bab 1 persamaan dan pertidaksamaan standar · pdf filepersamaan dan pertidaksamaan, (3 ......
TRANSCRIPT
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 1
BAB 1
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
Standar Kompetensi
Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real )(R sebagai semesta
untuk menentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan, dapat mengembangkan
bentuk persamaan dan pertidaksamaan yang memuat harga mutlak serta menyatakan
selesaian persamaan dan pertidaksamaan dengan metode interval.
Kompetensi Dasar
Setelah mempelajari pokok bahasan persamaan dan pertidaksamaan diharapkan
mahasiswa:
1. Dapat menyatakan bilangan rasional baQ sebagai bentuk desimal berulang atau
sebaliknya.
2. Dapat menentukan selesaian persamaan.
3. Dapat menentukan selesaian pertidaksamaan.
4. Dapat menetukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan yang memuat harga
mutlak.
Beberapa konsep yang dibahas dalam bab 1 adalah (1) sistem bilangan real, (2)
persamaan dan pertidaksamaan, (3) nilai mutlak, (4) persamaan dan pertidaksamaan
yang memuat nilai mutlak, dan (5) soal latihan.
1.1 Sistem Bilangan Real
Sebelum penulis menguraikan konsep sistem bilangan real )(R , terlebih dahulu
marilah kita ingat kembali konsep himpunan (set). Himpunan mempunyai peranan
sangat penting dalam memahami sistem bilangan real. Secara eksplisit himpunan
didefinisikan sebagai sekumpulan objek, unsur atau sesuatu yang mempunyai ciri-ciri,
kriteria dan syarat yang tertentu serta terdefinisi dengan jelas. Objek atau unsur sesuatu
himpunan A dinamakan anggota atau elemen. Anggota suatu himpunan dinyatakan
dengan ,....,,, dcba atau ,....4,3,2,1 sedangkan nama himpunan dinyatakan dengan huruf
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 2
kapital ,,,, DCBA dan seterusnya. Misal kita mendefinisikan suatu himpunan A
dengan menyatakan secara jelas anggota-anggotanya yang terdiri dari edcba ,,,, ,
himpunan A tersebut dapat ditulis dalam bentuk },,,,{ edcbaA dengan masing-
masing anggota himpunan A dipisahkan oleh tanda baca koma dan terdapat dua tanda
kurung { }. Jika himpunan A mempunyai anggota banyaknya tak hingga maka unsur-
unsurnya tidak ditulis semuanya akan tetapi cukup dituliskan beberapa anggotanya dan
titik-titik sebanyak 3 atau 5 , Jika a adalah anggota himpunan A maka pernyataan
tersebut ditulis dengan notasi Aa dan dibaca a anggota A. Jika a bukan anggota
himpunan A , maka dituliskan Aa dan dibaca “a bukan anggota A. Jika suatu
himpunan A tidak memiliki anggota, maka A disebut himpunan kosong, dan
dinyatakan dengan notasi atau { }.
Himpunan sebagai telah disebutkan di atas, dalam penulisannya dapat dilakukan
dengan dua metode, yaitu metode pencirian (notasi) dan metode perincian (tabulasi).
Metode pencirian dilakukan dengan cara menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki
oleh seluruh anggota suatu himpunan akan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang
bukan anggota himpunan tersebut. ,
Contoh:
1) }10{ darikurangprimabilanganyyA
2) }21{ dariganjilfaktorxxB
3) },1{ 2 primabilanganxxxC
4) }21{ darigenapfaktorxxD
5) }043{ 2 xxxE
6) }043{ 2 xxxF
7) }24{ xxG
8) }4),{( 22 yxyxH
9) }}3,2,1{{ darikuasahimpunanV
Metode perincian dilakukan dengan cara mendaftar seluruh anggota himpunan yang
memenuhi syarat dan ketentuan yang diberikan dalam suatu himpunan.
