bài tập nâng cao hình học 7

BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7

Lê Văn Hà - Giáo viên trường THCS Định Liên - Yên Định - Thanh HoáGmail: [email protected]

Điện thoại: 0977442256

Bài 1. Nếu trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với

cạnh ấy bằng 30◦.

Lời giải. Xét 4ABC vuông tại A có AC =12

BC. Trên tia đối của tia AC lấyA

D A C

điểm D sao cho AD = AC.

4ABD =4ABC(c.g.c) ⇒ BD = BC.

Do AC =12

BC,AC =12

DC nên BC = DC.

Tam giác BDC có BD = BC = DC nên là tam giác đều, do đó C = 60◦. Suy

ra ABC = 30◦.

Bài 2. Tính các góc của tam giác ABC. Biết rằng đường cao AH và trung tuyến AM chia góc BAC

thành ba góc bằng nhau.

Lời giải.

Vẽ MK⊥AC thì4KAM =4HAM(cạnh huyền-góc nhọn) nên MK = A

B H M

K

C

MH.

Do đó MK =MB2

=MC

2.

4MKC vuông có MK =MC

2nên C = 30◦.

Suy ra HAC = 60◦, BAC = 90◦, B = 60◦.

Bài 3. Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài tam giác ấy các tam

giác đều ABE,ACF . Gọi I là trung điểm của BC,H là trực tâm của

tam giác ABE. Tính các góc của tam giác FIH.

Hướng dẫn. Đối với bài tập này cần xét ba trường hợp:

+ Trường hợp 1: BAC < 90◦. A

EH

B

F

C

K

I

Trên tia đối của tia IH lấy điểm K sao cho IH = IK thì

4IBH =4ICK(c.g.c)

⇒CK = BH = HA. Chú ý rằng:

FAH = 60◦+ 30◦+ A < 180◦.

KCI = HBI = B+ 30◦. Suy ra

FCK = 360◦−(

KCN + ACB+ ACF)= 360◦−

(90◦+ B+ ACB

)= 90◦+ A= FAH.

và AF = CF .

Do đó 4AHF =4CKF(c.g.c). Suy ra FH = FK nên tam giác FHK cân tại đỉnh F .

Mặt khác, do hai tam giác AHF và CKF bằng nhau nên AFH = CFK, mà AFC = 60◦ nên HFK =

60◦.

Vậy tam giác FHK đều. Suy ra HIF = 90◦, IHF = 60◦, IFH = 30◦.

Chú ý. Ta cũng có thể vẽ điểm K sao cho I là trung điểm KF thì

4BIK =4CIF(c.g.c) ⇒ BK = CF = AF (1)

Vì H là trực tâm của tam giác đều ABE nên AH = BH (2)

1


Lại có

HBK = 360◦− HBA− ABC− IBG = 360◦−30◦− ABC−(

BCA+ 60◦)

= 270◦−(

ABC+ BCA)= 90◦+ BAC = HAF (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 4BHK =4AHF(c.g.c) ⇒ HK = HF .

Tam giác HKF cân tại H, có HI là đường trung tuyến

AE

H

B

F

CI

đồng thời là đường cao nên HI⊥KF. Vậy HIF = 90◦.

+ Trường hợp 2: BAC = 90◦. Ta thấy H,A,F thẳng hàng;

E,H, I thẳng hàng và EI//AC đồng thời IF//AB.

Do đó EI⊥IF suy ra

HIF = 90◦, IHF = 60◦, IFH = 30◦.

+ Trường hợp 3: BAC > 90◦ chứng minh tương tự trường

hợp BAC < 90◦.

Chú ý. Trực tâm H của tam giác ABE (giao của ba đường

cao) có thể thay bằng trọng tâm G hoặc giao của ba đường phân giác (tâm đường tròn nội tiếp tam

giác ABE) hoặc giao của ba đường trung trực (đường tròn đi qua ba điểm A,B,E) là như nhau.

Bài 4. Cho tam giác ABC có ABC = 45◦, ACB = 120◦. Trên tia A

H

B C D

1

11 22

đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính số đo góc

ADB.

Lời giải. Vì C1 và C2 là hai góc kề bù, mà C1 = 120◦ nên C2 = 60◦.

Vẽ DH⊥CA ta được tam giác CDH vuông tại H có CDH = 30◦

nên CH =12

CD, mà BC =12

CD (giả thiết, CD = 2BC) nên CH =

BC hay tam giác BCH cân tại H suy ra HB = HD. (1)

Ta có B1 = 15◦ và A1 = 15◦ nên tam giác HAB cân tại H. Do đó

HB = HA. (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác HAD cân tại H, mà AHD = 90◦. Suy ra tam giác AHD vuông cân tại H.

Từ đó tính được ADB = 30◦+ 45◦ = 75◦.

Bài 5. Cho tam giác ABC có BAC tù, đường cao AH, đường phân giác BD thoả mãn AHD = 45◦.

Tính ADB.

Lời giải.

Cách 1. Vẽ BK⊥AC. Xét tam giác ABH có

AK

B H

D

C

11

12

2

xBD là đường phân giác trong; HD là đường

phân giác ngoài đỉnh H nên AD là đường phân

giác ngoài đỉnh A, suy ra A1 = A2.

Mà A1 = KBH (cùng phụ với C) nên A1 =

KBD+ B1. (1)

Mặt khác A2 = D1 + B2. (2)

Vì A1 = A2; B1 = B2 nên từ (1) và (2) suy ra

KBD = D1. Do đó tam giác KBD vuông cân tại đỉnh K, suy ra KBD = ADB = 45◦.

