/Aksiomatika 38

BAB 2

AKSIOMATIKA

Dia telah mengemukakan The Matematicion

Tommaso Ceva dan menerbitkan beberapa hasil kerjanya

termasuk Quaesito Geomatrica (1693), logica demontrativa

(1697), dan neo-statica (1708). Tidak jelas teori yang

dikemukakan. Saccheri mempunyai dampak dalam

penerjemahan kerjanya atau dalam membangun kebebasan

idenya.

“The Hipotasis Of The Acute Angle Is Absolute

False” adalah buku pertamanya, sekarang dia menghasilkan

teori hiperbolik geometri, buku pertamanya merupakan garis

yang langsung kontradiksi dengan postulat euclide yang

kedua. Saccheri membuang koreksinya setiap saat sekarang

ini prinsipnya merupakan masukan dalam eliptik

geometri.saccheri merupakan orang yang berpengaruh dalam

matematika. Dia banyak menemukan teori-teori yang sangat

bermanfaat dalam memecahkan masalah metematika, salah

satunya ditemukannya teori segi empat yang masih

digunakan sampai sekarang.

Obyek Matematika

Giovanni Girolamo Saccheri (5

September 1667-25 Oktober

1733)berkebangsaan itali, pendeta

kristen dan ahli Matematika.

Saccheri masuk Kristen sejak

tahun 1685 dan menjadi pendeta

1694. Dia mengajar filsafat di

Turin dari tahun 1694- tahun

1697, dan filsafat ilmu tentang

ketuhanan, ilmu matematika di

Pavia dari tahun 1697 sampai dia

meninggal.

Aksiomatika / 39

Menurut Soedjadi (2000), objek dasar

matematika yang menjadi bahan kajian dasar adalah

(1) fakta, (2) konsep, (3) relasi-operasi dan (4) prinsip.

Fakta adalah suatu konvensi yang merupakan suatu

cara khas untuk menyajikan ide-ide matematika dalam

bentuk kata atau simbol. Dengan demikian fakta dalam

matematika adalah segala sesuatu yang telah

disepakati, dia dapat berupa simbol atau lambang dan

dapat pula berupa kata-kata. Bila ada seseorang yang

mengucapkan kata “tiga”, maka yang akan terbayang

di benak kita adalah simbol “3”. Sebaliknya bila kita

melihat simbol “3”, maka padanan yang kita buat

adalah kata “tiga”. Kata “tiga” dan simbol “3”

merupakan fakta dalam matematika. Contoh fakta yang

lain adalah “”, kita sepakat menggunakan notasi “”

untuk menyatakan suatu penjumlahan.

Konsep adalah ide abstrak tentang klasifikasi

objek atau kejadian. Seseorang yang memahami suatu

konsep akan dapat menyatakan apakah sesuatu

termasuk dalam konsep yang dipahaminya atau tidak.

Dengan memahami suatu konsep, seseorang juga akan

dapat memberikan contoh dan bukan contoh dari

konsep yang dimaksud. Jadi, konsep dalam

matematika merupakan suatu ide abstrak yang

digunakan untuk melakukan klasifikasi atau

penggolongan atau pengelompokan terhadap objek.

Dengan adanya suatu konsep, dapat diterangkan

apakah sesuatu termasuk atau merupakan contoh atau

bukan contoh dari ide tersebut. Pada umumnya konsep

dalam matematika disusun dari konsep-konsep

terdahulu atau fakta. Contoh konsep : segiempat,

bilangan, fungsi, vektor, kubus.

/Aksiomatika 40

Relasi merupakan suatu aturan untuk

mengawankan anggota suatu himpunan dengan

anggota himpunan lain, yang dapat sama dengan

himpuan semula. Operasi adalah aturan untuk

mendapatkan elemen tunggal dari satu atau lebih

elemen yang diketahui. Elemen yang diketahui disebut

elemen yang dioperasikan.

Jika suatu operasi memerlukan 2 buah elemen

untuk pemberlakuannya, operasi tersebut dinamakan

operasi biner. Suatu operasi yang hanya memerlukan

satu elemen untuk memberlakukannya disebut operasi

uner, missal . Untuk mengoperasikannya hanya

memerlukan sebuah bilangan, misal 9 = 3. Dalam hal

ini bilangan yang dioperasikan adalah 9 dan hasil

operasinya adalah 3.

Prinsip adalah objek matematika yang paling

kompleks. Kekompleksan tersebut dikarenakan adanya

sekelompok konsep yang dikombinasikan dengan

suatu relasi. Jadi prinsip merupakan hubungan antara 2

atau lebih objek matematika.

Contoh : jumlah dua bilangan gasal adalah bilangan genap

Meskipun di atas telah dikatakan bahwa

matematika disusun berdasarkan pola berpikir

deduktif, tetapi matematika terbentuk atau

berkembang dari pola piker induktif atau deduktif.