Contoh
1) ,...}5,4,3,2,1{A
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 3
2) },',,,,{ sabtuatjumkamisrabuselasaseninB
3) ,...}19,17,13,11,7,5,3,2{C
4) },,{ hijaukuningmerahD
5) }0{E
6) }{F
7) },1{ xG
8) ),...}4,3(),3,2(),2,1{(H
9) }}2,1{},2{},1{,{V
Misal A dan B suatu himpunan, himpunan A disebut himpunan bagian
himpunan B , ditulis dengan notasi BA , jika setiap anggota A merupakan anggota
B. Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa A untuk sebarang himpunan A.
Jika setiap anggota himpunan anggota A juga merupakan anggota setiap himpunan
B maka dinotasikan dengan BA
Selanjutnya untuk memudahkan para pembaca dalam memahami konsep sistem
bilangan real berikut ini diberikan beberapa bilangan dan himpunan bilangan yang pada
bab-bab selanjutnya dalam buku ini sering ditemukan. Bilangan dan himpunan bilangan
tersebut adalah:
1. Himpunan bilangan asli (Natural)
Himpunan bilangan asli biasanya dinotasikan dengan N dan anggota-anggota
bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... sehingga ,...}6,5,4,3,2,1{N
Bilangan asli tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk
setiap ba, bilangan asli maka )( ba dan ).( ba bilangan asli. Oleh karena itu,
himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem sistem bilangan asli.
2. Bilangan cacah (whole)
Bilangan cacah biasanya dinotasikan dengan W dan anggota-anggota bilangan cacah
adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., sehingga ,...}.6,5,4,3,2,1,0{W Bilangan cacah tertutup
terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk setiap ba, bilangan
cacah maka )( ba dan ).( ba bilangan cacah.
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 4
3. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan lawan dari bilangan-
bilangan asli membentuk sistem bilangan bulat, Bilangan bulat biasanya dinotasikan
dengan Z yang anggota-anggotanya adalah ...-3, -2, -,1, 0, 1, 2, 3, ..., sehingga
,...}.3,2,1,0,2,2,3{... Z
4. Bilangan pecahan atau bilangan rasional (quotient) biasanya dinyatakan dengan Q .
Bilangan rasional adalah bilangan yang secara umum dinyatakan dengan
0,,. bZbabaQ
Contoh
1) 31
p
2) 112
q
3) 722
r
Bilangan-bilangan rasional di atas, dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan
desimal, yaitu
1) ...33333333,031p
2) ...142857142857142857,0112
q
3) ...571481428571428,3722
r
Jika kita cermati lebih mendetail, bilangan-bilangan desimal sebagai mana
tersebut di atas selalu berulang angka-angkanya, sehingga bilangan rasional juga disebut
bilangan desimal berulang. Sebaliknya bilangan desimal berulang dapat dinyatakan
sebagai bilangan rasional. Untuk menyatakan bentuk desimal menjadi bilangan rasioan
adalah dengan cara melihat angka yang berulang pada bilangan tersrsebut. Jika terdapat
1 angka yang berulang maka kalikan bilangan dimaksud dengan 110 . Jika terdapat 2
angka yang berulang maka kalikan bilangan tersebut dengan .102 dan seterusnya.
Selanjutnya cari selisih bilangan semula dengan bilangan yang baru. Dengan metode
perhitungan sederhana akhirnya diperoleh bilangan rasional yang dimaksud. Untuk
lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut ini.
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 5
Contoh:
Ubahlah bilangan desimal berikut ini menjadi bentuk rasional 0,,. bZbabaQ
1. Tentukan bentuk rasional bilangan 0,12121212...
Jawab
Bilangan ...12121212,0 adalah bilangan desimal dengan 2 angka berulang yaitu
angka 1 dan 2 .
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 0,1,212121212... adalah 2
angka, kalikan bilangan ...12121212,0 dengan bilangan 210 .
Misal ...12121212,0x , sehingga diperoleh
...212121212,1,12100 x
Akibatnya 12...)12121212,0(...)12.121212,12(100 xx
...)12121212,0(...)12.121212,12(10 xx
9912
1299
x
x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan ...12121212,0 adalah 9912
2. Tentukan bentuk rasional bilangan .....412333333,1
Jawab
Bilangan .....412333333,1 adalah bilangan desimal dengan 1 angka berulang yaitu
angka 3.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan .....412333333,1 adalah 1
angka, kalikan bilangan .....412333333,1 dengan bilangan 110 .