Cách 2. Để vẽ hình chính xác, ta vẽ tam giác BHD có BHD = 135◦, rồi vẽ điểm A sau đó vẽ điểm C.

Xét 4ABH ta có:

HAx = ABH + 90◦ = 2B2 + 90◦.

2


Ta lại có HAx = 2A2. Do đó

2A2 = 2B2 + 90◦ ⇒ A2 = B2 + 45◦ (1)

Mặt khác, xét 4ABD ta có

A2 = B2 + D1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra D1 = 45◦.

Chú ý. Trước khi làm bài tập này, ta giải bài toán phụ dưới đây: Cho

E

A

D

B

CF

I

tam giác ABC. Chứng minh rằng hai tia phân giác ngoài của hai góc

tại hai đỉnh B và C và tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một

điểm (xem một số bài tập liên qua đến bài toán này sau bài tập này).

Lời giải. Thật vậy, gọi I là giao điểm hai tia phân giác ngoài của góc

B và C.

Từ I kẻ IE⊥AB; IF⊥AC theo tính chất tia phân giác ta có IE = IF và

ID = IF .

Điều đó chứng tỏ I nằm trên tia phân giác của góc A. Nói cách khác hai tia phân giác của hai góc

ngoài ở đỉnh B và C và tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một điểm.

Bài 5.1. Cho tam giác ABC có A = 120◦, các đường phân giác AD và BE. Tính số đo của BED.

Lời giải. Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB, ta có BAD= CAD =A

B D C

E

1 122

x60◦ nên CAx = 60◦.

Xét tam giác ABD có AE là phân giác ngoài tại đỉnh A,BD

là phân giác trong tại đỉnh B. Do đó DE là phân giác ngoài

tại đỉnh D. Do đó

BED = D1 − B1 =ADC− ABC

2=

BAD2

=60◦

2= 30◦.

Bài 5.2. Cho tam giác ABC có ACB và A tù. Kẻ tia BD cắt tia đối của tia CA ở D sao cho CBD= ABC.

Kẻ AH vuông góc với BD tại H. Tính CHD.

Lời giải. Gọi tia đối của tia AB là tia Ax.

A

B H D

C11

12

2

xXét tam giác ABH, theo tính chất góc ngoài của tam

giác ta có HAx = 90◦+ 2B1 (hình vẽ bài 5).

Xét tam giác ABC có

A2 = C1 + B1 = 45◦+ B1 =12

HAx.

Suy ra AC là tia phân giác của HAx.

Kết hợp với giả thiết BC là tia phân giác của ABH, suy

ra HC là tia phân giác của AHD. Vậy CHD = 45◦.

Bài 5.3.

Cho tam giác ABC, B = 120◦, phân giác BD và CE.

Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh A của

tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại F . Chứng minh

rằng.

a) ADF = BDF .

b) Ba điểm D,E,F thẳng hàng.

Lời giải.

3


a) Vẽ tia đối của tia phân giác BD là By. Khi đó dễ thấy ABD = ABF = FBy = 60◦.

Xét tam giác ABD có hai tia phân giác ngoài của góc A và B cắt nhau tại F suy ra DF là tia phân giác

trong của góc D. Vậy ADF = BDF .

b) Xét tam giác BCD có tia phân giác của góc C và tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt nhau tại E, suy

ra DE là tia phân giác của ADB.

Ta có DE,DF đều là tia phân giác của góc ADB nên ba điểm D,E,F thẳng hàng.

Bài 5.4. Cho tam giác ABC, B = 45◦, phân giác BD, đường cao AH. Cho biết BDA = 45◦. Chứng

minh rằng HD//AB.

Lời giải. Xét tam giác BCD có ADB là góc ngoài của

A

B H

D

C

11

12

2

xtam giác BCD nên ADB = B2 + C suy ra C = ADB−

B2 hay C = 45◦−B2

.

Xét tam giác ABC có A1 là góc ngoài tại đỉnh A nên

A1 = B+ C = B+ 45◦−B2⇒ A1 = 45◦+

B2

(1)

Xét tam giác AHC vuông tại H có A2 = 90◦−C = 45◦+B2

(2)

Từ (1), (2) suy ra A1 = A2.

Xét tam giác ABH có D là giao điểm của một tia phân giác ngoài với một tia phân giác trong không

kề nên tia HD là tia phân giác ngoài tại điểm H do đó DHC = 45◦, suy ra HD//AB (vì có cặp góc

đồng vị bằng nhau).

Bài 5.5. Cho tam giác ABC, A = 120◦, các đường phân giác AD,BE,CF .

a) Chứng minh rằng DE là tia phân giác ngoài của tam giác ADB.

b) Tính EDF .

Lời giải. a) Vẽ Ax là tia đối của AB. Khi đó BAC và CAx làA

B D C

E1 2

x

3

F

hai góc kề bù nên BAD = CAD = CAx = 60◦.

Xét tam giác ABD có AE là tia phân giác ngoài tại đỉnh A;BE

là tia phân giác trong tại B nên DE là tia phân giác ngoài tại

đỉnh D của tam giác ADB.

b) Chứng minh tương tự DF là tia phân giác ngoài tại đỉnh

D của tam giác ACD.

Mặt khác, ADC và ADB là hai góc kề bù nên EDF = 90◦.

Bài 5.6. Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD,CE cắt nhau tại I và ID = IE. Chứng minh

rằng B = C hoặc B+ C = 120◦.

Lời giải.

