bÀi giẢng trỌng tÂm chƯƠng trÌnh chuẨn toÁn 12 - lÊ hỒng ĐỨc

8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc 1/488
NGUYN TUN PHONG - LÊ VIT HOi
BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN
TOÁ
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B

I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
NGUYN TUN PHONG - LÊ HU TRÍ
= = = L BÍCK NGC
NHÀ XUT BN I HC QUC GIA HÀ NI
B

I
Li NÓI U .gi dc và ào to ã côg b “ig d ì tp ti won Tái TPT và
u Cu búc tìú ùt tìgp 7P môn To.d thi Dai hc và Cao d ìg môn c á ,
c tlic:
CU m ú c TH I TT KGHP THPT
L Phn chung cho tt c các thí sinh (7 im). Câu 1 (3 im):
Kho sái, v th hàm s. * Các bài toán liên quan h ng ng ca o hm và th ca hàm s
chiu bin túêtt ca hàm s, cc t, tip tuyn, tim cn (úg và ngang ca th hàm s. Tìm trên th nhng im c lính cht cho trc tng ga gia hai th (mt trong hai th là ng thng)...
Câsi 2 (3 im):
Hàm s, phng trình, bt phng tiÌh m và logari.
° Giá tr Qnht và nh nht ca hàm s. Tim nguyêo hàm, tính tích phán.
a Bài toán tg hp. Câu 3 (1 iero): Hình hc không gian (tg hp): Tính din tích xung quanh ca hình nói
tròn xoay, hình tr tròn xay, tíhh th tích ca khi lng r, khi chóp, khi nói tròn xoay, khi tr tròn xday; tíhh din tích mt cu và th tích khi cu.
XL Phn riêng (3 im)
. Theo chng trình chun:
Cu 4a (2 im):
H Xác nh ta ca im, vect- Mt cu. “ Vit phng trình ng thng, mt phag.
H Tính góc, tính khong cách t im n mt phng. V trí tng ca ng thng, mt phng và mt cu.
Câu 5a (1 im):
° S phc: Môun ca s phc, các phép toá trên s phúc. Cn bc ha ca s thc âm. Phng rình bc hai h s thc c bit ihc A âm.
B úbg dng ca ch phân: Imh diên tích hình phng, th tích khi ròn xoay.
2. Theo cboig trình nâng cao: Gâu 4b (2 im): Phng pháp a trong kông gian .V--V V.- *'
“ Xác nh ta ca im, vect —Mt cu. 8 Vit phng trình mt phng, ng thng.
° Tính góc, tíah khong cách t im n úcmg thng, mt phn khong cách gia hai ng thng.
° V trí tng i cù òng thng, mt phng và mt cu.
B

I
Câu Sh ( im): B Sphc:Môun ca s phc, các phép toán trên s phc. Cn bc hai ca
s phc. Phng trình bc hai h so phc. Dng lng giác ca s phúc.
a Th hàm phân Uiúc hu t bc hai trên bc nht và mi s yu t liên quan.
8 S tip xúc ca hai ng cong.
s H phng trình m v logarit.
a úg dng ca tích phân: Tnh din tích Hình phng, th tích khô tròn xoay.
CU TRÚC CA MT - THI TUYN SINH HC, CÁ Ã\G
I. Phì chung cho tt c các thí sinh (7 im)
Cáu 1 (2 im): „ Kho sát, v th hàm s.
a Các bài toán UêQquan n úng dng ca o hm Vã th ca hàm s: chiu bin thiên ca hàm s, cc tr, tip tuyn, m cn (ng v ngang) ca th hàm s. Tìm trn h nhng im có tính cht cho trc,
tung giao già hai th (mt íroQgchai thià ng thng)...
Cu 2 {2 im): B ' Phng tiìoh, b phng trình và h i s.
Công thc lng giác, phng trình; lng giác.
Cu 3 {1 im): 8 Tim gii bn-
Q Tìm nguyêD hàm. Tính tích pha.
B Úng dng ca tích phân: Tnh din tích hình phag, th tích Idii tròn xoay.
Câu 4 'I im)* H"ml bc không gian (tng hp): Quan h song song, quan h vung góc ca ng thng, mt phang. Tính din tích xung quanh ca bình nón tròn xoay, hình tr tròn xoay; tính th tích cã khi lng tr, ktôl chóp, khi nón tròò xoay, khi tr tròn xoav; tính din tích m cu va th tích khi cu.
Cu 5 1 im): Toán tng hp.
n . Phn riêng (3 im)
1. Theo chng trình chun:
Câu 6a (2 im)* PllU0inS pbáp ta trong mt phng và trong không gian: B Xác nh a ca im, vect.
a ng tròn, elíp, mt cu.
^ B Vit phQg trình mt phng, ng thng.
B Tính gc, tính khong cách t im n mt phng. V trí tng ca ng thng, mt phng và mt cu.
4
B

I
Câu 7a (1 im); D S phc.
a T hp, xác sut, thng kê.
B Bt ng thc. Cc tr ca biu thc i s.
2. Theo chng trình nàng cao:
Câu 6b (2 im): Phng pháp ta trong mi phng và oQg không gian s Xác nh ta ca im, vect.
3 ng tròn, ba uQg cônic, mt cu.
a Vit phng trình mi phng, ng thng.
o Tnh góc, tính khong cách t im n ung thng, mt phng. Khong cách -giakai ng thng. V trí ing i ca ng, thng, mt phng 'và mt'Cu..
Câu 7b (I im): s S phc.
B th hàm phân thc hu tí bc hai trên bc nht và mt s yu t liên quan.
B S tip xúc ca iai ng cong, a H phng trình m và logarit.
* T hp, xác sut, thng kê.
a Bt ng thc. Cc tr ca biu thc i s.
Da vào ó Nhm C Môn chirng tôi xiu trâu trng gii tliiu tói bn c
b sách:
C Á C B À I G I N G T R N G T Â M - M N T O Á N
(gm 3 tp) "
miu t-cl tit phoiig pháp gii cho các diig toáii thòíìg gp troiig các ác
tlii tt liglúp TtPT. i hc và cao iig môn Toán.
Vòi môn Toii 12 phn kin thc trng tm:
a bao gm các choiig III, chotg rv, chOíig V cùng mt chút
kin thc ca choiig II.
B ùhhcc mt'phn kin thc ca chng , chng II. chng IU.
T ó, cun Bígpqg og têm csííg •— b7 12 c diia tliàii 2 phi: . • Phn I: Gii tích, bao gm các ch :
A - NG DNG O HÀM E kho s á t VÀ V TH HÀM s Ch 1 - ca hàni s Ch 2 - rá câ un sô Ch 3 - Giá tr Ln nht và giá tr nh Iiht ca hàm s
5
B

