BAB VIIPersamaan Laplace

7.5 Teorema Representasi, SifatNilai Rata-Rata dan Prinsip

Maksimum untuk Fungsi Harmonik

Teorema representasi. Sifat nilai rata-rata dan prinsip maksimum untuk fungsi harmonik.

Teorema representasi. Properti rata-rata nilai dan prinsip maksimum untuk fungsi harmonik

Teorema representasi. Properti rata-rata nilai dan prinsip maksimum untuk fungsi harmonik

Teorema representasi. Properti rata-rata nilai dan prinsip maksimum untuk fungsi harmonik

Teorema representasi. Properti rata-rata nilai dan prinsip maksimum untuk fungsi harmonik

Teorema representasi. Properti rata-rata nilai dan prinsip maksimum untuk fungsi harmonik

Teorema representasi. Properti rata-rata nilai dan prinsip maksimum untuk fungsi harmonik

Teorema representasi. Properti rata-rata nilai dan prinsip maksimum untuk fungsi harmonik

7.6 Well-Possed untuk masalahDirichlet

• Temukan fungsi u di C2 ∩ C0 sehingga(6.1) ∆2u= 0, di Ω

(6.2) u= f, pada ∂Ω

Dimana Ω terbatas di domain Rn dan f diberikanfungsi yang terdefinisi dan kontinu pada ∂Ω.

Untuk membuktikan masalah ini, harus ditunjukkan:

Ada sebuah solusi

Memiliki solusi yang tunggal

Solusi tergantung kontinu pada data f terbatas

)()(

Teorema 6.1 (Ketunggalan) Masalah Dirichlet (6.1) ,(6.2) memilikipaling banyak satu solusiBukti:Diberikan u1 dan u2 merupakan dua solusi yang berbeda, ῦ= u1 – u2. Maka ῦ kontinu di , harmonik diΩ dan nol di ∂Ω. Dengan prinsip maksimum ῦ harusmendapatkan nilai maksimum dan nilai minimum di∂Ω. Oleh karena itu ῦ≡0 di dan u1 ≡ u2 di

Teorema 6.2(Tergantung kontinu pada data) Diberikan f1 dan f2

adalah dua fungsi yang terdefinisi dan kontinu di ∂Ω.

Diberikan u1 solusi dari masalah Dirichlet (6.1), (6.2) dengan f = f1 dan u2 juga solusi dengan f = f2. Untuksetiap >0, jika(6.3) |f1(x) – f2(x)| < , untuk semua xϵ∂Ωmaka(6.4) |u1(x) – u2(x)| < , untuk semua xϵ

Bukti:Diberikan ῦ= u1 – u2. Maka ῦ harmonic di Ω, kontinu didan dengan (6.3)

| ῦ(x) | < , untuk semua xϵ∂Ωdengan prinsip maksimum

| ῦ(x) | < , untuk semua xϵ

Pertanyaan tentang keberadaan solusi untukmasalah Dirichlet lebih sulit dan jawabantergantung pada geometri dengan domain Ω. Sebelum menyatakan kondisi di domain Ω yang menjamin keberadaan solusi, akan dibahassecara singkat sebuah contoh, berdasarkan H. Lebesgue, masalah Dirichlet untuk domain yang tidak memiliki solusi. Sebuah contoh ilustrasibagaimana ilustrasi keberadaan solusi yang mungkin gagal.

Permukaan kerucut diperoleh dengan merotasi kurva

, untuk x > 0

, untuk x = 0=

−1

0

xky 0x 1k

• Bagian dalam dari bola tadi adalah domain Ω.• Diluar lingkup buku ini untuk menyajikan

secara detail hasil pembuktian Lebesgue. Sebaliknya kita akan mencoba membuathasilnya masuk akal denganmempertimbangkan masalah induksi panasbagi tubuh isotropik homogen.

• Misalkan distribusi temperatur pada ∂Ωdiberikan oleh fungsi kontinu f yang samadengan nol di titik ujung, ketika f samadengan besar suhu positif konstan T0 di titik –titik jauh dari ujung ujung.

Maka keadan suhu u(x) dekat ke T0 untuksemua x di Ω, tapi itu tidak mungkin untuk (x) mendekati suhu nol dimana x mendekati titikujung dari Ω. Titik ujung tidak cukup memilkiarea permukaan agar suhu tetap disekitar titiknol. Untuk masalah Dirichlet, keberadaansolusi gagal karena tidak kontinu di dari Ω.