Cách 1. Kẻ IH⊥AB, IK⊥AC, ta có 4HIE =4KID (cạnh huyền-cạnh góc vuông) suy ra IEH = IDK

(1)

Xét bốn trường hợp sau:

a) H thuộc BE;K thuộc CD.

Từ (1) suy ra A+C2= A+

B2

. Do đó C = B.

b) H thuộc AE;K thuộc AD.

Chứng minh tương tự phần a) ta được B = C.

c) H thuộc BE;K thuộc AD.

4


Từ (1) ta có

A+C2= C+

B2⇒ A =

B2+

C2

⇒2A = B+ C ⇒ 3A = A+ B+ C = 180◦ ⇒ A = 60◦, B+ C = 120◦.

d) H thuộc AE;K thuộc CD. Chứng minh tương tự phần c), ta được B+ C = 120◦.

Cách 2. Không mất tính tổng quát, giả sử AD ≥ AE, xét hai trường hợp:

a) AD = AE. A

A

EE

DD

I I

F

B BC C

1 1

11

22

1

4ADI =4AEI(c.c.c) ⇒ ADI = AEI.

4ADB và 4AEC có A chung, ADI = AEI nên

B1 = C1. Do đó B = C.

b) AD > AE. Lấy F trên AD sao cho AF = AE.

4AFI =4AEI(c.g.c) ⇒ IF = IE,

F1 = E1.

Do IE = ID nên IF = ID, do đó F1 = D1. Suy

ra D1 = E1, tức là A+B2= B+

C2

.

Biến đổi như cách 1, ta được B+ C = 120◦.

Bài 5.7. Tam giác ABC có A 6= 90◦,B và C là các góc nhọn, các đường trung trực của AB và AC cắt

nhau tại O và cắt BC thứ tự tại E và F . Chứng minh rằng AO là tia phân giác của EAF .

Lời giải. Ta xét hai trường hợp: A

O

B F E C

Trường hợp 1: A < 90◦.

Ta có EA = EB nên EO là tia phân giác của AEB.

Chứng minh tương tự FO là tia phân giác của AFE.

Vì EO và FO là các tia phân giác trong tại đỉnh E và đỉnh F của

tam giác AEF nên AO là tia phân giác của EAF .

Trường hợp 2: A > 90◦.

Vì O là giao điểm của các đường trung trực AB và AC nên OA = OB = OC.

Điểm E nằm trên đường trung trực của AB nên EA = EB.

Điểm F nằm trên đường trung trực của AC nên FA = FB.

4AOE =4BOM(c.c.c) ⇒ A1 = B1.

EB F CO

A

1 1

12

Tương tự 4AOF =4COF(c.c.c) ⇒ A1 = C1.

Mặt khác B1 = C1 (vì 4BOC cân tại O).

Suy ra A1 = A2 suy ra AO là tia phân giác của EAF .

Chú ý.Từ bài toán trên ta thấy nếu B > 90◦ khi đó AO là tia phân giác

ngoài tại đỉnh A. Thật vậy, xét 4AEF,EO là tia phân giác trong

của E, FO là tia phân giác ngoài tại đỉnh F . Khi đó AO là tia

phân giác ngoài tại đỉnh A (hình vẽ bên).

Bài 5.8. Tam giác ABC có B = 60◦,C = 30◦. Lấy điểm D trên cạnh AC, điểm E trên cạnh AB sao

cho ABD = 20◦, ACE = 10◦. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Tính các góc của tam giác KDE.

Lời giải. Gọi I là giao điểm của các tia phân giác KBC và KCB. Khi đó KI là tia phân giác của BKC.

Mặt khác, tam giác KBC có BKC = 120◦ (vì KBC = 40◦, KCB = 20◦), do đó BKI = CKI = BKE =

CKD = 60◦ (dễ dàng tính được điều này).

5


+ Xét 4BKI và 4BKE có

B2 = B3 (giả thiết)

BK (chung)

BKI = BKE = 60◦

Suy ra 4BKI =4BKE(g.c.g) ⇒ KE = KI (1)

+ Chứng minh tương tự KD = KI (2)

Từ (1), (2) suy ra KE = KD hay 4KED cân tại K.

Mặt khác, EKD = 120◦ = BKC (đối đỉnh).

Do đó KED = KDE =180◦−120◦

2= 30◦.

Bài 5.9. Cho tam giác ABC(

A 6= 90◦, B,C < 90◦)

, kẻ AH vuông góc với BC vẽ các điểm D và E

sao cho AB là đường trung trực của HD,AC là đường trung trực của HE. Gọi I,K thứ tự là giao điểm

của DE với AB và AC. Tính AIC, AKB.

Hướng dẫn. Ta xét hai trường hợp:

a) Nếu A < 90◦.

b) Nếu A > 90◦.

Chú ý. 1) Ở bài tập này ta đã sử dụng hai kết quả sau:

+ Hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau (ở kết quả này ta cần dùng đến bài toán

sau: Nếu Ox,Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Oz sao cho zOx+ zOy = 180◦ thì Ox

và Oy đối nhau).

+ Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông.

2) + Trong trường hợp B > 90◦, tam giác HIK có IB và KB là các tia phân giác trong, IC,KC là các

tia phân giác ngoài.

+ Trong trường hợp C > 90◦, tam giác HIK có IB và KB là các tia phân giác ngoài, IC,KC là các tia

phân giác trong. Các trường hợp này ta vẫn có AIC = AKB = 90◦.

Bài 5.10. Cho tam giác ABC có B = 75◦,C = 45◦. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BAD = 45◦.

Đường vuông góc với DC tại C cắt tia phân giác của ADC tại E. Tính CBE.

