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Ｂ班 まとめ

(活動参考資料)

NE25-0106B 阿部 笙子 NE25-0146H 東本 悠暉

NE25-0219H 長尾 隼 NE25-0258E 大城 斉彬

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～目次～

ページ 項目 概要

３ マイナス×マイナス＝プラス

「マイナス×マイナス＝プラス」

になる理由の説明

４～10 平方根 身近な疑問の解決

１１ 前期内部発表資料 前期に行った内部発表の資料

12～20 夏期課題 各自の夏期課題

21～25 因数分解タイル 因数分解タイルの説明など

26～29 後期課題 各自の後期課題

30～31

なぜ三角錐の体積は三角柱の体

積の 3分の１なのか

調べたことなど

32～33 後期内部発表資料 後期に行った内部発表の資料

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【マイナス×マイナス＝プラス】

なぜ、「マイナス×マイナス」がプラスになるのか？

「敵の敵は味方」「裏の裏は表」と説明すれば、ひとまず納得はいくかもしれないが、モヤ

モヤするだろう。イメージをもつために具体例をあげて考えてみる。

１．貯金と借金

貯金を「+」、借金を「－」ととらえる。さて、1口 3万円の貯金を 4口したとする。する

と合計金額は、(＋3)×(＋4)＝＋12となり、12万円のトクになる。

次に、1口 3万円の借金を 4口したとすると、つまり－3万円が 4口加わると、

(－3)×(＋4)＝－12となり、12万円の損になる。

では、1口 3万円の借金を 4口返したとする。すると、(－3)×(－4)という式が成り立つ。

返した方は借金がなくなったわけなので”トク”になり、結局 12万円の特となる。した

がって、(－3)×(－4)＝＋12となる。

２．東と西

東京の日本橋を基準として東へ行くことをプラス、西へ行くことをマイナスと表すこと

にする。

ここで、日本橋を経由して東へ向かって時速 3 キロメートルで歩いている A さんがいた

とする。日本橋を通った時点から 4 時間後の A さんの位置は、(＋3)×(＋4)＝＋12 キロ

メートルから、東へ 12キロメートルのところになる。

では、この東へ歩いている A さんが日本橋を通る時点から「4時間前」、すなわち－4時間

後はどこにいたかというと、(＋3)×(－4)＝－12キロメートルから、西へ 12 キロメート

ルのところになる。

今度は同じ速さで西に向かって歩いている Aさんを考える。進行方向が逆なので、時速は

－3 キロメートルと表せる。A さんが日本橋を通る時点から 4 時間前、すなわち－4 時間

後の位置は、(－3)×(－4)となる。A さんは日本橋から東へ 12 キロメートルのところに

いたことになるので、(－3)×(－4)＝＋12となる。

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【平方根】

１．『近似値』ってなんですか？

みかんが 102個なら 102 個でズレルことなく計算できる。

だが人の身長が 157ｃｍというときに、全くズレないで正式に 157ｃｍを計ることはほと

んどありえない。本当の正式な身長は 157.9873643562849876ｃｍかもしれないので。

だから，157ｃｍというのは、本当の値に近いけれども本当の値とはズレがある。このよ

うな数値のことを「近似値」という。近似値は、何かを（長さと重さとか面積とか）測定

したときに出てくることが多い。測定するときには，どのくらい正確に測るか、という問

題が出てくるわけなのである。

２．√2がどうして分数で表せないの？

√とはある数を２回かける（つまり２乗する）となる数字である。

２×２＝４、３×３＝９、なので√4は２（＋２・－２）となり、√9は３（＋３・－３）

となる。

では２乗すると２になる数字はいくつでしょう？

√２＝１．４１４・・・。

この・・・の続きは永遠に続く。

では分数はどんな数字でしょうか？

小学生のような例えですが１０センチのカステラを均等に３個に分けると１人分はどれ

だけの長さをもらえるか。

答えは１／３＝３．３３３・・・です。こちらも同じ数字が永遠と続きますが、√とは意

味合いが違う。

分数を小数に直すと決まった数の羅列が繰り返されるようになる。

しかし、√ではまずありえない。→意味合いが違うので分数で表すことが出来ない。

３．なぜ、√2＋√3＝√5にならないのか？

次の式は、平方根の計算の結果を示したものである。

乗法：√3×√7＝√21

除法：√45÷√3＝√15

加法：√2＋√3≠√5

3√2＋4√2＝7√2

5√2＋√8＝7√2

減法：4√2－7√2＝－3√2

この計算から、どんな問いを持ちますか？

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① なぜ、√2×√5＝√10なのか？

2×4＝8、2＝√4、4＝√16、√4×√16＝√64

√64は 8になるので、√2×√5＝√10

この場合はいいけれど、√2や√5は、整数にならないので、√10になるかわからない。

(√2 × √5)2＝(√2)2×(√5)2＝10

だから、√2×√5＝√10

さらに一般化して、(√𝑥 × √𝑦)2＝(√𝑥)2×(√𝑦)2＝xy

だから、√𝑥×√𝑦＝√𝑥𝑦

では、なぜ 2乗したのか？

2乗すると、√をはずして考えることができる。

