gručavost - university of ljubljanaskreko/pouk/ipdm_2011-12/prezentacije/grucavost...aksiomatika...
TRANSCRIPT
![Page 1: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/1.jpg)
Gručavost
Uroš KovačKatarina Zadražnik
Maja Alif
4. junij 2012
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 2: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/2.jpg)
Motivacija
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 3: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/3.jpg)
Gručavost
DefinicijaGručevje C = C1,C2, . . . ,Ck je particija množice vozlišč Vna neprazne podmnožice Ci , ki jim pravimo gruče.
Oznake:E(Ci ,Cj) . . . množica tistih povezav, ki imajo začetnovozlišče v gruči Ci in končno vozlišče v gruči Cj ;E(Ci) . . . okrajšava za E(Ci ,Ci);E(C) :=
⋃ki=1 E(Ci) . . . množica povezav znotraj
posameznih gruč;E(C) := E \ E(C) . . . množica povezav med gručami.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 4: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/4.jpg)
Merjenje kakovosti gručevij
Kakovost gručevja danega grafa G izmerimo s pomočjostrukturnega indeksa.A(G) naj bo množica vseh možnih gručevij grafa.Strukturni indeks je sestavljen iz dveh neodvisnih funkcij:
f : A(G)→ R+0 meri gostoto povezav znotraj posameznih
gruč;g : A(G)→ R+
0 g meri razpršenost povezav med gručami.
indeks(C) := f (C) + g(C)max f (C′) + g(C′) | C′ ⊆ A(G) .
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 5: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/5.jpg)
Model grafa
G(V ,E , ω) . . . enostaven, usmerjen, utežen graf brez zank, kjerje ω : E → R+
0 preslikava, ki vsaki povezavi priredi njeno utež.
0.60.3
0.80.42
0.30.5
6.91.13
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 6: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/6.jpg)
Primeri strukturnih indeksov
Primeri strukturnih indeksov:pokritost;prevodnost;zmogljivost.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 7: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/7.jpg)
Pokritost
DefinicijaPokritost γ(C) je funkcija, ki meri skupno težo povezavznotraj gruč glede na težo vseh povezav.Velja:
f (C) = ω(E(C));g ≡ 0.
Pokritost izračunamo kot:
γ(C) := ω(E(C))ω(E) =
∑e∈E(C) ω(e)∑
e∈E ω(e) .
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 8: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/8.jpg)
Zgled
G1 G2
Slika: Odebeljene povezave imajo utež enako 100. Ostale povezaveimajo utež 1. Intuitivno gručevje ima pokritost γ = 159/209 ≈ 0.76.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 9: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/9.jpg)
G1 G2
Slika: Odebeljene povezave imajo utež enako 100. Ostale povezaveimajo utež 1. Optimalna vrednost, ki jo doseže pokritost pa je enaka413/418 ≈ 0.99.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 10: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/10.jpg)
TrditevGručevje C ima pokritost γ = 1 natanko tedaj, ko je množicapovezav med gručami prazna ali pa imajo vse povezave v tejmnožici uteži enake 0.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 11: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/11.jpg)
Pokritost in najmanjši prerezDefinicijaV teoriji grafov je najmanjši prerez grafa tisti prerez, prikaterem imamo najmanjše število prereznih povezav, če je grafneutežen. V primeru uteženega grafa pa je to prerez, prikaterem je vsota uteži na prereznih povezavah najmanjša.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 12: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/12.jpg)
TrditevNaj bo G(V ,E , ω) povezan graf, v katerem ima vsak možniprerez pozitivno vsoto uteži na prereznih povezavah. Netrivialnagručevja z optimalno pokritostjo so tista z dvema gručama, ki juinducira najmanjši prerez.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 13: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/13.jpg)
PrevodnostDefinicijaNaj bo C = (C1,C2) prerez (C2 = V \ C1). Potem sta težaprevodnosti a(Ci) in prevodnost ϕ(C) definirani kot:
a(Ci) :=∑
(u,v)∈E(Ci ,V )ω(u, v)
ϕ(C) :=
1, če C1 ∈ ∅,V ;0, če C1 /∈ ∅,V , ω(E(C)) = 0;
ω(E(C))min(a(C1),a(C2)) , sicer.
Prevodnost grafa G pa je definirana kot:
ϕ(G) = minC prerez
ϕ(C).