Misal ...4123333333,1x , sehingga diperoleh
...12333333,1410 x
Akibatnya ...)412333333,1(...)123333333,14(10 xx
9001271
971,1271,129
x
x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan .....412333333,1 adalah 900
1271
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 6
3. Tentukan bentuk rasional bilangan ...2739826273273,0
Jawab
Bilangan ...2739826273273,0 adalah bilangan desimal dengan 3 angka berulang
yaitu angka 2,7, dan 3.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan ...2739826273273,0
adalah 3 angka, kalikan bilangan ...2739826273273,0 dengan bilangan 310 .
Misal
...2739826273273,0x
...35627327327,9821000 x
Akibatnya ...)32739825627327,0(...)35627327327,982(1000 xx
9990098158017
99958017,981
58017,981999
x
x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan ...2739826273273,0 adalah
9990098158017
4. Tentukan bentuk rasional bilangan ...2543120543125431,0
Jawab
Bilangan ...2543120543125431,0 adalah bilangan desimal dengan 4 angka
berulang yaitu angka 5, 4, 3, 2, dan 1.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan ...2543120543125431,0
adalah 4 angka, kalikan bilangan ...2543120543125431,0 dengan bilangan 410 .
Misal
...4310543154315,0x , sehingga diperoleh
....154315431,54310000 x
Akibatnya ...)4310543154315,0(...)154315431,543(10000 xx
999905421
99991,542
1,5429999
x
x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan ...4310543154315,0 adalah 999905421
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 7
5. Bilangan Irasional (_Q ) atau disebut juga bilangan tidak rasional yaitu bilangan yang
tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 0,,. bZbabaQ . Karena bilangan
rasional dapat dinyatakan dengan bilangan desimal yang angka-angkanya berulang,
maka bilangan irasional adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada
yang berulang. Bilangan irasional juga disebut dengan bilangan bentuk akar.
Persoalan dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai adanya bilangan-
bilangan irasional. Contoh bilangan irasional antara lain adalah 2 dan . Bilangan
2 adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya
masing-masing adalah 1. Perhatikan gambar berikut.
Gambar 1.1
Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi antara keliling sebarang lingkaran
dengan panjang garis tengah lingkaran tersebut. Perhatikan gambar berikut ini.
Gambar 1.2
21
1
1d 2d
1l2l
2
2
1
1
dl
dl
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 8
Contoh
1) 2 = 1,41421356237...
2) 3 = 1,73205080756...
3) 11 = 3,316625790355...
4) π = 3.14159265358979….
5) e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352…
Berdasarkan contoh di atas, tampak bilangan-bilangan dalam bentuk akar
umumnya adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada yang berulang.
Sehingga bilangan akar juga disebut bilangan irasional. Dengan demikian apa yang
selama ini dianggap sama yaitu 722 = tidaklah selalu benar. Karena
722 adalah
bilangan rasional, sedangkan adalah bilangan irasional.
6. Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan bilangan rasional
membentuk himpunan semua bilangan real )(R , sehingga QQZWNR
Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali
digunakan cara desimal.
Contoh
Bilangan-bilangan 667dan,
35,
43 masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal
sebagai dan,...666,1,75,0 ....1060606,0 Dapat ditunjukkan bahwa bentuk
desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:
i. berhenti ( dst.81,
25,
43 ), atau
ii. berulang beraturan ( dst.,667,
35 ).
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Untuk sebarang dcba ,,, bilangan real berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
1) Sifat komutatif
(i). abbaabba ..).ii(
2) Sifat asosiatif
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 9
cbacbacbacbacbacba
......).ii().i(
3) Sifat distibutif perkalian terhadap penjumlahan
).().().( cabacba
4) (i). 0,1. bb
aba
(ii). 0,0,.
).().(
db
dbcbda
dc
ba
(iii). 0,0,... dbdbca
dc
ba
5) (i). ).().().( bababa
(ii). baba .)).((
(iii). aa )(
6) (i). 00
a, untuk setiap bilangan 0a .
