bazı Öklidyen olmayan düzlemlerde trigonometrik fonksiyonların İncelenmesi

8/3/2019 Baz klidyen Olmayan Dzlemlerde Trigonometrik Fonksiyonlarn ncelenmesi

1/94

Baz klidyen Olmayan Dzlemlerde TrigonometrikFonksiyonlarn

ncelenmesi

clal ztrk

YKSEK LSANS TEZ

MatematikAnabilim Dal

Haziran 2008


2/94

ii

On the Trigonometric Functions in Some Non-Euclidean Planes

clal ztrk

THESIS for MASTER DEGREE

Department of Mathematics

June 2008


3/94

iii

Baz klidyen Olmayan Dzlemlerde Trigonometrik Fonksiyonlarn ncelenmesi

clal ztrk

Eskiehir Osmangazi niversitesi

Fen Bilimleri EnstitsLisansst Ynetmelii Uyarnca

Matematik Anabilim Dal

Geometri Bilim Dalnda

YKSEK LSANS TEZ

Olarak Hazrlanmtr

Danman: Yrd. Do. Dr.Aye BAYAR

Haziran 2008


4/94


5/94

v

ZET

Bu tezde baz klidyen olmayan dzlemlerde trigonometrik fonksiyonlar

incelenmitir.

lk blmde, nce Minkowski geometri kavram aklanarak gerekli olan baz

tanmlar verilmitir. klidyen geometri aksiyomlar ifade edildikten sonra klidyen

olmayan dzlem geometrilerinden Taksi, in-Dama, Maksimum, Genelletirilmi

Mutlak Deer ve -dzlem geometrileri hakknda genelbilgiler litaratrden zetlenerek

verilmitir.

kinci, nc, drdnc ve beinci blmlerde srayla Taksi, in-Dama,

Maksimum, Genelletirilmi Mutlak Deer dzlemlerinde trigonometrik fonksiyonlar

ve trigonometrik fonksiyonlarn zellikleri (Aka ve Kaya, 1997), (zcan, Ekmeki ve

Bayar, 2002), (Bayar, ve Ekmeki, 2006), (Aka, Bayar ve Ekmeki, 2007), (Bayar,

Ekmeki ve Aka, 2006)ve (Bayar, 2007) daki almalardan verilmitir.

Son blmde, -dzlem geometrideki trigonometrik fonksiyonlar ve bu

trigonometrik fonksiyonlarn zellikleri incelendikten sonra bu dzlemde bir doru

parasnn dnmelerden sonra uzunluunun deiimi verilmitir.

Anahtar Kelimeler: Minkowski geometri, Taksi geometri, in-dama geometrisi,

Maksimum dzlem geometri, Genelletirilmi mutlak deer geometrisi, -dzlem

geometri, klidyen olmayan geometri, Trigonometrik fonksiyonlar.


6/94

vi

SUMMARY

This thesis is a study of the trigonometric functions in some non- Euclidean

planes.

At the outset of the introductory chapter, some essential terms and concepts

that will be needed in the succeeding chapters are defined. Then, the concept of

Minkowski geometry and Axioms of Euclidean Geometry are given and explained. In

the first chapter, Taxicab, Chinese Checkers, Maximum, Generalized Absolute Value

and -plane geometries, which are known as special Minkowski geometries, are also

summarized within the known literature.

In the second, third and fourth chapters, the trigonometric functions and their

properties in Taxicab, Chinese Checkers, Maximum, Absolute Value plane geometries

are given from (Aka ve Kaya, 1997),(zcan, Ekmeki ve Bayar, 2002), (Bayar ve

Ekmeki, 2006), (Aka, Bayar ve Ekmeki, 2007), (Bayar, Ekmeki ve Aka, 2006) and

(Bayar, 2007), respectively.

In the final chapter, the trigonometric functions in -plane geometries and the

their properties are introduced and the change of a line segment length after rotations

are given.

Keywords: Minkowski geometry, Taxicab geometry, Chinese Checkers geometry,

Maximum plane geometry, Generalized absolute value geometry, -plane geometry,

Non-Euclidean Geometry, Trigonometric functions.


7/94

vii

TEEKKR

Yksek Lisans almalarm boyunca, bana danmanlk ederek, beni

ynlendiren ve her trl olana salayan danmanm Yrd. Do. Dr. Aye BAYAR

hocama ve deerli fikirlerine bavurduum dier hocalarma teekkrlerimi sunarm.

ESKEHR, 2008 clal ZTRK


8/94

viii

NDEKLER

Sayfa

ZET ............................................................................................................................... v

SUMMARY .................................................................................................................... vi

TEEKKR................................................................................................................... vii

1. TEMEL KAVRAMLAR ............................................................................................ 1

1.1 Geometrik Yaplar ve Minkowski Geometrisi ...................................................... 1

1.2 Dzlem Taksi Geometri ........................................................................................ 4

1.3 Dzlem in Dama Geometrisi .............................................................................. 6

1.4 Maksimum Dzlem Geometrisi ............................................................................ 8

1.5 Genelletirilmi Mutlak Deer Metrik Geometrisi ............................................. 11

1.6 Dzlem -Geometrisi ...................................................................................... 14

2. TAKS TRGONOMETR ........................................................................................ 18

2.1 Taksi Trigonometrik Fonksiyonlar ..................................................................... 18

2.2 Taksi Trigonometrik Fonksiyonlarn zellikleri ................................................. 23

4.1.1 Taksi Trigonometrik Fonksiyonlar in ndirgeme Formlleri .................. 25

4.1.1 Taksi Trigonometrik Fonksiyonlar in Toplam-Fark Formlleri .............. 26

4.1.1 Taksi Trigonometrik Fonksiyonlar in Yarm A Formlleri .................. 26

2.3 Referans Al Taksi Trigonometrik Fonksiyonlar ............................................. 27

2.4 Taksi Uzunluunun Dnmeler Altndaki Deiimi ............................................ 28

3. CC-DZLEMNDE TRGONOMETRK FONKSYONLAR................................. 30

3.1 CC-Dzleminde Trigonometrik Fonksiyonlar .................................................... 30

3.2 CC-Dzleminde Trigonometrik Fonksiyonlarn zellikleri .............................. 37

3.2.1 CC-Trigonometrik Fonksiyonlar in ndirgeme Formlleri ........................ 39

3.2.2 CC-Trigonometrik Fonksiyonlar in Toplam-Fark Formlleri .................... 40

3.2.3 CC-Trigonometrik Fonksiyonlar inYarm A Formlleri ........................ 41

3.3 Referans Al CC-Trigonometrik Fonksiyonlar ............................................... 41

3.2 CC-Uzunluunun Dnmeler Altndaki Deiimi ............................................... 42

4. MAKSMUM DZLEMDE TRGONOMETRK FONKSYONLAR ................... 44

4.1 Maksimum Trigonometrik Fonksiyonlar ............................................................ 44

4.2 Maksimum Trigonometrik Fonksiyonlarn zellikleri ....................................... 49


9/94

ix

4.2.1 Maksimum Trigonometrik Fonksiyonlar in ndirgeme Formlleri ......... 51

4.2.2 Maksimum Trigonometrik Fonksiyonlar in Toplam-Fark Formlleri ..... 52

4.2.3 Maksimum Trigonometrik Fonksiyonlar in Yarm A Formlleri ......... 53

4.2 Referans Al Maksimum Trigonometrik Fonksiyonlar ................................... 53

4.2 Maksimum Uzunluunun Dnmeler Altndaki Deiimi .................................. 54

5. GENELLETRLM MUTLAK DEER DZLEMNE GRE

TRGONOMETRK FONKSYONLAR ............................................................... 56

5.1 Genelletirilmi Mutlak Deer Trigonometrik Fonksiyonlar ........................... 56

5.2 Genelletirilmi Mutlak Deer Trigonometrik Fonksiyonlarn zellikleri ....... 64

5.2.1 Genelletirilmi Mutlak Deer Trigonometrik Fonksiyonlarin ndirgeme

Formlleri .............................................................................................................. 65

5.2.2 Genelletirilmi Mutlak Deer Trigonometrik Fonksiyonlarin Toplam-

Fark Formlleri ...................................................................................................... 67

5.2.3 Genelletirilmi Mutlak Deer Trigonometrik Fonksiyonlarin Yarm A

Formlleri ............................................................................................................. 67

5.3 Referans Al Genelletirilmi Mutlak Deer Trigonometrik Fonksiyonlar ... 68

5.4 GenelletirilmiMutlak DeerUzunluun Dnmeler Altndaki Deiimi ........ 68

6. DZLEM -GEOMETRSNDE TRGONOMETRK FONKSYONLAR......... 70

6.1 Dzlem -Geometrisi Trigonometrik Fonksiyonlar ....................................... 70

6.2 -Geometrisi Trigonometrik Fonksiyonlarn zellikleri .................................. 75

6.2.1 -Geometrisi Trigonometrik Fonksiyonlarn in Toplam-Fark Formlleri 77

6.2.2 -Geometrisi Trigonometrik Fonksiyonlarn in Yarm A Formlleri ... 77

6.3 Referans Al -GeometrisiTrigonometrik Fonksiyonlar .............................. 78

6.4 -Uzunluun Dnmeler Altndaki Deiimi ...................................................... 78

KAYNAKLAR DZN .................................................................................................. 80


10/94

x

EKLLER DZN

ekilSayfa

2.1.1 . 192.1.2. 232.1.3232.3.1.. 272.3.2273.1.1303.1.2373.1.3373.3.1423.3.2424.1.1444.1.2494.1.3... 494.3.1544.3.2545.1.1575.1.2635.1.3636.1.1716.1.2746.1.375


11/94

Iindekiler

BAZI KLIDYEN OLMAYAN DZLEMLERDE TRIGONOMETRIK

FONKSIYONLARIN INCELENMESI

Iclal ztrk


12/94

1

BLM 1

TEMEL KAVRAMLAR

Minkowski geometrilerini tantan ve inceleyen bir ok alsmalar vardr. Bu blmde

Minkowski geometrilerinde bilinen baz kavram ve zelikler (Kaya, 2002), (zcan ve Kaya,

2003), (Kaya ve olakoglu, 2006), (Krause, 1975), (Martin, 1998), (Millmann and Parker,

1991), (Thompson, 1996) ve (Coxeter, 1961) kaynaklarndan esas alnarak zetlendi.

1.1 Geometrik Yaplar ve Minkowski Geometrisi

(Thompson, 1996) da ifade edildigi gibi, Minkowski geometrisi, eliptik ve hiperbolik

geometriden farkl sonlu boyutlu bir klidyen olmayan geometridir. Minkowski geometrisin-

deki lineer yap klidyen geometrideki ile hemen hemen ayndr. Noktalar ve dogrular k-

lidyen geometrinin nokta ve dogrular, a lm kliyen geometrideki ile ayn yolla yapl-

maktadr. Yalnzca bir fark vardr. Bu fark ise uzaklgn tm ynlerde ayn olmamasdr.

Bu farkllk da alnan metrikle ilgili kavramlar degistirmektedir. Dolaysyla Minkowski

geometrilerinde uzaklkla ilgili kavramlarn incelenmesi olduka ilgi ekici konular ortaya

karmaktadr. Bu geometrilere rnek olarak Taksi geometri, in Dama geometrisi, Mak-

simum, Genellestirilmis Mutlak Deger Geometrisi ve -geometrisi verilebilir.

rnek olarak verdigimiz Minkowski geometrilerine gemeden klid geometrisi aksiy-

omlar verilmek istenirse, asagda verilen on aksiyom antik agda klid tarafndan

dzlemsel geometri iin verilen bir aksiyomlar kmesinin agmzda Birkho grubunca

analitik olarak en sade ve belkide en kullansl hale getirilmis seklidir.

P : noktalar kmesi,

L : P nin baz alt kmelerinin bir ailesi olan dogrular kmesi,

m : a lm fonksiyonu,dE : uzaklk fonksiyonu

olmak zere asagda verilen on aksiyomu (E1-E13) saglayan [P;L; dE; m] matematiksel

yaps dzlem olarak dsnlebilir.

[E1] Verilen iki noktay ieren bir tek dogru vardr.

[E2] Her dogru en az iki nokta ierir. P kmesi dogrusal olmayan en az nokta ierir.

[E1] ve [E2] aksiyomlar zerinde olma aksiyomlar olarak bilinir.


13/94

2

Bunlar izleyen drt aksiyom uzaklk fonksiyonunun srayla pozitif tanmllk, simetrik

ve gen esitsizligini saglamasyla ilgilidir. Ayrca cetvel aksiyomu denilen aksiyomu da

saglar. dE iin bu drt aksiyom asagdaki gibidir:

[E3] Her sral (A; B) nokta ifti iin dE negatif olmayan bir dE (A; B) saysn belirtir.