Bài 6. Cho tam giác ABC cân có B = C = 50◦. Gọi K là điểm trong của tam giác sao cho KBC =

10◦, KCB = 30◦. Chứng minh rằng tam giác ABK cân và tính BAK.

Hướng dẫn.

Cách 1. Vẽ tam giác đều EBC sao cho E và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC.

Cách 2. Vẽ tam giác đều ACE sao cho E và A khác phía đối với BC.

Cách 3. Vẽ tia phân giác của ABK.

Bài 7. Cho tam giác ABC cân có A = 20◦. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính ACD.

Hướng dẫn.

Cách 1. Vẽ tam giác đều BCE sao cho A và E cùng phía đối với BC.

Cách 2. Vẽ tam giác đều ADE sao cho C và E nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB.

Cách 3. Vẽ tam giác đều ACE sao cho D và E khác phía đối với AC.

Cách 4. Vẽ tam giác đều ABE sao cho C và E cùng phía đối với AB.

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm E nằm trong tam giác, tam giác EAC cân ở E và

góc ở đáy bằng 15◦. Tính AEB.

Hướng dẫn.

Cách 1. Vẽ về phía trong tam giác ABC sao cho tam giác AED đều.

Cách 2. Về phía trong tam giác ABC lấy điểm D sao cho tam giác ABD cân ở D và có góc ở đáy bằng

6


15◦.

Cách 3. Vẽ tam giác đều ACD sao cho E và D khác phía đối với AC.

Cách 4. Vẽ tam giác CDE đều sao cho E và D khác phía đối với BC.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông cân với đáy BC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Kẻ

NH vuông góc với CM tại H. Kẻ HE vuông góc với AB tại E. Chứng minh rằng tam giác ABH cân và

HM là tia phân giác của BHE.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC,G là điểm thuộc cạnh AB

sao cho AG =13

AB,E là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CG. Các đường thẳng MG và AC cắt

nhau tại D. So sánh độ dài DE và BC.

Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A với BAC = 80◦. Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho

MAC = 20◦ và MCA = 30◦. Tính MBC.

Hướng dẫn. Trên đường cao AH lấy điểm P sao cho AP = AB = AC.

Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A và ABC = 60◦. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho AB+

BM = AC+CM. Tính CAM.

Bài 13. Cho tam giác ABC có BAC = 55◦, ABC = 115◦. Trên tia phân giác của ACB lấy điểm M sao

cho MAC = 25◦. Tính BMC.

Bài 14. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi E là điểm tuỳ ý nằm giữa B và C. Đường thẳng qua E

vuông góc với AB và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Gọi K là trung điểm của

BE. Tính độ lớn của AKD.

Bài 15. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường thẳng AC lấy điểm M tuỳ ý. Đường thẳng vuông

góc với BC qua M cắt đường thẳng BC tại H. Gọi I là trung điểm của BM. Tính HAI.

Bài 16. Cho tam giác ABC cân tại A với BAC < 90◦ và các đường cao BD,AH. Trên tia BD lấy điểm

K sao cho BK = BA. Tính HAK.

Chú ý. Nếu BAC > 90◦ ta có kết quả HAK = 135◦.

Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A với ACB = 15◦. Đặt BC = a,AC = b,AB = c. Chứng minh

rằng a2 = 4bc.

Hướng dẫn.

Cách 1. + Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CBD = 15◦.

+ Sử dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác ABD và tam giác ABC ta có đpcm.

Cách 2. Kẻ đường cao AH và gọi M là trung điểm BC để làm.

Bài 18. Cho tam giác ABC cân tại A có BAC ≥ 90◦. Lấy điểm M nằm giữa A và C, hạ AH và CK

cùng vuông góc với BM (H,K thuộc BM) sao cho BH = HK +KC. Tính BAC.

Bài 19. Cho tam giác ABC cân tại C có ACB = 100◦. Điểm M thuộc tia CA sao cho CM = AB. Tính

CMB.

Bài 20. Trong hình vuông ABCD lấy hai điểm P,Q sao cho BP song song với DQ với BP2+DQ2 =

PQ2. Tính PAQ.

Bài 21. Cho tam giác ABC có AB = AC và BAC = 80◦. Lấy điểm I ở trong tam giác sao cho

IAC = 10◦, ICA = 20◦. Tính CBI.

Bài 22. Cho tam giác ABC có BAC = 45◦,AM là trung tuyến, AD là phân giác trong của tam giác

MAC, kẻ DK vuông góc với AB (K ∈ AB). Gọi giao điểm của AM và DK là I. Chứng minh rằng nếu

AM là tia phân giác của BAD thì BI là tia phân giác của ABD.

Bài 23. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho DAE = ABD.

Chứng minh rằng DAE = ECB.

7


Bài 24. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho MAC = MBA= MCB.

Hãy so sánh diện tích hai tam giác ABM và CBM.

Bài 25. Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 75◦. Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho

BH = 2AC. Tính BHC.

Hướng dẫn.

Cách 1. Vẽ tam giác đều BCD sao cho A và D cùng phía đối với BC, lấy E là trung điểm của BH.

Cách 2. Vẽ tam giác đều HBD sao cho D và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ HC, sau đó gọi

M là trung điểm BD và chứng minh cho C,M,H thẳng hàng từ đó suy ra đpcm.

Cách 3. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tia Cy sao cho BCy = 75◦. Gọi H ′ là

giao điểm của tia Cy và BA, sau đó tìm cách chứng minh H ≡ H ′.

Cách 4. Gọi D là giao điểm của đường trung trực của BC với AB, khi đó tam giác DBC cân tại D, cuối

cùng tìm cách chứng minh D ≡ H.

