bab iv dispersi data - · pdf filesimpangan rata-rata (sr) adalah jumlah nilai mutlak dari...
TRANSCRIPT
BAB IV
DISPERSI DATA
Dispersi adalah ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data.
Ukuran dispersi yang sering digunakan dalam penelitian ialah jangkauan (range),
simpangan rata-rata (mean deviation), variansi (variance), dan deviasi baku (standard
deviation). Selain itu pada bab ini juga dibahas tentang simpangan kuartil, koefisien
variasi, kemiringan, dan kurtosis. Dalam dispersi data dibedakan antara ukuran dispersi
pada populasi dan ukuran dispersi pada sampel.
1. Jangkauan (range)
Jangkauan sebuah distribusi frekuensi dirumuskan sebagai beda antara pengukuran
nilai terbesar dan nilai terkecil yang terdapat dalam sebuah distribusi. Untuk
menghitung jangkauan tidak terdapat perbedaan rumus maupun simbol untuk data
populasi maupun data sampel.
Dirumuskan: Range (r) = nilai max – nilai min
Contoh untuk data tunggal:
• Data 1: 50,50,50,50,50 ; mempunyai r = 50-50=0
• Data 2: 30,40,50,60,70 ; mempunyai r = 70-30=40
Contoh untuk data bergolong:
Mempunyai range data = 73 – 61 = 12
2. Simpangan rata-rata (mean deviation)
Simpangan Rata-rata (SR) adalah jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan
nilai rata-rata dibagi banyaknya data. Baik pada populasi maupun sampel digunakan
rumus yang sama untuk menghitung simpangan rata-rata. Akan tetapi, digunakan
simbol yang berbeda untuk mean ( pada populasi dan X pada sampel) dan untuk
banyaknya data (N pada populasi dan n pada sampel)
a. Simpangan Rata-rata pada Populasi
• Bila data tunggal, maka:
N
XSR
||
• Bila data bergolong, maka:
,||
N
XfSR
populasiuntuk databanyak
populasiuntuk hitungrata-rata
datanilai
:manadi
N
X
Contoh untuk data tunggal:
Tentukanlah simpangan rata-rata untuk kelompok data populasi: 20,30,50,70,80!
205
100
5
302002030
5
|5080||5070||5050||5030||5020|
,5,50hitungrataRata
SR
makaN
Contoh untuk data bergolong:
Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut jika data tersebut merupakan
data populasi.
Rata – rata dari data tersebut adalah 140,525
396,1140
850,455||
f
XfSR
b. Simpangan Rata-rata pada Sampel
• Bila data tunggal, maka:
n
XXSR
||
• Bila data bergolong, maka:
,n
XXfSR
sampeluntuk databanyak
sampeluntuk hitungrata-rata
datanilai
:manadi
n
X
X
Contoh untuk data tunggal:
Tentukanlah simpangan rata-rata untuk kelompok data sampel: 20,30,50,70,80.
205
100
5
302002030
5
|5080||5070||5050||5030||5020|
,5,50hitungrataRata
SR
makanX
Contoh untuk data bergolong:
Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut jika data tersebut merupakan
data sampel.
Rata-rata dari data tersebut adalah 140,525
396,1140
850,455||
f
XXfSR
3. Variansi (variance)
Variansi adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai
data terhadap rata-rata hitung. Untuk menghitung variansi, digunakan rumus dan
simbol yang berbeda antara data sampel dan data populasi.
a. Variansi Pada Populasi
• Bila data tunggal, maka:
N
X
2
2)(
• Bila data bergolong, maka:
fnmanadiN
Xf,
)( 2
2
databanyakN
hitungratarata
datanilaiX
:manadi
Contoh untuk data tunggal:
Tentukanlah variansi untuk kelompok data populasi 20,30,50,70,80.
5205
9004000400900
5
)5080()5070()5050()5030()5020( 222222
Contoh untuk data bergolong:
Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut jika data tersebut merupakan
data populasi.
449,20240
9741,8097)( 2
2
N
Xf
b. Variansi Pada Sampel
• Bila data tunggal, maka:
1
)( 2
2
n
XXS
• Bila data bergolong, maka:
fnmanadi
n
XXfS ,
1
)( 2
2
sampeldatabanyakn
hitungratarataX
datanilaiX
:manadi
Contoh untuk data tunggal:
Tentukanlah variansi untuk kelompok data sampel: 20,30,50,70,80.
