beberapa distribusi peluang kontinu -...
TRANSCRIPT
![Page 1: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/1.jpg)
BEBERAPADISTRIBUSI
PELUANG KONTINUNormal, Gamma, Eksponensial, Khi-Kuadrat,
Student dan F
![Page 2: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/2.jpg)
Distribusi Normal• Distribusi yang terpenting dalam bidang
statistika, penemu : DeMoivre (1733) dan Gauss
• Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ (simpangan baku populasi)
• Fungsi padat peubah acak normal X : n(x; µ, σ) atau
( )[ ] ∞<<−∞= −− xexf x ;2
1)( 2/)2/1( σµ
πσ
![Page 3: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/3.jpg)
Kurva Normal
µ x• Distribusi normal dengan µ=0 dan σ=1
disebut distribusi normal baku
![Page 4: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/4.jpg)
Sifat-sifat Kurva Normal
1. Modus,terdapat pada x = µ2. Kurva setangkup terhadap rataan µ3. Kurva mempunyai titik belok pada :
x = µ ± σ, cekung ke bawah jika µ-σ<X<µ+σdan cekung ke atas untuk x yang lainnya
4. Kedua ujung kurva mendekati sb-Xasimtot datar kurva normal
5. Seluruh luas di bawah kurva = 1
![Page 5: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/5.jpg)
Luas di Bawah Kurva Normal
• Luas di bawah kurva di antara x=x1dan x=x2 adalah
• Peluang di satu titik = 0 untuk p.a.kontinu
( ) [ ]∫ −−=<<2
1
2/)()2/1(21 2
1x
x
x dxexXxP σµ
πσ
)()(sehingga 0)(
2121 xXxPxXxPaXP
<<=≤≤==
![Page 6: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/6.jpg)
x1 µ x2 x
)(diarsir yangdaerah Luas 21 xXxP ≤≤=
![Page 7: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/7.jpg)
Standardisasi atau Pembakuan
• Misalkan diberikan p.a. X~ N(µ,σ2)• Transformasi :
membuat Z ~ N(0,1)
x1 x2 µ≠0 σ ≠1 z1 z2 µ=0 σ =1
σμXZ −
=
![Page 8: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh 1 • Diketahui X berdistribusi normal dengan
µ=50 dan σ=10 tentukan peluang bahwa X mendapat harga antara 45 dan 62.
• Solusi :
5764,03085,08849,0)5,0()2,1()2,15,0(
)10
506210
5045()6245(
=−=−<−<=<<−=
−<<
−=<<
ZPZPZP
ZPXP
![Page 9: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/9.jpg)
Contoh 2• Suatu jenis baterai mobil rata-rata berumur 3
tahun dengan simpangan baku 0,5 tahun. Bila umur baterai berdistribusi normal, berapa persen baterai jenis A akan berumur kurang dari 2,3 tahun.
• Solusi : Misal X : umur baterai mobil jenis A
= 8,08 %
2,3 3 x
0808,0)4,1()3,2(
=−<=< ZPXP
![Page 10: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh 3• Suatu pengukur dipakai untuk menolak semua
suku cadang yang ukurannya tidak memenuhi ketentuan 1,50±d. Diketahui pengukuran tsb berdistribusi normal dengan rataan 1,50 dan simpangan baku 0,2. Tentukan harga d agar ketentuan tsb ‘mencakup’ 95% seluruh pengukuran.