(ii). 0a tak terdefinisikan.
(iii). 1aa , untuk setiap bilangan 0a .
7) Hukum kanselasi
(i). Jika cbca .. dan 0c maka ba .
(ii). Jika 0, cb maka ba
cbca
.
. .
8) Sifat pembagi nol
Jika 0. ba maka 0a atau 0b .
Sifat-sifat terurut bilangan Real
Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar atau landasan
dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu. Prinsip dapat diambil dari definisi,
aksioma, atau dalil-dalil yang “dimunculkan” kembali untuk digunakan pada bagian lain
suatu konsep yang memerlukan. Diantara prinsip dalam matematika adalah prinsip
urutan (well ordering principle).
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 10
Prinsip urutan berkaitan dengan kepositipan dan ketaksamaan antara bilangan-
bilangan real. Cara yang dapat dilakukan untuk melakukan sifat keterurutan adalah
mengidentifikasi suatu subset khusus dari R dengan menggunakan gagasan
“kepositipan”.
Definisi
Misalkan P himpunan bagian R dan P . Untuk selanjutnya P disebut bilangan real
positip kuat, maka berlaku sifat-sifat berikut ini:
(1) Jika Pba , maka Pba )(
(2) Jika Pba , maka Pba ).(
(3) Jika Ra , maka tepat dari salah satu yang berikut dipenuhi
PaaPa ,0,
Dua sifat yang pertama menjamin kesesuaian dari urutan dengan operasi
penjumlahan dan perkalian secara berurutan. Sifat (3) biasanya disebut sifat trikotomi
karena membagi R menjadi 3 jenis unsur yang berbeda. Dinyatakan bahwa }{ Paa
dari bilangan real negatip tidak mempunyai unsur persekutuan dengan ,P dan
selanjutnya himpunan R merupakan gabungan dari tiga himpunan yang saling asing.
Definisi
1) Jika Pa , kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real positip kuat
(strictly positip) dan dituliskan dengan 0a , Jika }0{ Pa , maka a disebut
bilangan real tidak negatip dan dituliskan dalam bentuk 0a .
2) Jika Pa , kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real negatip kuat
(strictly negatip) dan dituliskan dalam bentuk 0a , Jika }0{ Pa , maka a
disebut bilangan real tidak positip dan dituliskan dalam bentuk .0a
3) Jika Rba , dan jika Pba maka dituliskan dalam bentuk ba atau .ab
4) ika Rba , dan jika }0{ Pba maka dituliskan dalam bentuk ba atau
ab .
Untuk kesepakatan bersama kita akan menuliskan cba yang berarti ba dan
cb . Demikian juga jika cba yang berarti ba maka cb dan seterusnya.
Berikut ini diberikan beberapa teorema yang berkaitan dengan prinsip keterurutan
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 11
Teorema 1
Misalkan Rcba ,,
1. Jika ba dan cb maka ca .
2. Tepat dari salah satu pernyataan berikut ini dipenuhi
bababa ,,
3. Jika ba dan ba maka ba
Bukti
1) ba maka menurut definisi 0 ba atau Pba
cb maka menurut definisi 0 cb atau Pcb
Karena Pba dan Pcb maka menurut definisi diperoleh
Pcbba )()(
sehingga Pca atau ca
2) Dengan sifat trikotomi dalam definisi, maka tepat salah satu dari yang berikut
mungkin terjadi
0 ba , atau 0 ba atau 0)( ba sehingga ba atau
ba atau ba
3) Jika ba , maka 0 ba , sehingga dari bukti (b) kita dapatkan
Pba atau Pcb yakni ba atau ab . Dalam kasus lainnya salah
satu dari hipotesisi tersebut kontradiksi. Jadi haruslah ba
Teorema 2
1. Jika Ra dan 0a maka .02 a
2. 01
3. Jika Nn maka 0n
Bukti
1. Dengan sifat trikotomi jika 0a , maka Pa atau Pa . Jika Pa maka
dengan definisi kita mempunyai aaa .2 , untuk Pa . Dengan cara yang sama
Jika -a P maka dengan definisi sebelumnya diperoleh bentuk
Paaa ))(()( 2 . Berdasarkan teorema sebelumnya berakibat bahwa:
2)1)(1()1()1())(( aaaaa . Akibatnya bahwa Pa 2 . Jadi kita
simpulkan bahwa jika Pa , maka 02 a .
