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HNH BNH HNH
Hnh Bnh Hnh. Hnh bnh hnh l t gic c cc cnh i song song.
T gic ABCD l hnh bnh hnh / // /
AB CDAD BC
Tnh cht. Trong hnh bnh hnh: cc cnh i bng nhau, cc gc i bng nhau, hai ng cho ct nhau ti trung im mi ng.
Du hiu nhn bit hnh bnh hnh.
+ T gic c cc cnh i song song.
+ T gic c hai cnh i song song v bng nhau.
+ T gic c cc gc i bng nhau.
+ T gic c hai ng cho ct nhau ti trung im mi ng.
A. Cc v d
V d 1. Cho t gic ABCD, gi M, N, P, Q ln lt l trung im ca cc cnh AB, BC, CD, DA. T gic MNPQ l hnh g ? V sao ?
Gii.
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Xt tam gic ABC ta c: M l trung im AB, N l trung im BC nn MN l
ng trung bnh ca tam gic ABC, suy ra 12
MN AC v / /MN AC . (1)
Xt tam gic DAC ta c: Q l trung im ca DA, P l trung im ca C nn QP l
ng trung bnh ca tam gic DAC, suy ra 12
PQ AC v / /PQ AC . (2)
T (1) v (2) ta suy ra / /MN PQ v MN PQ , do t gic MNPQ l hnh bnh hnh.
V d 2. Cho t gic ABC, gi E, F l trung im ca AB v CD; M, N, P, Q ln
lt l trung im cc on AF, CE, BF v DE. Chng minh rng MNPQ l hnh
bnh hnh.
Gii.
Xt tam gic DEC ta c:
Q l trung im ca DE; F l trung im ca DC nn QF l ng trung bnh ca
tam gic DEC, suy ra / /QF EC v 12
QF EC EN (v N l trung im EC) hay
/ /QF EN v QF EN nn t gic QFNE l hnh bnh hnh
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EF ct QN ti trung im ca mi ng. Gi trung im l O. (1)
Tng t, xt tam gic ABF ta c:
E l trung im ca AB; M l trung im ca AF nn EM l ng trung bnh ca
tam gic ABF, suy ra / /EM BF v 12
EM BF PF (v P l trung im BF) hay
/ /EM PF v EM PF nn t gic EMFP l hnh bnh hnh
EF ct PM ti trung im ca mi ng v v O l trung im EF nn O cng
l trung im PM (2)
T (1) v (2) ta suy ra PM ct QN ti trung im O ca mi ng nn t gic
MNPQ l hnh bnh hnh.
V d 3. Cho hnh bnh hnh ABCD. Gi I, K theo th t l trung im ca CD, AB. ng cho BD ct AI, CK theo th t M, N. Chng minh
a) / /AI CK b) DM MN NB
Gii.
a) Chng minh AI // CK.
V K l trung im ca AB nn 12
AK AB
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I l trung im ca CD nn 12
CI CD
V ABCD l hnh bnh hnh nn AB = CD v AB // CD
AK CI v AK // CI,
t gic AICK l hnh bnh hnh / /AI CK
b)Xt tam gic DCN c MI // CN (do AI // CK) v I l trung im ca DC
MI l ng trung bnh ca tam gic DCN
M l trung im ca DN
DM MN .
Tng t, xt tam gic ABM c KN // AM (do AI // CK) v K l trung im ca AB
KN l ng trung bnh ca tam gic ABM
N l trung im ca BM
BN MN .
Vy ta c BN NM MD .
V d 4. Cho hnh bnh hnh ABCD trong c AD = 2AB. K CE vung gc vi
AB. Gi M l trung im ca AD, ni EM, k MF vung gc vi CE ti F; MF ct
BC ti N.
a) T gic MNCD l hnh g ? b)Tam gic EMC l tam gic g ?
c)Chng minh 2BAD AEM
Gii.
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a)Ta c ; / / / /MN CE AB CE NM AB MN CD
m / /MD NC (ABCD l hnh bnh hnh)
MNCD l hnh bnh hnh.
b)V MNCD l hnh bnh hnh 1 12 2
CN DM AD CB
N l trung im ca CB.
