balktutorial 2 kn a c e fsfs b dhdh dvdv f s ·cos 71,6° f s ·sin 71,6° 740 400 280

Balktutorial

2 kN

A

C

E

Fs

B

DH

DV

Fs·cos 71,6°

Fs·sin 71,6°

740

400

28

0

Balktutorial Het maken van een sterkteberekening

Tabel steunpuntsreacties

A

HA

VA

MA

B

HB

VB

Fk

of:

2 onbekenden

3 onbekenden 1 onbekende

rol-oplegging

A

A

VA

scharnierende staaf, of kabel/ketting

VA

steunpunt (poot) op glad oppervlak

A

rechtgeleiding

B

MB

VB

scharnier

inklemming


Gebruik van de tabel

• Wanneer je gevraagd wordt een VLS te tekenen doe je het volgende:

– je laat de ondersteuning of inklemming weg

– je tekent daarvoor in de plaats de van toepassing zijnde blauwe pijlen

• De blauwe pijlen stellen de onbekende steunpuntsreacties voor. Dit kunnen

reactiekrachten en/of reactiemomenten zijn.

• Vervolgens stel je de drie evenwichtsvergelijkingen op. Hiermee kun je de

onbekende steunpuntsreacties oplossen.


Toelichting inklemming

A

3 onbekenden

inklemming

Een inklemming oefent op de balk twee onbekende reactiekrachten en één onbekend reactiemoment uit.

Voor het eindresultaat maakt het niet uit:

1. hoe de stand van de balk is;

2. hoe de stand van de pijlen t.o.v. de balk is (zolang ze maar onderling loodrecht zijn)

3. welke richtingen je aanneemt (al bestaat de kans dat achteraf blijkt dat je ze “verkeerd-om” hebt aangenomen);

4. of je de reactiekrachten “trekkend” of “ duwend” tekent.

HA

VA

MA

HA

VA

MA

ook goed:

naar tabel


Herkennen van een inklemming In de praktijk kan een inklemming op verschillende manieren zijn uitgevoerd.

naar tabel

1. ingemetseld

3. gelijmd 4. één geheel met weggedacht linkerdeel

2. gelast

A

A A

A


Toelichting rol-oplegging

1. Een roloplegging oefent op de balk één

onbekende reactiekracht uit.

2. Deze reactiekracht staat altijd loodrecht op het

oppervlak waarover gerold kan worden. Dus

niet de stand van de balk, maar de stand van

het roloppervlak is van belang!

3. Een “schuin roloppervlak” oefent dus een

“schuine reactiekracht” op de balk uit.

Deze kun je het beste gelijk in een horizontale

en een verticale component ontbinden. Deze

zijn natuurlijk niet onafhankelijk van elkaar,

maar componenten van één en dezelfde

onbekende reactiekracht.

naar tabel

C HC

1

A

VA

2

A

FAVA

HA

3


Toelichting scharnierB

HB

VB

1. Een scharnierverbinding oefent op een

balk een onbekende horizontale

reactiekracht en een onbekende

verticale reactiekracht uit.

2. De hoek van de balk is niet van belang,

de reactiekrachten blijven horizontaal

en verticaal.

3. De reactiekrachten werken ook op een

balk die met een scharnier aan een

andere balk is bevestigd. De werking is

vice versa. Wegens actie = reactie zijn

de corresponderende krachten even

groot en tegengesteld gericht.

C

HC

VC

EHE

VE

HE

VE

1

2

3


Toelichting scharnierende staaf (1) Hoe herken je een staaf?

1. Onder een staaf wordt verstaan een constructie-element dat:

• aan beide uiteinden scharnierend verbonden is,

• maar niet op plekken tussen scharnierpunten belast wordt, (1b is geen staaf)

• een element (1c) met een aanzienlijk eigen gewicht mag dus niet als een staaf worden beschouwd.

2. Een kabel of ketting bestaat uit een rij scharnieren en gedraagt zich dus als een scharnierende staaf.

1a 1b

21c

m=100 kg/m

F=981 N/m


Toelichting scharnierende staaf (2)

De reactiekrachten op een staaf:

1. liggen altijd in het verlengde van de staaf,

2. zijn even groot maar tegengesteld gericht – ze moeten immers voor evenwicht zorgen.

