Seminar Ib, cetrti letnik, stari program

OSNOVE ZARKOVNE OPTIKE

Avtor: Ursa Rojec

Mentor: Simon Sirca

Ljubljana, December 2012

PovzetekSeminar razlozi osnove koncepte vodenja delcev v pospesevalnikh. Predstavljene so magnetne enote, s katerimidelce vodimo vzdolz zeljene poti, ter obnasanje nabitih delcev v prisotnosti takih enot. Izpeljana bo enacba zagibanje delcev v transverzalnih smereh in predstavljen matricni formalizem za opisovanje transformacije zarka

v prisotnosti magnetnih polj.

1

Kazalo

1 Uvod 2

2 Osnovni nastavki 22.1 Koncept idealne poti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Lorentzova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Sile med delci v zarku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Vodenje delcev 43.1 Ukrivljanje poti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Fokusiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Gibalne enacbe za en delec 84.1 Resitev neperturbirane enacbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Matricni formalizem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3 Robni efekti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Emitanca in enacba gibanja za vec delcev - zarek 115.1 Transformacijska matrika za zarek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6 Magnetna mreza 136.1 FODO celica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7 Zakljucek 14

1 Uvod

Pospesevalniki delcev so naprave, s katerimi nabite delce pospesujemo do visokih hitrosti. Kakrsnakoli ze jeizvedba (sinhrotron, linearni popesevalnik, ...), vsak pospesevalnik potrebuje transportno linijo, ki delce pripeljeod izvora do izhoda. Transportno linijo si lahko predstavljamo kot vakuumsko cev, po kateri se gibljejo delci invzdolz katere so postavljeni elementi za pospesevanje. Ker hocemo delce ne le pospesiti, ampak tudi obdrzati vcevi, potrebujemo vzdolz linije sistem za vodenje delcev.

Opravka imamo z nabitimi delci, zato na njihovo gibanje vplivamo z elektromagnetnimi polji. Delci torejcutijo Lorentzovo silo, in opisu gibanja delcev pod vplivom Lorentzove sile pravimo zarkovna optika. Kadargovorimo o zarkih, s tem mislimo na veliko stevilo delcev, ki se skupaj gibljejo skozi pospesevalnik. Osnovnoformulacije zarkovne optike naredimo z linearnimi polji.

2 Osnovni nastavki

2.1 Koncept idealne poti

Ko imamo definirano pot transportne linije, s tem tudi definiramo idealno pot. Idealna pot je tista, po kateri bise gibal delec, ki bi imel ravno pravo gibalno kolicino in bi se gibal po sredini cevi. V linearnem popesevalnikubi bila idealna pot kar ravna crta, ki bi potekala po sredini vakuumske cevi, v kroznem pospesevalniku bi bil tokrog, ki bi ga prepotoval delec z idealno gibalno kolicino v polju dipolov, ki skrbijo za ukrivitev poti.

Koncept idealne poti je pri dinamiki zarka zelo pomemben. Dober primer tega je ze sama izbira koordinatnegasistema pri obravnavi gibanja delcev. Koordinate delca namrec razdelimo na dva dela: eden opisuje referencnopot (s), drugi odmik od nje (ravnina xy). Tak koordinatni sistem se giblje po referencni poti z idealno hitrostjotako, da ~s vedno kaze tangencialno na pot.

V gibalnih enacbah se tako nikoli ne ukvarjamo z absolutno pozicijo delca, temvec le z odstopanjem njegovepozicije od idealne poti.

2

2.2 Lorentzova sila

Lorentzova sila na nabit delec v elektromagnetnem polju se zapise kot:

~F = e(~E + ~v × ~B

), (1)

kjer je e naboj delca in ~v njegov vektor hitrosti.

Limita v ≈ c

To nam ponuja odgovor na to, zakaj se v pospesevalnikih za vodenje uporabljajo magnetna in ne elektricnapolja. Odgovor je precej enostaven. Delci v shranjevalnem obrocu imajo hitrost blizu svetlobni. Iz enacbe (1)vidimo:

FE ∝ eE in FB ∝ evB.

Torej jakost magnetne sile se skalira proporcionalno z hitrostjo delca. Pri relativisticnih hitrostih se magnetnasila tako mocno ojaci.

2.3 Sile med delci v zarku

Delci v zarku so nabiti in se premikajo v smeri ~s, zato interagirajo. Interakcijo med delci ocenimo tako, darazdelimo zarek na en delec, ki se giblje v polju vseh ostalih (slika 1). Sila, s katero deluje zarek na posamezen

Slika 1: Elektrostatski odboj in magnetni privlak zaradi intereakcije med delci v zarku.

delec, ki je od sredisca zarka oddaljen za r, ima dva prispevka:

1. Elektricnega - Elektrostaski odboj med zarkom in delcem, ki sorazmeren stevilu delcev v zarku (Ne) inkaze radialno navzven. Izracunamo ga s pomocjo Maxwellove enacbe∮

~E d~S =

∫ρ

ε0dV,

kjer je ρ = qNe/V gostota naboja, integriramo pa po cilindru, ki obkroza zarek. Rezultat je:

Er =ρ

2ε0r ∝ rNzarek.

