1

Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama)

Dalam hal ini diberikan dua spesies yang hidup bersama dalam suatu habitat

tertutup. Kita ketahui bahwa terdapat beberapa jenis hubungan interaksi antara kedua

spesies tersebut mungkin berupa :

(1). Kerjasama, dalam hal ini kedua spesies memberikan manfaat satu sama lain.

(2). Mangsa – Pemangsa, dalam hal ini spesies mangsa dimangsa oleh spesies

pemangsa.

(3). Kompetisi, dalam hal ini kedua spesies memperebutkan sumber daya (misal

makanan) sama yang terbatas.

(4). Hubungan lain, seperti saling menyerang, parasitisme, komensalisme, dan lain-

lain.

Pada buku ini hanya dibahas model kerjasama (Bab 15) dan model mangsa-

pemangsa (Bab 16).

Model Kerjasama Dua Spesies Dalam masalah ini, diberikan 2(dua) spesies yang hidup bersama dalam suatu

habitat tertutup. Selama perjalanan hidupnya kedua spesies tsb saling bekerjasama

secara alamiah (mutualistis atau saling memberi manfaat). Bagi spesies pertama,

tanpa adanya spesies kedua maka spesies tsb akan meluruh lama kelamaan mendekati

punah. Dengan adanya spesies kedua, spesies pertama akan mengalami pertumbuhan

atau kalaupun meluruh tidak akan menuju kepunahan. Demikian juga sifat

pertumbuhannya bagi spesies kedua.

Sebagai contoh yang terjadi di alam adalah antara tumbuhan berbunga dan

kupu-kupu. Dalam hal ini bunga tersebut memberikan makanan kepada kupu-kupu,

dan sebaliknya kupu-kupu membantu penyerbukan bunga. Dapat juga sejenis pohon

tertentu dan semut. Dalam hal ini pohon tersebut memberikan batangnya sebagai

tempat tinggal dan memberikan makanan kepada semut, dan semut melindungi pohon

terhadap serangan spesies lain.

Pemodelan matematis masalah

Kita nyatakan

x(t) : populasi spesies pertama

y(t) : populasi spesies kedua

Pandang spesies pertama:

(i)Tanpa adanya spesies kedua, populasi spesies pertama akan meluruh dengan laju

peluruhan sebanding dengan populasinya :

axdt

dx .. (1)

(ii) Dengan adanya spesies kedua, laju pertumbuhan populasi spesies pertama akan

terbantu. Dalam hal ini bantuan laju pertumbuhannya sebanding dengan besarnya

populasi spesies kedua.

byaxdt

dx .. (1’)

Pandang spesies kedua:

2

(i) Tanpa adanya spesies pertama, populasi spesies kedua akan meluruh dengan laju

peluruhan sebanding dengan populasinya :

dydt

dy ..(2)

(ii) Dengan adanya spesies pertama, laju pertumbuhan populasi spesies kedua akan

terbantu. Dalam hal ini bantuan laju pertumbuhannya sebanding dengan besarnya

populasi spesies pertama.

dycydt

dx ..(2’)

Oleh karena kedua spesies hidup dalam habitat yang sama, maka model

matematis laju pertumbuhan kedua spesies ini merupakan gabungan (1’) dan (2’),

yaitu:

dycxdt

dy

byaxdt

dx

... (3)

dengan a, b, c, dan d merupakan tetapan-tetapan positif

Model matematis (3’) di atas merupakan suatu

Sistem Persamaan Diferensial (biasa) orde satu Linear Homogen

dengan koefisien tetapan (konstanta)

Dalam hal ini yang akan ditentukan adalah x = x(t) dan y = y(t) atau pertumbuhan

kedua spesies untuk setiap t.

Agar penyelesaian khususnya dapat diperoleh, maka(3) perlu dilengkapi

dengan syarat awal:

Untuk t = t0, x(t0) = x0 dan y(t0) = y0. ... (3’)

Dengan menggunakan penulisan matriks, sistem (3) dapat dinyatakan sebagai

y

x

dc

ba

dt

dydt

dx

.... (4)

atau

y

xA

dt

dydt

dx

, dengan A =

dc

ba ... (4’)

Model matematis penyelesaian masalah.

3

Dalam hal ini kita selesaikan sistem (3) dilengkapi dengan (3’), yaitu mencari

x = x(t) dan y = y(t) yang memenuhi (3) dan (3’). Untuk menyelesaikannya, Anda

dapat melihat kembali modul lain dalam program studi matematika yang mengandung

materi sistem persamaan diferensial biasa. Terdapat beberapa jalan (cara) untuk

menyelesaikan sistem persamaan diferensial (3)

Pada contoh-contoh di bawah ini hanya diberikan salah satu cara saja.