Bài 26. Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 20◦. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ các

tia Ax,Cy sao cho CAx = 20◦,CAy = 130◦. Gọi D là giao điểm của hai tia Ax và Cy. Tính ABD.

Hướng dẫn. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AD có chứa B vẽ tam giác đều ADE.

Bài 27. Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 40◦, đường cao AH. Các điểm E,F thứ tự thuộc các

đoạn thẳng AH,AC sao cho EBA = FBC = 30◦. Chứng minh rằng AE = AF .

Bài 28. Cho tam giác ABC cân có B = C = 50◦. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CAD = 30◦. Trên

cạnh AC lấy điểm E sao cho ABE = 30◦. Gọi I là giao điểm của AD và BE. Chứng minh rằng tam

giác IDE cân và tính các góc của tam giác đó.

Hướng dẫn. Trên nửa mặt phẳng bờ BC vẽ tam giác ABH đều sao cho A và H thuộc hai nửa mặt

phẳng bờ BC.

Bài 29. Cho tam giác ABC cân tại A có A = 40◦. Trên nửa mặt bờ BC không chứa điểm A, vẽ tia Bx

sao cho CBx = 10◦. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA. Tính BDC.

Hướng dẫn

Cách 1. Vẽ tam giác ABE đều sao cho E và C cùng phía đối với AB.

Cách 2. Vẽ tam giác ACM đều sao cho B và M cùng phía đối với AC.

Cách 3. Vẽ tam giác BCE đều sao cho E và A cùng phía đối với BC.

Bài 30. Điểm M nằm trong tam giác đều ABC sao cho MA : MB : MC = 3 : 4 : 5. Tính AMB.

Hướng dẫn. Đặt MA = 3a,MB = 4a,MC = 5a, sau đó ta có thể chọn một trong hai cách sau:

Cách 1. Vẽ tam giác MBK đều sao cho K và C khác phía đối với BM.

Cách 2. Vẽ tam giác AME đều sao cho E và C khác phía đối với AM.

Bài 31. Điểm M nằm bên trong tam giác vuông cân tại B sao cho MA : MB : MC = 1 : 2 : 3. Tính

AMB.

SỬ DỤNG MỘT TÍNH CHẤTCỦA TAM GIÁC CÂN ĐỂ GIẢI TOÁN

Tính chất. Trong tam giác cân ABC (AB = AC) thì

ABC = ACB =180◦− BAC

2

(=

B+ C2

).

Sau đây là một số ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ba cạnh BC,CA,AB.

Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng BAH = OAC.

8


Lời giảiA

B H C

O

Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác A

E KD

I

B C1

23

ABC nên OA = OB = OC.

Tam giác OBC cân tại O nên OBC =180◦− BOC

2.

Tam giác OAC cân tại O nên OAC =180◦− AOC

2.

Tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác đó, suy

ra

BAH = 90◦− ABC = 90◦−(

OBC+ OBA)

= 90◦−

(180◦− BOC

2+

180◦− AOB2

)

= 90◦−AOC

2=

180◦− AOC2

= OAC(= OCA

).

Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao BE,CF . Chứng minh rằng BEF = BCF .

Lời giảiA

B C

F

E

MTrên cạnh BC lấy điểm M sao cho MFB = MBF .

Lại có MFB+ MFC = 90◦;MBF + MCF = 90◦ nên MFC = MCF ,

suy ra MC = MF = MB.

Tương tự ME = MB = MC.

9


Do các tam giác MBF ,MEF và MCE cân tại M nên

MBF =180◦− BMF

2;

MEF =180◦− EMF

2;

MEC =180◦−CME

2.

Vậy

CBF + CEF = MBF + MEC+ MEF

=180◦− BMF

2+

180◦−CME2

+180◦− EMF

2= 90◦.

nên BEF = BCF .

Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B lấy điểm D sao cho

ADB = ACB. Chứng minh rằng BAC = BDC.

Lời giải. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC thì O nằm trong tam giác ABC và

OA= OB=OC. Do các tam giác OBC,OAC cân tại O nên OCB=180◦− BOC

2; OCA=

180◦− AOC2

.

Suy ra

ACB = OCA+ OCB =180◦− AOC

2+

180◦− BOC2

=AOB

2⇒ ADB =

AOB2

(1)

AD ≡ H

O

B CTrên tia OD lấy điểm H sao cho OH = OA. Khi đó

AHB = AHO− BHO =180◦− AOH

2−

180◦− BOH2

=AOB

2(2)

Từ (1) và (2) suy ra ADB = AHB nên H ≡ D. Từ đó OD = OA = OB = OC.

Tương tự ta có BAC =BOC

2; BDC =

BOC2

⇒ BAC = BDC.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại

D, cắt đường tròn tại E khác A. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

ADB.

Lời giải

10


A

K

O

BD

C

EGọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB. Trong tam giác KBD cân tại K ta có

KBD =180◦− BKD

2=

180◦−2BAD2

⇒ KBD = 90◦− BAD.

Lại có

EAB = EAC ⇒ EB_

= EC_

⇒ EAB = EBC

⇒ KBE = KBD+ EBC = 90◦− BAD+ BAD = 90◦ hay BE⊥KB,

suy ra BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADB.

Ví dụ 5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn bờ AB

kẻ các tiếp tuyến Ax,By.C là điểm nằm giữa A và O.M là điểm nằm trên nửa đường tròn (M khác A

và B). Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax tại P, đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt

By tại Q. Gọi D là giao điểm của CP và MA,E là giao điểm của CQ và MB. Chứng minh rằng đường

tròn ngoại tiếp tam giác MDP và đường tròn ngoại tiếp tam giác MEQ tiếp xúc với nhau.

