beton ii vjezbe

Betonske konstrukcije II – primjeri Zlatar/Madžarević/Medić

1. Dimenzioniranje na poprečne sile prema EC 2

1.1 Normalni naponi – smicanje

1.2 Klasična analogija sa rešetkom

1.3 Određivanje smičuće armature

Ravnoteža vertikalnih sila u čvoru 1:

Ravnoteža vertikalnih sila u čvoru 2: Podijelimo li ove sile sa pripradajućim razmacima aD i a:

Potrebna smičuća armatura po 1 metru dužnom grede:

(pretpostavlja se da je armatura u stanju tečenja !)

Ako je širina rebra bw, napon u pritisnutoj betonskoj dijagonali je:

Specijalno, za :

1.4 Veličina pomjeranja al

Iz teorije savijanja sile pritiska i zatezanja u presjeku 1-1 su jednake:

Sila zatezanja prema analogiji sa rešetkom određuje se iz uslova ravnoteže momenata oko tačke B:

1


Razlika podužnih sila prema dvjema teorijama jednaka je1:

- veličina pomjeranja

Specijalno, za :

1.5 Dimenzioniranje na poprečne sile

1.5.1 Elementi bez poprečne armature

1 Prema EC 2 oznaka za je .

2


Prema DIN 1045 – 1 :

Slika 1 Mjerodavna podužna armatura obzirom na razmatrani presjek [1].

Ako su naponi zatezanja u betonu manji od , nosivost presjeka na poprečnu silu u zonama blizu oslonaca prednapregnutih konstrukcija za pretežno mirno opterećenje može se odrediti prema:

3


1.5.2 Elementi sa poprečnom armaturom

Format dokaza:

a) Otpornost pritisnute dijagonale

Koeficijentom se smanjuje čvrstoća betonske dijagonale na pritisak zbog poprečnog

zatezanja u rešetci. Gornji izraz za VRd,max se može izvesti iz izraza za u rešetci uz

smjenu .

Specijalno:

4


b) Otpornost zategnute dijagonale

Približno se može staviti:

Specijalno za i .

Potrebna površina poprečne armature:

Klasa čvstoće C12/1

516/20 20/25 25/30 30/37 35/45 40/50

45/55

50/60

5.10 6.80 8.50 10.6 12.8 14.9 17.0 19.1 21.2

0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.79 0.82 0.85 0.88

5


6


PRIMJER 1. Odrediti poprečnu armaturu za jednoosnu ploču na skici (računa se kao greda širine 1 m). Materijali su C20/25, B500S.

Slika 2 Presjek kroz konstrukciju i statički sistem [1].

Presječne sile

Materijali

Dimenzioniranje

7


Dakle, poprečna armatura nije potrebna, što je redovan slučaj kod većine tankih ploča. Poprečna armatura je statički potrebna kod debelih ploča ili kod tankih ploča u slučaju velikih koncentrisanih (linijskih) tereta. Kada poprečna armatura nije potrebna za preuzimanje kosih glavnih napona zatezanja, to znači da je naprezanje u zategnutim dijagonalama manje od čvstoće betona na zatezanje (čvstoća na zatezanje figuriše preko

).

8


PRIMJER 2. Odrediti poprečnu armaturu za gredu na skici. Materijali su C30/37, B500S.

Slika 3 Podužni i poprečni presjek i statički sistem [1].

Presječne sile

Materijali

Dimenzioniranje

a) otpornost betonskih dijagonali

9


b) otpornost zategnute dijagonale


Usvojeno: dvosječna vilica

B 500 SØ 10/15stvasw = 10.48 cm2/m

10


PRIMJER 3. Odrediti armaturu za spoj između pritisnutog i zategnutog pojasa (smicanje između flanše i rebra T-presjeka) iz Primjera 2.

Slika 4 Oznake [2].

U slučaju greda spojenih sa pločom ili sa proširenjem rebra, na osnovu štapnog modela (rešetka) određujemo armaturu potrebnu za unos sile (pritisak ili zatezanje) iz flanše (pojasa, ploče) u rebro, a koja se javlja usljed varijacije momenta savijanja (F = M/z) duž nosača.

Format dokaza:

Za q = const. Δx je pola razmaka između M = 0 i M = Mmax. U slučaju koncentrisanih sila Δxmax je razmak između sila.

11


Standardno za grede Spoj greda - ploča

Napomena 1.

