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V Tin Trnh Trng PTNK

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HNH BNH HNH

Hnh Bnh Hnh. Hnh bnh hnh l t gic c cc cnh i song song.

T gic ABCD l hnh bnh hnh / // /

AB CDAD BC

Tnh cht. Trong hnh bnh hnh: cc cnh i bng nhau, cc gc i bng nhau, hai ng cho ct nhau ti trung im mi ng.

Du hiu nhn bit hnh bnh hnh.

+ T gic c cc cnh i song song.

+ T gic c hai cnh i song song v bng nhau.

+ T gic c cc gc i bng nhau.

+ T gic c hai ng cho ct nhau ti trung im mi ng.

A. Cc v d

V d 1. Cho t gic ABCD, gi M, N, P, Q ln lt l trung im ca cc cnh AB, BC, CD, DA. T gic MNPQ l hnh g ? V sao ?

Gii.



Xt tam gic ABC ta c: M l trung im AB, N l trung im BC nn MN l

ng trung bnh ca tam gic ABC, suy ra 12

MN AC v / /MN AC . (1)

Xt tam gic DAC ta c: Q l trung im ca DA, P l trung im ca C nn QP l

ng trung bnh ca tam gic DAC, suy ra 12

PQ AC v / /PQ AC . (2)

T (1) v (2) ta suy ra / /MN PQ v MN PQ , do t gic MNPQ l hnh bnh hnh.

V d 2. Cho t gic ABC, gi E, F l trung im ca AB v CD; M, N, P, Q ln

lt l trung im cc on AF, CE, BF v DE. Chng minh rng MNPQ l hnh

bnh hnh.

Gii.

Xt tam gic DEC ta c:

Q l trung im ca DE; F l trung im ca DC nn QF l ng trung bnh ca

tam gic DEC, suy ra / /QF EC v 12

QF EC EN (v N l trung im EC) hay

/ /QF EN v QF EN nn t gic QFNE l hnh bnh hnh



EF ct QN ti trung im ca mi ng. Gi trung im l O. (1)

Tng t, xt tam gic ABF ta c:

E l trung im ca AB; M l trung im ca AF nn EM l ng trung bnh ca

tam gic ABF, suy ra / /EM BF v 12

EM BF PF (v P l trung im BF) hay

/ /EM PF v EM PF nn t gic EMFP l hnh bnh hnh

EF ct PM ti trung im ca mi ng v v O l trung im EF nn O cng

l trung im PM (2)

T (1) v (2) ta suy ra PM ct QN ti trung im O ca mi ng nn t gic

MNPQ l hnh bnh hnh.

V d 3. Cho hnh bnh hnh ABCD. Gi I, K theo th t l trung im ca CD, AB. ng cho BD ct AI, CK theo th t M, N. Chng minh

a) / /AI CK b) DM MN NB

Gii.

a) Chng minh AI // CK.

V K l trung im ca AB nn 12

AK AB



I l trung im ca CD nn 12

CI CD

V ABCD l hnh bnh hnh nn AB = CD v AB // CD

AK CI v AK // CI,

t gic AICK l hnh bnh hnh / /AI CK

b)Xt tam gic DCN c MI // CN (do AI // CK) v I l trung im ca DC

MI l ng trung bnh ca tam gic DCN

M l trung im ca DN

DM MN .

Tng t, xt tam gic ABM c KN // AM (do AI // CK) v K l trung im ca AB

KN l ng trung bnh ca tam gic ABM

N l trung im ca BM

BN MN .

Vy ta c BN NM MD .

V d 4. Cho hnh bnh hnh ABCD trong c AD = 2AB. K CE vung gc vi

AB. Gi M l trung im ca AD, ni EM, k MF vung gc vi CE ti F; MF ct

BC ti N.

a) T gic MNCD l hnh g ? b)Tam gic EMC l tam gic g ?

c)Chng minh 2BAD AEM

Gii.



a)Ta c ; / / / /MN CE AB CE NM AB MN CD

m / /MD NC (ABCD l hnh bnh hnh)

MNCD l hnh bnh hnh.

b)V MNCD l hnh bnh hnh 1 12 2

CN DM AD CB

N l trung im ca CB.