2乗すると、整数の世界へ入っていくことができる。それの平方根をとればいい。

② なぜ、√2＋√3＝√5にならないの？

・√2＝1.414…、√3＝1.732…、1.414＋1.732＝3.146

√5＝2.236…だから、√2＋√3は√5 にはならない。

・√2は 2 の平方根、√3は 3 の平方根、√5は 5 の平方根だから、√2＋√3は√5にな

らない。

√2×√3＝√6はよくて、√2＋√3＝√5がダメな理由まだ、よくわからない。

・(√2＋√3)2＝2＋2√6＋3＝5＋2√6となり、5ではない。だから、√5にはならない。

・√2＋√3を 1辺とする正方形と√5を 1辺とする正方形の面積が異なるから、√5に

はならない。

では、なぜ√5にならないのか。

・√2＋√3は√5にならない。その理由は、共通の数がないから。

・√2＋√3＝√2＋√3

・3√2＋4√2＝7√2になる。その理由は、共通の数√2があるので 1 つにまとめるこ

とができた。

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③ 足し算・掛け算ってなに？

・足し算は、共通の数があるから、簡単な数になる。

・2＋3は、共通の数 1があること。

・分数の通分は、共通の数を創り出すこと。

・足し算は、長さの世界、直線に世界。

・掛け算は、面積の世界。

・共通の数がないのに、√2×√5のように、そのまま√10と計算できるのは、

(a × 𝑏)2＝𝑎2×𝑏2が成り立つから。

４．コピー機の倍率選択にある 141%ってどんな意味がある？

コピー機は拡大、縮小が自由自在。今日の日本では欠かせない機会である。

このコピー機の倍率選択・プリセットのところに

いった表示がある。他にも、

といったものなど様々な数値が並んでいる。

では、この 141%はどんな意味があるのか？

この数値をはっきりさせる前に、「B5→B4」について考えてみる。

B5,B4は紙のサイズで、いわゆる B5判および B4判のことである。矢印は B5判から B4

判への拡大を意味している。

いま、図の(ア)の長方形を B4判とすると、その半分の(イ)の長方形が B5判になる。

ここで、(ア)と(イ)の長方形を比べてみると、2つは互いに相似の関係になっているの

がわかる。よって、それぞれの長方形のたてと横の長さの比が等しくなっていることが

わかる。

141% A4→A3

B5→B4

122% A4→B4

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この相似の関係を用いると、B5判から B4判への拡大率が求められる。

拡大率を知るには、長方形(イ)の辺 C の長さを 1、長方形(ア)の辺 A の長さを x とし

て、xを求めればよいので、

A=x、B=1、C=1、D=𝑥

2なので、相似の関係を用いると、

1：x＝𝑥

2：1⇒x×

𝑥

2＝1×1と置き換わり、さらに

𝑥2

2＝1、つまり𝑥2＝2となる。

この xの値は、±√2ですが、ここでの xは長さなので、プラスの値をとり、√2となる。

つまり、辺 A の長さはおよそ 1.41 となる。したがって、B5 判から B4 判への拡大倍率

は、1.41倍となる。

以上のことから、コピー機の 1.41%は√2の値を意味していて、√2の近似値は 1.4142…

なので、141%という意味なのである。

５．無理数はムリヤリ考えた数なの？

√2、√3、√5、………などの数は、無理数とよばれる。

こうした数は普通のものさしの目盛りにはないので、リアリティのない数になってい

る。また、無理数という名前からもややこしそうなので、疑問をもつ人も多いだろう。

では、「√10は本当にあるの？」と聞かれたらどう答えるだろう。

ところで、√10というのは正の数で、2乗すると 10になる数を表している。すなわち、

xを正の数とすると、𝑥2＝10の式の xに当てはめる数を√10と表す。

いま、下図のように面積が 10平方センチメートルの正方形があったとする。この正方

形の 1 辺の長さを x とすると、𝑥2＝10 となり、また、x は長さなので正の数となるの

で x=√10となる。

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では、実際に√10をつくってみる。それには、三平方の定理を用いる。

この定理は、直角三角形の 3辺の長さをそれぞれ a、b、cとしたとき、𝑎2+𝑏2=𝑐2が成り

立つ定理である。なお、cは斜辺の長さになる。

そこで、三平方の定理より、直角三角形の直角をはさむ辺の長さを 1、斜辺の長さを x

とすると、𝑥2=12+12、x>0から x=√2(下図)

続いて、三角定規を用いて、下の図のようにすると√3、√5、√6、………と次々に無理

数をつくることが出来る。

このようにしていくと√10についても、実際につくることが出来る。

６．平方根を学ぶ意義とはなんでしょうか？

･日常生活の統計処理において標準偏差を計算するのに使います。

･人工物の設計には平方根が必要不可欠である。物を設計するには少なからず「三角関数」

というものが必要になってくる。そして、三角関数には少なからず「√（ルート）」と

いうものが必要になってくる。√は、「平方根」の逆の意味となる。

つまり、「平方根」を理解しないと「√」が使えず、「√」が解からないと「三角関数」

が使えず、「三角関数」が使えないと、世の大抵のものの設計が不可能になる。

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例えば、土地の売買をするにしても、真四角な土地なら簡単な算数で出来るが、三角関

