Bellavite Caterina

&

Salvati Federica

Dato un insieme A si ha una SUCCESSIONE quando tra gli elementi dell’ insieme dato e quelli dell’insieme dei numeri naturali (R) si ha una CORRISPONDENZA UNIVOCA, ovvero quando ad

ogni elemento del dominio corrisponde un solo elemento del codominio.

DOMINIO CODOMINIO

Esempio di Corrispondenza

Univoca

D’ora in poi considereremo solo le successioni in cui il codominio è numerico…

Come si definisce una successione, essendo infinita?

N A

…e intendiamo con a[n] un elemento della successione.

1

2

3

4

n

a[0]

a[1]

a[2]

a[n]

La definizione di successione può essere espressa in due modi differenti:

• Fornendo a[0], primo elemento della successione, e la legge che stabilisce il passaggio da un elemento al suo successivo.

• Fornendo la legge che ad ogni numero naturale associa il suo corrispondente

Esempio 1 Esempio 2

ESEMPIO di successione 1

Consideriamo , in quanto è il primo elemento della successione e la legge

si otterrà:

•

•

e così per tutti gli infiniti elementi della successione

3]0[ a

2

1]1[][

nana

22

13

2

1]0[]1[

a

a

2

3

2

12

2

1]1[]2[

a

a

ESEMPIO di successione 2

Consideriamo la legge a[n]=3n

si otterrà:

• a[0]=0

• a[1]=3

• a[2]=6

• e così per tutti gli infiniti elementi della successione

Rappresentazione grafica

Per rappresentare graficamente una

successione si considera un PIANO CARTESIANO e si pongono i valori di N sull’asse delle ascisse e quelli di A sull’asse delle

ordinate. I risultati ottenuti non devono essere uniti in

quanto fra due numeri naturali successivi non ne

è compreso un terzo.

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6

Numeri naturali

A

Come si comporta la successione con N che tende all’infinito?

Grafico 1 Grafico 3

n successione5 3,410 3,215 3,13333333320 3,140 3,05

n successione1 1,510 620 1130 1640 2150 26

A[n] tende all’infinito A[n] tende ad un numero

2

2][

n

nan

nna

23][

Grafico 4Grafico 2

Limite di a[n] è +infinito per n che tende all’infinito

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6

In questo caso anche gli elementi della successione tendono all’infinito e quindi il grafico si sposterà sempre, oltre che verso destra, verso l’alto.

2

2][

n

na

Limite di a[n] è -infinito per n che tende all’infinito

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

0 2 4 6 8 10 12

n successione0 101 92 63 14 -65 -156 -267 -398 -548 -5410 -90210][ nna

Limite per n che tende all’infinito di a[n] è 3

2,82,9

33,13,23,33,43,5

1 2 3 4 5 6

In questo caso gli elementi della successione tendono ad un numero (3) e quindi tenderanno a raggiungerlo, (limite).

n

nna

23][

Limite per n che tende all’infinito di a[n] è 2

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

0 5 10 15 20 25 30 35

21

)sen(][

n

nna

n successione0 21 2,420735492 2,303099143 2,035284 1,84863955 1,840179296 1,96008357 2,082123328 2,109928698 2,1099286910 1,95054354

Ma che cos’è il limite di una successione?

Occorre ora dare delle definizioni precise e non intuitive di limite.

+

Limite finito

Limite infinito

-

Attenzione esistono successioni che non ammettono limite

Definizioni di limite infinito

Si dice che limite per n che tende all’infinito di a[n] è + e si scrive se ][lim nan

0k HnkH /)( Kna ][

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6

Nell’esempio se si fissa K uguale a 25 H che dipende da K sarà 6, fissando un “tetto” K maggiore, H dovrà essere maggiore. Dobbiamo essere in grado di superare un qualsiasi “tetto” K prefissato a patto di prendere H abbastanza

grande.

Definizioni di limite infinito

Si dice che limite per n che tende all’infinito di a[n] è - e si scrive se ][lim nan

0k HnkH /)( Kna ][

Nell’esempio se si fissa K uguale a 50 H che dipende da K sarà 8, fissando K maggiore, H dovrà essere maggiore. Dobbiamo essere in grado di oltrepassare un qualsiasi limite inferiore -K prefissato a patto di prendere H abbastanza

grande. -100

-80

-60

-40

-20

0

20

0 2 4 6 8 10 12

Definizioni di limite finitoSi dice che limite per n che tende all’infinito di a[n] è A

(numero finito nell’esempio 2) e si scrive se

Anan ][lim

0 HnH /)( AnaA ][

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

0 5 10 15 20 25 30 35

A=A+

A-

Fissato un piccolo a piacere è possibile trovare un numero H oltre il quale a[n] è sempre compreso tra A- e A+. Se ciò avviene a[n] si avvicina indefinitivamente (quanto vogliamo) ad A a patto di prendere n abbastanza grande.