Artinya, sifat-sifat dalam matematika ada yang

diketemukan berdasar olah pikir manusia. Apakah

perkembangan itu berguna atau tidak dalam

kehidupan sehari-hari, hal tersebut bukanlah hal yang

merisaukan para matematisi. Karena itulah matematika

sering mendapat julukan sebagai suatu ilmu yang

kering, sukar dipelajari, dan tidak berguna dalam

kehidupan sehari-hari.

Aksiomatika / 41

A. Pola Pikir Induktif Dan Deduktif

Geometri berasal dari kata Latin “Geometria”, Geo

yang berarti tanah dan metria berarti pengukuran.

Menurut sejarahnya, geometri tumbuh pada zaman

jauh sebelum Masehi karena keperluan pengukuran

tanah setiap kali sesudah sungai Nil di Mesir banjir.

Sebagai cabang Matematika, geometri

mempelajari titik, garis, bidang dan benda-benda ruang

serta sifat-sifatnya, ukuran-ukurannya dan

hubungannya satu sama lain. Jadi geometri dapat

dipandang sebagai suatu studi tentang ruang fisik.

Kita telah mempelajari garis, segitiga, segiempat,

balok, bola, kerucut dan sebagainya. Bangun-bangun

atau benda-benda perlu didefinisikan dan untuk

mendefinisikan sesuatu diperlukan pengertian-

pengertian sebelumnya. Jadi tidak mungkin semuanya

didefinisikan. Untuk menghindari lingkaran dari

definisi perlu ada pengertian-pengertian pangkal atau

unsur-unsur yang tidak didefinisikan.

Contoh dari lingkaran definisi misalnya :

1. Titik adalah perpotongan dua garis

Garis adalah penghubung dua titik

2. Sudut siku-siku adalah sudut yang tidak lancip

Sudut lancip adalah sudut yang tidak siku-siku

Hal semacam ini tidak benar

Suatu definisi harus dapat dinyatakan dalam

bentuk kalimat yang memuat “bila dan hanya bila”

atau “reversible” (dapat dibalik).

Misalnya :

Suatu segitiga samasisi adalah suatu segitiga yang

ketiga sisinya sama.

Ini harus berarti :

/Aksiomatika 42

Jika suatu segitiga samasisi maka ketiga sisinya

sama.

Jika suatu segitiga sisinya sama maka segitiga itu

samasisi.

Sehingga dapat dikatakan :

Suatu segitiga disebut samasisi bila dan hanya bila

ketiga sisinya sama.

Mengingat perlu adanya unsur-unsur yang tidak

didefinisikan, maka tentu juga tidak semua relasi dapat

didefinisikan. Jadi harus pula ada relasi yang tidak

didefinisikan. Unsur-unsur dan relasi-relasi yang tidak

didefinisikan ini disebut pengertian pangkal atau

“primitive concept”.

Dalam kehidupan ini, kita selalu menghadapi

permasalahan yang perlu diselesaikan. Untuk

menyelesaikan permasalahan tersebut kita perlu

berpikir kritis. Dalam berpikir kritis itu, kita bisa

menggunakan pola pikir induktif atau deduktif. Berikut

ini akan dibahas pola piker deduktif dan induktif

tersebut.

Seseorang menggunakan penalaran induktif jika

orang tersebut berpikir dari hal-hal yang bersifat

khusus ke hal-hal yang bersifat umum. Seseorang

mengadakan pola pikir deduktif jika orang tersebut

berpikir dari hal-hal yang bersifat umum ke hal-hal

yang bersifat khusus. Pada pola pikir deduktif, harus

diperhatikan bahwa kebenaran suatu pernyataan

haruslah didasarkan pada kebenaran pernyataan-

pernyataan lain.

Secara umum dapatlah dikatakan bahwa pola

pikir induktif berperan penting dalam bidang non-

matematika, namun berperan kecil dalam matematika.

Pola pikir deduktif berperan kecil dalam bidang non-

Aksiomatika / 43

matematika, namun berperan besar dalam matematika.

Dalam pola pikir deduktif, kebenaran setiap

pernyataan harus didasarkan pernyataan sebelumnya.

Matematika disusun berdasarkan pola berpikir

deduktif, tetapi matematika terbentuk atau

berkembang dari pola pikir induktif atau deduktif.

Artinya, sifat-sifat dalam matematika ada yang

diketemukan berdasarkan kenyataan di lapangan, ada

pula yang diketemukan berdasar pola pikir manusia.