6504
9004000400900
15
)5080()5070()5050()5030()5020( 222222
S
Contoh untuk data bergolong:
Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut, jika data tersebut merupakan
data sampel.
64,20739
9741,8097
1
)( 2
2
n
XXfS
4. Deviasi baku (standard deviation)
Deviasi baku adalah adalah akar pangkat dua dari variansi. Oleh karena itu, tentunya
terdapat perbedaan rumus dan simbol untuk menghitung deviasi baku pada data
populasi dan data sampel.
a. Deviasi baku pada Populasi
• Bila data tunggal, maka:
N
X
2)(
• Bila data bergolong, maka:
fNmanadiN
Xf,
)( 2
Contoh untuk data tunggal:
Tentukanlah deviasi baku untuk kelompok data polulasi: 20,30,50,70,80.
804.225205
9004000400900
5
)5080()5070()5050()5030()5020( 22222
Contoh untuk data bergolong:
Tentukanlah deviasi baku data modal 40 perusahaan berikut, jika data tersebut
merupakan data populasi.
229,1445,20240
9741,8097)( 2
N
Xf
b. Deviasi baku pada Sampel
• Bila data tunggal, maka:
1
)( 2
n
XXS
• Bila data bergolong, maka:
fnmanadi
n
XXfS ,
1
)( 2
2
Contoh untuk data tunggal:
Tentukanlah deviasi baku untuk kelompok data sampel: 20,30,50,70,80.
495,25650
4
9004000400900
15
)5080()5070()5050()5030()5020( 22222
S
Contoh untuk data bergolong:
Tentukanlah deviasi baku data modal 40 perusahaan berikut, jika data tersebut
merupakan data sampel.
229,1445,20240
9741,8097)( 2
N
Xf
5. Simpangan kuartil (quartile deviation)
Simpangan kuartil merupakan ukuran setengah jarak antara kuartil ke 3 dan kuartil
ke 1.
Rumusan Deviasi kuartil: DK = [ K3 – K1 ] / 2
Contoh untuk data tunggal:
Tentukanlah simpangan kuartil untuk kelompok data: 20,30,50,70,80.
Contoh untuk data bergolong:
Tentukanlah simpangan kuartil data modal 40 perusahaan berikut.
(kerjakan sebagai latihan)
6. Koefisien variasi (coeficient of variation)
Digunakan untuk membandingkan beberapa kumpulan data yang berbeda
Rumus
%100X
SV
V = ukuran variasi relatif (koefisien variasi)
S = deviasi baku
X = mean
Contoh:
Diketahui data hasil ujian dari 120 orang
MK Statistik:
• Rata-rata = 56
• Deviasi Baku = 23
MK Matematika:
• Rata-rata = 65
• Simpangan Baku = 30
Tentukan hasil ujian yang mana yang variansinya lebih besar.
%07,41%10056
23%100
%15,46%10065
30%100
m
mm
s
ss
X
SV
X
SV
Karena Vs > Vm berarti hasil ujian statistik lebih bervariasi (heterogen) dibanding hasil
ujian matematika.
Jika data tersebut merupakan data populasi, digunakan simbol yang berbeda untuk
mean dan deviasi baku, yaitu untuk mean dan untuk deviasi baku.
7. Kemiringan dan Kurtosis
a. Kemiringan
Kemiringan adalah derajat atau ukuran dari asimetri suatu distribusi data, ada
tiga jenis:
1. Simetris
Letak nilai rata-rata hitung, median dan modus berhimpit.
2. Miring ke kanan/kemiringan positif
Nilai modus paling kecil dan rata-rata hitung paling besar.
