

Uslov dodira kružne linije sa centrom u koordinantnom početku i prave

222 )1( nkR

Elipsa: 12

2

2

2

b

y

a

x, )0,( 22

21 baF

Uslov dodira prave i elipse: 2222 nbka

Hiperbola: 12

2

2

2

b

y

a

x, )0,( 22

21 baF , asimptote hiperbole

by x

a

Uslov dodira prave i hiperbole: 2222 nbka

Parabola: pxy 22 , )0,2

(p

F

Uslov dodira prave i parabole: knp 2

Aritmetički niz: dnaan )1(1 , naa

S nn

2

1

Geometrijski niz: 1

1

n

n qbb , 1,1

)1(1

q

q

qbS

n

n

6

1.

2.

3.

Neka su , ,a b c . Koje od navedenih tvrđenja NIJE tačno?

A. Ako su brojevi a i b djeljivi sa , 0c c tada je njihov zbir djeljiv sa c

B. Ako je jedan od brojeva a i b djeljiv sa , 0c c tada je njihov proizvod djeljiv

sa c

C. Ako su brojevi a i b djeljivi jedan sa drugim tada je a jednako b

D. Ako je a djeljivo sa b , 0b i b djeljivo sa , 0c c tada je a djeljivo sa c

3 boda

Kada se oduzme 3 1m od 3

1m dobija se:

A. 3 (1 )m m

B. 3 ( 1)m m

C. 3 (1 )m m

D. 3 ( 1 )m m

3 boda

Vrijednost izraza je 2014 2014

1 1i i je ( i je imaginarna jedinica):

A. 0 B. 1

C. 2i

D. 4i 3 boda

U sljededim zadacima zaokružite slovo ispred tačnog odgovora.

7

5.

4.

Koeficjent pravca prave koja prolazi kroz koordinantni početak je:

A. 3

B. 1

3

C. 1 D. 3

3 boda

Dužine kateta pravouglog trougla su 3 cm i 4 cm . Kolika je dužina prečnika

kružne linije opisane oko tog trougla?

A. 3cm

B. 4cm

C. 5cm

D. 6cm

3 boda

8

7.

8.

6.

Kupa i polulopta istih zapremina imaju jednake poluprečnike 3r cm . Kolika je

visina kupe?

A. 6cm

B. 8cm

C. 12cm

D. 18cm

3 boda

2

0

sin 2xdx

je

A. 0,5

B. 0,5

C. 1

D. 2

3 boda

Broj različitih načina na koje možemo na polici složiti 4 različite knjige iz

matematike, 3 iz fizike i 2 iz hemije, tako da knjige iz istog predmeta budu jedna

do druge je:

A. 288

B. 576

C. 864

D. 1728 3 boda

9

9.

Uprostite izraz

c

aba

c

bab

bc

ac

a

b

1

1

1.

Rješenje:

3 boda

Zadatke koji slijede rješavajte postupno.

10

10.

Trgovac je petinu svoje robe prodao po cijeni koja je za 4% manja od planirane i

polovinu svoje robe po cijeni koja je za 7% veda od planirane.

Odredite po kojoj cijeni treba prodati ostatak robe da bi se ostvarila planirana cijena.

Rješenje:

4 boda

11

11.

Riješite nejednačinu 2 14 (2 1)(2 1)

2 4

x xx x x

i skup rješenja predstavite

na brojnoj pravoj.

Rješenje:

3 boda

12

12.

Za funkciju ( )y f x ( x – cijena, x 0) kažemo da na intervalu ,a b predstavlja

funkciju TRAŽNJE ako zadovoljava uslove:

a) 0 0f

1 bod

b) , ( ) 0x a b f x

3 boda

c) , ( ) 0x a b f x

2 boda

Ispitajte da li funkcija 2( ) 10000f x x na intervalu 0,100 predstavlja funkciju TRAŽNJE.

Rješenje:

13

13.

Nad svakom od stranica pravougaonika konstruisani su kvadrati čiji je zbir površina

2122cm . Odredite stranice pravougaonika ako je zbir njihovih dužina 11 cm .

Rješenje:

4 boda

14

14.

Uporedite najvede vrijednosti koje funkcije 3

( )5

x

f x

i 2

( )3

x

g x

dostižu na

odsječku 1,1 .

Rješenje:

3 boda

15

15.

Riješite jednačinu 27 81

1log log

12x x .

Rješenje: 4 boda

16

16. Uprostite izrazcos4 cos3 sin 4 sin3

sin 4 cos3 cos4 sin3

i izračunajte njegovu vrijednost za

3

4

.

Rješenje: 3 boda

17

17. U jednakokrakom trouglu krak je 2 puta vedi od osnovice. Ako je ugao izmedju

kraka, nadi sin2

.

Napomena: Uz rješenje je neophodno da nacrtate i skicu koja odgovara tekstu zadatka.

Rješenje:

2 boda

18

18. Neka su A,B,C,D bilo koje četiri nekolinearne tačke u ravni. Ako su K,L,M,N redom

sredine duži AB, BC, CD, DA, dokažite da je četvorougao KLMN paralelogram.

Napomena: Uz rješenje je neophodno da nacrtate i skicu koja odgovara tekstu zadatka.

Rješenje:

3 boda

19

19.

Zbir prvih n članova aritmetičkog niza je 2 3nS n n . Odredite četvrti član niza.

Rješenje:

2 boda

20

20. Odredite vrijednost parametra a tako da funkcija

2

2

4, 2

3 7 2

, 2

xx

f x x x

a x

bude neprekidna na skupu R.

Rješenje:

3 boda

21

22

23

24

25

26