3. hetzelfde geldt voor een kabel of ketting, met dien verstande dat op een kabel of ketting alleen trekkrachten kunnen werken – nooit drukkrachten.

1

2 3


Toelichting steunpunt op glad oppervlak

1. Een glad oppervlak (bijv. een gladde muur)

oefent op een balk één onbekende

reactiekracht uit.

2. Een glad steunpunt gedraagt zich in feite

hetzelfde als een rol-oplegging.

3. De reactiekracht staat altijd loodrecht op het

gladde oppervlak. Dus niet de stand van de

balk, maar de stand van het gladde

oppervlak is van belang!

4. Een schuine reactiekracht kun je het beste

in loodrechte componenten ontbinden.

naar tabel

CHC

1

A

VA

2

A

FAVA

HA

3

gla

d

glad

glad


Toelichting rechtgeleiding

1. Op een staaf in een rechtgeleiding

worden een onbekend reactiemoment en

een onbekende reactiekracht

uitgeoefend. De onbekende

reactiekracht staat loodrecht op de

geleidingsrichting.

2. Wanneer de geleidingsrichting niet

horizontaal of verticaal is, zal er een

“schuine reactiekracht” optreden. Deze

kun je het beste in een horizontale en

een verticale component ontbinden.

Deze componenten zijn uiteraard van

elkaar afhankelijk.

B

MB

VB

A

VA FA

HA

MA

2

1


opgave 1

9 kN

3,6 kN

3,6 kN

1,8 kN

B

0,4 0,4 0,4 0,40,2

Opdracht:

Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk.maten in m

A


opgave 1

9 kN

3,6 kN

3,6 kN

1,8 kN

A B

Bepaal de steunpuntskrachten op de volgende balk.

Gebruikte symbolen:

1. is een roloplegging, een scharnier dat gedragen

wordt door een karretje. Het karretje wordt geacht niet

los te kunnen komen van het vlak waar het op staat.

2. is een scharnierende oplegging.

Stap 1: Teken het VLS.

• Teken de balk los van zijn omgeving.

• Vervang de steunpunten door de bijbehorende onbekende steunpuntsreacties.

Welke dat zijn, vind je in de tabel.

0,4 0,4 0,4 0,40,2

9 kN

3,6 kN

3,6 kN

1,8 kN

A B

VA VB

HB

maten in m


opgave 1Stap 2: Stel de vergelijkingen voor krachtenevenwicht op.

Reken alle naar boven en naar rechts gerichte krachten positief. Reken alle naar onderen en links gerichte krachten negatief.

9 kN

3,6 kN

3,6 kN

1,8 kN

A B

VA VB

HB

maten in m

0 xF 0BH

0 yF 08,16,36,39 BA VV

kN 2,7 BA VV

Stap 3: Stel de vergelijkingen voor momentevenwicht op.

Kies een punt ten opzichte waarvan de krachten voor momentevenwicht moeten zorgen.

In dit geval is het handig om dit t.o.v. punt A te doen. Bereken de afstanden van de werklijnen tot A.

0,4 0,4 0,4 0,40,2

0,4

0,8

1,4

1,8

1,0

omrekenen naar


opgave 1

9 kN

3,6 kN

3,6 kN

1,8 kN

A B

VA VB

HB

maten in m

0,4

0,8

1,4

1,8

1,0

(vervolg stap 3)

0 AM

008,1

4,18,10,16,38,06,34,090

BB

A

HV

V

Werkwijze:

We rekenen alle momenten linksom positief. Een momentenvergelijking heeft altijd de volgende vorm:

0332211 armFarmFarmF

Hierin zijn , , enz. alle krachten (inclusief onbekende steunpuntsreacties) die in het VLS voorkomen. Krachten waarvan de arm gelijk is aan nul mag je natuurlijk gelijk weglaten. In deze opgave zijn dat VA en HB.

