bases scientiﬁques pour le g´enie...

Bases Scientifiques pour le Genie Electrique

Licence Professionnelle Qualite et Maıtrise

de l’Energie Electrique

UFR Physique et Ingenierie

Universite de Strasbourg

Lycee Louis Couffignal

Edouard [email protected]

http://eavr.u-strasbg.fr/~laroche/student

2011–2012

Table des matieres

1 Generalites 7

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Les grandeurs electriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Les dipoles electriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.2 Resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.3 Inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.4 Capacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.5 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Le regime sinusoıdal monophase 13

2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Dipoles en regime sinusoıdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2 Inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.3 Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Relevement du facteur de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Notations de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.2 Impedance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.3 Puissance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Lois des reseaux electriques 19

3.1 Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Loi des nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.3 Theoreme de Millmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Sources equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.1 Modele de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.2 Modele de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Theoreme de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Resolution matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4.1 Vecteurs et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4.2 Resolution d’un systeme d’equations lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Le regime sinusoıdal triphase 27

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Couplage en etoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Couplage en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4 Equivalence triangle/etoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.5 Methode d’etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3

4 TABLE DES MATIERES

4.6 Regime desequilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.6.1 Les trois types de regime equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.6.2 Decomposition d’un systeme triphase desequilibre . . . . . . . . . . . . . 33

5 Regime harmonique 355.1 Decomposition en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.2 Fondement theorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.3 Proprietes de la decomposition en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . 375.1.4 Symetries et serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2 Puissance en non-sinusoıdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.1 Harmoniques de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.2 Harmoniques de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.3 Harmoniques de tension et de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2.4 Regime triphase equilibre avec harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2.5 Regime triphase desequilibre avec harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . 46

6 Regimes transitoires 496.1 Equation differentielle du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.1.1 Equation sans second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.1.2 Equation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.1.3 Methode de la variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2 Equation differentielle du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.2.1 Equation differentielle sans second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.2.2 Equation differentielle avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3 Determination par la transformee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3.1 Transformee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.3.2 Application a la determination du regime transitoire . . . . . . . . . . . . 55

7 Mesure 577.1 Mesures de tension et de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1.1 Les differentes technologies de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.1.2 Lecture sur un appareil analogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.1.3 Reduction du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.1.4 Sondes pour la visualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.2 Mesures de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.3 Incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.3.1 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.3.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.4 Techniques numeriques de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.4.1 Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.4.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8 Asservissement 638.1 Notion de systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.1.1 Proprietes relatives aux systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.1.2 Systeme du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.1.3 Systeme du deuxieme ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.2 Asservissement d’un systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.2.2 Performance des systemes asservis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2.3 Precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.2.4 Depassement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.2.5 Boucle ouverte ou boucle fermee ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

TABLE DES MATIERES 5

8.2.6 Exemples simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.3 Analyse harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.3.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.3.2 Representations frequentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.3.3 Criteres de stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.3.4 Synthese de correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A Rappels de Mathematiques 77A.1 Derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.1.1 Preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.1.2 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.1.3 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A.2 Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.2.2 Definition n 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.2.3 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.2.4 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.2.5 Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.2.6 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A.3 Trigonometrie et nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6 TABLE DES MATIERES

“Je ne connais rien de plus pratique qu’une bonne theorie.”(Citations de Pierre Thuillier)

Chapitre 1

Generalites

1.1 Introduction

Cet ouvrage aborde les connaissances scientifiques de base utiles pour traiter les problemes dequalite et de maıtrise de l’energie electrique. Plutot que de presenter un formulaire des differentsresultats a utiliser, le parti pris est de developper pas a pas les connaissances. En effet, le butd’une formation n’est pas seulement d’ingurgiter un certain nombre de contenus, mais d’abord dedevelopper les capacites intellectuelles et l’esprit d’analyse. Pour cela, il a ete choisi de presenterles resultats de maniere rigoureuse.

Pour profiter au mieux de cet ouvrage et reellement developper ses capacites d’analyse et dereflexion, il est necessaire de faire les exercices associes et de s’entraıner a refaire les calculs. L’en-traınement au calcul mathematique est aussi un objectif de cet enseignement. Il n’est neanmoinspas necessaire de s’attaquer d’un bloc a ce travail ; il peut s’averer preferable de commencer pars’impregner d’un chapitre en le lisant rapidement sans rentrer dans les calculs puis dans uneseconde etape, de le reprendre pas a pas en refaisant les calculs et en faisant les exercices.

1.2 Raisonnement

Les mathematiques sont un modele de rigueur en terme de raisonnement. La maıtrise destechniques de raisonnement s’avere utile dans des contexte d’argumentation. Ainsi, l’apprentis-sage des mathematiques et notamment la pratique des methodes de raisonnement, permet dedevelopper les capacites d’argumentation.

Introduisons d’abord la notion de proposition. Une proposition est un enonce dont on peutdire qu’il est soit vrai soit faux. Par exemple : “le ciel est bleu” ou “1 = 2”. On peut ensuitedeterminer la proposition inverse. Les propositions inverses des deux propositions precedentessont : “le ciel n’est pas bleu” et “1 6= 2”. Pour une proposition P, on note P la proposition inverse.

Dire qu’une premiere proposition P1 en implique une seconde P2 signifie que si P1 est vrai,alors P2 est egalement vrai. Le raisonnement par implication est le type de raisonnement le plusclassique. En partant de faits reconnus, on deduit au fur et a mesure de nouvelles propositionspour arriver a la proposition qui vous interesse.

Le raisonnement par l’absurde consiste a prouver qu’une proposition est vraie en montrantqu’elle ne peut etre fausse. Considerant un certain nombre d’hypothese reconnues et de donneesqui peuvent etre consideree comme une proposition P0 consideree comme vraie. Pour montrerqu’une proposition P1 est vraie, on suppose d’abord qu’elle est fausse. Si a partie de la, onparvient a prouver que P0 ne peut etre vraie (en partie), on aboutit a une incoherence. Celaprouve que l’hypothese “P1 fausse” est fausse, d’ou “P1 vraie”.

7

8 CHAPITRE 1. GENERALITES

Si une implication P1 ⇒ P2 est reputee vraie, alors la contraposee est egalement vraie,c’est-a-dire P2 ⇒ P1. Par exemple, considerons la proposition P1 : “x > 1” et P2 : “x > 0”.Les proposition inverses sont P1 : “x ≤ 1” et P2 : “x ≤ 0”. Il est evident que P1 ⇒ P2. On endeduit que x ≤ 0 ⇒ x ≤ 1. Ce resultat se demontre facilement par l’absurde. Considerons deuxpropositions P1 et P2 telles que P1 ⇒ P2. Considerons le cas ou P2 est fausse et montrons queP1 est necessairement fausse. Raisonnons par l’absurde et supposons que P1 est vraie. PuisqueP1 ⇒ P2 alors P2 est vraie, ce qui contredit l’hypothese de depart. Ainsi, P1 est necessairementvraie.

Deux propositions P1 et P2 sont equivalentes si P1 ⇒ P2 et P2 ⇒ P1. On peut dire aussiP1 ⇒ P2 et P1 ⇒ P2. Le raisonnement par equivalence permet de determiner des conditionsnecessaires et suffisantes. Par exemple, on peut determiner des conditions necessaires et suffi-santes permettant de remplir un cahier des charges. Cela signifie que la cahier des charges estrempli, mais qu’en plus, on ne peut trouver de solution moins couteuse permettant de remplirle cahier des charges.

Exercice 1 (Logique et mathematiques)Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses ?

1. Une condition suffisante pour que x soit negatif est que x soit inferieur a −1.

2. a ≤ 0 ⇒ a− 1 < 0

3. Les propositions suivantes sont equivalentes :

i. S’il fait chaud, alors je sors le transat.ii. S’il fait froid, alors je ne sors pas le transat.

Exercice 2 (Logique)

1. Donnez la contraposee de la proposition suivante : “Si la marge est superieure a 5 % alorsles benefices seront superieurs a 1000 Euros”.

1.3 Les grandeurs electriques

Lorsqu’on parle de signal, on fait reference aux variations d’une grandeur en fonction dutemps t (unite la seconde, notee s). Les signaux electriques sont la tension, notee u(t) ou v(t)(unite le Volt, note V) et le courant note i(t) ou j(t) (unite l’Ampere, note A). On travailleegalement sur la puissance p(t) = u(t)× i(t) (unite le Watt, note W=VA). Afin de presenter desdefinitions pour tout type de signal, on utilisera le signal x(t) qui prendra la place de n’importequel signal electrique.

La puissance p(t) est la derivee de l’energie electrique We(t) (en Joule, note J=Ws) recuepar le dipole :

p(t) =dWe(t)

dt(1.1)

Propriete 1 (Conservation de l’energie)L’energie absorbee par un systeme est egale a la somme de l’energie qu’il a dissipe et de l’energiequ’il a emmagasine.

La plupart du temps, on travaillera sur des signaux periodiques de periode T .

Definition 1 (Signal periodique)Un signal x(t) est periodique de periode T si x(t+ T ) = x(t) pour tout t. Sa frequence est alorsf = 1

T (en Hertz, note Hz).

1.3. LES GRANDEURS ELECTRIQUES 9

Propriete 2 (Calcul de l’integrale)L’integrale d’un signal periodique de periode T sur un intervalle de largeur egale a T est identiquequelque soit l’intervalle choisi. On note

∫

T x(t)dt cette integrale.

Pour un signal x(t) periodique de periode T , on definit la valeur moyenne et la valeur efficace.

Definition 2 (Valeur moyenne)La valeur moyenne de x(t) est le signal constant qui a la meme integrale sur une periode. Onnotera 〈x(t)〉 cette quantite.

Propriete 3 (Calcul de la valeur moyenne)

〈x(t)〉 = 1

T

∫

Tx(t)dt (1.2)

Definition 3 (Valeur efficace)La valeur efficace de x(t) est le signal constant dont le carre a la meme valeur moyenne quex2(t). On notera Xeff cette quantite. En regime alternatif, on notera generalement X la valeurefficace 1.

Propriete 4 (Calcul de la valeur efficace)

Xeff =√

〈x2(t)〉 (1.3)

Remarque 1 (Valeur RMS = valeur efficace)La valeur efficace est la racine carree de la moyenne du carre du signal, ce qui se dit en anglaisroot mean square et donne les initiales RMS couramment utilisees.

Propriete 5 (Valeur efficace nulle)Un signal qui a une valeur efficace nulle est nul a tout instant.

Definition 4 (Regime continu)Le regime continu est caracterise par des valeurs moyennes non-nulles. Dans ce cas, c’est auxvaleurs moyennes des signaux que l’on s’interesse.

Definition 5 (Regime alternatif)Le regime alternatif est caracterise par des valeurs moyennes nulles. Dans ce cas, c’est auxvaleurs efficaces que l’on s’interesse.

Definition 6 (Puissance moyenne)On appelle puissance moyenne (unite W) ou puissance active la valeur moyenne de la puissance :

P = 〈p(t)〉 . (1.4)

Definition 7 (Puissance apparente)La puissance apparente S (unite VA) est definie comme le produit des valeurs efficaces de latension et du courant :

S = UeffIeff (1.5)

La puissance apparente est superieure ou egale a la puissance moyenne. Le facteur de puis-sance Fp caracterise le rapport entre ces deux grandeurs :

FP = P/S (1.6)

Avec les conventions adequates, Fp est positif et on a 0 ≤ Fp ≤ 1. Un facteur de puissance prochede 1 (0,9 par exemple) correspond a une bonne utilisation de l’electricite alors qu’un facteur depuissance nul ou tres faible correspond a de la tension et du courant avec pas ou peu d’echanged’energie.

1. Vous prendrez soin de distinguer un signal, qui est une fonction du temps, de ses mesures de valeur moyenneou de valeur efficace.


Remarque 2On ne s’interesse jamais a la valeur efficace de la puissance. En effet, seule la puissance moyennea un sens physique. D’ailleurs, pour connaıtre l’energie transferee sur un intervalle de tempspar une ligne, il suffit de multiplier la puissance moyenne par la duree de l’intervalle.

Propriete 6 (La valeur moyenne est un operateur lineaire)Cela signifie que la valeur moyenne de la somme de deux signaux est la somme de leurs va-leurs moyennes et que la valeur moyenne d’un signal multiplie par une constante s’obtient enmultipliant la valeur moyenne du signal par cette meme valeur.

〈x(t) + y(t)〉 = 〈x(t)〉+ 〈y(t)〉 (1.7)

〈λx(t)〉 = λ 〈x(t)〉 (1.8)

Propriete 7 (La valeur efficace n’est pas un operateur lineaire)Pour la valeur efficace, seule la seconde propriete est valable. Si y(t) = λx(t), alors Yeff = λXeff

(avec λ ≥ 0).

Exercice 3 (Valeur moyenne et linearite)Demontrez la Propriete 6.

Exercice 4 (Valeur efficace et linearite)Demontrez la Propriete 7. Trouvez un contre-exemple simple prouvant que la valeur efficace dela somme de deux signaux n’est pas, generalement, la somme des valeurs efficaces des signaux.

Exercice 5 (Valeur moyenne et efficace d’un creneau)On considere le signal x(t) periodique de periode T egal a E sur [0 ; αT [ et a −E sur [αT ; T [avec 0 < α < 1. Determinez la valeur moyenne et la valeur efficace de ce signal.

Exercice 6 (Valeur moyenne d’une sinusoıde redressee)On considere le signal x(t) periodique de periode T/2 egal a X cos(ωt) sur [−T/4 ; T/4]. Determi-nez sa valeur moyenne.

Exercice 7 (Valeur efficace d’une sinusoıde)Determinez la valeur efficace de x(t) = X cos(ωt).

Exercice 8 (Puissance en sinusoıdal)Un dipole a a ses bornes la tension u(t) = U cos(ωt) et est parcouru par le courant i(t) =I cos(ωt− φ). Determinez sa puissance moyenne.

1.4 Les dipoles electriques

1.4.1 Conventions

En convention recepteur, la puissance calculee est la puissance fournie par le circuit et ab-sorbee par le dipole. Elle est globalement positive pour une charge et negative pour un generateur.En convention generateur, la puissance calculee est la puissance fournie par le dipole au circuit.Elle est globalement positive pour un generateur et negative pour une charge. Les conventionspeuvent etre choisies arbitrairement. Les lois de comportement des dipoles changent de signesuivant la convention choisie ; il est donc preferable de choisir la convention appropriee (recepteurpour une charge et generateur pour une source).

1.4. LES DIPOLES ELECTRIQUES 11

1.4.2 Resistance

Certains dipoles electriques ont la propriete d’avoir un signal de courant proportionnel ausignal de tension a tout instant. On appelle resistance (note R, d’unite l’Ohm Ω=V/A) lecoefficient de proportionnalite tel que u(t) = Ri(t) pour tout t. Notons qu’il s’agit d’une proprietemathematique qui, pour un systeme physique, ne correspondra qu’a une approximation de larealite, valable dans un certain domaine. Les dipoles couramment modelises par une resistancesont les rheostats (chauffage) et les lampes (du moins les ampoules a filament). En conventionrecepteur, la resistance est positive.

De maniere evidente, on montre que la loi de proportionnalite reste valable pour les valeursmoyennes et efficaces (〈u(t)〉 = R 〈i(t)〉 et Ueff = RIeff , cf. exercice 9).

La puissance s’ecrit p(t) = u(t)i(t) = Ri2(t) = 1Ru

2(t). La puissance moyenne s’ecrit P =R⟨

i2(t)⟩

= RI2eff ou P = 1R

⟨

u2(t)⟩

= 1RU

2eff . On comprend maintenant la notion de “valeur

efficace” : il s’agit de la valeur du courant (ou de la tension) qui, s’il traversait une resistance,produirait le meme echauffement.

Un cable cylindrique de section uniforme S (en m2) et de longueur l (en m), compose d’unmateriau de conductivite σ (en Ω−1m−1) a comme resistance :

R =l

σS. (1.9)

On utilise egalement la resistivite ρ = 1/σ (en Ωm). Les materiaux les plus conducteurs sont lecuivre et l’aluminium ; leur conductivite est de l’ordre de 108 Ω−1m−1.

Exercice 9 Montrez que 〈u(t)〉 = R 〈i(t)〉 et que Ueff = RIeff pour des signaux periodiquesquelconques.

1.4.3 Inductance

Certains dıpoles electriques ont la propriete d’avoir une tension proportionnelle a la deriveedu courant. On appelle inductance (notee L, d’unite le Henry, H=Vs/A) ce coefficient de pro-

portionnalite tel que u(t) = Ldi(t)dt . Les bobinages electriques sont modelises en premiere ap-

proximation par une telle inductance 2. En convention recepteur, l’inductance est positive.La puissance instantanee s’ecrit p(t) = u(t)i(t) = Ldi(t)

dt i(t). La quantite d’energie transfereeentre les instants t0 et t est :

∫ t

t0

p(τ)dτ =

∫ t

t0

Ldi(τ)

dti(τ)dτ (1.10)

=

[

1

2Li2(τ)

]τ=t

τ=t0

(1.11)

=1

2Li2(t)− 1

2Li2(t0) (1.12)

En considerant qu’a t0 le courant est nul (i(t0) = 0) et que cela correspond a un niveau d’energienul, on observe que l’energie transmise est WL(t) = 1

2Li2(t). Cette energie n’est pas dissipee

comme c’etait le cas pour la resistance ; elle est stockee et peut etre liberee par une diminution dei(t). Remarquons que le courant dans une inductance ne peut etre discontinu (cela correspondraita une tension infinie) ; place dans un circuit, une inductance a donc tendance a lisser le courantla traversant. En regime continu constant, l’inductance se comporte comme un court-circuit.

1.4.4 Capacite

La capacite est l’element dual de l’inductance : il suffit d’echanger les roles de la tension etdu courant. Ainsi, la capacite C correspond a une proportionnalite entre le courant et la derivee

2. Ce modele n’est pas valable en basse frequence et en regime continu ou l’effet de la resistance du circuit estpreponderant.


de la tension : i(t) = C du(t)dt (unite : le Farad note F=As/V). Les condensateurs sont des dipoles

dont le modele classique est un condensateur. Tout comme l’inductance, la capacite stocke del’energie : WC(t) =

12Cu2(t). La tension ne peut etre discontinue aux bornes d’une capacite a

moins d’un courant infini ; placee aux bornes d’un circuit, la capacite a donc tendance a diminuerles variations de tension a ses bornes. En convention recepteur, la capacite est positive. En regimecontinu constant, la capacite se comporte comme un circuit ouvert.

1.4.5 Sources

On distingue des sources de tension et de courant. Une source de tension a la proprieted’imposer la valeur de la tension a ses bornes quelque soit le courant qui la parcourt ; une tellesource ne peut etre mise en court-circuit sous risque de destruction. Une source de courant ala propriete d’imposer la valeur du courant la traversant, du moins tant que son circuit n’estpas ouvert. Les sources peuvent etre continues (constante ou non), alternatives (sinusoıdales ounon).

Exercice 10Un condensateur de capacite C est traverse par un courant periodique de periode T et de rapportcyclique α = 0, 75 egal a I sur [0 ; αT ] et egal a −I sur [αT ; T]. Le condensateur a une tensionnulle a t = 0. Les valeurs numeriques sont : I = 10 A, C = 1 mF et T = 10 µs.

1. Determinez l’allure de la tension aux bornes du condensateur.

2. Au bout de combien de temps est-ce que la tension atteint la valeur max Um = 50 V?

Chapitre 2

Le regime sinusoıdal monophase

2.1 Definition

Le regime sinusoıdal est un regime alternatif particulier ou l’ensemble des tensions et courantsont une allure sinusoıdale a une pulsation unique ω (en rad/s) :

u(t) = Um cos(ωt+ α) (2.1)

i(t) = Im cos(ωt+ β) (2.2)

Une fois choisie une reference des temps, chaque tension ou courant est determine par deuxgrandeurs : son amplitude et son dephasage a t = 0 (ou dephasage a l’origine).

Les valeurs efficaces des signaux sont U = Um√2

et I = Im√2. L’indication “eff” n’est plus

necessaire ; seule la valeur efficace etant importante en regime alternatif. On notera par la suiteles grandeurs :

u(t) = U√2 cos(ωt+ α) (2.3)

i(t) = I√2 cos(ωt+ β) (2.4)

La pulsation est liee a la frequence f par la relation ω = 2πf . Les deux frequences desreseaux electriques sont le 50 Hz present notamment en Europe et le 60 Hz utilise en Ameriquedu nord.