数が解からないと面積も計算できない。

江戸時代などは農民にとって年貢の計算など、死活問題な数学技術だったので、平方根

を知らない日本人なんていなかったくらいである。住宅を設計するとき、耐震性能等の

構造を計算するとき、平方根を必ず使う。

・土地の面積とか火災で焼失した面積とかＴＶのニュースで出てくる。「400 平方メート

ル」って言ったら、直感的に「正方形で言えば何メートル四方の正方形だろう？」って

イメージしたくなる。√400＝20ですから、20メートル四方の正方形と同程度の面積と

いうことになる！

・自動車が壁に衝突したり、他の車と正面衝突したりしたときの破壊エネルギーも考える

ことができる。破壊エネルギーが４倍になるには、速度は√4＝２倍でよい。すなわち、

スピードが２倍だと４倍の運動エネルギーになってしまう。

７．切り貼りすれば無理数が実感できる⁉

√2、√3、√5、……などの無理数は、普通のものさしに目盛りはありません。また、無

理数という名前からしてもややこしそうである。

無理数を実感するには、何よりも無理数を実際につくってみるにかぎる。

そこで、パズル的な要素もあって、手作りで無理数をつくるやり方を考えてみる。

たとえば、10 平方センチメートルの正方形があったとする。この正方形の 1 辺の長さ

を xとすると、𝑥2=10でまた、x.>0から、x=√10とる。

つまり、√10という数は、面積が 10になっている正方形の 1辺の長さとして表せる。

一般に、√𝑎という数は、面積が aになっている正方形の 1辺の長さになっている。

(下図参照)

では、√2をつくってみる。

まず、正方形の面積が 1となる折り紙を 2枚用意する。そして、図のようにおのおのの

正方形の対角線をハサミで切り取る。切り取った 4つの部分を互いにつなげると、面積

が 2の正方形がつくりだせる。

よって、この正方形の 1辺の長さが√2となるわけである。(下図)

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続いて、√5をつくってみる。

今度は、正方形の面積が 1となる折り紙を 5枚用意して、図のように並べる。図の点線

を切り取って、互いに組み合わせると、面積 5 の正方形が出来上がる。

よって、この正方形の 1辺の長さが√5で表されることになる。(下図)

√3についても、同様な考えで、正方形の面積が 1 となる折り紙 3 枚からつくり出すこ

とができる。

ただ、√3は、前につくった 1 辺が√2の正方形を利用するので、やや難しくなる。

まず、2枚の折り紙から 1辺が√2の正方形をつくり、もう 1枚の折り紙を図のようにし

て並べる。

次に、右すみから長さ 1になる点をとり、図のように点線を引く。この点線の部分を切

り取り、互いに組み合わせると、面積 3の正方形が出来上がり、√3が作り出される。

このようにしていくと、面積 1の折り紙を必要な枚数だけ用意して、いろいろな無理数

を作り出すことができる。(下図)