I
Ch 4- Phép íiiih tin b to Ch 5 - ng tim cn ca th hàm s Ch - th hàm s và các bài toán iên quan
B - MVÀLGARIT
Ch 7 - Hàm s m và lògarit Ch 8 - Phng trình m và lôgarit
Ch 9 - H phng ình m và lôgaritCh 10 - Bt phung trình m và lgãrit
c - NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ NG DNG '
Ch 11 - Nguvn hàm Ch 12 - Tích phân Ch 13 - ng ng ch phân tính in tích hình phng, th u'ch
D - S PHC
Phn II: Hình hc, bao gm các ch d:
Ch '' 1 - Khi a in và th tích ca chúng Ch 2 - Mt cu, mt tr, mt nón Ch 3 - Ta ca im, véct và các yu t tiên qan Ch 4 - Mt phng và các bài toán liên quan'’ ' Ch 5 - ng thng và các bài toán liên quan Ch 6 - Mt cu và các bài toán liê quan
Trc mi phn nh u c:
A. K ì thc c .h. Nhc li cc li dutig kin tic có bn m các cm
.hc sillll cn llll.
. Phng pháp g Ê c dqg ic ì M cpai Cíìia tiico các ch và ó
mi dug toán cu c trình bày theo plioíg cách timt toán dói dg
các bc tlic liin cùig tin d miíi ho ligaj £au ó. Cui mí tí ú
thòig c nhiì xét e giúp các cm hoc sirtli cug c kin thc.
c . Cc bì bo ch íc. bao gm các vi d có tíiili tiìg hp cao và
c trích ra tù các ii tuyn sinh i ÌC, cao iig.
Vòi phoiig ccli trnh bày 11Ìvy. cun tài liu s giúp tãiig clìt íiig bài
gii)g cho các thây;' cô giáo và vòi các cm hc siiiì nó s cung cp mt b giáo trình hoàn chnh VC mt kiu tlia d doc. dc hiu.
Dé cun ti iu tìgày càI!g hoàiì ío hon Nhom C Môn chng tôi rt moiig nin c nhiig ý hen óig góp qu báu cua bn gn xa.
àni, ngà l tiiig 9 nm 209
Gh biên LÊ HNG C
vt th
G PHN : 0 I I T C M
CHNG I __ ______ - __ : ___ __
KHO SéTVè V TH nàn %6
A. KIN THC CN NH
I. TÍNH N IU CA HÀM s
1. IU KIN CN B HÀM S ©N ÍU
Gi s hàjn s y = f(x) xác nh ên khong I thì: a. Hàm s f(x) là ng bin trên khong I khi và ch khi vi Xtu ý thuc 1, ta có:
f(x + Ax ) - f (x ) . v ' • J — ---- — ------ - > 0 , vi mi Ax * 0 và x + Ax € I.
Ax b. Hàm s f(x) lá nghch bièn trên khong I khi và ch khi vi X tu ý thuc I,
ta có:
f ( x + A x ) - f ( x ) - - • A A ' A T — ---- — ------- < 0 , vi moi Ax * 0 và X+ Ax e I. Ax
T ó, ta có kt qu:
Cho hàm s y = f(x) có o iàm trên kioìig I. a. Nu hm sô' f(x) ng bin trên khong I thì f r(x) > 0, Vx e . b. Nu hàm s &). nghch bin trênk}>ng tìù f'(x) <0, Vx € I.
2. IÊU KIN HÀM s N IU
nh tí í {nh lí Lagrangey.Ntí hàm s y - f(x) liên tc trên [a; b] và có - hàm írên (a; b) thì n ti m im c € (a; b) sao cho:
f(b) - f(a) = fXc).(b - a) hay f '(c) = f(b)~ f(a ). b -a
Ý ngha ca t lí LagrngiXét cung AB ca th hàm s y = f(x) vi A(a; f(a))vàB(b;f(b)).
H s góc ca cát tuyn AB là: — -.
v' ng thc: fXc) = f(a)
b - a
có ngha là h s góc ca tip tuyên ca cung ÁB ti im (c; f(c)> bng h s góc ca cát tuyn AB. Vy, nu các gi thit ca inh Lagrãng c tho mãn thì tn ti mt im c ca cung AB sao cho tip tuyn ti ó song song vái cát tuyn AB.
nh lí 2i Cho hàm s y - f(x) có o hàm trên khong I.
a. Nu '(x) > 0, Vx e I tù f(x) ng bin trên kiong I.
b. Nu r(x) < 0, Vx e thì f(x) nghch bin trên khong I.
c. Nu ’(x) = 0, Vx s I thì f(x) không i trên khong I.
Ta có m rng cùa nh lí 2 nh sau: nh lí 3: Cho iàm s y = f(x) có o hàm trên kiong I.
a. Nu '(x) > 0, Vx e I, và ng hc ch xây ra íi mt s hu in im trên khong , thì í(x) ong biì trên khng I.
b. Nu f ’(x) < 0, Vx € I, và ng thc chì xy ra ti mt s hu hn im trên kiong , hì f(x) nghch bin trên khong I.
Ta óm t nh lí 3 ong các bng bin thiên sau:
b
II. c c TR CHÀM s . KHAI n i m c c TRI CA HÀM s
nh ngha:Cho ì s y = f(x) xác ììi trên tp hp D (D c E ) v Xqe D. a. xgi à mt im cc i ca iàm s y = f(x) nu tn ti mt
khong (a; b) cha im x0sao cho (a; b) e D v: f(x) < f(x0) , vi mi X€ (a; b)\{x0}.
Khi ó f(x0) c gi l.giâ tr cci ca hàm s f(x).
b. x0 gi à ìnt im cc tiu ca hàm s y = f(x) nu ti mt ciong (à; b) cha im Xsao cho (a; b) e D và:
f(x ) > fCXo), vi mi X e (a; b)\{x0}. Khi ó f(x0) c gi là giá ír cc i ca hàm s f(x).
Gìá tr cc i và giá cc tiu c gi chung là cc tr.
2. IU KIN CN HÀM s c ó c c TRI
Xét hàm s y = f(x) iiên tc trên khong (a, b) và Xo <=(a; b). n h l í : G i s h à m s y = f (x ) t c c t r t i i m Xo- K h i ó , n f ( x ) c ó o
hàm ti im x0thì f(Xo) = 0.
ì
B

I
3. IU KIN HÀM s CÓ c c TR
nh lí 2: Gi s hàm s y = f(x) liên tc trên khong (a; b) cha im Xo và có o hàm trên các kong (a; Xo) và (Xfl*, b). Khi ó:
a. Nu f '(x) < 0 vi mi X e (a; x0) và f ’(x) > 0 vi mi X e (Xo; b) thì hàm sô'f(x) t cc tiu ti im X(>.
b. Nu ’(x) > 0 vói' mi X <E(a; X(,) và f '(x) < 0 vi mi X € (Xo*, b) hì
hàm s(x) t cc i ti im x,|. Nói mt cách vn tt: Nu kh X qua Xo, o hàm i du thì im Xo là mt im
cc tr.
Ta tóm tt nh lí 2 trong các bng bin thiên sau:
T nh lí 2 ta có quy tc tìm cc tr sau âý:
Quy tc I: tìm cc tr ca hàm sy = f(x) ta thc hin theo các bc:
Dó í Tínhf(x).
óc 2: Tìm các im Xi (i = l2,...) ti ó o hàm ca hàm sô" bng 0 hoc hàm s lên tc nhng không có ó hàm.
tíóc 3: Xét du f (x). Nêu f(x) í u khí Xqua im Xi thì hàm S t cc t ti Xj.
inh u 3: Gi s hàm s y = f(x) có o hàm cp mt trên khong (a; b) cha im x0, f '(X(,) = 0 và f(x) có o hm cp hai khác 0 ti im x0.
a. Nu f'(Xfl) < 0 thì hàm s t cc i ti im x0.
b. Nu f ’(Xo) > 0 thì hàm s t cc tiu ti im x0.
T nh lí 3 ta có quy tc tìm cc tr sau ây:
Qny te tìm cc tr ca hàm sy = f(x) ta ic hin ieo các bc: ócl: Tmh f’(x).
H- Tìm các nghim Xi (i = 1,2,...) ca phng trình f(x) = 0.
Dc 3: Vói mi i ta tính khi dó:
Nêu f'(Xi) < 0 thì hàm s t cc i ti im Xf.
Nu f Xj) > 0 thì hàm sô" t cc tiu ti im Xj.
9
B

I
in . GIÁ TR LN NHT VÀ GIÁ TR NH NHT CA HÀM s nh ngha: Cho hàm s y = f(x) xác nh rên tp D.
a. Nu n ti mt im x„ e D sao cho:
f(x) < f(X(,) vi mi Xe D thì s M = f(X()) c gi là gá tr ln nht ca hàm sô' y = f(x) trên táp D nu, kí hiêu M = max f( x ).
xD
b. Nu tn t mt im Xo € sao cho:f(x) > f(x,,) vi mi X e D thì s m = f(x,)) c gi là giá tr nh nht ca hàm s y = f(x) trên tp D nu, kí hiu m = minf(x).
xcD
IV. TH CA HÀM S VÀ PHÉP TNH TEN h t a
I. PHÉP TNH TIN H TA VÀ CÔNG THC CHUYEN h t a
Cho im I(x(í; y0) và im M(x; y) trong h ta Oxy, khi ó trong h ta IXY diem M(X; ) se COta :
ÍX = x - x 0 ^ íx = X + x(, [Y = y - y 0 ly = Y + y0
2. PHNG TRÌNH ÒNG CONG I VI H TA MI
Phng ình ca ng cong y = f(x) i vi h ta IXY có dng:
Y = f(X + x()) - y j
V. NG TEM CN CAÔ TH HÀM s
1. NG TIM CN ÚNG VÀ NG TIM CN NGANG nh ngha 1: ng thng y = y(, c gi là ng tim cn ngang (gi tt
là tim cn ngang) ca th àm s y = f(x) nu:
lim f(x) = y0hoc im f(x) = (>. X—-y. ’ X-+>:
nh ngha 2: ng thng X= x0 c gi à ng tim cn ng (gi tt là tim cn ng ) ca th hàm s y = f(x) nu:
lim f(x) = 00 hoc lim f(x) = ±co. X—xi
2. NG TIM CN XIÊN nh ngha 3: ng thng y = ax + b c gi à ng ni cn xiên (gi tt
là tim cn xiên) ca th hm s y = f(x) nu\
lim [f(x) - (ax + b)] = 0 hoc lim [f(x) - (ax + b)] = 0
Quy tc: G i s khi X —> co thì f(x> —> 00.
10
B