Un signal est en avance sur un autre si son dephasage a l’origine est plus important ; l’ondecorrespondante est alors decalee vers la gauche (vers les t negatifs).

2.2 Puissance

La puissance instantanee p(t) = u(t)i(t) peut s’ecrire p(t) = UI cos(α−β)+UI cos(2ωt+α+β). La puissance instantanee est donc la somme de deux termes : un terme constant UI cos(φ)ou φ = α− β est le dephasage de la tension par rapport au courant et un terme sinusoıdal a lapulsation 2ω.

La puissance moyenne est :

P = UI cos(φ) (2.5)

La puissance apparente est :

S = UI (2.6)

Le facteur de puissance est :

Fp = cos(φ) (2.7)

On definit une nouvelle forme de puissance : la puissance reactive Q (unite var pour Vol-Ampere reactif) :

Q = UI sin(φ) (2.8)

13

14 CHAPITRE 2. LE REGIME SINUSOIDAL MONOPHASE

On montre simplement que :

S2 = P 2 +Q2. (2.9)

En travaillant dans un repere ou l’axe des abscisses est gradue en P et l’axe des ordonnees estgradue en Q, on met en evidence le triangle des puissance dont les sommets sont les points decoordonnees (0,0), (P,0) et (P,Q) ou S est l’hypothenuse. Dans ce triangle, φ est l’angle entre lecote confondu avec l’axe des abscisses et l’hypothenuse.

Propriete 8 (Conservation de l’energie active)L’energie active totale absorbee par un circuit est egale a la somme des energies actives absorbeespar ses differents constituants.

En effet, du fait de la periodicite, il n’y a pas de variation d’energie stockee au bout d’uneperiode.

Propriete 9 (Conservation de l’energie reactive)L’energie reactive totale absorbee par un circuit est egale a la somme des energies reactivesabsorbees par ses differents constituants. Ce resultat est connu sous le nom de Theoreme deBoucherot.

Remarque 3 (Pas de conservation de la puissance apparente)De maniere generale, la puissance apparente absorbee par un circuit n’est pas egale a la sommedes puissances apparentes absorbees par ses differents composants.

2.3 Dipoles en regime sinusoıdal

2.3.1 Resistance

Pour une resistance R, la relation tension-courant implique :

U√2 cos(ωt+ α) = RI

√2 cos(ωt+ β) (2.10)

Or deux fonctions sinusoıdales de meme pulsation sont identiques si et seulement si leur ampli-tude et leur dephasage a l’origine sont identiques. Ce ne peut etre le cas que si :

U = RI (2.11)

α = β (2.12)

Le dephasage tension-courant est nul et on a : P = S = RI2 = U2/R, Q = 0 et Fp = 1. Laresistance consomme uniquement de l’energie active.

2.3.2 Inductance

Pour une inductance L, la relation tension-courant s’ecrit :

U√2 cos(ωt+ α) = LωI

√2 cos(ωt+ β +

π

2) (2.13)

Ce qui donne comme relation :

U = LωI (2.14)

α = β +π

2(2.15)

Le dephasage est φ = π2 (la tension est en avance de π/2 par rapport au courant) et on a : P = 0,

Q = S = LωI2 = U2/(Lω) et Fp = 0. L’inductance consomme uniquement de l’energie reactive.

2.4. RELEVEMENT DU FACTEUR DE PUISSANCE 15

2.3.3 Condensateur

Pour une capacite C, la relation tension-courant s’ecrit :

I√2 cos(ωt+ β) = CωU

√2 cos(ωt+ α+

π

2) (2.16)

Ce qui donne comme relation :

I = CωU (2.17)

β = α+π

2(2.18)

Le dephasage est φ = −π2 (le courant est en avance de π/2 par rapport a la tension) et on a :

P = 0, Q = −S = −CωU2 = I2/(Cω) et Fp = 0. L’inductance fournit uniquement de l’energiereactive.

2.4 Relevement du facteur de puissance

La plupart des equipements industriels sont de nature inductive et consomment de la puis-sance reactive, aboutissant parfois a de mauvais facteurs de puissance. Ce facteur de puissancepeut-etre ameliore en ajoutant des condensateurs qui fournissent l’energie reactive. Cela per-met d’abaisser le courant absorbe par l’installation, diminuant ainsi les pertes et evitant unsurdimensionnement de l’installation electrique.

Soit une installation sous une tension U necessitant pour son fonctionnement une puissanceactive P . L’installation initiale a un facteur de puissance Fp1 et consomme une puissance reactiveQ1. Quelle puissance de condensateur faut-il fournir pour amener le facteur de puissance aFp2 < Fp1 ?

Soit Qc l’energie reactive que va fournir le condensateur et Q2 l’energie reactive consommeepar l’installation apres ajout du condensateur. Le theoreme de Boucherot donne Q2 = Q1 −Qc. En notant que Q1 = P tan(φ1) et que Q2 = P tan(φ2) (la puissance active necessaire estinchangee), on obtient :

Qc = P (tanφ1 − tanφ2) (2.19)

Exercice 11 (Relevement du facteur de puissance)Une installation monophasee sous une tension de 400 V consomme une puissance de 5 kW avecun facteur de puissance de 0,5.

1. Determinez la valeur efficace du courant, la puissance apparente et la puissance reactive.

2. On envisage de mettre un condensateur en parallele sur l’entree de l’installation pouramener le facteur de puissance a 0,9. Determinez la puissance reactive et la capacite ducondensateur.

Exercice 12 (Compensation du reactif d’une installation)On cherche a compenser la puissance reactive d’une installation de nature inductive dont laconsommation varie au cours de la journee. On a releve 4 regimes differents :

a. P = 1 kW, Fp = 0, 7b. P = 2 kW, Fp = 0, 95c. P = 3 kW, Fp = 0, 85d. P = 2 kW, Fp = 0, 7

On recherche la compensation fixe minimale permettant de garantir un facteur de puissancesuperieur ou egal a 0,9.

1. Determinez laquelle des quatre situations a besoin de plus de compensation pour atteindrele facteur de puissance objectif.

2. Determinez la puissance reactive a fournir.


3. Pour les trois autres situations, determinez le facteur de puissance en precisant si l’ins-tallation compensee est de nature inductive ou capacitive.

4. Placez sur un diagramme (P,Q) les situations avant et apres compensation.

5. Commentez la possibilite de compenser l’installation avec un condensateur fixe.

2.5 Notations de Fresnel

2.5.1 Introduction

En principe, la resolution d’un probleme d’electricite en regime sinusoidal, c’est-a-dire ladetermination des tensions et des courants, peut se faire en ecrivant les solutions sous une formesinusoıdale, d’amplitude et de phase inconnue, en remplacant ensuites les tensions et courantsdans les equations par leurs expressions et en cherchant ensuite a resoudre les equations (non-differentielles) obtenues afin de determiner les amplitudes et dephasages (cf. Exercice 46).

Neanmoins, cette methode est lourde en temps de calculs et n’est pas employee en pratique,sauf eventuellement pour des circuits elementaires. En effet, les notations de Fresnels que nousallons introduire permettent de se transformer les equations differentielles en equations simplesgrace aux variables imaginaires, permettant de simplifier grandement la resolution du probleme.

Definition 8 (Vecteur de Fresnel)Pour une grandeur sinusoıdales x(t) = X

√2 cos(ωt + δ), le vecteur de Fresnel est le nombre

imaginaire X = X exp(jδ).

L’interet de cette notation reside dans le fait que la derivee dx(t)dt = Xω

√2 cos(ωt + δ + π

2 )a comme nombre complexe associe jωX 1. Il suffit donc de retenir que deriver (en temporel)revient a multiplier par jω (en complexe).

2.5.2 Impedance complexe

Pour une resistance, la loi d’Ohm s’ecrit : U = RI ; pour l’inductance, la loi de comporte-ment est U = jLωI et pour le condensateur, c’est I = jCωU . Les relations differentielles del’inductance et du courant sont transformees en lois d’Ohm generalisees de la forme U = ZI ouI = Y U ou Z et Y sont respectivement l’impedance complexe et l’admittance complexe.

Les lois d’association serie et parallele s’appliquent aux impedances complexes. Ainsi, l’impedancecomplexe equivalente correspondant a deux dipoles mis en serie est la somme des impedancescomplexes des dipoles. L’admittance complexe equivalente correspondant a deux dipoles mis enparalleles est la somme des complexes complexes des dipoles.

2.5.3 Puissance complexe

Definition

On definit la puissance complexe S par :

S = U I∗ (2.20)

ou I∗ represente le conjugue de I, c’est-a-dire le nombre imaginaire de meme module et d’ar-gument oppose. Dans le cas ou U = U exp(jα) et I = I exp(jβ), on a S = UI exp jφ avec

1. En effet, exp(j(δ + π2)) = exp(j π

2) exp(δ) = j exp(δ).

2.5. NOTATIONS DE FRESNEL 17

φ = α− β. Ainsi, on obtient les relations suivantes :

S = |S| (2.21)

P = Re(S) (2.22)

Q = Im(S) (2.23)

φ = arg(S) (2.24)

S = P + jQ (2.25)

S = S exp(jφ) (2.26)

Propriete 10 (Conservation de la puissance complexe)La puissance complexe absorbee par un systeme est la somme des puissances absorbees par sesdifferents constituants.

Cette propriete decoule de la conservation des puissances actives et reactives.

Puissance et impedance

Pour une impedance Z (U = Z I), la puissance complexe s’ecrit 2 :

S = Z I I∗ = ZI2 (2.27)

ce qui donne :

S = |Z|I2 = ZI2 (2.28)

P = Re(Z)I2 (2.29)

Q = Im(Z)I2 (2.30)

φ = arg(Z) (2.31)

(2.32)

Pour une admittance Y (c’est-a-dire telle que I = Y U), la puissance complexe s’ecrit :

S = Y ∗U U∗ = Y ∗U2 (2.33)

ce qui donne :

S = |Y |U2 = Y U2 (2.34)

P = Re(Y )U2 (2.35)

Q = −Im(Y )U2 (2.36)

φ = − arg(Y ) (2.37)

(2.38)

Exercice 13 (Modele d’une charge)Une charge monophasee sous tension sinusoıdale de 400 V a 50 Hz consomme 4 kW pour uncourant sinusoıdal de 13 A de valeur efficace.

1. On suppose que la charge est inductive ; determinez les valeurs de la resistance et del’inductance du modele RL serie.

2. On suppose que la charge est capacitive ; determinez les valeurs de la resistance et de lacapacite du modele RC parallele.

Exercice 14 (Charge RL)Soit le schema de la figure 2.1 ou une source de tension u(t) alimente un circuit RL serie.

2. En se rappelant que z z∗ = |z|2.


i(t)

u(t)

R

L

Figure 2.1 – Circuit RL alimente en tension

1. Dans le cas du regime permanent sinusoıdal (50 ou 60 Hz), ecrivez la relation liant lesvecteurs de Fresnel U et I representant respectivement la tension u(t) et le courant i(t).

2. Determinez le dephasage tension/courant, le facteur de puissance et la puissance active enfonction de U (valeur efficace de la tension), R et L.

3. Determinez la capacite C du condensateur a placer en parallele sur la source de tensionu(t) permettant d’amener le facteur de puissance de la source a 1.

Exercice 15 (Installation electrique)Une installation electrique monophasee alimentee en 230 V 50 Hz comprend deux charges :

– La charge n 1 consomme 1 kW et a un facteur de puissance de 0,9.– La charge n 2 consomme 2 kW et a une puissance apparente de 3 kVA.

Determinez au niveau de l’alimentation : les puissances consommees (active, reactive, apparente)et le facteur de puissance.

Chapitre 3

Lois des reseaux electriques

Un reseau electrique se compose d’un certain nombre de sources et de charges. Les loispresentee dans cette partie permettent d’en deduire le courant et la tension a differents points.

3.1 Lois de Kirchhoff

3.1.1 Loi des nœuds

La premiere loi de Kirchhoff s’enonce ainsi : la somme des courants se dirigeant vers unnœuds du circuit est nulle a tout instant.

Cette loi permet directement d’etudier la mise en parallele de dipoles de meme nature. Soitun dipole compose de n dipoles de meme nature (resistance, inductance ou condensateur) placesen parallele. Soit i(t) et u(t) les grandeurs relatives au dipole complet, en convention recepteur.Soit ik, k = 1...n le courant traversant chacun des n dipoles, egalement en convention recepteurpar rapport a la tension u(t). La loi de nœuds donne la relation :

i(t) =n∑

k=1

ik(t), ∀t (3.1)

Considerons le cas ou les dipoles sont des resistances de valeur Rk, k = 1...n. Alors, on au(t) = Rkik(t). La loi des nœuds donne :

i(t) =n∑

k=1

ik(t) (3.2)

=n∑

k=1

u(t)

Rk(3.3)

=

(

n∑

k=1

1

Rk

)

u(t) (3.4)

=1

Requ(t) (3.5)

Ainsi, le dipole resultant est une resistance Req telle que :

1

Req=

n∑

k=1

1

Rk(3.6)

Considerons le cas ou les dipoles sont des inductances de valeur Lk. Alors, on a u(t) = Lkdik(t)dt

19

20 CHAPITRE 3. LOIS DES RESEAUX ELECTRIQUES

pour chaque dipole. La loi des nœuds donne :

i(t) =n∑

k=1

ik(t) (3.7)

di(t)

dt=

n∑

k=1

dik(t)

dt(3.8)

di(t)

dt=

n∑

k=1

1

Lku(t) (3.9)

Leqdi(t)

dt= u(t) (3.10)

avec1

Leq=

n∑

k=1

1

Lk(3.11)

Ainsi, le dipole resultant est une inductance de valeur Leq.

Considerons le cas ou les dipoles sont des capacites de valeur Ck. Alors, on a ik(t) = Ckdu(t)dt

pour chaque dipole. La loi des nœuds donne :

i(t) =n∑

k=1

ik(t) (3.12)

=

n∑

k=1

Ckdu(t)

dt(3.13)

= Ceqdu(t)

dt(3.14)

avec

Ceq =n∑

k=1

Ck (3.15)

Ainsi, le dipole resultant est une capacite de valeur Ceq.

En parallele les capacites d’ajoutent alors que ce sont les inverses des resistances et lesinductances qui s’ajoutent. En regime sinusoıdal, la loi des nœuds s’applique aux vecteurs deFresnel et s’ecrit alors :

I =n∑

k=1

Ik. (3.16)

Exercice 16 (Loi de comportement d’un generateur de Norton)On modelise un reseau comme etant un dipole compose d’une source de courant sinusoıdale J etd’une admittance Y places en parallele. On note U et I respectivement la tension et le courantdu dipole, en convention generateur, I etant choisi dans le meme sens que J .

1. A partir de la loi des mailles, determinez la loi de comportement du dipole (c’est-a-dire larelation entre son courant et sa tension). On donne J = J et Y = Y exp(−j π2 ).

2. Determinez l’expression generale de la valeur efficace de la tension U aux bornes de lacharge en fonction de la valeur efficace du courant I lorsque le circuit est charge par uneresistance Rch.

3. On a releve un courant de court-circuit de 1000 A et une tension a vide de 230 V.Determinez les valeurs numeriques de J et Y .

4. Representez graphiquement U en fonction de I. Vous pourrez vous appuyer sur les valeursobtenues pour Rch = 0, Rch = ∞ et Rch = 1/Y .

3.1. LOIS DE KIRCHHOFF 21

3.1.2 Loi des mailles

La seconde loi de Kirchhoff s’enonce ainsi : la somme des differences de potentiels obtenus lelong d’une maille fermee du circuit est nulle.

La loi des mailles permet d’etudier la mise en serie de dipoles de meme nature. Soit undipole compose de n dipoles de meme nature places en serie, tous parcourus par le courant i(t)et chacun d’entre eux ayant la tension uk(t) a ses bornes avec la convention recepteur. Soit u(t)la tension aux bornes du dipole resultant, toujours avec les memes conventions. La loi des maillesdonne la relation :

u(t) =n∑

k=1

uk(t), ∀t (3.17)

Pour des resistances, cette relation s’ecrit u(t) =∑n

k=1Rki, soit u(t) = Reqi avec Req =∑n

k=1Rk. Pour une inductance, la relation devient u(t) =∑n

k=1 Lkdi(t)dt , soit u(t) = Leq

di(t)dt avec

Leq =∑n

k=1 Lk. Pour un condensateur, en derivant la relation, on obtient du(t)dt =

∑nk=1

1Ck

i(t),

soit Ceqdu(t)dt = i(t) avec 1

Ceq=∑n

k=11Ck

. Ainsi, en serie, ce sont les resistances et les inductancesqui s’ajoutent alors que ce sont les inverses des capacites qui s’ajoutent. En regime sinusoıdal,la loi des mailles s’applique aux vecteurs de Fresnel et s’ecrit alors :

U =n∑

k=1

Uk. (3.18)

Exercice 17 (Loi de comportement d’un generateur de Thevenin)On modelise un reseau par un dipole compose d’une source de tension sinusoıdale E et d’uneimpedance Z places en serie. On note U et I respectivement la tension et le courant du dipole,en convention generateur, U etant choisi dans le meme sens que E.

1. A partir de la loi des mailles, determinez la loi de comportement du dipole. On donneE = E et Z = Z exp(j π2 ).

2. Determinez l’expression de la valeur efficace de la tension U en fonction de la valeurefficace du courant I lorsque le circuit est charge par une resistance Rch.

3. On a releve un courant de court-circuit de 1000 A et une tension a vide de 230 V.Determinez les valeurs numeriques de E et Z.

4. Representez graphiquement U en fonction de I. Vous pourrez vous appuyer sur les valeursobtenues pour Rch = 0, Rch = ∞ et Rch = Z.

3.1.3 Theoreme de Millmann

Considerons un circuit en etoile en regime sinusoıdal compose de n admittances Y k, k = 1...n,chacune etant reliee par une borne au nœuds de difference de potentiel V0 par rapport a unereference et l’autre borne etant au potentiel Vk, reliee a un autre circuit. On note Ik les courantsdans chaque branche, notes positivement dans le sens entrant. La loi des nœuds permet d’ecrire :

n∑

k=1

Ik = 0. (3.19)

La loi d’Ohm generalisee et la loi des mailles donnent :

V k − V 0 =IkY k

. (3.20)

En remplacant dans (3.19), on obtient :

n∑

k=1

Y k(V k − V 0) = 0. (3.21)


Ce qui donne le theoreme de Millmann :

V 0 =

∑nk=1 Y kV k∑n

k=1 Y k

(3.22)

Exercice 18 (Application du theoreme de Millmann)On considere un circuit en etoile constitue comme suit : le nœud est numerote 0 et a commetension V 0 par rapport a reference ; la branche n 1 est composee d’une inductance de valeur Lqui est connectee a une extremite a la tension V 1 ; la branche n 2 est composee d’une capacite Cet est connectee a la tension V 2 ; la branche n 3 est composee d’une resistance dont une borneest au potentiel de reference.

1. Determinez V 0, la tension du nœud, en fonction de V 1, V 2, R, L et C.

3.2 Sources equivalentes

Soit un dipole constitue d’un certain nombre de sources de tension et de courant sinusoıdales,de resistances, d’inductance et de condensateurs. Il s’agit d’un reseau lineaire puisque la relationentre le courant entrant et la tension a ses bornes est lineaire 1. Ce dipole peut alors se modeliserpar un dipole plus simple de deux manieres differentes.

3.2.1 Modele de Thevenin

Il s’agit d’un modele compose d’une force-electromotrice (une source de tension) E et d’uneimpedance ZT . La fem E est determinee par le calcul de la tension a vide du circuit. L’inpedanceZT est l’impedance equivalente du circuit ou toutes les sources de tension sont cour-circuiteeset toutes les sources de courant sont ouvertes.

3.2.2 Modele de Norton

Il s’agit d’un modele compose d’une source de courant J et d’une admittance Y T . Le courantJ de la source est le courant de court-circuit. L’admittance Y T est l’admittance equivalente ducourcuit ou chaque source de courant est remplacee par un circuit ouvert et chaque source detension est remplacee par un court-circuit.

3.3 Theoreme de superposition

Lorsque tout les elements d’un circuit sont lineaires (c’est le cas de l’ensemble des elementsqui ont ete abordes jusqu’ici), le theoreme de superposition indique que la valeur d’un courantou d’une tension en un point quelconque du circuit est la somme des valeurs obtenues si uneseule source etait alumee.