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 12
2. Karena 2)1(1 , menurut bukti di atas akan menyebabkan bahwa 1 > 0.
3. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikan pernyataan ini.
Pernyataan tersebut benar untuk 1n yakni 1 > 0. Selanjutnya kita anggap benar
untuk kn , dengan k bilangan asli.
Karena 1 > 0 dan P1 , maka Pk 1 , sehingga pernyataan di atas benar adanya
dengan menggunakan definisi sebelumnya.
Teorema 3
Misalkan Rcba ,,
1. Jika ba , maka cbca
2. Jika ba , dan cb maka dbca
3. Jika ba , 0c maka bcac
4. Jika ba , 0c maka bcac
5. Jika 0a maka 01
a
6. Jika 0a maka 01
a
Bukti teorema di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Karena ba berarti menurut definisi sebelumnya 0 ba . Karena 0 ba
sehingga Pba .
)()()( ccbaba
)()()()( cbcaccba
Sehingga Pcbca )()( . Dengan kata lain 0)()( cbca
Karena 0)()( cbca berarti )()( cbca
2. Karena ba dan dc berarti 0 ba dan 0 dc .
Hal ini berarti Pba dan Pdc .
Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh
Pdcba )()( . Dengan kata lain 0)()( dcba , atau
0)()( dcba sehingga berlaku )()( dcba
3. Karena ba dan dc berarti 0 ba dan 0 dc .
Hal ini berarti Pba dan Pdc .
Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 13
Pcba )( . Dengan kata lain Pbcac )( , atau
0)( bcac sehingga berlaku bcac
4. Karena ba dan 0c berarti 0 ba dan 0c atau 0)( c .
Hal ini berarti Pba dan Pc .
Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh
Pcba ))(( . Dengan kata lain Pacbc )( , atau
Pacbc )( sehingga berlaku acbc
5. Jika 0a maka 0a (berdasarkan sifat trikotomi). Karena 0a , berdasarkan
sifat sebelumnya maka berlaku ,01
a Jika 01
a
, berdasarkan teorema
sebelumnya diperoleh 011
aa .
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah
01
a
6. Jika 0a , maka 0a (berdasarkan sifat trikotomi). Karena 0a , berdasarkan
sifat sebelumnya maka maka berlaku ,01
a Jika
01
a, berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 011
aa
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah
01
a
Teorema 4
Jika Rba , , maka bbaa 21
Bukti.
Karena ba , maka dapat diperoleh baaa atau baa 2
Demikian pula ba maka dapat diperoleh bbba atau bba 2
Dari ketaksamaan baa 2 dan bba 2 didapatkan
bbaa 2
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 14
bbbaaa )2(21)(
21)2(
21
bbaa )(21
Akibat dari teorema di atas adalah:
jika Ra dan 0a maka bbaa )(21
Soal-soal
1) Misalkan Rdcba ,,, buktikan pernyataan berikut:
a) Jika cbba , maka bdacbcad
b) Jika ba dan dc maka dbca
c) 022 ba jika dan hanya jika a = 0 atau b = 0
2) Carilah bilangan Rdcba ,,, yang memenuhi ba 0 dan 0 da dan
berlaku
a) bdac
b) bdac .
3) Tentukan bilangan real x , sedemikian sehingga:
a) 432 xx
b) 41 2 x
c) xx
1
d) 721
x
e) 32
1
x
Garis Bilangan
Secara geometris, sistem bilangan real )(R dapat digambarkan dengan garis
lurus. Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini
dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama
dan disepakati arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah kiri O.
Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, … dapat dipasangkan dengan
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 15
masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan ...,3,2,1 dengan titik-titik
di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk
bilangan-bilangan ,2,32,
21 dst.
Perhatikan gambar berikut.
Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik
pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu
bilangan real. Oleh sebab itu, garis lurus sering disebut pula garis bilangan real.