1F 2F


opgave 1

9 kN

3,6 kN

3,6 kN

1,8 kN

A B

VA VB

HB

maten in m

0,4

0,8

1,4

1,8

1,0

(overgenomen van vorige slide)

0 AM

008,1

4,18,10,16,38,06,34,090

BB

A

HV

V

kN 1 08,18,1 BB VV

Vereenvoudiging levert:

Eerder vonden we:

BABA VVVV 2,7 kN 2,7

Dus:

kN 2,612,7 AV

Nu zijn alle drie de steunpuntsreacties bekend. We hebben dus aan de opdracht voldaan.


opgave 2

6 kN

0,2 0,2 0,1

B

0,1 0,4

4 kN

4 kN

20 kN

A

Opdracht:

Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk.

Gebruikte symbolen:

betekent dat de balk scharnierend wordt

ondersteund. De balk zélf is één geheel en bevat

geen scharnier!

maten in m


opgave 2

6 kN

B

4 kN

4 kN

20 kN

A

We beginnen weer met het tekenen van een VLS. Vervang de ondersteuningen door de juiste onbekende steunpuntskrachten met behulp van de tabel.

We nemen voor de verandering nu eens aan dat reactiekracht VA naar beneden gericht is. Uit de

berekening moet blijken of deze aanname juist is.

Verder rekenen we de maten weer om, zodat ze beginnen bij punt A.

0,2 0,2

0,3

0,4

0,8

VA VB

HB

0,2 0,2 0,1 0,1 0,4

omrekenen naarVuistregels

Als punt ten opzichte waarvan je de momenten

berekend kun je het beste kiezen:

1. Het punt waar (de werklijnen van) zoveel mogelijk

onbekende reactiekrachten door gaan;

2. Als er meerdere punten voldoen aan vuistregel

(1), kies hieruit dan het punt waardoor daarnaast

nog zoveel mogelijk bekende krachten gaan.

maten in m


opgave 2

6 kN

B

4 kN

4 kN

20 kN

A

We stellen de drie evenwichtsvergelijkingen op:

VA VB

HB

0 xF 0BH

0 yF 020464 BA VV

kN 26 AB VV

0 AM08,04,020

3,042,062,04

BV0,2 0,2

0,3

0,4

0,8

maten in m

kN 375,9

08,05,7

B

B

V

V

kN 625,1626375,926 BA VV

Het minteken wijst er op dat we VA “verkeerd-

om” hebben aangenomen. De kracht zal dus naar boven zijn gericht, i.p.v. naar onderen.


opgave 3

1 2,5

BA

q = 8 kN/m

10 kN

Opdracht:


Toelichting op de belasting

1. In deze opgave komt een gelijkmatig verdeelde

belasting q voor. In de praktijk kan deze

veroorzaakt worden door bijv. een laag sneeuw,

maar ook door het eigen gewicht van een

constructie-element.

2. De grootte van een gelijkmatig verdeelde

belasting wordt uitgedrukt in N/m of kN/m. Dit

laatste staat voor “kN per strekkende meter”.

3. Voor een berekening van steunpuntskrachten

mag de verdeelde belasting worden vervangen

door een normale kracht (een “puntlast”).

4. De grootte van deze puntlast is q·L, waarin q de

belasting per meter is en L de lengte waarover de

belasting werkt.

5. De vervangende puntlast grijpt aan op de helft

van de lengte L.


opgave 3

1 L=2,5

BA

q = 8 kN/m

10 kN

De eerste stap in dit soort opgaven is om de verdeelde belasting te vervangen door een equivalente (gelijkwaardige) puntlast.

BA

F=20 kN

10 kN

kN 205,28 LqF

2,25

3,5

1,25

De gevonden puntlast grijpt halverwege het “pijlenblok” aan.

We berekenen verder de afstanden van de krachten tot de inklemming.


opgave 3

Vervolgens vervangen we inklemming door de bijbehorende reactiekrachten en het bijbehorende reactiekoppel. (zie de tabel)

B

F=20 kN

10 kN

2,25

3,5

We komen nu weer op bekend terrein. De volgende stap bestaat uit het opstellen van de drie evenwichtsvergelijkingen.