On en deduit la methode d’etude suivante : on ecrit autant de shemas que de source ; chacunde ces shemas correspondant a une seule source, les autres sources etant eteintes (les sources detension sont mises a zero, c’est-a-dire remplacees par un court-circuit ; les cources de courantsont mises a zero, c’est-a-dire remplacees par un circuit ouvert). On resoud ensuite chacun desshemas. Le resultat final est la somme des resultats obtenus a partir des differents shemas.

Bien que le nombre de shemas a etudier augmente, chacun d’entre eux est generalementbeaucoup plus simple que le shema de depart. Ainsi, cette methode permet une reelle diminutiondu temps d’etude d’un schema.

Exercice 19 (Etude d’un reseau)Representez un reseau electrique sinusoıdal (pulsation ω), compose d’une source de tension E =E, d’une source de courant J = J exp(j π2 ), d’une resistance R, d’une inductance L et d’unecapacite C. Vous pourrez vous inspirer du circuit donne sur la figure 3.1.

1. De maniere plus rigoureuse, cette relation est affine.

3.4. RESOLUTION MATRICIELLE 23

R

CJE

L

Figure 3.1 – Exemple de circuit electrique

1. En utilisant le theoreme de superposition, determinez les tensions et les courants relatifsa chaque dipole.

2. Choisissez 2 points (notes A et B) du circuit qui ne sont pas au meme potentiel electrique.Determinez le generateur de Thevenin equivalent.

3. Determinez le generateur de Norton equivalent du meme dipole.

4. Deduisez-en la tension et le courant relatifs a une charge Rch qui est ajoutee au circuitentre les bornes A et B.

3.4 Resolution matricielle

La resolution d’un circuit, c’est-a-dire la determination des courants et de tension inconnus,passe souvent par la resolution d’un systeme d’equations lineaires. Les outils numeriques (feuillesde calcul ou logiciels de calcul numeriques) sont d’une aide precieuse pour la resolution detels systemes. Nous introduisons dans les paragraphes qui suivent la resolution d’un systemed’equations lineaires par la methode matricielle, puis un exemple illustratif dans le domaineelectrique.

3.4.1 Vecteurs et matrices

Generalites

Lorsque l’on souhaite manipuler plusieurs inconnues en meme temps, il est pratique derecourir a la notation vectorielle. Par exemple, considerons n inconnues xk, k = 1...n. On notealors :

X =

x1...xn

L’ensemble des vecteurs reels a n composantes est note Rn.

Une fonction lineaire qui transforme un vecteur x de Rn en un vecteur Y de R

p s’ecrit :

y1 = a11x1 + ...+ a1nxn...

...... (3.23)

yp = ap1x1 + ...+ apnxn

Cette application est definie par la matrice

A =

a11 ... a1n... ...

...ap1 ... apn


Cette matrice est de dimention p×n. On dit qu’elle appartient a Rp×n. L’equation (3.23) s’ecrit

de maniere compacteeY = AX

On a :

yi =

p∑

j=1

aij bj

La matrice identite est la matrice qui transforme un vecteur en un vecteur identique. Onnote In la matrice identite d’ordre n. C’est une matrice avec des 1 sur la diagonale et des 0ailleurs.

Produit d’une matrice par un scalaire

Soit un scalaire (reel) λ et une matrice A. Alors λA est une matrice dont les coefficients sontobtenus en multipliant ceux de A par λ.

Produit matriciel

Soit une matrice C de dimention p × m et de coefficients cij . Par cette application, ontransforme Y en Z = C Y . Avec Y = AX, on a Z = C AX. En notant D = C A, on ecrit Z =DX ou les elements dij de D se calculent de la maniere suivante :

dij =

p∑

k=1

aik bkj

Inversion d’une matrice

La fonction qui a X associe Y = AX est inversible si, pour tout Y de Rp, il existe un uniquevecteur X de R

n verifiant Y = AX. Alors, la matrice associee a l’application inverse est noteeA−1. Seules les matrices carrees sont inversibles. On a alors :

AA−1 = A−1A = In

Une matrice est inversible si et seulement si son determinant est non nul.Pour une matrice de taille 2× 2

A =

[

a bc d

]

on retiendra que son determinant est det(A) = ad− bc. S’il est non nul, on a :

A−1 =1

det(A)

[

d −b−c a

]

3.4.2 Resolution d’un systeme d’equations lineaires

Soit un systeme de n equations a n inconnues qui s’ecrit sous la forme :

a11x1 + ...+ a1nxn = b1 (3.24)

......

... (3.25)

an1x1 + ...+ annxn = bn (3.26)

ou les xk, k = 1...n sont les inconnues ; les ak et bk sont des donnees du probleme. Ce systemese reecrit sous forme matricielle :

a11 ... a1n... ...

...an1 ... ann

x1...xn

=

b1...bn

(3.27)

3.4. RESOLUTION MATRICIELLE 25

que nous pouvons reecrire sous forme simplifiee :

AX = B (3.28)

ou

A =

a11 ... a1n... ...

...an1 ... ann

, X =

x1...xn

et B =

b1...bn

(3.29)

Le systeme a une solution unique si et seulement si la matrice A est inversible. Soit A−1

l’inverse de A, c’est-a-dire une matrice telle que A−1AX = X et supposons que cette matricesoit calculee par un logiciel. Alors, en multipliant a gauche l’equation matricielle par A−1, onobtient la solution du probleme :

X = A−1B (3.30)

On en deduit une methode generale d’etude des circuits electriques suivante :

1. Ecrire les equations du circuit

2. Mettre ces equations sous la forme matricielle (3.28), c’est-a-dire determiner la matrice Aet le vecteur B

3. Calculer A−1 l’inverse de A

4. Determiner le vecteur des inconnues X = A−1B

Exercice 20 (Etude d’une installation avec double alimentation)Une installation monophasee est alimentee par 2 sources distinctes :

– Le reseau principal fournit une tension sinusoıdale a vide de 225 V. La phase de ce reseausera prise comme reference dans la suite. Son courant de court-circuit est de 230 A ; sonimpedance est supposee purement inductive.

– Une source d’energie electrique de tension a vide 230 V en dephasage arriere de π/6 parrapport au reseau principal. Son courant de court-circuit est de 460 A ; son impedance estsupposee purement inductive.

La charge est lineaire et sera modelisee par une impedance constante. On a releve les ca-racteristiques nominales suivantes : 230 V, 2 kW, cosphi = 0,8.

1. Determinez l’impedance Z de la charge.

2. Determinez les impedances Z1 et Z2 des deux reseaux.

3. Determinez les grandeurs vectorielles E1 et E2 representatives des deux sources de tension.

4. Faites un schema du circuit faisant apparaitre les differentes grandeurs. On notera I1 lecourant fournit par le reseau principal, I2 le courant fournit par le reseau secondaire et Ile courant absorbe par la charge.

5. A partir des equations de Kirschhoff, ecrivez les trois equations liant les courants.

6. Mettez ces equations sous forme matricielle AX = B avec :

X =

I1II2

Determinez la matrice A et le vecteur B.

7. Determinez les trois courants par la resolution du systeme

8. Calculez les puissances actives fournies a la charge par chacunes des alimentations et lapuissance active absorbee par la charge. Determinez les trois facteurs de puissance corres-pondants.

Chapitre 4

Le regime sinusoıdal triphase

4.1 Introduction

L’electricite est produite et transportee sous forme triphasee ; c’est-a-dire que trois cables separtagent la puissance. Parfois, un quatrieme cable est utilise pour transmettre le potentiel duneutre ; on parle alors de triphase 4 fils. Dans ce chapitre, on se limite a l’etude du cas triphasesinusoıdal equilibre. Dans le regime sinusoıdal, les grandeurs triphasees sont de la forme :

xa(t) = Xa

√2 cos(ωt+ αa)

xb(t) = Xb

√2 cos(ωt+ αb)

xc(t) = Xc

√2 cos(ωt+ αc) (4.1)

Pour le regime sinusoıdal equilibre, les amplitudes des trois phases sont identiques et les phasesregulierement espacees de 2π

3 . Ainsi, les tensions sont de la forme :

va(t) = V√2 cos(ωt+ αa) (4.2)

vb(t) = V√2 cos(ωt+ αa −

2π

3) (4.3)

vc(t) = V√2 cos(ωt+ αa −

4π

3) (4.4)

et les courants :

ia(t) = I√2 cos(ωt+ αa − φ) (4.5)

ib(t) = I√2 cos(ωt+ αa − φ− 2π

3) (4.6)

ic(t) = I√2 cos(ωt+ αa − φ− 4π

3) (4.7)

ou φk est le dephasage arriere du courant par rapport a la tension.Les grandeurs de Fresnel correspondantes sont alors :

V a = V exp(jαa) (4.8)

V b = V exp(j(αa −2π

3)) (4.9)

V c = V exp(j(αa −4π

3)) (4.10)

et :

Ia(t) = I exp(j(αa − φ)) (4.11)

Ib(t) = I exp(j(αa − φ− 2π

3)) (4.12)

Ic(t) = I exp(j(αa − φ− 4π

3)) (4.13)

27

28 CHAPITRE 4. LE REGIME SINUSOIDAL TRIPHASE

Les vecteurs representatifs de la tension (respectivement du courant) forment un triangle equilateral.On parle de triangle des tensions (respectivement des courants).

En regime equilibre, les sources et les charges sont equilibrees (pour les charges, cela si-gnifie qu’elles ont les memes impedances). Un desequilibre peut etre du a la source (on parled’alimentation desequilibre) ou a la charge (on parle de charge desequilibree).

4.2 Couplage en etoile

Soient trois sources monophasees de tensions :

va(t) = V√2 cos(ωt) (4.14)

vb(t) = V√2 cos(ωt− 2π

3) (4.15)

vc(t) = V√2 cos(ωt− 4π

3) (4.16)

et de courants :

ia(t) = I√2 cos(ωt− φ) (4.17)

ib(t) = I√2 cos(ωt− φ− 2π

3) (4.18)

ic(t) = I√2 cos(ωt− φ− 4π

3) (4.19)

avec des conventions generateur.

Considerons que ces trois sources sont couplees en etoile ; c’est-a-dire que les trois bornes dereference (bases de la fleche de tension) sont reliees entre elles et forment le neutre. Les troisautres bornes sont utilisees pour realiser une alimentation triphasee. Les tensions du reseau semesurent entre deux des trois cables :

uab(t) = va(t)− vb(t) (4.20)

ubc(t) = vb(t)− vc(t) (4.21)

uca(t) = vc(t)− va(t) (4.22)

on parle de tensions composees. En s’appuyant sur la representation vectorielle (4.10), on peutcalculer :

Uab = U exp(jπ

6) (4.23)

U bc = U exp(−jπ

2) (4.24)

U ca = U exp(j5π

6) (4.25)

avec :

U =√3V (4.26)

Cette relation indique que les tensions simples sont dans un rapport√3 par rapport aux tensions

simples.

Exercice 21 (Triangle des tensions)Representez le triangle des tensions simples V a, V b et V c. En vous appuyant sur ce trace, tracezle triangle des tensions composees Uab, U bc et U ca. Retrouvez geometriquement les nombrescompexes leur correspondant.

4.3. COUPLAGE EN TRIANGLE 29

Les courants de ligne sont egaux aux courants des generateurs. La puissance transmise parla ligne est la somme des puissances transmises par chacune des trois generaleurs, soit :

p(t) = pa(t) + pb(t) + pc(t) (4.27)

= 2V I (cos(ωt) cos(ωt− φ) (4.28)

+ cos(ωt− 2π

3) cos(ωt− φ− 2π

3) (4.29)

+ cos(ωt− 4π


3)

)

(4.30)

= V I

(

3 cos(φ) + cos(2ωt− φ) + cos(2ωt− φ− 4π

3) (4.31)

+ cos(2ωt− φ− 8π

3)

)

(4.32)

= V I

(

3 cos(φ) + cos(2ωt− φ) + cos(2ωt− φ+2π

3) (4.33)

+ cos(2ωt− φ− 2π

3)

)

(4.34)

= 3V I cos(φ) (4.35)

=√3UI cos(φ) (4.36)

Remarquons que la puissance instantanee est constante et non pulsee contrairement au casmonophase ; elle est donc egale a sa puissance moyenne P =

√3UI cos(φ).

La puissance reactive est Q =√3UI sin(φ) ; la puissance apparente est S =

√3UI. Le facteur

de puissance est, lui, inchange : Fp = cos(φ). Notez bien que le dephasage φ intervenant dansles formules correspond au dephasage entre la tension simple et le courant relatifs a une memephase.

4.3 Couplage en triangle

Soient trois sources monophasees de tensions :

ea(t) = E√2 cos(ωt) (4.37)

eb(t) = E√2 cos(ωt− 2π

3) (4.38)

ec(t) = E√2 cos(ωt− 4π

3) (4.39)

et de courants :

ja(t) = J√2 cos(ωt− φ) (4.40)

jb(t) = J√2 cos(ωt− φ− 2π

3) (4.41)

jc(t) = J√2 cos(ωt− φ− 4π

3) (4.42)

avec des conventions generateur. Les trois dipoles ont comme bornes respectivement (a, a′),(b, b′) et (c, c′) et sont orientes de sorte que ea(t) = Va(t) − Va′(t), eb(t) = Vb(t) − Vb′(t) etec(t) = Vc(t) − Vc′(t). On associe ces dipoles en triangle de sorte que les poles soient connectespar paires : a′ avec b, b′ avec c et c′ avec a. Des bornes a, b et c sont tires trois cables formantune ligne triphasee.

Dans ce cas, les tension composees sont identiques aux tensions des generateurs :

uab(t) = ea(t) (4.43)

ubc(t) = eb(t) (4.44)

uca(t) = ec(t) (4.45)


Pour determiner les courants de ligne, il faut ecrire une loi de nœud :

ia(t) = ja(t)− jc(t) (4.46)

ib(t) = jb(t)− ja(t) (4.47)

ic(t) = jc(t)− jb(t) (4.48)

(4.49)

En ecrivant le triangle des courants associes correspondant aux vecteurs de courant :

Ja = J exp(−jφ) (4.50)

Jb = J exp(j(−φ− 2π

3)) (4.51)

Jc = J exp(j(−φ− 4π

3)) (4.52)

on peut calculer les courants de ligne :

Ia = I exp(j(−φ+π

6)) (4.53)

Ib = I exp(j(−φ− π

2)) (4.54)

Ic = I exp(j(−φ+5π

6)) (4.55)

avec :I =

√3J (4.56)

Les courants de ligne forment un systeme triphase equilibre d’amplitude I =√3J .

La puissance transmise est la somme des puissances transmises par chacun des trois dipoleset s’ecrit :

p(t) = pa(t) + pb(t) + pc(t) (4.57)

= 2EJ (cos(ωt) cos(ωt− φ) (4.58)

+ cos(ωt− 2π


3) (4.59)

+ cos(ωt− 4π


3) (4.60)

= 3EJ cos(φ) (4.61)

=√3UI cos(φ) (4.62)

Ce qui donne les memes formules de puissances que dans le cas du couplage etoile. Le dephasageφ peut etre interprete comme le dephasage relatif au dipole composant la source (ou la charge)ou comme le dephasage entre un courant et une tension simple de la ligne triphasee.

4.4 Equivalence triangle/etoile

Soit une charge triphasee d’impedance ZY couplee en etoile. Chaque dipole consomme lapuissance complexe ZY I

2 ou I est la valeur efficace du courant de ligne ; la charge consommedonc SY = 3ZY I

2.Imaginons maintenant une seconde charge triphasee, cette fois couplee en triangle d’impedance

Z∆. Chaque dipole consomme la puissance complexe Z∆J2 ou J est le courant dans un dipole.

La charge consomme donc la puissance complexe S∆ = 3Z∆J2 = Z∆I

2.Les charges sont identiques du point de vue de la ligne si elles absorbent la meme puissance

complexe, ce qui est le cas si :Z∆ = 3ZY (4.63)

Par ce moyen, on peut toujours se ramener a un schema d’etude ou toutes les charges sont dememe nature, triangle ou etoile, du moins en regime sinusoıdal. C’est egalement le cas pour lessources comme vous propose de le decouvrir l’exercice suivent.

4.5. METHODE D’ETUDE 31

Exercice 22 (Source equivalente)Soit une source triphasee couplee en etoile comme presentee dans le paragraphe 4.2. Determinezla source triphasee connectee en triangle qui a les memes caracteristiques au niveau de la ligne(on donnera la valeur efficace et les dephasages).

4.5 Methode d’etude

Pour etudier le fonctionnement d’un circuit triphase en regime sinusoıdal equilibre, on peutse ramener a l’etude d’un circuit monophase. Considerons d’abord le cas d’une source connecteea une charge ou les deux elements sont couplees en etoile. Meme si les neutres des deux chargesne sont pas relies (triphase 3 fils), ils sont neanmoins au meme potentiel. On peut ainsi fairecomme s’ils etaient connectes et ne s’interesser qu’a une maille du circuit, par exemple celle nefaisant intervenir que la premiere phase et le fil fictif du neutre. Une fois resolu ce circuit, lesautres phases sont deduites en ajoutant ou retranchant simplement un dephasage de 2π

3 .

Pour une source et une charge couplee en triangle, il est possible d’isoler directement unemaille comportant un generateur et une charge. Une fois determine le courant, l’ensemble desautres courants pourront se deduire facilement.

Pour des circuits mixtes, comporant par exemple une source couplee en etoile et une chargecouplee en triangle, on peut transformer les elements couples en triangle en elements fictifscouples en etoile.

Cette methode d’etude n’est plus valable des lors que le fonctionnement est desequilibre. Desoutils specifiques permettent d’etudier le regime desequilibre.

Exercice 23 (Circuit etoile/etoile)Une source triphasee sinusoıdale equilibree, couplee en etoile, de tension simple V = 230 V estconnectee a une charge triphasee equilibree d’impedance Z = 10 exp(j π6 ) couplee en etoile.

1. Determinez le circuit monophase permettant de faire l’etude du circuit.

2. Determinez la valeur efficace du courant de ligne et son dephasage par rapport a la tension.

3. Determinez les puissances active et reactive transmises par la source a la charge.

Exercice 24 (Circuit etoile/triangle)La source est inchangee par rapport a l’exercice precedent, mais cette fois, la charge est coupleeen triangle.

1. En utilisant une charge etoile equivalente, determinez le circuit monophase permettant defaire l’etude du circuit.

2. Determinez la valeur efficace du courant de ligne et son dephasage par rapport a la tension.

3. Determinez les courants dans la charge couplee en triangle (amplitude et dephasages).

Exercice 25 (Circuit triangle/triangle)Cette fois, la source et la charge sont toutes deux couplees en triangle.

1. En suivant une maille du circuit, determinez le circuit d’etude.

2. Determinez les courants (valeur efficace et dephasages) circulant dans la charge.

3. Determinez les courants de ligne.

4. Determinez les courants dans la source.


4.6 Regime desequilibre

4.6.1 Les trois types de regime equilibre

Nous avons deja defini le regime sinusoıdal triphase equilibre direct :

xda(t) = Xd

√2 cos(ωt+ αd) (4.64)

xdb(t) = Xd

√2 cos(ωt+ αd −

2π

3) (4.65)

xdc(t) = Xd

√2 cos(ωt+ αd −

4π

3) (4.66)

dans lequel la phase a est en avance sur la phase b, elle-meme en avance sur la phase c. Ondefinit egalement le regime sinusoıdal triphase equilibre inverse :

xia(t) = Xi

√2 cos(ωt+ αi) (4.67)

xib(t) = Xi

√2 cos(ωt+ αi +

2π

3) (4.68)

xic(t) = Xi

√2 cos(ωt+ αi +

4π

3) (4.69)

dans lequel la phase a est en retard sur la phase b, elle-meme en retard sur la phase c.On definitegalement le regime sinusoıdal triphase equilibre homopolaire :

xha(t) = Xh

√2 cos(ωt+ αh) (4.70)

xhb(t) = Xh

√2 cos(ωt+ αh) (4.71)

xhc(t) = Xh

√2 cos(ωt+ αh) (4.72)

dans lequel les trois grandeurs sont en phase.