1.2 Persamaan dan Pertidaksamaan
Istilah persamaan dan pertidaksamaan pada umumnya berhubungan dengan
peubah atau variabel. Peubah adalah lambang yang digunakan untuk menyatakan
sebarang anggota suatu himpunan. Jika anggotanya himpunan bilangan real maka
perubahnya disebut peubah real. Selanjutnya yang dimaksud dengan peubah dalam
persamaan dan pertidaksamaan yang akan dibahas dalam buku ini adalah peubah real.
Persamaan adalah kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu peubah
atau lebih dengan tanda sama dengan (=).
Contoh
1) 432 x
2) 72 23 xx
3) 0432 xx
4) 312
x
x
5) 21
xx
x
6) 084 xx
7) 023 zzz
8) 0)8126( 234 zzzz
2 1 0 1 2 3
Gambar 1.3
21
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 16
9) 0)( 24 zz
10) 0)412136( 234 zzzz
11) 0)16249( 246 zzz
12) 0)( 68 zz
13) 0)64( 23 z
14) 01202742258515 2345 zzzzz
15) 04423 zzz
16) 0)( 4 zz
17) 0)52( 52 zz
18) 0)365( 24 zz
19) 04875 2345 zzzzz
20) 0133 23 zzz
21) 0)3)(44( 2 zzz
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu
peubah atau lebih dan tanda ketidaksamaan (<, >, , ).
Contoh
1) 432 x
2) 32 23 xx
3) 522 23 xx
4) 822 xx
5) 02
3
x
6) 312
x
x
7) 21
xx
x
8) 41
1 x
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 17
Karena persamaan dan pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka dan mempunyai
peubah, maka peubah tersebut dapat ditentukan sehingga memenuhi persamaan atau
pertidaksamaan dimaksud, sehingga persamaan atau pertidaksamaan mempunyai arti
dan bernilai benar. Nilia peubah yang memenuhi persamaan atau pertidaksamaa disebut
selesaian. Himpunan semua bilangan real yang merupakan selesaian dari suatu
persamaan atau pertidaksamaan disebut himpunan selesaian. Sifat-sifat dan hukum
dalam bilangan real R sangat membantu dalam menentukan selesaian persamaan atau
pertidaksamaan yang diberikan.
Contoh
Tentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan di bawah ini.
1) 342 x
Jawab
342 x
27
27
22
7243442
x
xxx
Jadi selesaian persamaan 342 x adalah x = 27
2) 0432 xx
Jawab
0432 xx
140)1(0)4(
0)1)(4(0432
xatauxxataux
xxxx
Jadi selesaian persamaan 0432 xx adalah 1x atau 1x
3) Tentukan selesaian pertidaksamaan 7552 xx .
Jawab
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 18
4)31.(12)31.(3
12355755552
7552
xxx
xxxxxx
Jadi, selesaian pertidaksamaan 7552 xx .adalah x > -4
Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan dibandingkan
pertidaksamaan-pertidaksamaan seperti pada contoh di atas.
Beberapa contoh diberikan sebagai berikut.
1) Tentukan selesaian 0652 xx
Jawab
Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh:
032 xx
Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor
positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,
(i). Jika ke dua faktor positif maka:
3dan2
03dan02
xxxx
Sehingga diperoleh: 3x .
(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:
3dan2
03dan02
xxxx
Diperoleh: 2x .
Jadi, selesaian persamaan 0652 xx adalah x < 2 atau x > 3.
Selesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai berikut: Ruas kiri
pertidaksamaan bernilai nol jika 3atau2 xx . Selanjutnya, ke dua bilangan ini
membagi garis bilangan menjadi 3 bagian: 3dan,32,2 xxx .
0 2 3 4
x<2 2<x<3 x>3
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 19
Gambar 1.4
Pada bagian 2x , nilai )3(dan)2( xx keduanya nega tif, sehingga hasil kali
keduanya positif. Pada segmen 32 x , )2( x bernilai positif sedangkan )3( x
bernilai negatif. Akibatnya, hasil kali keduanya bernilai negatif. Terakhir, pada bagian
3x , )3(dan)2( xx masing-masing bernilai positif sehingga hasil kali keduanya
juga positif. Rangkuman uraian di atas dapat dilihat pada Tabel berikut.