2. Magnetnega - V laboratorijskem sistemu ima porazdelitev naboja zarka neko hitrost. Premikajoc nabojpomeni da imamo gostoto elektricnega toka (~j = ρ~v) in zaradi tega nenicelno magnetno polje, ki se ovijaokoli smeri toka. Magnetno polje izracunamo iz Maxwellove enacbe∮

~B d~l = µ0

∫~j d~S,

kjer integriramo po preseku cilindra, ki obkroza zarek. Rezultat je:

Bφ =µ0j

2r =

β

cEr,

kjer smo upostevali β = v/c in c = 1/√µ0ε0.

3

Obe sili sta linearno odvisni od oddaljenosti od centra zarka (r). Zaradi cilindricne simetrije imamo le radi-alno elektricno in azimutalno magnetno polje. Elektricna sila torej kaze radialno navzven, magnetna navznoter.Sili si nasprotujeta in iz enacbe (1) dobimo rezultanto:

Fr = q (Er − vsBφ) =qρ

2ε0r(1− β2

)∝ r

γ2, (2)

ki se manjsa z vecanjem hitrosti in pri hitrosti v = c izgine, kot je razvidno iz slike 2. Pri hitrostih blizu

Slika 2: Odvisnost sil med delci v zarku od hitrosti delcev, β =v

c. Pri β = 1 se magnetna in elektricna komponenta sile

ravno iznicita.

svetlobne je sila torej zanemarljiva, za nerelativisticne delce pa moramo upostevati divergenco, ki nam jo takasila povzroci.

V nadaljni obravnavi bomo sile med delci v zarku zanemarili in delce obravnavali kot neodvisne.

3 Vodenje delcev

Kot smo omenili v uvodu, lahko gibanje delcev locimo na transverzalno in longitudinalno. Sistem za vodenjedelcev je del transverzalnega gibanja. V primeru kroznega pospesevalnika je njegova prva naloga ukrivititrajektorije delcev, s cimer se definira idealna pot. Ko je idealna pot definirana (v linearnem pospesevalniku -linacu - je to kar ravna crta), je sistem za vodenje delcev odgovoren, da delce obdrzi cim blizje le-tej.

3.1 Ukrivljanje poti

Pot, ki jo bo nabit delec ubral v zunanjem magnetnem polju, dobimo z izenacenjem centripetalne in magnetnesile:

Fcentrip. = FLorentz,

mγv2~κ = q[~v × ~B

],

kjer je ~κ = (κx, κy, 0) =

(1

ρx,

1

ρy, 0

)ukrivljenost poti in ρ njen krivinski radij. Ce se omejimo le na polja,

pravokotna na vektor hitrosti in upostevamo, da za relativisticne delce velja vx, vy � vs, torej, da je longitudi-nalna komponenta gibalne kolicine bistveno vecja od obeh transverzalnih, dobimo krivinski radij trajektorije,ki jo delec opise v magnetnem polju:

1

ρ=

∣∣∣∣qpB∣∣∣∣.

Veckrat se v literaturi uporablja kolicina imenovana rigidnost zarka, ki je definirana kot

|Bρ| = p

e, (3)

in je mera za to, koliko bo magnetno polje ukrivilo trajektorijo delca z dano gibalno kolicino in nabojem. Koje transportna linija zgrajena, so magnetna polja vzdolz nje znana in fiksna, kar pa ne velja za gibalne kolicinedelcev. Ukrivljenost trajektorije posameznega delca, lahko s pomocjo rigidnosti enostavno izrazimo kot

1

ρ=

B

|Bρ|=

B

rigidnost.

4

Slika 3: Zavoj zarka v dipolnem magnetu, kjer L predstavlja dolzino dipola, ρ krivinski radij trajektorije delca in θ kotodklona.

Kot primer uporabe rigidnosti zarka si izracunajmo kot, za katerega se odkloni trajektorija delca v polju dipola.

Na sliki 3 vidimo, da se zarek odkloni za kot θ, kjer velja

sinθ

2=

L

2ρ=L

2

B

Bρ.

V primeru majhnih odklonskih kotov, θ � 1, se enacba poenostavi v

θ =LB

rigidnost.

Ukrivljanje poti pride v postev le v primeru krozne transportne linije. Z postavitvijo dipolov je definiranaidealna pot, ki je v linacu kar ravna crta.

