bab v persamaan diferensial tingkat tinggi · pdf filesebagai jumlah n pecahan parsial, 4....

Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 114
BAB V
PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT TINGGI
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat
memahami cara menentukan akar-akar persamaan karakteristik dan
mengaplikasikan dalam menentukan selesaian umum dan selesaian persamaan
diferensial tingkat tinggi
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat
tinggi homogen dengan koefisien konstan
tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode invers
fungsi operator,
tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode
)(1DF
sebagai jumlah n pecahan parsial,
tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode variasi
paramater,
tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan Metode
koefisien tak tentu, dan
tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode integral
khusus dimana )(xQ mempunyai bentuk yang sangat spesifik.
Bab V dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang (1) bentuk umum
persamaan diferensial tingkat tinggi, (2) selesaian umum persamaan diferensial

tingkat tinggi yang meliputi: persamaan diferensial tingkat tinggi homogen
dengan koefisien konstanta, persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen
dengan koefisien konstanta, persamaan diferensial tingkat tinggi homogen dengan
koefisien variabel, persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen dengan
koefisien variabel.
5.1 Bentuk Umum
Persamaan diferensial linear tingkat tinggi disebut pula sebagai persamaan
diferensial linear tingkat-n. Secara umum persamaan diferensial tingkat tinggi
dinyatakan dalam bentuk:
)(..... 133
32
2
21
1
1 xQyPdxdyP
dxydP
dxydP
dxydP
dxydP nnn
n
n
n
n
n
n
n
o
Dengan nno PPPPPP ,...........,,,0 1,321 adalah fungsi atau konstanta.
karena Dydxdy
, yDdx
yd 22
2
, yDdx
yd 33
3
,....., yDdx
yd nn
n1
1
1
, dan yDdx
yd nn
n
maka persamaan
)(..... 133
32
2
21
1
1 xQyPdxdyP
dxydP
dxydP
dxydP
dxydP nnn
n
n
n
n
n
n
n
o
dapat dinyatakan dalam bentuk:
)(..... 13
32
21
1 xQyPDyPyDPyDPyDPyDP nnnnnn
o
)().....( 13
32
21
1 xQyPDPDPDPDPDP nnnnnn
o
F(D) y = Q(x)
Persamaan yang berbentuk )()( xQyDF dengan 0)( xQ , maka bentuk
umumnya menjadi
0).....( 13
32
21
1 yPDPDPDPDPDP nn
nnnno .
Pada kasus 0)( xQ maka )()( xQyDF disebut persamaan diferensial linear
homogen tingkat tinggi, sedangkan jika 0)( xQ maka )()( xQyDF disebut
persamaan diferensial linear tidak homogen tingkat tinggi.

Contoh
1. 01522
2
ydxdy
dxyd
0)152( 2 ydD
015'2'' yyy
2. xey
dxdyy
dxdy 2
2
2
xeyDyyDy 22)2)(( xeyyyy 22)2')('(
3. xxyD cos)9( 2
xxyy cos9''
xxydx
yd cos922
4. )43()2()2( 2
22 xy
dxdyx
dxydx
)43(')2(")2( 2 xyyxyx
)43()2()2( 22 xyDyxyDx
)43(}1)2()2{( 22 xyDxDx
5. 0223 2
22
3
33 y
dxdyx
dxydx
dxydx
02'2"3''' 23 yxyyxyx
0223 2233 yxDyyDxyDx
0)22( 33 yxdDx
6. xxxy
dxdyx
dxydx 3ln22 23
33
xxxyxyyx 3ln2'2''' 23
xxxyxDyyDx 3ln22 233
xxxyxDDx 3ln)22( 233