Tanda nilai
Kesimpulan 2x 3x )3)(2( xx
2x - - + Pertidaksamaan dipenuhi
32 x
+ - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi
3x + + + Pertidaksaman dipenuhi
Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah 2x atau 3x .
Metode penyelesaian seperti pada contoh 1 di atas dapat pula diterapkan pada
bentuk-bentuk pertidaksamaan yang memuat lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk
pecahan.
2) 112 23 xxx .
Jawab
Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka diperoleh:
0)2)(1)(1(
022 23
xxx
xxx
Jika 0)2)(1)(1( xxx , maka diperoleh: 2atau,1,1 xxx .
Selanjutnya, perhatikan table berikut:
Nilai-nilai peubah 2,1,1 xxx disebut titik kritis.
Tanda nilai/nilai
Kesimpulan 1x 1x 2x )2)(1)(1( xxx
1x - - - - Pertidaksamaan dipenuhi
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 20
11 x + - - + Pertidaksamaan tidak dipenuhi
21 x + + - - Pertidaksamaan dipenuhi
2x + + + + Pertidaksamaan tidak dipenuhi
1x 0 -2 -3 0 Pertidaksamaan dipenuhi
1x 2 0 -1 0 Pertidaksamaan dipenuhi
2x 3 1 0 0 Pertidaksamaan dipenuhi
Jadi, selesaian pertidaksamaan 112 23 xxx x 1 atau 1 2 x .
Cara lain untuk menentukan selesaian pertidaksamaan 112 23 xxx .
adalah dengan menggunakan garis bilangan
2,1,1
,0)2)(1)(1(0112
11223
23
xdanxxadalahmaanpertidaksakritistitikSehingga
xxxxxx
xxx
Dengan memilih satu titik sebarang disetiap interval diatas diperoleh:
- - - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + +
Berdasarkan garis bilangan di atas selesaian pertidaksamaan adalah
x 1 atau 1 2 x .
3) 1282
x
xx .
Penyelesaian
Apabila pada ke dua ruas ditambahkan )1( x maka diperoleh:
02
)2)(5(
02
103
02
2820)1(282
2
2
xxx
xxxx
xxxxxx
1 1 2
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 21
Nilai nol pembilang adalah 5dan2 , sedangkan nilai nol penyebut adalah 2.
Sekarang, untuk mendapatkan nilai x sehingga 02
)2)(5(
xxx diperhatikan tabel
berikut:
Tanda nilai/nilai Kesimpulan 2x 2x 5x
2)5)(2(
xxx
2x - - - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi
22 x + - - + Pertidaksamaan dipenuhi
52 x + + - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi
5x + + + + Pertidaksamaan dipenuhi
2x 0 -4 -7 0 Pertidaksamaan dipenuhi
2x 4 0 -3 Tidak terdefinisi
Pertidaksamaan tidak dipenuhi
5x 7 3 0 0 Pertidaksamaan dipenuhi
Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah 522 xataux dan ditulis dengan
notasi interval ~),5[)2,2[
Berdasarkan contoh di atas, bahwa tampak selesaian suatu persamaan berupa titik
(diskrit), sedangkan selesaian pertidaksamaan berupa selang/interval (kontinu).
Selang
Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan ba . Berturut-turut
didefinisikan:
axxaaxxa
axxaaxxa
bxaxbabxaxba
bxaxbabxaxba
)~,(]~,(
~),(~),[
],(),[
),(],[
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 22
1.3 Nilai Mutlak
Misal x suatu bilangan real, nilai mutlak x dinotasikan dengan x dan
didefinisikan sebagai panjang atau jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Definisi
Misal x real maka:
0,0,
xuntukxxuntukx
x
Bentuk lain dari definisi di atas adalah sebagai berikut:
2xx .
Contoh
88 , 25
25 , 33 , 2)2(2 ,
72
72
72
dst.
Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak diterangkan sebagai berikut.