Contoh 1.

Dalam suatu habitat tertutup hidup 2(dua) spesies.

x(t) : populasi spesies pertama

y(t) : populasi spesies kedua,

Hubungan pertumbuhan kedua spesies adalah

yxdt

dy

yxdt

dx

2

42 .. (5)

Pada awal observasi, untuk t = 0, x(0) = 100, dan y(0) = 300.

Kita ingin melihat bagaimana pertumbuhan populasi kedua spesies tersebut.

Pertama-tama kita nyatakan :

x = x(t) = V1et

.. (6)

y = y(t) = V2et

..(6’)

sehingga diperoleh

teVdt

dx 1

teVdt

dy 2

Substitusi ke sistem persamaan (5) memberikan

teV 1 = -2(V1et

) + 4(V2et

)

teV 2 = 1(V1et

) - 2(V2et

)

yang dapat dinyatakan sebagai

et

[(-2 - )V1 + 4 V2] = 0

et

[ 1 V1 + (-2-)V2] = 0

Oleh karena et

0, maka diperoleh sistem :

0)2(1

04)2(

21

21

VV

VV

...(6)

Dapat juga ditulis sebagai :

21

42

2

1

V

V= 0 ..(6’)

Sistem (6) atau (6’) dapat diselesaikan apabila det [(A-I)] = 0, dengan I : matriks

satuan.

Dengan perkataan lain kita akan menentukan dahulu nilai . Dalam hal ini adalah

nilai eigen dari matriks A pada (6).

4

Kita hitung :

21

42 = 0

(-2-)2 – 4 = 0, atau (+4) = 0

memberikan 1 = 0, 2 = -4 (kedua nilai eigennya adalah real dan berbeda).

Selanjutnya kita substitusikan ke dalam (6) untuk memperoleh V1 dan V2.

(i) Untuk 1 = 0, persamaan (6) memberikan

-2V1 + 4V2 = 0

V1 – 2V2 = 0

Dari kedua persamaan terakhir di atas, diperoleh V1 = 2V2.

Dalam hal ini kita tetapkan, V1 = 2, dan V2 = 1.

Substitusi = 0, dan V1 = 2, dan V2 = 1 ke dalam (6) memberikan

x(t) = 2e0t

= 2.

y(t) = e0t

= 1.

(ii) Untuk 2 = -4, persamaan (6) memberikan

(-2+4)V1 + 4V2 = 0

V1 – (2+4)V2 = 0

Kedua persamaan di atas memberikan V1 = -2V2.

Kita tetapkan V1 = 2, dan V2 = -1.

Substitusi = -4, dan V1 = 2, dan V2 = -1 ke dalam (6) memberikan

x(t) = 2e-4t

y(t) = -e-4t

(di sini dapat kita lihat bahwa V =

2

1

V

V merupakan vektor eigen dari A)

Akhirnya, penyelesaian umum dari sistem persamaan (5) berupa kombinasi linear dari

yang diperoleh pada (i) dan (ii) di atas, yaitu

x(t) = 2C1 + C2 e-4t

… (7)

y(t) = C1 - C2 e-4t

…(7’)

Dengan menggunakan syarat awal t = 0, x(0) = 100, dan y(0) = 300, diperoleh bahwa

100 = 2C1 + C2

300 = C1 - C2

Dari kedua persamaan di atas diperoleh, C1 = 175 dan C2 = -125.

Jadi, penyelesaian khususnya adalah

x(t) = 350 – 250e-4t

... (8)

y(t) = 175 + 125e-4t

... (8’)

Dengan menggunakan x(t) dan y(t) yang kita peroleh di atas, kita akan memeriksa

bagaimana pertumbuhan dari kedua spesies.

Untuk t = 0, x(0) = 350 – 250(1) = 100

y(0) = 175 + 125(1) = 300

yaitu hasil observasi awal.

5

Untuk t , x(t) 350,

y(t) 175.

Dapat dinyatakan bahwa lama kelamaan populasi spesies pertama mendekati 350, dan

populasi spesies kedua mendekati 175.

Untuk dapat melihat pertumbuhan setiap saat kedua spesies, kita dapat melihatnya

melalui bentuk kurva x(t) dan y(t) yang diberikan pada Gambar 1 di bawah ini.