3.2 Fokusiranje

Ko imamo definirano idealno pot, je naslednja naloga transportnega sistema, da delce obdrzi cim blizje idealnipoti. Ker zelimo delcu le spremeniti smer gibanja, ne da bi vplivali na njegovo hitrost (za to skrbijo drugielementi), se je smiselno obrniti na magnetna polja. Magnetni element, s katerim to dosezemo, bi moral bitisposoben narediti dve stvari:

1. Bolj kot so delci izmaknjeni od idealne poti, mocneje bi moral vplivati na njihovo trajektorijo,

2. Na gibanje delcev, ki so ze na idealni poti tak element ne bi smel vplivati.

To so ravno lastnosti, ki jih ima v geometrijski optiki zbiralna leca. Taksna leca pot svetlobnega zarka odkloniza kot α, ki je sorazmeren oddaljenosti zarka od sredisca lece:

α = − rf, (4)

kjer je r oddaljenost od sredisca lece in f goriscna razdalja lece, kot je prikazano na sliki 4.

Jakost polja mora torej linearno narascati z oddaljenostjo od osi. To pomeni, da je gradient polja konstantenin je moc fokusacije dolocena le z oddaljenostjo od osi. Najlepse bi bilo imeti radialno simetricno polje, kibi hkrati fokusiralo v obeh tranzverzalnih smereh, x in y. Takemu pogoju bi zadostili z poljem v smeri osiz. Magnetna polja s tako odvisnostjo se dejansko uporabljajo, vendar le pri majhnih hitrostih, na zacetkupospesevalne linije. Razlog za to je, da je magnetna sila sorazmerna hitrosti delca in transverzalni komponentihitrosti sta bistveno manjsi od longitudinalne. Vecja kot je hitrost, manj casa delec prezivi v magnetu. Kervelja, da je sprememba gibalne kolicine enaka sunku sile

dp = Fdt,

in ker pri hitrostih blizu svetlobne delec v magnetu prezivi le malo casa, je sunek sile manjsi. Pri relativisticnihhitrostih bi tako potrebovali zelo mocna polja.

5

Slika 4: Shema fokusacije zarka za zbiralno leco. α predstavlja kot uklona, r oddaljenost od sredisca lece in f goriscnorazdaljo lece.

Pri vecjih hitrostih tako uporabljamo le polja s komponentami v smeri x in y (pri obravnavi magnetnih poljbomo zanemarili robne efekte - pretvarjali se bomo da smo v sredini dolgega magneta in zanemarili odvisnostpo z oz. s). Zal ne moremo najti takih polj, ki bi hkrati fokusirala v obeh transverzalnih smereh. V odsotnosti

tokov1 (~j = 0) in spremenljivih elektricnih polj (∂ ~E/∂t = 0) se Maxwellova enacba:

∇× ~B = µ0~j + µ0ε0

∂ ~E

∂t= 0,

poenostavi v∂Bx

∂y=∂By

∂x= g,

kjer smo s konstanto g oznacili gradient magnetnega polja. Poglejmo, kaj se zgodi, ce delec v magnetnem poljumalce izmaknemo iz osi. Ker je odmik majhen, lahko uporabimo Taylorjev razvoj za vektor magnetnega poljas komponentama x in y:

~B(x, y) = Bx ~ex +By ~ey =

(Bx(0, 0) +

∂Bx

∂xx+ gy

)~ex +

(By(0, 0) + gx+

∂By

∂yy

)~ey.

Ce upostevamo se drugo Maxwellovo enacbo za magnetno polje,

∇ ~B = 0,

vidimo, da velja∂Bx

∂x= −∂By

∂y= C,

kjer je C neka konstanta. Razvoj lahko tako prepisemo v

~B(x, y) =

(Bx0

By0

)︸ ︷︷ ︸~Bdipol

+ g

(yx

)︸ ︷︷ ︸~Bg

+ C

(−xy

)︸ ︷︷ ︸

~BC

,

kjer smo z Bx0 in By0 oznacili vrednost Bx in By pri x = y = 0. Prvi clen je konstanten in predstavlja polje

dipola. Druga dva clena si poglejmo podrobneje. Prva lepa lastnost komponente ~Bg je osna simetricnost.Vidimo namrec da za njegovo x (Bgx) in y (Bgy) komponento velja:

Bgx(x,−y) = Bgx(x, y) Bgy(−x, y) = Bgy(x, y),

medtem ko ~BC te simetrije nima. Spomnimo se sedaj zahteve iz zacetka poglavja - na delce, ki so ze na zeljenipoti, fokusirajoc element ne bi smel vplivati - in poglejmo kako vsaka od komponent vpliva na delec, ki se zenahaja na zeljeni poti. Ker x in y predstavljata odmik od idealne poti, fiksiramo x = 0 (postopek za y = 0 jeenak) in velja

~Bg(0, y) =

(gy0

),

1Naj spomnim da delce obravnavamo kot neodvisne. Vpliv, ki ga ima gibanje ostalih delcev v zarku na magnetno poljezanemarimo, kot je bilo omenjeno v uvodu.