Untuk memahami bahwa kajian matematika itu

adalah abstrak dapat diingat pelajaran yang pernah

dikaji selama ini. Misalnya, "bilangan" adalah abstrak,

sedang yang kita tulis adalah lambangnya atau

simbolnya. Lambang-Iambang itulah yang termasuk

dalam "fakta". Sedangkan bilangannya sendiri adalah

suatu konsep abstrak, “Garis lurus" misalnya, adalah

abstrak. Sebenamya tidak pernah dijumpai garis lurus

seperti yang dibicarakan dalam matematika. Yang

digambar dengan penggaris, misalnya, adalah

gambaran garis lurus. Demikian juga bangun-bangun

geometri. (Karena abstrak itulah maka diperlukan

peragaan-peragaan untuk mempermudah

mempelajarinya).

Berbagai macam bilangan, istilah serta

pengertiannya merupakan kesepakatan-kesepakatan

yang penting dalam matematika. Lambang bilangan

yang dipakai sekarang ini, misalnya, adalah juga suatu

kesepakatan. Setelah kesepakatan-kesepakatan

semacam itu maka dalam pembahasan-pembahasan

selanjutnya secara konsisten digunakan.

Sebagaimana beberapa ilmu yang lain maka

sifat-sifat atau prinsip-prinsip dalam matematika

dibentuk atau ditemukan melalui pola pikir deduktif

/Aksiomatika 44

ataupun induktif. Dengan kata lajn sifat-sifat atau

prinsip-prinsip dalam matematika ada yang ditemukan

melalui pengalaman lapangan, ada pula yang tanpa

pengalaman lapangan ataupun malah secara intuitif.

Berikut ini akan disajikan garis besar “Struktur

Deduktif Aksiomatik matematika (tidak tunggal):

AKSIOMA

(Pernyataan Pangkal)

TEOREMA 1

TEOREMA 2

TEOREMA 3

DST

KONSEP PRIMITIF

(Pengertian Pangkal/

Undefined Term)

KONSEP 1

(Definisi 1)

KONSEP 2

(Definisi 2)

DST

B. Pengertian Pangkal Dan Pernyataan Pangkal

Dalam suatu struktur matematika disepakati

terdapat “pernyataan pangkal" atau biasa disebut

”aksioma" dan “pengertian atau unsur pangkal" atau

sering disebut “unsur primitif atau undefined term".

Aksioma diperlukan dalam suatu struktur matematika

agar dapat dihindarkan “berputar-putar dalam

pembuktian" atau “circulus in probando". Sedangkan

unsur primitif dalam suatu struktur matematika perlu

untuk menghindarkan “berputar-putar dalam

pendefinisian" atau “circulus in definiendo". Hal

Aksiomatika / 45

tersebut sekaligus menunjukkan bahwa kebenaran

suatu pernyataan dalam matematika sangat tergantung

pada kebenaran pernyataan-pernyataan dan unsur-

unsur terdahulu yang telah diterima sebagai

benar/disepakati. Ini jelas menunjukkan bahwa dalam

matematika dianut kebenaran koherensi atau

kebenaran konsistensi. Contoh yang mudah diingat

dan dipahami dapat diambil dari Geometri Euclides,

misalnya:

(1) titik, garis dan bidang dipandang sebagai unsur

primitif;

(2) melalui dua buah titik ada tepat sebuah garis

lurus yang dapat dibuat, sebagai salah satu

aksioma.

Dari unsur-unsur primitif dan aksioma tertentu dapat

diturunkan suatu pernyataan lain yang sering disebut

sebagai “teorema”. Demikian juga dapat dibuat definisi

tentang suatu konsep lain.

C. Membedakan Beberapa Aksioma

Untuk suatu struktur matematika biasanya

didahului dengan beberapa unsur primitif dan

beberapa pernyataan atau aksioma. Beberapa aksioma

tersebut sering juga disebut sistem aksioma. Agar

suatu kumpulan aksioma dapat merupakan sebuah

sistem, diperlukan syarat-syarat yang penting. Syarat-

syarat itu adalah:

(1) Konsisten (taat asas)

(2) Independen (bebas)

(3) Komplit atau lengkap

(4) Ekonomis

/Aksiomatika 46

Dari ketiga syarat tersebut yang utama adalah nomor

(1), (2) dan (3), sebab nomor (4) seringkali dapat juga

dipandang sebagai akibat syarat nomor (2).

Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi

syarat "konsisten" bila pernyataan-pernyataan dalam

kumpulan aksioma itu tidak kontradiktif. Non-

kontradiktif itu bukan hanya dalam makna

pernyataannya saja, tetapi juga dalam hal istilah serta

simbol yang digunakan.

Contoh 2.1

Perhatikan contoh berikut ini.