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 14: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/14.jpg)
LemaNaj bo G = (V ,E , ω) neusmerjen graf s pozitivnimi utežmi napovezavah. Tedaj ima G največjo prevodnost, tj. ϕ(G) = 1,natanko tedaj, ko je povezan in ima največ 3 vozlišča ali pa jezvezda.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 15: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/15.jpg)
Vsi nepovezani grafi imajo prevodnost enako 0, saj zanjeobstaja netrivialen prerez, ki ima na prereznih povezavah(teh ni) vsoto uteži 0. Torej ustrezajo drugi točki pridefiniciji prevodnosti in res drži ϕ = 0.Za netrivialen prerez C = (C1,V \ C1) neusmerjenega grafalahko težo prevodnosti a(Ci) zapišemo drugače:
a(Ci) =∑
e∈E(Ci ,V )ω(e) = ω(E(Ci)) + ω(E(C).
Tedaj se tretja točka pri definiciji prevodnosti prepiše v
ω(E(C)min
(a(C1), a(C2)
) = ω(E(C)ω(E(C)) + min
(ω(E(C1)), ω(E(V \ C1))
) .
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 16: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/16.jpg)
Kako prepričati računalnik, da nam naredi gručevje?
Napišemo mu algoritem.
Osnovne tehnike, ki jih uporabljamo pri reševanju problemagručavosti, lahko razdelimo v tri razrede:
požrešne metode;premične metode;splošni optimizacijski (aproksimacijski) pristopi, ki namdajo približno rešitev.
Skupna ideja: Problem delimo toliko časa, da dobimo obliko, vkateri problem znamo rešiti, nato pa ga razširimo nazaj doprvotnega problema.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 17: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/17.jpg)
Korak delitve problema običajno sestoji iz dveh delov:Identifikacija podstruktur grafa.Modifikacija trenutnega grafa G. Običajne transformacije,ki jih izvedemo, so:
dodajanje povezav;odstranjevanje povezav;zamenjava korena v podgrafu, tj. predstavitev podgrafa znovim korenom.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 18: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/18.jpg)
Požrešna metodaOznake:
L . . . trenutna rešitev;c(L) . . . cena trenutne rešitve L;Ng(L) . . . množica vseh možnih rešitev, ki jih lahkodosežemo z izboljšavo rešitve L.
Algoritem (Požrešna metoda)1: Naj bo L0 dopustna rešitev.2: i ← 03: while L | L ∈ Ng(Li), c(L) < c(Li) 6= ∅ do4: Li+1 ← argminL∈Ng(Li)c(L)5: i ← i + 16: end while7: return Li
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 19: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/19.jpg)
Proces združevanja
Naj bodo dani:graf G = (V ,E , ω) in začetna gručavost C1;globalna funkcija cene cglobalna : A(G)→ R+
0alilokalna funkcija cene clokalna : P(V )× P(V )→ R+
0 .
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 20: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/20.jpg)
Dve gruči v trenutnem gručevju Ci := C1, . . . ,Ck, kadar je tomožno, združimo na naslednji način:
Globalna verzija: Naj bo P množica vseh možnihrezultatov, ki jih dobimo, če združimo dve gruči iztrenutnega gručevja Ci , tj.
P := C1, . . . ,Ck\Cµ,Cν ∪ Cµ ∪ Cν | µ 6= ν .
Novo gručevje Ci+1 je določeno z:
Ci+1 := argminC∈Pcglobalna(C).
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 21: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/21.jpg)
Lokalna verzija: Naj bosta µ in ν taka različna indeksa,da velja: clokalna ima en globalni minimum (Cµ,Cν). Potemje novo gručevje Ci+1 definirano z združitvijo Cν in Cµ, tj.
Ci+1 := C1, . . . ,Ck\Cµ,Cµ ∪ Cµ ∪ Cν.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 22: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/22.jpg)
Zgled
G1
G2 G3
G4
G5G6
Slika: 1. korak
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 23: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/23.jpg)
Zgled
G1
G2 G3
G4,G5G6
Slika: 2. korak
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 24: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/24.jpg)
Zgled
G1
G2 G3
G4,G5,G6
Slika: 3. korak
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 25: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/25.jpg)
Zgled
G1
G2,G3
G4,G5,G6
Slika: 4. korak
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 26: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/26.jpg)
Zgled
G1
G2,G3,G4,G5,G6
Slika: 5. korak
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 27: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/27.jpg)
Zgled
G1,G2,G3,G4,G5,G6
Slika: 6. korak
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 28: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/28.jpg)
Proces delitve
Naj bodo dani:graf G = (V ,E , ω) in začetno gručevje C1;globalna ali semi-globalna ali lokalna ali semi-lokalnafunkcija cene.