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【前期内部発表資料】

１．題目

数学の身近な疑問を探ろう！

２．テーマの背景と目的

算数・数学を学習する上で、それらが苦手な人や嫌いな人の疑問に思うことを分かりやす

く説明し少しでも好きになってもらいたい興味を持ってもらいたい。

３．企画の具体案

中間発表に向けて図形や√の概念から実生活で、どう使われているかをポスターでの説

明と体験型(コピー機での使われ方、√2や√3を作ろう)を用いた説明を行う。体験型は、

実際に手に取れるものを使いイメージしやすくする。

後期では、他分野での身近な疑問を探して興味関心、面白い説明の仕方、模型を用いて

工夫する。

４．予想される成果物

数学に関する様々な疑問を挙げ、できるだけわかりやすく伝えることができる答えを見

つけ、図や模型を使ったものにする。

５．現在の達成状況と今後の活動の見通し

平方根についての疑問を解決するため、調べたり話し合ったりしている。

今後は、それらをさらに深めて別の分野の疑問について取り組む予定を考えている。

ものによっての模型なども使用する。

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【夏期課題】～長尾～

プロジェクト 企画候補

○素因数分解

疑問点

・なんでやるの？

社会の中では暗号化の方法として広く利用されている。

難しいものを簡単に理解できる形に分解するという考え方を学ぶ。25×28 と言われると

少し悩むが 5×5×14×2→5×2×14×5→10×70＝700とやりやすい。

・出てきた答えって要はなんなん

因数をあらわす。単純化された式。

・素因数って？

素数で表される因数。因数の「因」は原因の因。原因があって結果がある。結果である数

（式）の原因である因数を分解しながら探っていくことを「因数分解」という。

企画

因数分解の発想を知る。

・推理キット＆因数分解キット

「原因」の書いてあるパネルを用意する。用意された「結果」に合わせて原因をピックア

ップして組み合わせることで推理をする。パネルを裏返すと素因数に分かれており、素因

数分解の式が成り立つ。

○作図

疑問点

・この分野の存在意義は…

図形の性質を利用した証明問題などの手前として

・なぜこうすると垂直 2等分 etc

各方法図形の証明で証明可

・辺の長さは定規で測っていいのはなぜ

初頭だから…

企画

できることを整理することが回答のポイント

・作図可能なものを表すパネル

問題の条件から使えるパネルを選択できるようにする回答補助セット？

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○ねじれ

疑問点

・何の意味がある？

平行でなく垂直でないという位置に名前を付けたかった？

・学ぶ意味は

消去法の勉強の一環として

企画

・立体図形の 1辺に対する平行、垂直、ねじれのそれぞれについて色を付けてみる。（立方

体、六角柱、正 8面体など）。おもちゃで売っている棒を組み立てるやつを使ってみると

か

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【夏期課題】～大城～

Q：ねじれの位置ってなに。

A：ねじれの位置とは、平行でなく、交わらないもの。つまり、同一平面にないもののこと。

Q：ねじれの位置についての問題は、立方体に関してのものが一般的だが、他の図形では考

えられないのか。

A：考えられる。

ねじれの位置とは、平行でなく、交わらないもの。つまり、同一平面にないもののこと

をさしているので、立体であれば、考えることが出来る。

Q：知っていて、何の役に立つのか。

A：立体交差等でねじれの位置の知識が使われている。

企画：立体の模型で平行、垂直、ねじれを塗り分けして見てわかるものを作成。

作図

Q：作図できない角はあるのか。

A：3の倍数ではない角度は作図できない。

Q：定規とコンパスの役割

A：作図においては、定規は目盛りを無視して線を引くのに使用。コンパスはある点から等

距離の領域を描くのに使用

企画：作図の手引きなど。

素因数分解

Q：素因数って何。

A：約数の中で、素数のもの。

Q：素因数分解って何。

A：ある数を素数同士の乗法の形にすること。

Q：素因数分解は何の役に立っている。

A：暗号等に使われている。

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【夏期課題】～東本～

(1)ねじれ

疑問

・辺○○とねじれの位置にある辺を全て書け、といった問題がありますがねじれの位置が

かると何に役立つかが分かりません。ねじれの位置はどのような意味があって問題にな

っているのでしょうか？

→ねじれの位置は、ビルの中ですれ違うエスカレーターのような位置関係である。直感的

にわかりやすくて、でも何の価値がある考え方なぜだろう？ と疑問に思うのはよくある。

さて、空間に（空中に）2本の直線が浮かんでいる時に、この 2本の直線が 1 枚の平らな

板の上にピタッと乗せるようにできるときは、この 2 直線が「同一平面上にある」とい

う。ちなみに、直線は長さが無限ですから、2本の直線が同一平面上にあるときの関係は

「平行」か「交わる」のどちらかである。（平行じゃなければ、やがて必ず交わる）さて

一方で、2本の直線が「ねじれの位置」にあるときは、その 2直線が 1枚の板の上には乗

れないのは想像できると思います。つまり、２直線がねじれの位置にあるということは、

その２直線が同一平面上にはない、ということである。

こう考えてくると、空間での２直線の位置関係は①平行②交わる③ねじれの位置の３通

りがあり、①②は２直線が同一平面上にあって、③は同一平面上にはない、という分類が

できる。

・なぜねじれと言う名前なのか？

→(正式な答えではない)