Gambar 1. bentuk kurva x(t) = 350 – 250e

-4t dan y(t) = 175 + 125e

-4t

Pada Gambar 1 di atas terlihat bahwa populasi spesies pertama (yaitu x(t)) tumbuh

dari x = 100, dan lama kelamaan mendekati x = 350

Hal ini dapat diperiksa dari

350)(lim

txt

Sedangkan populasi spesies kedua meluruh dari y = 300, dan lama kelamaan

mendekati y = 175.

Dalam hal ini,

175)(lim

tyt

Perhatikan juga bahwa pada t 0,2 , populasi kedua spesies sama besarnya.

Pengaruh suatu spesies terhadap spesies lain - Aspek Kerjasama.

Pada gambar 2 dan gambar 3 di bawah ini diberikan gambaran adanya pengaruh suatu

spesies terhadap spesies lain yang menunjukkan adanya kerjasama kedua spesies yang

diberikan.

6

Ditinjau dari spesies pertama

(i) Pertumbuhan spesies pertama tanpa adanya populasi spesies kedua :

Dalam hal ini pertumbuhan populasi x mengikuti persamaan (1).

xdt

dx2

memberikan x (t) = k.e-2t

.

Dengan syarat awal untuk t = 0, x(0) = 100, diperoleh bahwa pertumbuhan

populasi spesies pertama adalah

x (t) = 100.e-2t

.

Grafik kurva x(t) ini diberikan pada Gambar 2 sebagai kurva putus-putus.

Dalam hal ini x(t) meluruh dari x(0) = 100 lama kelamaan mendekati 0 atau lama

kelamaan spesies pertama punah

(ii) Pertumbuhan spesies pertama dengan adanya populasi spesies kedua :

Dalam hal ini pertumbuhan spesies pertama mengikuti (8), yaitu

x = 350 – 250e-4t

Grafik kurva x(t) ini diberikan pada Gambar 2 sebagai kurva penuh.

Dapat dilihat bahwa populasi spesies pertama tumbuh dari x(0) = 100 lama

kelamaan mendekati 350.

Gambar 2. Pertumbuhan spesies pertama tanpa dan dengan adanya spesies kedua

Dapat dibandingkan bahwa tanpa adanya spesies kedua lama kelamaan spesies

pertama akan punah. Tetapi dengan adanya spesies kedua, spesies pertama akan

tumbuh lama kelamaan menuju 350.

Ditinjau dari spesies kedua

(i) Pertumbuhan spesies kedua tanpa adanya populasi spesies pertama :

Dalam hal ini pertumbuhan populasi y mengikuti persamaan (2).

tdt

dy2

7

memberikan y (t) = k.e-2t

.

Dengan syarat awal untuk t = 0, y(0) = 300, diperoleh bahwa pertumbuhan

populasi spesies kedua adalah

y (t) = 300.e-2t

.

Grafik kurva y(t) ini diberikan pada Gambar 3 sebagai kurva putus-putus.

Dalam hal ini y(t) meluruh dari x(0) = 300 lama kelamaan mendekati 0 atau lama

kelamaan spesies kedua punah

(ii) Pertumbuhan spesies kedua dengan adanya populasi spesies pertama :

Dalam hal ini pertumbuhan spesies kedua mengikuti (8’), yaitu

y(t) = 175 + 125e-4t

Grafik kurva y(t) ini diberikan pada Gambar 2 sebagai kurva garis penuh.

Dapat dilihat bahwa populasi kedua meluruh dari y(0) = 300 lama kelamaan

mendekati 350.

Gambar 3. Pertumbuhan spesies kedua tanpa dan dengan adanya spesies pertama.

Dapat dilihat bahwa tanpa adanya spesies pertama lama kelamaan spesies kedua akan

punah. Dengan adanya spesies pertama, spesies kedua walaupun meluruh (menuju

175), tetapi tidak akan mencapai kepunahan

Kedua peninjauan di atas menunjukkan adanya kerjasama antara spesies pertama dan

spesies kedua.

Contoh 2.

Dalam contoh ini, model matematis masalahnya sama dengan Contoh 1, tetapi syarat

awalnya berbeda, yaitu

Untuk t =0 , x(0) = 300 dan y(0) = 100.

Kita ingin mengetahui bagaimana pertumbuhan kedua spesies.

8

Dalam hal ini kita gunakan penyelesaian umum pada Contoh 1, yaitu (7) dan (7’) :

x(t) = 2C1 + C2 e-4t

y(t) = C1 - C2 e-4t

Selanjutnya dengan menggunakan syarat awal yang diberikan, kita tentukan

C1 dan C2.