HAMA

VA

0 xF 0AH

0 yF

kN 10

01020

A

A

V

V


opgave 3

Bij het opstellen van de momentvergelijking rijst de vraag hoe we het moment van het reactiekoppel MA in rekening moeten brengen.

Geldt hier ook zoiets als “kracht x arm”?

We moeten ons hier realiseren dat de draaipijl hier in feite staat voor twee krachten die even groot, parallel en tegengesteld gericht zijn.

Een koppel bestaande uit twee krachten F heeft een moment gelijk aan F maal de onderlinge afstand.

Bij het opstellen van de momentvergelijking zijn we alleen geïnteresseerd in momenten van krachten en momenten van koppels. Bij momenten van krachten moeten we elke keer “kracht x arm” berekenen. Bij momenten van koppels is dat al gebeurd, en het boeit verder weinig of een koppelmoment van 8 Nm nu ontstaan is door twee krachten van 4 N op 2 meter afstand, of door twee krachten van 20 N op 0,4 m afstand.

B

F=20 kN

10 kN

2,25

3,5

HAMA

VA

20 N

20 N

4 N

4 N

0,4

m 2 m


opgave 3

We nemen het koppelmoment dus gewoon als getalletje (of onbekende MA, zoals hier) op in de vergelijking.

Rest nog de vraag of de plaats waar het koppel aangrijpt nog iets uitmaakt. Het antwoord is nee!

Zie hiervoor verder de theorieslides van les 1.B

F=20 kN

10 kN

2,25

3,5

HAMA

VA

0 AM

kNm 10

05,31025,220

A

A

M

M


opgave 4

10 kN

A B

0,4 0,2 0,2

40 kN/m

maten in m

Opdracht:



opgave 4

10 kN

A B

0,4 0,2 0,2

40 kN/m

Ook hier moeten we de verdeelde belasting eerst vervangen door een equivalente puntlast. Deze grijpt aan halverwege het pijlenblok, dus op 0,2 m rechts van A.

maten in m

10 kN

A

16 kN

0,2

0,6

0,8

VA VB

HB

0 xF 0BH

0 yF 01016 BA VV

BA VV 26

0 AM

kN 5,11

08,06,0102,016

B

B

V

V

kN 5,1426 BA VV


opgave 5

9 kN

A B

0,4 1,0

6 kN/m

0,4

9 kNm

Opdracht:

Bepaal de steunpuntskrachten op deze balk.maten in m


opgave 5

A B

6 kN/m9 kNm

Deze opgave behandelen we op dezelfde manier als opgave 4. Eerst vervangen we de verdeelde belasting weer door een equivalente puntlast.

9 kN 9 kNm

VA

HB

0,8*

0,4

0,9

1,8

VB

10,8 kN

maten in m

0 xF 0BH

0 yF 08,109 BA VV

BA VV 8,19

0 AM

kN 4,12

08,19,08,1094,09

B

B

V

V

kN 4,78,19 BA VV

0,4 1,00,4

9 kN

* De maat 0,8 geeft de plaats aan waar het koppel van 9 kNm aangrijpt. Deze maat is feitelijk onnodig. We gebruiken hem niet.

kN 8,108,16 LqF


Opdracht:


opgave 6

10 kN

40 kN/m

0,1 0,4 0,2 0,10,2

5 kN 5 kN

maten in m

BA


opgave 6

10 kN

40 kN/m

0,1 0,4 0,2 0,10,2

5 kN 5 kN

maten in m

10 kN

16 kN

5 kN 5 kN

0,1 0,2

0,6

0,9

0,8

VA

A B

VB

HB

0 xF 0BH

0 yF 0510165 BA VV

BA VV 16

0 AM

kN 5,6

09,058,0

6,0102,0161,05

B

B

V

V

kN 5,916 BA VV

kN 164,040 LqF


opgave 7

A B

3 kN/m

9 kN/m

3,0

Opdracht:



opgave 7

A B

9 kN/m

Hier zien we een verdeelde belasting die niet gelijkmatig is. De belasting verloopt van links 3 kN/m tot rechts 9 kN/m.

We kunnen deze belasting splitsen in een rechthoekig en een driehoekig deel.