U slučaju kombinovanog naprezanja smicanjem (spoj greda-ploča) i poprečnim savijanjem ploče, mjerodavna je veća potrebna armatura. Pošto se armatura za osiguranje spoja (smicanje) postavlja u 2 zone (dole i gore po pola), onda se površina jedne zone (asf/2) upoređuje sa potrebnom armaturom od savijanja (as). U slučaju as > asf/2, usvajamo dakle as (najčešće u gornjoj zoni), ali ne smijemo zaboraviti da u donju zonu moramo ugraditi ostalih asf/2.

SKICA

Zadatak:

Ispravno bi bilo izračunati kao veću vrijednost od:

Sa dijagrama M je očigledno da je veća vrijednost jer je .

a) otpornost betonskih dijagonali

b) otpornost zategnute dijagonale

12



Usvojeno: B 500 S

Donja zona: Ø 8/15, stvasf/2 = 3.35 cm2/mGornja zona: Ø 8/15, stvasf/2 = 3.35 cm 2 /m_(uporediti sa a s u gornjoj zoni ploče)

Ukupno: stvasf = 6.70 cm2/m

Napomena 2.

U slučaju zatezanja u flanši, VEd nalazimo iz sile zatezanja u šipkama koje leže izvan rebra. Na primjer,

SKICA

Napomena 3.

Na strani smo sigurnosti ako usvojimo , dakle bez traženja razlike.

Minimalna armatura za preuzimanje poprečne sile u gredama

Za gredne nosače Asw,min je obavezna smičuća armatura:

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50

0.510.61

0.70 0.830.93

1.02 1.121.21

1.31

13


Vježbe 3

Skica – podužni & poprečni presjek, statički sistem

1. Proračun presječnih sila

1.1 Momenti savijanja

1.2 Transverzalne sile

2. Dimenzioniranje grede

2.1 Dimenzioniranje na savijanje

14


Usvojeno:B500S6Ø20

Minimalna podužna armatura

Skica armature.

2.2 Dimenzioniranje na poprečne sile

Redukcija:

Granična vrijednost nagiba pritisnute dijagonale

Sila trenja u pukotini (doprinos betona nosivosti na poprečnu silu)

15


Napomena:

Mogli smo z uzeti tačno: (važno iznad unutrašnjih oslonaca gdje je z < 0.9 d)

Komentar:

je najmanji dozvoljeni nagib pritisnute dijagonale prema DIN 1045-1. Na manji nagib se ne ide jer bi uvjeti kompatibilnosti bili jako poremećeni. Naime, teorija plastičnosti (prema statičkoj teoremi) izostavlja uvjete kompatibilnosti u svom razmatranju, a da bi ih približno ispoštovali (u smislu ograničenja širine i razmaka naprslina) moramo se pridržavati zadatih granica.

U slučaju da je za dobijamo broj manji od 0 pa usvajamo .

Formula za cotθ

Poprečnu silu preuzimaju armatura i beton (truss model with crack friction):

Armatura vilica nosi na presjeku gdje je presjeca kosa prslina:

Potrebna armatura prema modelu rešetke (classical Mörsch analogy) određuje se iz:

Izjednačavanjem ova dva izraza:

16


Za pretpostavljamo:

Dakle, potrebna armatura se izračunava prema:

← sa sekundarnim efektima

a ne prema

Pošto je , .

2.2.1 Otpornost betonskih dijagonali, VRd,max

Odnos sile mjerodavne za određivanje poprečne armature i otpornosti dijagonale:

17


- relevantno za podužni i poprečni razmak vilica

Tabela: dozvoljeni razmaci poprečne armature.

Poprečna silaPodužni razmak

sw

Poprečni razmaksw

'

0.7 h ili 300 mm h ili 800 mm



2.2.2 Poprečna armatura

Minimalna poprečna armatura:

Usvojeno: dvosječna vilica

Stepenovanje armature sa: Ø 8/20, stvasw = 5.03 cm2/m > asw,min = 1.4 cm2/m

Nosivost armature

Ø 8/12.5 (asw = 8.04 cm2/m):

Ø 8/20 (asw = 5.03 cm2/m):

Nosivost Ø 8/20 – udaljenost od nul – tačke na dijagramu transverzalnih sila.

B 500 SØ 8/12.5stvasw = 8.04 cm2/m

18


Skica Raspored poprečne armature u podužnom presjeku.