Dengan syarat awal yang diberikan, diperoleh bahwa

300 = 2C1 + C2

100 = C1 - C2

Dari kedua persamaan di atas, diperoleh : C1 = 400/3, C2 = 100/3.

Jadi, penyelesaian khususnya adalah:

x(t) = 800/3 + 100/3 e-4t

... (9)

y(t) = 400/3 - 100/3 e-4t

...(9’)

Pertumbuhan populasi kedua spesies dapat dilihat dari kurva x(t) dan y(t) pada

Gambar 4 di bawah ini.

Gambar 4. Bentuk kurva x(t) = 800/3 + 100/3 e

-4t , y(t) = 400/3 - 100/3 e

-4t

Pada Gambar 4 di atas terlihat bahwa populasi spesies pertama,yaitu x(t), meluruh

dari x = 300 lama kelamaan mendekati x = 250.

Sedangkan populasi spesies kedua, yaitu y(t), tumbuh dari y = 100 lama kelamaan

mendekati y = 125

Coba Anda bandingkan dengan hasil yang diperoleh pada Contoh 1 di atas !

Dalam hal ini bandingkan Gambar 1 dan Gambar 4.

Pada Contoh 1:

9

Populasi spesies pertama tumbuh, dan populasi spesies kedua meluruh.

Pada Contoh 2 :

Populasi spesies pertama meluruh, dan populasi spesies kedua tumbuh.

Jadi, dengan model matematis (hubungan dua spesies) yang sama, tetapi syarat

awalnya berbeda, maka pola pertumbuhannya (atau peluruhannya) berbeda.

Selanjutnya, kita ingin mengetahui bagaimanakah apabila tetapan pertumbuhannya

berbeda, tetapi syarat awalnya adalah sama.

Contoh 3 .

Dengan syarat awal seperti pada Contoh 1, tetapi model matematis hubungan

pertumbuhan kedua spesies berbeda, yaitu

yxdt

dy

yxdt

dx

24

2

Dengan syarat awal : untuk t = 0, x =100 dan y = 300.

Kita ingin mengetahui bagaimana pertumbuhan kedua spesies.

Coba Anda perhatikan, apakah perbedaan dengan hubungan pada Contoh 1 ?

Pada Contoh 1 kita lihat bahwa, a = 2, b = 1, c = 4, dan d = 2. Sedangkan pada

Contoh 3 ini, tetapan peluruhan a dan d sama yaitu 2, tetapi tetapan pertumbuhan b =

1 dan c = 4 atau b dan c dipertukarkan

Dengan menggunakan cara yang sama seperti pada Contoh 1, diperoleh

bahwa nilai eigen dari matriks A,

24

12 = 0

(-2-)2 – 4 = 0, memberikan nilai eigen :

1 = 0, 2 = -4

(sama seperti pada Contoh 1)

Untuk 1 = 0,

-2V1 + V2 = 0

4V1 - 2V2 = 0

Kedua persamaan di atas memberikan V1 = ½ V2 . Kita ambil V1 = 1, V2 = 2

Dengan demikian, x(t) = 1e0t

, y(t) = 2e0t

atau x(t) = 1, y(t) = 2.

Untuk 2 = -4,

2V1 + V2 = 0

4V1 + 2V2 = 0

Kedua persamaan di atas memberikan V1 = -½ V2 . Kita ambil V1 = 1, V2 = -2

10

Dengan demikian x(t) =1e-4t

, y(t) = -2e-4t

Jadi penyelesaian umumnya adalah : x(t) = C1 + C2 e-4t

y(t) = 2C1 -2C2 e-4t

Dengan menggunakan syarat awal :

100 = C1 + C2

300 =2C1 -2C2

diperoleh C1 = 125 dan C2 = -25,

Jadi, penyelesaian khususnya adalah : x(t) = 125 - 25 e-4t

y(t) = 250 +50 e-4t

Periksa :

dx/dt = 100e-4t

; dy/dt = -200e-4t

dx/dt = -2x + y = -2(125 - 25 e-4t

) + 250 +50 e-4t

= 50 e-4t

+ 50e-4t

= ..ok

dy/dt = 4x -2y = 4(125 - 25 e-4t

) – 2(250 +50 e-4t

) = -100e-4t

- 100 e-4t

= … ok

Grafik x(t) dan y(t) tersebut diberikan pada Gambar 5 di bawah ini.

Gambar 5. Grafik kurva x(t) = 125 - 25 e

-4t ; y(t) = 250 +50 e

-4t

Bandingkan kedua hasil yang diperoleh dari contoh 2 dan contoh 3, yaitu Gambar 4

dan Gambar 5.