Deze zijn als het ware op elkaar geplaatst, ofwel “gesuperponeerd”. Het driehoekige deel, dat verloopt van 0 kN/m tot 6 kN/m, is gesuperponeerd op een rechthoekig deel met een constante belasting van 3 kN/m.

We bepalen nu de equivalente puntbelastingen van het rechthoekige en het driehoekige deel.A B

3 kN/m

6 kN/m

3 kN/m


opgave 7

3,0

Driehoekig deel:

De puntbelasting komt overeen met de oppervlakte van de driehoek, in formulevorm:

A B

3 kN/m

6 kN/m

kN 93621

21 LqF

Deze puntlast grijpt aan op 1/3 L vanaf punt B, dus op 1 m links van punt B. Dit punt komt overeen met het zwaartepunt van een driehoek, dat op 1/3 van de hoogte ligt (waarbij we ons hoof even een kwartslag moeten draaien!)

1,0

9 kN

A B

6 kN/m

A B

is equivalent met


opgave 7

3,0

Rechthoekig deel:

De puntbelasting komt overeen met de oppervlakte van de rechthoek, in formulevorm:

A B

3 kN/m

6 kN/m

kN 933 LqF

Deze puntlast grijpt aan op de helft van het blok met pijlen, zoals we al eerder zagen.

1,5

3 kN/m

9 kN

A B

A B

is equivalent met


opgave 7

3,0

Na superpositie (“op-elkaar-plaatsing”) ontstaat een balk belast met de twee gevonden equivalente puntlasten.

1,5

3 kN/m

9 kN

A B

A B

superpositie levert

6 kN/m

A B

plus:

2,0

9 kN


opgave 7

3,0

We lossen deze opgave verder op de bekende manier op.

1,5

9 kN

2,0

9 kN

VB

HB

VA

0 xF 0BH

0 yF 099 BA VV

BA VV 18

0 AM

kN 5,10

03295,19

B

B

V

V

kN 5,718 BA VV


opgave 8

9 kN

A B

6 kN/m

0,80,2

Opdracht:



opgave 8

A B

6 kN/m

0,80,2

We berekenen eerst de equivalente puntlast.

kN 31621

21 LqF

Deze grijpt aan op 0,33 m afstand van punt C.

Vervolgens tekenen we het VLS en stellen de evenwichtsvergelijkingen op.

A B

VB

HB

VC

3 kN

0,467

0,8

0 xF 0BH

0 yF 03 BC VV

BC VV 3

0 AM

kN 75,1

08,0467,03

B

B

V

V

kN 25,13 BC VV


opgave 9

60°

30°

15°

40 kN

Opdracht:

Bepaal de steunpuntskrachten op de giek van de kraan.


opgave 9

60°

30°

15°

40 kN

kN 5,7155,0 LqG

60°

40 kN

We berekenen eerst de equivalente puntlast, als gevolg van het eigen gewicht van de verdeelde gewichtsbelasting.

7,5 kN


opgave 9We halen de constructie uit elkaar door hem te tekenen als twee VLS’en. Daarbij vormt de giek een apart VLS.

De kabel en de giek oefenen reactiekrachten op elkaar uit die gelijk zijn qua grootte maar tegengesteld gericht.

Een kabelkracht is (zie tabel) altijd gericht in de richting van de kabel.

Let op: de giek wordt tussen zijn scharnieren belast (nl. door zijn eigen gewicht) en voldoet niet aan de criteria van een staaf.

De reactiekracht in het onderste scharnier hoeft dus niet per se de richting van de giek te volgen, zoals de kabelkracht dat wel doet!

60°

30°

15°

40 kN

7,5 kN


opgave 9

60°

30°

15°40 kN

In de volgende stap schematiseren we de giek tot een lijn en voegen twee onafhankelijke scharnierkrachten (zie tabel) toe aan het onderste scharnier.

De hijsstang heeft zelf geen gewicht, dus oefent hij op de top een reactiekracht uit van 40 kN.

HA

VA

7,5 kN


opgave 9De kabelkracht Fk, die de richting van de kabel (30°+15°=45°) volgt, kunnen we het beste ook in een horizontale en een verticale component ontbinden.