Tabela Potrebna površina armature, veličina pomjeranja i zatezanje nad osloncem.

nagib vilica: povijena šipka: poprečna armatura: asw

18.5° 1.50 VEd1.50

z1.0 VEd 1.0 z 0.334 c 0.35 c

30° 0.86 VEd0.86

z0.36 VEd 0.36 z 0.577 c 0.517 c

39.8° 0.60 VEd0.60

z0.10 VEd 0.10 z 0.833 c 0.642 c

45° 0.50 VEd0.50

z- - 1.0 c 0.707 c

Površina poprečnog presjeka dodatne podužne armature (veličina pomjeranja)

Sila zatezanja nad osloncem:

Veličina pomjenranja:

Podužna armatura se raspoređuje prema dijagramu zatežućih sila. Razlikuju se i

dijagram. dijagram se konstruira tako da se sila zatezanja poveća za

veličinu ili se svaka ordinata dijagrama pomjeri u pravcu nultih tačaka

linije za veličinu pomjeranja .

19


Napomena:

Minimalno 1/3 armature polja se vodi do krajnjeg oslonca, odnosno 1/4 armature polja do srednjeg oslonca.

Odabrano: do oslonca vodimo 4Ø20, As,stv = 12.56 cm2.

Osnovna dužina sidrenja lb (data tabelarno):

Potrebna dužina sidrenja lb,net:

sidrenje sa pravim krajem

sidrenje sa kukom

sidrenje sa kukom i zavarenom poprečnom šipkom

U slučaju direktnog oslanjanja:

Usvojeno (sidrenje armature nad osloncem):

20


Napomena :

Proračun smo mogli izvršiti i za (za domaću zadaću).

Napomena:

U primjeru smo odredili i na osnovu njega usvojili poprečnu armaturu koja je veća

od potrebne. Možemo stoga napraviti korekciju i dobiti:

Ovo je povoljnije obzirom na nosivost pritisnute dijagonale, sidrenje podužne armature i veličinu pomjeranja (mada se u razmatranom primjeru ne dobija nikakva bitna razlika).

Napomena:

Približna kontrola ugiba (ograničenje deformacija)

Vođenje podužne armature

Nacrtajmo dijagram zatežućih sila, pa ga proširimo za veličinu pomjeranja al.

Zatim naznačimo silu koju treba ankerovati nad osloncem kao i nosivost odabranih šipki.

21


Ako se 2 šipke sidre u polju, onda pokrivanje dijagrama sila zatezanja izgleda kao na donjoj skici.

Potrebna dužina sidrenja

Ako je više šipki, se ne dostiže. Pošto je napon spoja isti, možemo smanjiti dužinu sidrenju u odnosu na osnovnu.

Osnovna dužina sidrenja :

sidri se u polju

20 % 0.80 0.80

50 % 0.50 0.50

22


70 % 0.30 0.30

U primjeru, 2 šipke se sidre u polju, 4 vode do oslonca. Dakle, potrebna dužina sidrenja šipki koje završavaju u polju je2:

Usvojeno:

Konačno, v. kompletan nacrt armature (Dodatak 2). Uz nacrt obavezno se daje specifikacija armature.

2 Na strani smo sigurnosti ako šipke usidrimo za osnovnu dužinu sidrenja.

23


Koso povijene šipke

Da bi se moglo ostvariti sidrenje povijenih šipki preporučuje se u blizini krajnjih oslonaca

uzeti vilice na manjem razmaku tako da je . Na taj način se omogućava da se mjesta povijanja šipki pomjere od krajnjeg oslonca čime se stvara mogućnost za njihovo sidrenje i izbjegava ulazak kosih šipki u zonu oslonačkih pritisaka.

Preporučuje se da najbliže povijena kosa šipka bude udaljena min 0.8d od teoretske tačke oslanjanja.

Nosivost 1 koso povijene šipke (k.p.š.)

Nosivost armature

Ø 8/12.5 (asw = 8.04 cm2/m):

Ø 8/20 (asw = 5.03 cm2/m):

Nosivost Ø 8/20 – udaljenost od nul – tačke na dijagramu transverzalnih sila.

Preporuku ćemo ispoštovati na dužini c/3+d = 54 cm > 0.8d = 35.2 cm.