Pada Gambar 4, x(t) atau populasi spesies pertama yang meluruh (menuju 250), tetapi

pada Gambar 5, x(t) tumbuh mendekati 125.

Sedangkan pada Gambar 4, y(t) atau populasi spesies kedua tumbuh mendekati 124,

tetapi pada Gambar 5, y(t) meluruh (menuju 250).

Selanjutnya perhatikan pula contoh di bawah ini.

11

Contoh 4: Model matematis masalahnya sama dengan Contoh 3, tetapi dengan syarat

awal berbeda:

yxdt

dy

yxdt

dx

24

2

Dengan syarat awal : untuk t = 0, x =300 dan y = 100.

Kita ingin mengetahui bagaimana pertumbuhan kedua spesies.

Kita gunakan penyelesaian umum pada Contoh 3, yaitu

x(t) = C1 + C2 e-4t

y(t) = 2C1 -2C2 e-4t

Dengan syarat awal yang diberikan, diperoleh :

300 = C1 + C2

100 = 2C1 - 2C2

yang memberikan, C1 = 175, C2 = 125

Dengan demikian penyelesaian khususnya adalah

x(t) = 175 + 125 e-4t

y(t) = 350 -250e-4t

Grafik kurva x(t) dan y(t) tersebut diberikan pada Gambar 6 di bawah ini.

Gambar 6. bentuk kurva x(t) = 175 + 125e

-4t dan y(t) =

350 – 250e

-4t

Coba bandingkan dengan kurva penyelesaian pada Contoh 1 (Gambar 1).

Dari bentuk kurvanya dilihat sepintas ada kemiripan bukan ?

Tetapi sebenarnya x(t) dan y(t) pada Contoh 1 adalah x(t) dan y(t) pada Contoh 4,

saling bertukar.

12

Dari keempat contoh yang diberikan, kita dapat menyimpulkan bahwa ditinjau dari

model matematis masalah dan bentuk kurvanya penyelesaian khususnya :

Contoh 1 Contoh 4

yxdt

dy

yxdt

dx

2

42

Syarat awal :

Untuk t = 0, x(0) = 100, dan y(0) = 300

yxdt

dy

yxdt

dx

24

2

Syarat awal :

Untuk t = 0, x = 300, dan y =100 Penyelesaian khusus :

x(t) = 350 – 250e-4t

y(t) = 175 + 125e

-4t

Penyelesaian khusus:

x(t) = 175 + 125e-4t

y(t) = 350 – 250e

-4t

Contoh 1 adalah mirip dengan contoh 4, dengan

Model matematis masalahnya : terjadi pertukaran tetapan

i.e b dan c dipertukarkan

Syarat awal : dipertukarkan.

Penyelesaian khususnya : pertukaran x(t) dan y(t)

Contoh 2 Contoh 3

yxdt

dy

yxdt

dx

2

42

Syarat awal :

Untuk t = 0, x(0) = 300, dan y(0) = 100

yxdt

dy

yxdt

dx

24

2

Syarat awal :

Untuk t = 0, x = 100, dan y =300 Penyelesaian khusus :

x(t) = 350 – 250e-4t

y(t) = 175 + 125e

-4t

Penyelesaian khusus:

x(t) = 175 + 125e-4t

y(t) = 350 – 250e

-4t

Contoh 2 adalah mirip dengan Contoh 3, dengan

Model matematis masalahnya : terjadi pertukaran tetapan

i.e b dan c dipertukarkan

Syarat awal : dipertukarkan.

Penyelesaian khususnya : dengan x(t) dan y(t) dipertukarkan

Nilai eigen dari matriks A dan bentuk kurva pertumbuhan. .

Perhatikan matriks A pada (4’), yaitu A =

dc

ba.

Nilai eigen dari A diperoleh dari persamaan :

dc

ba = 0

atau (-a-)(-d-) – bc = 0

13

2 + (a+d) + (ad – bc) = 0

Diskriminan dari persamaan kuadrat di atas adalah

D = (a+d)2 – 4(ad – bc)

Apabila semua nilai tetapan a, b, c, d adalah positif maka D >0 .

Jadi, nilai eigen yang diperoleh adalah dua bilangan real yang berbeda. Dapat

diperiksa juga bahwa apabila semua nilai tetapan a, b, c, d adalah 0, maka D 0.

Hal ini berarti bahwa kedua nilai eigen yang diperoleh sama.