I
Ta tìm á = lim (1)
Nu gii hn (1) khng tn ti hoc bng 0 thì th khng có tim cn xiên. Trái li ta i tìm tip b = lim [f(x) - ax]. (2)
Nu gii hn (2) không tn ti thì th không có tim cn xiên. Trái li ta kt lun th nhn ng thng (d) có phng trình y = ax + b làm
tim cn xiên. VI. KHO SÁT S BIN THIÊN VÀ V TH HÀM s ó
ng li tng q uát kho sát và v th hàm s
Phng pháp
Bc : Tìm tp xác nh ca hàm s.
Bc 2: Xét s biên thiên ca hàm s:
a.* Tìm gii hn ti vô cc và gii hn vô cc (nu có) ca hm s.
Tìm các ng tim cn ca th (nu có).
b. Lp bng birt thiên ca hàm s, bao gm:
' Tìm o hàm ca hàm s, xét du o hàm, xét chiu bih:thiên và tìm cc tr ca hàm s (nu có).
• in các kt qu vào bng bih thiên:
Xy’ y
Bc 3: V th hàm s:
a. V các ng tim cn ca th (nu có).
b. Xác nh mt s im c bit ca thng là các giao
im ca th vi các trc ta (trong trng hp
th không ct các trc ta hoc vic tìm ta
giao im phc tp thì b qua phn này).
c. Nhn xét v th: Ch ra trc i xng và tâm i xng ca th (nu có, không yêu cu chng minh).
Chú . Khi v th các em hc sinh cn lu ý rng "Dáng ca th
ticng ng vi mi tên trong bng bin hên".
l
[ B. PHNG PHÁP GII CÁC DNG TOÁN LIÊN q u a n '
§ 1 . THÍH B OM M D -C A H À M s
Dang toán 1: Xét tính n iu ca hàm s
Phn&nháp xét tính n iu c hàm s y = f(x)* ta thc hin các bc sau:
Bc I : Tìm tp xác nh ca hàiTLS.
Bc 2: Tính o hàm y', ri tìm các im ti hn (thông thng vic gii phng trình y '= 0).
Bc 3: Tính các gii hn (nu cn).
Bc 4: Lp bng bin úên ca hàm s. T ó, a ra li kt n
Chú . Trong trng hp phng trình (x) = 0 vô nghiêm, tc à hàm luôn ng bin hoc nghich bin, ta có'th’b qua vic lp b bin thiên.
Thí d 1 • Kho sát s bêh thiên ca hàm s y = 2x3 + 3x2 + 1 .
JS$ Gii
X * 0
y ’ = 6 x 2 + 6 x , y ' = 0 <=> 6 x 2 + 6 x = 0 <=> j_x = - Gii hn:
lim y = 00 và lim y = +00. X-*— V. X—>+TC
Bng bin thiên: —00 —1 0 + co
0 0

Vy, ta có kt lun: Hàm s ng bin trên các khong (-00; - 1) và (0; +oo). " Hàm s nghch bin trên khong (-1; 0).
^ Nhn xét'. Qua thí d trên các em hc sinh ã bit cách trình bày d toán "Kho st s bin thiên ca hàm s". Và vi dng to này các em cn c bit chú ý ti tp xác nh ca hàm thì mi chc chn nhn c mt bng bin thiên úng.
B

I
^ Nhn xét: Hàm a thc bc ba tng quát có dng:
y = f(x) - ax?+ bx2 + cx + d, vi a * 0. Khí ó, nu s dng o hàm kho sát s bin thiên ca hàm s, la có: Min xác nh D = M. o hàm: y' = 3ax2 + 2bx + c, y’= 0 <=>3ax2 + 2bx + c = 0.
Gii han: lim y = ÌI1 Xs Ia + —+ -T + -r i = (±co)\a = (±oo).a.x->±* X X X" )
Bng bin thiên: Du ca y' ph thuc vào du ca a (a > 0 hay a < 0) và u ca A' = b2 - 3ac (A' > 0 hay A' < 0), do ó ta có bn trng hp bin thiên khác nhau.
Thí du 2. Kho sát s bin thiên ca hàm s y = X4 - 2x2 - 5.
Jê£ Gii
o hàm:
Vy, ta có kt luân: • Hàm s nghch bin trên các khong (-co; -1) và (0; 1 ). “ Hàm s ng bin trên các khong ( - 1; 0) và (1; +oo).
Nhn xét : Hàm a thc bc bn dng trùng phng có phng trinh:
- f(x) = ax4 + bx2 + c, vi a * 0. Khi ó, nu s dng o hàm kho sát s biên thiên ca hàm s,
ta có:Min xác nh D .= M. o hàm:
y’= 4ax' + 2bx =. 2x(2ax2 + b), y’= 0 o 2x(2ax2 + b) - 0. Do dó, phng trình y' = 0 hoc có mt nghim (a.b > 0) hoc có ba nghim phân bit, do ó ta có bn trng hp bin thiên khác nhau.
X—0 y' = 4x3 - 4x, y' = 0 4xs - 4x = 0 <=>4x(x2- 1) = 0 <=> J X = ±
2 1 Gii han: lim y = lim [x4(l - — + —J )] = + 00.
* Y —Ì- A V ^ VX—í? X
Bng bin thiên:
0 + 0 0 +
13
B

I
b c r+c°khia >0 lim y = lm ax (1 + 7 + — 7 ) = -
x-**: ax ax —co khi a < 0
Bng bin thiên: Du ca y' ph thuc vào du ca a (a > 0 hay a < 0) và du ca a.b, do ó ta có bn trng hp bin thiên khác nhau.
Và bt du t ây, vic a ra li kt lun da theo bng bin thiên c dành cho bn p.
X""1 Thí d .3. Kho sát s bin thiên ca hàm s y = —
T X1
Gii Min xác nh D = R\{ 1}. o hàm:
2 — y'=—^ < 0 Vx € D => hàm s luôn nghich bin trên D. ( x - 1)
Gii hn: lìm y= lim y = 1 và lim y = —c , lim y = +CO
X - t - T . X—> +T X - H ' x - + r
Bng bin thiên:
-00
+00'
Nhn xét: Hàm phân thc bc nht trên bc nht có dng:
(H): y = ^ ± 4 , v i c * 0 , D = a d - b c * 0 .
ta có:
cx + d Khi ó, nu s dng o hàm kho sát s bin thiên ca hàm s,
Min xác nh D = E \{ - —}. c
o hàm: , _ ad - bc
cx + dNu D = ad - bc > 0 => hàm s ng bin trên D. Nu D = ad - bc < 0 => hàm s’ nghch bin trên D.
Thí do 4, Kh sát s bin thiên ca hàm s y = X + —. X
J5 Gii
B

I
o hàm:
y' = 1 - -L, y’ = 0 1 - \ X2 - 3 = 0 o X = ±V3. 3 X2 X2 .r
Gii hn:
lim y = -0 0, lim y =+ oo; l i m y = -o o , lúny = +<». X-++3C X—»(J" x-»0‘
Bng bin thiên:
—00 ^ *—00 +00 r- -,+CO
Nhn xét : Hàm phân thc bc hai trên bc nht có dng:
,TTX ax2+ bx + c (H): y= —— ,
dx + e vi a * 0, t, mu không có nghim chung.
Khi ó, nu s ng o hàm kho sát s bin thiên ca hàm s, ta thng vit li hàm s di dng:
y = f(x) = áx + p + —-— . x + e
Min xác inh D - M\{- —}. d
o hàm:
v’= a - yd = a(dx + e)2- yd
(dx + e)2 (x + e)2 u cùa o hàm là du ca tam thc g(x) = a(dx + e)2- yd. Gii hn lim y = co và im y = co.K— x-»-e/d Bng bin thiên: Ta có các trng hp:
Trns hn > 0
Phng trình y' - 0 c hai nghim Xj < x2. X —co X - e/d *2 + 00 y' + 0 0 +
y C^ -”00 +CO-- +00
Phng trình y’= 0 vô nghim X — o —e/d -f-oo y' + +
+00 y —00 —
Trng hp < 0 Phng trình y' = 0 có hai nghim X, < x2
X — 00 X, - e / d *2 +
y ’ 0 + + 0
X —00 - í/d +CO
+00 "• co
hí d 5. Kho sát s bin thiên ca hàm s y = v2x - X2.
Gii
Ta có iu kin:
2 x - x 2> 0 « - 0 < x < 2 ^ D = [0;2].o hàm:
2 - 2x 1- x , 1 y = — 7 " = — ; , y ' = 0 « l - x = 0 o x = l .
2V2X-X V 2 x -x
^ A7z« xí: Hàm vô t dng:
(H):y= VaX2 + bx + c , vi 0. Khi ó, nu s dng o hàm kho sát s bin thiên ca hàm s, ta có
Min xác nh D = {xe M Iax2 + bx + c > 0}. o hàm:
, 2ax + b y= I r . , ’
2Vax + bx + c
Bng bin thiên: có 4 trung hp khác nhau v chiu bin thiên
Thí u. 6. Kho sát s bin thiên ca hàm s y = X - yx.
JS3 Gii
16
B