Ayrca dE (A; B) = 0 olmas iin gerek ve yeter kosul A = B olmasdr.

[E4] dE (A; B) = dE (B; A) dr.

[E5] dE (A; B) + dE (B; C) dE (A; C) dir.

[E6] Verilen bir l dogrusu iin bir fl : l ! R fonksiyonu vardr yleki tm A; Bnoktalar iin;

jfl (A)

fl (B)

j= dE (A; B)

saglanr.

Asagdaki aksiyom dzlem ayrma aksiyomudur.

[E7] Verilen bir l dogrusu iin P nin H1 ve H2 gibi yar dzlem seklinde adlandrlan

iki alt kmesi vardr yleki,

i) H1 ve H2 konvekstir

ii) H1 [ H2 = P l (P den l nin atlms demektir).iii) A 2 H1 ve B 2 H2 ise !AB \ l 6= ? olur.

Simdi verecegimiz drt zelik a lm aksiyomu diye anlr:

[E8] m; her bir a iin 0 ile 180 arasnda degisen bir reel say ile belirtilir.

[E9] H yar dzlemin kenar zerinde bir!AB sn ve 0 ile 180 arasnda herhangi bir r

reel says verilsin. Bu durumda P 2 H olmak zere m\P AB = r olacak sekilde bir tek!AP sn vardr.

[E10] Eger D noktas \ABC nin i blgesinde ise,

m\ABD + m\DBC = m\ABC

olur.

[E11] Eger B; A ile C arasnda ve D =2 !AC ise,

m\ABD + m\DBC = 180

olur.


14/94

3

Sradaki aksiyom [P;L; dE; m] sisteminin kenar-a-kenar aksiyomudur.

[E12] Iki genin kse noktalar arasnda bire-bir bir esleme verilsin. Eger birinci

genin iki kenar ve aralarndaki a, ikinci genin karslk gelen kenarlarna ve aya es

ise bu genler estir.

Son olarak [P;L; dE; m] sistemi iin nl paralellik aksiyomunu ifade edelim:

[E13] l dogrusu dsnda bir P noktas verilsin. Bu durumda P noktasndan geen ve

l dogrusuna paralel olan bir tek dogru vardr.

Tanm 1.1.1 P elemanlar noktalar olan bir kme ve L de P nin bos olmayan alt

kmelerinden olusan dogrular kmesi olmak zere asagdaki iki aksiyomu saglayan A =[P;L] sistemine soyut geometri ad verilir.

i) Her A; B 2 P iin A 2 l ve B 2 l olacak sekilde enaz bir l 2 L dogrusu vardr.ii) Her dogru en az iki noktaya sahiptir.

Tanm 1.1.2 A = [P;L] soyut geometri olmak zere asagdaki aksiyomlar saglarsaA sistemine incidence geometri denir.i) L deki her farkl iki nokta bir tek dogru zerindedir.

ii) Dogrudas olmayan nokta vardr.

Buna gre bir A = [P;L] sisteminin incidence geometri olmas iin asagdaki aksiy-omu saglamaldr:

i) Her dogru en az iki noktaya sahiptir.

ii) Her farkl iki nokta bir tek dogru zerindedir.

iii) Dogrudas olmayan nokta vardr.Tanm 1.1.3 X bos olmayan bir kme olmak zere d : X X ! R fonksiyonu

asagdaki kosulu saglarsa Xkmesi zerinde bir metriktir denir. Her P;Q;R 2 Xiin,i) d (P; Q)

0 ve d (P; Q) = 0

,P = Q

ii) d (P; Q) = d (Q; P)

iii) d (P; Q) d (P; R) + d (R; Q) :

Tanm 1.1.4 l; [P;L] incidence geometrinin bir dogrusu olsun. d de P zerinde uzaklk

fonksiyonu olmak zere asagdaki kosullar saglanrsa f : l ! R fonksiyonu l iin cetveldirdenir.

i) f fonksiyonu 1 : 1 ve rtendir.


15/94

4

ii) l zerindeki her P; Q nokta ifti iin,

jf(P) f(Q)j = d (P; Q)

dir. ii) skkndaki esitlige cetvel denklemi ve f(P) ye de P nin f ye bagl koordinat denir.

Tanm 1.1.5 [P;L] incidence geometri olmak zere d uzaklk fonksiyonu cetvel ak-

siyomunu saglarsa ve her l 2 L dogrusu cetvele sahipse M = [P;L,d] sistemine metrikgeometri denir.

Minkowski geometrisi, P klid geometrisindeki noktalar kmesi, L klid geomet-

risindeki dogrular kmesi ve d herhangi bir uzaklk fonksiyonu olmak zere [P;L; d] metrik

geometrisidir. O halde Minkowski geometrileri klidyen nokta ve dogrularla insa edilen

metrik geometrilerdir. Ancak a lm fonksiyonu ilavesi ve sagladklar aksiyomlar ileasagdaki tanmlar verilen geometrilerle de iliskilendirilebilirler.

1.2 Dzlem Taksi Geometri

20. yzyln baslarnda H. Minkowski Taksi metrigini de kapsayan bir metrik ailesi

verdi (Minkowski, 1967). Daha sonra K. Menger analitik dzlemde herhangi iki nokta

arasndaki uzaklk iin iyi bilinen klidyen metrik yerine Taksi metrigini kullanarak

Taksi dzlem geometri ile tanstrd (Menger, 1952). Daha sonra E. F. Krause dzlem

Taksi geometrideki temel kavramlar isleyen bir kitap yaynlad (Krause, 1975). Geen

yzyln son egreginde Taksi geometri pek ok matematiki tarafndan alslarak esitli

ynlerde gelistirildi. Bunlardan bazlar (Aka ve Kaya, 1997), (Aka ve Kaya, 2004a),

(Aka ve Kaya, 2004b), (Bayar vd, 2008), (Ho and Liu, 1996), (Kaya vd., 2000), (Kaya,

2004), (Laatsch, 1982), (zcan vd., 2002), (zcan ve Kaya, 2002), (Reynolds, 1980),

(Schattschneider, 1984), (So and Al-Maskari, 1995), (So, 2002), (Thompson and Dray,

2000) ve (Tian et al., 1997) kaynaklardr.

Tanm 1.2.1 P1 = (x1; y1) ve P2 = (x2; y2) analitik dzlemde herhangi iki nokta

olsun.

dT (P1; P2) = jx1 x2j + jy1 y2j

seklinde tanmlanan dT : R2 R2 ! [0; 1) fonksiyonuna analitik dzlemde P1 ve P2noktalar arasndaki Taksi uzaklk fonksiyonu ad verilir.

Taksi dzleminin noktalar ve dogrular klid dzleminin noktalar ve dogrularnn

aynsdr. A lm de klidyen dzlemdeki ayn yolla yaplr. Analitik dzlemde


16/94

5

alnan P1 = (x1; y1) ve P2 = (x2; y2) noktalar arasndaki klid uzaklg

dE (P1; P2) =

q(x1 x2)2 + (y1 y2)2

iken K. Menger ve E. F. Krause bu noktalar arasndaki uzaklk iin H. Minkowski tarafn-

dan tanmlanan

dT (P1; P2) = jx1 x2j + jy1 y2j

taksi uzaklk fonksiyonunu kullanarak dzlem taksi geometriyi gelistirdiler.

nerme 1.2.2 Analitik dzlemde tanmlanan Taksi uzaklk fonksiyonu bir metriktir.

Ispat: Metrik tanm geregince Taksi uzaklk fonksiyonunun pozitif tanml, simetrik

ve gen esitsizligini sagladgn gstermeliyiz. P1 = (x1; y1) ;

P2

= (x2

; y2

) 2R

2

olsun. Mutlak deger tanmndan dolay jx1 x2j 0 ve jy

1 y2j 0oldugundan jx1 x2j + jy1 y2j 0 olup dT (P1; P2) 0 dr. Ayrca

dT(P1; P2) = 0 ) jx1 x2j + jy1 y2j = 0

olmas gerektiginden dolay jx1 x2j = jy1 y2j = 0 elde edilir. Yani x1 = x2 ve y1 = y2olup P1 = P2 dir. Akca P1 = P2 ise dT(P1; P2) = 0 dr. O halde dT(P1; P2) = 0 , P1 =P2 dir. Yani dT-uzaklk fonksiyonu pozitif tanmldr.

stelik mutlak deger tanm geregince jx1 x2j = jx2 x1j ve jy

1 y2j = jy2 y1joldugundan dT(P1; P2) = dT(P2; P1) dir. Bu nedenle dT-uzaklk fonksiyonu simetriktir.

P3 = (x3; y3) 2 R2 olsun. Mutlak deger zelligi geregince

jx1 x2j jx1 x3j + jx3 x2jjy1 y2j jy1 y3j + jy3 y2j

oldugundan dolay

dT (P1; P2) = jx1 x2j + jy1 y2j jx1 x3j + jx3 x2j + jy1 y3j + jy3 y2j= (jx1 x3j + jy1 y3j) + (jx3 x2j + jy3 y2j)= dT (P1; P3) + dT (P3; P2)

sonucuna ulaslr. Bir baska deyisle Taksi uzaklk fonksiyonu gen esitsizligini saglar. O

halde analitik dzlemde tanmlanan Taksi uzaklk fonksiyonu dT bir metriktir.


17/94

6

Dzlemde P1 = (x1; y1) ve P(x2; y2) noktalar arasndaki klid uzaklg yerine dT

uzaklg kullanlarak Taksi dzlem geometrisi olusturulur.

1.3 Dzlem in Dama Geometrisi

E.F Krause grencisi G.Chenden in dama oyunundaki hareketleri kullanarak hesa-

planan bir metrik gelistirmesini istedi. in Dama metrigi tanm Chen tarafndan asag-

daki gibi 1992 de verildi. in Dama geometrisi bir klidyen olmayan dzlem modelidir

.

in dama geometri, ksaca CC-geometri olarak ksaltlr. Bu geometri pekok yazar

tarafndan alslmaktadr. Bunlardan bazlar (Kaya vd., 2006), (Turan, 2004) , (Uymaz,

2002), (Bayar ve Ekmeki, 2006), (Aka, Bayar ve Ekmeki, 2007), (Yksel, 2005), (Gelis-

gen, Kaya, ve zcan, 2006), (Tian, 2005), (Turan. ve zcan, 2004,), (Turan.ve zcan,

2005) ve (Uymaz, 2002) kaynaklardr.


olsun.

dc (P1; P2) = max fjx1 x2j ; jy1 y2jg +p

2 1

min fjx1 x2j ; jy1 y2jg

seklinde tanmlanan dc : R2 R2 ! [0; 1) fonksiyonuna analitik dzlemde P1 ve P2noktalar arasndaki in Dama uzaklk fonksiyonu ad verilir.

in dama (CC) dzleminin noktalar ve dogrular klid dzleminin noktalar ve dogru-larnn aynsdr. A lm de klidyen dzlemdeki ile ayndr. Analitik dzlemde al-

nan P1 = (x1; y1) ve P2 = (x2; y2) noktalar arasndaki uzaklk iin yukardaki tanmda

verilen dc in dama uzaklk fonksiyonu kullanlarak dzlem in dama dzlem geometrisi

olusturulur.

nerme 1.3.2 Analitik dzlemde tanmlanan in Dama uzaklk fonksiyonu bir metrik-

tir.

Ispat: P1 = (x1; y1) ; P2 = (x2; y2) 2R

2

olsun. Mutlak deger tanmndan dolayjx1 x2j 0, jy1 y2j 0 ve

p2 1 0 oldugundan dc (P1; P2) 0 dr. Ayrca

dc(P1; P2) = 0 ) max fjx1 x2j ; jy1 y2jg = 0

olmas gerektiginden dolay jx1 x2j = jy1 y2j = 0 elde edilir. Yani x1 = x2 ve y1 = y2olup P1 = P2 dir. Akca P1 = P2 ise dc(P1; P2) = 0 dr. Bu taktirde dc(P1; P2) = 0 ,P1 = P2 dir. Yani dc-uzaklk fonksiyonu pozitif tanmldr.

Mutlak deger tanm geregince

jx1

x2

j=

jx2

x1

jve

jy1

y2

j=

jy2

y1

joldugun-

dan dc(P1; P2) = dc(P2; P1) dir. Bu nedenle dc-uzaklk fonksiyonu simetriktir.