Dengan mendeskripsikan kondisi geometripada contoh Lebesgue, maka kondisi inimenjamin keberadaan solusi untuk masalahDirichlet.

Kondisi P. Setiap titik xϵ∂Ω dapat disentuh oleh probe

Teorema 6.3(Keberadaan, n=3) Jika Ω terbatas di domain R3

memenuhi kondisi P, maka masalah Dirichletselalu memiki solusi

7.7 Solusi Masalah Dirichletuntuk Unit Disk Deret Fourier.

Beserta Integral Poisson

• Akan menyelesaikan masalah Dirichlet untuk“unit ball” di R2 yang biasa dikenal dengan“unit disk”

• Misalkan

,10:),()1,0( 2 rRrB

Untuk mencari fungsi di

Sedemikian sehingga

(7.1)

(7.2)

Dimana f adalah fungsi yang diberikan di

),( ru )ˆ()( 02 CC

,0),(2 ru );(),1( fu

)(0 C

Mencoba mengkonstruksi solusi untukmasalah 7.1 dan 7.2 yakni dengan superposisidari fungsi harmonik

;n=0,1,2,… (7.3)

Dan mengasumsikan bahwa solusi untukmasalah tersebut dapat dinyatakan ke dalam

(7.4)

nr n cos nr n sin

1

0 )sincos(2

),(n

nnn nBnArAru

Perhatikan bahwa, koefisien-koefisien

Terbatas karena ada konstanta M sedemikiansehingga , n=0,1,2,… (7.5)

Maka barisan (7.4) konvergen ke fungsiharmonik di . Nilai sebenarnya darikoefisien-koefisien ditentukan dari batasan(7.2)

Koefisien-koefisien dari (7.4) harus ditentukanagar memenuhi (7.2), sehingga

,...2,1,0;, nBA nn

MAn MBn

,

Dan solusi dari (7.1) dan (7.2) adalah

Contoh:

Maka solusi dari (7.1) dan (7.2) adalah

1

0 )sincos(2

)(n

nn nBnAAf

,...2,1;0,...2,1,0;,

NNnBA

nbBaA

nn

nnnn

N

nnn

n nbnararu1

0 )sincos(2

),(

3sin5cos21)( f

3sin5cos21),( 3rrru

sebagai barisan dari fungsi trigonometri

Harus dicari koefisien-koefisiensedemikian sehingga barisan trigonometri

(7.7)

konvergen ke untukDapat ditulis

(7.8)

)(f,...3,2,1,0;sin,cos nnn

,...2,1,0;, nba nn

1

0 )sincos(2 n

nn nbnaa

)(f

1

0 )sincos(2

)(n

nn bnaaf

(7.9)

1

0 )sincos(2

),(n

nnn nbnararu

Barisan di (7.7) disebut dengan barisan Fourier

f di tidak hanya kontinu di , tetapi merupakan fungsi genap

kontinu di interval tersebut kecuali dititik berhingga yang menyebabkanmempunyai finite jump (8.1)

Berdasarkan teorema 8.2, koefisien-koefisienderet Fourier dari f

(7.10)

)(0 C ,

)(' f)(' f

nfan cos)(1

d

nfbn sin)(1 d

• Teorema 7.1

Misalkan dan kontinu“sectionally” di maka solusi darimasalah Dirichlet (7.1) dan (7.2) adalah deret(7.9) dan koefisien-koefisien Fourier (7.10)

)(0 Cf 'f ,

contohSelesaikan masalah Dirichlet

(7.11)

dimana kontinu di dan

Kontinu sectionally di maka teorema 7.1 bisa diterapkan

Lihat 8.26 dimana

;0),(2 ru ;10 r

)(f

1

1)(' f

00

],[

Maka solusi dari 7.11

(7.12)

12

cos1)1(22

),(n

nn

nrn

ru

12

cos1)1(22 n

n

nn

Teorema 7.2

Misalkan f di . Maka solusi darimasalah Dirichlet (7.1) dan (7.2) adalah

;