Vy trong tam gic CBE th NF l ng trung bnh (ng thng song song vi y v i qua trung im mt cnh)

F l trung im CE

M MF vung gc vi CE ti F

MF l ng trung trc ca CE MC ME MCE cn.

c)Ta c: 2 2AEM EMF (v so le trong) EMC (v MCE cn) (*)

V AD = 2AB MN CD MD v NC CD

Do ta c MNC MDC (c - c - c ) NMC CMD

Do ta suy ra EMC NMD NCD BAD (**)

T (*) v (**) ta c 2AEM BAD



V d 5. Cho hnh thang vung ABCD, c = = 90o v AD = 2BC. K AH

vung gc vi BD (H thuc BD). Gi I l trung im ca HD. Chng minh rng:

CI AI.

Gii.

Gi J l trung im ca AH vi I l trung im ca HD IJ l ng trung bnh

ca tam gic AHD / /IJ AD v 12

IJ AD BC

/ /IJ BC v IJ BC

BCIJ l hnh bnh hnh / /BJ CI (1)

V / /IJ AD IJ AB

J l trc tm tam gic BAI BJ AI (2)

T (1) v (2) CI AI .

B. Bi Tp.

Bi 1. Cho tam gic ABC v O l mt im thuc min trong ca tam gic. Gi D,

E, F ln lt l trung im ca cc cnh AB, BC, CA v L, M, N ln lt l trung

A

B



im ca cc on OA, OB, OC. Chng minh rng: Cc on thng EL, FM v

DN ng qui.

Bi 2. Cho tam gic ABC nhn (AB < AC). Gi H l trc tm tam gic ABC, O l giao im 3 ng trung trc. Gi M l im i xng vi A qua O.

a) T gic BHCM l hnh g ? Gii thch? b) Gi N l hnh chiu vung gc ca O ln BC. Chng minh H, N, M thng hng. c) Gi G l trng tm tam gic ABC. Chng minh H, G, O thng hng.

Bi 3. Cho tam gic ABC cn ti A. Trn cnh AB ly im D, trn tia i ca tia CA ly im E sao cho DB CE , BC ct DE F. Chng minh F l trung im ca DE.

Bi 4. Cho t gic ABCD c M l trung im cnh AB, N l trung im cnh CD, P l im thuc cnh BC PB PC , Q l im thuc cnh AD QA QD . Bit MPNQ l hnh bnh hnh, chng minh BC song song AD.

Bi 5. Cho hnh bnh hnh ABCD, gi d l ng thng qua A v khng ct on thng BD. Gi BB, CC, DD ln lt l khong cch th B, C, D n ng thng d ', ', 'B C D d . Chng minh ' ' 'BB DD CC .

Bi 6. Cho hnh bnh hnh ABCD, cc ng phn gic ca gc A v gc D ct nhau ti M, cc ng phn gic ca gc B v gc C ct nhau ti N. Chng minh MM // AB.

Bi 7. Cho tam gic ABC u. D l im thuc cnh AC. ng thng qua D v vung gc vi AB ct ng thng v t C vung gc vi BC ti E. Gi M l trung im ca on AD. Tnh MBE .

Bi 8. Cho hnh bnh hnh ABCD. Cc im E, F thuc ng cho AC sao cho AE EF FC . Gi M l giao im ca BF v CD, N l giao im ca DE v AB. Chng minh

a) M, N ln lt l trung im ca CD v AB. b) EMFN l hnh bnh hnh.



Bi 9. Cho tam gic ABC. Gi N, P, Q ln lt l trung im ca AB, BC, CA v I, J, K ln lt l trung im ca cc on NP, BP, NC. Chng minh t gic IJKQ l hnh bnh hnh.

Bi 10. Cho tam gic ABC c 060BAC . Dng v pha ngoi tam gic ABC hai tam gic u ABD v ACE. Ly AD v AE lm hai cnh dng hnh bnh hnh ADEF. Chng minh tam gic FBC u.

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