MJERE VARIJACIJEMJERE VARIJACIJEMJERE VARIJACIJEMJERE VARIJACIJE

POJAM DISPERZIJEPOJAM DISPERZIJE

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 7 7 7 8 8 9Skup 1:

1 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 7 7 7 8 8 9

1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9Skup 2:

1 8NR =1 5,1x =Skup 1: 1 5Me =

2 8NR =2 5,1x =Skup 2: 2 5Me =

POJAM DISPERZIJEPOJAM DISPERZIJE

81012

ncy 4

56

ncy

2468

Freq

uen

123

Freq

uen

01 3 5 7 More

01 3 5 7 More

Skup 1 Skup 2

VARIJANSA (DISPERZIJA)VARIJANSA (DISPERZIJA)

(aritmetička sredina kvadrata razlika od aritimetičke sredine)(aritmetička sredina kvadrata razlika od aritimetičke sredine)

( )2( ) ( )V ∑Diskretna slučajna varijabla: ( )( ) ( )i ii

V x x p xμ= −∑

( )2( ) ( )diV x x f x xμ+∞

= −∫Kontinuirana slučajnavarijabla:

−∞varijabla:

VARIJANSA (DISPERZIJA)VARIJANSA (DISPERZIJA)

Diskretna sl čajna arijabla ( )2( ) ( )V x x p xμ= −∑Diskretna slučajna varijabla: ( )( ) ( )i ii

V x x p xμ= −∑

Varijansa raspodjelefrekvencija izražena preko

l ti ih f k ij( )22

k

i rix x fσ = −∑relativnih frekvencija:( )

1i ri

i=∑

VARIJANSA (DISPERZIJA)

1 N

VARIJANSA (DISPERZIJA)

( )22

1

1 N

ii

x xN

σ=

= −∑Osnovni statistički niz:

( )22 1 k

i if x xσ = −∑Prosta raspodjela frekvencija ( )1

i ii

fN =∑

1 k

p j j

( )22

1

1 k

i ii

f C xN

σ=

= −∑Intervalna raspodjela frekvencija

STANDARDNA DEVIJACIJASTANDARDNA DEVIJACIJA

(Standardno odstupanje)( p j )

22 1 N( )22

1

1i

ix x

Nσ

== −∑Varijansa:

2σ σ= +Standardna σ σ= +devijacija:

VARIJANSA UZORKAVARIJANSA UZORKA

Osnovni skup:2; ; ; N μ σ σ2Uzorak: 2; ; ; n x s s

( )22 1 n

is x x= −∑( )11 i

is x x

n =− ∑

STANDARDIZIRANO OBILJEŽJE

(Heterogeni statistički niz)

STANDARDIZIRANO OBILJEŽJE

( )ix x−Centrirano obilježje:

x x

( )i

ii

x xzσ−

=Standardizirano obilježje:

MJERE OBLIKA RASPOREDAMJERE OBLIKA RASPOREDA

KOEFICIJENT ASIMETRIJEKOEFICIJENT ASIMETRIJE

f(x)f(x)

xx

MOMENTIMOMENTI

1 kr – tog reda ( )

1

1 k rr i i

iM f x x

N == −∑

( )001

1 1k

i ii

M f x xN =

= − =∑Nultog reda

1i=

( )11 0

k

i iM f x xN

= − =∑Prvog reda ( )11

i ii

fN =∑g

Drugog redaDrugog reda

NORMIRANI MOMENTINORMIRANI MOMENTI

Normirani moment r-tog reda:Normirani moment r-tog reda:

Mrr r

Mασ

=σ

KOEFICIJENT ASIMETRIJEKOEFICIJENT ASIMETRIJE

( )331

1 k

i ii

M f x xN =

= −∑Moment trećeg reda

1i=

Normirani moment trećeg reda (koeficijent asimetrije):g ( j j )

( )3 31 k

f x x−∑ ( ) 333 1

3 3 31 1

1 1i i k ki i

i i ii i

f x xNM x xf f z

N Nα

σσ σ=

= =

−⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑∑ ∑

KOEFICIJENT ASIMETRIJEKOEFICIJENT ASIMETRIJE

3 0α < − asimetrija ulijevo,

3 0α = − simetrična distribucija3

0α >x Mo Me= =

3 0α > − asimetrija udesno

KOEFICIJENT ASIMETRIJE

M

KOEFICIJENT ASIMETRIJE

ax MoKσ−

=

− asimetrija ulijevo (negativna asimetrija)0 ( )aK x Mo< <a

0 ( )K M

3aK ≤ − Izražena negativna asimetrija

− simetrična distribucija

i t ij d ( iti i t ij )

0 ( )aK x Mo= =

0 ( )K x Mo> > − asimetrija udesno (pozitivna asimetrija)0 ( )aK x Mo> >Izražena pozitivna asimetrija3aK ≥