)(0 C ),( ru

nnfdfrun

coscos)(1)(21),(

2

0 1

2

0

d

2

0sinsin)( nnf d

2

0 1

2

0 1

2

0

)(cos21)(21

)(cos)(1)(21

n

n

n

n

nrf

dnfrdf

d

)(

)sincos(2),( 1

0

f

nbnararu n

nnn 1r

1r

Teorema 7.3

Misalkan f di . Maka solusi darimasalah Dirichlet (7.1) dan (7.2) adalah

Solusi dari masalah Dirichlet untuk lingkarandengan jari-jari a dan pusat di titik asal dapatdiperoleh dari masalah yang manapenyeselesaiannya didapat dari teoremasebelumnya. Yang telah dibuktikan di c.3

)(0 C

)(

)cos(21)()1(

21

),(

2

02

2

f

drr

frru

),( ru

1r

1r19.7

Secara umumnya, dengan mengganti r = r/a maka solusi deret untuk B(0,a) adalah

Dan solusi integral poisson untuk B(0,a)

)sincos(2

),(1

0 nbnaararu nn

n

n

2

022

22

)cos(2)()(

21),( d

arrafraru

7.8 Pengenalan Deret Fourier

f sebagai fungsi satu variabel x memberi definisi diinterval [-π,π]. Kita tertarik pada masalah yang mewakili f yang di maksud deret trigonometri dalambentuk

(8.1)

Untuk semua bilangan bulat positif n dan k,

untuk menentukan koefisien af dengan k ≥ 1, kitakalikan kedua sisi (8.1) dengan cos kx dandiintegralkan [-π,π]. Setelah menukar urutan penjumlahan dan integrasi, kita dapatkan

Berdasarkan rumus (8.2), semua kecuali satu daritermonologi di sisi kanan dari persamaan adalahkosong, jadi bahwa

Sekarang menggunakan (8.3) kita dapatkanrumus untuk ak , k≥1,

Jika k=0, prosedur di atas pastilah menjadi

Pada bagian (8.4) dan oleh karena itu

untuk mendapatkan rumus dari bk, k ≥ 1, kitakalikan kedua sisi dari (8.1) dengan kx dan diprosessebelum menemukan

Definition 8.1. Andaikan bahwa fungsi f terdefinisi dankontinu di setiap titik pada interval [a,b] kecuali di titikakhir a, b dan pada bilangan terbatas bagian dalamtitik x1, x2, … ,xn-1 dimana

Selain itu, andaikan bahwa x mendekati titik akhirsetiap subinterval

Harus ada (dan terbatas). Limit dalam (8.11) dikatakan limit dari kanan dan pada (8.12) limit darikiri. Integral f atas [a,b] ada dan sama dengan jumlahintegral dari setiap subinterval (8.10),

Jika f fungsi sebagian kontinu pada interval [-π,π], lalu, untuk setiap n = 0, 1, 2, … , fungsi f(x) cos nx danf(x) sin nx juga sebagian kontinu di [-π,π] dan integral pada (8.5) dan (8.8) ada.

Definition 8.2. Diberikan f menjadi fungsi sebagiankontiu pada interval [-π,π]. deret trigonometri

dimana

Contoh 8.1. perhatikan

Fungsi ini adalah kontinu di setiap interval (-π, 0) dan(0, π) dan

Oleh karena itu f adalah sebagian kontinu di [-π,π]. Koefisien fourier dari f adalah

Seri fourier terkait dengan fungsi (8.15) adalah

Istilah sampai dengan n = 3 dari deret ini adalah

Contoh 8.2. Perhatikan

Fungsi ini adalah kontinu di [-π,π] dan

Oleh karena itu f adalah sebagian kontinu di [-π,π] dan mempunyai koefisien fourier

• Deret fourier terkait dengan (8.17) adalah

• Istilah sampai dengan n = 3 adalah

• Contoh 8.3. perhatikan

• Fungsi ini adalah kontinu di [-π,π] dan

• Oleh karena itu f adalah sebagian kontinu di [-π,π] dan mempunyai koefisien fourier

• Seri fourier terkait dengan (8.19) adalah

• Istilah sampai dengan n = 3 adalah

Contoh 8.2 dan 8.3 menggambarkan duaaturan umum tentang deret fourier dari fungsigenap dan ganjil. Fungsi f dikatakan fungsigenap jika f(-x) = f(x) untuk semua x yang mana untuk f adalah terdefinisi; f dikatakanfungsi ganjil jika f(-x) = -f(x). Fungsi (8.17) adalah genap di (-π,π) dan itu adalah deretfourier (8.18) hanya mempunyai istilahcosinus. Fungsi (8.19) adalah ganjil di (-π,π) dan itu adalah deret fourier (8.20) hanyamempunyai istilah sin. Umumnya, kita dapatmengikuti lemma, bukti yang tersisa untuksoal 8.4.