Persamaan-persamaan pada contoh di atas selanjutnya dapat
dikelompokkan ke dalam persamaan homogen dan tidak homogen. Persamaan
pada contoh 1 disebut persamaan diferensial linear homogen tingkat dua dengan
koefisien konstan, persamaan pada contoh 2 disebut persamaan diferensial linear
tidak homogen tingkat tiga dengan koefisien konstan, persamaan pada contoh 3
disebut persamaan diferensial linear tidak homogen tingkat dua dengan koefisien
konstan, persamaan pada contoh 4 disebut persamaan diferensial linear tidak
homogen tingkat dua dengan koefisien variabel, persamaan pada contoh 5 adalah
persamaan diferensial linear homogen tingkat tiga dengan koefisien variabel,
sedangkan persamaan pada contoh 6 adalah persamaan diferensial linear tidak
homogen tingkat 3 dengan koefisien variabel.
5.2 Selesaian Umum Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi
Misal )(1 xyy adalah selesaian persamaan
)(.....33
32
2
21
1
1 xQyPdxdyP
dxydP
dxydP
dxydP
dxydP nqnn
n
n
n
n
n
n
n
o
Maka )(11 xycy juga selesaian persamaan di atas. dimana 1c adalah sebarang
konstanta.
Misal )(2 xyy adalah selesaian persamaan
)(.....33
32
2
21
1
1 xQyPdxdyP
dxydP
dxydP
dxydP
dxydP nqnn
n
n
n
n
n
n
n
o
Maka )(22 xycy juga selesaian persamaan di atas. dimana 2c adalah sebarang
konstanta.
Misal )()( 21 xyxyy adalah selesaian persamaan
)(.....33
32
2
21
1
1 xQyPdxdyP
dxydP
dxydP
dxydP
dxydP nqnn
n
n
n
n
n
n
n
o
Maka )()( 2211 xycxycy juga selesaian persamaan di atas.
Dengan asumsi yang sama, misal )()(.....)()( 121 xyxyxyxyy nn adalah
selesaian persamaan

)(.....33
32
2
21
1
1 xQyPdxdyP
dxydP
dxydP
dxydP
dxydP nqnn
n
n
n
n
n
n
n
o
, maka
)()(.....)()( 112211 xycxycxycxycy nnnn juga selesaian persamaan
diferensial tingkat tinggi. .
Himpunan selesaian persamaan-persamaan berikut
)(),(.....,)(),(),( 1321 xyydanxyyxyyxyyxyy nn
disebut bebas liner jika persamaan 0..... 11332211 nnnn ycycycycyc
dimana c i adalah konstanta dan terjadi hanya apabila
0....... 1321 nn ccccc .
Syarat perlu dan cukup bahwa n selesaian merupakan bebas linear yaitu
jika diterminan matrik ordo )(nxn yang masing-masing sukunya adalah selesaian
dimaksud sampai turunan ke 0)1( n .
Dengan kata lain )()(.....)()( 112211 xycxycxycxycy nnnn adalah
primitif. Jika )(xR suatu selesaian khusus maka selesaian khususnya persamaan
diferensial linear tingkat tinggi dinyatakan dengan:
)()()(.....)()( 112211 xRxycxycxycxycy nnnn
Untuk lebih memudahkan cara menentukan selesaian persamaan diferensial linear
tinggi, maka dalam menentukan selesaian tersebut dikelompok menjadi:
1) persamaan diferensial homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan
2) persamaan diferensial tidak homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan
3) persamaan diferensial homogen tingkat tinggi dengan koefisien variabel
4) persamaan diferensial tidak homogen tingkat tinggi dengan koefisien variabel.
1) Persamaan Diferensial Homogen dengan Koefisien Konstan
Sebagaimana telah disebutkan pada awal Bab V, bahwa persamaan
diferensial linear homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan dinyatakan
dalam bentuk umum:
0.....33
32
2
21
1
1
yPdxdyP
dxydP
dxydP
dxydP
dxydP nqnn
n
n
n
n
n
n
n
o

Atau
0..... 113
32
21
1
yPyDPyDPyDPyDPyDP n
nn
nnnno
atau
0).....( 13
32
21
1 yPDPDPDPDPDP nn
nnnno
Atau
F(D) y = 0
dengan nno PPPPPP ,...........,,,0 1,321 adalah konstan.
dan F(D) disebut fungsi operator diferensial.
Selanjutnya jika )(DF dapat difaktorkan, maka )(DF dapat dinyatakan
dalam bentuk 0))......()()(( 321 nmDmDmDmD . Sebaliknya jika
)(DF tidak dapat difaktorkan maka tetap ditulis sebagai 0)( DF .
Bentuk 0))......()()(( 321 nmDmDmDmD dinamakan persamaan
karakteristik dengan m nmmmm ,...,,, 321 disebut akar-akar persaman karakteristik.
Perlu diingat bahwa tidak penting menulis persamaan karakteristik, karena akar-
akarnya dapat dibaca secara langsung dari fungsi operator diferensial.
Persamaan karakteristik 0)( mf setelah ditentukan akar-akarnya, untuk
menentukan selesaian umum persaamaan
0.....33
32
2
21
1
1
yPdxdyP
dxydP
dxydP
dxydP
dxydP nqnn
n
n
n
n
n
n
n
o ditentukan
dengan xmi iecy dimana im akar persamaan karakteristik yang telah diketahui.
Karena nmmmm ,.....,,, 321 adala

bab v persamaan diferensial tingkat tinggi · pdf filesebagai jumlah n pecahan parsial, 4....

Documents