I
, y’= 0 <=> 1 -
= Q< >x - —. 4
Dang toán 2: Xác nh m hm s y = f(x, m) ng bin (hoc
nghch biên) trên khong I
Phng pháp Chúng ta cn thc hin các bc sau: Bc : Tìm tp xác nh ca hàm s.
Bc 2: Tính o hàm y\
Hc 3: Lp lun cho các trng hp (tng t cho tính nghch
bin) nh sau: a. Hàm s ng biên trên I khi:
[ Hàm s xác nh trên I
[y' > 0, Vx € I, du ng thc ch xy ra ti hu hn im.
b. Hàm s ng bin trên on có dài bng k
jy > 0, Vx [a-k; a], du ng thc chi xy ra ti hu
hn im ca [a-k; a] và x e [a-k; a] không tho mn.
Chú : gii các biu thc iu kin ca y' phng pháp c s dng ph bin nht là phng pháp tam thc bc hai, tuy nhiên trong nhng tnròng hp riêng bit có x s dng ngay phiig pháp hàm s gii.
Thí du. 1. Chõ hàm sy = 4x3 + (m + 3)x2 + mx. Tìm m : a. Hàm s ng bin trên . b. Hàm s ng bin ên khong [0; + co).
c. Hàm s nghch bin trên on [-/2; 1/2].
d. Hàm s nghch bin trên on có dài bng 1.
J Gii Hàm s xác nh trên D = R . o hàm:
y’= 12x2 + 2(m + 3)x + m, y' = 0 f(x) = 12x2 + 2(m + 3)x + m = 0. (1)
17
B

I
a. Hàm s ng bin trên R khi: y'> 0, Vxe R f(x) ^ 0, V xsR A'< 0 <=>(m + 3)2- 12m < 0 (m - 3)22 0 <=>m - 3 = 0 <=>m = 3.
Vy, vi m = 3 tha mãn iu kin u bài. b. Ta có th trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Hàm s ng bin trên khong [0; + 00) khi:
y' £ 0, Vxe [0; +oo) f(x) > 0, Vxe [0; + co)
’(m -3 )2 <0
(1) có nghim Xj < x2 < 0 <=>
A' <0
m = 3
m* 3
m>-3
ra >0
« m ^ 0. Vy, vi m £ 0 tha mãn iu kin u bài.
Cách 2: Nhn xét rng phng trình (I) luôn eó nghiêm X= và X= .2 6 T ó, hàm s ng bin trên khong [0; +00) khi:
y’£ 0, Vxe [0; + oo) o f(x) ^ 0, Vx€ [0; + co)
<=> (1) có nghim kép
t > I I o
m >3
Cách 3: Hàm s ng bin trên ichong [0; + co) khi:
y' >0, Vxe[0; + oo) <=> 12x2 + 2(m + 3)x + m £0, Vxe[0; +oo)
o m ( 2 x + 1 ) > - 1 2 x 2- 6 x , Vxe[0;+oo) <=> m > -6 x , Vx e[0;+co)
<=> m > Max ( - 6x) = 0 o ra O . xeO: +»)
Vy, vi m ^ 0 tha mãn iu kin u bài.
c. Nhân xét rng phng trình. (1) luôn có nghiêm X= - —và X= - — .2 6 .
ì_ j_ 2 ; 2
y'^ 0, Vxe <=>f(x)£0. L 2 2 j
Vy, vi m 3 tha mãn i kin u bài.
khi:
. Hàm s nghich bin trên on có dài bng 1 khi: y’ < 0, trên on có ài bng 1
<=>(1) có hai nghim phân bit X,, x2 tho mãn x, - x2| = 1 r Í A ’ > 0 -
1 > 2-K' <=>7 ^ = 6 <=>(m - 3)2 = 36 <=><=> < ' <=> 1 11X, - x2 = I
12
m =9
m = -3
Vy, hàm s nghich bin trên on có dài bng 1 khi m = 9 hoc m= -3.
^ Nhn xét: Trong li gii trên: Vi ni dung cu b), các em có th thy rng phng pháp hàm
s thng c u tiên la chn. Vi Iì ung câu c), ta nh li rng phng trình ax2 + bx + c = 0
(a &0) nu có hai nghim Xp x2 thì:
|x, - x2| = ^ hoc |x, - x2 = . |a |a|
Ngoài ra, vì phng trình (1) luôn có nghim Xy= và x2 = -
v y’ nhn giá tr âm trong khong này nên ta có iêu kin là. , , fm =9
= 1 <=>m - 3 = 6 <=>xj - x2j = 1 o _ 1 m ~ 2 + ~6 m = -ó
Thí du 2. Cho hàm s y = X —
x - m Vi giá tr nào ca m: a. Hàm s nghch biêh trên mi khong xác nh ca nó ?
b. Hàm s ng bin trên khong (0;+co) ?
Gii Min xác nh D = M\{m}. o hàm:
y'=- 1 -m
( x -m ) 2
a. Hàm s nghch biên trên, mi khong xác nh ca nó khi: y' < 0, VxeD và u ng thc ch xy ra ti mt s hu hn im <=> 1 - m < 0 <=> m > 1.
Vy, vi m > 1 tho mãn iu kin u bài.b. Trc ht là hàm s cn xác nh trên (0; +co), iu kin à m > 0. (*) Hàm s ng bin trên (0; +00) M:
y’> 0, Vx e(0; -ko) và du ng thc ch xy ra ti mt s hu hn im (*)
<=> 1 - m > 0<=>m < 1 <=> 0 < m < 1.
Vy, vói 0 < m < 1 tho mãn .iu kin u bài.
19
B

I
^ Chú ý: Rt nhiu hc sinh khi thc hin bài toán trên:
a. câu a), ã nhn c nghim m = 1 , bi thit lp iu kin 1 - m < 0. Các em hc sinh cn nh k ni dung nh lí 2.
b. câu b), ã không kim tra iu kin xác nh ca hàm trên khong (- 00; 0).
Ngoài ra, các em hc sinh cng cn nh rng hàm phân thc b nht trên bc nht luôn n diu trên min xác nh ca nó.
Vi giá tr nào ca m:Thí do 3, Cho hàm s y = x 1
a. Hàm s ng bêh trên mi khong xc nh ca nó ? b. Hàm s nghch bin trên các khong (0; 1) và (2; 4) ?
J5 Gii Min xác nh D = R\{ 1 }. o hàm:
X2 - 2 x + l - m 2 . 2 - , , „ ,
, y = 0 <=>X - 2x + 1 - m = 0 <=>X, 2- 1 ± m.V = ( x - i a. Hàm s ng bin trên mi khong xác nh ca nó khi:
y' > 0, VxeD và du ng thc ch xy ra ti mt s hu hn im <x>X2 - 2x +1 - m2 > 0, VxeD và du ,,=" ch xy ra ti mt s hu hn im <=>A’ < 0 <=>m2 £ 0 o m = 0-
Vy, vi m = 0 tho mãn iu kin u bài.
b. Nhn xét ràng y’ ch nhn giá tr âm trong;khong (Xjí x2)\{ 1}-
T ó, hàm s nghch bin trên các khong (0; 1) và (2; 4) khi:
o m> và m>3 m <-1 và m <-3 jm >3.
Vy, vi |m| > 3 tho mãn iu kin u bài.
Ch ý. hiu c lp lun trong li gii câu b) ca ví d trên các e hc sinh hãy phác tho bng bin thiên ca hàm s, ,c th:
X —co *1 1 x2 4- co
y’ + 0 - 0 +
^ c r +00
t c các im X .= 0, X = 2, X = 4 vào v trí thích hp.
Thí d 4. Cho hàm s y = -x 4+ 2mx2- m2. Vi giá tr nào ca m: a. Hàm s nghch bin trên (1; +oo) ?
b. Hàm s nghch bin trên (-1; 0) và (2 ; 3)?
20
B

I
Gii Min xác nh D = R . o hàm:
y’ - -4 x3 + 4mx, y’ = 0 -4 x' + 4mx = 0 <=>-4 x(x 2 - m) = 0.
l Hàm s nghch bin trên (1 ; +co) khi: y' < 0, V xe(l; -Ko) <=>- 4-x(x2- m) < 0, Vx€(l; +oo)
<=>x(x2 - m) > 0, V xe(l; +oo) <=>f(x) = X2- m > 0, Vxe(; +co) <=>f(l) > 0 <=> l - m > 0 - » m < l .
Vy, vi m < 1 tho mãn iu kin u bài. b. Hàm s nghch bin trên (-1; 0)vj(2; 3) khi:
y’ < 0, Vx€(-1; 0)u(2; 3) <» -4x(x2 - m) < 0, Vx€(-1; 0)u{2; 3)
<=>4x(x2 - m) > 0, Vxe(-; 0)u(2; 3)
í 4x(x2 - m) > 0, Vx <E(-1; 0) jf(x) = X2- m < 0, Vx e (-1; 0)
[4x(x2- m) > 0, Vx € (2; 3) f(x) = X2 - m > 0, Vx € (2; 3)
S(0.m) ff(—1)<0 Í1 -m <0 • , 'o f <=> < <=> < m < 4. [f(2)>0 [4-m >0
Vy, vi 1 < m < 4 tho mãn iu kiên u bài.
Chú ý. hiu c lp lun trong li gii trên các em hc sinh hãy la chn mt trong hai cách sau: Cách, 1: Nhn thy th hàm s f(x) = X2 - m là mt Parabol nhn trc Oy làm trc i xng và ct Oy ti im S(0; -m). Cách 2: S dng, khái nim ng tròn ca hình hc gii tích
trong mt phng.
Dang toán 3: S dn g tính n iu ca hàm s chng minh ng thc, bt ng thc.
Phng pháp Bng vic xét hàm s f (x) trên on [a; b], ta có: a. Nu f'(x) = 0, Vxea; b] <=>Hàm s f(x) là hàm hng trên [a; b
=> £(x) = f(x0) vi x0e [a; b].
b. .Nu f '(x) > 0, Vxe[a; b] <=>Hàm s f(x) ng biên txên [a; b]
=> f(a) < f(x) < f(b). c. Nu f '(x) < 0, Vxe [a; b] <=>hm sô" f(x) nghch bin trên [a; b]
=> f(b) < f(x) < £(a).
Thí d 1 » Chng minh biu thc sau không ph thuc vào x:
A = sin2(x - — ) + sin2x + sin2(x + — ). v 3 3
21
B