Aksioma 1: 2 * 6 = 4

Aksioma 2: 4 * 1 = 1

Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan

menghasilkan sesuatu yang sama

Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 5

Keempat aksioma tersebut tidak konsisten, sebab

berdasarkan aksioma 1, 2, dan 3 didapat: (2 * 6) * (4 * 1)

= 4 * 1 = 1 yang bertentangan dengan aksioma 4.

Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi

syarat “independen” bila masing-masing pernyataan

dalam kumpulan aksioma itu tidak saling bergantung,

artinya pemyataan atau aksioma yang satu harus tidak

diturunkan atau diperoleh dari aksioma-aksioma yang

lain.

Contoh 2.2

Aksioma 1: Jumlah dua bilangan genap adalah

bilangan genap.

Aksioma 2: Jumlah dua bilangan gasal adalah bilangan

genap.

Aksioma 3: 1 + 7 = 8

Aksiomatika / 47

Suatu Sistem aksioma tersebut tidak “independen”,

sebab aksioma 3 dapat diturunkan dari aksioma 2.

Suatu sistem aksioma dikatakan "lengkap" bila

setiap pernyataan yang diturunkan dari sistem itu

dapat dibuktikan kebenaran atau kesalahannya. (Tentu

dalam lingkup logika dikotomis). Bila aksioma dalam

suatu sistem aksiomatik tidak lengkap, maka tidak

dapat diperoleh) teorema-teorema. Misal salah satu

aksioma dalam geometri Euclides dihilangkan, maka

tidak akan diperoleh teorema-teorema dalam sistem

tersebut.

Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi

syarat “ekonomis" bila simbol-simbol atau istilah-

istilah yang digunakan tidak berlebihan (tidak

redundan). selain itu juga pemyataan dalam kumpulan

aksioma itu tidak ada yang memiliki makna sama.

Contoh 2.3

Aksioma 1: 2 * 6 = 4

Aksioma 2: 4 * 1 = 1

Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan

menghasilkan sesuatu yang sama.

Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 1

Keempat aksioma tersebut bersifat redundan atau tidak

ekonomis sebab

(2 * 6) * (4 * 1) = 4 * 1 = 1

Diskusi Perlukah aksioma 4?

Dalam setiap ilmu terdapat suatu cara

klasifikasi, yang masing-masing cara klasifikasi itu

tentu saja memiliki dasar tertentu. Klasifikasi yang

diadakan tidak dimaksudkan untuk mempersulit

mereka yang mempelajarinya ilmu malah sebaliknya

akan dapat mempermudah mereka yang mempelajari

/Aksiomatika 48

ilmu tersebut. Dalam matematika dikenal beberapa

klasifikasi aksioma. Berikut ini diperkenalkan dua cara

klasifikasi, yakni:

a. Aksioma yang "self evident truth" dan yang

"non-self evident truth"

b. Aksioma "material", "formal” dan

"diformalkan".

Suatu aksioma dikatakan "self evident truth"

bila dalam pernyataannya memang telah langsung

tergambar kebenarannya. Ini tampak jelas pada

aksioma dari Geometri Euclides, misalnya dalam

planimetri: "Melalui dua buah titik berlainan hanya dapat

dibuat tepat satu garis”.

Suatu aksioma dikatakan "non-self evident

truth" akan terlihat sebagaj pernyataan yang

mengaitkan fakta dan konsep (dapat lebih dari satu)

dengan menggunakan suatu relasi tertentu, sehingga

lebih terlihat sebagai suatu kesepakatan saja. Ingat

sistem aksioma Ruang Metrik, Grup, Topologi, Poset, dan

masih banyak yang lain. Justru karena cara

pengangkatan aksioma semacam itulah yang

memberikan kemungkinan lebih besar atas

perkembangan matematika.

Suatu aksioma dikatakan aksima "material", bila

unsur-unsur serta relasi yang terdapat dalam aksioma

itu masih dikaitkan langsung dengan realitas atau

dikaitkan dengan materi tertentu atau dianggap ada

yang sudah diketahui. (Perhatikan aksioma Euclides; yang

temyata juga diketahui bahwa tidak lengkap).

Suatu aksioma dikatakan aksioma "formal" bila

unsur-unsumya dikosongkan dari arti, namun masih

dimungkinkan adanya unsur atau relasi yang

dinyatakan dengan bahasa biasa antara lain terlihat

Aksiomatika / 49

dengan masih bermaknanya kata “atau", "dan" dan

sebagainya dalam logika. Suatu aksioma dikatakan

aksioma "diformalkan" bila semua unsur termasuk

tanda logika dikosongkan dari makna, sedemikian

hingga semua unsur diperlakukan sebagai simbol

belaka.

