barisan_deret_kul
TRANSCRIPT
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
1/79
05/12/15 Matematika 2 1
Barisan
Barisan Tak Hingga
Kekonvergenan barisan tak hinggaSifat sifat barisan
Barisan Monoton
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
2/79
Matematika 2 2
Barisan Tak Hingga
Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan
bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli
Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam
bentuk a1,a2,,an a1 menyatakan suku ke!, a2 menyatakan sukuke" dan anmenyatakan suku ken
Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana
daerah asalnya adalah bilangan asli #otasi barisan tak hingga
adalah
{ }=1nna
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
3/79
05/12/15 Matematika 2 3
Barisan Tak Hingga
Contoh contoh barisan
Barisan
Bisa dituliskan dengan rumus
Barisan
Bisa dituliskan dengan rumus
$enentuan antidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba
coba
...,8,6,4,2
{ }
=1nn2
...,6
4,
5
3,
4
2,
3
1
= + 1nn2n
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
4/79
05/12/15 Matematika 2 4
Kekonvergenan barisan
tak hinggaSuatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menu%u &, bila
atau
' untuk setiap epsilon positif terdapat # positif sedemikian hingga
untuk n lebih besar atau sama dengan #, selisih antara dan
& akan kurang epsilon(
Lalimnn
=
> La,Nn0N0 n
na
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
5/79
05/12/15 Matematika 2 5
Kekonvergenan barisan
tak hingga
Contoh 1
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Karena
maka divergen
=
+ 1n
2
1n
n
=+ 1n
nlim
2
n
=
+ 1n
2
1n
n
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
6/79
05/12/15 Matematika 2 6
Kekonvergenan barisan
tak hingga
Contoh 2
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk
menyelesaikannya digunakan teorema berikut )
Misal ,bila maka
untukx R.
=
1n
n
2
e
n
n
2
n e
nlim
( )nfan= ( ) Lxflim
x=
( ) Lnflim
n=
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
7/79
05/12/15 Matematika 2 7
Kekonvergenan barisan
tak hinggaJawaban (lanjtan!
*adi dan dengan menggunakan dalil &+hopital maka
Berdasarkan teorema maka
Karena nilai limitnya menu%u , maka
Konvergen menu%u
xx ex2lim=
( )x
2
e
xxf =
x
2
x e
xlim
0e
nlim
n
2
n=
=
1n
n
2
e
n
0e2lim xx ==
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
8/79
05/12/15 Matematika 2 "
Kekonvergenan barisan
tak hinggaContoh 3
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Bentuk dari suku suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda
akibat dari nilai cos n, untuk n gan%il tandanya , untuk n genap
tandanya - #ilai tidak ada tetapi minimal bernilai ! dan
maksimal bernilai ! Sedangkan akibatnya untuk nnilai
, akan mendekati nol *adi deret konvergen menu%u
=
1n
ncos
n
1
ncoslimn
0n
1lim
n=
ncos.n
1
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
9/79
05/12/15 Matematika 2 #
Sifat sifat barisan
Misal 'an( dan 'bn( barisan.barisan yang konvergen, dan k suatu
konstanta, maka
!"
/
0
1
kklimn =nnnn
alimkaklim
=
( ) nnnnnnn
blimalimbalim
=
( ) nnnnnnn
blimalimbalim
=
0blim,blim
alim
b
alim
nn
nn
nn
n
n
n=
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
10/79
05/12/15 Matematika 2 10
Barisan Monoton
Kemonotonan barisan 'an( dapat dikelompokkan
men%adi 0 macam )
! Monoton naik bila
" Monoton turun bila
/ Monoton tidak turun bila
0 Monoton tidak naik bila
1nn aa +
1nn aa +1nn
aa+
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
11/79
05/12/15 Matematika 2 11
Deret Tak Hingga
2eret tak hingga merupakan %umlahan dari yaitu a1+a2++an
#otasi deret tak hingga adalah
Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenanbarisan %umlahan parsial yaitu , ,dimana )
2an
{ }
=1nna
=1n na
nn
Slim
11 aS =
3213 aaaS ++=n321n
a...aaaS ++++=
212 aaS +=
{ } ....,S...,,S,SS k211nn =
=
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
12/79
05/12/15 Matematika 2 12
Deret Tak Hingga
Contoh
Selidiki apakah deret konvergen 3
Jawaban
Karena , maka adalah deret
konvergen yaitu konvergen menu%u ! $enentuan Sn dari suatu
deret %uga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba coba
+
= 1k
1
k
1
1k
1n
n
1n
11S
n +=
+=
11n
nlimSlim
nnn=
+
= 1k
1
k
1
1k +
=
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
13/79
05/12/15 Matematika 2 13
Deret Suku Positif
Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku.
sukunya positif Berikut ini adalah deret.deret suku positif yang
sering digunakan )
! 2eret geometri
" 2eret harmonis
/ 2eret.p
2eretp akan dibahas secara khusus dalam u%i integral
=1nn
a
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
14/79
05/12/15 Matematika 2 14
Deret Suku Positif
$eret %eometri
Bentuk umum )
$roses menentukan rumusan Snadalah sebagai berikut )
2ari rumusan tersebut diperoleh bah4a
sehingga untuk r ! Kekonvergenan dari deret
geometri bergantung pada nilai r
....... 1321
1
++++++=
=
nk
k
rarararaara
1n32
n ra...rararaaS +++++=
n1n32
n rara...rararaSr +++++=
n
nn
raaSrS
=( )r1
r1aS
n
n =
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
15/79
05/12/15 Matematika 2 15
Deret Suku Positif
$eret %eometri(lanjtan!