• Solusi : Diketahui luas atau peluang=0,95 tentukan dulu z kemudian cari x=σ z +µ
392,0)96,1)(2,0(50,1)96,1)(2,0(50,195,0)96,196,1(
==+=+=<<−
dd
ZP
![Page 11: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/11.jpg)
Dalil Limit PusatMisalkan X berdistribusi tertentu dengan rata-rata µ dan simpangan baku σ . Jika ukuran sampel (n) cukup besar (n→∞), maka Z = (X- µ)/ σ berdistribusi normal baku N(0,1). “Bentuk limit distribusinya”
• Kasus khusus penerapan dalil limit pusat :Teorema :
)1,0(~/
)/,(~ 2 Nn
XZnXn σ
µσµ −=→
∞→
![Page 12: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/12.jpg)
Distribusi Gamma• Distribusi gamma mendapat namanya dari
fungsi gamma yaitu
• Peubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter α>0 dan β>0, pdfnya :
• µ = α.β dan σ2 = α.β2
∫∞
−− >==Γ0
1 0untuk ; 1)!-( )( ααα α dxex x
>
Γ=−−
lainnya untuk , 0
0,)(
1)(
/1
x
xexxf
x βαα αβ
![Page 13: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/13.jpg)
Distribusi Eksponensial• Peubah acak kontinu X berdistribusi
eksponensial dengan parameter β>0,pdfnya :
• µ = β dan σ2 = β2
>
=−
lainnya untuk , 0
0 , 1)(
/
x
xexf
x β
β
![Page 14: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/14.jpg)
Distribusi Khi-Kuadrat (Chi-Square)
• Peubah acak kontinu X berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan (d.k.) ν, pdfnya :
• µ = ν dan σ2 =2 ν dengan ν bil. bulat +;khi-kuadrat : gamma dengan α = ν/2 dan β= 2.
>
Γ=−−
lainnya untuk , 0
0 , )2/(2
1)(
2/12/2/
x
xexxf
xνν ν
![Page 15: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/15.jpg)
Sifat-sifat Kurva Khi-Kuadrat
1. Grafik kurva berada di kuadran I bid. kartesius
2. Kurva tidak simetri, miring ke kanan (kurva +). Kemiringannya makin berkurang jika d.k.nya makin besar
3. Ujung kurva sebelah kanan mendekati sb-X asimtot datarnya
4. Seluruh luas di bawah kurva = 15. …
![Page 16: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/16.jpg)
Kurva Khi-Kuadrat
• Luas daerah yang diarsir = p • Titik kritis untuk p=0,95 dan ν = 14
adalah 23,7
2pχ
![Page 17: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/17.jpg)
TeoremaJika S2 variansi sampel acak ukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi σ2 , maka peubah acak :
berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan (dk) : ν = n-1.
22
2
~)1( χσ
Sn −
![Page 18: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh1• Tentukan titik kritis untuk dk=9, jika
luas daerah seb. kanan = 0,05 dan luas daerah seb.kiri = 0,025 !
dari tabel khi-kuadrat :
=2,70=16,9
21χ
22χ
21χ22χ
![Page 19: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh2Suatu pabrik baterai mobil menjamin bahwa baterainya akan tahan rata-rata 3 tahun dengan simpangan baku 1 tahun. Bila lima baterainya tahan 1,9;2,4;3,0;3,5;dan 4,2 tahun, apakah pembuatnya masih yakin bahwa simpangan baku baterai tsb 1 tahun?Jawab : Mula-mula dihitung variansi sampel
s2 = [5 . 48,26-(15)2]/(5 . 4)=0,815.Kemudian = [4 . 0,815]/1=3,26 merupakan suatu nilai khi-kuadrat dengan dk=4. Karena 95% nilai khi-kuadrat dengan dk=4 terletak antara 0,484 dan 11,143, nilai hitung σ2=1 masih wajar, sehingga tidak ada alasan mencurigai simpangannya bukan 1 tahun
2χ
![Page 20: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/20.jpg)
Distribusi Student (t)
• Jarang sekali variansi populasi diketahui• Untuk sampel ukuran n 30 taksiran σ2
yang baik diperoleh dengan menghitung nilai S2 atau , selama itu distribusi statistik masih secara hampiran berdistribusi normal baku, tapi bila n < 30 kita menghadapi distribusi T
21−nS
≥
( ) ( )nSX //µ−
![Page 21: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/21.jpg)