D. Konsep Bukan Pangkal

Di bagian terdahulu telah dikemukakan adanya

pengertian pangkal atau unsur primitif. Secara kurang

tepat sering juga “konsep tak didefinisikan". Dalam

suatu struktur tertentu banyak dijumpai konsep-

konsep yang didefinisikan berdasarkan konsep-konsep

terdahulu. Konsep-konsep semacam ini dalam tulisan

ini disebut konsep bukan pangkal. Selain itu dalam

tulisan ini pengertian konsep yang dipakai adalah “ide

abstrak yang dapat digunakan untuk melakukan

penggolongan atau klasifikasi".

Suatu konsep dapat dibentuk melalui suatu

abstraksi. Sebagai contoh sederhana dalam kehidupan

sehari-hari kita dapat mengatakan bahwa sepeda,

kereta api, mobil, becak adalah kendaraan. Tetapi

rumah, pohon, batu bukan kendaraan. Ini berarti

“kendaraan" adalah suatu konsep. Konsep kendaraan

itu dapat saja dipandang sebagai suatu abstraksi dari

beberapa kendaraan khusus tertentu.

Di bagian terdahulu telah disebutkan selintas

tentang pembentukan sutu konsep. Demikian juga

pengertian konsep yang digunakan dalam tulisan ini.

Dalam matematika dikenal banyak konsep. Misal :

“segitiga", “segiempat" dan sebagainya, dikenal juga

konsep “ruang metrik", “grup", dan masih banyak lagi.

/Aksiomatika 50

Jika disebut “segitiga", maka ide itu dapat

digunakan untuk melakukan pengelompokan atau

klasifikasi. sedemikian hingga suatu bangun datar

dapat termasuk segitiga atau tidak. Demikian juga

konsep-konsep yang lain. Bagaimanakah pembentukan

suatu konsep itu?

Pembentukan suatu konsep bisa melalui : (1)

abstraksi, misalnya : pembentukan bilangan melalui

dua kali abstraksi, (2) Idelisasi, misalnya : “kerataan"

suatu bidang dan "kelurusan" suatu garis, (3) abstraksi

dan idealisasi, misalnya : “kubus", “kerucut", dan (4)

penambahan syarat pada konsep terdahulu, misalnya:

“belahketupat" dari “jajargenjang"

Definisi merupakan bagian penting dari

geometri. Definisi suatu konsep menurut Soedjadi

(2000) ialah “ungkapan yang dapat digunakan untuk

membatasi suatu konsep”. Segiempat seperti

jajargenjang, persegipanjang, persegi, belahketupat,

layang-layang dan trapesium merupakan contoh

konsep, sedangkan “ jajargenjang ialah segiempat yang

mempunyai dua pasang sisi berhadapan sejajar”

merupakan contoh definisi. Ungkapan pada definisi

tersebut membatasi konsep. Soedjadi (2000)

membedakan definisi menjadi 3 yaitu definisi analitik,

definisi ginetik dan definisi dengan rumus. Pada

geometri tidak di jumpai definisi dengan rumus.

Dikatakan definisi analitik bila definisi tersebut

menyebutkan genus proksimum (keluarga dekat) dan

deferensia spesifika (pembeda khusus). Definisi

jajargenjang di atas merupakan definisi analitik dengan

genus proksimum “segiempat” dan deferensia spesifika

“mempunyai dua sepasang sisi berhadapan sejajar”.

Definisi genetik ialah definisi yang menunjukkan atau

Aksiomatika / 51

mengungkapkan cara terjadinya atau terbentuknya

konsep yang didefinisikan. Contoh definisi genetik

“layang-layang ialah bangun segiempat yang terjadi

jika dua segitiga samakaki dengan alas kongruen

diimpitkan alasnya”. Selanjutnya Soedjadi (2000)

mengemukakan bahwa ada empat unsur definisi yaitu:

latar belakang, genus, istilah yang didefinisikan, dan

atribut. Contoh definisi jajargenjang di atas, latar

belakangnya ialah segiempat, genus ialah segiempat,

istilah yang didefinisikan ialah jajargenjang, dan atribut

ialah sepasang sisi berhadapan sejajar.

Definisi yang digunakan pada segiempat

mempunyai dampak terhadap hubungan

antarsegiempat. Jika trapesium didefinisikan sebagai “

segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar” atau

“segiempat yang sepasang sisinya sejajar”, maka kedua

definisi yang berbeda itu akan akan berdampak

terhadap hubungan antarsegiempat. Jika definisi yang

pertama digunakan maka himpunan jajargenjang dan

himpunan trapesium saling asing, tetapi jika definisi

yang kedua digunakan maka himpunan jajargenjang

merupakan himpunan bagian dari himpunan

trapesium.