En notation complexe, cela donne pour le systeme direct :

Xda = Xd exp(jαd) (4.73)

Xdb = Xd exp(j(αd −2π

3)) (4.74)

Xdc = Xd exp(j(αd +2π

3)) (4.75)

soit, en notant a = exp(j 2π3 ) et en notation vectorielle :

Xda

Xdb

Xdc

= Xda

1a2

a

(4.76)

Pour le systeme inverse :

X ia

Xib

X ic

= Xia

1aa2

(4.77)

et pour le systeme homopolaire :

Xha

Xhb

Xhc

= Xha

111

(4.78)

4.6. REGIME DESEQUILIBRE 33

4.6.2 Decomposition d’un systeme triphase desequilibre

Considerons maintenant un systemes triphase desequilibre quelconque (4.1). En notationcomplexe, il s’ecrit :

Xa = Xa exp(jαa) (4.79)

Xb = Xb exp(jαb) (4.80)

Xc = Xc exp(jαc) (4.81)

Si ce systeme s’ecrit bien comme la somme d’un systeme direct, d’un systeme indirect et d’unsysteme homopolaire, alors il existe trois nombres complexes Xda, Xia et Xh tels que :

Xa

Xb

Xc

= Xda

1a2

a

+X ia

1aa2

+Xh

111

(4.82)

ce qui s’ecrit encore :

Xa

Xb

Xc

=

1 1 1a2 a 1a a2 1

Xda

X ia

Xh

(4.83)

Les composantes directe, indirect et homopolaire s’obtiennent par inversion de la matrice :

Xda

X ia

Xh

=1

3

1 a a2

1 a2 a1 1 1

Xa

Xb

Xc

(4.84)

Theoreme 1 (Decomposition d’un systemes triphase desequilibre)Tout systeme desequilibre peut s’ecrire comme la somme :

– d’un systeme equilibre direct,– d’un systeme equilibre inverse,– d’un systeme homopolaire.

Un reseau triphase ideal ne contient que du direct, c’est-a-dire que les composantes inverseet homopolaires sont nulles. Suivant les applications, les composantes inverses et homopolairespeuvent etre plus ou moins dommageables pour le fonctionnement des applications. Pour duchauffage electrique par effet Joule, elles ne posent pas de probleme car elles seront transformeesen chaleur sans difficultes. Par contre, des problemes importants peuvent apparaitre avec lesmoteurs asynchrones relies directement au reseau ou equipes de demarreurs. En effet, les troiscomposantes vont alors concourir pour emmener le rotor a une vitesse qui lui convient :

– la composante directe produit un couple qui tente de demarrer le moteur et de l’emmenervers la vitesse de synchronique ω/p ou p est le nombre de paires de poles de la machine,

– la composante inverse produit un couple qui tente d’entrainer le moteur vers la vitesse−ω/p

– une fois la machine demarree, la composante homopolaire produit un couple qui tente deramener le rotor a une vitesse nulle.

C’est la composante la plus forte qui l’emportera, mais les autres composantes vont ralentir lamachine et degrader le rendement.

Chapitre 5

Regime harmonique

5.1 Decomposition en serie de Fourier

5.1.1 Introduction

Definition 9 (signal periodique)Un signal x(t) est periodique de periode T si x(t+ T ) = x(t) pour tout t ∈ R.

Soit x(t) un signal periodique de periode T . Alors, ce signal peut se decomposer en une sommeinfinie de composantes sinusoıdales aux frequences kf ou f = 1/T est la frequence fondamentaledu signal et k = 0, 1...∞. On notera alors :

x(t) =∞∑

k=0

xk(t) (5.1)

La composante continue est une constante (x0(t) = x0). Les autres composantes s’ecrivent soitsous une forme cosinus + sinus :

xk(t) = ak cos(kωt) + bk sin(kωt) (5.2)

soit sous forme d’un cosinus dephase :

xk(t) = Xk

√2 cos(kωt+ αk) (5.3)

ou Xk est la valeur efficace de l’harmonique de rang k.Pour une installation ou un equipement electrique, il est essentiel de limiter la pollution

electrique, c’est-a-dire qu’il faut s’assurer que les signaux de tension et de courant contiennentprincipalement du fondamentale (x1(t)) et que les harmoniques de rang superieurs sont relati-vement faibles. La composante continue est generalement negligeables.

5.1.2 Fondement theorique

Considerons l’ensemble ET des signaux periodiques de periode T . Cet ensemble a les pro-prietes suivantes :

– (x(t), y(t)) ∈ ET × ET ⇒ x(t) + y(t) ∈ ET ,– x(t) ∈ ET , λ ∈ R ⇒ λx(t) ∈ ET .

Il s’agit donc d’un espace vectoriel.On lui associe le produit scalaire 〈x, y〉 suivant (un scalaire est dans notre cas un reel) :

〈x(t), y(t)〉 = 1

T

∫

Tx(t)y(t)dt (5.4)

et la norme‖x(t)‖ =

√

〈x(t), x(t)〉. (5.5)

35

36 CHAPITRE 5. REGIME HARMONIQUE

On appelle energie du signal x(t) la grandeur 〈x(t), x(t)〉 = 1T

∫

T x2(t)dt. Cette energie ausens des signaux ne doit pas etre confondue avec l’energie au sens physique. Pour eviter touteconfusion, on precisera toujours “energie du signal”.

Theoreme 2 (Base de ET )L’ensemble des fonctions 1, cos(kωt), sin(kωt)k=1,2... forme une base orthogonale de ET .

Cela signifie que les elements forment une base et qu’ils sont orthogonaux entre eux (produitscalaire nul).

Pour verifier l’orthogonalite, il suffit de verifier que 〈1, cos(kωt)〉 = 0 ∀k ≥ 1, 〈1, sin(kωt)〉 =0 ∀k ≥ 1 et 〈cos(jωt), sin(kωt)〉 = 0 ∀j 6= k.

Dire qu’un ensemble est une base signifie que ses elements sont libres et generateurs.

Definition 10 (ensemble libre)Un ensemble xk de signaux est libre si

∑

k λkxk ≡ 0 ⇒ λk = 0 ∀k. C’est-a-dire que laseule combinaison lineaires des signaux egale au signal nul est la combinaison triviale ou lescoefficients sont tous nuls.

Definition 11 (ensemble generateur)Un ensemble xk de signaux est generateur de l’espace E si ∀x ∈ E, ∃λk ∈ R \ x =

∑

k λkxk.C’est-a-dire que tout element x de E peut s’ecrire comme combinaison lineaire des xk.

Propriete 11 (base)Dire qu’un ensemble xk est une base de l’espace E signifie que tout element x de E s’ecrit demaniere unique comme combinaison lineaire des xk.

Verifions maintenant que l’ensemble 1, cos(kωt), sin(kωt)k=1,2... est bien une base des fonc-tions periodiques de periode T et verifions d’abord que ses elements sont libres.

Soit x(t) = λ0 +∑

k λk cos(kωt) + µk sin(kωt) une combinaison lineaire qui serait egale ausignal nul. En effectuant le produit scalaire avec le signal 1, on obtient 〈x, 1〉 = 〈0, 1〉 = 0 puisquex(t) = 0 par hypothese. Or le calcul donne 〈x, 1〉 = λ0, ce qui implique λ0 = 0. En effectuantle produit scalaire avec le signal cos(kωt), on obtient 〈x, cos(kωt)〉 = 〈0, cos(kωt)〉 = 0. Or〈x, cos(kωt)〉 = λk ce qui implique λk = 0. En effectuant le produit scalaire avec le signalsin(kωt), on obtient 〈x, sin(kωt)〉 = 〈0, sin(kωt)〉 = 0. Or 〈x, sin(kωt)〉 = µk ce qui impliqueµk = 0. On obtient bien que λk = µk = 0 ce qui signifie que l’on a affaire a la combinaisonlineaire nulle. CQFD.

Nous admettrons que, moyennant quelques hypotheses de regularite sur les signaux, l’en-semble est generateur. Ainsi, pour tout signal x ∈ ET , on peut trouver des reels ak, bk uniquestels que

x(t) = a0 +∞∑

k=1

ak cos(kωt) + bk sin(kωt) (5.6)

En effectuant le produit scalaire avec les differents elements de la base, on obtient 〈x, 1〉 = a0,〈x, cos(kωt)〉 = ak

2 et 〈x, sin(kωt)〉 = bk2 . Ce qui donne

a0 =1

T

∫

Tx(t)dt (5.7)

ak =2

T

∫

Tx(t) cos(kωt)dt, k ≥ 1 (5.8)

bk =2

T

∫

Tx(t) sin(kωt)dt, k ≥ 1 (5.9)

Par la suite, on se considerera uniquement la partie alternative du signal, i.e. x(t) = x(t)−a0.

5.1. DECOMPOSITION EN SERIE DE FOURIER 37

5.1.3 Proprietes de la decomposition en serie de Fourier

Linearite.

Les coefficients de la serie de Fourier de la somme de deux signaux periodiques de memeperiode est la somme des coefficients de Fourier de chacun des signaux. Multiplier un signal parun reel constant correspond a multiplier chacun des coefficients de la serie par ce meme nombre.

Equivalence des deux formulations.

Pour passer de la formulation cosinus + sinus (5.2) a la formulation cosinus + phase (5.3),on peut utiliser les formules suivantes :

ak = Xk

√2 cos(αk) (5.10)

bk = −Xk

√2 sin(αk) (5.11)

Xk =

√

a2k + b2k2

(5.12)

αk = − arctan

(

bkak

)

(5.13)

Exercice 26 (Demonstration) Demontrez les relations 5.10 a 5.13.

Signal retarde.

Connaissant la decomposition en serie de Fourier de x(t), alors celle de x(t−τ), signal retardede τ s’ecrit :

x(t− τ) =∑

Xk cos(kω(t− τ) + αk) (5.14)

=∑

Xk cos(kωt+ αk − kωτ)) (5.15)

Ainsi, les valeurs efficaces des harmoniques sont conservees mais chaque harmonique est dephasede kωτ .

Signal dilate temporellement.

La dilatation temporelle n’a aucun effet sur les coefficients ak et bk. Ainsi, il est possible,pour simplifier leur calcul, d’utiliser une autre graduation, par exemple de choisir une largeurde 2π pour la periode.

Identite de Parseval.

Theoreme 3 (Theoreme de Parseval) L’energie d’un signal est egale a la somme des energiesde ses differentes harmoniques.

Cette identite s’ecrit aussi

1

T

∫

Tx2(t)dt = a20 +

1

2

∞∑

k=1

a2k + b2k (5.16)

Exercice 27 (Demonstration du theoreme de Parseval)Demontrez le theoreme de Parseval. Vous pourrez vous appuyer sur les proprietes de base desfonctions 1, cos(kωt), sin(kωt)k=1,2....


5.1.4 Symetries et serie de Fourier

Les symetries du signal sont necessairement des symetries de sa transformee de Fourier.Ainsi, on peut enoncer un certain nombre de proprietes qui simplifient les calculs.

Propriete 12 (Signal pair)La transformee de Fourier d’un signal pair (x(−t) = x(t)) ne contient que des termes en cosinus.

Exercice 28Demontrez la propriete ci-dessus.

Alors, les integrales peuvent etre calculees sur une demi-periode :

ak =4

T

∫ T2

0x(t) cos(kωt)dt, k ≥ 1 (5.17)


Si, en plus, le signal est symetrique par rapport au point de coordonnees (T4 ,0) (x(T4 − τ) =

−x(T4 + τ)), alors les termes pairs de la serie sont nuls et on peut calculer les termes non-nulssur un quart de la periode :

ak =8

T

∫ T4

0x(t) cos(kωt)dt, k ≥ 1 (5.18)


Propriete 13 (Signal impair)La transformee de Fourier d’un signal impair ne contient que des termes en sinus.


Alors, les integrales peuvent etre calculees sur une demi-periode :

bk =4

T

∫ T2

0x(t) sin(kωt)dt, k ≥ 1 (5.19)


Si, en plus, le signal est symetrique par rapport a la droite d’equation t = T4 , alors les termes

pairs de la serie sont nuls et on peut calculer les termes non-nuls sur un quart de la periode :

bk =8

T

∫ T4

0x(t) sin(kωt)dt, k ≥ 1 (5.20)

Exercice 33 Demontrez la propriete ci-dessus.

Propriete 14 (Symetries)Les termes de la decomposition en serie de Fourier qui n’ont pas les memes symetries que lesignal ont une amplitude nulle.

5.1. DECOMPOSITION EN SERIE DE FOURIER 39

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

le s

igna

l

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

cos(

k*th

eta)

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

sin(

k*th

eta)

theta (rad)

Figure 5.1 – Illustration des symetries sur un creneau. En haut : le creneau et ses harmoniquesde rang 1 et 3 (les rangs pairs sont nuls). Au milieu, les trois premiers termes en cosinus. Enbas, les trois premiers termes en sinus.


0 0.5 T T 1.5 T 2 T -A

-0.5 A

0

0.5 A

A

Figure 5.2 – Signal n 1

0 0

0.2 A 0.4 A 0.6 A 0.8 A

A

0.5 T T 1.5 T 2 T

Figure 5.3 – Signal n 2

Cette propriete resulte du fait que les termes de la decomposition en serie de Fourier sont tousindependants.

A titre d’illustration, le cas d’un creneau alternatif est donne sur la figure 5.1. Parmi lestermes de rang 1 a 3 traces avec le signal de depart sur la figure du haut, on observe facilementque seulement 2 harmoniques sont non nuls. On observe en effet que parmi les termes en sinus(figure du bas), aucun ne respecte les symetries du signal et notamment la parite. Ensuite, onobserve que, parmi les termes en cosinus, les termes de rang pair ne respectent pas la symetriepar rapport au point d’abscisse π/2. Seuls subsistent donc les termes en sinus de rangs impairs.

Exercice 34Calculez la decomposition en serie de Fourier des signaux presentes dans les exercices 5 a 7.

Exercice 35 (Developpement en serie de Fourier)Pour chacun des signaux n 1 et 2 representes sur les figures 5.2 a 5.3,

1. Calculez l’expression analytique des coefficients de la serie de Fourier complexe.

2. Representez graphiquement la valeur efficace de chacun des harmoniques sur une echellede frequence.

5.2 Puissance en non-sinusoıdal

5.2.1 Harmoniques de courant

Considerons ici le cas ou la tension est sinusoıdale et ou des harmoniques sont presentessur le courant (il est donc deforme par rapport a une sinusoıde). En prenant la tension comme

5.2. PUISSANCE EN NON-SINUSOIDAL 41

reference des phases, on a :

u(t) = U√2 cos(ωt) (5.21)

i(t) =∞∑

k=1

Ik√2 cos(kωt− φk) (5.22)

et les valeurs efficaces des harmoniques du courant verifient la relation de Parceval :

I2 =∞∑

k=1

Ik2. (5.23)

On appelle taux d’harmoniques du courant la quantite :

THI =

√

∑∞k=2 Ik

2

I(5.24)

Il s’agit du rapport entre la valeur efficace des harmoniques et la valeur efficace totale. Le tauxd’harmoniques est compris entre zero et un ; il augmente avec les harmoniques. On rencontreparfois une definition concurrente pour le taux d’harmoniques :

THI1 =

√

∑∞k=2 Ik

2

I1(5.25)

Dans ce cas, on rapporte la valeur efficace des harmoniques a la valeur efficace du fondamentale.Avec cette definition, le taux d’harmoniques varie entre zero et l’infini. Ces deux definitionsdonnent des valeurs numeriques tres proches dans le cas ou le fondamental reste preponderant.

La puissance instantanee s’ecrit alors :

p(t) = u(t)i(t) (5.26)

= 2U∞∑

k=1

Ik cos(ωt) cos(kωt− φk) (5.27)

= U∞∑

k=1

Ik (cos((k + 1)ωt− φk) + cos((k − 1)ωt− φk)) (5.28)

Il s’agit d’une somme de sinusoıdes aux frequences 0, ω, 2ω... La valeur moyenne est la sommedes valeurs moyennes des differents termes ; chaque sinusoıde ayant une valeur moyenne nulle amoins que sa pulsation soit nulle, il ressort qu’un seul terme est non nul et non a :

P = UI1 cos(φ1). (5.29)

C’est-a-dire que seul le fondamental du courant transporte de la puissance active ; le dephasageintervenant dans le terme cos(φ1) est le dephasage du fondamental.

On definit alors la puissance reactive :

Q = UI1 sin(φ1). (5.30)

En presence d’harmonques, la relation S2 = P 2 +Q2 n’est plus valable et s’ecrit desormais

S2 = P 2 +Q2 +D2 (5.31)

avec

D2 = S2 − P 2 −Q2 (5.32)

= U2(I2 − I12) (5.33)

= U2∞∑

k=2

Ik2 (5.34)


On observe bien dans cette derniere expression que D est lie a la presence d’harmoniques. Onl’appelle puissance deformante.

Le facteur de puissance est

Fp =P

S(5.35)

=UI1 cosφ1

UI(5.36)

=I1Icosφ1 (5.37)

Le facteur de puissance n’est plus egal a cosφ1. Il est desormais le produit de deux facteurs : unfacteur lie au dephasage (cos(φ1)) et un facteur lie aux harmoniques ( I1I ).

Exercice 36Demontrez la relation suivante :

THI =D

S(5.38)

5.2.2 Harmoniques de tension

Considerons ici le cas ou le courant est sinusoıdal et ou des harmoniques sont presentes surla tension. En prenant le courant comme reference, on a :

u(t) =∞∑

k=1

Uk

√2 cos(kωt+ φk) (5.39)

i(t) = I√2 cos(kωt) (5.40)

L’equation de Parceval s’ecrit :

U2 =∞∑

k=1

Uk2. (5.41)

Le taux d’harmoniques en tension est :

THV =

√

∑∞k=2 Uk

2

U(5.42)

On rencontre parfois une definition concurrente pour le taux d’harmoniques :

THV 1 =

√

∑∞k=2 Uk

2

U1(5.43)

La puissance instantanee s’ecrit :

p(t) = u(t)i(t) (5.44)

= 2I∞∑

k=1

Uk cos(ωt) cos(kωt+ φk) (5.45)

= I

∞∑

k=1

Uk (cos((k + 1)ωt+ φk) + cos((k − 1)ωt+ φk)) (5.46)

Il s’agit d’une somme de sinusoıdes aux frequences 0, ω, 2ω... La puissance moyenne est :

P = U1I cos(φ1). (5.47)

C’est-a-dire que seul le fondamental du courant transporte de la puissance active ; le dephasageintervenant dans le terme cos(φ1) est le dephasage du fondamental.


On definit alors la puissance reactive :

Q = U1I sin(φ1). (5.48)

La puissance deformante s’ecrit :

D2 = I2∞∑

k=2

Uk2 (5.49)

et la relation des puissances est :S2 = P 2 +Q2 +D2 (5.50)

Le facteur de puissance est

Fp =U1

Ucosφ1 (5.51)

Le facteur de puissance n’est plus egal a cosφ1.

5.2.3 Harmoniques de tension et de courant

Considerons le cas ou des harmoniques sont presentes a la fois sur la tension et le courant :

u(t) =

∞∑

k=1

Uk

√2 cos(kωt+ αk) (5.52)

i(t) =∞∑

k=1

Ik√2 cos(kωt+ αk − φk) (5.53)

avec α1 = 0 (c’est-a-dire qu’on prend comme reference des temps le fondamental de la tension).La puissance instantanee s’ecrit :

p(t) = u(t)i(t) (5.54)

= 2

( ∞∑

k=1

Uk cos(kωt+ αk)

)( ∞∑

l=1

Il cos(lωt+ αl − φl)

)

(5.55)

= 2∞∑

k=1

∞∑

l=1

UkIl cos(kωt+ αk) cos(lωt+ αl − φl) (5.56)

=∞∑

k=1

∞∑

l=1

UkIl (cos((k + l)ωt+ 2αk − φk) (5.57)

+ cos((k − l)ωt+ φl)) (5.58)

La puissance instantanee comporte des termes a la pulsation 0, ω, 2ω... Les seuls termes depulsation non nuls apparaissent pour k = l ; on peut alors ecrire :

P =∞∑

k=1

UkIk cos(φk) (5.59)

Ainsi, les harmoniques presentes a la fois dans la tension et le courant portent de la puissance.

On peut definir une puissance active transportee par le fondamental :

P1 = U1I1 cos(φ1) (5.60)

Suivant les applications, la puissance utile Pu sera soit P , soit P1. Pour un chauffage electrique,la puissance convertie en puissance thermique est Pu = P . Pour un entraınement electrique a


courant alternatif, les harmoniques ne contribuent pas correctement a la production de couple 1 ;on peut donc considerer que Pu = P1.

