bab 1 analisis vektor · pdf fileproyeksi b pada a ab b proyeksi a pada ... vektor satuan yang...
TRANSCRIPT
![Page 1: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/1.jpg)
Analisis Vektor
![Page 2: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/2.jpg)
Pendahuluan
1.1 SKALAR DAN VEKTOR
Skalar • Hanya mempunyai besar
• Contoh : massa, volume, temperatur, energi
Vektor • Mempunyai besar dan arah
• Contoh : gaya, kecepatan, percepatan
Medan skalar • Besarnya tergantung pada posisinya dalam ruang
• Contoh : EP = m g h
Medan vektor • Besar dan arahnya tergantung pada posisinya dalam ruang
• Contoh : F = 2 xyz ax – 5 (x + y + z) az
![Page 3: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/3.jpg)
1.2 ALJABAR DAN PERKALIAN VEKTOR
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
• Metoda jajaran genjang
• Metoda poligon
A
B C = A + B
B
A
C = A + B
A
- B
D = A - B
D = A – B = A + (- B)
![Page 4: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/4.jpg)
Perkalian titik
Hasilnya skalar A
Proyeksi B pada A
AB
B
Proyeksi A pada B
ABcosAB
cosBABA
AB
AB
![Page 5: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/5.jpg)
Perkalian Silang
Hasilnya vektor
ABasinBABA NAB
A
AB
A B
B
aN = vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir tangan kanan)
![Page 6: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/6.jpg)
1.3 SISTEM KOORDINAT KARTESIAN
Titik
• dinyatakan dengan 3 buah koordinat x, y dan z
P(x, y, z)
• Contoh : P(1, 2, 3) Q(2, - 2, 1)
![Page 7: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/7.jpg)
Vektor
• dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan ax, ay dan az
• Contoh : r = x + y + z = x ax + y ay + z az
• vektor posisi dari sebuah titik dalam ruang
![Page 8: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/8.jpg)
• Vektor Posisi
zyxP
zyxP
aa2a2r
a3a2ar
• Vektor antara 2 titik
zyx
zyxQPPQ
a2a4a
a)31(a)22(a)12(rrR
![Page 9: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/9.jpg)
• Titik asal O(0, 0, 0)
• Bidang x = 0 (bidang ZOY)
y = 0 (bidang ZOX)
z = 0 (bidang XOY)
![Page 10: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/10.jpg)
Elemen Luas (vektor)
dy dz ax dx dz ay dx dy az
Elemen Volume (skalar)
dx dy dz
![Page 11: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/11.jpg)
Perkalian titik dalam sistem koordinat kartesian
zzyyxx
yzzyxzzxxyyx
zzyyxx
oo
B2
z
2
y
2
x
2
z
2
y
2
x
zzyyxxzzyyxx
BABABABA
0aaaa0aaaa0aaaa
1aa1aa1aa
090cos10cos
B
BaBBBBAAAA
B,AcosBABA
aBaBaBBaAaAaAA
![Page 12: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/12.jpg)
• Proyeksi vektor A pada vektor B
B
A
AB
Proyeksi A pada B
BB a)aA(
![Page 13: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh Soal 1.1
Diketahui tiga buah titik A(2, 5, - 1), B(3, - 2, 4) dan C(- 2, 3, 1). Tentukan :
a). RAB RAC
b). Sudut antara RAB dan RAC
c). Proyeksi vektor RAB pada RAC
Jawab :
899,44416R660,825491R
20)2)(5()2)(7()4)(1(RR
a2a2a4Ra5a7aR
ACAB
ACAB
zyxACzyxAB
zyx
zyx
AC
ACAC a408,0a408,0a816,0
899,4
a2a2a4
R
Ra
o
ACAB
ACAB 9,61471,0)899,4)(660,8(
20
RR
RRcos
Proyeksi RAB pada RAC :
)a665,1a665,1a330,3
)a408,0a408,0a816,0(08,4
a)]408,0)(5()408,0)(7()816,0)(1[(a)aR(
zyx
zyx
ACACACAB
![Page 14: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/14.jpg)
Perkalian silang dalam sistem koordinat kartesian
A
AB
A B
B
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
aaa
BA
zzyyxxzzyyxx aBaBaBBaAaAaAA
190sin00sin
ABasinBABA
oo
NAB
yzxzy
xzyzxxyzyx
zzyyxx
aaaaa
aaaaaaaaaa
0aa0aa0aa
zxyyxyzxxzxyzzy a)BABA(a)BABA(a)BABA(BA
![Page 15: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh Soal 1.2 :
Sebuah segitiga dibentuk oleh A(2, - 5, 1), B(- 3, 2, 4) dan C(0, 3, 1).
Tentukan :
a). RBC RBA
b). Luas segitiga ABC
c). Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga
Jawab :
899,44416R660,825491R ACAB
zyx
zyx
zyx
BABC
a26a6a24
a)]5)(1()7)(3[(a)]5)(3()3)(3[(a)]7)(3()3)(1[(
375
313
aaa
RR
944,172
888,35
2
26624
2
RRABC
222BABC
zyx
zyx
N a725,0a167,0a669,0888,35
a16a6a24a
![Page 16: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/16.jpg)
1.4 SISTEM KOORDINAT SILINDER
Titik
• dinyatakan dengan 3 buah koordinat , dan z
P(, , z)
Transformasi sistem koordinat
zzzz
x
ytgsiny
yxcosx
SilinderKartesianKartesianSilinder
1
22
![Page 17: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/17.jpg)
Contoh Soal 1.3 :
Diketahui titik-titik A(2, 3, - 1) dan B(4, - 50o, 2). Hitung jarak
dari A ke B.