Dengan demikian maka dalam model matematis masalah dua spesies yang

bekerjasama, yaitu (4), kurva pertumbuhan x(t) dan y(t) berbentuk eksponensial

ataupun eksponensial terbatas.

Telah dinyatakan bahwa bentuk model matematis masalah kerjasama antara

dua spesies adalah sistem persaman diferensial linear orde satu homogen (dengan

koefisien tetapan), maka pada Contoh berikut diberikan masalah yang bentuk model

matematis masalahnya berupa sistem persaman diferensial linear orde satu non

homogen (dengan koefisien tetapan).

Contoh 5 (model persaingan persenjataan)

Dalam hal ini kita pandang 2(dua) negara atau koalisi beberapa negara

(sebutlah A dan B). Potensi konflik antara A dan B tersebut diukur menurut tingkat

(kuantitas dan jenis) persenjataannya. Peningkatan persenjataan A akan memicu B

untuk meningkatkan tingkat persenjataannya. Demikian pula sebaliknya. Akan tetapi

keinginan peningkatan persenjataan tersebut dihambat oleh pertimbangan peningkatan

biaya.

Anggapan dasar yang digunakan dalam masalah ini adalah

(i) Laju peningkatan persenjataan suatu negara sebanding dengan tingkat persenjataan

negara lawan konfliknya

(ii) Peningkatan persenjataan suatu negara didorong pula oleh keinginan untuk

menunjukkan kelebihan persenjataannya (untuk membuat jera lawan konfliknya)

(iii) Konsekuensi dari peningkatan persenjataan adalah peningkatan anggaran biaya.

Akan diturunkan model mateatis dari masalah persaingan persenjataan tersebut.

Kita nyatakan x(t) : tingkat persenjataan A

y(t) : tingkat persenjataan B

Dengan mempertimbangkan anggapan dasar di atas, kita dapat menyatakan bahwa

1.Laju peningkatan persenjataan A adalah

gac-kydt

dx ..... (10)

dengan k, a, dan g berupa tetapan positif

Perhatikan suku-suku ruas kanan pada (10)

ky berhubungan dengan anggapan dasar (i)

. –ax berhubungan dengan anggapan dasar (iii).

Tanda ‘-‘ diartikan bahwa keinginan meningkatkan persenjataan

dihambat oleh pertimbangan pengeluaran biaya

g berhubungan dengan anggapan dasar (ii)

Dengan penjelasan yang sama,

2. Laju peningkatan persenjataan B adalah

14

hby-mxdt

dy ..... (10’)

dengan m, b, dan h berupa tetapan positif.

Dengan demikian maka model matematis masalah persaingan persenjataan adalah

hbymxdy

dy

gaxkydt

dx

...... (12)

Dari model matematis masalah (19) di atas, nampak bahwa bentuk model tersebut

adalah berupa sistem persamaan diferensial linear orde satu non homogen.

Bandingkan dengan model matematis masalah.(3)

Dinamika sistem.

Pada Kegiatan Belajar ini, tidak dipelajari kajian dinamika sistem yaitu

perilaku penyelesaian (yaitu x(t) dan y(t)) sepanjang waktu khususnya untuk waktu

yang cukup lama. Dalam kajian ini terutama dianalisis kestabilan sistem melalui

pemeriksaan jenis titik kritis yang diperoleh.

Apabila tertarik, Anda dapat mempelajari dalam modul atau literatur lain yang

di dalamnya mengandung materi sistem persamaan diferensial.

Ragam lain model matematis kerjasama

Perhatikan kembali model matematis masalah kerjasama antara dua spesies

yang telah dipelajari, yaitu (3). Pada model ini, tanpa adanya interaksi dengan spesies

lain suatu spesies akan meluruh menuju kepunahan. Terdapat model masalah lain,

yang dalam hal ini , tanpa adanya spesies lain suatu spesies akan tumbuh menurut

fungsi logistik. Model matematis masalah kerjasama dua spesies ini disebut dengan

model logistik kerjasama antara dua spesies, yaitu.

fxyeydydtdy

cxybxaxdtdx2

2

/

/

dengan a, b, c, d, e, dan f : tetapan positif.

Ditinjau dari bentuk matematisnya, model matematis tersebut merupakan sistem

persamaan diferensial orde satu non linear homogen.

Latihan

Bagian A Diberikan model matematis dua spesies yang bekerjasama di bawah ini, dengan x(t) :

populasi spesies pertama dan y(t) : populasi spesies kedua.