Successioni che non ammettono limite

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8 10 12 14 16

n successione0 01 0,841470982 0,909297433 0,141120014 -0,75680255 -0,958924276 -0,27941557 0,65698668 0,989358258 0,9893582510 -0,5440211111 -0,9999902112 -0,5365729213 0,4201670414 0,9906073615 0,65028784

)sen(][ nna

La successione oscilla tra -1 e 1 senza avvicinarsi a nessun numero in particolare

Un limite si può...

Calcolare il limite di una successione significa partire dalla legge iniziale e sommare, dividere, moltiplicare o sottrarre i limiti dei singoli elementi fino ad

ottenere il limite complessivo.

Dimostrare il limite di una successione significa fare dei calcoli algebrici a partire dalla definizione per costatare che essa è vera. Questo modo di

procedere non è però conveniente perché per poterlo applicare occorre conoscere il

limite a priori.

caso di limite finito

Calcolarecaso di limite infinito

Dim

ostr

are

ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE NEL CASO DI LIMITE FINITO

Vogliamo dimostrare che 2

1

12

3lim

n

nn

Si deve di verificare che: 0 HnH /)(

2

1

12

3

2

1

n

n

Si tratta di trovare la funzione che a un generico fa corrispondere un opportuno H in modo che per ogni n>H si abbia:

2

1

12

3

2

1

n

n, osservato che quest’ultima equivale a

2

1

12

3

n

ne

2

1

12

3

n

n

cioè al sistema

2

1

12

32

1

12

3

n

nn

n

02

1

12

3

02

1

12

3

n

nn

n

0)12(2

241262

0)12(2

241262

n

nnnn

nnn

n

n

427

274

Sempre verificata

4

27 npertanto H()

ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE NEL CASO DI LIMITE INFINITO

Vogliamo dimostrare che 1

lim2

n

nn

Si deve di verificare che: 0k HnkH /)( kn

n

1

2

Si tratta di trovare la funzione che a un generico K fa corrispondere un opportuno H in modo che per ogni n>H si abbia:

H(k) (approssimato all’intero appena maggiore)

kn

n

1

2

01

2

Kn

n0

1

2

n

KKnn02 KKnn

verificata per2

42 KKKn

o

2

42 KKKn

Ininfluente perché n tende a +

Calcolo dei limiti

1 teorema

2 teorema

3 teorema

Esempio di calcolo

I limiti possono anche essere calcolati grazie a tre teoremi che si riferiscono alle diverse operazioni che possono essere coinvolte

Teorema 1Il limite della somma è generalmente uguale alla somma dei limiti

Lim a[n]=A

Lim b[n]=BLim ( a[n]+b[n] ) = A+B

Lim a[n]=+(-)

Lim b[n]=+(-) Lim ( a[n]+b[n] ) = +(-)

Lim a[n]=+(-)

Lim b[n]=-(+) indecisione

?

Teorema 2Il limite del prodotto è generalmente uguale al prodotto dei limiti (si segue la regola dei segni)

Lim a[n]=A

Lim b[n]=BLim ( a[n]*b[n] ) = A*B

Lim a[n]=+(-)

Lim b[n]=+(-) o ALim ( a[n]*b[n] ) = +inf

Lim a[n]=+(-)

Lim b[n]=-(+)Lim ( a[n]*b[n] ) = -inf

Lim a[n]=+(-)

Lim b[n]=0

indecisione

?

Teorema 3Il limite del quoziente è generalmente uguale al rapporto tra i limiti

?

?A0

00 0

0

A

A/B

indecisione

indecisione

0

A B 0

Lim a[n] Lim b[n] Lim a[n]/b[n]

FORME DI INDECISIONE

Capita, durante il calcolo dei limiti, di trovarsi di fronte a dei casi di INDECISIONE. Casi cioè in cui è inizialmente impossibile dare una

soluzione. In questi casi, con opportuni accorgimenti di calcolo e semplificazioni, si modifica l’argomento del limite in modo da ottenere forme più semplici ed immediatamente risolvibili per

mezzo dei teoremi.

ESEMPIO DI CALCOLO DI LIMITE

ok

?1

1lim

2

n

nn

..1

1lim

2

IFn

nn

11

11

lim1

1

11

lim1

1lim

222

2

n

nn

nn

nn

n

nnnn

11

1.

10

01

11

11

TEOREMA 3 TEOREMA 1

TEOREMA 3TEOREMA 4