On peut definir les puissances active, reactive et apparente pour chaque harmonique :

Pk = UkIk cos(φk) (5.61)

Qk = UkIk sin(φk) (5.62)

Sk = UkIk (5.63)

(5.64)

Ainsi qu’un facteur de puissance associe :

Fpk =Pk

Sk= cos(φk) (5.65)

On peut egalement definir une puissance reactive totale :

Q =∞∑

k=1

UkIk sin(φk) (5.66)

Dans le cas general presente ici, les harmoniques sont presentes sur les puissances active etreactive et il n’est plus possible de les distinguer.

Exercice 37 (Calcul de taux d’harmoniques)Calculez les taux d’harmoniques TH et TH1 des signaux presentes dans les exercices 5 a 7.

Exercice 38 (Redressement monophase)Un pont de diodes monophase alimente par une tension sinusoıdale u(t) = U

√2 cos(ωt) absorbe

un courant en creneaux d’amplitude Ic en phase avec la tension (Ic lorsque u(t) est positif, −Iclorsqu’il est negatif). Determinez la decomposition en serie de Fourier du courant.

1. Determinez la puissance apparente, la puissance active, la puissance reactive, la puissancedeformante et le facteur de puissance.

Exercice 39 (Redressement triphase)Un pont de diodes triphase est alimente par trois tensions sinusoıdales ua(t) = U

√2 sin(ωt),

ub(t) = U√2 sin(ωt− 2π

3 ) et uc(t) = U√2 sin(ωt+ 2π

3 ). Le courant ia(t) se presente comme suitlorsque ωt parcourt [0 ; 2π] : il est egal a Ic sur [π6 ; 5π6 ], egal a −Ic sur [7π6 ; 11π6 ] et nul le restedu temps.

1. Determinez la decomposition en serie de Fourier du courant, les taux de distorsion THI

et THI1 du courant, la puissance apparente, la puissance active, la puissance reactive, lapuissance deformante et le facteur de puissance.

5.2.4 Regime triphase equilibre avec harmoniques

Nous nous limitons ici au cas des harmoniques de courant. En regime triphase equilibre, sansharmoniques de tension, les tensions simples s’ecrivent :

va(t) = V√2 cos(ωt) (5.67)

vb(t) = V√2 cos(ωt− 2π

3) (5.68)

vc(t) = V√2 cos(ωt− 4π

3) (5.69)

1. Pour un moteur synchrone tournant a la vitesse Ω = ωpou p est le nombre de paires de poles, les harmoniques

autres que le fondamental produisent un couple pulse de valeur moyenne nulle. Pour une machine asynchronefonctionnant a une vitesse proche de la vitesse nominale, les harmoniques produiront principalement des pertesJoule au rotor.


´Ecrivons le courant dans la premiere ligne sous la forme :

ia(t) =∑

k

Ik√2 cos(kωt− φk) (5.70)

Les courants dans les phases b et c s’ecrivent :

ib(t) = ia(t−T

3) (5.71)

ic(t) = ia(t−2T

3) (5.72)

soit :

ib(t) =∑

k

Ik√2 cos(kωt− φk −

2kπ

3) (5.73)

ic(t) =∑

k

Ik√2 cos(kωt− φk −

4kπ

3) (5.74)

La transposition des formules definies en monophase vers le triphase se fait tres simplementen remplacant U par 3V ou par

√3U ou U est desormais la tension composee (U =

√3V ).

Definissons les harmoniques de courant :

iak(t) = Ik√2 cos(kωt− φk) (5.75)

ibk(t) = Ik√2 cos(kωt− φk −

2kπ

3) (5.76)

ick(t) = Ik√2 cos(kωt− φk −

4kπ

3) (5.77)

et analysons les systemes triphases obtenus pour les differentes valeurs de k. Pour k = 1 etsachant que cos(α− 4π

3 ) = cos(α+ 2π3 ) nous avons :

ia1(t) = I1√2 cos(ωt− φ1) (5.78)

ib1(t) = I1√2 cos(ωt− φ1 −

2π

3) (5.79)

ic1(t) = I1√2 cos(ωt− φ1 +

2π

3) (5.80)

Il s’agit d’un systemes triphase direct (phase a en avance sur la phase b qui est elle-meme enavance sur la phase c) a la pulsation ω. Pour k = 2, nous avons :

ia2(t) = I2√2 cos(2ωt− φ2) (5.81)

ib2(t) = I2√2 cos(2ωt− φ2 +

2π

3) (5.82)

ic2(t) = I2√2 cos(2ωt− φ2 −

2π

3) (5.83)

Il s’agit d’un systemes triphase inverse a la pulsation 2ω. Pour k = 3, on a :

ia3(t) = I3√2 cos(3ωt− φ3) (5.84)

ib3(t) = I3√2 cos(3ωt− φ3) (5.85)

ic3(t) = I3√2 cos(3ωt− φ3) (5.86)

Il s’agit d’un systeme triphase homopolaire a la pulsation 3ω. Pour les rangs superieurs a 3, nousretrouverons a nouveau des systemes directes, inverses et homopolaires. De maniere generale,les systemes de rang k sont directs s’ils s’ecrivent k = 3l + 1, sont inverses si k = 3l + 2 et sont


homopolaires si k est multiple de 3 (k = 3l).

Interessons nous desormais au courant de neutre defini par :

in(t) = ia(t) + ib(t) + ic(t) (5.87)

ou, pour son harmonique de rang k :

ink(t) = iak(t) + ibk(t) + ick(t) (5.88)

En sachant que :

cos(α) + cos(α+2π

3) + cos(α− 2π

3) = 0 ∀α (5.89)

on a ink = 0 pour k = 3l + 1 et k = 3l + 2. En effet, les systemes triphases equilibres directeset inverses ne produisent pas de courant de neutre. Pour k = 3l (les rangs multiples de 3), nousavons ink = 3Ik, c’est-a-dire que le courant dans le neutre, pour cet harmonique, est le triple ducourant de phase. Deux situations peuvent etre rencontrees :

– Si le neutre d’un reseau est connecte, il est necessaire de prendre en compte les harmo-niques de rang 3 et multiples de 3 dans le dimensionnement du cable de neutre. Pour desinstallations consommant beaucoup d’harmoniques de rang 3, un sur-dimensionnement ducable de neutre doit etre envisage.

– Si le neutre n’est pas connecte (moteur triphase par exemple), alors les harmoniques derang 3 et multiples de 3 seront absentes dans chacune des trois phases.

Exercice 40 (Courant de neutre)Soit une ligne triphasee 4 fils avec une tension sinusoıdale equilibree. Les courants dans les troisphases forment un systeme equilibre de valeur efficace I = 100 A et de taux de distorsion Thi =0, 3. On suppose que cette distorsion est engendree uniquement par des courants harmoniquesde rang 3.

1. Determinez la valeur efficace des harmoniques de courant.

2. Determinez la valeur efficace du courant de neutre.

3. Determinez la periode du courant de neutre.

5.2.5 Regime triphase desequilibre avec harmoniques

Le cas general du fonctionnement en desequilibre avec harmoniques ne necessite pas d’exposeparticulier. Pour son etude, il suffit de considerer separement chacune des harmoniques. Pourchaque rang, on analyse le systeme comme un systeme triphase sinusoıdal desequilibre. Ondetermine d’abord les grandeurs relatives a l’harmonique de rang k : valeur efficace du courantde ligne Iak, Ibk et Ick ; valeurs efficaces des tensions de ligne : Vak, Vbk et Vck ; dephasages entreles courants et tension harmoniques : φak, φbk et Ick. La puissance relative a l’harmonique k estalors :

Pk = VakIak cos(φak) + VbkIbk cos(φbk) + VckIck cos(φck) (5.90)

Les grandeurs totales de lignes s’obtiennent en sommant a partir des differentes harmoniques.Pour la puissance, la conservation de la puissance donne :

P =∑

k

Pk (5.91)


Pour la tension et le courant, les valeurs efficaces de la tension et du courant sont donnees parl’identite de Parseval (conservation de la puissance d’un signal) :

V 2a =

∑

k

V 2ak (5.92)

V 2b =

∑

k

V 2bk (5.93)

V 2c =

∑

k

V 2ck (5.94)

et :

I2a =∑

k

I2ak (5.95)

I2b =∑

k

I2bk (5.96)

I2c =∑

k

I2ck (5.97)

La puissance apparente totale est la somme des puissances apparentes transportees par chacunedes trois phases :

S = VaIa + VbIb + VcIc (5.98)

et le facteur de puissance a toujours la meme definition :

Fp =P

S(5.99)

Exercice 41 (Regime desequilibre avec harmoniques)Une installation est alimentee par un reseau triphase presentant des harmoniques. On a releveles valeurs efficaces des harmoniques des tensions simples :

rang 1 2 3 4 5 6 7

Vak (V) 380 0 5 0 3 0 5Vbk (V) 400 0 0 0 0 0 0Vck (V) 390 0 0 0 0 0 0

les valeurs efficaces des courants de ligne :

rang 1 2 3 4 5 6 7

Iak (A) 32 0 5 0 3 0 2Ibk (A) 30 0 3 0 2 0 1Ick (A) 28 0 7 0 1 0 3

ainsi que les dephasages par rapport aux tensions homologues :

rang 1 3 5 7

φak (deg) 30 75 80 60φak (deg) 20 80 85 90φak (deg) 45 60 70 100

On neglige les effets des harmoniques de rang superieur a 7.

1. Determinez les valeurs efficaces des tensions simples Va, Vb et Vc.

2. Determinez les taux d’harmoniques des tensions.

3. Pour chacune des harmoniques, determinez la puissance Pk et la puissance apparente Sk.

4. Determinez les valeurs efficaces de courants Ia, Ib et Ic.

5. Determinez les taux d’harmoniques des courants.

6. Determinez la puissance apparente et le facteur de puissance de l’installation.

7. Determinez la valeur efficace du courant de neutre.

Chapitre 6

Regimes transitoires

Le branchement ou le debranchement d’une charge sur un reseau produit un regime tran-sitoire pendant lequel peut survenir un pic de courant. Nous nous interessons dans ce chapitreaux systemes du premier et second ordre. L’etude est effectuee par la resolution de l’equationdifferentielle. Pour des systemes d’ordre plus eleves, il est necessaire de recourir a la transformeede Laplace. Les regimes transitoires peuvent egalement etre etudies en simulation numeriquesoit avec un logiciel dedie a la simulation des circuits electriques (par exemple P-Sim) soit al’aide d’un logiciel de calcul numerique (Matlab ou Scilab). Toutefois, la capacite de determinerles expressions analytiques des grandeurs electriques permet des resultats plus pluissants. Parexmple, on peut developper un abaque donnant la valeur maximale du courant lors d’une misesous tension en fonction de l’instant de commutation de l’interrupteur.

6.1 Equation differentielle du premier ordre

6.1.1 Equation sans second membre

Considerons l’equation differentielle suivante 1 :

y(t) + ay(t) = 0 (6.1)

avec la condition initiale y(t0) = y0 ou a est un reel constant et y(t) est le signal inconnu. Cetteequation peut se reecrire :

y(t)

y(t)= −a (6.2)

En integrant cette expression entre t0 et t, on obtient :

∫ τ=t

τ=t0

y(τ)

y(τ)dτ = ln(y(t))− ln(y(t0)) = −a(t− t0) (6.3)

En appliquant aux deux membres la fonction exponentielle 2, on obtient :

y(t) = y(0) exp(−a(t− t0)) (6.4)

La solution est une fonction exponentielle passant par y(t0) a t0, convergeant vers 0 si a estpositif et divergeant vers l’infini si a est negatif.

Exercice 42 (Allure d’une exponentielle)On considere la fonction x(t) = A exp(−at) avec a > 0.

1. Determinez l’equation de la droite tangente a la fonction en t = 0 ; tracez cette droite dansle plan (t,x).

1. On note y(t) = dy(t)dt

.2. On rappelle que ln(a)− ln(b) = ln(a/b), que exp(a− b) = exp(a)/ exp(b) et que exp(ln(x)) = x.

49

50 CHAPITRE 6. REGIMES TRANSITOIRES

2. Determinez et placez les points x(τ) et x(3τ) ou τ = 1/a.

3. Deduisez en un trace relativement precis de la fonction x(t).

Exercice 43 (Decharge d’un condensateur)On considere une capacite C, chargee a la tension E, en serie avec une resistance R. A t = 0,on court-circuite le dipole.

1. Donnez un schema du circuit.

2. Determinez l’equation differentielle definissant l’evolution de la tension du condensateur.

3. Determinez les expressions mathematiques du courant et de la tension ; representez leursformes d’onde.

Exercice 44 (Ouverture d’un inductance)Une bobine d’inductance L est initialement court-circuitee par un interrupteur et parcourue parun courant constant I. A t = 0, on ouvre l’interrupteur, obligeant ainsi le courant parcourantl’inductance a traverser une resistance R.

1. Donnez un schema du circuit.

2. Determinez l’equation differentielle definissant l’evolution du courant.

3. La valeur initiale du courant etant notee I, determinez l’expression mathematique du cou-rant en fonction du temps ; representez son allure.

6.1.2 Equation avec second membre

Considerons maintenant l’equation differentielle suivante :

y(t) + ay(t) = bu(t) (6.5)

avec la condition initiale y(t0) = y0 ou a et b sont des reels constants, u(t) est un signal connuet y(t) est le signal inconnu.

Supposons qu’une solution particuliere yp(t) de l’equation est connue, verifiant donc :

yp(t) + ayp(t) = bu(t). (6.6)

En soustrayant (6.6) a (8.44) et en notant :

δy(t) = y(t)− yp(t), (6.7)

on obtient : δy(t) + aδy(t) = 0. Il s’agit alors d’une equation differentielle sans second membredont la solution s’ecrit δy(t) = λ exp(−a(t−t0)) ou λ est une constante a determiner. La solutiongenerale s’ecrit alors :

y(t) = yp(t) + λ exp(−a(t− t0)). (6.8)

La condition initiale permet d’ecrire : y(t0) = yp(t0)+λ exp(0) = y0, ce qui donne λ = y0−yp(t0)d’ou la solution complete :

y(t) = yp(t) + (y0 − yp(t0)) exp(−a(t− t0)). (6.9)

Dans le cas ou le second membre est contant, i.e. u(t) = u, une solution particuliere constanteest evidente : yp(t) = yp =

bua . La solution s’ecrit alors :

y(t) = y0 exp(−a(t− t0)) +bu

a(1− exp(−a(t− t0))). (6.10)

Exercice 45 (Mise sous tension d’une charge inductive)Une charge inductive, composee de la mise en serie d’une inductance L et d’une resistance Ret initialement parcourue par un courant nul est connectee a une source de tension constante Ea t = 0.

6.1. EQUATION DIFFERENTIELLE DU PREMIER ORDRE 51

1. Determinez l’expression du courant en fonction du temps.

2. Representez son allure.

Exercice 46 (Charge RL en regime permanent sinusoıdal)On considere un dipole RL serie (de resistance R et d’inductance L), parcouru par un couranti(t) et soumis a une tension sinusoıdale u(t) = U

√2 cos(ωt).

1. Determinez l’equation differentielle liant le courant et la tension.

2. On ne s’interesse qu’au regime permanent sinusoıdal ; montrez que i(t) = I√2 cos(ωt−φ)

est une solution.

3. Determinez I et φ.

6.1.3 Methode de la variation de la constante

Lorsqu’on ne parvient pas a trouver une solution particuliere permettant de se ramener a laresolution d’une equation sans second membre, on peut avoir recours a une methode un peu pluscompliquee appelee methode de la variation de la constante. Cette methode consiste a chercherla solution de l’equation differentielle (8.44) sous la forme :

y(t) = λ(t) · exp(−at). (6.11)

On s’inspire donc de la forme de la solution de l’equation differentielle sans second membre maison transforme la constante λ en une fonction du temps.

La derivee de y(t) s’ecrit alors :

y(t) = λ(t) · exp(−at)− aλ(t) · exp(−at). (6.12)

En remplacant dans l’equation differentielle (8.44), une simplification apparait et on obtient :

λ(t) = u(t) exp(at). (6.13)

Le succes de la methode repose alors sur la capacite a integrer cette derniere equation, ce quin’est pas toujours possible. Dans le cas ou une primitive λ(t) est trouvee a une constance c pres,la solution est alors de la forme :

y(t) = (λ(t) + c) · exp(−at). (6.14)

Il ne reste plus qu’a determiner la constante c d’apres la condition initiale.

Exercice 47 (Mise sous tension sinusoıdale d’un circuit RL)Un circuit compose d’une resistance R et d’une inductance L connectes en serie, initialementtraverse par un courant nul est branche a t = 0 sur une source de tension sinusoıdales de formed’onde U cos(ωt).

– Determinez l’expression du courant 3.

Exercice 48 (Surtension a la fermeture)On cherche a determiner le sur-courant maximal qui peut survenir a la mise sous tension d’unecharge inductive. On considerera une alimentation monophasee de tension de valeur efficace230 V a 50 Hz. L’impedance du reseau est supposee purement inductive avec un courant de court-circuit de 1000 A. La charge a une puissance nominale (sous 230 V) de 2 kW et un facteur depuissance de 0,75. On la modelise par la mise ne serie d’une resistance et d’une inductance. Onmodelise la source de tension par un generateur de force-electromotrice u(t) = U

√2 cos(ωt+α).

La mise sous tension de la charge a lieu a t = 0.

3. On pourra s’appuyer sur l’exercice 46 pour la determination d’une solution particuliere. On pourra egalementutiliser la methode de la variation de la constante ; on rappelle la decomposition de la fonction cosinus en expo-nentielles complexes : cos(α) = 1

2(exp(jα) + exp(−jα)).


1. Determinez l’inductance Lr du reseau et la valeur de U .

2. Determinez les parametres R et L de la charge.

3. Donnez l’equation differentielle determinant le courant.

4. Determinez l’expression du courant en fonction de α.

5. Determinez la valeur du pic de courant en fonction de α

6. Determinez la valeur maximale du pic de courant qui peut survenir

6.2 Equation differentielle du second ordre

6.2.1 Equation differentielle sans second membre

Soit l’equation differentielle 4 :

y(t) + ay(t) + by(t) = 0. (6.15)

Sa resolution passe par la resolution d’une equation associee :

r2 + ar + b = 0 (6.16)

dont les solutions sont bien connues 5, 6 :

r1 =a

2+

√

a2

4− b (6.17)

r2 =a

2−√

a2

4− b (6.18)

Les solutions de l’equation differentielle (6.15) sont alors de la forme :

y(t) = λ exp(r1t) + µ exp(r2t) (6.19)

ou λ et µ sont deux constantes a determiner d’apres les conditions initiales.

Exercice 49Montrez que la fonction (6.19) est bien solution de l’equation differentielle 6.15.

Dans le cas ou le discriminant de (8.6) est negatif, les racines r1 et r2 sont complexes conjugeeset s’erivent donc :

r1 = r + js (6.20)

r2 = r − js (6.21)

La solution de l’equation (6.15) s’ecrit alors :

y(t) = λ exp(rt) exp(jst) + µ exp(rt) exp(−jst) (6.22)

= exp(rt) (λ(cos(st) + j sin(st)) + µ(cos(st)− j sin(st))) (6.23)

= exp(rt) ((λ+ µ) cos(st) + j(λ− µ) sin(st)) (6.24)

Puisque nous ne considerons ici que des equations a coefficients reels, la solution est necessairementa coefficients reels. Ainsi, c = λ+µ et d = j(λ+µ) sont des coefficients reels. La solution s’ecritdonc sous la forme :

y(t) = exp(rt) (c cos(st) + d sin(st)) . (6.25)

4. On note y(t) = d2y(t)

dt2.

5. On peut facilement trouver ce resultat en notant que r2 + ar + b = (r + a2)2 − a2

4+ b.

6. Cette expression reste valable si l’argument de la racine carree est negatif a condition de considerer√−1 = j.

6.3. DETERMINATION PAR LA TRANSFORMEE DE LAPLACE 53

Il reste encore a determiner les constantes c et d d’apres les conditions initiales.Dans le cas ou les deux racines r1 et r2 sont identiques egales a −a

2 (discriminent nul), lasolution generale est de la forme :

y(t) = (λ+ µt) exp(

−a

2t)

(6.26)

Pour cela, il suffit de montrer que t exp(−a2 t) est solution de l’equation differentielle 6.15.