Jawab :
Untuk menentukan jarak dari A ke B, titik B harus terlebih
dahulu dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian.
x = cos = 4 cos (–50o) = 2,571
y = sin = 4 sin (–50o) = - 3,064
z = z = 2
79,63)064,6()571,0(R
a3a064,6a571,0
a)12(a)3064,3(a)2571,2(R
222AB
zyx
zyxAB
![Page 18: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/18.jpg)
Vektor
dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan
zzz aAaAaAAa,a,a
Vektor satuan dalam arah dan tergantung pada posisinya di dalam ruang
Transformasi vektor
a a az
ax cos - sin 0
ay sin cos 0
az 0 0 1
Silinder Kartesian
Silinder Kartesian
yx
x
asinacosa:Vertikal
asinacosa:Horisontal
![Page 19: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh Soal 1.4 :
Nyatakan vektor
dalam sistem koordinat silinder di titik A(2, 3, 5).
Jawab :
Terlebih dahulu dilakukan transformasi koordinat untuk
menghitung sudut di titik A, yaitu :
zyx a4a2a4R
o11 3,562
3tg
x
ytg
a a az
ax cos = 0,555 - sin = - 0,832 0
ay sin = 0,832 cos = 0,555 0
az 0 0 1
z
z
a4a438,4a556,0
a4)a555,0a832,0(2)a832,0a555,0(4R
![Page 20: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/20.jpg)
Bidang = konstan (permukaan silinder)
= konstan (bidang datar melewati
sumbu-z)
z = konstan (bidang datar tegak lurus
sumbu-z)
![Page 21: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/21.jpg)
• Elemen Luas (vektor)
zaddaddadzd
dzdd
• Elemen volume (skalar)
![Page 22: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh Soal 1.5
Sebuah silinder berjari-jari 2 m dan tingginya 5 m. Hitung sebagian dari luas permukaan
silinder tersebut
![Page 24: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/24.jpg)
1.5 SISTEM KOORDINAT BOLA
Titik
• dinyatakan dengan 3 buah koordinat r, , dan :
P(r, , )
x
ytgcosrz
zyx
zcossinsinry
zyxrcossinrx
BolaKartesianKartesianBola
1
222
1
222
Transformasi Koordinat
![Page 25: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/25.jpg)
• Contoh Soal 1.5 :
• Nyatakan koordinat titik B(1, 3, 4) dalam sistem koordinat
bola. Jawab :
o11
o1
222
1
222222
6,711
3tg
x
ytg
3,38099,5
4cos
zyx
zcos
099,5431zyxr
4z3y1x)4,3,1(B
)6,71,3,38,099.5(B
6,713,38099,5r
oo
oo
![Page 26: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/26.jpg)
Vektor
• dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan :
• Vektor satuan tergantung pada posisinya di dalam ruang
aAaAaAAa,a,a rrr
ar a a
ax sin cos cos cos - sin
ay sin sin cos sin cos
az cos - sin 0
Bola Kartesian
Transformasi Vektor
zyxr
x
acosasinsinacossina:Vertikal
asinacoscosacossina:Horisontal
![Page 27: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/27.jpg)
Contoh Soal 1.6 :
Sebuah vektor memanjang dari titik A(2, - 1, - 3) ke titik B(1, 3, 4).
Nyatakan vektor tersebut dalam koordinat bola di titik B.
Jawab :
B(1, 3, 4) = 38,3o = 71, 6o
ar a a
ax sin cos
sin 38,3o cos 71,6o
(0,620)(0,316) = 0,196
cos cos
cos 38,3o cos 71,6o
(0,785)(0,316) = 0,248
- sin
- sin 71,6o
- 0,949
ay sin sin
sin 38,3o sin 71,6o
(0,620)(0,949) = 0,588
cos sin
cos 38,3o sin 71,6o
(0,785)(0,949) = 0,745
cos
cos 71,6o
0,316
az cos
cos 38,3o
0,785
- sin
- sin 38,3o
- 0,620
0
zr
z
r
zyxAB
a213,2a608,1a651,7
a)]0(7)316,0(4)949,0([
a)]629,0(7)745,0(4248,0[a)]785,0(7)588,0(4196,0[
a7a4aR
![Page 28: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/28.jpg)
• Bidang r = konstan (kulit bola)
= konstan (selubung kerucut)
= konstan (bidang datar melewati sumbu-z)
![Page 29: BAB 1 ANALISIS VEKTOR · PDF fileProyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada ... Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab: R AB 1 49 25 8 ,660 R AC 16 4 4 4,899 x y z x](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081722/5a77a9e67f8b9a93088dfeac/html5/thumbnails/29.jpg)
• Elemen Luas (vektor)
• Elemen Volume (skalar)
ardrdadrdsinraddsinr r2
ddrdsinr2