I
Vy, ta có A = —không ph thuc vào X.
^ Nhn xét: Qua thí d trên các em‘hc sinh ã bit cách trình bày dng toán "ng dng tính n iu ca hm sô'chng minh ng thc Và ây, các em cn nh rng cng có th s dng các phép bin i lng giác thun tuý thc hin yêu cu trên, c th ây ta s dng các công thc h bc.
Thí du 2. Chng minh các bt ng thc sau: a. sinx < Xvi mi X> 0. b. sinx > X vi mi X< 0.
J$ Gii
Xét hàm s f(x) = sinx - X v i 0 < x < ^ .
o hàm:
f (x) = cosx - l < 0 vi0 < x < — <=>hàm s f(x) nghch bin trên (0; —).
a. Do ó:
f(x) < f(0) vi 0 < X < — <=> sinx - x < 0 v ì 0 < X < — 2 2
<=>sinx < Xvi 0 < X < r-.
2b. S dng kt qu trên vi lp lun: X< 0 <=>-X >0 => sin(-x) < -X -sinx < -X <=>sinx > X, pcm.
^ Nhn xét :

2. i khi chúng ta khng th khng nh c ngay rng f (x) > 0, Vx€ [a; bì (hoc f ’(x) < 0, Vx€[a; bj), trong các tròng hp nh vy, mt th thut thông thng c áp dng là chúng ta liên tip tính o hàm h bc n a thc n X.
3. T nhng bt ng thc n gin trên ngi ta có th xây dng ra nhng bt ng thc phc tp hn, c th: Vi bt ng thc sinx < X chúng ta xây dng c bài toán:
"Chng mình rng trong mi AABC nhn a u có: sinA + sinB + sinC < %" Vi bt ng thc tanx > Xchúng ta xây dng c bài toán:
"Chng mình rng trong mi AABC nhn a u có:
tanA + tanB + tanC > 71" Và khi ó, chng minh nhng bt ng thc dng trên chúng ta cn
thc hin theo các bc: cí La chn hàm c trng (y = sirtx - Xhoc tanx - x).
m2: Chng mình hàm s luôn n iu trên D. 3c 3: Áp dng.
Thí du 3. Chng minh cc bt ng thc sau: x ? : X3
a. sinx > X- — vi mi X> 0. b. sinx < X- vi mi X< 0. 6 6
Gii
a. Xét hàm s f(x) = X- ----- sinx vi X> 0. 6
o hàm: X2
f (x) = 1 - - — cosx, f'(x) = -X + sinx,
f"(x) = -1 + cosx < 0 vi X> 0 <=>f'(x) nghch bin vi X> 0 => f (x) < f ’(0) vói X> 0 f ’(x) < 0 vói X > 0 f (x) nghch bin vi X> 0 => f (x) < f (0) vói X> 0 <=>f (x) < 0 vói X > 0 o f(x) nghch bin vì X> 0
=>f(x)< f(0)vi X> 0 <=>X- - — sinx< 0 viX> 0 6
. X3 -
<=>sinx > X- — vói X >0.6 b. S ng kt qu trên vi lp lun:
(_x x< 0< => -x >0 => (—x) ------ — < sin(-x)<=>-X + -V < -sinx
6 o
^ Chú ý: Ví d tip theo s minh h mt phng pháp khác, ó là s ng các phép bin i i s xác nh du cfia'y’.
Thí du 4 . Chng minh rng sinx 4-tanx > 2x vi mi X <=' O; —
Gii Xét hàm s f(x) = sinx + tanx - 2x, có o hàm:
f(x) = cosx+ —\ ----- 2 COS X
Nhn xét rng vi Xe = o; —j ta có:
Cosí COSX+ —-Z -----2>c os2x + —— ----- 2 > 2 —2 = 0
COS X cos X
<í=>f (x) > 0 vi 0 < X< — o hàm sf(x) ng bin trên D
<=>f(x) > f(0) vi 0 < X< — <=>sinx + tanx - 2x > 0 vi 0 < X< — 2 «• sinx + tanx > 2x vi m X 6 D.
^ Ch ý: 1 . Bt ng thc sát hn so V bt ng thc trên là:
2sinx + tanx > 3x vói mi X e I0; — ; V 2J
2. Và t bt ng thc này ngi ta xây dng c: ”Chng minh rng trong mi AABC nhn ta u có:
2 - 1 —(sin A + sin B + sin C) + -(ta n A + ta n B + ta n G) > %"
Và gii bài toán trên ta thc hin nh sau: . Vit i bt ng thc di dng:
2(sin A + sinB + sinC) + (tanÁ + tanB + tanC)>37i: C2>(2sinA +ían A-3A) + (2sìnB + tanB-3B) +
+(2sinC + tanC-3C)>0 7 ^
Xét hàm sô f(x) = 2sinx + tanx - 3x trên khoang 0; — \ 2
Hàm s ng bin trên O; —j - Theo chng mình trên.
Vy, ta c: 2smA + tanA - 3A > 0. (1) 2snB + tanB - 3B > 0. (2) 2sinC + tanC - 3C > 0. (3)
Cng theo v (1), (2), (3) ta c bt ng thc cir chng minh.
14
B

I
Dang toán 4: s dng tính n iu ca hàm s gii phng trình, bt phng trình và h
Phng pháp s dng các tính cht n iu hàm s gii phng trình là dng
toán khá quen thuc, ta có các hng áp dng sau: Bng 1: Thc hin theo các bc:
.3CÍ Chuyn phng trình v dng:f(x) = k. 7 () DC2: Xét hm s y = f(x), dng p un khng nh hàm s n iu. óc3: Khi ó, phng trình (1) nu có nghim thì nghim ó là duy nht
Tìm X, sao cho f(Xo) = k. Vy,, phng trình có nghim duy nht X= x0.
H tíng2: Thc hin theo các bc: c.l- Chuyn phng trình v dng:
f(x) =g(x). (2)
Bc 2: Xét các hàm s y = f(x) và y - g(x). Dùng lp lun khng nh hàm s’ y = f(x) là ng bin còn hàm s y = g(x) là hàm hng hoc nghch bin.
pc Khi ó, phng trình (2) nêu có nghim thì nghim ó là duy nht Tìm Xo sao cho f(x0) = g(Xfì). Vy, phng trình có nghim duy nht X= Xfl.
Hng 3: Thc hin theo các bc: 3 í Chuyn phng trình v dng:
f(u) = f(v). ^ (3)
2: Xét hàm s y = f(x). Dùng lp lun khang inh hàm sô" dn iu. D 3: Khi :
(3) <=>u = Vvi Vu, veDr.
Thí d 1. Gii phng trình tanx - X= 0.
J£ Gii iu kin:
cosxÔ o x ? s —+ kt,keZ. 2
Xét hàm s f(x) - tanx - Xvi Xt —+ k, k € z . , ta có:
f ’(x) = — \ — l= tan 2x > 0 , V x * — + kn, k e 2 . cos X 2
Hàm ng bin trên D = R \ —+ kt, k e % .
25
B

I
Do ó, nu phng trình f(x) = 0 có nghim thì nghim ó à duy nht. Ta thy:
f(0) = 0 - 0 = 0 nên X = 0 là nghim duy nht ca phng trình.
^ Nhn xét : Qua thí d trên các em hc sinh ã bit cách trình bày dng toán
"ng dng tính n iu ca hàm s gii phng trình". Và
ây, các em cn nh rng phng pháp này thòng c áp dng cho nhng phng trình không mu mc.
Thí. du 2. Gii phng trìììh -v/l-x - VT+X = 2x3+ 6x.
Gii iu kin:
Ti ây ta có th trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Vit li phng trình di dng: V - X- -n/i + X- 2x3“ 6x = 0.
Xét hàm s f(x) = -v/l-x - Vl + X- 2x3- 6x trên D = [-1; 1], ta có:
f'(x) = -----------------7L = - 6 x 2-6< 0, VxeD 2>/l -X 2V1 + X
<=>Hàm nghch bin trên D. Do ó, nu phng trình f{x) = 0 có nghim thì nghim ó là duy nht. Ta thy:
f(0) = 1 - 1 = 0
nên X= 0 là nghim duy nht ca phng trình.
Cách 2: Ta ln lt:
B Xét hàm s f (x) = -J 1- X + X trên D = [-1; 1], ta có:
f'(x) = -----7= = -----J = < 0,V xeD <^Hàmsf(x)nghichbiáitrêriD. 2V1-X 2vl + x
Xét hàm s g(x) = 2x?+ 6x trên D = [ - 1; 1], ta có:
g’(x) = 6x2+ 6 > 0, VxeD <=>Hàm s g(x) ng bin trên D. Do ó, nu phng trìiih f(x) = g(x) có nghim thì nghim ó là duy nht. Vói X= 0, ta thy:
l - = 0 + 0<=>0 = 0, úng
nên X= 0 là nghim duy nht ca phng trình. Cách 3: Vit ]i phng tnnh di dng:
V l-X + ( l - x ) 5=Vl + X+(l + x)3. (1)
26
0 X > - 1 1 1
B