5da / kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret
geometri )
Bila r 6 1, maka Sn= nasehingga , sehingga deret
divergen
Bila 7 r 78!, maka , sehingga deret konvergen ke
Bila 7 r 7 9!, maka , sehingga deret divergen
=
nalimn
0rlim nn = r1
a
=
n
nrlim
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
16/79
05/12/15 Matematika 2 16
Deret Suku Positif
$eret harmonis
Bentuk umum )
:ntuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dariSnnya, yaitu
=1n n
1
n
1....8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11Sn +++++++++=
.....16
1....
9
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11 +
+++
++++
+++=
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
17/79
05/12/15 Matematika 2 17
Deret Suku Positif
$eret harmonis (lanjtan!
Karena, maka Sehingga deret harmonis divergen
2
1
....2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 +++++++++=
....16
1....
16
1
8
1
8
1
8
1
8
1
4
1
4
1
2
11S n2
+
+++
++++
+++>
=+ 2
n1lim
n
2
n1+=
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
18/79
05/12/15 Matematika 2 1"
Kedivergenan
Deret Tak Hingga
Bila deret konvergen, maka
kontraposisinya ;pernyataan lain yang sesuai < adalah
Bila ,maka deret akan divergen
Bila dalam perhitungan limit annya diperoleh nol,
maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu
dilakukan pengu%ian deret dengan u%i.u%i deret positif
=1nna 0alim n
n=
0alim nn
=1nna
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
19/79
05/12/15 Matematika 2 1#
Kedivergenan
Deret Tak Hingga
Contoh
$eriksa apakah konvergen 3
Jawaban
*adi divergen
n12
1limn +=
+
=1n 1n2
n
1n2
nlimalimn
nn +=
+
=1n 1n2
n
02
1=
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
20/79
05/12/15 Matematika 2 20
Uji Deret Positif
! :%i integral
" :%i Banding
/ :%i Banding limit
0 :%i =asio
1 :%i 5kar
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
21/79
05/12/15 Matematika 2 21
Uji Deret Positif
:%i integral
Misal merupakan deret suku positif dan monoton turun,
dimana , maka integral tak 4a%ar dari f(x)
adalah
Bila nilai limit dari integral tak 4a%ar tersebut tak hingga atau
tidak ada, maka deret divergen
Bila nilainya menu%u suatu nilai tertentu;ada
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
22/79
05/12/15 Matematika 2 22
Deret Suku Positif
Contoh 1& 'ji nte%ral $eret)*
+entk mm &
Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya %uga
merupakan deretp dengan p6! Kekonvergenan deret p akan
bergantung pada nilai p :ntuk menentukan pada nilai p berapa
deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak 4a%ar
yaitu
Misal maka
Selan%utnya nilai f;x
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
23/79
05/12/15 Matematika 2 23
Deret Suku Positif
$eret)* (lanjtan!
>ntegral tak 4a%ar dari f;x< adalah
Kekonvergenan deretp ini akan tergantung dari nilai integral tak 4a%ar
tersebut Bila integralnya konvergen maka deretnya %uga konvergen
Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya %uga
akan divergen
dx
x
1limb
1
b
=dx
x
1
1
b
1
1
b 1
xlim
=
1
1
1
blim
1
b
=
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
24/79
05/12/15 Matematika 2 24
Deret Suku Positif
$eret)* (lanjtan!