6

in kaze polje v smeri x. Sila torej po (1) kaze v smeri y. Ekvivalento ugotovimo

~BC(0, y) =

(0gy

),

kjer kaze sila v smeri x. Prvo polje bi torej delec, ki je ze pri x = 0, tam tudi pustilo in ga ukrivilo le v smeri y,medtem ko bi drugo (polje zarotirano za π/4 okoli osi z) delec, ki je ze na svojem mestu premaknilo stran odidealne poti.

Obe zgoraj opisani polji predstavljata polje magnetnih kvadrupolov, le da je ~Bg za π/4 zarotiran okoli osi z

glede na ~BC. Prvemu pravimo pokoncni (upright), drugemu pa zarotiran (skew) kvadrupol.

Kvadrupolni magnet kot zbiralna leca

Nasli smo torej magnetno polje, ki ustreza nasim zahtevam:

~B = g

(yx

).

Da ga smiselno se bolje povezemo z opticno leco, definirajmo dve lastnosti:

• Moc fokusacijeV paraksialni aproksimaciji, kjer predpostavimo (x′)2 � 1, je kot odklona enak nagibu trajektorije delca

x′ =dx

ds. Po prehodu cez kvadrupol se trajektorija delca tako odkloni za:

α = ∆x′ = − lρ

= −l qBp

= −l qp

(gx) = −kxl,

kjer je l dolzina kvadrupola. Moc fokusacije, oznacena s k, je torej:

k =q

pg (5)

• Goriscna razdaljaPo analogiji z leco, enacba (4), lahko iz α = −kxl zapisemo:

1

f= kl,

kjer smo z f definirali goriscno razdaljo kvadrupola.

Slika 5 prikazuje polje pokoncnega (upright) kvadrupola. Ce pogledamo sile, opazimo da narisani kvadrupol

Slika 5: Polje (crne puscice) in sila (rdece) fokusirajocega kvadrupolnega magneta za primer delca z negativnim nabojem.

Defokusirajoc kvadrupolni magnet dobimo, ce fokusirajocega zarotiramo zaπ

4okoli osi z

v ravnini xs fokusira, medtem ko v ravnini ys defokusira. Zato se v praksi vedno uporabljajo kombinacijefokusirajocih in defokusirajocih2 kvadrupolov, katerih koncni rezultat je fokusiran zarek. To nam omogoci

2referenca glede na xs ravnino

7

prinicip mocne fokusacije. Iz optike svetlobnih zarkov, ki je zgrajena na praksialni aproksimaciji, vemo, daza dve leci z goriscnima razdaljama f1, f2, ki sta razmaknjeni za d, velja

1

f=

1

f1+

1

f2− d

f1f2,

kjer je f effektivna goriscna razdalja obeh lec. Ena od resitev te enacbe je f1 = −f2 in dublet kvadrupolov, zakaterega je izpoljnjen ta pogoj, bo fokusiral tako v smeri x kot v smeri y. Enacba ima tudi druge resitve. Karje tu pomembno je, da

obstaja kombinacija kvadrupolov, katere rezultat je neto fokusiranje v obeh transverzalnih smereh.

Kvadrupole torej lahko uporabimo kot magnetne lece za fokusiranje zarkov. Pri tem se oznaka fokusirajoc/defokusirajocvedno nanasa na ravnino xs in velja, da fokusirajoc kvadrupol (FQ) fokusira v ravnini xs in defokusira v ravniniys, medtem ko defokusirajoc kvadrupol (DQ) defokusira v ravnini xs in fokusira v ravnini ys.

Enacbe so bile izpeljane ob predpostavki, da imamo idealne dipolne in kvadrupolne magnete, ki so postavljenitocno. V realnosti se zaradi neidealnih magnetov in napakah v postavitvi le-teh pojavijo visje multipolnekomponente.