Distribusi Student (t)• Pertama kali diterbitkan pada 1908 dalam
suatu makalah oleh W.S. Gosset• Karyanya diterbitkan secara rahasia
dengan nama “Student” • Dalam menurunkan persamaan ini Gosset
menganggap sampel berasal dari normal. Kendati anggapan ini kelihatan amat mengekang dapat dibuktikan populasi yang tidak normal tapi distribusinya berbentuk lonceng masih memberikan nilai T yang menghampiri amat dekat distribusi t
![Page 22: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/22.jpg)
Distribusi t dengan dk: ν=n-1
Misalkan p.a. normal baku dan p.a. khi-kuadrat dengan
derajat kebebasan ν=n-1.Jika Z dan V bebas, maka distribusi p.a. :
diberikan oleh :( ) ( )
[ ] )1/(/)1(//
22 −−
−=
nSnnXT
σσµ
nXZ
/σµ−
=
2
2)1(σ
SnV −=
( )[ ]( )
( )
∞<<−∞
+
Γ+Γ
=+−
tvt
vvvtf
v
;1.2/
2/1)(2/12
π
![Page 23: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/23.jpg)
Hubungan kurva t dengan ν = 2 dan 5 dan kurva Normal Baku ν = ∞
ν = ∞
ν = 5ν = 2
0
![Page 24: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/24.jpg)
Sifat-sifat Kurva t1. Kurva setangkup terhadap rataan 02. Kurva berbentuk lonceng, tapi distribusi
t lebih berbeda satu sama lain dengan distribusi Z karena nilai T tergantung pada dua besaran yang berubah-ubah yaitu dan S2 sedangkan nilai Z hanya tergantung pada perubahan
3. Kedua ujung kurva mendekati sb-Xasimtot datarnya
4. Seluruh luas di bawah kurva = 15. …
XX
![Page 25: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/25.jpg)
ContohSuatu pabrik bola lampu yakin bahwa bola lampunya akan tahan menyala rata-rata selama 500 jam. Untuk mempertahankan nilai tsb, tiap bulan diuji 25 bola lampu. Bila nilai t yang dihitung terletak antara –t0,05 dan t0,05 maka pengusaha pabrik akan mempertahankan keyakinannya. Kesimpulan apakah yang seharusnya dia ambil dari sampel dengan rataan 518 jam dan simpangan baku sampel 40 jam? Anggap bahwa distribusi waktu menyala secara hampiran adalah normal.
![Page 26: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/26.jpg)
Dari tabel diperoleh t0,05 = 1,711 untuk dk=24. Jadi pengusaha tadi akan puas dengan keyakinannya bila sampel 25 bola lampu akan memberikan nilai tantara - 1,711 dan 1,711. Bila memang µ=500, maka
suatu nilai yang cukup jauh di atas 1,711. Peluang mendapat nilai t dengan dk=24 sama atau lebih besar dari 2,25 secara hampiran adalah 0,02.Bila µ > 500, nilai t yang dihitung dari sampel akan lebih wajar. Jadi pengusaha tadi kemungkinan besar akan menyimpulkan produksinya lebih baik dari pada dugaannya semula.
25,225/40500518
=−
=t
![Page 27: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/27.jpg)
Distribusi FT : Misalkan U dan V dua peubah acak bebas
masing-masing berdistribusi khi-kuadrat dengan dk1= ν1 dan dk2= ν2 . Maka distri-busi p.a :
dengan dk1= ν1 dan dk2= ν2 FVUX ~
//
2
1
νν
=
( )[ ]( )( ) ( ) ( )( )
∞<<
+ΓΓ+Γ
= +
−
lainnya yang untuk , 0
0;/1
.2/2/
/.2/)( 2/
21
12
21
2/2121
21
11
x
xvxv
xvv
vvvvxf vv
vv
![Page 28: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/28.jpg)
Kurva F
F
• Ada dua dk yaitu dk1= ν1 dan dk2= ν2
• Untuk p=0,05 dengan (ν1,ν2)=(24,8) : F=3,12untuk p=0,01 dengan (ν1,ν2)=(24,8) : F=5,28
),(;),();1(
21
12
1
νννν
pp F
F =−
![Page 29: BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · Gauss • Bergantung pada 2 parameter yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052121/5a7891897f8b9ab8768cf877/html5/thumbnails/29.jpg)
Sifat-sifat Kurva F1. Grafik kurva berada di kuadran I bid.
kartesius2. Kurva tidak simetri, miring ke kanan
(kurva +)3. Ujung kurva sebelah kanan mendekati sb-
X asimtot datarnya4. Seluruh luas di bawah kurva = 15. …• Sampling