Vy trong tam gic CBE th NF l ng trung bnh (ng thng song song vi y v i qua trung im mt cnh)
F l trung im CE
M MF vung gc vi CE ti F
MF l ng trung trc ca CE MC ME MCE cn.
c)Ta c: 2 2AEM EMF (v so le trong) EMC (v MCE cn) (*)
V AD = 2AB MN CD MD v NC CD
Do ta c MNC MDC (c - c - c ) NMC CMD
Do ta suy ra EMC NMD NCD BAD (**)
T (*) v (**) ta c 2AEM BAD
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V d 5. Cho hnh thang vung ABCD, c = = 90o v AD = 2BC. K AH
vung gc vi BD (H thuc BD). Gi I l trung im ca HD. Chng minh rng:
CI AI.
Gii.
Gi J l trung im ca AH vi I l trung im ca HD IJ l ng trung bnh
ca tam gic AHD / /IJ AD v 12
IJ AD BC
/ /IJ BC v IJ BC
BCIJ l hnh bnh hnh / /BJ CI (1)
V / /IJ AD IJ AB
J l trc tm tam gic BAI BJ AI (2)
T (1) v (2) CI AI .
B. Bi Tp.
Bi 1. Cho tam gic ABC v O l mt im thuc min trong ca tam gic. Gi D,
E, F ln lt l trung im ca cc cnh AB, BC, CA v L, M, N ln lt l trung
A
B
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im ca cc on OA, OB, OC. Chng minh rng: Cc on thng EL, FM v
DN ng qui.
Bi 2. Cho tam gic ABC nhn (AB < AC). Gi H l trc tm tam gic ABC, O l giao im 3 ng trung trc. Gi M l im i xng vi A qua O.
a) T gic BHCM l hnh g ? Gii thch? b) Gi N l hnh chiu vung gc ca O ln BC. Chng minh H, N, M thng hng. c) Gi G l trng tm tam gic ABC. Chng minh H, G, O thng hng.
Bi 3. Cho tam gic ABC cn ti A. Trn cnh AB ly im D, trn tia i ca tia CA ly im E sao cho DB CE , BC ct DE F. Chng minh F l trung im ca DE.
Bi 4. Cho t gic ABCD c M l trung im cnh AB, N l trung im cnh CD, P l im thuc cnh BC PB PC , Q l im thuc cnh AD QA QD . Bit MPNQ l hnh bnh hnh, chng minh BC song song AD.
Bi 5. Cho hnh bnh hnh ABCD, gi d l ng thng qua A v khng ct on thng BD. Gi BB, CC, DD ln lt l khong cch th B, C, D n ng thng d ', ', 'B C D d . Chng minh ' ' 'BB DD CC .
Bi 6. Cho hnh bnh hnh ABCD, cc ng phn gic ca gc A v gc D ct nhau ti M, cc ng phn gic ca gc B v gc C ct nhau ti N. Chng minh MM // AB.
Bi 7. Cho tam gic ABC u. D l im thuc cnh AC. ng thng qua D v vung gc vi AB ct ng thng v t C vung gc vi BC ti E. Gi M l trung im ca on AD. Tnh MBE .
Bi 8. Cho hnh bnh hnh ABCD. Cc im E, F thuc ng cho AC sao cho AE EF FC . Gi M l giao im ca BF v CD, N l giao im ca DE v AB. Chng minh
a) M, N ln lt l trung im ca CD v AB. b) EMFN l hnh bnh hnh.
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Bi 9. Cho tam gic ABC. Gi N, P, Q ln lt l trung im ca AB, BC, CA v I, J, K ln lt l trung im ca cc on NP, BP, NC. Chng minh t gic IJKQ l hnh bnh hnh.
Bi 10. Cho tam gic ABC c 060BAC . Dng v pha ngoi tam gic ABC hai tam gic u ABD v ACE. Ly AD v AE lm hai cnh dng hnh bnh hnh ADEF. Chng minh tam gic FBC u.