4 Gibalne enacbe za en delec

Izpeljavo enacb si z izbiro pravega koordinatnega sistema lahko bistveno olajsamo. Kot je bilo omenjeno zev uvodu, se bomo ostredotocili le na odmike od idealne poti. Nas koodinatni sistem se bo premikal skupaj zidealnim delcem. Ce hocemo torej definirati koordinatni sistem, je nasa prva naloga poiskati idealno pot. V

Slika 6: Frenet-Serretov koordinatni sistem

ta namen definiramo nekaj kolicin:

u oz. x, y odmik od idealne trajektorije v obeh transverzalnih smerehs longitudinalna koordinata, trajektorija idealnega delcaσ longitudinalna koordinata, trajektorija delcaτ = σ/vσ lastni cas delca, in vσ njegova hitrost

t = s/vsreferencni cas, kjer s predstavlja trajektorijo idealnega delcas krivinskim radijem ρ0, vs pa njegovo hitrost

~κ = −d2~S(s)

ds2 ukrivljenost trajektorije delca, krivinski radij: ρ =1

κ

(6)

Lorentzovo silo (1) lahko s pomocjo teh parametrov zapisemo kot:

d~p

dτ= mγ

d2~S

dτ2= e

[~v × ~B

]Iz parametrov (6) vidimo, da velja dσ = cβdτ in predpostavimo ds ≈ dσ, torej da odmiki od idealne poti nisoveliki. Ker velja, da sta obe transverzalni komponenti hitrosti bistveno manjsi od longitudinalne, vx, vy � v,

8

dobimo:

κx = −x′′ =e

pBy,

∣∣∣∣epBy

∣∣∣∣ =1

ρx,

κy = −y′′ = −epBx,

∣∣∣∣epBx

∣∣∣∣ =1

ρy, (7)

kjer ρi predstavlja lokalni krivinski radij v posamezni ravnini, κi = 1/ρi pa ukrivljenost trajektorije. Sedaj koimamo definiran koordinatni sistem, se lahko lotimo izpeljave. Najprej se spomnimo, da sta gibanji v ravninahxs in ys popolnoma ekvivalentni in razklopljeni. Formalno izpeljavo lahko tako naredimo kar z neko splosnokoordinato u, ki jo nato zamenjamo z y ali x.

Slika 7: Element poti idealne trajektorije ds in trajektorije posameznega delca dσ.

Na sliki 7 vidimo da velja:

dϕ0 =ds

ρ0=

dσ

ρ0 + uin dϕ =

dσ

ρ, (8)

kar nas pripelje do izraza za element poti:

dσ = (1 + κ0u) ds, (9)

kjer je κ0 = 1/ρ0 ukrivljenost idealne trajektorije. Ker zelimo izpeljati enacbe, ki bodo obravnavale odmike odidealne poti, moramo poiskati ukrivljenost trajektorije dσ glede na ds, torej:

u′′ = −(

dϕ

ds− dϕ0

ds

),

kjer smo upostevali definicijo ukrivljenosti (6). Vstavimo sedaj v zadnjo enacbo izraza (8) in (9) in dobimo:

u′′ = −(1 + κ0u)κ+ κ0.

Ce vkljucimo se Lorentzovo silo, lahko izpeljemo enacbe gibanja. Ce smo v ravnini xs in imamo magnetno poljele v smeri y, je

κ = κx =e

pBy =

e

p[By0 + gx] ,

kjer sta κ0, k0 lastnosti dipola in kvadrupola.

Kot zadnji korak si poglejmo se disprezijo po gibalnih kolicinah. Ko je transportna linija koncana, so dipolnimagneti prilagojeni za t.i. idelani delec z idealno gibalno kolicino p0. Ce torej v enacbah (7) fiksiramo magnetnopolje, vidimo, da je krivinski radij trajektorije delca v polju dipola odvisen od gibalne kolicine delca. Torejbodo vsi delci, katerih gibalna kolicina odstopa od idelanle zavili vec ali maj kot idealni delec. Da upostevamodisperzijo po gibalnih kolicinah, razvijemo gibalno kolicino delca okoli idealne gibalne kolicine

1

cp=

1

cp0(1 + δ)≈ 1

cp0

(1− δ + δ2 + ...

)Koncna gibalna enacba ima obliko:

x′′ +(k0 + κ2x0

)x = κx0

(δ − δ2

)+(k0 + κ2x0

)xδ − k0κ0x2 +O(x3) (10)

9

4.1 Resitev neperturbirane enacbe

Enacb, izpeljanih v prejsnjem razdelku, ni mogoce resiti za poljubno porazdelitev magnetov. Da stvari poeno-stavimo, se opremo na dve predpostavki:

• Magneti, ki jih uporabimo v pospesevalniku so zelo dobro narejeni in jih v prvem priblizku obravnavamokot idealne dipole/kvadrupole

• Zarek ima majhen energijski razpon (majhno disperzijo po gibalnih kolicinah)

Ce upostevamo ti predpostavki, lahko vse clene na desni strani enacbe (10) obravnavamo kot majhne perturab-cije. V primeru idealnega delca (δ = 0) tako ostanemo z dobro poznano enacbo za harmonski oscilator, le daima nekonstantne koeficiente. Enacba je znana pod imenom Hillova enacba

u′′ (s) +K (s)u (s) = 0, K (s) = k + κ2x = K (s) = −(k − κ2y

)(11)

Problem pri resitvi enacbe nam predstavlja le se od s odvisni koeficient K. Ceprav K ni konstanten vzdolzcelotne transportne linije, pa je konstanten v obmocju posameznega magneta ali praznega prostora. Ce pred-postavimo ostre stopnice v vrednosti K med vsakim od takih obmocij, lahko enacbo resimo za vsako obmocjeposebaj. Problem si tako poenostavimo na resevanje enacbe za harmonski oscilator.