I
Xét hàm s f (t) = Vt + t3 trên trên D = [0; .+00), ta có:
f ’(t) = — + 12 > 0, Vx e D => Hàm s lun ng bin ên D. 2-v/t
Kh : (1) <=> f(l - x) = f (l + x ) <=> 1 - X = 1 + X <=> X = 0.
Vy, phng trình có nghim X= 0.
Thí d 3. Gii bt phng ình: x?- |x2 - 3x + 2 + 6x - 7 > 0.
Jê$ Gii Xét hàm s f(x) = x?- x2 - 3x + 2| + x - 7. Min xác nh = E . * o hàm:
Í3x2-2 x + 9 nux > 2vx < 1 , _ s f (x) = =$ hàm s ng bin trên D.
_3x2+ 2x + 3 nu 1< X< 2
Mt khc ta có f (l) = 0, suy ra bt phng trình có nghim là X > 1.
Nhn xé t : Qua thí d trên các em hc sinh ã bit cách trình bày dng
toán "ng dng tính n iu ca hàm s gii bí phng trình". Và ây, các em cn nh.rng phng pháp này thng c áp ng cho nhng bt phng trình không mu mc.
Thí.d 4. Tìm m phng trinh sinmx + cosmx = 1 nghim úng vi mi X.
J% Gii t f(x) = silf'x + cosmx, khi' yêu cu bài toán c phát biu dói dng: 'f’(x) = 0, Vx (1)
[f(j i/4) = l (2)
Gii (l ): Ta c: m.cosx. sin1"- 'x - msinx.cosm"‘x = 0, Vx
f(x) = 1, Vx <=>
sinm2 X= cosm z X, Vxm-2 .
m = 0
m = 2
Ta xét tng trng hp ca m gii (2): Vi m = 0, ta c:
( £ f _ f l f i -
V. 2 / y 2 ) = 2, không tho mãn.
* Vi m = 2, tng t ta c f j = 1, tho mãn.
Vy, vói m = 2 phng trình nghim ng vi mi X.
27
B

I
Thí du 5. Gii h phng trình'. [sinx-siny = y - x ( tc : ' « , vi X e D = 0; — . \x + 2y = 7U V 2 ;
Gii
Vit phng trình th nht ca h di dng: sinx + X= siny + y. (*)
Xét hàm s f(t) “ sint + 1 trên D, ta có:
f '(t) = cost +1 > 0 vi Xe D <& Hàm s f(t) ng bin trên D. Vy, phng trình (*} c vit di dng:
f(x) = f(y) <=>X= y. Khi ó, h có dng:
x = y fx = y 71 <=> I <í=> X= y = —. i
x + 2y = 7 [3x = 7 • 3
7t Vy, h phng trình có nghim X= y = —.
^ Nhn xét: Qua thí d trên các em hc sinh ã bit cách trình bày dng toá
"ng dng tính n iu ca hàm s gii h phng trình". V ây, các em cn nh rng phng pháp này thòng c á dng cho nhng h phng tranh không mu mc.
§ 2 . c c T R I CA H À M s ** • • - " -
Dang toán 1: Tìm cc tr ca hàm s’ ; Phng php
tìm cc tr ca hàm s y = f(x), ta thc hin theo các bc sau: Bc 1: Tim tp xác nh ca hàm s. Bc 2: Tính o hm yV ri tìm các im ti hn (thông thng l
vic gii phng trình y* = 0), gi s CDX = Xf,. Bc 3: La chn mt o ng hai hng:
Hng 1: Nu xét du c ý' thì p bng bih thiên r a ra kt lun da vào nh lí: nh í 1: Hu hàm s y = f(x) c o hàm tron
khong (a; b) và y'(Xo) = 0 vi x0e(a; b). a. Nu qua Xo o hàm i du t âm sang dn
thì hàm s t cc tiu ti Xq. b. Nu qiia Xo o hàm i du t dng-sang âm
thì hàm sô't cc i ti X(J.

Hng 2' Nêu không xét u c y’ thì: Tìm o hàm bc hai y". Tính yn(x<,) ri a ra kt lun da vào nh lí: nh lí 2: Nu hàm s y = f(x) có o hàm trong khong (a; b) và yXxo) = 0 vi Xo e (a; b). a. Nu y"(x<)) < 0 thì hm sô t cc i ti im Xo- b. Nu y"(^) > 0 hì hàm sô't cc tiu ti im X.
Thí d . Tìm cc tr ca hàm s y = s ls -x.2 .
Gii Ta có th trình bay theo hai cách sau:
Cách : (Sdng quy tc /): Ta ln lt có: Ta c iu kin:
8 - x 2> 0 <$> X1< 2-J => D = [~2y l 4 ] . * o hàm:
X
y’=—
2x
J s -X 2 y' = 0 <=> X = 0.
Vy, hàm s t cc i ti X = 0 và giá tr cc i ca hàm s là f(0) = 2V2 . Cách 2: {S dng quy tc 2): Ta n lt có:
Ta có iu kin: 8 - X2> 0 <=> Ixl < l 4 i
o hàm: X
D = [-2-S2; J ).
Ta CÓ:
y" = — — — => y"(0) < 0. (8- x )
Vy, hàm s t cc i ti X= 0 và giá tr cc i ca hàm s là f(0) = J .
"Nhn xét : Qua thí d trên các em hc sinh ã bit hai cách trình bày dng toán "Tìm cc tr ca hàm s" a ên hai quy tc tng ng. Và ò ây, các em cn nh rng quy tc 2 thng ch c s dng khi gp khó khn trong vic xét u y ’ hoc vi bài toán cha tham s. .
Và bt u t ày, vic a ra li kt lun da theo bng bin thiên c dành cho bn c.
29
B

I
Thí. d 2. Tìm các khong tâng, gim, cc tr ca hàm s:
y = —X3+ 2x2 + 3x - 1. 3
JX Gii Min xác nh D - R . " o hàm:
y* = X2 + 4x +3, y' = 0 <=>X2+ 4x + 3 = 0 «=>X= -1 hoc X= -3. Gii hn: lim y = 00 và lim y = +C0.
X— X- MOC
Bng bin thiên:
J r + 00
Bn c t kt lun da theo bng biêh thiên. ^ Nhn xét: Hàm a thc bc ba tng quát có dng:
y = f(x) = ax* + bx2 + cx + d, vi a ^ o có o hàm:
y'= 3ax2 + 2bx + c, y’= 0<=>3ax2 + 2bx + c = 0. T ó, suy ra hàm s có 2 cc tr hoc không có cc tr.
Thí d 3. Tìm các khong ãng, gim, cc tr ca hàm s: y = X4- 2x2 - 1.
Gii Min xác nh D = E . o hm:
y' = 4x3 - 4x, y’ = 0 <=>4x?- 4x = 0 <=>X = 0 hoc X= ±1. Gii hn lim y = lim y =+co.
X-*-3C-
y’ — 0 + 0 — 0 +
Bn c t kt lun da theo bng bin thiên.
^ Nhn xét: Hàm a thic dng trùng phng c 3 hoc 1 cc tr.
„3x 3 Thí d 4. Tìm cc khong tng , gim, cc trì ca hàm s y = ----- ——
-V X —1
JS5 Gii Min xác nh = R\{ 1}. o hàm:
' 1 _ 1y = 1 - (x- i
, y' = 0 <=> 1 (x-1)2
Gii hn:
lim 1X—>-7? " Bng bin thiên:
lim y = lim y = -co ,x ->]“ lim y = lim y = +00.x-M-5? *->r
X -0 0 0 1 2 + 00
y' + 0 — — 0 +
Bn c kí hin da theo bng bin thiên.
^ Nhn xét: Hàm phân thc bc hai trên bc nht tng quát có 2 cc tr hoc không có cc tr. Các em hc sinh cn nh rng giá tr
cc tr ca hàm phân thc y = ti X= Xo là y(x0) = u
Tht vy;
v*(x0)
<=>u*(x,^Xo)= uCxoXv’CXo) <=> = y(>H))’ pcm. v(x„) v(x())
Kt qu trên c s dng : 1. Xác nh giá tr cc tr ca các hàm phàn thc hu t. 2. Lp phng trình ng thng, ng cong i qua các
im cc tr ca các hàm phân thc hu t.
Ngoài ra, vi hàm phân thc hu t có cc i và cc tiu thì yC< yCT, iu này khng nh s khác bit gia khái nim
v cc i, cc tiu và giát lón nht, nh nht ca hàm s. tìm cc tr ca hàm . s cha du giá tr tuyt i ta thc hin theo các be sau:
Bc 1: Bin i hàm s v dng: "fj(x) vi Xe Dj
y = ffc(x) vi Xe Dk
31
B