Exercice 50 (Decharge d’un circuit RLC)Un circuit RLC serie de resistance R, l’inductance L et de capacite C est initialement ouvert ;la capacite etant chargee a la tension E. A l’intant t = 0, on court-circuite ce dipole.

1. Determinez l’equation differentielle du second ordre liant le courant et ses derivees.

2. Donnez les conditions initiales sur i(t) et di(t)dt .

3. Donnez l’expression du courant et tracez sa forme d’onde.

Exercice 51 (Mise sous tension d’un circuit RLC)Un circuit RLC serie de resistance R, l’inductance L et de capacite C est initialement ouvertet decharge. A l’intant t = 0, on connecte ce dipole avec un generateur de tension constanted’amplitude E. On donne R = 1 Ω, L = 1 mH, C = 1 mF et E = 50 V.

1. Determinez l’equation differentielle du second ordre liant le courant et ses derivees.

2. Donnez les conditions initiales sur i(t) et di(t)dt .

3. Donnez l’expression du courant et tracez sa forme d’onde.

4. Donnez l’allure des tensions aux bornes de la resistance, de l’inductance et de la capacite.

6.2.2 Equation differentielle avec second membre

Soit l’equation differentielle :

y(t) + ay(t) + by(t) = u(t). (6.27)

Comme pour les equations differentielles du premier ordre avec second membre, on peut seramener a l’equation sans second membre des lors qu’une solution particuliere est trouvee.

Exercice 52 (Mise sous tension d’un circuit RLC - 2)Un circuit RLC compose d’une resistance R, l’inductance L et de capacite C est cable commesuit : la capacite est connectee en parallele sur la resistance, l’ensemble etant connecte en serieavec l’inductance. Le circuit etant initialement ouvert et decharge, on le connecte a t = 0 a ungenerateur de tension constante d’amplitude E. On donne R = 1 Ω, L = 1 mH, C = 1 mF etE = 50 V.(1) Determinez l’equation differentielle du second ordre liant la tension v(t) du condensateur etses derivees.(2) Donnez les conditions initiales sur v(t) et dv(t)

dt .(3) Donnez l’expression de la tension et tracez sa forme d’onde.(4) Donnez l’expression et l’allure des tensions et courants relatifs a chacun des elements dudipole.

6.3 Determination par la transformee de Laplace

La transformee de Laplace est un outil puissant permettant de resoudre simplement lesequations differentielles lineaires. A ce titre, il permet de determiner les regimes transitoires desystemes dynamiques lineaires complexes. On retrouvera son utilisation dans le chapitre consacreaux asservissements.


h(t) H(s)

δ(t) 1

u(t) 1s

u(t− T ) exp(−Ts)s

tu(t) 1s2

tn

n!u(t)1

sn+1

exp(−at)u(t) 1s+a

(1− exp(−at))u(t) as(s+a)

sin(ωt)u(t) ωs2+ω2

cos(ωt)u(t) ss2+ω2

sinh(at)u(t) as2−a2

cosh(at)u(t) ss2−a2

exp(−at) sin(ωt)u(t) ω(s+a)2+ω2

exp(−at) cos(ωt)u(t) s+a(s+a)2+ω2

Table 6.1 – Exemples de transformees de Laplace elementaires (u(t) est l’echelon unitaire etδ(t) l’impulsion de Dirac)

6.3.1 Transformee de Laplace

Definition

Pour un signal a temps continu x(t), on definit sa transformee de Laplace par le signal X(s)ou s est appelee variable de Laplace 7, avec :

X(s) =

∫ ∞

0x(t) exp(−st)dt (6.28)

A partir de X(s), on revient au signal de depart par une transformee de Laplace inverse :

x(t) =1

2jπ

∫ j∞

s=−j∞X(s) exp(st)ds (6.29)

En considerant que s = jω ou ω est la pulsation, on peut considerer que la transformee de La-place est une generalisation de la transformee de Fourier. Il s’agit en tous cas d’une transformeetemps/frequence qui a un signal temporel fait correspondre une representation frequentielle.Nous verrons par la suite la puissance de cet outil qui permet de simplifier grandement les cal-culs.

On peut facilement trouver des abaques des transformees de Laplace usuelles. Contentonsnous pour l’instant de mentionner l’echelon unitaire u(t) qui a comme transformee 1

s et le diracδ(t) qui a comme transformee 1.

Proprietes

Propriete 15 (Linearite)La transformee de Laplace est une transformation lineaire. Ainsi, la transformee de la somme

7. La variable de Laplace est notes s ou p suivant les conventions.

6.3. DETERMINATION PAR LA TRANSFORMEE DE LAPLACE 55

de deux fonctions est la somme des transformees. Lorsqu’un signal est multiplie par un reelconstant, sa TL est egalement multipliee par la meme valeur.

Propriete 16 (Transformee de Laplace d’un signal derive)

Soit y(t) = x(t) = dx(t)dt . La transformee de Laplace de y(t) est Y (s) = sX(s)− x(0)

Propriete 17 (Transformee de Laplace d’un signal retarde)La transformee de Laplace de y(t− T ) est exp(−Ts)Y (s)

6.3.2 Application a la determination du regime transitoire

Methode

La methode de resolution des equations differentielles s’appuyant sur la transformee de La-place est la suivante :

1. Ecrire l’equation differentielle liant les grandeurs u(t) et y(t) en jeux

2. Appliquer la transformee de Laplace en tenant compte des conditions initiales le cas echeantafin d’obtenir l’equation liant les sigaux U(s) et Y (s) dans le domaine frequentiel

3. Ecrire l’expression du signal dans le domaine frequentiel connaissant l’expression du signald’entree

4. Decomposer en elements simples

5. Appliquer la transformee inverse de Laplace a chacun des elements simples

6. Simplifier l’expression ainsi obtenue afin d’obtenir y(t).

Exemple 1 (Transitoire d’un systeme du premier ordre)Soit un dipome inductif modelise par la mise en serie d’une resistance R et d’une inductanceL. Ce dipole est traverse par le courant i(t). Il a a ses bornes une tension v(t). On utilise lesconventions de recepteur. A partir de l’instant initial t = 0 avec un courant i(0) = 0, on appliqueune tension constante v(t) = V . Le regime transitoire est obtenu avec la methode ci-dessus :

1. L’equation differentielle s’ecrit v(t) = Ri(t) + Ldi(t)/dt.

2. En passant dans le domaine frequentiel, on obtient V (s) = RI(s)+L(sI(s)−i(0)). Compte-tenu d’une CI nulle, cela se simplifie en V (s) = (R+ Ls)I(s).

3. Le signal v(t) est un echelon d’amplitude V . Sa TL est V (s) = V/s. On obtient doncI(s) = V/(s(R+ Ls)) = (V/L)/(s(s+ a)) avec a = R/L.

4. Le signal s’ecrit sous la forme de deux elements simples, soit I(s) = A/s + B/(s + a). Ily a differentes techniques permettant de determiner A = V/R et B = −V/R.

5. En appliquant la TL inverse a chacun des elements simples, on obtient i(t) = Au(t) +B exp(−at)u(t) ou u(t) est l’echelon unitaire.

6. En simplifiant, on obtient i(t) = V/R(1− exp(at))u(t).

Sur cet exemple tres simple, la puissance de cette methode n’est pas evident car les methodes deresolution dans le domaine temporel sont facilement applicables. Par contre, pour des systemesd’ordre superieurs, la resolution temporelle est tres difficile a mettre en œuvre et ce type demethode s’evere tres precieuse. Dans les calculs, il est necessaire de savoir determiner unedecomposition en elements simples. Des techniques sont detaillees dans le paragraphe suivant.

Decomposition en elements simples

La decomposition en elements simples est un outil permettant de transformer un fractionrationnelle en une somme d’elements su premier ou de second ordre dont on pourra ensuitedeterminer aisement la transformee de Laplace inverse.


Toute fraction rationnelle en s peut s’ecrire comme une somme d’elements simples de laforme λks

k, µk

s+pkou αks+βk

s2+2ξkωks+ω2k

. Par exemple, on peut ecrire :

1

(s+ a)(s+ b)=

λ1

s+ a+

λ2

s+ b(6.30)

1

(s+ a)n=

n∑

k=1

λk

(s+ a)k(6.31)

a2s2 + a1s+ a0s+ b0

= λ1s+ λ0 +µ

s+ b0(6.32)

Pour obtenir la decomposition en elements simples, il faut :

1. Determiner la structure de la decomposition ;

2. Determinez les coefficients de la decomposition.

Pour determiner les coefficients de cette decomposition, on peut chercher a identifier directementles deux expressions, ce qui aboutit a la resolution d’un systemes d’equations comportant autantd’equations que de parametres inconnus. Une autre approche, plus simple, consiste a determinera determiner un par un chacun des coefficients en utilisant des valeurs particulieres. Par exemple,pour determiner le coefficient λ1 de l’equation 6.30, on peut multiplier les deux termes del’equation par s + a puis prendre comme valeur particuliere s = −a, de maniere a annulerune partie des termes. On obtient alors λ1 =

1b−a . De la meme maniere, on obtient λ2 =

1a−b .

Exercice 53Decomposez en elements simples les fractions rationnelles suivantes :

1.1

(s+ a)(s+ b)(6.33)

2.s+ a

s+ b(6.34)

3.s+ a

(s+ b)2(6.35)

4.1

(s+ a)2(s+ b)(6.36)

5.s+ a

(s+ b)(s+ c)(6.37)

6.s+ a

(s+ b)2(s+ c)(6.38)

Exercice 54 (Determination du transitoire par la transf. de Laplace)Reprenez les exercices 43, 44 et 45 en faisant la resolution par la methode de la transformee deLaplace.

Chapitre 7

Mesure

7.1 Mesures de tension et de courant

7.1.1 Les differentes technologies de mesure

On distingue de maniere generale les appareils numeriques des appareils analogiques. Parmices derniers, on distingue deux technologies :

Les appareils magneto-statiques dits aussi a cadre mobiles. Ils mesurent la valeur moyennedu signal et sont reperables au dessin representant un U retourne.

Les appareils ferro-magnetiques. Ils donnent la valeur efficace du signal et sont reperablesau symbole representant un circuit electrique entourant un circuit magnetique.

Valeur efficace vraie et approchee

Differentes approches existent pour calculer la valeur efficace. Certains appareils delivrentune mesure exacte ; on parle alors de valeur efficace vraie (en anglais : true RMS). D’autres secontentent d’une mesure approchee selon l’une des methodes suivantes. Les mesures sont exactespour les signaux sinusoıdaux ; pour les signaux de forme differente, des ecarts apparaissent.

– On peut se baser sur la mesure de la valeur moyenne 〈|x(t)|〉 du signal redresse |x(t)|.Les appareils bases sur cette technique sont reperables par le symbole de la diode. Pourun signal sinusoıdal de valeur efficace Xeff , la valeur moyenne du signal redresse est de

〈|x(t)|〉 = λXeff avec λ = 2√2

π ≃ 0, 90. On obtient alors la valeur efficace avec Xeff =〈|x(t)|〉 /λ

– On peut se baser sur la valeur crete du signal. Pour un signal sinusoıdal, on a Xmax =√2Xeff . On determine alors Xeff = Xmax/

√2.

Exercice 55 (Mesure approchee de la valeur efficace)On considere deux formes d’onde de courant :

a. le courant absorbe par un redresseur monophase debitant un courant constant Icb. le courant absorbe par une phase d’un redresseur triphase debitant un courant constant

Ic.On s’interesse aux mesures de valeur efficace approchees decrites ci-dessus.

1. Determinez l’expression des valeurs efficaces des courants en fonction de Ic.

2. Determinez la mesure obtenue par la methode no 1. Donnez le pourcentage d’erreur.

3. Determinez la mesure obtenue par la methode no 2. Donnez le pourcentage d’erreur.

7.1.2 Lecture sur un appareil analogique

Pour lire une grandeur sur un appareil de mesure a aiguille, il faut tenir compte du calibreutilise. Il suffit de considerer que lorsque l’aiguille est a sa deviation maximale, la mesure estegale au calibre. Par une regle de 3, on en deduit que, pour une deviation de g graduations surune echelle de g∗ graduations et pour un calibre C, la mesure est g

g∗C.

57

58 CHAPITRE 7. MESURE

7.1.3 Reduction du courant

Lorque le courant a mesurer est trop important pour les appareils de mesure disponibles, onpeut avoir recours a deux types d’appareils :

Le transformateur d’intensite (TI) ou transformateur de courant est utilise comme suit :le circuit secondaire est court-circuite et le circuit primaire est place en serie avec lecourant a mesurer. On place un amperemetre dans le circuit secondaire dont le courantest une fraction du courant primaire. Comme tout transformateur, il ne laisse pas passerles composantes continues. Ainsi, son usage est reserve au regime alternatif. En plus d’uneattenuation du courant, le TI permet une isolation galvanique.

Le shunt est une resistance de tres faible valeur. Placee en serie dans le circuit dont il fautmesurer le courant, elle delivre a ses bornes une tension proportionnelle au courant. Lamesure du courant se fait alors avec un voltmetre. Le shunt ne permet pas d’isolationgalvanique.

7.1.4 Sondes pour la visualisation

Afin de visualiser un signal de tension (respectivement de courant), on utilise une sonde detension (ou de courant) qui transforme le signal de depart en une tension d’amplitude compatibleavec la gamme d’entree de l’oscilloscope et qui realise l’isolation galvanique entre le circuit etl’oscilloscope. Il est necessaire de bien tenir compte du gain de la sonde et de verifier qu’elle nesature pas (que le signal mesure ne depasse pas la gamme d’entree de la sonde).

7.2 Mesures de puissance

Les mesures de puissance active et reactive se font a l’aide d’un seul type d’appareil : lewatt-metre. Il comporte un circuit courant et un circuit tension et donne comme mesure lavaleur moyenne de leur produit. Du point de vue du circuit, le circuit courant est equivalent aune impedance nulle alors que le circuit tension est equivalent a une impedance infinie.

En monophase, outre la classique mesure de puissance active, on peut effectuer une mesurede puissance reactive en alimentant le circuit tension par la tension composee des deux autresphases. La valeur mesuree est a diviser par

√3.

En triphase equilibre, on peut se contenter d’un seul watt-metre pour mesurer la puissanceactive si le neutre est disponible. On peut aussi avoir recours a la methode des deux watt-metres.

Methode des deux watt-metre

La methode des deux watt-metres permet de mesurer la puissance active et la puissancereactive a partir de deux mesures (voir figure 7.1). Le premier watt-metre est parcouru par i1et connecte a la tension u13 alors que le second est parcouru par i2 et connecte a la tension u23.Notons W1 et W2 les deux mesures. On a :

W1 = 〈u13(t) i1(t)〉 (7.1)

W2 = 〈u23(t) i2(t)〉 (7.2)

La puissance active s’obtient a partir de la somme des mesure. En effet :

W1 +W2 = 〈u13(t) i1(t)〉+ 〈u23(t) i2(t)〉 (7.3)

= 〈(v1(t)− v3(t)) i1(t) + (v2(t)− v3(t)) i2(t)〉 (7.4)

= 〈v1(t) i1(t) + v2(t) i2(t)− v3(t) (i1(t) + i2(t))〉 (7.5)

Si le neutre n’est pas connecte, la loi des mailles donne :

i1(t) + i2(t) + i3(t) = 0 (7.6)

7.3. INCERTITUDES 59

W1

W2

i1(t)

i3(t)

i2(t) u31(t)u12(t)

u23(t)

Figure 7.1 – Position des watt-metres pour la methode des deux watt-metres

ce qui permet de remplacer i1(t) + i2(t) par −i3(t) et donne ainsi :

W1 +W2 = 〈v1(t) i1(t) + v2(t) i2(t) + v3(t) i3(t)〉 (7.7)

= 〈p1(t) + p2(t) + p3(t)〉 (7.8)

= 〈p(t)〉 (7.9)

= P (7.10)

La puissance reactive est reliee a la difference des deux grandeurs. En regime sinusoıdalequilibre ou φ est le dephasage entre le courant et la tension d’une phase, on peut ecrire :

W1 −W2 = 〈u13(t) i1(t)〉 − 〈u23(t) i2(t)〉 (7.11)

= UI cos(φ− π

6)− UI cos(φ+

π

6) (7.12)

= UI(

cos(φ) cos(π

6) + sin(φ) sin(

π

6) (7.13)

− cos(φ) cos(π

6) + sin(φ) sin(

π

6))

(7.14)

= UI sinφ (7.15)

Puisque Q =√3UI sinφ, on peut ecrire :

Q =√3 (W1 −W2) (7.16)

On peut aussi developper le calcul en utilisant (7.6) :

W1 −W2 = 〈−u13(t) (i2(t) + i3(t))〉+ 〈u23(t) (i1(t) + i3)〉 (7.17)

= 〈i2(t)u31(t) + i1(t)u23(t) + i3(t) (u23(t)− u13(t))〉 (7.18)

= 〈i2(t)u31(t) + i1(t)u23(t)− i3(t)u12(t)〉 (7.19)√

(3)(Q1 +Q2 −Q3) (7.20)

Cette relation est valable en regime equilibre de tension. En regime equilibre (tension et courant),on a Q1 = Q2 = Q3 ce qui donne W1 −W2 = Q1 = Q/

√3.

La methode des deux watt-metres s’applique lorsque le neutre n’est pas connecte. La mesurede puissance active est valable en presence d’harmoniques et meme en regime desequilibre, acondition que le neutre ne soit pas connecte. La mesure de puissance reactive n’est valable qu’enregime equilibre de tension et de courant.

Remarquons que certains appareils numeriques sont capables de mesurer les puissances activeet reactives a partir d’un courant et de la tension composee des deux autres phases (i1 et u23par exemple). Leur mesure n’est valable qu’en regime equilibre.

7.3 Incertitudes

Lorsque l’on donne le resultat d’une mesure ou d’un calcul, il est fondamental d’avoir unordre de grandeur de l’incertitude. On peut distinguer les mesures et les calculs effectuees surdes grandeurs incertaines.


7.3.1 Mesures

On distingue deux types incertitudes : l’incertitude de lecture et l’incertitude liee a laprecision (ou classe) de l’appareil. L’incertitude peut etre ecrite sous forme absolue (I = 2, 32 A±0, 12 A) ou sous forme relative (I = 2, 32 A± 5%).

Incertitude de lecture : pour un appareil analogique a aiguille, elle correspond a la valeurd’une graduation ; pour un appareil numerique a afficheur digital, elle correspond a lavaleur du plus petit digit.

Classe : il s’agit de la precision, exprimee en pourcentage, de l’appareil ; l’erreur absolue deprecision est alors proportionnelle a la classe et a la grandeur mesuree.

Dans la pratique, on determine d’abord les deux incertitudes sous la meme forme (absolue ourelative) avant de les additionner. Le resultat final est generalement donne sous forme relative.

7.3.2 Calculs

Lorsqu’on fait un calcul a partir de plusieurs grandeurs incertaines, on obtient une nouvellegrandeur incertaine dont il faut savoir determiner l’incertitude. Voici illustre sur deux exemplessimples comment on opere. Supposons que x et y soient deux grandeurs incertaines : x = x0±δx,y = y0 ± δy ou δx et δy sont positifs.

La somme s’ecrit x+ y = x0 + y0 ± (δx + δy) ; les incertitudes absolues s’ajoutent.

Le produit de deux grandeurs positives s’ecrit x y = (x ± δx)(y0 ± δy). En developpant et ennegligeant le produit δx δy des incertitudes, on obtient x y = x0 y0 ± (y0 δx + x0 δy) ou

encore en divisant par x0 y0 : x yx0 y0

= 1± ( δxx0+

δyy0). On retiendra alors que les incertitudes

relatives s’additionnent.

La fraction s’ecrit xy = x0

y0

1±δx/x0

1±δy/y0. En faisant l’approximation 1

1±δy/y0= 1∓ δy

y0, on obtient alors,

en developpant et en negligeant le produit δx δy : xy = x0

y0

(

1 ± ( δxx0+

δyy0))

. On retiendra

que, pour le quotient comme pour le produit, les incertitudes relatives s’ajoutent.