Preden se lotimo resevanja enacb, je treba omeniti se eno stvar. Enacbe za smeri x in y so sicer popolnomaenake, kar zadeva prehod cez FQ ali DQ, vendar pa se je treba zavedati, da kvadrupol, ki fokusira v smeri x,defokusira v smeri y in obratno.

Resitve Hillove enacbe (11) so:

K > 0 C (s) = cos(√

Ks), S (s) =

1√K

sin(√

Ks)

K < 0 C (s) = cosh(√|K|s

), S (s) =

1√|K|

sinh(√|K|s

) (12)

Za gornje enacbe veljajo zacetni pogoji

C (0) = 1, C ′ (0) = 0, S (0) = 0, S′ (0) = 1.

Resitev enacbe za u lahko na podlagi teh ugotovitev zapisemo kot:

u (s) = C (s)u0 + S (s)u′0,

u′ (s) = C ′ (s)u0 + S′ (s)u′0.(13)

4.2 Matricni formalizem

V prejsnjem razdelku zapisano Hillovo enacbo zapisemo sedaj v matricni obliki:x (s)x′ (s)y (s)y′ (s)

=

Cx (s) Sx (s) 0 0C ′

x (s) S′x (s) 0 0

0 0 Cy (s) Sy (s)0 0 C ′

y (s) S′y (s)

=

x0x′0y0y′0

(14)

Zapisana enacba nam zacetne parametre zarka transformira v koncni rezultat. To nas napelje na idejo, da lahkopospesevalnik razstavimo na enote, katerih prehodne matrike poznamo. Tak pristop bistveno olajsa racunanje,saj imamo opravka le se z mnozenjem matrik. Ker imamo le nekaj osnovnih (magnetnih) elementov, lahkozapisemo standardne matrike za vsakega od njih.

10

Ce v enacbah koeficiente S,K,C razpisemo s pomocjo (12), dobimo naslednje matrike:

• Fokusirajoc kvadrupol (FQ) dolzine l:

MFQ =

cos(√k0l) 1√

k0sin(√k0l)

−√k0 sin

(√k0l)

cos(√k0l) l→0−−→

1 0

− 1

f1

• Defokusirajoc kvadrupol (DQ) dolzine l

MDQ =

cosh(√|k0|l

) 1√|k0|

sinh(√|k0|l

)√|k0| sinh

(√|k0|l

)cosh

(√|k0|l

) l→0−−→

1 01

f1

• Prazen prostor (D - driftspace) dolzine l:

MD =

[1 l0 1

].

Kjer je k0 moc fokusacije definirana z enacbo (5), f =1

k0lpa goriscna razdalja.

Zraven prehodnih matrik za DQ in FQ so zapisane tudi limite, ko gre dolzina magnetov proti nic. Vidimo daso v tej limiti matrike enake oblike kot tiste, ki jih poznamo iz geometrijske optike.

4.3 Robni efekti

Velja omeniti, da idealni kvadrupoli iz zgornje izpeljave v resnici ne obstajajo. Izpeljava predpostavlja kva-drupolno polje znotraj prostora dolzine l, nato oster rob in polje nic zunaj magneta. Vendar nam, ce zelimoupostevati robne efekte, nasih izpeljav ni treba razveljaviti. Dejansko polje lahko namrec razdelimo na vecidealnih kvadrupolv, kakor kaze slika 8.

Slika 8: Polje realnega kvadrupola pojenja na robu dejanskega kvadrupolnega magnetnega momenta, zato ga razdelimona vec idealnih kvadrupolov.

5 Emitanca in enacba gibanja za vec delcev - zarek

Ker je v zarku mnogo delcev, bi radi dobili enacbo gibanja, ki bi popisala gibanje vseh delcev naenkrat. Kakorje bilo ze veckrat omenjeno, sta gibanji v horizontalni in vertikalni ravini razklopljeni, zato se lahko posebejukvarjamo s faznima prostoroma (x, x′) in (y, y′).