18/94

7

P3 = (x3; y3) 2 R2 olmak zere

dc(P1; P2) = max fjx1 x2j ; jy1 y2jg +p

2 1

min fjx1 x2j ; jy1 y2jg= max fjx1 x3 + x3 x2j ; jy1 y3 + y3 y2jg +p2 1min fjx1 x3 + x3 x2j ; jy1 y3 + y3 y2jg max fjx1 x3j + jx3 x2j ; jy1 y3j + jy3 y2jg +p

2 1

min fjx1 x3j + jx3 x2j ; jy1 y3j + jy3 y2jg= t

olsun. Burada drt durum vardr.

I. Durum: jx1 x3j jy1 y3j ve jx3 x2j jy3 y2j olsun. Bu taktirde

dc(P1; P2) t = (jx1 x3j + jx3 x2j) +p

2 1

(jy1 y3j + jy3 y2j)=

jx1 x3j +

p2 1

jy1 y3j

+jx3 x2j +

p2 1

jy3 y2j

= dc(P1; P3) + dc(P3; P2)

olur.

II. Durum: jx1 x3j jy1 y3j ve jx3 x2j jy3 y2j olsun. Burada iki altdurumsz konusudur.

Alt Durum II.1: jx1 x3j + jx3 x2j jy1 y3j + jy3 y2j olsun. Bu durumda

dc(P1; P2) t = (jx1 x3j + jx3 x2j) +p

2 1

(jy1 y3j + jy3 y2j)=

jx1 x3j +

p2 1

jy1 y3j

+jx3 x2j +

p2 1

jy3 y2j

= dc(P1; P3) + dc(P3; P2) (2

p2) (jy3 y2j jx3 x2j)

olup burada 2 p2 > 0 ve jy3 y2j jx3 x2j 0 oldugundan dolay

dc(P1; P2) dc(P1; P3) + dc(P3; P2)

olur.


dc(P1; P2) t = (jy1 y3j + jy3 y2j) +p

2 1

(jx1 x3j + jx3 x2j)=

jy1 y3j +

p2 1

jx1 x3j

+jy3 y2j +

p2 1

jx3 x2j

= dc(P1; P3) + dc(P3; P2)

(2

p

2) (jx1

x3

j jy1

y3

j)


19/94

8

olup burada 2 p2 > 0 ve jx1 x3j jy1 y3j 0 oldugundan dolay

dc(P1; P2) dc(P1; P3) + dc(P3; P2)

dir.

IV. Durum: jx1 x3j jy1 y3j ve jx3 x2j jy3 y2j olsun. Bu taktirde

dc(P1; P2) t = (jy1 y3j + jy3 y2j) +p

2 1

(jx1 x3j + jx3 x2j)=

jy1 y3j +

p2 1

jx1 x3j

+jy3 y2j +

p2 1

jx3 x2j

= dc(P1; P3) + dc(P3; P2)

olur. Tm durumlarn sonular birlestirildiginde her P1; P2; P3 2 R2 iin

dc(P1; P2) dc(P1; P3) + dc(P3; P2)

sonucu elde edilir. Yani in Dama uzaklk fonksiyonu gen esitsizligini saglar. Buna

gre in dama uzaklk fonksiyonu R2 de bir metriktir

1.4 Maksimum Dzlem Geometrisi

Maksimum metrik de H.Minkowski metrik ailesindendir. Analitik dzlemde iki nokta

arasndaki klidyen uzaklk yerine maksimum uzaklk fonksiyonu kullanlarak maksimum

dzlem geometrisi olusturulur. Bu dzlem geometride baz konular (Sahilova, 2006) ve

(Bayar, A. 2007) de verilmistir.

Tanm 1.4.1 A = (a1; a2) ve B = (b1; b2) analitik dzlemde iki nokta olsun. Bu

noktalar arasndaki maksimum uzaklk fonksiyonu, dM;

dM : R2

M R2M ! [0; 1)

dM(A; B) = dM((a1; a2) ; (b1; b2)) = maxfja1 b1j ; ja2 b2jgbiiminde tanmlanr. Bu uzaklkla donatlms dzleme Maksimum Dzlemi denir. Mak-

simum dzlemin noktalar ve dogrular klidyen dzlemini noktalar dogrular ve alar

ile ayndr. Maksimum dzlemi ksaca Mdzlemi veya R2M ile gsterilir.nerme 1.4.2 Analitik dzlemde verilen maksimum uzaklk fonksiyonu bir metrik

belirtir.

Ispat: A,B,C

2R

2

M ve A=(a1; a2); B(b1; b2); C = (c1; c2) olsun.

1. dM(A; B) = maxfja1 b1j ; ja2 b2jg oldugundan dM(A; B) 0 olur.


20/94

9

Eger dM(A; B) = 0 olsun.maxfja1 b1j ; ja2 b2jg = 0 dr.Bu durumda ja1 b1j = 0ve ja2 b2j = 0; dolaysyla a1 = b1 ve a2 = b2 olur.Buradan (a1; a2) = (b1; b2) ve sonutaA=B olur.

A=B olsun. Bu durumda dM(A; A) = max

fja1

a1

j;

ja2

a2

jg= 0 olur. Yani

dM(A; B) = 0 dr.

2. dM(A; B) = maxfja1 b1j ; ja2 b2jg=maxfjb1 a1j ; jb2 a2jg = dM(B; A)

dir.

3.

dM(A; B) dM(A; C) + dM(C; B)

oldugunu gsterelim.

dM(A; B) = maxfja1 b1j ; ja2 b2jgdM(A; C) = maxfja1 c1j ; ja2 c2jgdM(C; B) = maxfjc1 b1j ; jc2 b2jg

oldugundan,

dM(A; B) = maxfja1 b1j ; ja2 b2jg= max

fja1

c1 + c2

b1

j;

ja2

c2 + c2

b2

jg maxfja1 c1j + jc2 b1j ; ja2 c2j + jc2 b2jg

olur.

dM(A; B) = maxfja1 c1j + jc2 b1j ; ja2 c2j + jc2 b2jg

alalm.


esitsizliginin dogru oldugunu gsterirsek


esitsizliginin dogrulugunu ispatlams oluruz. Ispat iin asagdaki durumlar inceleyelim.

(i) ja1 c1j ja2 c2j ve jc1 b1j jc2 b2j ise

dM(A; B) = ja1 c1j + jc2 b1j = dM(A; C) + dM(C; B)

olur.


21/94

10

(ii) ja1 c1j ja2 c2j ve jc1 b1j jc2 b2j ise

dM(A; B) = ja2 c2j + jc2 b2j = jc2 b2j

olur.

(iii) ja1 c1j ja2 c2j ve jc1 b1j jc2 b2j ise iki durum sz konusudur:I.Durum: Eger ja1 c1j + jc1 b1j ja2 c2j + jc2 b2j isedM(A; B) = ja1 c1j + jc1 b1j dir. Bu ifade de jc1 b1j yerine jc2 b2j yazarsak

jc1 b1j jc2 b2j oldugundan

dM(A; B) ja1 c1j + jc2 b2j = jc2 b2j

elde edilir.

II.Durum: Eger ja1 c1j + jc1 b1j ja2 c2j + jc2 b2j ise

dM(A; B) = ja2 c2j + jc2 b2j

dir. ja2 c2j yerine ja1 c1j yazarsak ja1 c1j ja2 c2j oldugundan

dM(A; B) ja1 c1j + jc2 b2j = dM(A; C) + dM(C; B)

olur. Her iki durumda da verilen esitsizlik saglanyor.

(iv) ja1 c1j ja2 c2j ve jc1 b1j jc2 b2j ise asagdaki iki durum sz konusudur.I.Durum:

ja1 c1j + jc1 b1j ja2 c2j + jc2 b2j :

II.Durum:

ja1 c1j + jc1 b1j ja2 c2j + jc2 b2j

Bu iki durum iin (iii) dekine benzer olarak


esitsizliginin saglandigi gsterilebilir. Sonu olarak tm durumlarda


dr.


22/94

11

1.5 Genellestirilmis Mutlak Deger Metrik Geometrisi

Genellestirilmis mutlak deger dzlemi klidyen dzlemin noktalar, dogrular ve alarn

ieren bir dzlemdir. Ancak burada metrik fonksiyonlar farkldr. Su ana kadar in-

celedigimiz taksi, CC ve maksimum uzaklklarn ieren uzaklk fonksiyonlarnn ailesi R.Kaya tarafndan nerilmis ve (Kaya vd., 2006) da bu uzaklk fonsiyonlarnn her birinin

metrik oldugu gsterilmis ve bu metrik ailesi Genellestirilmis Mutlak Deger Metrigi olarak

adlandrlmstr. Genellestirilmis mutlak deger metrigi asagdaki gibi tanmlanr:

Tanm 1.5.1: R2 de X = (x1; y1) ve Y = (x2; y2) gibi iki nokta arasndaki uzaklk dg

ile gsterilir ve dg uzaklg a; b 2 R ve a b 0; a 6= 0 olmak zere

dg(X; Y) = dg((x1; y1); (x2; y2))

dg(X; Y) = a max fjx1 x2j ; jy1 y2jg + b min fjx1 x2j ; jy1 y2jg ; a b 0; a 6= 0

biiminde tanmlanr.

dg uzaklklarnn tanmna gre X ve Y gibi iki nokta arasndaki en ksa yol yatay

yada dikey dogru paras ile egimi 2aba2b2

olan dogru parasnn birlesiminden olusur.

Bu yzden X ile Y arasndaki en ksa dg uzaklg byle iki dogru parasnn klidyen

uzunluklarn toplamnn a says ile arpmdr. dg metrigi ile donatlms R2 dzlemine

Genellestirilmis Mutlak Deger Dzlemi denir ve (R2; dg) ile gsterilir.

nerme 1.5.2 Analitik dzlemde verilen genellestirilmis mutlak deger uzaklg bir

metrik belirtir.

Ispat: P1 = (x1; y1) ; P2 = (x2; y2) 2 R2 olsun. Mutlak deger tanmndan dolayjx1 x2j 0, jy1 y2j 0 ve a > b > 0 oldugundan dg (P1; P2) 0 dr. Ayrca

dg(P1; P2) = 0 ) a max fjx1 x2j ; jy1 y2jg + b min fjx1 x2j ; jy1 y2jg = 0

olmas gerektiginden dolayjx1

x2

j=

jy1

y2

j= 0 elde edilir. Yani x1 = x2 ve y1 = y2

olup P1 = P2 dir. Akca P1 = P2 ise dg(P1; P2) = 0 dr. Bu taktirde dg(P1; P2) = 0 ,P1 = P2 dir. Yani dg-uzaklk fonksiyonu pozitif tanmldr.

Mutlak deger tanm geregince jx1 x2j = jx2 x1j ve jy1 y2j = jy2 y1j oldugun-dan dg(P1; P2) = dg(P2; P1) dir. Bu nedenle dg-uzaklk fonksiyonu simetriktir.


23/94

12

P3(x3; y3) 2 R2 olmak zere

dg (X; Y) = a max fjx1 x2j ; jy1 y2jg + b min fjx1 x2j ; jy1 y2jg= a max fjx1 x3 + x3 x2j ; jy1 y3 + y3 y2jg +

b min fjx1 x3 + x3 x2j ; jy1 y3 + y3 y2jg a maxfjx1 x3j + jx3 x2j ; jy1 y3j + jy3 y2jg +

b minfjx1 x3j + jx3 x2j ; jy1 y3j + jy3 y2j= t

jx1 x2j = jx1 x3 + x3 x2j jx1 x3j + jx3 x2j (1)

ve

jy1 y2j = jy1 y3 + y3 y2j jy1 y3j + jy3 y2j (2)

yleyse

dg (X; Y) = a max fjx1 x2j ; jy1 y2jg + b min fjx1 x2j ; jy1 y2jg= a max fjx1 x3 + x3 x2j ; jy1 y3 + y3 y2jg +

b min fjx1 x3 + x3 x2j ; jy1 y3 + y3 y2jg

a max

fjx1

x3

j+

jx3

x2

j;jy1

y3

j+

jy3

y2

jg+ b minfjx1 x3j + jx3 x2j ; jy1 y3j + jy3 y2j

= t

elde edilir. Burada ki durumlar incelenerek dg nin gen esitsizligini sagladg kolaylkla

grlebilir.

(I) jx1 x3j > jy1 y3j ve jx3 x2j jy3 y2j ise

dg (X; Y) k = a(jx1 x3j + jx3 x2j) + b (jy1 y3j + jy3 y2j)= a jx1 x3j + b jy1 y3j + a jx3 x2j + b jy3 y2j= dg (X; Z) + dg (Z; Y)

(II) jx1 x3j jy1 y3j ve jx3 x2j jy3 y2j ise

dg (X; Y) dg (X; Z) + dg (Z; Y)

oldugu benzer sekilde gsterilebilir.