Exercice 56 (Calcul d’incertitude de mesure)Les mesures suivantes ont ete faites sur une ligne triphasee equilibree :

– tension entre deux phases comprise entre 395 et 400 V,– courant de ligne de 11,5 a 11,7 A– puissance active egale a 6 kW a ± 2,5 % pres

Determinez un encadrement du facteur de puissance par deux methodes distinctes :

1. en utilisant les techniques approximatives presentees dans le paragraphe 7.3.2.

2. de maniere exacte en considerant les valeurs extremes possibles.

7.4 Techniques numeriques de mesure

Le numerique peut apparaitre a deux niveaux dans un systeme de mesure. Certains appa-reils disposent d’un affichage numerique bien que la mesure se fasse de maniere analogique.D’autres appareils sont entierement numeriques. Les grandeurs de tension et de courant sontechantillonnees a une certaine frequence fe et stockees en memoire. Les calculs des differentes me-sures sont ensuite effectuees a partir des echantillons par un calculateur (FPGA, micro-controllerou DSP). Dans ce cas, seules les composantes des signaux a des frequences inferieures a fe/2pourront etre prises en compte dans la mesure.

7.4.1 Echantillonnage

A partir d’un signal a temps continu x(t), un convertisseurs analogique-numerique effectueun echantillonnage a la frequence fe (periodicite Te = 1/fe) aux instants kTe. Ainsi, on en

7.4. TECHNIQUES NUMERIQUES DE MESURE 61

Figure 7.2 – Principe d’une chaıne d’acquisition et de traitement de l’information

deduit une suite d’echantillons xe(k) = x(kTe). A titre d’exemple, l’echantillonnage d’un signalsinusoıdal de frequence f = 1 kHz est represente sur la figure 7.3. Dans l’echantillonnage afe > 2f , la frequence du signal echantillonne est identique a celle du signal de depart. Dans lecas ou fe < 2f , la frequence du signal echantillonne differe de celle du signal de depart. Parexemple, pour fe =

65×f , on observe que la periode est de 6Te, soit une frequence de

16fe = f−fe.

De maniere generale, on retiendra que les composantes du signal a un frequence superieurea fe/2 ne sont pas correctement prise en compte par un echantillonneur. On appelle frequencede Shannon cette frequence limite de fe/2. Une composante a une frequence f superieure a lafrequence de Shannon sera vue comme etant a la frequence f ≤ fe/2 definie par f = f − kfe ouk est un nombre entier tel que f − kfe ≤ fe/2. On appelle repliement de spectre ce phenomene.En pratique, le signal continu est filtre par un filtre analogique afin d’attenuer les composanteshaute frequence. On parle de filtre anti-repliement (en anglais : anti-aliasing filter).

7.4.2 Calculs

A partir des echantillons d’un signal echantillonne, un calculateur peut determiner facile-ment les differentes mesures. Supposons que la periode du signal est egale a n fois la perioded’echantillonnage (T = nTe). La valeur moyenne s’ecrit :

〈x(t)〉 = 1

n

n∑

k=1

xe(k) (7.21)

La valeur efficace s’ecrit :

Xeff =

√

√

√

√

1

n

n∑

k=1

(xe(k))2 (7.22)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.5

0

0.5

1

x(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.5

0

0.5

1

x e(k),

f e = 3

*f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.5

0

0.5

1

temps (ms)

x e(k),

f e = 1

.2*f

Figure 7.3 – Signal continu sinusoıdal a la frequence f et echantillonnes a 3f et a 1.2× f

Chapitre 8

Asservissement

8.1 Notion de systeme

Considerons un systeme sur lequel on mesure le signal y(t) appele signal de mesure et surlequel on peut fixer arbitrairement le signal u(t) appele signal de commande. Dans le cas present,les signaux sont a temps continu. Il existe egalement des systemes a temps discret faisant inter-venir les signaux echantillonnes uk = u(kT ) et yk = y(kT ) ou T est la periode d’echantillonage.

Les systemes a temps continu sont modelises par une equation differentielle liant u(t) et y(t)alors que les systemes a temps discret sont mdelises par une equation aux recurence de la formeyk = f(yk−1, yk−2, · · · , uk, uk−1, · · · ).

8.1.1 Proprietes relatives aux systemes

Considerons dans un premier temps que l’entree u(t) est constante.

Definition 12 (Point d’equilibre)Le systeme est dans un etat d’equilibre si, place dans cet etat, il ne quitte pas.

La valeur du signal de mesure est alors constante.

Definition 13 (Stabilite)Un etat d’equilibre est stable si, lorsqu’on eloigne le systeme de cet etat, il finit par y revenir.Dans le cas contraire, le point d’equilibre est instable.

Dans certain cas, cette propriete de stabilite n’est valable que si l’eloignement est faible ;on parle alors de stabilite locale. Si au contraire le systeme retourne dans son etat d’equilibrequelque soit l’amplitude de la perturbation, on parle alors de stabilite globale.

Propriete 18 (Stabilite d’un systeme)Un equilibre globalement stable est unique. On dit alors que le systeme est stable.

Si le systeme avait deux equilibres globaux, vers lequel irrait-il si on le deplacait de l’un despoints d’equilibre ?

Propriete 19 (Linearite)Un systeme est lineaire s’il verifie les conditions de linerite suivantes. Soit y1(t) la trajectoirede la sortie pour une commande u1(t) ; soit y2(t) la trajectoire de la sortie pour une commandeu2(t) ; soit y3(t) la trajectoire de la sortie pour une commande u3(t) = λu1(t) et soit y4(t) latrajectoire de la sortie pour une commande u4(t) = u1(t) + u(2). Les conditions de linearitesont :

y3(t) = λy1(t) (8.1)

y4(t) = y1(t) + y2(t) (8.2)

Definition 14 (Gain statique)Le gain statique d’un systeme est son amplification en regime continu.

63

64 CHAPITRE 8. ASSERVISSEMENT

8.1.2 Systeme du premier ordre

Soit un systeme du premier ordre regit par une equation differentielle de la forme

τ y(t) + y(t) = Ku(t) (8.3)

La reponse a un echelon u(t) a partir d’une condition initiale nulle est :

y(t) = K(1− exp(−t/τ)) (8.4)

Il s’agit d’une exponentielle partant de 0 a t = 0 et se stabilisant a y(t) = K. Son depassementest nul ; le temps de monte a 5 % est egal a 3τ (ln(0.05) ∼= −3, 0).

Exercice 57On effectue un essai en echelon d’amplitude U sur une systeme et on releve une reponsesans depassement qui se stabilise a une valeur finale Y . On releve egalement Tr, le tempsd’etablissement a 5 %. Determinez le modele du premier ordre du systeme.

8.1.3 Systeme du deuxieme ordre

Soit un systeme du deuxieme ordre regit par une equation differentielle de la forme

y(t) + 2ξωcy(t) + ω2cy(t) = ω2

cKu(t) (8.5)

L’equation associee s’ecrit :r2 + 2ξωcr + ωc

2r = 0 (8.6)

Le discriminent reduit s’ecrit :

∆ = (ξωc)2 − ωc

2 = (ξ2 − 1)ωc2 (8.7)

Les racines de (8.6) sont alors reelles si ∆ ≥ 0, c’est-a-dire si ξ ≥ 1 ; elles sont imaginaires dansle cas contraire.

Deuxieme ordre amorti

Dans le cas ou les racines sont reelles et s’ecrivent :

r1 = −ξωc +√

ξ2 − 1ωc, (8.8)

r2 = −ξωc −√

ξ2 − 1ωc, (8.9)

la solution generale de l’equation sans second membre s’ecrit alors :

y1(t) = λ exp(r1t) + µ exp(r2t) (8.10)

Notons que r1 et r2 sont toutes deux negatives ; l’exponentielle tend donc vers zero.Une solution particuliere constante de l’equation sans second membre peut etre facilement

trouvee :y0(t) = K (8.11)

En additionnant la solution particuliere et l’equation generale de l’equation sans second membre,on obtient la solution generale de l’equation complete :

y(t) = λ exp(r1t) + µ exp(r2t) +K (8.12)

Cherchons maintenant la solution verifiant les conditions initiales suivantes :

y(0) = 0 (8.13)

y(0) = 0 (8.14)

8.1. NOTION DE SYSTEME 65

La derivee de la solution s’ecrit :

y(t) = λr1 exp(r1t) + µr2 exp(r2t) (8.15)

Les C.I. s’ecrivent alors :

λ+ µ+K = 0 (8.16)

λr1 + µr2 = 0 (8.17)

Dont les solutions sont :

λ =Kr2

r1 − r2(8.18)

µ = − Kr1r1 − r2

(8.19)

La solution s’ecrit alors :

y(t) = K(1 +r2

r1 − r2exp(r1t)−

r1r1 − r2

exp(r2t)) (8.20)

Sa derivee est :

y(t) =Kr1r2r1 − r2

(exp(r1t)− exp(r2t)) (8.21)

Puisque l’on a r2 ≤ r1 ≤ 0, on a aussi exp(r1t)−exp(r2t) ≥ 0 pour t ≥ 0 et y(t) est alors positivepour t ≥ 0, ce qui signifie que y(t) est croissante. La reponse a un echelon est donc une courbecroissante qui se stabilise a la valeur K. Cette courbe a un point d’inflexion pour y(ti) = 0.Avec :

y(t) =Kr1r2r1 − r2

(r1 exp(r1t)− r2 exp(r2t)), (8.22)

on observe que la derivee seconde n’annule en ti verifiant :

r1 exp(r1t)− r2 exp(r2t), (8.23)

soit

ti =1

r1 − r2ln

r2r1. (8.24)

Deuxieme ordre oscillant

Dans le cas ou les racines sont complexes conjugees et s’ecrivent :

r1 = −a+ jω0, (8.25)

r2 = −a− jω0, (8.26)

avec

a = ξωc (8.27)

ω0 =√

1− ξ2 ωc, (8.28)

ou ω0 est la pseudo-periode de la reponse. La solution generale de l’equation sans second membres’ecrit alors :

y1(t) = exp(−at) (λ cos(ω0t) + µ sin(ω0t)) (8.29)

Notons que a est positif ; l’exponentielle tend donc vers zero.Une solution particuliere constante s’ecrit y0(t) = K. La solution generale de l’equation est

donc :y(t) = K + exp(−at) (λ cos(ω0t) + µ sin(ω0t)) (8.30)


Reste a determiner les constantes λ et µ d’apres les conditions initiales (8.13-8.14). On a :

y(t) = −a exp(−at) (λ cos(ω0t) + µ sin(ω0t)) (8.31)

+b exp(−at) (−λ sin(ω0t) + µ cos(ω0t)) (8.32)

= exp(−at) ((−aλ+ ω0µ) cos(ω0t)− (ω0λ+ aµ) sin(ω0t)) (8.33)

Les conditions initiales s’erivent alors :

y(0) = K + λ = 0y(0) = −aλ+ ω0µ = 0

(8.34)

ce qui donne :

λ = −K (8.35)

µ = −Ka

ω0(8.36)

ce qui donne comme solution finale :

y(t) = K

(

1− exp(−at)

(

cos(ω0t) +a

ω0sin(ω0t)

))

(8.37)

La vitesse s’ecrit alors :

y(t) = Ka2 + ω2

0

bexp(−at) sin(ω0t) (8.38)

Elle est du signe du terme sin(ω0t). Elle est d’abord positive de t = 0 a t1 = πω0

puis negative

de t1 a 2πω0. Le signal atteint donc un maximum a t1 en :

y(t1) = K

(

1− exp

(

ξπ√

1− ξ2

))

(8.39)

8.2 Asservissement d’un systeme

8.2.1 Principe

Le but d’un asservissement consiste a culculer automatiquement une commande u(t) de sortequ’a partir d’un etat quelconque, la sortie y(t) se stabilise autour d’une valeur de reference r(t)arbitraire. Le systeme realisant cet asservissement automatique est appele correcteur (controlleren anglais).

Pour evaluer la qualite d’un asservissement, on considere sa precision (l’ecart entre r(t) ety(t)), son temps de reponse (la duree qu’il met pour se stabiliser) et son depassement (certainssystemes ont tendance a depasser leur cible avant de se stabiliser). Une autre qualite fondamen-tale d’un systeme asservi est la robustesse. Un systeme est dit robuste s’il garde ses proprietesou performances malgres des modifications de son environnement. Dans la pratique, les valeursdes parametres d’un systeme sont amenees a varier (les resistances evoluent en fonction de latemperature et les inductances sont sujettes a saturation). De plus, des approximations sontsouvent faite pour obtenir un modele simple (on neglige les retards dus aux temps de calcul). Ilest important de s’assurer que le systeme reste stable et conserve certaines performances malgresces phenomenes.

La qualite d’un asservissement est bien mise en valeur par un essai en echelon. On y mesurel’erreur statique (donnee en %), le temps de reponse (generalement calcule a 5 % de la valeurfinale pour ne pas etre perturbe par le bruit de mesure) et le depassement (donne en pourcentagede l’amplitude de la reponse).

8.2. ASSERVISSEMENT D’UN SYSTEME 67

0 5 10 150

0.5

1

1.5Réponse à un échelon unitaire de 1/(p2+2 ξ p+1)

Temps (s)

Figure 8.1 – Reponse temporelle de systemes du second ordre (ξ = 0.25, 0.5, 0.707, 1 et 2)

8.2.2 Performance des systemes asservis

Avant tout, un systeme asservi doit etre stable. Il doit aussi avoir certaines performances.

Rapidite

Definition 15 (Temps de reponse)On appelle temps de reponse ou temps d’etablissement le temps que met la sortie d’un systemestable a atteindre son equilibre, a partir d’une variation de l’entree en echelon.

On utilise generalement la notion de temps d’etablissement a 5 % pour eviter deux types deproblemes :

– un systeme dynamique rejoint generalement son equilibre de maniere exponentielle et metdonc en theorie un temps infini a se stabiliser ;

– les mesures sont generalement entachees de bruit ; la sortie y(t) ne se stabilise donc jamaiscompletement.

Considerons le systeme en reponse a un echelon u(t) a t = 0. La sortie etant en stabilisee a y(0)pour t < 0, elle se met a varier a partir de t = 0 et evolue jusqu’a se stabiliser a y(∞). Le tempsd’etablissement a 5 % est le temps t1 tel que pour t > t1, on a :

|y(t)− y(∞)| ≤ 5

100|y(∞)− y(0)|. (8.40)

Exercice 58 (Temps d’etablissement de systemes du premier ordre)Calculez de maniere exacte le temps d’etablissement a 5 % des systemes definis par les equationsdifferentielles suivantes :

1.

y(t) + ay(t) = bu(t), (8.41)

2.

y(t) + ay(t) = K(u(t) + bu(t)). (8.42)


Propriete 20 (Temps d’etablissement d’un systeme d’ordre un)Le temps d’etablissement d’un systeme du premier ordre est egal a trois fois sa constante detemps.

8.2.3 Precision

Definition 16 (Gain statique)On appelle gain statique d’un systeme son amplification en regime continu.

Idealement, un systeme asservi a un gain statique unitaire. On peut aussi donner le gain statiquedu transfert entre la reference et l’erreur r(t) − y(t) qui doit etre le plus faible possible enamplitude.

8.2.4 Depassement

En reponse a un echelon d’amplitude ∆r = r(∞) − r(0), la sortie d’un systeme varie de∆y = y(∞)− y(0) de differentes manieres.

– Le type de reponse le plus simple est celui d’une reponse toujours croissante (ou decroissantesi le gain est negatif).

– De nombreux systemes presentent un depassement ; c’est-a-dire que la reponse presenteun maximum ymax superieur a la valeur finale.

– Certains systemes, plus rares, voient leur sortie decroıtre avant de croıtre vers la valeurfinale. On parle de systeme a non minimal de phase ; ce sont des systemes qui comportentdes zeros a partie reelle positive.

On exprime le depassement, en pourcentage, d’un systeme lineaire de la maniere suivante :

D% = 100ymax − y(∞)

y(∞)− y(0)(8.43)

Exercice 59 (Depassement d’un systeme du second ordre)A partir de l’expression 8.37, determinez le depassement (en pourcentage) de la reponse d’unsysteme du second ordre en fonction de son amortissement. Representez graphiquement cettefonction.

8.2.5 Boucle ouverte ou boucle fermee ?

Pour realiser un asservissement, deux types de strategies sont envisageables. La premiereest de calculer la commande uniquement a partir de la refence, le correcteur realisant uneinversion partielle du systeme. Par exemple, pour un systeme du premier ordre de la formeτ y(t)+y(t) = Ku(t), la loi de commande s’ecrit u(t) = 1

K (τ r(t)+r(t)), ce qui donne y(t) = r(t).Cette technique presente un certain nombre d’inconvenients :

– Elle ne peut stabiliser un systeme instable.– Elle peut aboutir a un correcteur instable inutilisable.– Elle n’est pas robuste car elle necessite une connaissance precise du modele du systeme.

Ces inconvenients font qu’elle est rarament utilisee seule. Neanmoins, elle permet de calculerune valeur nominale du signal de commande. En anglais, on parle de feed-forward.

La seconde methode consiste a inclure dans le signal de commande une retroaction de lamesure, par exemple : u(t) = −Ky(t). Le signe ‘-’ indique qu’il s’agit d’une contre-reaction.Ainsi, si la sortie augmente trop, la commande sera faible et devrait permettre de ramener lasortie a une valeur plus faible.

Afin de suivre la consigne, le signal de consigne est integre dans le correcteur. La techniquela plus courrant consite a s’apuiyer sur l’erreur de regulation e(t) = r(t) − y(t). Le correcteurcalcule en temps reel la commande u(t) par une loi liant u(t) et e(t). Cette loi de commandepeut etre une equation differentielle si on considere un systeme a temps continu ou une equation

8.2. ASSERVISSEMENT D’UN SYSTEME 69

aux recurences pour les systemes a temps discret. Soit K0 le gain statique du corrcteur (le gainen regime continu tel que u(t) = K0e(t) pour des signaux continus). Si le systeme boucle eststable, alors, pour une reference constante, tous les signaux convergent vers une limite finie. Ona alors u(t) = K0e(t) et l’erreur est d’autant plus faible que K0 est eleve.

Les correcteurs en boucle fermee ont les avantages inverses des correcteurs en voucle ouverte :– Ils peuvent stabiliser un systeme instable.– Moyennant certaines precautions, ils peuvent s’averer robuste. Notamment, ils peuventgarder un certain niveau de performance malgres des incertitudes sur le modele du systeme.

8.2.6 Exemples simples

Certains asservissement peuvent se calculer simplement a la main. C’est notamment le caslorsque le modele du systeme en boucle fermee est du premier ou deuxieme ordre.

Exercice 60 (Systeme du premier ordre)Un systeme du premier ordre d’entree u(t), de sortie y(t) et de modele τ y(t) + y(t) = Ku(t) estasservi par un correcteur proportionnel de gain Kc. On donne K = 0, 2 et τ = 80 ms

1. Determinez l’equation differentielle liant le signal de reference r(t) et la mesure y(t).

2. Determinez les expressions du gain statique et de la constante de temps du systeme boucle.

3. Determinez le gain du correcteur permettant d’obtenir un temps d’etablissement a 5 %,Tm, egal a 30 ms.

4. Calculez le gain statique obtenu.

Exercice 61 (Correcteur PD et systeme du second ordre)Soit un systeme du second ordre d’equation differentielle y(t) + 10y(t) + 100y(t) = 20u(t). Onenvisage d’asservir ce systeme par un correcteur proportionnel-derive dont le comportement estregit par l’equation differentielle de la forme u(t) = Kp(r(t)− y(t))−Kdy(t).

1. Determinez la pulsation propre, l’amortissement et le gain statique du systeme en boucleouverte.

2. Determinez la forme de l’equation differentielle liant la reference et la mesure.

3. Determinez les parametres Kp et Kd du correcteur de sorte que le systeme en boucle ouverteait une pulsation propre de 50 rad/s et un amortissement egal a 1.

4. Determinez le gain statique du systeme asservi ainsi regle.

Exercice 62 (Correcteur PI pour systeme du premier ordre)Soit un systeme d’equation differentielle τ y(t) + y(t) = Ku(t) avec τ = 20 ms et K = 0, 4. Onenvisage une loi de commande proportionelle-integrale de la forme u(t) = −Kpy(t)+Ki

∫ t(r(τ)−

y(τ))dτ .