Definiramo emitanco kot povrsino, ki jo zavzame zarek v faznem prostoru. Ker je gibanje v vseh smerehrazklopljeno, lahko definiramo tri razlicne emitance - horizontalno, vertikalno in longitudinalno. Emitanca jemocno odvisna od izvora, cisto na zacetku pospesevalnika. Kasneje v pospesevalni liniji nanjo vpliva tudisinhrotronsko sevanje.

11

5.1 Transformacijska matrika za zarek

Z izrazom zarek opisemo vec delcev, ki se skupaj gibljejo po transportni liniji. Teh delcev je v zarku ogromno(reda 1020). Ker nocemo zasledovati gibanja vsakega posameznega delca se zatecemo k statisticni mehaniki inLiouvillovemu izreku.

Liouvillov izrek pravi da se za sistem, katerega dinamiko lahko popisemo z Hamiltonovi enacbami,povrsina faznega prostora ohranja. Trditev sledi direktno iz Hamiltonovih enacb:

~p =∂~p

∂t= −∂H

∂~qin ~q =

∂~q

∂t=∂H

∂~p, (15)

kjer je ~q vektor koordinat in ~p vektor impulzov. Stanje Hamiltonskega sistema predstavimo s tocko vfaznem prostoru, ki se giblje s hitrostjo

~v =

(~q

~p

). (16)

Z nanasanjem pozicije tocke na graf ob razlicnih trenutkih vidimo, da njena trajektorija obkrozi zakljucenopovrsino v faznem prostoru. Dokaz, da se ta povrsina ne spreminja, dobimo iz totalnega odvoda gostote vfaznem prostoru:

dρ

dt= −ρ (∇~v) .

Za dokaz izreka moramo torej le izracunati divergenco ravnokar omenjene hitrosti (16) in pokazati da jenic. Ob upostevanju Hamiltonovih enacb (15) dobimo:

∇~v =∂

∂~q~q +

∂

∂~p~p = 0

Zarek se torej v faznem prostoru obnasa kot nestisljiva tekocina.

Liouvillov izrek nam omogoci, da se namesto s posameznimi delci ukvarjamo s celotno gruco. Gruca delcev, kije bila na zacetku znotraj neke povrsine faznega prostora, bo tam tudi ostala. Vse delce zavzamemo v obmocjev obliki elipse, ki ji pravimo fazna elipsa in je prikazana na sliki 9. Sedaj moramo le se popisati, kako se ob

Slika 9: Fazna elipsa v (x, x′) prostoru.

prehodu cez elemente pospesevalnika spreminja oblika te elipse. Zacnemo z enacbo elipse:

γx2 + 2αxx′ + βxx′2 = ε. (17)

Povrsina elipse pravimo emitanca zarka in je definirana kot3∫elipsa

dx dx′ = πε

3Definicija emitance zarka v literaturi ni enolicna. Vcasih se vzame πε, vcasih le ε.

12

Sedaj je potrebno le se pogledati, kako se spreminjajo parametri elipse. Oznacimo zacetno elipso z indeksi 0 venacbi (17) in vstavimo vrednosti v enacbo (14) in resujemo le za x, x′. Z nekaj manipulacije pridemo do novetransformcijske matrike: βα

γ

=

C2 −2SC S2

−CC ′ (S′C + SC ′) −SS′

C ′2 −2S′C ′ S′2

=

β0α0

γ0

(18)

Parametrom α, β, γ pravimo Twissovi parametri, ki so med seboj povezani z enacbo

βγ − α2 = 1.

Parametri vzdolz transportne linije niso konstantni. V literaturi jih najdemo pod imenom betatronske funkcije.

Slika 10 prikazuje razvoj fazne elipse pri prehodu cez fokusirajoc kvadrupol, ter njen nadaljnji razvoj vpraznem prostoru. Prikazan je fazni prostor (x, x′). Prva elipsa na grafu je nagnjena v desno, torej predstavlja

Slika 10: Transformacija fazne elipse po prehodu cez fokusirajoc kvadrupol in njen nadaljni razvoj v praznem prostoru.

divergenten zarek. Delci, ki so od s osi odnmaknjeni v smeri +x, imajo pozitiven tudi naklon (analogno zadelce z odmikom v −x). Ce tak zarek pustimo pri miru, se bodo delci vedno bolj in bolj oddaljevali od osi s (oz.idealne poti) in se prej ali slej zaleteli v vakuumsko cev. To preprecimo z vstavitvijo fokusirajocega kvadrupola,ki delcem spremeni naklon, sorazmerno z njihovo oddaljenost od idealne poti. Vidimo, da je fazna elipsa poprehodu FQ nagnjena v levo. Tokrat imajo delci, ki so izmaknjeni v pozitivni smeri negativen naklon. Torej sevedno bolj blizajo idealni poti pri x = 0.