Lemma 8.1. Diberikan f sebuah sebagian kontinu di [-π,π]. Jika f adalah fungsi genap, maka koefisienfourier diberikan oleh

Jika f adalah fungsi ganjil, maka koefisien fourierdiberikan oleh

Dengan demikian, deret fourier dari fungsi genaphanya mempunya cosinus (genap) persyaratan danuntuk alasan ini dikatakan deret cosinus fourier, sedangkan deret fourier dari fungsi ganjil hanyamemiliki sinus (ganjil) dan istilah itu disebut deretsinus fourier.

Teorema 8.1. (teorema fourier.) misalkan bahwafungsi f dan fourier derivatif sebagian kontinu di [-π,π] dan bahwa f adalah periodik dari periode 2π. Kemudian f dapat diwakili oleh deret fourier (8.13) dengan koefisien yang di berikan oleh (8.14), dalamarti bahwa setiap titik x dimana f adalah kontinu,

Dan pada setiap titik x dimana f loncatan dengankeadaan yang terputus,

Teorema 8.1 mensyaratkan bahwa f yang menjadisebagian di [-π,π].

Setiap fungsi dalam contoh 8.1, 8.2 dan 8.3 adalahsebagian di [-π,π].Kesimpulan dari teorema 8.1 adalah bahwa deretfourier dari f konfergen ke f(x) pada setiap titik xdimana f adalah kontinu, sementara pada titik xdimana f memiliki sebuah loncatan diskontinu, deretfourier konvergen terhadap rata-rata batas dari kanandan kiri. Dari definisi kekontinuan, pada setiap titik xdimana f adalah kontinu, f(x + 0) = f(x – 0 = f(x) dankarena itu (1/2) [f(x + 0) + f(x – 0)] = f(x), jadi bahwa(8.24) berlaku untuk setiap x, - ∞ < x < ∞.

Sebuah pernyataan alternatif dari teorema 8.1,sebagai berikut: jika f adalah periodik dari periode 2π dansebagian halus di [-π,π], maka deret fourir dari fkonvergen ke (1/2) [f(x + 0) + f(x – 0)] untuk setiap x, -∞ < x < ∞.

Jika fungsi f didefinisikan hanya pada interval (-π,π), teorema 8.1 dapat di aplikasikan padaperluasan periodik f~ dari f.

Sebagai contoh, secara perluasan periodik dari fungsi(8.15) dari contoh 8.1 didefinisikan oleh

Dan grafik yang di tunjukan pada gambar 8.1. karenaf adalah sebagian halus di [-π,π], teorema 8.1 berlakudan deret fourier (8.17) konvergen ke f~(x) padasetiap titik dimana f~ adalah kontinu, yaitu padasetiap titik x ≠ ± nπ, n = 0, 1, 2, … . Pada x = 0 serikonvergen ke

Saat pada x = π seri konvergen ke

Gambar 8.2(a) menunjukan grafik dari fungsi yang deret fourier (8.16) konvergen dari setiap x. gambar8.2(b) dan (c) menunjukan masing-masing grafik darifungsi yang deret (8,18) dan (8.20) dari contoh 8.2 dan 8.3 konvergen.

Corollary 8.1

Kita menguji ketiga deret Fourier di atas . Amati bahwa ketigaderet tersebut konvergen ke fungsi f(x)=x pada interval (0,). Khususnya, fungsi f(x)=x direpresentasikan pada interval tersebutoleh deret cosinus Fourier (8.26) dan oleh deret sinus Fourier (8.27).

Corollary 8.2

Contoh 8.4

Gambar di atas menunjukkan grafik fungsi deretyang konvergen untuk semua x

Lemma 8.2

maka

Untuk

Teorema 8.2