1. Determinez l’equation differentielle du second ordre liant la reference et la mesure etmodelisant le systeme boucle.

2. Montrez que l’erreur statique est nulle quelque soit les valeurs des parametres du correcteur.

3. Determinez les valeurs des parametres permettant d’obtenir une pulsation propre de 200 rad/set un amortissement de 1.

Exercice 63 (Correcteur TOR a hysteresis)Un systeme du premier ordre de modele u(t) = Ri(t) + Ldi

dt est asservi en courant a la valeuri∗(t) par le loi de commande Tout-Ou-Rien suivante :

– u(t) = E si i(t) < i∗(t)− 12∆i et u(t) reste egal a E tant que i(t) ne depasse pas i∗(t)+ 1

2∆i.– u(t) = 0 si i(t) > i∗(t) + 1

2∆i et u(t) reste nul tant que i(t) ne devient pas inferieur ai∗(t)− 1

2∆i.La valeur initiale du courant est nulle ; on donne : R = 1 Ω, L = 10 mH, ∆i = 1 A et E = 50 V.On considerera une reference du courant constante i∗(t) = 10 A.


1. Determinez l’allure du courant.

2. Determinez a quel instant a lieu la premiere commutation de la commande.

3. Determinez a quel instant a lieu la deuxieme commutation de la commande.

4. Determinez a quel instant a lieu la troisieme commutation de la commande.

5. Quelle est la frequence du regime permanent ?

8.3 Analyse harmonique

8.3.1 Fonction de transfert

Premiere approche

Soit un systeme lineaire gere par une equation differentielle quelconque :

n∑

k=1

aky[k](t) =

p∑

k=1

bku[k](t) (8.44)

Considerons le cas de signaux sinusoıdaux a la pulsation ω :

u(t) = cos(ωt+ α) (8.45)

y(t) = cos(ωt+ β) (8.46)

Introduisons des signaux imaginaires fictifs associes aux signaux u(t) et y(t) :

u(t) = exp(j(ωt+ α)) (8.47)

y(t) = exp(j(ωt+ β)) (8.48)

A partir de ces signaux, on peut retrouver les signaux reels en prenant respectivement la partiereelle et la partie imaginaire :

u(t) = Re(u(t)) (8.49)

y(t) = Im(y(t)) (8.50)

Ils peuvent egalement s’ecrire :

u(t) = U exp(jωt) (8.51)

y(t) = Y exp(jωt) (8.52)

avec les amplitudes complexes :

U = U exp(jα) (8.53)

Y = Y exp(jβ) (8.54)

Notons :

H(ω) =Y

U(8.55)

le rapport des nombre complexes. On peut decomposer cette grandeur en module-argument :

H(ω) = H(ω) exp(jφ(ω)) (8.56)

ou H(ω) = Y/U est l’amplification (le gain) du systeme a la pulsation ω et φ(ω) est la phasedu systeme a la pulsation ω. Notons que ces grandeurs sont independantes de l’amplitude dessignaux puisque le systeme est lineaire. La quantite H(ω) est le gain complexe du systeme a lapulsation ω.

8.3. ANALYSE HARMONIQUE 71

G 0.01 0.1 0.5 1/√2 1

√2 2 10 100

GdB -40 -20 -6 -3 0 3 6 20 40

Table 8.1 – Equivalence entre decibels et gain naturel

Reconsiderons maintenant l’equation differentielle (8.44) avec les signaux complexes. Pources signaux, deriver revient a multiplier par p = jω. L’equation differentielle (8.44) s’ecrit ainsi :

n∑

k=1

akpky(t) =

p∑

k=1

bkpku(t) (8.57)

Les signaux u(t) et y(t) peuvent alors etre sortis des sommes et on obtient :

H(ω) =Y

U(8.58)

=y(t)

u(t)(8.59)

=

∑pk=1 bkp

k

∑nk=1 akp

k(8.60)

On note :

H(p) =

∑pk=1 bkp

k

∑nk=1 akp

k(8.61)

cette fonction de la variable p que l’on appelle fonction de transfert du systeme (8.44). Le gaincomplexe s’ecrit :

H(ω) = H(jω). (8.62)

On parle egalement de reponse frequentielle du systeme. Celle-ci peut-etre determinee a partirde la fonction de tranfert (8.61) (et donc de l’equation differentielle (8.44)). Elle peut egalementetre determinee experimentalement en excitant le systeme avec une entree sinusoıdale (8.45). Onreleve alors l’ampliture Y de la sortie (8.46) et son dephasage φ = α− β par rapport a l’entree.On determine alors la reponse frequentielle H(jω) = Y

U exp(jφ) a la pulsation ω. Il suffit derecommencer les mesures pour un ensemble de valeurs de ω pour obtenir une caracterisation deH(jω) sur un certain intervalle.

Le gain est classiquement exprime en decibels (dB) : GdB = 20 logG. Les correspondancesentre gain naturel et gain en decibel sont donnees dans le tableau 8.1.

Approche par la transformee de Laplace

Soit un systeme dynamique a temps continu de signal d’entree u(t) et de signal de signal desortie y(t), tous deux lies par une equation differentielle ordinaire lineaire :

any[n](t) + an−1y

[n−1](t) + ...+ a1y(t) + a0y(t)

= bmu[m](t) + bm−1y[m−1](t) + ...+ b1u(t) + b0u(t) (8.63)

En passant dans le domaine frequentiel et en supposant que les conditions initiales sont nulles,on obtient, grace a la propriete 16 :

ansnY (s) + an−1s

n−1Y (s) + ...+ a1sY (s) + a0Y (s)

= bmsmU(s) + bm−1sm−1U(s) + ...+ b1sU(s) + b0U(s) (8.64)

Ce qui s’ecrit sous la forme :

Y (s) = H(s)U(s) (8.65)


ou H(s) est la fonction de transfert du systeme et s’ecrit :

H(s) =bmsm + bm−1s

m−1 + ...+ b1s+ b0ansn + an−1sn−1 + ...+ a1s+ a0

(8.66)

La fonction de transfert est une fonction rationnelle ; elle est composee d’un numerateur de degrem et d’un denominateur de degre n. On dit aussi que le systeme est d’ordre n.

Definitions et proprietes

Definition 17 (Systeme propre)On dit qu’un systeme est propre si le degre de son numerateur est inferieur a celui de sondenominateur (m ≤ n).On dit qu’un systeme est strictement propre si le degre de son numerateur est strictementinferieur a celui de son denominateur (m < n).

Propriete 21 (Fonction de transfert)La fonction de transfert d’un systeme est la transformee de Laplace de sa reponse impulsionnelle.

Cette propriete decoule du fait que la transformee de Laplace du signal impulsionnel est 1.

Definition 18 (Poles d’un systeme)On appelle pole d’un systeme les racines du denominateur de sa fonction de transfert.

Definition 19 (Zeros d’un systeme)On appelle zero d’un systeme les racines du numerateur de sa fonction de transfert.

Propriete 22 (Pole stable)Un systeme a temps continu est stable si tous les poles de sa fonction de transfert sont a partiereelle negative.

Explication : pour les systemes du premier et second ordre, il suffit de considerer la reponsea un echelon precedemment calculee pour s’en convaincre (le terme exponentiel doit convergervers zero). Un systeme d’ordre plus eleve peut toujours se ramener a une somme de systemesd’ordre un et deux ; la propriete est donc encore valable.

Propriete 23 (Gain statique)Le gain statique d’un systeme de fonction de transfert G(p) est G(0).

En effet, en regime continu, les derivees sont nulles ; il suffit prendre de de prendre p = 0.

Exercice 64 (Transformee de Laplace)Calculez la reponse a un echelon des systemes suivants :

1.1

s(8.67)

2.1

s+ a(8.68)

3.K

(s+ a)(s+ b)(8.69)

4.K

s2 + 2ξω0s+ ω20

(8.70)


10−1

100

101

−20

−15

−10

−5

0Diagramme de Bode de 1/(p+1)

Gai

n (d

B)

10−1

100

101

−100

−80

−60

−40

−20

0

Pulsation (rad/s)

Pha

se (

°)

Figure 8.2 – Reponse frequentielle d’un systeme du premier ordre

Exercice 65 (Fonctions de transfert d’un moteur a courant continu)On donne les equations d’un moteur a courant continu a aimants permanents :

– equation de la tension Ri(t) + Ldi(t)dt + e(t) = u(t),

– equation de la vitesse J dΩ(t)dt = c(t)− fΩ(t)

ou le couple s’ecrit c(t) = Ki(t) et la force electromotrice est e(t) = KΩ(t) ; R est la resistancede l’induit, L sont inductance ; K est la constante de couple et de force electromotrice ; J estl’inertie ; f est le coefficient de frottements.

1. On considere que l’entree est la tension et la sortie est la vitesse ; donnez la fonction detransfert du systeme.

2. On considere que l’entree est la tension et la sortie est le courant ; donnez la fonction detransfert du systeme.

8.3.2 Representations frequentielles

Diagramme de Bode

Le diagramme de Bode consiste en deux traces : sur une premiere courbe, on representel’evolution du gain (en dB) en fonction de la pulsation (en echelle logarithmique). Sur une secondecourbe, on represente l’evolution de la phase en fonction de la pulsation (en logarithmique). Surles figures 8.2 et 8.3 sont representees les diagrammes de Bode de systemes du premier et secondordre.

Diagramme de Nyquist

Le diagramme de Nyquist consiste en le trace du lieu du vecteur H(jω) lorsque ω varie, c’est-a-dire les variation de sa partie imaginaire en fonction de sa partie reelle. La courbe obtenue estparametree en fonction de la pulsation.

Diagramme de Black

Le diagramme de Black est le trace du gain du systeme (en dB) en fonction de sa phase. Ils’agit d’une courbe parametree en fonction de la pulsation.


10−1

100

101

−40

−30

−20

−10

0

10Diagramme de Bode de 1/(p2+2 ξ p+1)

Gai

n (d

B)

10−1

100

101

−150

−100

−50

0

Pulsation (rad/s)

Pha

se (

°)

Figure 8.3 – Reponse frequentielle de systemes du second ordre (ξ = 0.25, 0.5, 0.707, 1 et 2)

8.3.3 Criteres de stabilite

Propriete 24 (Critere du revers)Un systeme boucle, dont la fonction de transfert en boucle ouverte ne comporte ni pole ni zeroa partie reelle positive, est stable si et seulement si le lieu de Nyquist de la fonction de transferten boucle ouverte (systeme + correcteur) passe a droite du point −1. Ce resultat est un casparticulier du theoreme de Nyquits qui, lui, s’applique meme en presence de poles et zeros apartie reelle positive.

Definition 20 (Marge de phase)La marge de phase est le supplement de phase du systeme en boucle ouverte par rapport a -180lorsque le gain atteint 1 (ou 0 dB).

Methode de mesure de la marge de phase sur le lieu de Bode : reperer sur la courbe du gainla frequence pour laquelle le gain coupe 0 dB. Relever la phase φ pour cette pulsation. La margede phase est 180 − φ.

Definition 21 (Marge de gain)La marge de gain est l’inverse du gain du systeme en boucle ouverte lorsque la phase atteint-180 .

Methode de mesure de la marge de gain sur le lieu de Bode : reperer sur la courbe du phase lafrequence pour laquelle la pulsation coupe -180 . Relever la gain G (GdB) pour cette pulsation.La marge de gain est 1/G (ou −GdB).

Propriete 25Un systeme stable a une marge de phase positive et une marge de gain superieure a 1 (positivesi on compte en dB).

8.3.4 Synthese de correcteur

Pour un systeme dont on donne la fonction de tranfert G(p), on cherche generalement uneloi de commande de la forme U(p) = K(p)(R(p) − Y (p)). Le correcteur K(p) peut prendre


divers formes : proportionnel (K(p) = Kp), proportionnel-integral (K(p) = Kp +Ki

p ) ou PID

(K(p) = Kp + Ki

p + Kdp), avance de phase (K(p) = K p+ap+b avec a < b) ou retard de phase

(K(p) = K p+ap+b avec a > b). Le but consiste a regler le correcteur de maniere a donner de bonnes

proprietes au systeme asservi (precision, rapidite, depassement, robustesse).

Strategie generale de reglage d’un correcteur

Pour atteindre les objectifs cites precedemment, on peut opter pour une methodologie sui-vante. L’idee est de partir de la fonction de tranfert du systeme dans le domaine frequentielet de voir comment elle doit etre modifiee pour atteindre le cachier des charges. Voici les ca-racteristiques d’une bonne fonction de transfert en coucle ouverte (systeme + correcteur) :

– Dans la plage de frequences correspondant a la bande passante (autour de la pulsationde coupure de l’axe 0 dB dans le diagramme de Bode), la phase doit superieure a 180attitionne de la marge de phase (au minimum superieure a 145 pour une parge de phasede 45 ). Si ce n’est pas le cas, il faut soit ajouter de la phase au systeme par l’ajout d’effetintegrale (ou d’une avance de phase), soit reduire la bande passante (diminuer la rapidite)en diminuant le gain du correcteur.

– En basse frequence, le gain doit etre eleve afin de garantir une erreur statique faible etun bon rejet des perturbations. Si ce n’est pas le cas, il faut ajouter un effet integrale (ouretard de phase).

– En haute frequence, il n’est pas necessaire que le correcteur ait un quelconque effet. Ilest meme recommande d’avoir un gain qui chutte en haute frequence pour une meilleurerobustesse. En effet, un gain eleve risquerait d’exciter des dynamiques mal identifiees etd’aboutir a une instabilite. Si ce n’est pas le cas, il est recommande d’ajouter au correcteurun effet de filtrage passe-bas.

Annexe A

Rappels de Mathematiques

A.1 Derivees

A.1.1 Preliminaires

Soient f et g deux fonctions reelles.

Definition 22 (fonction negligeable)

On dit que f est negligeable devant g au voisinage de a et on note f(x) = oa(g(x)) sif(x)g(x) tend

vers 0 lorsque x tend vers a.

Exemple 2

1. x2 = o0(x)

2. sin(x) = x+ o0(x2)

3. cos(x) = 1− x2

2 + o0(x3)

4. 11+x = 1− x+ o0(x)

5. (1 + x)n = 1 + nx+ o0(x)

6. exp(1 + x) = 1 + x+ o0(x)

Definition 23 (Fonctions equivalentes)On dit que f et g sont equivalentes au voisinage de a et on note f(x) ∼a g(x) si f(x)− g(x) estnegligeable devant f(x) au voisinage de a.

Exemple 3 (Equivalents courants)

1. sin(x) ∼0 x

2. cos(x) ∼0 1

3. 11+x ∼0 1

A.1.2 Definitions

Definition 24On appelle derivee de la fonction f en x, et on note f ′(x), la pente de la courbe representativede cette fonction en x.

Exemple 4Considerons une fonction lineaire f(x) = ax+ b. La courbe caracteristique de cette fonction estune droite passant par le point de coordonnees (0 ; b) et de pente a. Cette pente est aussi le tauxde variation qui peut etre calcule entre deux points d’abscisses respectives x1 et x2 :

f(x2)− f(x1)

x2 − x1= a (A.1)

Comme la pente est constante, on a f ′(x) = a pour tout x.

77

78 ANNEXE A. RAPPELS DE MATHEMATIQUES

Definition 25On peut ecrire la derivee comme la limite du taux de variation entre x et x+ δx lorsque δx tendvers zero :

f ′(x) = limδx→0

f(x+ δx)− f(x)

δx(A.2)

Propriete 26 (Tangente)Si f est derivable en x0, la tangente a la courbe representative en (x0, f(x0)) a comme equation ;

y = f(x0) + f ′(x0) (x− x0) (A.3)

Definition 26On peut aussi ecrire que :

f(x+ δx) ≃ f(x) + f ′(x)δx (A.4)

De maniere plus rigoureuse, ce resultat s’ecrit comme suit :

Definition 27Si la fonction f(x) admet un developpement au voisinage de x de la forme :

f(x+ δx) = f(x) + f ′(x) δx + o0(δx) (A.5)

alors f ′(x) est la derivee de f en x.

Exemple 5 (Derivee de x2)On a :

(x+ δx)2 = x2

(

1 +δxx

)2

(A.6)

= x2(

1 + 2δxx

+ o0(δx)

)

(A.7)

= x2 + 2x δx + o0(δx) (A.8)

De par la definition precedente, on a donc (x2)′ = 2x.

Exemple 6 (Derivee de sin(x))On a :

sin(x+ δx) = sin(x) cos(δx) + cos(x) sin(δx) (A.9)

= sin(x)(1 + o0(δx)) + cos(x)(δx + o0(δ2x)) (A.10)

= sin(x) + cos(x) δx + o0(δx) (A.11)

De par la definition precedente, on a donc sin′(x) = (sin(x))′ = cos(x).

A.1.3 Proprietes

Propriete 27 (linearite)

1. (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

2. (λf)′(x) = λf ′(x)

Propriete 28 (Autres proprietes)

1. Produit : (f · g)′(x) = f ′(x) g(x) + f(x) g′(x)

2. Inverse : ( 1f )′(x) = − f ′(x)

f2(x)

3. Quotient : (fg )′(x) = f ′(x) g(x)−f(x) g′(x)

g2(x)

4. Composition de fonctions : h(x) = f(g(x)). On a h′(x) = g′(x) f ′(g(x)).

Exercice 66 (Calcul des derivees)Retrouvez les expressions des derivees du tableau A.1 a partir des definitions et des proprietespresentees dans ce chapitre. Vous pourrez notamment utiliser la definition (A.5) et des developpementsdonnes en Exemple 2.

A.2. INTEGRALES 79

f(x) 1 x xn sin(x) cos(x) tan(x) exp(x) exp(ax) ln(x)

f ′(x) 0 1 nxn−1 cos(x) − sin(x) 1 + tan2(x) exp(x) a exp(ax) 1x

Table A.1 – Tableau des derivees usuelles

A.2 Integrales

A.2.1 Definition

On appelle integrale de la fonction entre les bornes a et b la surface situee entre la courberepresentative de la fonction f et l’axe des abscisses, comptee negativement si la fonction estnegative. On note cette grandeur :

∫ b

af(x) · dx (A.12)

A.2.2 Definition n 2

On peut aussi definir la fonction primitive F (x) a partir de f et d’un reel x0 tels que :

dF (x)

dx= f(x) (A.13)

Φ(x0) = 0 (A.14)

Alors, on a :

F (x) =

∫ x

x0

f(y) · dy (A.15)

A.2.3 Calcul

Si on trouve une primitive F (x) de f(x), alors :

∫ b

af(x) · dx = [F (x)]ba = F (b)− F (a) (A.16)

A.2.4 Proprietes

Propriete 29 (Linearite)

∫ b

a(f(x) + g(x)) · dx =

∫ b

af(x) · dx+

∫ b

ag(x) · dx (A.17)

∫ b

aλf(x) · dx = λ

∫ b

af(x) · dx (A.18)

Propriete 30 (Autres proprietes 1)

∫ b

af(x) · dx =

∫ c

af(x) · dx+

∫ b

cf(x) · dx (A.19)

∫ b

af(x) · dx = −

∫ a

bf(x) · dx (A.20)

Propriete 31 (Autres proprietes 2)

d

dx

(∫ x

af(t) · dt

)

= f(x) (A.21)

80 ANNEXE A. RAPPELS DE MATHEMATIQUES

A.2.5 Integration par parties

Theoreme 4 (Integration par parties)

∫ b

af ′(x) g(x)dx = [f(x)g(x)]ba −

∫ b

af(x) g′(x)dxdx (A.22)

Demonstration 1La derivee d’un produit s’ecrit (f g)′ = f ′ g + f g′. En integrant les deux termes de cette egaliteentre a et b, on obtient la formule de l’integration par parties.

Exercice 67Calculez les integrales suivante :

1.∫ π

0x · sin(x) · dx (A.23)

2.∫ 1

0x · exp(x) · dx (A.24)

A.2.6 Changement de variable

Un changement de variable permet parfois de simplifier le calcul d’une integrale.

Theoreme 5 (Changement de variable)

∫ φ(b)

φ(a)f(x)dx =

∫ b

af(φ(t))φ′(t)dt (A.25)

Exercice 68 (Changement de variable)Calculez les integrales suivantes :

1.∫ π

02x cos(x2)dx (A.26)

On pourra utiliser le changement de variable u = x2.

2.∫ 1

0exp3(x) · dx (A.27)

On pourra utiliser le changement de variable u = exp(x).

A.3 Trigonometrie et nombres complexes

Voir le document http://eavr.u-strasbg.fr/~laroche/student/Math/COMPLEXE.pdf.

bases scientiﬁques pour le g´enie...

Documents