I
Bc 2: Tìm min xác nh ca hàm s. Bc 3; Tính o hàm:
íf'',(x) vi Xe Dj \ {x f(x) = 0}
H - ,• (f 'k(x) vi X€ Dk\ {x Ifk(x) = 0}
y’ = 0 => nghim (nu có). Bc 4: Bng bin thiên, t ó a ra li kt lun.
Thí d 5. Tìm các khong tng, gim, cc tr ca hàm sô 'y = x(x + 2).
J5 Gii Min xác nh D = E . Vit li hàm s di dng:
í-x(x + 2) vix<0 , (-2x^2 vix<0 y - => y = \
[ x(x + 2) vix>0 [ 2x + 2 vix>0
Gii hn lim y = -CO, lim y =+00. X-M-*
Bng bin thiên: -1 +CO 0

Bn c t kt lun da theo bng birÍ thiên.
Chú ý. Các ví d 2, 3, 4, 5 ã miêu tcc tr ca ba dng hàm s c b trong chng trình ph thông. Gác thí d tip theo s minh ha v s dng du hiu 2 cho các hàm lng giác hoc không mu m
Thí du 6 . Tìm cc khong tng , gim, cc tr ca các hàm sô: a. y = X - sin2x + 2. b- y = 3 - 2cosx - cos2x.
Gii a- Min xác nh D = ú .
o hàm: y’ = 1 - 2cos2x, y" = 4sin2x.
1 T y' = 0<=> - 2cos2x = 0<=>cos2x = <=> x = ± — + k 7 ,k e Z . 3 2 6
Ta có:
y" -—+ k 7cj = 4sin +2kij ~ - 2 y < 0
=> hàm s at cc ai tai các im X= + kTt, k<=%. * 6
32
B

I
|è y”—+ k 7ij = 4sin—+ 2kìj = J > 0
l >' >7 í => hàm s t cc tiu ti các im x = —+ k7i, k<=z. : 1 6 I b. Min xác nh D = R .
I o hàm: I y' = 2sinx + 2sin2x, y” = 2cosx + 4cos2x.
y’ - 0 <=>2sinx + 2sin2x = 0 « 2(1 + 2cosx)sìnx = 0 2k
<=> X= ± - —+ 2kn hoc X= kir, ke z . 3
Ta có:
Vi x = ±— +2k7i tanhnc: 3 '
y ±— + 2k 7t ] <0^hàmsô'<Mcciticácin x = ± — + 2k 7 ,k eZ .V 3 ) 3
Vi X= kn ta nhn c: y”(k 7c) = 2cos(k 7t) + 4cos(2k 7t) = 2cos(k 7i) + 4 > 0 => hàm s t cc tiu ti các im X= k7, ke z .
Dang toán 2: Tìm m hm s V = f(x. m ì có cc tri Phng pháp
thc hin các yêu cu v iu kin có cc tr ca hàm s y = f(x) ta thc hin theo các bc:
Dóc í Min xác nh. Dc_ 2: Tính o hàm y1. Dc 3: La chn theo mt trong hai hng:
Hng 1: Nu xét c du ca y’thì s i dng dâu hiu I vi lp lun:
Hàm s có k cc tr <=> Phng trình y 1 = 0 có k nghim phân
bit và ôi ii qua các nghim ó.
Hng 2. Nu không xét c dâu ca y’ hoc bài toán yêu cu c th v cc i hoc cc tiu thì s dng du hiu n, bng vic tính thêm y”. Khi ó: 1 . Hàm s' có cc tr <=>h sau có nghim thuc D
'y’ = 0
2 Hàm sô" có Cc tiu <=>h sau có nghim thuc D
y ’= 0
[y" >0
3. Hàm s có cc i <=>h sau có nghim thuc D
y = 0 y" < 0
4. Hàm s t cc tiêu ti x0 iu kin là: ' x0 e D
x0làimtdihn.
vy"(xo)> 0
5. Hàm sô" t cc i ti Xo iu kin là: 'x0eD
x0 là im ti hn.
J"(x0)<0
Ngoài ra, vi hàm a thc y = f(x) thì iu kin " Hm sô 't cc tr ti im Xo" l:
y ’(x0) = 0
lyO-oÔ
Thí d 1» Chng minh rng vi mi giá tr ca m, hm s: _ X2 -m (m j- l)x 4- m3+1
x - m luôn có cc i và cc tiu.
Gii Min xác nh D = R\{m}. Vit li hàm s di dng:
y = x - m +
1
(x-m)
1(x - m) = 0 <=>(x - m)2- 1 = 0 <=>X, 2 = m ± 1 e D.
Tc là y’ = 0 luôn có hai nghim phân bit thuc và i du qua hai nghim này, do ó hàm s luôn có cc i. và ec tiu.
Nhn xét’ . Qua thí d trên các em hc sinh ã bit cách trình bày dng toán "Chng minh hàm s luôn c cc tr "da trên quy tc 1 .
34
B

I
Trong trng hp bài toán trên c phát biu di dng "Tìm m hàm s có cc tr " thì tng khó cho yêu cu ngi ta thòng òi hi thêm nh sau: a. Hoành (hoc tung ) các im cc r thuc khong
K, khi ó chóng ta ch cn thit lp iu kin : m ± 1 <EK
hocy(m± 1) e K o [ 2 x - m(m+l)](m±I) € K.
b. Ta các im cc tr ho mãn iu kin K, khi ó chúng ta thc hin: Ta các im cc tr là:
(m + 1 , 2 + m - m2) và (m - 1 , 2 + Ì1 - m2) * Thit lp iu kin K, t ó nhn c giá tr ca m.
c. Phng trình ng thng i qua các im cc tr ho mãn iu kin K, khi ó chúng ta thc hin: Phng trình ng thng i qua các im cc tr là:
(d): y = 2x - m(m + I)
Thit lp iu kin K, t ó nhn c giá tr ca m.
Và trong tt c các òi hi kèm theo ch cn các em hc sinh bit cách phân tích, t ó a ra c mt luc thc hin thích hp.
Thi du 2. Tìm các h s À, b, c sao cko hàm s f(x) = x:’ + ax2 + bx + c í cc tr bang 0 ti im X = -2 và th ca hàm s i qua im A(l; 0).
JS Gii o hàm f(x) = 3x2 + 2ax + b và f ’(x) = 6x + 2a. hàm s t cc.tr bng 0 ti im X - -2 và th ca hàm s i qua
im A(l; 0) iu kin là: f(-2) = 0 8 + 4a-2 b + c = 0
oI I 12 -4a + b = 0 ì ^ <=> <
f"(-2)*0 12 +2a 0
> - h I I o 1 + a + b + C= 0
Vy, vi a = 3, b = 0 và c = -4 tha mãn iu kin u bài.
^ Nhn xét. Qua thí d trên các em hc sinh ã bit hai cách trình bày dng toán "Tìm iu kin hàm s c cc tr ti im Xo" da trên quy tc 2 .
Thí d 3. Tìm m cc hàm s sau có cc tr :
a. y = - x 3 -m x2 +(2m2-3m + 2 )x + 8 .
b. y = sinx - mx.
Jz*i Gii a. Ta ln lt có:
a Tp xác nh D = M. o hàm:
y' = X2 - 2mx + 2m2 - 3m + 2, y’ = 0 X2 - 2mx + 2m2 - 3m + 2 = 0.
Hàm s có cc tr khi phng trình y’ = 0 có nghim và du qua nghim
o >Q<=> m - 2m + 3m - 2 > 0 <=>nr -3 m + 2 < 0 < » l < Vy, vi 1 < m < 2 tha mãn iu kin u bài.
b. Ta ln lt có: Tp xac nh D = R . 8 o hàm:
y' - cosx - m, y" = -sínx. y' = 0 <=>cosx -m = 0 « cosx = m.
Hàm s có cc tr khi h sau có nghiêm:
!y'(x) = 0 Í H - * _ M á l ^ íìm - l _ , I
O ' m < 1 . <=> <£> 1 ; <=> -1 '
y”(x) 0 [-sinxÔ [x*k 7t lm*±l
Vy, vi |m| < 1 tha mãn iu kin u bài.
^ Nhn xét: Qua thí d trên các em hòc sinh ã bit hai cách trình
dng toán "Tìm iu kin hàm s có cc tr "da ên quy tc tng ng. Và ây, các em cn nh rng quy t thng ch c s dng; khi gp khó khn trong vic du y’ hoc yêu cu c th v cc i, cc tiu ca hàm s
Thí du.4 . Tìm các h s a, b, c, d ca hàm s f(x) = ax?+ bx2 + cx + d cho hàm s t cc tiu ti im X = 0, f(0) =*0 và t cc ti im X = 1, f ( l ) = 1.
Gii o hàm: f (x) = 3ax2 + 2bx + c, f ’(x) = 6ax + 2b. hàm s t cc tiu ti im X = 0, f(0) = 0 và t cc i ti im X
f(l) = 1 iu kin là:
'd = 0
f(0) = 0 và f(l) = 1 f ’(0) = 0 và f(l) 0 <=>
f"(0)>0 và f ’(l) < 0
a + b + c + d = l c =0
3a+2b + c = 0
a = - 2 b = 3
c = d = 0
Vy, vói a = -2, b = 3 và c = d = 0 tha man iu kin u bài.
36
B