Je ziet: het krachtenplaatje wordt steeds simpeler, en dat moet natuurlijk ook!

60°

45°

40 kN

HA

VA

HB

VB

60°

30°

15°40 kN

HA

VA

7,5 kN

FK

7,5 kN


opgave 9

60°

45°

40 kN

HA

VA

HB

VB

7,5 kN

Omdat de kabelkracht onder 45° met de horizontaal loopt, zullen HB en VB even groot zijn. In feite vormen ze samen één onbekende.

0 xF BA HH

0 yF 0405,7 BA VV

BA VV 5,47

0 AM

0135,75,74075,35,7 BB HV

BB VH

15

15 cos 60°= 7,5 m

60°15 sin 60°= 13 m

Aangezien

0135,75,74075,35,7 BB VV


opgave 10

9 kN

3,6 kN

3,6 kN

1,8 kN

B

0,4 0,4 0,4 0,40,2

Opdracht:

Deze opgave is een vervolg op opgave 1.

Bereken bij deze constructie de inwendige krachten en het inwendige moment ter plaatse van een doorsnede op 0,5 m rechts van het linkersteunpunt en 0,2 m links van het rechtersteunpunt.

maten in m

A

0,5 0,2

Aanwijzing

In deze opgave moeten we eerst de

steunpuntsreacties berekenen. Dit hebben we al

gedaan. Maak gebruik van de resultaten van

opgave 1.


opgave 10

0,4 0,4 0,4 0,40,2

We nemen de berekende steunpuntsreacties eerst over in de figuur. Verder geven we met de letters C en D aan waar we de inwendige krachten en het inwendige moment gaan berekenen.

maten in m

0,5 0,2

9 kN

3,6 kN

3,6 kN

1,8 kN

A B

6,2 kN 1 kN

C D

We kunnen voor het berekenen van de inwendige krachten in C in principe op twee manieren te werk gaan, namelijk door het tekenen van een VLS van balkdeel AC of van een VLS balkdeel CB.

Voor het gemak doen we het eerste.

We zien onmiddelijk (zo getraind zijn we onderhand wel) dat deel AC zó niet in evenwicht is.0,5

9 kN

A

6,2 kN

C

0,4


opgave 10

Logisch, want het weggelaten deel CB oefent krachten uit op AC. In feite hebben we hier te maken met een soort inklemming. De beide delen zijn zonder scharnier met elkaar verbonden.

(Zie ook herkennen van een inklemming)

We voegen dus twee krachten en een koppel toe aan het VLS.

Voor het gemak passen we hier de volgende kleurcodering toe voor de krachtpijlen.

maten in m

0,5

9 kN

A

6,2 kN

C

0,4

rood uitwendige belastingen

blauw reacties

groen inwendige krachten

VC

HC

MC


opgave 10 Met drie onbekenden is het vraagstuk verder zonder problemen op te lossen.

maten in m

0,5

9 kN

A

6,2 kN

C

0,4

VC

HC

MC

0 xF 0CH

0 yF 092,6 CV

kN 8,22,69 CV

0 AM

05,08,24,09

05,04,09

C

CC

M

MV

kNm 2,2CM

0,5

9 kN

A

6,2 kN

C

0,4

2,8 kN

2,2 kNmHet inwendige koppel was dus “verkeerd-om” aangenomen. De onderste figuur toont de juiste richting, met ingevulde getallen.


opgave 10

0,4 0,4 0,4 0,40,2

Voor het berekenen van de inwendige krachten in punt D volgen we dezelfde procedure.maten in m

0,5 0,2

9 kN

3,6 kN

3,6 kN

1,8 kN

A B

6,2 kN 1 kN

C D

0,2

B

1 kN

DVD

HD

MD

0 xF 0DH

0 yF 01 DV kN 1DV

0 DM 02,01 DM

kNm 2,0DM

Een min. Weer verkeerd gegokt!

Hiernaast de gecorrigeerde versie.B

1 kN

D1 kN

0,2 kNm

balktutorial 2 kn a c e fsfs b dhdh dvdv f s ·cos 71,6° f s ·sin 71,6° 740 400 280

Documents