ASIMETRIJA UDESNOASIMETRIJA UDESNO

(pozitivna asimetrija)

3 0α >f(x)3 0α >

xMeMo x xMeMo x

ASIMETRIJA ULIJEVOASIMETRIJA ULIJEVO

(negativna asimetrija)

f(x)3 0α <

xMe Mox

MJERA ZAOBLJENOSTI (EKSCESA)MJERA ZAOBLJENOSTI (EKSCESA)

f( )f(x)

xx

41 k( )4 4

4144 4 4

11 1

k

i i k ki i

i i i

f x xN x xM f f z

N Nα =

−−⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑∑ ∑4 4

1 1i iN Nσσ σ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

KOEFICIJENT ZAOBLJENOSTI (EKSCESA)KOEFICIJENT ZAOBLJENOSTI (EKSCESA)

4 3α < − distribucija je niskovrhna (izrazito zaobljena)

4 3α = − kriva distribucije je bliska krivoj normalne distribucije

4 3α >

distribucije

− distribucija je visokovrhna (izrazito zašiljena)4 3α > distribucija je visokovrhna (izrazito zašiljena)

MJERA ZAOBLJENOSTI (EKSCESA)MJERA ZAOBLJENOSTI (EKSCESA)

f(x) 4 3α >Visokovrhna distribucijaPribližno

normalna

Niskovrhna distribucija

4 3α <

xx

Primjer: i š j j j č ik k k d 40 tilizvršeno je mjerenje prečnika rukavca uzorka od 40 vratila.

Razred fi[50,005-50,035) 50,02 2

)

iC

[50,035-50,065) 50,05 4[50,065-50,095) 50,08 3[50,095-50,125) 50,11 6[50,125-50,155) 50,14 12[50,155-50,185) 50,17 7[50,185-50,215) 50,20 6

Σ 40

Proračunska tabelaProračunska tabela

Razred fi fkum

[50,005-50,035) 50,02 2 2 100,04 -0,11025 0,02431 2,9549·10-4

) 4

iC i if C iC x− ( )2i if C x− ( )4i if C x−

[50,035-50,065) 50,05 4 6 200,20 -0,08025 0,02576 1,6590·10-4

[50,065-50,095) 50,08 3 9 150,24 -0,05025 0,00758 1,9128·10-5

[50,095-50,125) 50,11 6 15 300,66 -0,02025 0,00246 1,0089·10-6

[50,125-50,155) 50,14 12 27 601,68 0,00975 0,00114 1,0844·10-7

[50,155-50,185) 50,17 7 34 351,19 0,03975 0,01106 1,7476·10-5

[50,185-50,215) 50,20 6 40 301,20 0,06975 0,02919 1,4201·10-4

Σ 40 2005,21 0,101497 0,00064112

Aritmetička sredina, varijansa i standardna devijacija

1 1k

∑

, j j j

1

1 1 2005, 21 50,130340i i

ix f C

N =

= = =∑ mm

( )22

1

1 1 0,1014975 0,00261 40 1

k

i ii

s f C xn

= − = =− −∑ mmP2P

11 40 1in =

2 0,0026 0,051s s= + = = mm

Proračun medijaneProračun medijane

14

101214

f i Medijalni razred

68

24

0

50,14

50,17

50,11

50,20

50,05

50,08

50,02

50505050505050Prečnik, mm

Proračun medijane

1 1k e

f f∑ ∑

Proračun medijane

11 2

1 40 152 250,095 0,03 50,126

i ei e

ee

f fMe C h

f

−= =

− −= + = + =

∑ ∑

6ef = – frekvencija medijalnog razreda

0,03h =

50 095C

– širina razreda

50,095eC =

15e

f∑

- Donja granica medijalnog razreda

kumulativna frekvencija svih razreda1

215e

ef −

==∑ - kumulativna frekvencija svih razreda

koji prethode medijalnom.

Koeficijent asimetrijeKoeficijent asimetrije

( ) ( )mo mo 1

momo mo 1 mo mo 1

f fMo x h

f f f f−

− +

−= + =

− + −( ) ( )

( ) ( )

mo mo 1 mo mo 1

12 650,125 0,03 50,13612 6 12 7

+

−= + =

− + −( ) ( )12 6 12 7+

50,1303 50,136 0,11180 051a

x MoK − −= = = −

0,051a s

Koeficijent spljoštenostiKoeficijent spljoštenosti

k

( )41

1 1 0,00064112340 2 366

k

i ii

f x xN

α =

−∑1

4 4 440 2,366

0,051i

sα = = =

Asimetrija ulijevo: 0aK <aNiskovrhna distribucija α4<3

101214

fi 75%

100%FrekvencijaKumulativ %

68

10

50%

5%

024

0%

25%

50,02 50,05 50,08 50,11 50,14 50,17 50,20

Prečnik, mm