6 Magnetna mreza

Sistemu za vodenje delcev pravimo tudi magnetna mreza (anglesko magnetic lattice). Ze z vpeljavo matricnegaformalizma se snovanje take kompleksne mreze mocno poenostavi. V tem poglavju bomo videli, da lahko osnovnemagnetne elemente povezemo v vecje logicne enote, ki potem predstavljajo najmanjso ”granulacijo”magnetnemreze pospesevalnika.

6.1 FODO celica

V delu o vodenju delcev smo omenili princip mocne fokusacije, ki pravi, da lahko izberemo tako kombinacijokvadrupolov, ki zarek fokusirajo v obeh transverzalnih smereh. En tak primer je celica FODO (F - focusing, O- driftspace, D - defocusing), prikazana na sliki 11. Pri sestavljanju sistema za vodenje delcev se ponavadi neukvarjamo s posameznimi kvadrupoli, ampak so najmanjse enote kar take celice. Po prehodu cez celico FODO,je koncni rezultat zarek fokusiran v smereh x in y.

Na grafu faznega prostora (slika 12) lahko ugotovimo da daljsa elipsa, nagnjena v desno predstavlja zarekpred vstopom v FQ. Zarek je divergenten. Bolj, kot je delec ven iz osi ±x, vecji naklon ima v smeri ±x. Cetak zarek potuje skozi prazen prostor se bo razlezel. Trajektorije delcev, ki so odmaknjene v smeri +x smeriimajo namrec pozitiven naklon glede na s, zato se bo odmik od osi s vecal. Podobno imajo trajektorije delcevodmaknjenih v smeri −x negativen naklon in se zato oddaljujejo od s osi v smeri −x.

13

Slika 11: Shematski prikaz celice FODO. Celica se zacne na sredini prvega in konca na sredini drugega kvadrupola.

Slika 12: Zarek pri prehodu cez FODO celico v faznem (levo) in normalnem (desno) prostoru. xk in xpk predstavljatakoordinati x in x′, kjer indeks k predstavlja korake simulacije. st predstavlja longitudinalno koordinato.

Daljsa elipsa, nagnjena v levo predstavlja zarek po prehodu FQ. Bolj kot so delci odmaknjeni v smeri +x,bolj je njihova trajektorija nagnjena proti s osi (negativen nagib - dx/ds). Podobno vejla za delce odmaknjenev smeri −x, le da je nagib v njihovem primeru pozitiven. Ce se tak skupek delcev giblje po praznem prostoru,se bodo odmiki v smereh −x in x zaceli manjsati, saj se bodo delci priblizevali osi s.

Krajsi elipsi predstavljata zarek pred in po vstopu v DQ. Po izstopu iz DQ je zarek divergenten, torej krajsaelipsa nagnjena v desno predstavlja zarek po izhodu iz DQ, krajsa elipsa nagnjena v levo pa pred vstopom vDQ.

7 Zakljucek

Zarek nabitih delcev skozi transportno linijo vodimo s pomocjo magnetov, pri cimer dipoli sluzijo ukrivljanjutrajektorije zarka, kvadrupoli pa zarek fokusirajo v obeh transverzalnih smereh.

Neperturbirana gibalna enacba za delec v transportni liniji je enacba harmonskega oscilatorja z nekonstan-tnimi koeficienti, zato transportno linijo razdelimo na segmente (prazen prostor, kvadrupolni magnet), znotrajkaterih so koeficienti konstantni. Za vsak segment posebaj lahko zapisemo transformacijsko matriko, ki povekako posamezen segment vpliva na trajektorjio delca. Pri matrikah opazimo vzporednice z geometrijsko op-tiko. V limiti neskoncno kratkih kvadrupolov ugotovimo, da je transformacijska matrika enaka transformacijskimatriki za zbiralno leco v geometrijski optiki.

Enacbo za en delec lahko s pomocjo uporabe Liouvillovega izreka predelamo v enacbo za cel zarek tako, davse delce v faznem prostoru zajamemo znotraj fazne elipse. Povrsina te elipse se ohranja in delci, ki so znotrajnje, bodo tam tudi ostali.

14

Literatura

[1] Helmut Wiedermann, Particle Accelerator Physics - Basic Principles and Linear Beam Dynamics (Springer-Verlag, New York, 1993).

[2] D.A. Edwards, M.J. Syphers, An Introduction to the Physics of High Energy Accelerators (Wiley-VCH,Weinheim, 2004).

[3] William Bartletta, Linda Spentzouris, USPAS - U.S. Particle Accelerator School Slides,http://uspas.fnal.gov/materials/12MSU/MSU Fund.shtml (26.11.2012)

[4] Ivan Kuscer, Slobodan Zumer, Toplota (DMFA, Ljubljana, 2006)

15