Jajargenjang dapat didefinisikan sebagai berikut:

(1) jajargenjang ialah segiempat yang dua pasang sisi

yang berhadapan sejajar; (2) jajargenjang ialah

segiempat yang dua pasang sisi yang berhadapan sama

panjang; dan (3) jajargenjang ialah segiempat yang

sepasang sisi yang berhadapan sejajar dan sama

panjang. Ketiga definisi jajargenjang di atas adalah

sama, dan menurut Soedjadi (2000) ketiga definisi itu

mempunyai ekstensi (jangkauan) yang sama, dan dua

atau lebih definisi yang memiliki ekstensi sama disebut

/Aksiomatika 52

definisi yang ekuivalen. Estensi menurut Poespoprojo

(1999, h.91) ialah keseluruhan hal-hal yang atasnya

suatu ide dapat diterapkan, atau lingkungan (suatu

konsep) yang dapat ditunjuk dengan konsep tersebut.

Atribut yang digunakan definisi (1) memiliki dua

pasang sisi yang sejajar, atribut yang digunakan

definisi (2) memiliki dua pasang sisi yang sama

panjang, dan atribut yang digunakan definisi (3)

memiliki sepasang sisi yang sejajar dan sama panjang,

menurut Soedjadi (2000) definisi itu mempunyai intensi

(makna kata) yang berbeda. Pengertian jajargenjang

yang dikonstruk siswa dikatakan akurat jika ekuivalen

dengan definisi jajargenjang di atas.

Persegipanjang dapat didefinisikan sebagai

berikut:: (1) persegipanjang ialah segiempat yang dua

pasang sisi yang berhadapan sejajar dan satu sudut

siku-siku; (2) persegipanjang ialah segiempat yang dua

pasang sisi yang berhadapan sama panjang dan satu

sudutnya siku-siku; dan (3) persegipanjang ialah

segiempat yang sepasang sisi yang berhadapan sejajar

dan sama panjang serta satu sudut siku-siku. Dengan

demikian ketiga definisi di atas adalah definisi yang

mempunyai ektensi sama tetapi dengan intensi yang

berbeda. Belahketupat, persegi, layang-layang dan

trapesium yang digunakan dalam penelitian ini

didefinisikan sebagai berikut. Belahketupat ialah

segiempat yang keempat sisi sama panjang. Persegi

adalah segiempat yang keempat sisi sama panjang dan

satu sudut siku-siku. Layang-layang ialah segiempat

yang dua pasang sisi berdekatan sama panjang dan sisi

tersebut tidak tumpang tindih. Trapesium ialah: (1)

segiempat yang sepasang sisi berhadapan sejajar; atau

Aksiomatika / 53

(2) segiempat yang tepat sepasang sisi berhadapan

sejajar.

Jika definisi analitis yang digunakan, maka

persegipanjang ialah jajargenjang yang satu sudutnya

siku-siku; belahketupat ialah jajargenjang yang

keempat sisi sama atau layang-layang yang keempat

sisi sama; dan persegi ialah persegipanjang yang

keempat sisi sama atau persegi ialah belahketupat yang

satu sudutnya siku-siku. Jika definisi trapesium

digunakan definisi (1) yaitu segiempat yang sepasang

sisi berhadapan sejajar, maka jajargenjang ialah

trapesium yang mempunyai dua pasang sisi sejajar.

Berdasar peta konsep di atas, trapesium

didefinisikan dengan menggunakan genus proksimum

”segiempat” dengan menambah syarat ”mempunyai

sepasang sisi yang sejajar”. Dengan demikian

trapesium ialah segiempat yang mempunyai sepasang

sisi sejajar. Dengan cara sama, jajargenjang ialah

trapesium yang mempunyai dua pasang sisi sejajar dan

persegipanjang ialah jajargenjang yang satu sudutnya

siku-siku. Demikian juga untuk layang-layang,

belahketupat dan persegi.

Diberikan segiempat ABCD, 1sAB , 2sBC ,

3sCD , dan 4sAD dengan gradien berturut-turut

1sm , 2sm , 3sm , 4sm . Jika P pusat lingkaran dalam

segiempat ABCD, maka 1sdP menyatakan jarak pusat P

ke sisi 1s . Peta konsep berdasarkan intensi definisi

dikemukakan Soedjadi (2005) disajikan Gambar 2.7.