Sifat-sifat Nilai Mutlak
1. Jika Ryx , maka:
a) 0x
b) 00 xx
c) yxyx ..
d) 0, yasalyx
yx
e) yxyx (Ketaksamaan segitiga)
f) yxyx
Secara geometris, nilai mutlak ax dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Sebagai
contoh, jika 73 x maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebelah
kiri 3 (lihat Gambar 1.15).
4 3 10
7 unit 7 unit
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 23
Jadi selesaian 73 x adalah 10,4 .
Dengan mengingat nilai mutlak sebelumnya kiranya mudah dipahami sifat
berikut:
2. Jika 0a , maka: axaxax atau .
Contoh,
4atau4berarti4 xxx
35atau
35
53atau5353
xx
xxx
Dengan cara yang sama
2atau542atau102732atau732berarti732
xxxx
xxx
3. Jika 0a , maka:
a) axaax .
b) axaxax atau .
Contoh
Tentukan selesaian pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak di bawah ini:
1) Selesaikan 732 x .
Jawab
5atau2102atau42
732atau732732
xxxx
xxx
Jadi selesaian pertidaksamaan adalah 52 xataux
2) Tentukan semua nilai x yang memenuhi 32
2
xx .
Gambar 1.5
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 24
Jawab
3
22dan3
22
32
2332
2
xx
xx
xx
xx
Selanjutnya, karena:
2atau56
0265
032
232
2).i(
xx
xx
xx
xx
6atau2
026
032
232
2).ii(
xxxx
xx
xx
maka, diperoleh: 6atau56
xx .
3) Tentukan selesaian 24 xx .
Jawab:
(i). Apabila 02 x , maka selalu berlaku 24 xx untuk setiap x. Sehingga
diperoleh: 2x .
(ii). Jika 02 x , maka:
322,62
2,24atau2424
xxx
xxxxxxx
Dari (i) dan (ii), diperoleh 3x .
4) Tentukan selesaian 32
2
xx .
Jawab
Berdasarkan nilai mutlak dperoleh:
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 25
2,656
2,06652,036365
2,4494
02,23232
23
22
2
22
xx
xxxxxx
xxxx
xxxataux
xx
x
Jadi selesaian pertidaksamaan adalah 6,22,56
.
4. 22 yxyx
Contoh
Tentukan selesaian dari pertidaksamaan
a. 321 xx
Jawab
Menurut sifat 4 di atas, maka:
321 xx
621 xx
0)5)(73(035223
3624412)62()1(
2
22
22
xxxx
xxxxxx
Titik kritis pertidaksamaan adalah 37
x dan 5x sehingga gambar garis bilangan
+++++++++++ - - - - - - - - - - - - - +++++++
Jadi selesaian pertidaksamaan 321 xx adalah ~),5()57~,(
1.4 Soal Latihan
Tentukan selesaian pertidakasamaan dibawah ini!
1. 254 x 2. 4936 xx 3. 253 x
5/7 5
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 26
4. 01452 xx 5. 1032 xx 6. 0123 xx
7. 1312
xx 8. 5
22
x
9. 1
23
xx
10. xx
x 3124
11. x
xx
5
2 12. 21273
xx
13. 43 x 14. 523 x 15. 7321 x
16. 21
x 17. 32
x
18. 21
x
x
19. 2112
xx 20. 32 xx 21. xx 21
Untuk soal 22 – 24 tentukan x sehingga masing-masing pernyataan mempunyai arti.
22. 532 2 xx 23.82
122
xx
x 24.3
2
321
xx
25. Jika 21 ax dan 31 ay maka tunjukkan 65 yx .
26. Jika ba maka tunjukkan bahwa bbaa
2
. Bilangan 2
ba disebut rata-rata
aritmatika dari bilangan a dan b.
27. Jika ba 0 maka tunjukkan bahwa baba . Bilangan ab disebut rata-rata
geometri dari bilangan a dan b. Tunjukkan pula bahwa rata-rata geometri dari
bilangan a dan b kurang dari rata-rata aritmatikanya.
28. Tunjukkan bahwa yxyx .
29. Jika 0, ba dan ba maka tunjukkan ba11
.
30. Jika ba dan 0c , tunjukkan bcac .