3. Miring ke kiri/ kemiringan negatif
4. Nilai modus paling besar dan rata-rata hitung paling kecil.
Terdapat beberapa cara yang dipakai untuk menghitung derajat kemiringan distribusi
data. Data yang dibicarakan pada pembahasan ini adalah data sampel. Untuk data
populasi dapat digunakan cara yang sama dengan mengganti symbol untuk mean (
pada populasi dan X pada sampel) dan variansi ( 2 pada populasi dan s2 pada
sampel)
a) Pearson
S
MedXatau
S
ModX )(3
median
deviasistandar
modus
hitungratarata
Pearsonkemiringanderajat
:
Med
S
Mod
X
manadi
Rumus ini dapat dipakai untuk data tunggal maupun data bergolong,
dengan aturan sbb:
– Bila = 0, distribusi data simetri
– Bila = negatif, distribusi data miring ke kiri
– Bila = positif, distribusi data miring ke kanan
Semakin besar , distribusi data akan semakin miring atau makin tidak
simetri.
freku
en
si
x
Mod=Med=X
freku
en
si
x
Mod Med X
freku
en
si
x
Mod Med X
b) Momen
Bila data tunggal, maka:
3
3
3
)(
nS
XX
Bila data bergolong, maka:
3
3
3
)(
nS
XXf
fn
deviasidarsS
hitungratarataX
kemiringanderajat
manadi
tan
:
3
• Bila 3 = 0, distribusi data simetri
• Bila 3 < 0, distribusi data miring ke kiri
• Bila 3 > 0, distribusi data miring ke kanan
c) Bowley
13
213
QQQ
Jika distribusi simetris maka 1223 QQQQ sehingga 02 213 QQQ
mengakibatkan sama dengan nol.
Jika distribusinya MIRING, ada 2 kemungkinan:
Q1 = Q2 maka = 1
Q2 = Q3 maka = -1
b. Kurtosis
Keruncingan adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi
data terhadap distribusi normalnya data, ada tiga jenis:
a) Leptokurtis
Distribusi data yang puncaknya relatif tinggi.
b) Mesokurtis
Distribusi data yang puncaknya normal.
c) Platikurtis
Distribusi data yang puncaknya rendah atau terlalu datar
• Bila data tunggal, maka:
4
4
4
)(
nS
XX
• Bila data bergolong, maka:
4
4
4
)(
nS
XXf
fn
deviasidarsS
hitungratarataX
kemiringanderajat
manadi
tan
:
3
Bentuk kurva keruncingan – kurtosis
• Mesokurtik 4 = 3
• Leptokurtik 4 > 3
• Platikurtik 4 < 3
freku
en
si
Puncak runcing
freku
en
si
Puncak normal
freku
en
si
Puncak tumpul
LATIHAN
1. Diketahui data sampel sebagai berikut.
2 4 4 8 2 2 2 2
Carilah:
a. Jangkauan dan simpangan rata-rata.
b. Variansi, deviasi baku, dan simpangan kuartil.
2. Diketahui data populasi nilai Ujian Tengah Semester dari 20 mahasiswa pada mata
kuliah Aljabar Linier seperti pada tabel berikut.
Nilai 50 60 70 80 90 100
Frekuensi 1 5 5 4 3 2
Carilah jangkauan, simpangan rata-rata, variansi, deviasi baku, dan simpangan
kuartil dari data tersebut.
3. Diberikan tabel frekuensi dari sampel tinggi badan sekelompok mahasiswa sebagai
berikut.
Tinggi badan Banyaknya
mahasiswa
140-144
145-149
150-154
155-159
160-164
165-169
4
7
10
12
6
3
a. Tentukan jangkauan dan simpangan rata-rata.
b. Tentukan variansi, deviasi baku, dan simpangan kuartil.
4. Diberikan tabel frekuensi dari populasi rata-rata gaji harian dari 171 karyawan
sebagai berikut.
Interval Kelas Gaji
(dalam ribuan)
Frekuensi
101-110
111-120
121-130
131-140
141-150
151-160
161-170
9
18
23
23
26
22
18
171-180
181-190
191-200
201-210
211-220
221-230
231-240
15
5
8
2
0
0
2
Carilah jangkauan, simpangan rata-rata, variansi, deviasi baku, dan simpangan
kuartil dari data tersebut.
Tim Penyusun:
• Sukirman
• Sri Rejeki
Sumber:
• Syamsudin. 2002. Statistik Deskriptif. MUP: Surakarta
• N. Setyaningsih, Pengantar Statistika Matematika, MUP -UMS
• Budiyono, Statistika untuk Penelitian, 2004 , UNS