/Aksiomatika 54

PETA KONSEP SEGIEMPAT

(berdasarkan itensi definisinya)

SEGIEMPAT sdt = 360

o

SEGI-4 TALIBUSUR

A + C = 1800

sdt = 360o

TRAPESIUM

ms1 = ms3

sdt = 360o

JAJARGENJANG

ms1=ms3, ms2=ms4

sdt=360o

LAYANG-2

s1=s2, s3=s4

sdt = 360o

SEGI-4 GRS.SING

sdt = 360o; dPs1=dPs2

dPs2 =dPs3 , dPs3 = dP s4

PERSEGIPANJANG

sdt = 360 o ms1 = ms3;

ms2 = ms4; A = 90o

BELAHKETUPAT

sdt = 360o; ms1 = ms3

ms2 = ms4; s1 = s2

PERSEGI

sdt = 360o; ms1 = ms3

ms2 = ms4; A = 90o

s1 = s2

Jika intensi definisi diubah, skema di atas akan

berubah, sehingga jajargenjang, persegipanjang,

belahketupat berada di bawah trapesium. Jadi peta

konsep sangat dipengaruhi oleh bunyi definisi

(semantik) yang digunakan atau hubungan yang

diutamakan. Diagram di atas menunjukkan bahwa

posisi segiempat talibusur dan trapesium ialah

setingkat, karena keduanya didefinisikan dari

segiempat dengan menambah satu syarat. Demikian

juga dengan jajargenjang dan layang-layang juga

setingkat, karena keduanya didefinisikan dari

segiempat dengan menambah dua syarat. Segiempat

garis singgung, persegipanjang dan belahketupat juga

setingkat, karena ketiganya didefinisikan dari

segiempat dengan menambah tiga syarat. Persegi

Aksiomatika / 55

berada ditingkat paling bawah karena persegi

didefinisikan dari segiempat dengan menambah empat

syarat. Diagram di atas menunjukkan bahwa makin ke

bawah syarat yang diperlukan makin bertambah.

Sebagai akibat dari pembuatan diagram yang

memperhatikan posisi atau tingkat, akan berakibat jika

segiempat talibusur ditambah satu syarat akan menjadi

trapesium, ditambah tiga syarat menjadi

persegipanjang, dan ditambah empat syarat menjadi

persegi. Demikian juga jika trapesium ditambah satu

syarat menjadi segiempat talibusur atau jajargenjang,

ditambah tiga syarat menjadi segiempat garis

singgung.

E. Pernyataan Bukan Pangkal

Di depan telah dikenalkan aksioma yang juga

dapat disebut sebagai pernyataan pangkal. Pemyataan

yang disepakati, dan oleh karena itu tidak memerlukan

pembuktian. Sekarang akan dibicarakan pernyataan

lain, yang dapat diturunkan dari aksioma ataupun

teorema sebelumnya. Pada umumnya suatu teorema

dapat dinyatakan sebagai suatu implikasi (Jika ........

maka ........).

Di bagian terdahulu telah dikemukakan bahwa

suatu teorema atau suatu sifat tertentu tidak selalu

didapat dengan pemikiran deduktif, tetapi juga

mungkin ditemukan melalui pengalaman lapangan

ataupun data empirik. Namun demikian akhimya

kebenarannya harus dapat dibuktikan dengan pola

pikir deduktif dalam strukturnya.

Jadi, suatu teorema atau suatu sifat tertentu

dapat saja diperoleh melalui langkah-Iangkah induktif,

baru kemudian dibuktikan kebenarannya dengan cara

/Aksiomatika 56

deduktif. Sifat-sifat suatu barisan dapat saja

"ditemukan" secara coba-coba, baru kemudian dapat

dibuktikan kebenarannya dengan menggunakan

induksi matematika. Demikian juga beberapa sifat atau

teorema dalam teori jaringan atau graph

Telah dikemukakan bahwa pada umumnya suatu

teorema berupa suatu implikasi. Namun ada juga yang

berupa biimplikasi. Berbeda dengan definisi,

kalimatnya selalu harus diartikan sebagai suatu

biimplikasi. Dalam pembicaraan teorema, termasuk di

dalamnya “lemma” dan “corrolary”.

Jika suatu teorema dipandang sebagai suatu

implikasi “Jika …….maka…..” , dapatlah ditinjau

unsur-unsurnya. Unsur-unsur suatu teorema adalah:

1) Latar belakang

Latar belakang suatu teorema merupakan

keterangan atau penjelasan yang memungkinkan

teorema tersebut berlaku.

2) Hipotesis/anteseden

Hipotesis biasanya terdapat di belakang kata

“jika”. Hipotesis merupakan pemyataan yang

menjadi landasan untuk dapat membuat

simpulan yang berupa pemyataan lain.

3) Konklusilkonsekuen

Konklusi biasanya terdapat di belakang kata "maka".

Konklusi adalah pemyataan yang merupakan

analisis atau hasil telaah dari hipotesis.

Perhatikan teorema berikut “Sudut-sudut alas

suatu segitiga samakaki sama besarnya”. Pemyataan

tersebut dapat diubah menjadi: “Jika sebuah segitga

samakaki maka sudut-sudut alasnya sama”. Dengan bentuk

pernyataan “Jika……maka.….” ini lebih mudah

menentukan unsur-unsur teorema tersebut, yaitu: 1)

Aksiomatika / 57

latar belakangnya adalah segitiga, 2) hipotesisnya

adalah segitiga samakaki , dan 3) konlusinya adalah

sudut-sudut alasnya sama. Dari contoh di atas jelas

bahwa hipotesis suatu teorema adalah bagian yang

dianggap diketahui. sedangkan konklusi suatu teorema

adalah bagian yang akan dibuktikan kebenarannya.