#ilai integral tak 4a%ar tersebut bergantung pada nilai p berikut )
Bila p 6 !, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen
Bila p1, maka ,
sehingga deret konvergen
( ) 1b b11
11lim =
=
11
1blim
1
b
11
1blim
1
b
11=
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
25/79
05/12/15 Matematika 2 25
Uji Deret Positif
?ontoh "Tentukan kekonvergenan deret
Jawaban
2eret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan u%i
integral yaitu )
Misal , maka
$erhitungan integral tak 4a%ar )
dxxlnx
1lim
b
2b =
=2n nlnn
1
( )nlnn
1nfan ==
xlnx
1!x"f =
dxxlnx
1
2
( ) ] ==
b2
bxlnlnlim
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
26/79
05/12/15 Matematika 2 26
Uji Deret Positif
Karena nilai limitnya menu%u tak hingga, maka integral
tak 4a%arnya divergen Sehingga deret %uga
divergen
=2n nlnn
1
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
27/79
05/12/15 Matematika 2 27
Uji Deret Positif
:%i Banding
Bila untuk n N, berlaku bnan maka
a Bila konvergen, maka %uga konvergen
b Bila divergen, maka %uga divergen
*adi pada u%i banding ini, untuk menentukan kekonvergenan
suatu deret, bila menggunakan sifat a maka deret
pembandingnya adalah yang bersifat konvergen
Sedangkan bila menggunakan sifat nomor " maka deret
pembandingnya adalah yang bersifat divergen
=1n nb
=1n na
=1nna
=1nnb
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
28/79
05/12/15 Matematika 2 2"
Uji Deret Positif
Contoh 1:%i kekonvergenan
Jawaban
2alam u%i banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih
yang paling mirip dengan deret yang akan diu%i
2apat dipilh sebagai deret pembanding
Karena dan merupakan deret
p yang divergen, maka disimpulkan deretnya %uga divergen
= +1n 2n1
=1n n3
1
=1n n3
1
n3
1
2n
1+
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
29/79
05/12/15 Matematika 2 2#
Uji Deret Positif
Contoh 2
:%i kekonvergenan
Jawaban
2engan u%i banding, digunakan deret pembanding ,
dimana Karena merupakan deret
konvergen, maka %uga konvergen
= +1n 2 5n3
=1n
2n
3
22 n
3
5n
3
+
=1n2n
3
= +1n 2 5n
3
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
30/79
05/12/15 Matematika 2 30
Uji Deret Positif
Contoh 3
:%i kekonvergenan
Jawaban
Karena untuk , maka deret pembanding yang
digunakan adalah Karena dan
merupakan deret konvergen, maka %uga konvergen
=
1
2
1
n n
n#$
2,
1
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
31/79
05/12/15 Matematika 2 31
Uji Deret Positif
:%i Banding &imit
Misal dan , merupakan deret suku positif dan
, berlaku
Bila 8 & 8 , maka kedua deret bersama.sama konvergen
atau bersama.sama divergen
Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka
%uga konvergen
Bila L = dan adalah deret divergen maka
%uga divergen
=1nna
=1nnb
n
n
n b
a
limL =
=1nnb
=1nna
=1nnb
=1nna
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
32/79
05/12/15 Matematika 2 32
Uji Deret Positif
Contoh 1
:%i kekonvergenan deret
Jawaban
2eret pembanding yang digunakan adalah dan
diketahui sebagai deret divergen ; sebagai
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
33/79
05/12/15 Matematika 2 33
Uji Deret Positif
Contoh 2
:%i kekonvergenan deret
Jawaban
2eret pembanding yang digunakan adalah dan
diketahui sebagai deret divergen ;deret harmonis
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
34/79
05/12/15 Matematika 2 34
Uji Deret Positif
'ji ,asio
Misal merupakan deret suku positif dan
maka berlaku
Bila 8!, maka deret konvergen
Bila 9!, maka deret divergen
Bila 6!, maka u%i gagal
=1n
na
n
1n
n a
alim +
=
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
35/79
05/12/15 Matematika 2 35
Uji Deret Positif
Contoh
:%i kekonvergenan deret
Jawaban
2engan u%i rasio diperoleh
Karena 6 8 ! , maka konvergen
=1
2
!i n
n
0n!1n"
!1n"lim
n
%n
%!1n"
!1n"lim
2
2
n2
2
n=
++
=++
=
=
n
1i
2
%n
n
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
36/79
05/12/15 Matematika 2 36
Uji Deret Positif
'ji -kar
Misal merupakan deret suku positif dan ,
maka berlaku
Bila r < 1, maka deret konvergen
Bila r > 1, maka deret divergen
Bila r = 1, maka u%i gagal
=1n
na n
nn
alimr
=
=1nna
=1n
na
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
37/79
05/12/15 Matematika 2 37
Uji Deret Positif
Contoh
:%i kekonvergenan deret
Jawaban
2engan u%i akar diperoleh
Karena , maka konvergen
=1
2
i
n
n
e
e
2
e
2limr n
n
n
n==
=
n
1i n
n
e
2
1e
2
r
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
38/79
05/12/15 Matematika 2 3"
Uji Deret Positif
$anduan $emilihan u%i deret
Bila deret suku berbentuk rasional ;fungsi polinom< maka
dapat dipilih ji ban.in% ata ji ban.in% limit
Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan
atau faktorial maka dipilih ji rasio ata ji akar *an%kat n
Bila u%i u%i diatas tidak dapat digunakan dan suku
sukunya monoton turun maka dapat dipilih ji inte%ral
-
7/23/2019 BARISAN_DERET_KUL
39/79
05/12/15 Matematika 2 3#
Deret Ganti Tanda
:%i.u%i kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk
mengu%i deret.deret positif Sedangkan untuk deret.deret yang
suku.sukunya berganti.ganti tanda, yaitu berbentuk
dengan an> 0 untuk semua n dilakukan u%i
tersendiri
#otasi deret ganti tanda adalah atau
2eret ganti tanda dikatakan konvergen, bila
a ;monoton tak naik