Lời giải

x

y

P I

D

M

K

E

A C O BGọi I,K lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác MDP và MEQ.

Tam giác MKE cân tại K nên

KME =180◦− MKE

2=

180◦−2MQE2

= 90◦− MQE.

11


Tam giác MID cân tại I nên

IMD =180◦− MID

2=

180◦−2MPD2

= 90◦− MPD.

Tứ giác MPAC nội tiếp nên MCD = MAP, mà MBC = MAP (cùng chắn cung_

MA) suy ra MCD =

MBC ⇒ MCQ = MBQ.

Do đó tứ giác MCBQ nội tiếp, dẫn đến MQE = MBC. Từ đó

IMD+ DME + KME = 90◦− MPD+ 90◦+ 90◦− MQE

=270◦−(

MAC+ MBC)= 180◦ ⇒ IMK = 180◦.

Do đó ba điểm I,M,K thẳng hàng.

Vậy đường tròn tâm I và đường tròn tâm K tiếp xúc nhau tại M.

Bài tậpBài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Các tia phân giác của ABC và ACB cắt AC,AB theo thứ tự tại

F ,E. Chứng minh rằng EF//BC.

Bài 2. Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A lấy điểm D sao cho BFC +

BAC = 180◦. Chứng minh rằng BCA = BDA.

Bài 3. Cho góc xOy nhọn. Vẽ tia Oz nằm trong góc xOy sao cho xOz =yOz

2. Qua A trên tia Ox kẻ

AH vuông góc với Ox tại H.AH cắt Oz tại B. Trên tia Bz lấy điểm D sao cho BD = BA. Chứng minh

rằng tam giác AOD cân.

Bài 4. Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB,BC thứ tự lấy các điểm E,F sao cho AE =12

EB,BF =

12

FC. AF cắt CE tại I.BI cắt EF tại H. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.

Bài 5. Cho hình thang ABCD(AB//CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh

rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác OAB và OCD tiếp xúc nhau.

BÀI TOÁN TÍNH GÓC TỔNG QUÁT

Bài toán 1.

Cho 4ABC có BAC = ABC = α (30◦ < α < 60◦). M là điểm trong tam giác sao cho MAB =

30◦, MBA = 60◦−α . Tính số đo CMB.

Lời giải (h.1a)

D

A

M

C

B

A

BM

C

D

a) b)

12


Về cùng phía với 4ABC vẽ 4ABD đều. Khi đó

CDB = 30◦ = MAB, CBD = 60◦−α = MAB

nên ta có 4BAM =4BDC (g.c.g) suy ra BC = BM, mà CBM = 2α −60◦

nên suy ra CMB = (180◦−2α + 60◦) : 2 = 120◦−αHãy giải bài toán đã cho trong trường hợp α = 50◦

Bài toán 2.

Cho 4ABC có ABC = ACB = α > 60◦. M là điểm nằm khác phía A so với BC sao cho BCM =

150◦, CBM = α −60◦. Tính số đo AMC.

Lời giải (h.1b)

Về phía trong 4ABC, vẽ 4BCD đều. Khi đó ta có

ADB = 150◦ = BCM, ABD = α −60◦ = MBC

nên 4BDA =4BCM (g.c.g)⇒ BA = BM, mà

ABM = α +(α −60◦) = 2α −60◦

nên suy ra

AMB = [180◦− (2α −60◦)] : 2 = 120◦−α (1)

Mặt khác

BMC = 180◦− MBC− MCB = 180◦− (α −60◦)−120◦

= 90◦−α (2)

Từ (1), (2) có AMC = (120◦−α)− (90◦−α) = 30◦

Chú ý:

Với mọi giá trị của góc α > 60◦ thì giá trị của AMC luôn không đổi và bằng 30◦, mặt khác hai bài

toán trên có quan hệ với nhau.

Bài toán 3.

Cho 4ABC có BAC = α (30◦ < α < 60◦), ABC = 60◦+α . Trên tia phân giác của ACB lấy điểm M

sao cho BAM = 30◦. Tính số đo của BMC.

13


Lời giải (h.2a)

A E C

B

D M

A

BC F

D

E

a) b)Kéo dài CM cắt AB ở D. Khi đó ta có

BDC = BAC+ACB

2= α +

180◦−α −60◦−α2

= 60◦

Mà DAM = 30◦ nên 4DAM cân tại D.

Vẽ DE vuông góc với AM (E ∈ AC), suy ra

ADE = EDM = MDB = 60◦

Do đó ta có 4CDB =4CDE (g.c.g)⇒ DB = DE.

Từ đó dễ thấy ba tam giác ADE, MDE, MDB bằng nhau theo trường hợp (c.g.c).

Vì vậy BMD = BAC = α , hay BMC = 180◦−α .

Với α = 40◦ hãy giải bài toán: Cho 4ABC cân tại B, có ABC = 100◦. Trong tam giác lấy điểm M

sao cho MAC = 10◦, MCA = 20◦. Tính số đo BMC.

Bài toán 4.

Cho 4ABC có ABC = α , ACB = 60◦+α (α < 60◦). Trên các cạnh AB và BC lần lượt lấy các điểm

D và E sao cho ACD = 30◦+α , CAE = 90◦−3α2

. Tính số đo của CDE.