1.

yxdt

dy

yxdt

dx

2

2

Syarat awal, t = 0, x = 20, y = 4

15

2.

yxdt

dy

yxdt

dx

2

2

Syarat awal, t = 0, x = 4, y = 20

Untuk kedua soal latihan di atas, tentukanlah

(i) Pertumbuhan spesies pertama apabila tidak ada populasi spesies kedua

Pertumbuhan spesies kedua apabila tidak ada populasi spesies pertama

Apabila kedua spesies hidup dalam habitat yang sama, tentukan

(i) Penyelesaian umumnya

(iii)Penyelesaian khususnya.

(iv) Tentukan x(t) dan y(t) untuk t [, x(t) ?, y(t) ?]

(v) Populasi spesies manakah yang tumbuh dan manakah yang meluruh. ?

(vi) Bagaimanakah bentuk kurva x(t) dan y(t) ?

Bagian B.

Petunjuk : Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 10, berikanlah jawab

A. jika pernyataan 1 dan 2 benar

B. jika pernyataan 1 dan 3 benar

C. jika pernyataan 2 dan 3 benar

D. jika pernyataan 1,2, dan 3 benar

Untuk soal nomor 1 s/d nomor 5.

Perhatikan model sederhana masalah kerjasama antar dua spesies (sebutlah P dan Q),

1. Ditinjau dari P

1. Tanpa ada Q, populasi P meluruh menuju kepunahan, tetapi dengan adanya Q

populasi Q akan meluruh juga tetapi tidak menuju kepunahan.

2. Tanpa ada Q, populasi P meluruh menuju kepunahan tetapi dengan adanya Q,

populasi P akan tumbuh

3. Tanpa ada Q, populasi P meluruh menuju kepunahan, tetapi dengan adanya Q,

peluruhan maupun pertumbuhan populasi P mengikuti fungsi eksponensial

2. Ditinjau dari Q

1. Tanpa ada P, populasi Q meluruh menuju kepunahan, tetapi dengan adanya P

populasi Q akan meluruh juga tetapi tidak menuju kepunahan.

2. Tanpa ada P, populasi Q meluruh menuju kepunahan tetapi dengan adanya P,

populasi Q akan tumbuh

3. Tanpa ada P, populasi Q meluruh menuju kepunahan, tetapi dengan adanya P,

peluruhan maupun pertumbuhan populasi Q mengikuti fungsi eksponensial

3. Kemungkinan yang terjadi terhadap populasi P adalah

1. Tumbuh secara eksponensial terbatas

2. Tumbuh secara eksponensial tak terbatas

3. Meluruh secara eksponensial tak terbatas

16

4. Kemungkinan yang terjadi terhadap populasi Q adalah

1. Tumbuh secara eksponensial terbatas

2. Tumbuh secara eksponensial sinusoidal

3. Meluruh secara eksponensial terbatas

5. Apabila x(t) dan y(t) masing-masing menyatakan populasi P dan Q, maka model

matematis masalahnya adalah

1.

dycxdt

dy

byaxdt

dx

, dengan a, b, c, dan d berupa sembarang tetapan

2.

syrxdt

dy

qypxdt

dx

, dengan p,q,r, dan s berupa tetapan > 0

3.

yaxadt

dy

yaxadt

dx

2221

1211

, dengan a dan d : tetapan negatif, b dan c : tetapan positif

Untuk soal nomor 6 s/d nomor 10: Diberikan pernyataan matematis berikut

sAs .

, dengan

dtdy

dtdxs

/

/,

dc

baA ,

y

xs

a,b,c, dan d adalah tetapan > 0.

6. Apabila nilai eigen A adalah , maka

1. diperoleh melalui pemecahan determinan (A – I) = 0, dengan I = matriks

satuan

2. tersebut memenuhi persamaan 0

dc

ba

3. tersebut memenuhi persamaan 2 + (a+d) + (bc-ad) = 0

7. Periksalah pernyataan berikut

1.Bentuk pernyataan matematis tersebut merupakan sistem persamaan diferensial

linear orde satu homogen dengan koefisien tetapan.

2. A mempunyai 2 nilai eigen real.

3. Bentuk pernyataan matematis tsb merupakan suatu model matematis kerjasama dua

spesies P dan Q, dengan x(t) : populasi P dan y(t) : populasi Q.

8. Periksalah pernyataan berikut

1.Apabila nilai eigen A adalah 1 dan 2, maka 1 = 2.