24/94

13

(III) jx1 x3j jy1 y3j ve jx3 x2j jy3 y2j iken iki tane mmkn durumvardr.

i) jx1 x3j + jx3 x2j jy1 y3j + jy3 y2j olsun. Bu durumda,

dg (X; Y) k = a(jx1 x3j + jx3 x2j) + b (jy1 y3j + jy3 y2j)olup, jx1 x3j jy1 y3j ve jx3 x2j jy3 y2j kullanlarak

dg (X; Z) = a jx1 x3j + b jy1 y3jdg (Z; Y) = a jy3 y2j + b jx3 x2j

dg (X; Y) dg (X; Z) + dg (Y; Z) ()

dg (X; Y) k = a(jx1 x3j + jx3 x2j) + b (jy1 y3j + jy3 y2j)k a(jx1 x3j + jy3 y2j) + b(jy1 y3j + jx3 x2j)

() a(jx3 x2j jy3 y2j) + b(jy3 y2j jx3 x2j) 0() (a b) (jx3 x2j jy3 y2j) 0() jx3 x2j jy3 y2j

ki bu , bu durum iin basta aldgmz sart gsterir.

ii) jx1 x3j + jx3 x2j jy1 y3j + jy3 y2j olsun. Bu durumda,dg (X; Y) k = a(jx1 x3j + jx3 x2j) + b (jy1 y3j + jy3 y2j)

olup, jx1 x3j jy1 y3j ve jx3 x2j jy3 y2j kullanlarak

dg (X; Z) = a jx1 x3j + b jy1 y3jdg (Z; Y) = a jy3 y2j + b jx3 x2j

dg (X; Y) dg (X; Z) + dg (Y; Z) ()dg (X; Y) k = a jy1 y3j + jy3 y2j) + b (jx1 x3j + jx3 x2j)

k a(jx1 x3j + jy3 y2j) + b(jy1 y3j + jx3 x2j)() a(jy1 y3j jx1 x3j) + b (jx1 x3j jy1 y3j) 0() (a b) (jy1 y3j jx1 x3j) 0() jy1 y3j jx1 x3j

Bu da genel olarak kabul ettigimiz sart gsterir.


25/94

14

(IV) jx1 x3j jy1 y3j ve jx3 x2j jy3 y2j ise iki tane mmkn durumvardr.

i) jx1 x3j + jx3 x2j jy1 y3j + jy3 y2jii)

jx1

x3

j+

jx3

x2

j jy1

y3

j+

jy3

y2

j

1.6 Dzlem Geometrisi

S. Tian uzaklg adn verdigi Taksi ve in Dama uzaklklarn ikisinin de birgenellestirilmisi olan bir metrik ailesi gelistirdi (Tian, 2005). Daha sonra . Gelisgen ve

R.Kaya, bu uzaklk fonksiyonunu boyutlu ve n-boyutlu uzaya genellestirdiler. (Gelis-

gen, 2007), (Gelisgen ve Kaya,2006a), (Gelisgen ve Kaya,2006b).


olsun.

P1P2 = max fjx1 x2j ; jy1 y2jg ve P1P2 = min fjx1 x2j ; jy1 y2jg

2 [0; =4] olmak zere

d : R2 R2 ! [0; 1)

d (P1; P2) = P1P2 + (sec tan ) P1P2

olarak tanmlanan fonksiyona analitik dzlemde P1 ve P2 noktalar arasndaki

-uzaklk fonksiyonu denir.

nerme 1.6.2 Analitik dzlemde, -uzaklk fonksiyonu metrik belirtir.

Ispat: P1 = (x1; y1) ; P2 = (x2; y2) 2 R2 olsun. Mutlak deger tanmndan dolayjx1 x2j 0, jy1 y2j 0 ve 2 [0; =4] iin sec tan 0 oldugundan d (P1; P2) 0 dr. Ayrca

d(P1

; P2

) = 0 ) P1P2 = max fjx1 x2j ; jy1 y2jg = 0olmas gerektiginden dolay jx1 x2j = jy1 y2j = 0 elde edilir. Yani x1 = x2 ve y1 = y2olup P1 = P2 dir. Akca P1 = P2 ise d(P1; P2) = 0 dr. Bu taktirde d(P1; P2) = 0 ,P1 = P2 dir. Yani d-uzaklk fonksiyonu pozitif tanmldr.

Mutlak deger tanm geregince jx1 x2j = jx2 x1j ve jy1 y2j = jy2 y1j oldugun-dan d(P1; P2) = d(P2; P1) dir. Bu nedenle d-uzaklk fonksiyonu simetriktir.


26/94

15

P3 = (x3; y3) 2 R2 olmak zere

d(P1; P2) = max fjx1 x2j ; jy1 y2jg + (sec tan )min fjx1 x2j ; jy1 y2jg= max fjx1 x3 + x3 x2j ; jy1 y3 + y3 y2jg +

(sec tan )min fjx1 x3 + x3 x2j ; jy1 y3 + y3 y2jg max fjx1 x3j + jx3 x2j ; jy1 y3j + jy3 y2jg +(sec tan )min fjx1 x3j + jx3 x2j ; jy1 y3j + jy3 y2jg

= t

olsun. Burada drt durum vardr.

I. Durum: jx1 x3j jy1 y3j ve jx3 x2j jy3 y2j olsun. Bu taktirde

d(P1; P2) t = (jx1 x3j + jx3 x2j) + (sec tan ) (jy1 y3j + jy3 y2j)= (jx1x3j + (sec tan ) jy1y3j) + (jx3x2j + (sec tan ) jy3y2j)= d(P1; P3) + d(P3; P2)

olur.

II. Durum: jx1 x3j jy1 y3j ve jx3 x2j jy3 y2j olsun. Burada iki altdurumsz konusudur.


d(P1; P2) t = (jx1 x3j + jx3 x2j) + (sec tan ) (jy1 y3j + jy3 y2j)= (jx1x3j + (sec tan ) jy1y3j) + (jx3x2j +(sec tan ) jy3y2j)= d(P1; P3) + d(P3; P2) (1 (sec tan )) (jy3 y2j jx3 x2j)

olup burada 1 (sec tan ) 0 ve jy3 y2j jx3 x2j 0 oldugundan dolay

d(P1; P2) d(P1; P3) + d(P3; P2)

olur.Alt Durum II.2: jx1 x3j + jx3 x2j jy1 y3j + jy3 y2j olsun. Bu durumda

d(P1; P2) t = (jy1 y3j + jy3 y2j) + (sec tan ) (jx1 x3j + jx3 x2j)= (jy1y3j +(sec tan ) jx1x3j) + (jy3y2j +(sec tan ) jx3x2j)= d(P1; P3) + d(P3; P2) (1 (sec tan )) (jx1 x3j jy1 y3j)

olup burada 1 (sec tan ) 0 ve jx1 x3j jy1 y3j 0 oldugundan dolay

d(P1; P2) d(P1; P3) + d(P3; P2)


27/94

16

dir.

III. Durum: jx1 x3j jy1 y3j ve jx3 x2j jy3 y2j olsun. Burada II. durumabenzer olarak iki altdurum sz konusudur.

Altdurum III.1:

jx1

x3

j+

jx3

x2

j jy1

y3

j+

jy3

y2

jolsun. Bu durumda

d(P1; P2) t = (jx1 x3j + jx3 x2j) + (sec tan ) (jy1 y3j + jy3 y2j)= (jx1x3j +(sec tan ) jy1y3j) + (jx3x2j + (sec tan ) jy3y2j)= d(P1; P3) + d(P3; P2) (1 (sec tan )) (jy1 y3j jx1 x3j)

olup burada 1 (sec tan ) 0 ve jy1 y3j jx1 x3j 0 oldugundan dolay

d(P1; P2) d(P1; P3) + d(P3; P2)

olur.

Alt Durum III.2: jx1 x3j + jx3 x2j jy1 y3j + jy3 y2j olsun. Bu durumda

d(P1; P2) t = (jy1 y3j + jy3 y2j) + (sec tan ) (jx1 x3j + jx3 x2j)= (jy1y3j +(sec tan ) jx1x3j) + (jy3y2j + (sec tan ) jx3x2j)= d(P1; P3) + d(P3; P2) (1 (sec tan )) (jx3 x2j jy3 y2j)

olup burada 1 (sec tan ) 0 ve jx3 x2j jy3 y2j 0 oldugundan dolay

d(P1; P2) d(P1; P3) + d(P3; P2)

dir.

IV. Durum: jx1 x3j jy1 y3j ve jx3 x2j jy3 y2j olsun.Bu taktirde

d(P1; P2)

t = (

jy1

y3

j+

jy3

y2

j) + (sec

tan ) (

jx1

x3

j+

jx3

x2

j)

= (jy1y3j +(sec tan ) jx1x3j) + (jy3y2j +(sec tan ) jx3x2j)= d(P1; P3) + d(P3; P2)

olur. Tm durumlarn sonular birlestirildiginde her P1; P2; P3 2 R2 iin

d(P1; P2) d(P1; P3) + d(P3; P2)

sonucu elde edilir. Yani -uzaklk fonksiyonu gen esitsizligini saglar

Buna gre -uzaklk fonksiyonu R2 de bir metriktir.


28/94

17

Geometrik olarak, P1 ile P2 noktalar arasndaki en ksa yol biri koordinat eksen-

lerinden birine paralel digeri diger koordinat ekseni ile as yapan iki dogru parasnn

birlesimidir. Bylece P1 ile P2 arasndaki en ksa uzaklk ifade edilen sekildeki iki dogru

parasnn klidyen uzunluklar toplamdr. P1 ile P2 noktalarnn minimum uzaklk

kmesi bir kenar ifti koordinat eksenlerinden birine paralel, diger kenar ifti ise diger

koordinat ekseni ile as yapan paralelkenardr.


29/94

18

BLM 2

TAKSI TRIGONOMETRI

Bu blmde taksi dzleminde klidyen dzlemdekine benzer olarak trigonometrik

fonksiyonlar tanmlayacagz. Dzlemde birim ember zerinde (x; y) noktas iin trigonometrik

fonksiyonlar x = cos ; y = sin olarak tanmlanr. Birim ember zerindeki (x; y) nok-

tas ile parametresini eslestirmenin iki yolu vardr. Ya (cos ; sin ) noktas xekseni ilepozitif ynde as yapan orijinden geen dogrunun birim emberi kestigi noktadr ya da

saat ynnn tersi ynde birim yay uzunluguna karslk gelen noktadr.

Taksi dzleminde y yay uzunlugu olarak alan taksi trigonometrik fonksiyonlar (Aka

ve Kaya, 1997) de incelenmistir. Burada parametresini a alarak, taksi trigonometrikfonksiyonlarn (Brisbin and Artola, 1984) ve (zcan, Ekmeki.ve Bayar,.2002), de yaplan-

lara benzer olarak inceleyecegiz.

2.1 Taksi Trigonometrik Fonksiyonlar

Taksi birim emberi; R2 de orijinden 1 taksi birim uzaklktaki A(x; y) noktalarnn

geometrik yeridir ve denklemi,

dT((0; 0); (x; y)) = 1

den

jxj + jyj = 1

biimindedir.

Bu denklem mutlak degerlerin durumuna gre incelenirse birim ember blgelere gre

asagdaki dallara ayrlr:

Blgeler Denklemi

I y = x + 1II y = x + 1

III y = x 1VI y = x 1

Taksi birim emberinin Sekil 2.1.1 de verilmistir.


30/94

19

y

x

y= -x+1y= x+1

y= x-1y= -x-1

Sekil 2.1.1 Taksi Birim ember

Simdi klidyen dzlemde sins ve kosins fonksiyonlarn birim ember zerindeki

(x,y) noktasna bagl tanmladgmz gibi taksi dzlemde taksi sins ve taksi kosins

fonksiyonlarn taksi birim emberi zerindeki (x,y) noktasna bagl tanmlayabiliriz. Taksi

kosins fonksiyonunu cosT ve taksi sins fonksiyonunusinT biiminde gsteriyoruz. Bunagre taksi birim emberi zerinde (cosT ; sinT ) noktas orijinden geen x-ekseni ile poz-

itif ynde as yapan dogrunun birim emberi kestigi noktadr. Bu dogrunun egimi

alnan metrige gre degismediginden taksi dzleminde taksi tanjant fonksiyonu klidyen

dzlemdekinin aynsdr. Yani taksi tanjant fonksiyonunu tanT ile gsterirsek ,

tanT = tan

dir.