I
Thí d 5. Cho hàm s f(x) = x? + px + q. a. Vi iu kin nào hàm s có mt cc i v mt cc tiu ? b. Chng minh rng nu giá tr cc i và giá tr cc tiu trái
du thì phng rình:
x5 + px + q = 0 (1) có ba nghim phân bit.
c. Chng minh rng iu kin cn và phng trình ( 1 ) có
ba nghim phân bit là 4p3 - 27q2 > 0.
Gii
a. Min xác nh D = R . o hàm:
f (x) = 3x2 + p, f (x) = 0 <=>3x2 + p = 0. (*) hàm s có mt cc i và mt cc tiu iu kin là:
Phng trình (*) có hai nghim phán bit <=>p < 0. Vy, vi p < 0 tha mãn iu kin u bài.
b. Vi hàm s trên (liên tc trên R ), ta có ngay nhn xét Xeo < XCT. Khi ó:
f(Xco) > 0 và f(xCT) < 0
lim f(x) = - 00, vy tn ti Cj < XC f(C|) < 0,
lim f(x) = + co, vy tn ti C2 > XCT f(02) > 0, suy ra:
f(c,)-f(xCD) < 0; fCXco^Xcr) < 0; f(xCT).f(c2) < 0. Vy phng trình (1) luôn có có ba nghim phn bit.
c. Ta. có;íCXcdKCxct) < 0 <» ( xJ + pxce + q)( Xct + p Xc + q) < 0
<» (3 + 3pxC+ 3q)(3 Xct + 3pxCT+ 3q) < 0
<=> [(3 + p)xC+ 2pXce + 3q][(3 + p)xCT+ 2pXCT + 3qj < 0
(2px£j) + 3q)(2pxCT + 3q) < 0 <=>4p2xC.xCT+ óqCXc+ Xct) + 9q2 < 0 c pì
•Cí>4p2 3 J + 9q2 < 0 <>4p?- 27q2 > 0.
^ Chú ý\ 1. Các em hc sinh cn ghi nhn phát biu ca câu b) nh mt phng pháp tìm iu kin ca tham s sao cho phng trình bc ba có ba nghim phân bit.
2. Qua các thí 2, 3 ,4 chúng ta bc u làm quen vi vic tìm cc tr ca hàm a tc bc ba (là dng hàm s c bn ca chng trình toán THPT). Thí tip theo s minh ho cách thc hin khi bài toán ghép thêm tính cht K cho các im cc ca dng hàm s này.
37
B

I
Thrdy . Cho hàm s: y = x?- 3mx2+ 4m \
Xác nh m các im cc i và cc tiu ca th hàm s i xng nhau qua ng thng y = X.
Gii Mifl xác nh D = R.
o hàm:y’= 3x2 - 6mx, y’= 0 <=>3x2 - 6mx - 0 o f(x) = X2 - 2mx = 0 (1)
X, = 0
x2—2m
Trc ht, hàm s có cc i và cc tiu <=> (1) có hai nghim phàn bit <=> m 5* 0.
Khi ó, ta các im cc tr là Á(0,4m3) và B(2m, 0). các im cc i và cc tiu ca th hàms ì xng vi nhau qua
ng thng (d): y = Xiu kin là:
jA B(d) ÍÃ Blã^ Í2m-4m 3 =0
trung im I ca ABthuc(d) |I(m;2m3)e () [m -2m3=0
m*0 ] <=> m = ± -U .
J2
Vy, vi m = ±-7=- tho mãn iu kin u bài. V2 -
^ Chú ý: Trong trng hp nghim phng trình (1) cha cn thc, ta nên chn phng pháp sau: Min xác nh D = R . o hàm:
y' = 3x2- 6mx, y' = 0 <=>3x2- 6mx = 0 f(x) = X2- 2mx = 0 (1)
Hàm s có cc i, cc tiu khi ( 1 ) có hai nghim phn bit, tc: À* = 36m2> 0 <=>m 0.
Khi ó, hoành các im cc i, cc tiu tho mãn: xA+xB= 2m
xAxB=0
Thc hin phép chia a thc y cho y’(thc cht chia cho f(x)), ta c: y = (x2- 2mx)(x - m) - 2m2x + 4m \
nen nu M(Xo{ yt)) là im cc tr ca hàm s thì: y„ =- 2 m \ + 4m' => A(xa;-2mhLA + 4m3) và B(xb; + 4m3).
38
I.
B

I
Gi I là trung im ca AB, ta có: X , + x
X, = — A = m. => y, = -2m2X; + 4m?= 2m?=> I(m; 2m3). I
các m cc i và cc tiu ca th hàm s i xng vi nhau qua ng thng (d): y = Xiu kin là: ^
Í A B - L ( d ) _
[ t rung i ém I -ca A B t ì iu c (d)
Thí du 7* Cho hàm s: y = m x 2 + 3 m x + 2 m + 1
~ \ Xác nh các giá r ca tham s m hàm s c cc i, cc tiu và hai im ó nm v hai phía i vi trc Ox.
Gii Min xác nh D = R\{ 1}. o hàm:
m x 2 - 2 m x - 5 m - l
y -(x-1)2 Hàm s có cc tr
, y’= 0 mx2 - 2mx - 5m - 1 = 0. (1)
m *0 m * 0
m>0
1 m < — -
6
(2)
Ti ây chúng ta có th la chn mt trong hai cách trình bày sau: Cách : Vi iu kiên (2) phng trình () có hai nghim phân bit Xj, x2 tho mãn:
’x1+x2=2 5m + l-
x , . x , m
( m x 2 + 3m x + 2 m + l ) ’ T a c ó : y (X j) - ----------- -------T----------—(X j) = 2mxl + 3 m , y ( x 2) = 2 m x 2 + 3 m .
( x - 1 ) '
Hai im cc i, cc tiu nm v hai phía ôi vi trc Ox <=>y(x,)y(x2) < 0 - » ( 2mXj + 3m)( 2mx2 + 3m) < 0 <=> m 2[4 x 1.x2 + 6( x ( + x2) + 9 < 0 <=> m 2 - 4m < 0 0 < m < 4 . (3)
Kt hp (2) và (3) ta c 0 < m < 4. Vy, vói 0 < m < 4 tho mãn iu kin u bài.
Cách 2: {Sng th): Hai im cc i, cc tiu nm v hai phía ôx vói trc Ox <=> y = 0 vô nghim <=> mx2 + 3m x + 2m + 1 = 0 vò nghim (:i:) <=>Ã<0 <=>9m2- 4m(2m + 1) < 0 <=> m2 - 4m < 0 <=> 0 < m < 4 . (31)
Kt hp (2) và (3’) ta c 0 < m < 4. Vy, vi 0 < m < 4 tho mãn iu kin u bài.
39
B

I
^ Chú ý. Thc t, phng trình (*) vô nghim ta cn xét hai trng hp: Trng k p l. V im = 0 Trng hp 2. Vi m * 0, khi ó (*) v ô nghim khi:
A<0
ÍA = 0
.1 2a Tuy nhiên, vi bài toán trên ta ch cn A < 0 vì t (2) d thy:
^ Ch ý: Thí d tip theo, chúng ta s quan tâm ti tính cht cc tr c hàm trùng phcmg.
Thí d 8. Cho hàm s', y = X4- 2mx2 + 2m. Xác nh m hàm s có các im cc i, cc tiu:
a. Lp thành mt tam giác u. b. Lp thành mt am giác vuông . c. Lp thành mt tam giác có dintích bng 16*
J$ Gii Ta ln lt có: 8 Min xác nh D = R . " ?o hàm: y' = 4x* - 4mx = 4x(x2 - m), y’= 0 x(x2 - m) = 0. ( 1) Hàm s có cc i, cc tiu khi:
(1) có ba nghim phân bit m > G (*)
Khi ó, (1) có ba nghim phân bit X= 0, X= ±-Jm và ta ba im cc tri A(0; 2m), B(-Vm ; -m 2 + 2m), C( ^/m ; -m 2 + 2m)
a. Ta có AABC u khi:
|AB = AC(ld) o 2 = 2 5 +
(*) , rr o m - 3ffl = 0 o m - 3 = 0 C$m = yj3.
Vy, vi m = 3/3 tho mãn iu kin u bài. b. Do tính ôì xn

bÀi giẢng trỌng tÂm chƯƠng trÌnh chuẨn toÁn 12 - lÊ hỒng ĐỨc

Documents