Definirajmo funkcije cene:globalna: funkcija cene cglobalna : A(G)→ R+
0 ;semi-globalna: funkcija cene cglobalna : A(G)→ R+
0 inpripadajoča funkcija prereza clokalna : P(V )→ P(V );lokalna: funkcija cene clokalna : P(V )× P(V )→ R+
0 . ;semi-lokalna: funkcija cene clokalna : P(V )×P(V )→ R+
0 inpripadajoča funkcija prereza clokalna : P(V )→ P(V ).
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 29: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/29.jpg)
Ideja:Pri procesu delitve eno gručo Ci v trenutnem gručevjuC := C1, . . . ,Ck razdelimo na dva dela. Proces se ustavi, ko sene da nobene gruče več razdeliti.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 30: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/30.jpg)
Ideja:Pri procesu delitve eno gručo Ci v trenutnem gručevjuC := C1, . . . ,Ck razdelimo na dva dela. Proces se ustavi, ko sene da nobene gruče več razdeliti.
G1
G2
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 31: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/31.jpg)
Vprašanji:1 Kako izbrati gručo, ki jo bomo razdelili?2 Kako izbrano gručo razdeliti?
Globalna verzija: Naj bo P množica vseh gručevij, ki jihdobimo iz gručevja Ci , če razdelimo eno gručo Ci v dve novigruči, glede na cglobalna; tj.
P :=C1, . . . ,Ck\Cµ ∪ C ′
µ,Cµ\C ′µ | ∅ 6= C ′
µ 6⊆ Cµ.
Novo gručevje Ci+1 definiramo kot:
Ci+1 := argminC∈Pcglobalna(C).
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 32: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/32.jpg)
Semi-globalna verzija: Naj bo P množica vseh možnihgručevij, ki jih dobimo iz gručevja Ci , glede na Slokalna; tj.
P := C1, . . . ,Ck\Cµ ∪ Slokalna(Cµ),Cµ\Slokalna(Cµ) .
Novo gručevje Ci+1 je določeno kot:
Ci+1 := argminC∈Pcglobalna(C).
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 33: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/33.jpg)
Lokalna verzija: Naj bo µ tak indeks in Cν taka pravapodmožica gruče Cµ, da ima cena funkcije clokalna globalniminimum v paru (Cν ,Cµ\Cν). Potem je novo gručevje Ci+1definirano z razdelitvijo gruče Cµ glede na Slokalna, tj.
Ci+1 := C1, . . . ,Ck\Cµ ∪ Cµ,Cµ\Cν.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 34: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/34.jpg)
Semi-lokalna verzija: Naj bo µ indeks, pri katerem imaclokalna globalni minimum v paru (Slokalna(Cµ),Cµ\Slokalna(Cµ)).Potem je novo gručevje Ci+1 definirano z razdelitvijo gruče Cµglede na Slokalna, tj.
Ci+1 := C1, . . . ,Ck\Cµ ∪ Slokalna(Cµ),Cµ\Slokalna(Cµ).
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 35: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/35.jpg)
Premična metoda
Ideja: Izberemo začetno gručevje in ga iterativno spreminjamodokler ne najdemo lokalnega optimuma.
Ponavadi imamo za to na voljo tri operacije:vozlišče premaknemo iz ene gruče v drugo že obstoječogručo;vozlišče premaknemo iz ene gruče v novo gručo, ki smo jopredhodno na novo ustvarili;dve vozlišči zamenjata gruči.
Dovoljujemo tudi bolj kompleksne operacije: npr. odstranitevobstoječe gruče in reorganizacija vozlišč.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 36: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/36.jpg)
Ns(L) . . . množica vseh gručevij, ki jih dobimo, če na Lizvedemo modifikacije
Algoritem (Premična metoda)1: Naj bo L0 začetna rešitev.2: i ← 03: while Ns(Li) 6= ∅ do4: Izberemo Li+1 ∈ Ns(Li).5: i ← i + 16: end while7: return Li
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 37: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/37.jpg)
DefinicijaNaj bodo dani graf G = (V ,E , ω), začetno gručevje C1 inpotencialna funkcija φ : A(G)×A(G)→ R. Premični procesje izvedba neke operacije na trenutnem gručevju Ci , ki nam danovo gručevje Ci+1, tako da velja φ(Ci , Ci+1) > 0.
OpombaPotencialno funkcijo φ premični proces uporablja kot kriterij zaselekcijo.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 38: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/38.jpg)
Zgled
G1,G2 G3,G4
G5,G6
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 39: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/39.jpg)
Zgled
G1 G2,G3,G4
G5,G6
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 40: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/40.jpg)
Zgled
G1
G2,G3
G4,G5,G6
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 41: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/41.jpg)
Splošni optimizacijski pristopi
parametrično ocenjevanje;evolucijski pristop;. . . .