Lời giải (h.2b)

Dễ thấy BAC = 120◦−2α . Do đó

ADC = 180◦− BAC− ACD

= 180◦− (120◦−2α)− (30◦+α)

= 30◦+α = ACD

Vậy 4ACD cân tại A. Vẽ AF vuông góc với CD (F ∈ BC). Khi đó ta có

AFC = AFD = 180◦− FCA− FAC = 180◦− (60◦+α)− (60◦−α) = 60◦.

Do đó DFE = 60◦. Suy ra FE là phân giác ngoài của 4AFD (1)

Mặt khác có

EAB = BAC−CAE = 120◦−2α −

(90◦−

3α2

)= 30◦−

α2=

FAB2

nên AE là phân giác của FAD (2)

Từ (1), (2) suy ra DE là phân giác của FDB (3)

14


Vì ADF = ACF = 60◦+α nên FDB = 120◦−α , do đó BDE = 60◦−α2

.

Vậy CDE = 180◦− ADC− BDE = 180◦− (30◦+α)−(

60◦−α2

)= 90◦−

α2

.

Với α = 20◦ ta có bài toán quen thuộc sau:

Cho 4ABC cân tại B, có ABC = 20◦. Trên các cạnh BA và BC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho

ACD = 50◦, CAE = 60◦. Tính số đo của AED.

Bài toán 5.

Cho 4ABC cân tại A có BAC = α , (60◦ < α < 120◦). Trong tam giác lấy điểm M sao cho MCB =

120◦−α , MBC = 90◦−α2

. Tính số đo của MAB.

Lời giải (h.3)

A

B C

M

PN

Trong 4ABC ta lấy các điểm N và P sao cho các tam giác ANB và APC tương ứng cân tại N và P, và

có các góc ở đáy bằngα2−30◦. Ta sẽ chứng minh P ≡ M.

Thật vậy, vì ABC = ACB = 90◦−α2

, nên

BCP = ACB− ACP = 90◦−α2−(α

2−30◦

)= 120◦−α = MCB

do đó tia CM trùng với tia CP (1)

Mặt khác

NAP = BAC− NAB− PAC = α −(α

2−30◦

)−(α

2−30◦

)= 60◦

và có AN = AP, nên 4ANP đều.Suy ra

AP = AN = NP = BN =CP.

Dễ thấy MN và BC có chung trục đối xứng là tia phân giác của BAC nên NM//BC, suy ra

NPB = PBC = NBP

mà

NBC = ABC− ABN = 90◦−α2−(α

2−30◦

)= 120◦−α

Vì vậy

PBC =NBC

2= 60◦−

α2= MBC.

do đó tia BP trùng với tia BM (2)

Từ (1), (2) suy ra P ≡ M.

Vậy MAB = PAB = 60◦+(α

2−30◦

)= 30◦+

α2

.

TÍNH SỐ ĐO GÓC

15


1. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnhhuyền.Bài toán 1. Tính các góc của 4ABC. Biết rằng đường cao AH và trung tuyến AM chia ABC thành ba

góc bằng nhau.

Lời giải (h.4a)

A

B H M C

K1 2 3

A

BC

H

E

F

N

123

Kb)a)

Vẽ MK⊥AC. 4ABM cân tại đỉnh A (đường cao AH đồng thời là đường phân giác) nên H là trung

điểm của BM.

HM =12

BM =14

BC

Từ 4AHM =4AKM suy ra HM = MK.

Vậy MK =14

BC, hay MK =12

MC.

Ta có MKC là tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền nên C = 30◦.

Từ đó tính được A = 90◦, B = 60◦.

4ABC đã cho có ba góc A = 90◦, B = 60◦, C = 30◦.

Bài toán 2. Cho 4ABC có ba góc nhọn. Về phía ngoài của 4ABC ta vẽ các tam giác đều ABE và

ACF. Gọi H là trực tâm của 4ABE, N là trung điểm của BC. Tính số đo FNH .

Lời giải (h.4b)

Trên tia đối của tia NH ta lấy điểm K sao cho NH = NK thì

4NBH =4NCK (c.g.c)⇒CK = BH = HA

Chú ý rằng

FAH = 60◦+ 30◦+ A < 180◦

C3 = HBN = B+ 30◦.

16


Suy ra

FCK = 360◦−(

C3 + C2 + C1

)

= 360◦−(

90◦+ B+ C2

)

= 90◦+ A = FAH;

AF =CF

Do đó 4AHF =4CKF (c.g.c)⇒ FH = FK nên 4FHK cân tại đỉnh F .

Mặt khác, do hai tam giác AHF và CKF bằng nhau nên AFH = CFK, mà AFC = 60◦ nên HFK =

60◦.

Vậy 4FHK đều. Suy ra HNF = 90◦, NHF = 60◦, NFH = 30◦.

2. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông cânBài toán 3. Cho 4ABC có ABC = 45◦, ACB = 120◦. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho

CD = 2CB. Tính số đo ADB.

Lời giải (h.5a)A

A

B BC CHD

D

K 2

222

1

11 1

1

a) b)

H

1

C1 và C2 là hai góc kề bù, mà C1 = 120◦ nên C2 = 60◦.

Vẽ DH⊥AC ta được 4HCD có CDH = 30◦ nên CH =12

CD; mà BC =12

CD nên 4CBH cân tại đỉnh

C.

Suy ra B2 = 30◦. Vậy 4HBD cân tại đỉnh H.

Ta có B1 = 15◦ và A1 = 15◦ nên 4HBA cân tại đỉnh H. Vậy 4HAD vuông cân ở H.

Từ đó ta tính được ADB = 45◦+ 30◦ = 75◦.