両方の直線を含むような曲面を考えると，ねじれた感じになるからじゃないかな。

ねじれた状態っていうのはななめにずれたような状態で平行でもなく、交わってもいな

い状態だから。その状態にある位置関係なので、「ねじれの位置」という名前をつけたの

だとおもう。

・日常生活で使われているねじれはどのような場面か？

→道路同士の立体交差。この 2本の道路はねじれの位置にある。

他に、電柱と道路、建物の廊下とエレベーターの進行方向、デパート等ですれ違いになっ

ているエスカレーター、植物の葉っぱの生える方向など。

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(2)作図

疑問

・なぜ、分度器の目盛りは 0度から 180度なのか？

→ふつう数学を扱うときは十進法を用いている。しかし、時間や角度を表すときは、六

十進法が多く使われる。六十進法というのは、60集まるとそれをひとかたまりにして

位を上げ、新たに 1とする記数法で角度においても時間と同じように、60秒＝1分、60

分＝1度となっている。傾きの度合いを表すには、こうした記数法が使われ、例えば「ス

キー場のゲレンデの傾斜角は 12度」とか「この階段の傾斜角は 23度ある」などのよう

に用いられる。また、「向きを 90度回転してください」などのように、回転の度合いを

表す場合にも使われる。さらに、地球上の緯度や経度など、方位を表す場合にもこうし

た記数法が使われ、東経 43度 28分 30秒などと表す。ところで、普段私たちが測定を

する場合、分度器を使うわけだが、角度の数値は 0度から 180度まで六十進法によっ

て目盛られている(0から順に 180まで目盛られているから 10進法だと思うかもしれな

いが、全体で 360度＝60進法、半円を 180度としている)。なぜ、分度器の目盛りは六

十進法になっているのか。六十進法による表記法の起源はかなり古く、紀元前 2000年

頃、バビロン王朝の学者によって考え出されたといわれている。しかしながら、六十

法が生まれた理由は、いまだにはっきりしていないのである。けれども、以下のよう

仮説がある。｢60は約数の数が多いので扱いやすく、使用にもっとも適した数になっ

いる｣、｢十進法と十二進法が合流して、10と 12の最小公倍数の 60が採用され、六

進法が生まれた｣、｢1年間の日数は 365日、端数を除けば 360であり、1回転を 360

測る方法が考えられた｣、｢円の 6分の 1の弧が半径になっていることから、360を 6

分した結果から六十進法が生まれた｣他にも諸説がありますが、いずれも決定的では

りません。ともかく、1回転すると元に戻ることと、1昼夜すると元の時間に戻るこ

とが同じような現象として考えられ、六十進法が生まれたとされている。

・3°の角度は作図できるの？

→分度器を使わないで数学的に角をつくる。新しい角を論理的に作図するには、新しい

角をたしたり、ひいたり、かけたり、わったりすればよい。3°の角度は、正五角形の

1つの角度 108°を使ってそれから、正三角形の一つの角 60°と 90°の角の二等分線

の 45°の合計の 105°をひくと、3°が生まれる。

図

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・作図ではなぜ、定規(定木)とコンパスしか使えないの？

→定木とコンパスだけでは，解決できない「任意の角の 3等分」問題がある。この作図題

はＬ字型定木等で解決できる。周知のように，作図題には定木とコンパスだけによらない

ものもある。しかし，中学校の数学では，作図題に定木（目盛りのないもの）とコンパス

だけが使われる。この 2つの道具だけが，どうして使うことが許されたのだろうか？紀元

前 3 世紀にはギリシアの数学者ユークリッドの原論のはじめに「公準」(要請)が 5 個述

べられ、その第 1番目は「任意の点から任意の点へ直線を引くこと」、第 3番目には「任

意の点と距離(半径)とをもって円を描くこと」と示されている。直線を引くための道具が

定木であり、円を描くための道具がコンパスである。第 1巻の命題 1～3は作図題であり、

その公準を使うことを前提に記されていたので定木とコンパスによる作図題が問題にな

る。現在、中学校学習指導要領解説数学編にも、「作図では、定規は 2点を通る直線をひ

く道具として、コンパスは円をかいたり長さを写しとったりする道具として使う。」とあ

る。4世紀の数学者パッポスは、幾何学の問題は 3種類あるとみていた。あるものは平面

的(直線と円)、あるものは立体的(円柱や円錐の断面)、そしてあるものは曲線的(その他

の曲線)である。パッポスに対して 17世紀フランスの哲学者デカルトは、幾何学の問題の

うち、あるものは直線と円を描くことだけで作図できるが、あるものは少なくともある円

錐曲線を用いなければ作図できない。そしてあるものはより複雑な曲線を用いなければ

作図できないと述べている。現在の中学校数学は、幾何学の 3種類の作図題のうち、平面

的なもののみを扱っている。

(3)素因数分解

疑問

・因数分解は何のために勉強するのか？

→子供には、「パズルのようでおもしろいから」と答えたらどうだろうか。いま、A=x+2

B=x+3とする。すると、A×Bは、A×B=(x+2)(x+3)=𝑥2+5x+6となり、この計算が展開であ

る。そして、展開の逆の計算、𝑥2+5x+6=(x+2)(x+3)が因数分解である。ここで、𝑥2、x、

１をそれぞれ𝑥2=x×x、x=1×x、1=1×1として、これらを図のように正方形及び長方形の

面積として表す。こうすると、文字を目で見ることができる。なお、正方形および長方形

のことを「タイル」と呼ぶこととする。

図

タイルを用いると、展開と因数分解は、次のようになる。

18

図

さて、ここで、𝑥2、x、１のタイルを並べた下記の図のような表と、下記の図のように黒

い紙を L字型に切った定規 2本を用意する。

図

用意ができたら、たとえば𝑥2+4x+3の因数分解を考えてみる。

それには、まず、L 字型定規 2 つを表の上に置き、互いに組み合わせて長方形をつくる。

そして定規を動かして、長方形の中に xのタイルが 4個、1のタイルが 3個ぴったりと入

るように工夫する。これで因数分解の出来上がり。長方形の横とたてを 1 次式に表して

(x+3)(x+1)と答えができる。

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・因数分解は何が便利？

→105×95の計算なら、（100+5）（100-5）＝100×100－5×5として 10000－25＝9975とす

れば、暗算でできる。

・なぜ、右辺=0にして、因数分解すると解けるの？

→まず、A×B=20と A×B=0との違いについて考えてみる。A×B=20は、5×4=20、1×20=20、

2×10=20などと、Aや Bがどんな数になるかが分からない。一方、A×B=0は A、Bどちら

かが 0になる。A×B=0は、0×0=0、A×0=0、0×B=0 の 3つのパターンしかないので、A×

B=0 のほうが簡単。A×B=20 がもし 20 でなく、大きい数だったら A と B は、見つけにく

い。一方、A×B=0は Aと Bが見つけやすい。だから、因数分解して A×Bの形にして=0に

すれば、3パターンしかないので解が見つけやすい。A×B=0ならば、A=0または B=0であ

る。

例として、（x+2）（x+3）=20、𝑥2+5x+6=20、𝑥2+5x-14=0、（x-2）（x+7）=0、A×B=0ならば

A=0または B=0を使って、（x-2）=0または（x+7）=0、x=2、-7

よって、左辺を因数分解して、右辺=0にするには、0×0=0、A×0=0、B×0=0 の 3つのパ

ターンしかないので、解を見つけやすいからである。

教材パック案

①ねじれ

→立体模型(立方体)