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 42: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/42.jpg)
Razširitve gručavosti
Prehodna gručavost
Prerezno vozlišče pripada obema gručama.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 43: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/43.jpg)
Razširitve gručavosti
Problem: če majhna podmnožica vozlišč pripada mnogimgručam.
Število gruč je omejeno s konstanto k.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 44: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/44.jpg)
Razširitve gručavosti
Problem: če majhna podmnožica vozlišč pripada mnogimgručam.
Število gruč je omejeno s konstanto k.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 45: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/45.jpg)
Razširitve gručavosti
Problem: če majhna podmnožica vozlišč pripada mnogimgručam.
Število gruč je omejeno s konstanto k.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 46: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/46.jpg)
Razširitve gručavosti
Problem: če majhna podmnožica vozlišč pripada mnogimgručam.
Število gruč je omejeno s konstanto k.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 47: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/47.jpg)
Razširitve gručavosti
Problem: če majhna podmnožica vozlišč pripada mnogimgručam.
Število gruč je omejeno s konstanto k.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 48: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/48.jpg)
Razširitve gručavosti
Število k je primerljivo s stopnjo vozlišča.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 49: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/49.jpg)
Razširitve gručavostiGručavost s predstavnikomUporabne za pohitritev in aproksimativno računanje.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 50: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/50.jpg)
Razširitve gručavostiGnezdena gručavostDefinicijaGnezdena gručavost je gnezdeno zaporedje podmnožicvozlišč, tj. preslikava η : N→ P(V ) tako da:
1 množice so gnezdene, tj.
∀i ∈ N . η(i + 1) ⊆ η(i);
2 zaporedje je končno, tj.
∃k ∈ N .∀` > k . η(`) = ∅.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 51: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/51.jpg)
Razširitve gručavosti
Najmanjši možni k je velikost zaporedja.Množica η(k) je vrhnji element.Gostota podmnožic η(i) je naraščajoča funkcijaargumenta i.Dva ekstremna tipa: hierarhije in vrhovi.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 52: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/52.jpg)
Razširitve gručavosti
HierarhijaVsaka množica η(i) inducira povezan graf.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 53: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/53.jpg)
Razširitve gručavosti
VrhoviKomplementaren pojem hierarhiji: vsaj ena podmnožica η(i)inducira nepovezan graf.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 54: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/54.jpg)
AksiomatikaNaj bo Kn = (V ,E) poln graf na n vozliščih in ω : E → R+
0funkcija razdalj na povezavah. Množico vseh možnih funkcijrazdalj označimo z D.
DefinicijaFunkcija gručiranja f je preslikava f : D → A(Kn), kizadošča naslednjim aksiomom:Invariantnost na merilo: ∀α ∈ R+, ω ∈ D . f (ω) = f (α · ω), kjerje (α · ω) · (u, v) := α · (ω(u, v));Bogatost: f (D) = A(Kn);Konsistentnost: za vse ω, ω′ ∈ D velja(∀u, v ∈ V . ω′(u, v)
≤ ω(u, v) u ∼f (ω) v≥ ω(u, v) sicer
)⇒ f (ω) = f (ω′).
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 55: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/55.jpg)
Aksiomatika
IzrekZa vse n ≥ 2 ne obstaja funkcija gručiranja.
LemaObstaja veliko funkcij, ki zadoščajo samo dvema od trehaksiomov iz definicije.
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost
![Page 56: Gručavost - University of Ljubljanaskreko/Pouk/ipdm_2011-12/Prezentacije/Grucavost...Aksiomatika Izrek Zavsen≥2neobstajafunkcijagručiranja. Lema Obstajavelikofunkcij,kizadoščajosamodvemaodtreh](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041720/5e4dbd59e236747bf14f4457/html5/thumbnails/56.jpg)
DefinicijaNaj bo dana množica elementov X . Funkcija gručiranjagrafa f je preslikava f : Ω(X)→ A(X), ki zadošča naslednjimaksiomom.Invariantnost na merilo: ∀α ∈ R+, ω ∈ Ω(X) . f (ω) = f (α · ω),kjer je (α · ω) · (u, v) := α · (ω(u, v));Bogatost: f (Ω(X)) = A(X)Konsistentnost: za vse ω, ω′ ∈ Ω(X), pri čemer jeE(ω) ⊆ E(ω′), velja(∀u, v ∈ V . ω′(u, v)
≤ ω(u, v) u ∼f (ω) v≥ ω(u, v) sicer
)⇒ f (ω) = f (ω′),
kjer je ω(u, v) =∞ za (u, v) ∈ E(ω′)\E(ω).
Uroš Kovač, Katarina Zadražnik, Maja AlifGručavost