LATIHAN 2

1. Berikan contoh lingkaran definisi yang tidak

matematik

2. Berikan contoh lingkaran definisi yang matematik

3. Selidiki pernyataan mana yang dapat dinyatakan

dengan “bila dan hanya bila” atau yang “reversible”.

a. Suatu merpati adalah burung

b. Suatu persegi adalah suatu segiempat

c. Suatu jajargenjang adalah suatu segiempat yang

2 sisinya yang berhadapan sama dan sejajar.

d. Amat itu anak yang berambut panjang.

e. Suatu garis lurus terletak pada suatu bidang

datar jika paling sedikit 2 titiknya terletak pada

bidang itu.

4. Apakah yang dimaksud dengan suatu deduksi

dalam geometri itu?

5. Harus mempunyai apa saja suatu sistem deduktif

itu?

6. Diketahui : Geometri 4 titik

Aksioma 1: Terdapat tepat 4 buah titik. dan tidak ada

tiga di antaranya yang segaris.

Aksioma 2: Melalui duah bua titik dapat dibuat tepat

sebuah garis.

a. Susunlah Teorema 1 yang menyatakan banyaknya

garis lurus, dan buktikan.

/Aksiomatika 58

b. Jika kemudian disisipkan Definisi 1: Melalui tiga

buah titik dapat dibuat sebuah segitiga, maka

susunlah Teorema 2 yang menyatakan banyaknya

segitiga.

c. Jika kemudian disisipkan Definisi 2: Dua garis

dikatakan sejajar jika tidak mempunyai titik

serikat, maka susunlah Teorema 3 yang

menyatakan banyaknya pasangan garis sejajar.

d. Susunlah Teorema 4 yang menyatakan banyaknya

diagonal.

7. Diketahui: geometri 5 titik.

Diketahui aksioma-aksioma berikut.

Aksioma 1 : Terdapat tepat 5 buah titik, dan tidak ada

tiga di antaranya yang segaris.

Aksioma 2 : Melalui duah bua titik dapat dibuat tepat

sebuah garis.

a. Susunlah Teorema 1 yang menyatakan banyaknya

garis lurus, dan buktikan.

b. Jika kemudian disisipkan Definisi 1: Melalui tiga

buah titik dapat dibuat sebuah segitiga, maka

susunlah Teorema 2 yang menyatakan banyaknya

segitiga.

c. Jika kemudian disisipkan Definisi 2: Dua garis

dikatakan sejajar jika tidak mempunyai titik

serikat, maka susunlah Teorema 3 yang

menyatakan banyaknya pasangan garis sejajar.

d. Susunlah Teorema 4 yang menyatakan banyaknya

diagonal.

8. Diketahui : Geometri 8 titik

Aksioma 1: Terdapat tepat 8 buah titik, dan tidak

ada tiga di antaranya yang segaris.

Aksioma 2: Melalui dua buah titik dapat dibuat

tepat sebuah garis.

Aksiomatika / 59

b. Susunlah Teorema 1 yang menyatakan

banyaknya garis lurus, dan buktikan.

c. Jika kemudian disisipkan Teorema 1: Melalui

tiga buah titik dapat dibuat sebuah segitiga,

maka susunlah Teorema 2 yang menyatakan

banyaknya segitiga.

d. Jika kemudian disisipi Teorema 2: Dua garis

dikatakan sejajar jika tidak mempunyai titik

serikat, maka susunlah Teorema 3 yang

menyatakan banyaknya pasangan garis sejajar.

e. Susunlah Teorema 4 yang menyatakan

banyaknya diagonal.

9. Diketahui : Geometri n titik

Aksioma 1: Terdapat tepat n buah titik, dan tidak

ada tiga diantaranya yang segaris.

Aksioma 2: Melalui dua buah titik dapat dibuat

tepat sebuah garis.

a. Susunlah Teorema 1 yang menyatakan

banyaknya garis lurus, dan buktikan.

b. Jika kemudian disisipkan Definisi 1: Melalui

tiga buah titik dapat dibuat sebuah segitiga,

maka susunlah Teorema 2 yang menyatakan

banyaknya segitiga.

c. Jika kemudian disisipi Definisi 2: Dua garis

dikatakan sejajar jika tidak mempunyai titik

serikat, maka susunlah Teorema 3 yang

menyatakan banyaknya pasangan garis sejajar.

d. Susunlah Teorema 4 yang menyatakan

banyaknya diagonal