②作図

→分度器コンパス定規(すべて１つに)、カラーものさし

③素因数分解

→因数分解タイル

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【夏期課題】～阿部～

≪ねじれ≫

・ねじれの位置って何

⇒空間内の 2本の直線が平行でなく、かつ、交わっていないとき、つまり同一平面に乗れ

ないときの、2直線の位置関係のことである。

・ねじれの位置を知ってどうするのか

⇒２直線がねじれの位置にあるということは、その２直線が同一平面上にはない、という

ことで、空間での２直線の位置関係は①平行②交わる③ねじれの位置の３通りがある。①

②は２直線が同一平面上にあって、③は同一平面上にはない、という分類ができる。

教材パック案…模型

≪作図≫

・定規とコンパスの違いは何か

⇒作図のルールでは、定規は線を引くための道具で、長さを測って使うものではない。

・コンパスと定規で作図できる正多面体

⇒正 n角形で，コンパスと定規だけで作図可能なのは ϕ(n) が 2 の累乗のものに限る。

・コンパスと定規で作図できる角度

⇒整数だと３の倍数のもの

教材パック案…紙とペンと定規とかコンパス

≪素因数分解≫

・素因数分解って何

⇒ある正の整数を素数の積の形で表すことである。ただし、1 に対する素因数分解は 1

と定義する。

・素因数分解は、どこで役に立っているのか

⇒クレジットカードは絶対に暗号が解かれないような仕組みになっているのです。この

仕組みのもとになっているのが素因数分解なのです。現代の最先端の数学でも、巨大な自

然数を素因数分解する方法はわからないのです。それよりも巨大な自然数そのものが素

数であるかどうかもわからないのです。クレジットカードの暗号は巨大な自然数は素因

数分解できないということを利用しているのです。

⇒因数分解との違い

因数分解は、多項式を掛け算の式にすること。素因数分解は、整数を、素数を掛け合わせ

た式にすること。

教材パック案…考え中

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【因数分解タイル】

因数分解タイル(分析)

１．なぜ、その単元を選んだのか

ただ単に計算して、何がどうなっているのかイメージする機会はなかなかないから、こ

れを機になぜそういう計算式が生まれるのかイメージしてもらいたい。

中 3 生の中には比較的この単元を得意という声が多いという結果も出ていたので、さ

らに数学的思考力を高めていってほしい。

２．どのように使うのか(体験させるのか)

実際に当てはめながら展開、因数分解をイメージしてもらう。パズル感覚で一つ一つの

パーツの配置を意識して考えもらえるようつとめる。生徒全員に触れて理解してもら

う。

３．生徒に驚かせる(ぱっとさせる)にはどうすればよいか

楽しく、真剣に、かつ継続的に算数・数学パズルに取り組むことにより、様々な能力を

身につけながら、自分でできた喜びと、考えることの楽しさを体感するので、最も重要

な学習に対する「主体性」が養われますと考えられる。

パズルは時間をかけて、ああでもない、こうでもないと試行錯誤すること自体を楽しむ

行為である。そしてうまく因数分解できたときにはご褒美として爽快感と達成感を味

わえる。因数分解タイルでは、考えることの楽しさやできた喜び、達成感を実際に、タ

イルを触って味わってほしい。

４．オリジナル性

前例はいくつかネットや本などに出ている。私は、オリジナル性を出すという点でまず

木材で作成し、𝑥2と xと数字で色分けしてパーツを作る。また、1つの問題に対し「展

開」「因数分解」「解を求める」の 3つを学習できるように作成する。

５．教材パックについての説明

(1)単純にタイルのみ

(x+3)(x+2)＝𝑥2+5x+6

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(2)Ｌ字型に切った定規 2本を加えた場合

(x+3)(x+1)＝𝑥2+4x+3

(3)マイナスの場合

マイナスのタイルに斜線をつける

(x-2)(3x+1)＝3𝑥2-5x-2

６．前例を調べる(どのように説明しているか)

ネットにも本にもいろいろでていた。

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例

生徒一人一人の机の上には、大きさ数種類の正方形と長方形のタイル状の「もの」が積

まれている。生徒達は、黒板の式を見ながらそれを大小の正方形や長方形数枚の「もの」

に翻訳するかのように取りだしている。

２Ｘ2＋9Ｘ＋４の場合

教 師

今日は因数分解を勉強しよう。

まず、因数分解ということを、まえに勉強した展開にまで遡って考えてみよう。

いま、このワラ半紙の２辺の長さが 2Ｘ＋1とＸ＋4とすると手に持ったワラ半紙の２

辺に荒っぽく印をつけ、この面積は、２辺の積(2Ｘ＋1)(Ｘ＋4)とも、多項式 2Ｘ2＋9

Ｘ＋4 とも表わされる。つまり(2Ｘ＋1)(Ｘ＋4)＝2Ｘ2＋9Ｘ＋4という等式が成り立

ち、この右辺から左辺を導くことを「展開」と言ったのだった。

このワラ半紙の線でハサミを入れるとハサミを入れバラバラにする。

こういう状態になる。この方が、(2Ｘ＋1)(Ｘ＋4)＝2Ｘ2＋9Ｘ＋４という「展開」の意

味を表わしているかな。さて、このバラバラになった「もの」の面積を合せて「できた」

同じ面積の長方形の面積を２辺の積で表わすと、教師は生徒の机上にあるものよりも

少し大き目の、黒板に張り付けられるタイル状の「もの」で操作しつつ、「展開とは逆

の操作もあることになる」と実演し、「因数分解」とは、この、展開とは逆 2Ｘ2＋9Ｘ

＋4＝(2Ｘ＋1)(Ｘ＋4)の式変形を指して言う。それでは 多項式２Ｘ2＋７Ｘ＋３を因数

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分解してみよう。この因数分解の定義を受けて、生徒達は多項式２Ｘ2＋７Ｘ＋３の長

方形づくりに取り組む。

生徒Ａ というんでどうや。

生徒Ｂ うーん！ 長方形ができたけど、長いタイルが二つ余ってしもうた。

生徒Ｃ （生徒Ｂの操作を隣で見ながら）１のタイルを横に並べるのでなく縦に並べて

みたら・・・。

ほーら、出来た！！

生徒Ｄ あれ？！わたし、皆と違う長方形ができたわ。

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生徒Ａ え？！違う並べ方でも長方形が出来た？

そんなにいろんな並べ方ができてもいいんか？

数学の答えは一つと違うんか？

生徒Ｃ とにかく長方形ができたんやさかいその面積を二辺の積で表わしてみんか。

えーと、俺のは縦がＸ＋３で、横が２Ｘ＋１だから

二辺の積の式は(Ｘ＋３)(２Ｘ＋１)ということや。

Ｄ君のんやったら、縦Ｘ＋１で、横は２Ｘ＋・・うーん!?