Bylece taksi kosins ve taksi sins fonksiyonlar bildigimiz tanjant fonksiyonu cinsin-

den elde edilebilir.

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

cos

sin + cos ; 0

2

cos

sin cos ;

2

cos sin + cos

; 32

cos sin + cos ; 32 2

(2.1.1)


33/94

22

ve

sinT =

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

sin

sin + cos ; 0

2

sin sin cos ;

2

sin sin + cos

; 32

sin

sin + cos ;3

2 2

(2.1.2)

biiminde olur.

Daha ksa yazmak istersek,

cosT =cos

jsin j + jcos j ; 0 2

ve

sinT =sin

jsin j + jcos j ; 0 2

seklinde verebiliriz.

Taksi sekant ve kosekant fonksiyonlar klidyen dzlemdekine benzer olarak

secT =1

cosT ve cosecT =

1

sinT

biiminde tanmlayabiliriz. Asagdaki sekillerde taksi sins ve taksi kosins fonksiyon-

larnn grakleri verilmistir.


34/94

23

Sekil 2.1.2 Taksi Kosins Fonksiyonu

Sekil 2.1.3 Taksi Sins Fonksiyonu

2.2 Taksi Trigonometrik Fonksiyonlarn zellikleri

Trigonometrik fonksiyonlar a lsne bagl olarak tanmlamann bir sonucu olarak

tmler adaki zellikler taksi dzlem trigonometride de geerlidir. Yani,


35/94

24

cosT(

2 ) = sinT ve sinT(

2 ) = cosT

dir. Ayrca

tan(x) = tan x

zelliginden ve 2.1 1ve 2.1 2den yararlanlarak

cosT(x) = cosT x ve sinT(x) = sinT x

kolaylkla elde edilebilir.

I.Durum:

y III. blge as olarak alrsak bu taktirde II. blge asdr.

cosT() = cos()sin() + cos() =

cos sin + cos =

cos

sin cos = cosT

sinT() = sin()sin() + cos() =

sin

sin + cos = sin

sin cos = sinT

Benzer sekilde,

II.Durum:

y VI. blge as olarak alrsak bu taktirde I. blge asdr.

cosT() = cos() sin() + cos() =cos

sin + cos =

cos

sin + cos = cosT

sinT() = sin() sin() + cos() = sin

+sin + cos = sin

sin + cos = sinT

Bylece her blge iin cosT(x) = cosT x ve sinT(x) = sinT x dir.klidyen geometride iyi bilinen Pisagor zdesligi, taksi dzleminde (cosT x; sinT x)

birim ember zerinde bir nokta oldugundan

jcosT xj + jsinT xj = 1 (2.2.1)

biimine dnsr. Bu da taksi dzlemde pisagor zdesligidir.

Pisagor zdesliginin her iki tarafn jcosT xj e blersek

1 + jtanT xj = jsecT xj (2.2.2)


36/94

25

taksi sekant zdesligini elde ederiz.

Pisagor zdesliginin her iki tarafn jsinT xj e blersek

1 +

jcosectTx

j=

jcosectTx

j(2.2.3)

taksi kosekant zdesligini elde ederiz.

2.2.1 Taksi trigonometrik fonksiyonlar iin indirgeme formlleri

klidyen dzlem trigonometride her asnn trigonometrik fonksiyonlar I. Blgede

karslk gelen ann trigonometrik fonksiyonlar ile ifade edilebiliyordu. Taksi dzleminde

de birim emberde i:blgedeki i asna karslk I. ve II. blgede iliskili olan a 0

i ile

gsterilirse i ve 0

i arasndaki iliski

Blge i 0

i

I 1 0

1= 1

II 2 0

2= 2

III 3 0

3= 3 +

IV 4 0

4= 2 4

biiminde verilir.

cosT 2 =cos( 0

2)

sin( 02) cos( 0

2)

= cos 0

2

sin 02

+ cos 02

= cosT 02

sinT 2 =sin( 0

2)

sin( 02) cos( 0

2)

=sin 0

2

sin 02

+ cos 02

= sinT 0

2

cosT 3 = cos(0

3+ )

sin(03

+ ) + cos(03

+ )=

cos 03

sin 03

+ cos 03

= cosT 03

sinT 3 = sin(0

3+ )

sin(03

+ ) + cos(03

+ )=

sin 03

sin 03

+ cos 03

= sinT 0

3

cosT 4 = cos(2 4)

sin(2 4) cos(2 4)=

cos 04

sin 0

4 + cos 0

4

= cosT 0

4

sinT 4 = sin(2 4)

sin(2 4) cos(2 4) = sin 0

4

sin 04

+ cos 04

= sinT 04Artk sinT i ve cosT i nin degerlerini hesaplamak iin I. ve II. blgedeki sinT

0

i ve

cosT 0

i degerlerini bilmemiz yeterli olacaktr.


37/94

26

2.2.2 Taksi trigonometrik fonksiyonlar iin toplam-fark formlleri

Taksi trigonometrik fonksiyonlar iin toplam fark formlleri yine tanjant fonksiyonun-

dan yararlanarak elde edilebilir. Tanjant fonksiyonunun toplam fark forml

tan(u v) = tan u tan v1 tan u: tan v

= tanT(u v)den

tan(u v) = sinT(u v)cosT(u v) =

sinT u

cosT u sinT v

cosT v

1 sinT ucosT u

sinT v

cosT vve

sinT(u v)

cosT(u v)=

sinT u: cosT v sinT v: cosT u

cosT u: cosT v sinT u: sinT velde edilir. Esitligin her iki tarafnda pay ve paydalar esitlenirse

sinT(u v) = sinT u: cosT v sinT v: cosT u (2.2.4)

ve

cosT(u v) = cosT u: cosT v sinT u: sinT v (2.2.5)

elde edilir. Bu da klidyen sins ve klidyen kosins fonksiyonlarndaki toplam fark

formllerinin sagladg zelligin aynsdr.

2.2.3 Taksi trigonometrik fonksiyonlar iin yarm a formlleri

Taksi trigonometrik fonksiyonlar iin yarm a formlleri, taksi kosins ve taksi sins

fonksiyonlarnn toplam-fark formllerinde u = v alnarak elde edilir,

Buna gre

sinT(u + u) = sinT u: cosT u + sinT u: cosT u

den

sinT 2u = 2sinT u: cosT u (2.2.6)


38/94

27

ve

cosT(u + u) = cosT u: cosT u sinT u: sinT u

den

cosT 2u = cos2

T u sin2T u (2.2.7)

yarm a formlleri elde edilir.

2.3 Referans Al Taksi Trigonometrik Fonksiyonlar

klidyen dzlemde a ls ve yay uzunlugu esittir ve dzlemin btn dnmeler

altnda alar korunurlar. Ancak taksi dzlemde aya sabit bir artm verdigimizde yay

uzunlugunda ayn oranda degisim olmaz. Simdiye kadar tanmladgmz trigonometrikfonksiyonlarda y ox-ekseni ile pozitif ynde yaplan a olarak aldk. Yani ann bir

kolu ox-ekseninin pozitif yn idi. Bu durumdaki alar standart pozisyondaki a olarak

dsnebiliriz. Bylece standart pozisyonda olmayan alar iinde trigonometrik fonksiy-

onlar tanmlamamz gerekir. O yzden taksi dzlemde a kavramn referans al a

tanm ile genisletebiliriz.

= 0 ise standart pozisyondaki adr. Bu durum Sekil 2.3.1 ve Sekil 2.3.2 de

verilmistir.

x

y

x

y

Sekil 2.3.1 Standart pozisyonda Sekil 2.3.2 Referans al

Standart pozisyondaki alar iin verdigimiz taksi kosins ve taksi sins fonksiyon-

larnn fark formllerini kullanarak standart pozisyonda olmayan as iin referans


39/94

28

al taksi sins ve taksi kosins fonksiyonlarn olusturabiliriz. Referans al taksi sins

fonksiyonunu tsin ve referans al taksi kosins fonksiyonunu, tcos ile gsterelim. Buna

gre referans al as iin

tcos = cosT( + ) = cosT( + )cosT + sinT( + )sinT (2.3.1)ve

tsin = sinT( + ) = sinT( + )cosT sinT cosT( + ) (2.3.2)

olur. Burada + ve standart pozisyondaki alardr. Dikkat edilirse tcos ve tsin

esitliklerinde = 0 alnrsa

tcos = cosT

tsin = sinT

dir.

2.4 Taksi Uzunlugunun Dnmeler Altndaki Degisimi

klidyen dnmelerden sonra bir dogru parasnn taksi uzunlugu degisimini asagdaki

teoremle verilebilir (zcan, Ekmeki ve Bayar, 2002).

Teorem: O noktas orijin olmak zere OA x-ekseni zerinde olmayan ve x-ekseninin

pozitif yn ile as yapan dogru paras ve dT(O; A) = k olsun. Eger OA0; OA nn

orijin etrafnda al dnme altnda grnts ise

dT(O; A0) = k

scos2T + sin

2

T

(cos2T( + ) + sin2

T( + )

dir.

Ispat: Btn dnmeler altnda klidyen uzunluklar korundugundan OA0 ile OA nn

klidyen uzunluklar esittir.

dE(O; A0

) = dE(O; A) (2.4.1)

Ann koordinatlar cosT; sinT vekyabagl olarak A = (k cosT ; k sinT ) dr. dT(O; A0) =

k0 dersek, A0 nin koordinatlar ,

A0 = (k0 cosT( + ); k0 sinT( + ))

olur. Bunlar 2.4.1 de kullanrsak

q(k0 cosT( + ))

2 + k0 sinT( + )2 =q

(k cosT )2 + (k sinT )

2


40/94

29

k0q

(cos2T( + ) + sin2

T( + ) = kq

cos2T + sin2

T

k

0

= ks cos2T + sin2T

(cos2T( + ) + sin2T( + )

elde edilir.

Sonu 1: OA Dogru parasnn egimi sfr yani ox eksenine paralel ise

dT(O; A0) =

kpcos2T + sin

2

T

dir.

Ispat: OA nn egimi 0 oldugundan = 0 dr ve referans as konumunda olur.

Teoremde = 0 alrsak

dT(O; A0) = k

scos2T 0 + sin

2

T 0

(cos2T(0 + ) + sin2

T(0 + )

= k

s1 + 0

cos2T + sin2

T

=k

pcos2T + sin

2

T

elde edilir.Sonu 2: Dzlemin telemeleri altnda taksi uzunluklar korundugundan teorem her-

hangi bir dogru paras iinde geerlidir.


41/94

30

BLM 3

CC-DZLEMINDE TRIGONOMETRIK FONKSIYONLAR

Bu blmde CC- dzleminde trigonometrik fonksiyonlar (Bayar ve Ekmeki, 2006) esas

alnarak incelenmistir. CC-geometride farkl konular pekok yazar tarafndan alsmak-

tadr. Bunlardan bazlar (Aka vd., 2007), (Yksel, 2005),(Gelisgen vd., 2006), (Bayar ve

Ekmeki, 2006), (Tian, 2005), (Turan, 2004), (Turan ve zcan, 2004,), (Turan.ve zcan,

2005), (Uymaz, 2002) kaynaklardr.

3.1 CC-Trigonometrik Fonksiyonlar

CC-trigonometrik fonksiyonlar CC-birim emberi zerinde tanmlanr. R2 de CC-

birim emberi orijine 1 birim dc uzaklktaki noktalarn geometrik yeridir. Eger A(x; y);CC-

birim emberi zerinde bir nokta ise

dc(O; A) = 1

den birim emberin denklemi

max fjxj ; jyjg + (p

2 1)minfjxj ; jyjg = 1

biimindedir. Birim ember denklemi blgelere gre 8 dala sahiptir:

x

y

I

IIIII

IV

V

VI VII

VIII x

y

I

IIIII

IV

V

VI VII

VIII


42/94

31

Sekil 3.1.1CC-Birim emberi

Blge Denklemi

I y = (p2 + 1)x + (p2 + 1)II y = (p2 1)x + 1

III y = (p

2 1)x + 1IV y = (

p2 + 1)x + (

p2 + 1)

V y = (p2 + 1)x (p2 + 1)VI y =

(p

2

1)x

1

VII y = (p2 1)x 1VIII y = (

p2 + 1)x (p2 + 1)

CC-trigonometrik fonksiyonlarn yay parametresine bagl ifadeleri S. Yksel tarafn-

dan (Yksel, 2005) de incelenmistir. Biz burada parametreyi a alarak trigonometrik

fonksiyonlar (Bayar ve Ekmeki, 2006) e gre verecegiz.