2. Apabila nilai eigen A adalah , maka x(t) = V1et

dan y(t) = V2et

(V1, V2 adalah

tetapan) adalah suatu bentuk dasar penyelesaian sistem persamaan diferensial

17

3. Apabila nilai eigen A adalah , maka

dc

bae t

2

1

V

V = 0

9. Apabila a = b = c = d = 1, maka

1. Nilai eigen dari A adalah = 0 dan = -2

2. V = (1 1)t, dan V = (1 -1)

t adalah vektor eigen dari A

3. Penyelesaian umum dari sistem adalah x(t) = C1 + C2e-2t

; y(t) = C1 - C2e-2t

.

10. Apabila syarat awalnya adalah untuk t = 0, x = 2 dan y = 4, maka

1. x(t) = 3 - e-2t

;

2 .y(t) = 3 + e-2t

;

3. x(t) turun mendekati 3, y(n) naik mendekati 3

Petunjuk : Untuk soal nomor 11 sampai dengan nomor 20

Pilih satu jawaban yang benar

Diberikan dua spesies (sebutlah P dan Q) yang hidup bekerja sama dalam habitat yang

sama dengan x(t) dan y(t) masing-masing menyatakan populasi P dan populasi Q.

Untuk soal nomor 11 s/d nomor 15.

Model matematisnya adalah :

yxdt

dy

yxdt

dx

Dengan syarat awal, untuk t = 0, x = 4 dan y = 2

11. Nilai eigen dari matriks A pada model matematis tersebut adalah

A. 0 dan 2

B. 0 dan -2

C. -2

D. -1 dan -2

12. Penyelesaian umum sistem tersebut adalah

A. x(t) = C1 + C2e2t

; y = C1 - C2e2t

B. x(t) = C1 + C2e-2t

; y = C1 - C2 te-2t

C. x(t) = C1 + C2e-2t

; y = C1 - C2e-2t

D. x(t) = C1et + C2e

-2t ; y = C1e

t - C2e

-2t

13. Penyelesaian khusus sistem tersebut adalah

A. x(t) = 3 - e-2t

; y = 3 + e-2t

B. x(t) = 3 + te-2t

; y = 3 - te-2t

C. x(t) = 2 + e2t

; y = 3 + e-2t

D. x(t) = 3 + e-2t

; y = 3 - e-2t

14. Pada sistem kerjasama tersebut,

A. Populasi P meluruh menuju ke 3, populasi Q tumbuh menuju 3

B. Populasi P tumbuh menuju ke 3, populasi Q meluruh menuju 3

18

C. Populasi P dan populasi Q tumbuh menuju 6

D. Populasi P tumbuh menuju ke 3, populasi Q meluruh menuju 1.

15. Pada sistem kerjasama tersebut.

A. P dirugikan, Q diuntungkan

B. P diuntungkan, Q dirugikan

C. P dan Q diuntungkan

D. P dan Q dirugikan

Untuk soal nomor 16 s/d nomor 20

Model matematis yang diberikan adalah

yxdt

dy

yxdt

dx

4

4

dengan syarat awal, untuk t = 0, x = 4 dan y = 2

16. Nilai eigen dari matriks A apada model matematis tersebut adalah

A. 0 dan 5

B. 3 dan -5

C. 3

D. -3 dan 5

17. Penyelesaian umum sistem tersebut adalah

A. x(t) = C1 + C2 e5t

, y(t) = C1 - C2 e-5t

B. x(t) = C1e-5t

+ C2 te5t

, y(t) = -C1e-5t

+ C2 te5t

C. x(t) = C1e-5t

+ C2 e3t

, y(t) = -C1e-5t

+ C2 e3t

D. x(t) = -C1e-5t

+ C2 e3t

, y(t) = C1e-5t

+ C2 e3t

18. Penyelesaian khusus sistem tersebut adalah

A. x(t) = -2 + 8e5t

, y(t) = 2 - 8e-5t

B. x(t) = -2e-5t

+ 8 te5t

, y(t) = 2e-5t

+ 8 te5t

C. x(t) = 2e-5t

+ 8 e3t

, y(t) = -2e-5t

+ 8 e3t

D. x(t) = -2e-5t

+ 8 e3t

, y(t) = 2e-5t

+ 8 e3t

19. Pada sistem kerjasama tersebut,

A. Populasi P dan populasi Q tumbuh takterbatas

B. Populasi P tumbuh menuju ke 8, populasi Q meluruh menuju 4

C. Populasi P dan populasi Q tumbuh menuju ke 8

D. Populasi P meluruh menuju ke 3, populasi Q tumbuh menuju 8

20. Pada sistem kerjasama tersebut

A. P dirugikan, Q diuntungkan

B. P diuntungkan, Q dirugikan

C. P dan Q diuntungkan

D. P dan Q dirugikan