Bài toán 4. Cho 4ABC có BAC tù, đường cao AH, đường phân giác BD thỏa mãn AHD = 45◦. Tính

số đo ADB.

Lời giải (h.5b). Vẽ BK⊥AC. Xét 4ABH có BD là đường phân giác trong; HD là đường phân giác góc

ngoài tại đỉnh H nên AD là đường phân giác ngoài tại đỉnh A, suy ra A1 = A2.

Mà A1 = KBH (góc có cạnh tương ứng vuông góc) nên A1 = KBD+ B1 (1)

Mặt khác A2 = D1 + B2 (2)

Vì A1 = A2, B1 = B2 nên từ (1), (2) suy ra KBD = D1.

Do đó 4KBD vuông cân tại đỉnh K, suy ra KBD = ADB = 45◦.

3. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác đềuBài toán 5. Cho 4ABC vuông ở A và BAC = 75◦. Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho

BH = 2AC. Tính số đo BHC.

Lời giải (h.6a)

17


H

EK

A

B Ca)

A

B

C

K

E

b)Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A vẽ 4EBC thì E ở miền trong 4HBC.

Gọi K là trung điểm của BH. Ta có

KBE = 75◦−60◦ = 15◦ = ACB

KB = AC

EB = BC

Suy ra 4ABC =4KEB (c.g.c) nên EKB = BAC = 90◦.

Vì K là trung điểm của BH nên 4EHB cân tại E.

Vì EHB = EBH = 15◦ nên BEH = 150◦.

Ta có 4EHC =4EHB (c.g.c) vì

EH chung

BEH = CEH = 150◦

EB = EC

Suy ra BHE = CHE = 15◦ hay BHC = 30◦.

Bài toán 6. Cho 4ABC vuông cân ở đỉnh. Điểm E nằm trong tam giác sao cho EAC = ECA = 15◦.

Tính số đo AEB.

Lời giải (h.6b)

Trong 4ABC lấy điểm K sao cho KBA = KAB = 15◦ thì

4KAB =4EAC (c.g.c)⇒ AK = AE

Lại có KAE = 90◦−2 ·15◦ = 60◦.

Vậy 4KAE đều. Suy ra KAB = 150◦ = EKB.

Ta có 4BAK =4BEK (c.g.c) nên BEK = BAK = 15◦. Vậy BEA = 75◦.

4. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác cân có một góc đã biết số đoBài toán 7. Cho 4ABC có BAC = 50◦, ABC = 20◦. Trên đường phân giác BE của tam giác ta lấy

điểm F sao cho FAB = 20◦. Gọi N là trung điểm AF , EN cắt AB tại K. Tính số đo KCB.

Lời giải (h.7a)

18


2

C

A K B

FME

N

3

112

12

A

B CH

NK

JO

a) b)Giả sử CK cắt BE tại M. Ta có F2 = A1 + B1 = 30◦ (góc ngoài của 4FAB).

Từ A2 = 30◦ ⇒ F2 = A2. Suy ra 4EAF cân tại đỉnh E nên AEF = 120◦.

Trung tuyến EN là đường phân giác của 4EAF nên E1 = E2 = 60◦ từ đó E3 = 60◦

Ta có 4BEK =4BEC (g.c.g) vì

EB chung

E3 = E2 = 60◦

B1 = B2 = 10◦

⇒4BCK cân tại đỉnh B mà CBK = 20◦. Vậy

CKB = 80◦.

Bài toán 8. Cho 4ABC với ABC = ACB = 50◦, N là điểm thuộc miền trong của tam giác thỏa mãn

NBC = 10◦, NCB = 20◦. Tính số đo ANB.

Lời giải (h.7b). Đường cao AH của 4ABC cắt BN tại O; vẽ AK⊥BN và AK cắt CN tại J.

OBH = HAK = 10◦ (góc có cạnh tương ứng vuông góc).

HAC = 40◦ ⇒ KAC = 30◦, mà NCA = 30◦ nên 4JAC cân tại đỉnh J, suy ra JA = JC (1)

4OBC cân tại O vì OH là đường trung trực, do đó OCB = OBC = 10◦ suy ra OCA = OAC = 40◦.

Vậy 4OAC cân tại đỉnh O nên OA = OC (2)

Từ (1), (2) suy ra OJ là đường trung trực của AC và cũng là phân giác của AOC nên AOJ = JOC = 50◦

(3)

Vì NOC là góc ngoài của 4OBC nên NOC = 20◦. Từ đó và (3) có NOJ = 30◦

Do đó AON = 80◦, mà BNJ là góc ngoài của 4NBC nên BNJ = 30◦.

Vậy 4NOJ cân tại đỉnh J, mà JK là đường cao nên JK là đường trung trực của ON, hay AK là trung

trực của ON.

Do đó 4AON cân ở đỉnh A và ANB = AON = 80◦.

Bài tập

1. Cho 4ABC nhọn, ở miền ngoài của tam giác ta vẽ các tam giác đều ABC′ và ACB′. Gọi K và L theo

thứ tự là trung điểm của C′A và B′C. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM = 3MC. Tính số đo các góc

của 4KLM.

2. Cho 4ABD và 4CBD, hai điểm A và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BD. Biết BAC =

50◦, ABD = 60◦, CBD = 20◦, CDB = 30◦. Tính số đo các góc DAC và ADB.

3. Cho 4ABC cân ở đỉnh A, BAC = 20◦. Lấy các điểm M, N theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao

cho BCM = 50◦, CBN = 60◦. Tính số đo góc MNA.

19

bài tập nâng cao hình học 7

Documents