CC-dzlemin emberi zerinde (cosc ; sinc ) noktas orijinden geen ox-ekseni ile poz-

itif ynde as yapan dogrunun CC-birim emberini kestigi noktalardr. Bu dogrunun

egimi metrige bagl olmadgndan CC-tanjant fonksiyonu tanc, klidyen dzlemdeki tan-

jant fonksiyonuna esittir.

tanc = tan =sin

cos

Bylece CC-kosins ve CC-sins fonksiyonlarn asina oldugumuz tanjant fonksiyonu

cinsinden elde edebiliriz.

Birim ember denklemi ile orijinden geip x-ekseninin pozitif yn ile as yapan

dogru denkleminin olusturdugu sistem,

8>:

x = cosc =cos

(p

2 1) sin + cos y = sinc =

sin

(p2 1)sin + cos elde edilir.

II.Blge:

4

2iken,

8>>:

x = cosc =cos

sin + (p

2 1)cos y = sinc = sin

sin + (p

2 1)cos elde edilir.

III.Blge:

2 3

4iken

8>>:

x = cosc =cos

sin (p2 1)cos y = sinc =

sin

sin (p2 1) cos elde edilir.

IV.Blge:

3

4 iken,

y = (p

2 + 1)x + (p

2 + 1)

y = (tan )x

sistemi zldgnde

(tan (p2 + 1))x = (p2 + 1)( sin

cos (p2 + 1))x = (p2 + 1)

(sin (p2 + 1) cos

cos )x = (

p2 + 1)

8>>>:

x = cosc =cos

(p

2 1)sin cos y = sinc =

sin

(p

2 1)sin cos elde edilir.

V.Blge: 54

iken,

y = (p2 + 1)x (p2 + 1)y = (tan )x


45/94

34

sistemi zldgnde

(tan + (p

2 + 1))x = (p2 + 1)

(

sin

cos + (p2 + 1))x = (p2 + 1)(

sin + (p

2 + 1) cos

cos )x = (p2 + 1)

8>>>:

x = cosc =cos

(p2 1)sin cos y = sinc =

sin

(p2 + 1) sin cos elde edilir.

VI.Blge: 54 32 iken,

y = (p2 1)x 1y = (tan )x

sistemi zldgnde

(tan )x = (p2 1)x 1x(tan + (p2 1)) = 1

x(sin + (

p2 1)cos

cos ) = 1

8>>>:

x = cosc =cos

sin (p2 1)cos y = sinc =

sin

sin (p2 1)cos elde edilir.

VII.Blge: 32

74

iken,

y = (p

2 1)x 1y = (tan )x


46/94

35

sistemi zldgnde

(tan )x = (p

2 1)x 1

x(tan (p2 1)) = 1x(

sin (p2 1)cos cos

) = 1

8>>>:

x = cosc =cos

sin + (p2 1)cos y = sinc =

sin

sin + (p2 1)cos elde edilir.

VIII.Blge:7

4 2 iken,

y = (p

2 + 1)x (p2 + 1)y = (tan )x

sistem zldgnde

(tan )x = (p

2 + 1)x (p2 + 1)(tan (p2 + 1))x = (p2 + 1)

(sin (p2 + 1) cos

cos )x = (p2 + 1)

8>>>:

x = cosc =cos

(p2 1)sin + cos y = sinc =

sin

(p2 1)sin + cos elde edilir.

Blgelere gre olusan cosc ve sinc degerlerini asagdaki tabloda zetleyebiliriz.


47/94

36

Blge cosc sinc

Icos

(p

2 1)sin + cos sin

(p

2 1)sin + cos II

cos

sin + (p2 1)cos sin

sin + (p2 1)cos III

cos

sin (p2 1)cos sin

sin (p2 1)cos IV

cos

(p2 1)sin cos sin

(p

2 1)sin cos V

cos

(p2 1)sin cos sin

(p2 1)sin cos VI

cos

sin (p2 1)cos sin

sin (p2 1)cos VII

cos

sin + (

p2

1)cos

sin

sin + (

p2

1)cos

VIII cos (p2 1)sin + cos sin

(p2 1)sin + cos Bu tabloyu da mutlak deger kullanarak su sekilde ksaltabiliriz.

cosc =

8>>>>>>>>>:

cos

(p

2 1) jsin j + jcos j ; 2 I ; I V ; V ; V I I I

cos

jsin

j+ (

p2

1)

jcos

j

; 2 I I ; I I I ; V I ; V I I

sinc =

8>>>>>>>>>:

sin

(p

2 1) jsin j + jcos j ; 2 I ;I V ;V ;V I I I

sin

jsin j + (p2 1) jcos j ; 2 I I ; I I I ; V I ; V I I

CC-sins ve CC-kosins fonksiyonlarnn grakleri Sekil 3.1.2 ve Sekil 3.1.3 de ver-

ilmistir.


48/94

37

Sekil 3.1.2 CC Kosins Fonksiyonu

Sekil 3.1.3 CC Sins Fonksiyonu

3.2 CC-Trigonometrik Fonksiyonlarnn zellikleri

Trigonometrik fonksiyonlar a lsne bagl olarak tanmladgmzdan, tmler alar-

daki zellikler CC-dzlem trigonometride de geerlidir.


49/94

38

Yani,

cosc(

2 ) = sinc ve sinc(

2 ) = cosc

ve

cosc(x) = cosc x ve sinc(x) = sinc x

oldugu kolaylkla grlebilir:

I.Durum:

y VIII. blge as olarak alrsak I. blge asdr.

cosc() =cos(

)

(p2 1) sin() + cos() =cos

(p2 1)sin + cos = cosc sinc() = sin()(p2 1) sin + cos() =

sin (p

2 1)sin + cos = sinc

II.Durum:

y VII. blge as olarak alrsak bu taktirde II.blge asdr.

cosc(

) =cos()

sin() + (p2 1) cos()=

cos

sin + (p2 1)cos = cosc

sinc() = sin() sin() + (p2 1) cos() = sin

sin + (p

2 1)cos = sinc

III.Durum;

y VI.blge as olarak alrsak nn III. blge as oldugunu grrz.

cosc() = cos()

sin(

)

(p

2

1) cos(

)=

cos

sin

(p

2

1)cos = cosc

sinc() = sin() sin() (p2 1) cos() = sin

sin (p2 1)cos = sinc

VI.Durum;

y V.blge as olarak alrsak , IV.blge asdr.

cosc() = cos()(p2 1) sin() cos() =cos

(p

2 1)sin cos = cosc

sinc() =sin(

)

(p2 1) sin() cos() = sin

(p2 1)sin cos = sinc


50/94

39

Bylece her blge iin cosc() = cosc , sinc() = sinc oldugunu gstermisoluruz.

klidyen geometrideki iyi bilinen Pisagor zdesligi, CC- dzleminde (cosc x; sinc x)

birim ember zerinde bir nokta oldugundan

max fjcosc xj ; jsinc xjg + (p

2 1)minfjcosc xj ; jsinc xjg = 1 (3.2.1)

biimindedir.

Pisagor zdesliginin her iki tarafn jcosc xj e blerek CC-sekant zdesligi

maxf

1;jtanc x

jg+ (

p2

1)min

f1;

jtanc x

jg=

jsecc x

j(3.2.2)

ve jsinc xj e blnerek CC-kosekant zdesligi

max f1; jcotc xjg + (p

2 1)minf1; jcotc xjg = jcos ectcxj (3.2.3)

olarak elde edilir.

3.2.1 CC-Trigonometrik fonksiyonlarnn indirgeme formlleri

klidyen dzlem trigonometride her asnn trigonometrik fonksiyonlar I. blgedekarslk gelen ann trigonometrik fonksiyonlar ile ifade edilebiliyordu.

CC-dzlemde de birim emberde i: blgedeki i asna karslk I. ve II. blgelerde

iliskili olan a 0i ile gsterilirse i ve 0

i arasndaki iliski,

Blge i 0

i

I 1 0

1= 1

II 2 0

2 = 2

III 3 0

3= 1800 3

IV 4 0

4= 1800 4

V 5 0

5= 1800 + 5

VI 6 0

6= 1800 + 6

VII 7 0

7= 3600 7

VIII 8 0

8= 3600 8

biiminde verilir.


51/94

40

CC- trigonometrik fonksiyonlar iin i ve 0

i arasndaki iliski asagdaki gibi elde edilir.

c cos 3 =cos(1800 0

3)

sin(1800 03) (p2 1) cos(1800 0

3)

= cos 0

3

sin 03

+ (p

2 1)cos 03

= c co

c sin 3 = sin(1800

0

3)sin(1800 0

3) (p2 1) cos(1800 0

3)

= sin 0

3

sin 03

+ (p

2 1)cos 03

= c sin

c cos 4 =cos(1800 0

4)

(p

2 1) sin(1800 04) cos(1800 0

4)

= cos 0

4

(p

2 1)sin 04

+ cos 04

= c co

c sin 4 =sin(1800 0

4)

(p

2 1) sin(1800 04) cos(1800 0

4)

=sin 0

4

(p

2 1)sin 04

+ cos 04

= c sin

c cos 5 =cos(1800 + 0

5)

(p2 1) sin(1800 + 05) cos(1800 + 0

5)

= cos 0

5

(p

2 1)sin 05

+ cos 05

= c co

c sin 5 =sin(1800 + 0

5)

(p2 1) sin(1800 + 05) cos(1800 + 0

5)

= sin 0

5

(p

2 1)sin 05

+ cos 5= c si

c cos 6 = cos(180

0

+

0

6) sin(180 + 06) (p2 1) cos(1800 + 0

6)

= cos 0

6

sin 06

+ (p

2 1)cos 06

= c co

c sin 6 =sin(1800 + 0

6)

sin(180 + 06) (p2 1) cos(1800 + 0

6)

= sin 0

6

sin 06

+ (p

2 1)cos 06

= c si

c cos 7 =cos(3600 0

7)

sin(3600 07) + (

p2 1) cos(3600 + 0

7)

=cos 0

7

sin 07

+ (p

2 1)cos 07

= c cos

c sin 7 =sin(3600 0

7)

sin(3600 07) + (

p2 1) cos(3600 + 0

7)

= sin 0

7

sin 07

+ (p

2 1)cos 07

= c si

c cos 8 =cos(3600 0

8)

(p2 1) sin(3600 08) + cos(3600 0

8)

=cos 0

8

(p

2 1)sin 08

+ cos 08

= c cos

c sin 8 =sin(3600

08)

(p2 1) sin(3600 08) + cos(3600 0

8) =

sin 08

(p2 1)sin 08

+ cos 08

= c si

Artk sinc i ve cosc i nin degerlerini hesaplamak iin I. ve II. blgedeki sinc 0

i ve

cosc 0


3.2.2 CC-Trigonometrik fonksiyonlarnn toplam-fark formlleri

CC-trigonometrik fonksiyonlar iin toplam fark formlleri yine tanjant fonksiyonundan

yararlanarak elde edilebilir.

tan(u v) =

tan u tan v1 tan u: tan v

dan

tan(u v) = sinc(u v)cosc(u v) =

sinc u

cosc u sinc v

cos cv

1 sinc ucosc u

sinc v

cosc vve

sinc(u v)cosc(u v) = sinc u: cosc v sinc v: cosc ucosc u: cosc v sinc u: sinc v


52/94

41

dir. Esitligin her iki tarafndan pay ve paydalar esitlenirse,

sinc(u v) = sinc u: cosc v sinc v: cosc u (3.2.4)

ve

cosc(u v) = cosc u: cosc v sinc u: sinc v (3.2.5)

elde edilir. Bylece CC-trigonometrik fonksiyonlarnn toplam fark formllerinin klidyen

benzerleri gibi oldugu grlyor.

3.2.3 CC-Trigonometrik fonksiyonlarnn yarm a formlleri

CC-Trigonometrik fonksiyonlar iin yarm a formlleri CC-sins ve CC-kosins fonksiy-

onlarnn toplam fark formlnde u = v alnarak,

sinc(u + u) = sinc u: cosc u + sinc u: cosc u

den

sinc 2u = 2sinc u: cosc u (3.2.6)

ve

cosc(u + u) = cosc u: cosc u sinc u: sinc u

den

cosc 2u = cos2

c u sin2c u (3.2.7)

biiminde elde edilir.