これやったら読み取れんがいね・・・・。

生徒Ａ そんなことないやろ!? 長方形ができとおるのやさかい？

と首をかしげつつもう一度長方形づくりにチャレンジする。

生徒Ｄ 私のなら、横は２Ｘ＋１、縦は１＋Ｘ＋２でＸ＋３。

なーんや、結局(Ｘ＋３)(２Ｘ＋１)や。

長方形づくりに試行錯誤を繰り返す生徒Ａ、そこに数名の生徒と教師が集まって、その

並べ方を見ながら、「それでもまだ長方形になっとらんがいや」

とか

という並べ方を繰り返す生徒Ａに、「Ｘと２では長方形出来るんかいな」などと一緒に

長方形づくりに取り組む。

生徒Ａ そうか。きちんと並べたらはみ出して長方形になっとらん。並べ方が駄目やっ

た。

生徒達 「先生!! 答え(Ｘ＋３)(２Ｘ＋１)やろう。」

教 師 うんそうや。それでは同じようにして次の各式を因数分解してみてくれ。と型

分けでいえば同じタイプの演習問題を与える（読者も添付のタイルを使って

実際操作して因数分解に挑戦して下さい）。

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【後期課題】～長尾～

・テーマをなぜ選んだか

公式を知り、解くだけで単元として終わりがちである

・どのように使うか

因数分解パズル パズルの組み立て方と因数分解の解き方（場合分けの手法）を重ねる

・説明

因数分解を「因数に分解する」発想から解説→因数とは？→素因数の話に応用もできる

パズルで面積を引き合いに出したので代入して実際の面積を求めるとか

・前例

『パズルで解こう因数分解』…マイナスを含むケースも解説

（ http://suugakunomori.mikawanomori.com/images/pdf/pocket4.pdf#search='%E5%9B%

A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3+%EF%BE%8A%EF%BE%9F%EF%BD%BD%EF%BE%9E%EF%BE%99'）

・オリジナル性

Xの値が違ってもいいのか？という疑問…ｘの大きさが違うパズルも作ってみる

X3の因数分解に挑戦！

・前例での使い方

単元の終了後にこういった解き方もあると教える場合

因数分解の公式を教えて直後付近に導入として使う場合

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【後期課題】～大城～

１．なぜその単元を選んだのか

体積の公式をただ暗記して覚えている人が多く、意味を理解している人が少ないと思

ったから。

２．どのように体験させるのか

底面が等しい柱状のものと錘状のものを用意し、水などを汲んで錘状のものから柱状

のものに移し変えて、実際に 3回汲めることを確認する。

３．教材パックについて

底面が無い錘状と柱状の立体。

４．前例

錘状の立体から柱状の立体に水を移すと、柱状の立体の高さ 3 分の 1 のところまで水

が入ることより、錘状の立体の体積は柱状の立体の体積を 3で割ったものとなる。

５．前例から

容積の考え方と柱状の立体を 3 つの錘状の立体に分解するものを組み合わせて説明す

る。

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【後期課題】～東本～

どうやって作るか(因数分解タイル編)

１．業者ｏｒホームセンター

東急ハンズの工房にて依頼(木材加工)