3.3 Referans Al CC-Trigonometrik Fonksiyonlar

, CC- birim emberi zerinde referans al a olsun. Bu durumda referans al

kosins ve sins fonksiyonlarn standart pozisyonda ki + ve alar yardm ile farkformllerinden yaralanarak elde edilebilir. CC- referans al kosins fonksiyonunu ccos

ile gsterirsek

ccos() = cosc( + ) = cosc( + ): cosc + sinc( + ): sinc (3.3.1)

biiminde elde edilir. Referans al CC-sins fonksiyonu csin ile gsterirsek

csin() = sinc( + ) = sinc( + ): cosc sinc : cosc( + ) (3.3.2)


53/94

42

olur.

x

y

x

y

x

y

x

y


= 0 ise standart pozisyondaki adr. Bu durum Sekil 3.3.1 ve Sekil 3.3.2 de

verilmistir.

3.4 CC- Uzunlugunun Dnmeler Altndaki Degisimi

klidyen dzlemde bir dogru parasnn uzunlugu dnmelerden etkilenmez. CC-

dzlemin de belirli

4n kat olan al dnmeler hari dogru parasnn uzunlugu dnmeler

altnda degisir(Kaya vd.,2006). Bir dogru parasnn dnmelerden sonra CC uzunlugu

degisimini asagdaki teoremle verilebilir(Bayar ve Ekmeki 2006).

Teorem: O noktas orijin olmak zere OA ox-ekseni zerinde olmayan ve ox-ekseninin

pozitif yn ile as yapan dogru paras ve dc(O; A) = k olsun. Eger OA0; OA nn

orijin etrafnda kadar dnme altnda grnts ise

dc(O; A0) = k

scos2c + sin

2c

(cos2c( + ) + sin2

c( + )

Ispat: Btn dnmeler altnda klidyen uzunluk korundugundan OA0 ile OA nn


dE(O; A0) = dE(O; A) (3.4.1)

Ann koordinatlar cosc; sinc vekyabagl olarak A = (k cosc ; k sinc ) dr. dc(O; A0) =

k0 dersek, A0 nin koordinatlar ,


54/94

43

A0 = (k0 cosc( + ); k0 sinc( + )) (3.4.2)


q(k0 cosc( + ))

2 + k0 sinc( + )2 =

q(k cosc )

2 + (k sinc )2

k0q

(cos2c( + ) + sin2

c( + ) = kq

cos2c + sin2

c

k0 = k

scos2c + sin

2

c

(cos2c( + ) + sin2

c( + )

elde edilir.

Sonu 1: OA Dogru parasnn egimi sfr yani ox eksenine paralel ise

dc(O; A0) =

kpcos2c + sin

2

c

dir.


Teoremde = 0 alrsak

dc(O; A0) = k

scos2c 0 + sin

2c 0

(cos2c(0 + ) + sin2

c(0 + )

= k

r1 + 0

cos2c + sin2

c

=kp

cos2c + sin2

c

elde edilir.

Sonu 2: Dzlemin telemeleri altnda CC-uzunluklar korundugundan teorem her-

hangi bir dogru paras iinde geerlidir.

.


55/94

44

BLM 4

MAKSIMUM DZLEMINDE TRIGONOMETRIK FONKSIYONLAR

Bu blmde maksimum metrigi kullanlarak gelistirilen dzlem geometrisinin trigonometrik

fonksiyonlar klidyen dzlemdekine benzer olarak (Bayar, 2007) esas alnarak incelen-

mistir.

4.1 Maksimum Trigonometrik Fonksiyonlar

R2

M de max fjxj ; jyjg = 1 denklemini saglayan (x; y) noktalarnn kmesine M-birim ember denir. R2M nin birim emberi, kseleri A1 = (1; 1); A2 = (1; 1); A3 =(

1;

1); A4 = (1;

1) noktalar olan bir karedir (Sekil 4.1.1).

x

y

y=1

x=1

x=-1

y=-1

Sekil 4.1.1 M-birim emberi

Birim ember denklemi mutlak degerlere gre incelenirse, ember alarn durumuna

gre 8 blgeye ayrlr.


56/94

45

Blge A Denklem

I 0 4

x = 1

II

4

2y = 1

III 2

34

y = 1

IV3

4 x = 1

V 54

x = 1V I

5

4 3

2y = 1

V II3

2 7

4y = 1

V I I I 7

4 2 x = 1

P(x; y) noktas ile O(0; 0) nin olusturdugu dogrunun ox-ekseninin pozitif yn ile yap-

tg a olmak zere nn maximum kosins ve maksimum sins fonksiyonlarn sras

ile cosm ve sinm ile gsterilmek zere x = cosm , y = sinm olarak tanmlayabiliriz.

Maksimum birim emberi zerinde (cosm ; sinm ) noktas, orijinden geen ox-ekseni ile

pozitif ynde as yapan dogrunun birim emberi kestigi noktadr. Bu dogrunun egimi

alnan metrige gre degismediginden maksimum dzleminde maksimum tanjant fonksiy-

onu klidyen dzlemdekinin aynsdr. Yani maksimum tanjant fonksiyonunu tanm ile

gsterirsek ,

tanm = tan

dir.

Bylece maksimum kosins ve maksimum sins fonksiyonlar bildigimiz tanjant fonksiy-

onu cinsinden elde edilebilir. Birim ember ile orijinden geen egimi tan olan dogrunun

olusturdugu sistem 8>>>:

sin

jcos j ; 2 I ;I V ;V ;V I I I

jsin jsin

; 2 I I ; I I I ; V I ; V I I

cosm =

8>>>>>>>:

jcos

jcos ; 2 I ; I V ; V ; V I I I

cos

jsin j ; 2 I I ; I I I ; V I ; V I I

Maksimum sins ve maksimum kosins fonksiyonlarnn grakleri Sekil 4.1.2 ve Sekil

4.1.3 de verilmistir.


60/94

49

Sekil 4.1.2 Maksimum kosins fonksiyonu

Sekil 4.1.3 Maksimum sins fonksiyonu

4.2 Maksimum Trigonometrik Fonksiyonlarn zellikleri

Trigonometrik fonksiyonlar a lsne bagl olarak tanmlamann bir sonucu olarak

tmler adaki zellikler maksimum dzlem trigonometride de geerlidir. Yani,


61/94

50

cosm(

2 ) = sinm ve sinm(

2 ) = cosm

dir. Ayrca

tan(x) = tan x

zelliginden yararlanlarak

cosm(x) = cosm x ve sinm(x) = sinm x

kolaylkla elde edilebilir.

I.Durum:

y VIII. blge as olarak alrsak bu taktirde ; I. blge asdr.

cosm() = 1 cosm = 1; cosm() = cosm sinm() = tan() = sin()

cos() = tan = sinm

II.Durum:

y VII. blge as olarak alrsak bu taktirde ; II. blge asdr.

cosm() = 1

tan() =cos

sin =1

tan = cosm

sinm() = 1 sinm = 1; sinm() = sinm III.Durum:

y VI. blge as olarak alrsak bu taktirde ; III. blge asdr.

cosm() = 1tan() =

cos

sin =

1

tan = cosm

sinm() = 1 sinm = 1; sinm() = sinm IV.Durum:

y V blge as olarak alrsak bu taktirde ; IV. blge asdr.

cosm() = 1 = cosm sinm() = tan() = tan = sinm

olur. Bylece her blge iin cosm() = cosm , sinm() = sinm oldugunu gstermisolduk.


62/94

51

klidyen geometrideki iyi bilinen Pisagor zdesligi, maksimum dzleminde (cosm x; sinm x)

birim ember zerinde bir nokta oldugundan.

max fjcosm xj ; jsinm xjg = 1 (4.2.1)

biimindedir.

Pisagor zdesliginin her iki tarafn jcosc xj e blerek sekant zdesligi

max f1; jtanm xjg = jsecm xj (4.2.2)

ve jsinc xj e blnerek kosekant zdesligi

max f1; jcotmxjg = jcosectmxj (4.2.3)elde edilir.

4.2.1 Maksimum trigonometrik fonksiyonlarnn indirgeme formlleri

klidyen dzlem trigonometride her asnn trigonometrik fonksiyonlar I. blgede

karslk gelen ann trigonometrik fonksiyonlar ile ifade edilebiliyordu.

Maksimum dzlemde birim emberde i: blgedeki i asna karslk I. ve II. blgelerde

iliskili olan a 0i ile gsterilirse i ve 0

i arasndaki iliski,

Blge i 0

i

I 1 0

1= 1

II 2 0

2= 2

III 3 0

3= 1800 3

IV 4 0

4= 1800 4

V 5 0

5= 1800 + 5

VI 6 06 = 1800 + 6

VII 7 0

7= 3600 7

VIII 8 0

8= 3600 8

biiminde verilir.


63/94

52

M- trigonometrik fonksiyonlar iin i ve 0

i arasndaki iliski asagdaki gibi elde edilir.

cosm 3 =1

tan =

cos(1800 3)sin(1800 3) =

cos 03

sin 03

= cosm 03sinm 3 = sinm

0

3

cosm 4 = cosm 04sinm 4 = tan = sin(180

0 4)cos(1800 4) =

sin 04

cos 04

= sinm 0

4

cosm 5 = cosm 05sinm 5 = tan = sin(180

0 + 5)

cos(1800 + 5)=

sin 05

cos 05

= sinm 05

cosm 6 = 1tan

= cos(1800 + 6)

sin(1800 + 6)=

cos 06

sin 06

= cosm 06

sinm 6 = sinm 0

6

cosm 7 = 1tan

= cos(3600 7)

sin(3600 7) = cos 0

7

sin 07

= cosm 0

7

sinm 7 = sinm 07cosm 8 = cosm

0

8

sinm 8 = tan =sin(3600 8)cos(3600 8) =

sin 08

cos 08

= sinm 08Artk sinm i ve cosm i nin degerlerini hesaplamak iin I. ve II. blgedeki sinm

0

i ve

cosm 0


4.2.2 Maksimum trigonometrik fonksiyonlarnn toplam-fark formlleri

Maksimum trigonometrik fonksiyonlar iin toplam fark formlleri yine tanjant fonksiy-

onundan yararlanarak elde edilebilir.

tan(u v) =


dan

tan(u v) = sinm(u v)cosm(u v) =

sinm u

cosm u sinm v

cosm v

1 sinm ucosm u

:sinm v

cosm vve

sinm(u v)cosm(u v) =

sinm u: cosm v sinm v: cosm ucosm u: cosm v sinm u: sinm v



64/94

53

sinm(u v) = sinm u: cosm v sinm v: cosm u (4.2.4)

ve

cosm(u v) = cosm u: cosm v sinm u: sinm v (4.2.5)

elde edilir. Bylece maksimum trigonometrik fonksiyonlarnn toplam fark formllerinin

klidyen benzerleri gibi oldugu grlyor.

4.2.3 Maksimum trigonometrik fonksiyonlarnn yarm a formlleri

Maksimum trigonometrik fonksiyonlar iin yarm a formlleri maksimum sins ve

maksimum kosins fonksiyonlarnn toplam-fark formllerinde u = v alnarak,

sinm(u + u) = sinm u: cosm u + sinm u: cosm u

den

sinm 2u = 2sinm u: cosm u (4.2.6)

ve

cosm(u + u) = cosm u: cosm u

sinm u: sinm u

den

cosm 2u = cos2

m u sin2m u (4.2.7)


4.3 Referans Al Maksimum Trigonometrik Fonksiyonlar

Standart pozisyonda olmayan alar iin de trigonometrik fonksiyonlar tanmlamak

iin M-dzlemde a kavramn referans al a tanm ile genisletelim.

, M-birim emberi zerinde referans al a olsun. Bu durumda referans al

kosins ve sins fonksiyonlarn standart pozisyonda ki + ve alar yardm ile fark

formllerinden yaralanarak elde edebiliriz.

Bu durumda referans al maksimum kosins fonksiyonu, mcos,

mcos() = cosm( +

) = cosm( + ): cosm + sinm( + ): sinm (4.3.1)


65/94

54

ve referans al maksimum sins fonksiyonu, msin,

msin() = sinm( + ) = sinm( + ): cosm sinm : cosm( + ) (4.3.2)


x

y

y


4.4 Maksimum Uzunlugun Dnmeler Altndaki Degisimi

klidyen dnmelerden sonra bir dogru parasnn maksimum uzunlugun degisiminiasagdaki teoremle verilebilir (Bayar, 2007).