２．作業イメージ

寸法の入った簡単な図面

※色は各自で塗る。

※前回砂原先生からアドバイスをもらったこととして、例えば、２ｘ2＋７ｘ＋６＝(ｘ

＋２)(２ｘ＋３)だと xと 1のタイルの長さが図れるのではないかと屁理屈的なことも

考えられるので、実際に x と y を用いてパズルを作ったケースはネットや本ともあま

りなかったのでオリジナル性としても使える。

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【後期課題】～阿部～

１．なぜ、その単元を選んだのか

「三角錐の体積は三角柱の体積の１/３なのか」という疑問を持つ人が多いから。

２．どのように使うのか

三角柱（３つの三角錐に分かれるもの）を使って公式が導けることを説明する。

３．教材パックについての説明

厚紙とか硬い紙かプラスチック的な素材で模型を作る。

５．前例を調べる

≪オリジナル性・個性≫

３つの三角錐に色を付ける。（同じ面積のところとか同じ高さのところ）

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【なぜ三角錐の体積は三角柱の体積の 3分の１なのか】

なぜ三角すいの体積は三角柱の体積の「3分の 1」なの？

→角柱や円柱の体積は簡単です。ご存じの通り、「底面積×高さ」でＯＫ。

では、角すい・円すいの体積Ｖはどうなるかというと、底面積をＳ、高さをｈとすると、

Ｖ＝1

3Ｓｈとなる。つまり、角すい・円すいの体積は、同じ底面、同じ高さの角柱・円柱の

体積の1

3となっている。では、なぜ「

1

3」を掛けるのか。

中学 1 年生の教科書では、下図のように、容器に水を注ぐ方法でこの公式が説明されてい

る。

この説明で、はたして納得がいくのか。

上の図に対して、中学生のみならず、大人からも、「ほんとにピッタリ 3分の 1 になるのか

な」「実験から分かるなんて、ちょっとインチキくさい」などと疑問の声が出るところであ

る。

では、Ｖ＝1

3Ｓｈの式を、きちんと説明するにはどうしたらよいか。

それには、微分積分学の知識が必要になっている。したがって、この式の納得のいく説明は、

高校程度の内容を学習するまではできないことになる。

しかし、微分積分学まででなくても、なんとかもう少し理論的にＶ＝1

3Ｓｈの式を説明する

方法はないのか。

ここで、三角すいの体積に注目して、その方法を考えてみることにする。

まず、前置きとして、次の「カバリエリの原理」という理論が前提としてある。

カバリエリの原理は「底面が同じで、高さが等しい 2つの角すいは、体積が同じである」と

いうものである。

この原理を図で表すと、下のようになる。

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つづいて、底面積がＳ、高さがｈの三角柱を考える。いま、この三角柱を下図のように、3

つの三角すいに切り分けてみる。

それぞれの三角すいに注目してみると、お互いに底面が同じで、高さも同じになっているの

が分かる。よって、三角柱は 3つの同じ体積の三角すいに分けられたので、三角すいの体積

を求める公式Ｖ＝1

3Ｓｈが導ける。

数学にかぎらないかもしれないが、本当に理解するのは“もう一つ上”のレベルから説明し

なければならないこともある。

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【後期内部発表資料】

≪因数分解タイル編≫

１．なぜ、その単元を選んだのか

ただ単に計算して、何がどうなっているのかイメージする機会はなかなかないから、こ

れを機になぜそういう計算式が生まれるのかイメージしてもらいたい。

中学３年生の中には比較的この単元を得意という声が多いという結果も出ていたので、

さらに数学的思考力を高めていってほしい。

２．どのように使うのか(体験させるのか)

実際に当てはめながら展開、因数分解をイメージしてもらう。パズル感覚で一つ一つの

パーツの配置を意識して考えもらえるようつとめる。生徒全員に触れて理解してもら

う。因数分解を「因数に分解する」発想から解説→因数とは？→素因数の話に応用もで

きる。パズルで面積を引き合いに出したので代入して実際の面積を求めるとか。

３．生徒に驚かせる(ぱっとさせる)にはどうすればよいか

楽しく、真剣に、かつ継続的に算数・数学パズルに取り組むことにより、様々な能力を

身につけながら、自分でできた喜びと、考えることの楽しさを体感するので、最も重要

な学習に対する「主体性」が養われますと考えられる。

パズルは時間をかけて、ああでもない、こうでもないと試行錯誤すること自体を楽しむ

行為である。そしてうまく因数分解できたときにはご褒美として爽快感と達成感を味

わえる。因数分解タイルでは、考えることの楽しさ、できた喜び、達成感を、実際にタ

イルを触って味わってほしい。

４．オリジナル性

前例はいくつかネットや本などに出ている。私は、オリジナル性を出すという点でまず

木材で作成し、𝑥2と xと数字で色分けしてパーツを作る。また、1つの問題に対し「展

開」「因数分解」「解を求める」の 3つを学習できるように作成する。

５．教材パックについての説明

東急ハンズの工房にて依頼(木材加工)

・色は各自で塗る。

・砂原先生からアドバイスをもらったこととして、例えば、２ｘ2＋７ｘ＋６＝(ｘ＋

２)(２ｘ＋３)だと xと 2のタイルの長さが図れるのではないかと屁理屈的なことも

考えられるので、実際に x と y を用いてパズルを作ったケースはネットや本ともあ

まりなかったのでオリジナル性としても使える。

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≪三角錐編≫

１．なぜ、その単元を選んだのか

「三角錐の体積は三角柱の体積の１／３なのか」という疑問を簡単に説明したい。

２．どのように使うのか（体験させるか）

２パターンの教材パックを使う。

①３つの三角錐を合わせて三角柱になるもの。（それぞれの三角錐に水を入れられる）

同じ３つの三角錐をあわせることで「三角錐の体積は三角柱の体積の１／３」という

ことを説明する。それだけでは理解しにくい人のために、それぞれの三角錐に水を入

れられるようにして体積が同じということを理解してもらう。

②容積１／３、２／３のところに線を引いて中に水が入るもの。

容積１／３、２／３のところに線が引いてある三角柱に①でそれぞれの三角錐に入

っている水を入れる。これを行うことで「三角錐の体積は三角柱の体積の１／３」と

いうことがわかる。

３．生徒に驚かせる（ぱっとさせる）にはどうすればよいか

①で説明したあとに②でも説明することで生徒はある程度ぱっとするのではないかと

考えている。実際に教材パックを作ってみて A チームの皆に体験してもらいその反応

をみて工夫が必要であれば考えたいと思う。

４．オリジナル性

２種類のパターンを使い説明する。どちらとも水を入れることができて、①には体積が

同じであることを説明するのに必要な底面の色分けがしてある。②には１／３ごとに

円を引いている。

５．教材パックについての説明

既製品を購入するか厚紙かプラスチックの素材で作る。