Teorem 4.3.1: O noktas orijin olmak zere OA x-ekseni zerinde olmayan ve x-

ekseninin pozitif yn ile as yapan dogru paras ve dm(O; A) = k olsun. Eger

OA0; OA nn orijin etrefnda kadar dnme altnda grnts ise

dm(O; A0) = k

scos2m + sin

2

m

(cos2m( + ) + sin2

m( + )

dir.Ispat: Btn dnmeler altnda klidyen uzunluk korundugundan OA0 ile OA nn


dE(O; A0) = dE(O; A) (4.4.1)

Ann koordinatlar cosm; sinm ve k ya bagl olarak A = (k cosm ; k sinm ) dr.

dM(O; A0) = k0 dersek, A0 nin koordinatlar ,

A0 = (k0 cosm( + ); k0 sinm( + ))


66/94

55


q(k0 cosm( + ))

2 + k0 sinm( + )2 =

q(k cosm )

2 + (k sinm )2

k0q

(cos2m( + ) + sin2

m( + ) = kq

cos2m + sin2

m

k0 = k

scos2m + sin

2

m

(cos2m( + ) + sin2

m( + )

elde edilir.

Sonu 4.3.1: OA Dogru parasnn egimi sfr, yani ox-eksenine paralel ise

dm(O; A0) = kp

cos2m + sin2

m

dir.


Teoremde = 0 alrsak

dm(O; A0) = k

scos2m 0 + sin

2

m 0

(cos2m(0 + ) + sin2

m(0 + )

= kr

1 + 0cos2m + sin

2

m

=kp

cos2m + sin2

m

olur.

Sonu 4.3.2: Dzlemin telemeleri altnda maksimum uzunluklar korundugundan

teorem herhangi bir dogru paras iinde geerlidir.


67/94

56

BLM 5

GENELLESTIRILMIS MUTLAK DE GER DZLEMINDE

TRIGONOMETRIK FONKSIYONLARBu blmde (R2; dg)dzleminde trigonometrik fonksiyonlar (Bayar, Ekmeki ve Aka,

2006) esas alnarak incelenecektir.

5.1 Genellestirilmis Mutlak Deger Dzleminde Trigonometrik Fonksiyonlar

(R2; dg) dzleminin birim emberi orijinden 1 dg birim uzaklktaki noktalarn geometrik

yeridir. Yani X = (x; y) birim ember zerinde bir nokta ise

dg(X; O) = 1

sartn saglar. Buradan

a max fjxj ; jyjg + b min fjxj ; jyjg = 1; a b 0; a 6= 0 (5.1.1)

denklemi (R2; dg) dzleminin birim ember denklemidir. Dolays ile genellestirilmis mut-

lak deger dzleminin birim emberleri zel olarak taksi, in dama ve maksimum metrik-

lerinin birim emberlerini ieren kseleri A1 = (1

a; 0); A2 = (

1

a + b;

1

a + b); A3 = (0;

1

a);

A4 = ( 1a + b

; 1a + b

); A5 = (1a

; 0); A6 = ( 1a + b

; 1a + b

); A7 = (0; 1a

), A8 =

(1

a + b; 1

a + b) olan sekizgenlerdir. Birim emberin kenarlarnn denklemleri mutlak

degerin durumuna gre asagdaki biimdedir.

I.Durum: jxj jyj ise II.Durum: jyj jxj isea: jxj + b: jyj = 1 a: jyj + b: jxj = 1

i) x > 0; y > 0

ax + by = 1

y =1 ax

b

i) x > 0; y > 0

ay + bx = 1

y =1 bx

a


68/94

57

I.Durum: jxj jyj ise II.Durum: jyj jxj iseii) x > 0; y < 0

ax by = 1y = ax 1

b

ii) x > 0; y < 0

ay + bx = 1y = bx 1

a

iii) x < 0; y > 0

ax + by = 1y =

1 + ax

b

iii) x < 0; y > 0

ay bx = 1y =

1 + bx

a

iv) x < 0; y < 0

ax by = 1y =

1 ax

b

iv) x < 0; y < 0

ay bx = 1y =

1 bx

aa = b = 1 ise taksi birim emberi, a = 1 ve b =

p2 1 ise CC- birim emberi ve a = 1

ve b = 0 iken de maksimum metriginin gre birim emberleri elde edilir. a = 2 ve b = 1

durumuna gre elde edilen dg-birim emberi Sekil 5.1.1 de verilmistir.

3

1(0, )

2A

2 1 1( , )3 3

A

1

1( , 0)

2A

4

1 1( , )3 3A

5

1( , 0)

2A

6

1 1( , )

3 3A

7 1(0, )2

A

8

1 1( , )

3 3A

I

IIIII

IV

V

VI VII

VIIIx

y

Sekil 5.1.1 a = 2; b = 1 iken dg Birim emberi

Simdi (R2; dg) dzleminin birim emberini kullanarak nceki blmlerde verdigimiz

trigonometrik fonksiyonlara benzer olarak burada trigonometrik fonksiyonlar verecegiz.

Genellestirilmis mutlak deger dzlemi birim emberi zerinde (cosg ; sing ) noktas,

orijinden geen ox-ekseni ile pozitif ynde as yapan dogrunun birim emberi kestigi


69/94


70/94

59

(tan )x =1 bx

a

1 bx = a(tan )xx =

1

a tan + b

cosg =cos

a sin + b cos

sing =sin

a sin + b cos

elde edilir.

III.Blge:

2 3

4iken,

8


71/94


72/94

61

(tan )x =1 bx

a1 bx = a(tan )xx =

1a tan + b

cosg = cos

a sin + b cos

sing = sin

a sin + b cos

elde edilir.

VII.Blge:3

2 7

4iken,

8


73/94

62

(tan )x =ax 1

bax 1 = b(tan )xx =

1b tan

a

cosg = cos

b sin a cos sing =

sin b sin a cos

elde edilir.

Blgelere gre olusan cosg ve sing degerlerini asagdaki tabloda zetleyebiliriz.

Blge cosg sing

Icos

b sin + a cos sin

b sin + a cos

IIcos

a sin + b cos

sin

a sin + b cos

IIIcos

a sin b cos sin

a sin b cos

IVcos

b sin a cos

sin

b sin a cos

V cos

b sin + a cos

sin b sin + a cos

V I cos

a sin + b cos

sin a sin + b cos

V II cos

a sin b cos sin

a sin b cos

V I I I cos

b sin a cos sin

b sin a cos Bu tabloyu da mutlak deger kullanarak su sekilde ksaltabiliriz.

cosg =

8>>>>>>>>>:

cos

a jcos j + b jsin j ; jtan j 1

cos

b jcos j + a jsin j ; jtan j 1


74/94

63

ve

sing =

8>>>>>>>>>:

sin

a jcos j + b jsin j ; jtan j 1

sin

b jcos j + a jsin j;

jtan

j 1:

Genellestirilmis mutlak deger sins ve genellestirilmis mutlak deger kosins fonksiyon-

larnn grakleri a = 2 ve b = 1 durumu iin Sekil 5.1.2 ve Sekil 5.1.3 de verilmistir.

Sekil 5.1.2 a=2, b=1 iken Genellestirilmis mutlak deger sins fonksiyonu

Sekil 5.1.3 a=2,b=1 iken Genellestirilmis mutlak deger kosins fonksiyonu


75/94

64

5.2 Genellestirilmis Mutlak Deger Trigonometrik Fonksiyonlarn zellikleri

Trigonometrik fonksiyonlar a lsne bagl olarak tanmladgmzdan, tmler alar-

daki zellikler genellestirilmis mutlak deger trigonometrik fonksiyonlarnda da geerlidir.

Yani,

cosg(

2 ) = sing ve sing(

2 ) = cosg

Ayrca

tan(x) = tan x

zelliginden yararlanarak

cosg(x) = cosg x ve sing(x) = sing x

oldugu kolaylkla grlebilir.

I.Durum:

y VIII. blge as olarak alrsak, I. blge asdr.

cosg(

) =

cos()

b sin() a cos()=

cos

b sin a cos = cosg

sing() = sin()b sin() a cos() =

sin

sin a cos = sing

II.Durum:

y VII. blge as olarak alrsak bu taktirde, II.blge asdr.

cosg() = cos()a sin() b cos() =

cos a sin b cos = cosg

sing(

) = sin()

a sin() b cos()=

sin

a sin b cos =

sing

III.Durum:

y VI.blge as olarak alrsak, nn III. blge as oldugunu grrz.

cosg() = cos()a sin() + b cos() =

cos a sin + b cos = cosg

sing() = sin()a sin() + b cos() =

sin

a sin + b cos = sing


76/94

65

VI.Durum:

y V.blge as olarak alrsak, IV.blge asdr.

cosg() = cos()b sin() + a cos() = cos b sin + a cos = cosg

sing() = sin()b sin() + a cos() =

sin

b sin + a cos = sing

Bylece her blge iin cosg() = cosg , sing() = sing oldugunu gstermisolduk.

klidyen geometrideki iyi bilinen Pisagor zdesligi, Genellestirilmis mutlak deger d-

zleminde (cosg x; sing x) birim ember zerinde bir nokta oldugundan

a max fjcosg xj ; jsing xjg + b min fjcosg xj ; jsing xjg = 1: (5.2.1)

biimindedir.

Pisagor zdesliginin, her iki tarafn jcosg xj e blersek sekant zdesligi

a max f1; jtangxjg + b min f1; jtangxjg = jsecgxj (5.2.2)

ve jsing xj e blersek de

a max f1; jcotgxjg + b min f1; jcotgxjg = jcosectgxj (5.2.3)

kosekant zdesligi elde edilir.

5.2.1 Genellestirilmis mutlak deger fonksiyonlarnn indirgeme formlleri

klidyen dzlem trigonometride her asnn trigonometrik fonksiyonlar I. blgede

karslk gelen ann trigonometrik fonksiyonlar ile ifade edilebiliyordu. Genellestirilmis

mutlak deger dzleminin birim emberinin i: blgesindeki i asna karslk I. ve II. bl-

gelerde iliskili olan a 0i ile gsterilirse i ve 0

i arasndaki iliski,


77/94

66

Blge i 0

i

I 1 0

1= 1

II 2 0

2= 2

III 3 03 = 3IV 4

0

4= 4

V 5 0

5= + 5

VI 6 0

6= + 6

VII 7 0

7= 2 7

VIII 8 0

8= 2 8

biiminde verilir. Genellestirilmis mutlak deger trigonometrik fonksiyonlar iin i ve 0

i

arasndaki iliski asagdaki gibi elde edilir.

cosg 3 =cos( 3)

a sin( 3) b cos( 3) = cos 0

3

a sin 03

+ b cos 03

= cosg 03

sing 3 =sin( 3)

a sin( 3) b cos( 3) =sin 0

3

a sin 03

+ b cos 03

= sing 0

3

cosg 4 =cos( 4)

b sin( 4) a cos( 4) = cos 0

4

b sin 04

+ cos 04

= cosg 04

sing 4 = sin( 4)

a sin(

4) + b cos(

4)

= sin 0

4

a sin 04

b cos 0

4

= sing 0

4

cosg 5 cos( + 5)

b sin( + 5) + a cos( + 5)= cos

0

5

b sin 05 a cos 0

5

= cosg 05

sing 5 = sin( + 5)

b sin( + 5) + a cos( + 5)=

+sin 05

b sin 05 a cos 5 = sing

0

5

cosg 6 = cos( + 6)

a sin( + 6) + b cos( + 6)=

cos 06

a sin 06 b cos 0

6

= cosg 06

sing 6 = sin( + 6)

a sin( + 6) + b cos( + 6)=

sin 06

a sin 06 b cos 0

6

= sing 06

cosg 7 = cos(2 7)

a sin(2 7) b cos(2 7) = cos 0

7

a sin 07 b cos 0

7

= cosg 0

7

sing 7 = sin(2 7

)a sin(2 7) b cos(2 7) = sin 0

7a sin 07 b cos 0

7

= sing 07

cosg 8 = cos(2 8)

b sin(2 8) a cos(2 8) = cos 0

8

b sin 08 a cos 0

8

= cosg 0

8

sing 8 = sin(2 8)

b sin(2 8) a cos(2 8) =sin 0

8

b sin 08 a cos 0

8

= sing 08Artk sing i ve cosg i nin degerlerini hesaplamak iin I. ve II. blgedeki sing

0

i ve

cosg 0



78/94

67

5.2.2 Genellestirilmis mutlak deger fonksiyonlarnn toplam-fark formlleri

Genellestirilmis mutlak deger dzleminde trigonometrik fonksiyonlar iin toplam fark

formlleri yine tanjant fonksiyonundan yararlanarak elde edilebilir.

tan(u v) =


dan

sing(u v)cosg(u v) =

sing u

cosg u sing v

cosg v

1 sing ucosg u

:sing v

cosg vve

sing(u v)cosg(u v) =

sing u: cosg v sing v: cosg ucosg u: cosg v sing u: sing v


sing(u v) = sing u: cosg v sing v: cosg u (5.2.4)

ve

bazı Öklidyen olmayan düzlemlerde trigonometrik fonksiyonların İncelenmesi

Documents