Usvojeno:

B500S1Ø20stvAs,k.p.š. = 3.14 cm2

24


U slučaju više podužnih šipki:

a) podužni razmak b) poprečni razmak – kao kod vilica

Sidrenje kose šipke: lošiji uslovi sidrenja (gornja zona)

Usvojeno:

25


Dodatak 1 – konstrukcija parabole

26


Dodatak 2 – nacrt armature

27


Dodatak 3 – koso povijena šipka

28


3. Dimenzioniranje stubova

3.1 Razlika između pomjerljivih i nepomjerljivih sistema

Okvirni nosači smatraju se nepomjerljivim ako im je fleksibilnost mala, što važi za:

- horizontalno pridržane nosače - horizontalno nepridržane nosače, kod kojih je uticaj pomjeranja čvorova zanemariv

(razlika između presječnih sila po teoriji I. i II. reda je manja od 10 %)

3.2 Ekvivalentna dužina l0 i virkost λ

Vitkost pritisnutog elementa nalazi se prema:

Tabela. Koeficijenti izvijanja [1].

Dužina izvijanja pritisnutih elemenata se može preciznije odrediti pomoću nomograma (DafStb – H. 220). k1 (k2) predstavlja odnos sume krutosti svih priključnih stubova u

gornjem (donjem) čvoru i sume krutosti svih priključnih greda u istom čvoru

(odnosno sume momenata koji pružaju otpor jediničnom uglu zaokreta ).

Napomena 1.

Pri proračunu dužine izvijanja l0 pomoću koeficijenata ki, za stubove se upotrebljava krutost u stadiju I (neispucali presjek - (EI)I ), dok se krutost greda računa u stadiju II (ispucali presjek) i to približno (EI)II ≈ 0.5 (EI)I. Vrijednost ki prema DafStb-H. 525 ne treba biti manja od 0.1 jer ne postoji apsolutno uklještenje.

29


Slika. Koeficijenti dužine izvijanja.

3.3 Pojednostavljeni postupak za proračun pojedinačnih stubova

Pojedinačnim stubovima se mogu smatrati:

- slobodno stojeći stubovi (npr. konzolni stub) - vitki ukrućujući elementi koji se mogu posmatrati kao pojedinačni pritisnuti elementi- zglobno ili kruto povezani stubovi u nepomjerljivoj konstrukciji

Granica između vitkog i masivnog („zdepastog“) pritisnutog elementa

Dokaz nosivosti u deformisanoj konfiguraciji (po teoriji II. reda) se ne mora provoditi ako su dodatni momenti od normalne sile zanemarivi. Ovo je ispunjeno ako je jedan od niže navedenih uvjeta ispunjen:

1.

2. gdje je

Za stubove nepomjerljivih sistema, koji između čvorova nisu opterećeni poprečnim opterećenjem, vrijedi također:

30


(specijalan slučaj je obostrano zglobno oslonjen stub za koji vrijedi )

Međutim, ovakvi stubovi se moraju dimenzionirati minimalno na: i

Slika. Granična vitkost za koju se ne dokazuje stabilnost [1].

Model – stub postupak

Za vitke pritisnute elemente efekti po teoriji II. reda se mogu približno odrediti pomoću postupka sa model – stubom. Ovaj postupak je primjenjiv za:

- konstantne pravokutne i kružne poprečne presjeke

- ekscentricitete po teoriji I. reda (za postupak je na strani sigurnosti)

Slika. Model – stub i ekscentriciteti [1].

31


Ukupni ekscentricitet u presjeku A – A iznosi:

e0 – ekscentricitet po teoriji I. reda: ea – neželjeni ekscentricitete2 – ekscentricitet po teoriji II. reda

Ekscentricitet usljed puzanja se u pravilu smije zanemariti ako je stub na oba kraja monolitno povezan sa nosivim elementom (onim koji sistem horizontalno ukrućuje) ili je u

slučaju horizontalno pomjerljivog nosivog sistema vitkost stuba λ < 50 uz uvjet da je relativni ekscentricitet e0/h > 2.

Ekscentricitet e0

- općenito - za nepomjerljiv stub bez bočnog opterećenja:

slučaj a

slučaj b/c

Imperfekcija ea

- dodatni ekscentricitet

pri čemu je

Ekscentricitet e2

- ekscentricitet po teoriji II. reda

32


1/r - krivina u mjerodavnom presjeku; približno vrijedi:

- koeficijent kojim se obuhvata pad krivine usljed porasta podužne sile

- mjerodavna podužna sila za dimenzioniranje

- nosivost obzirom na podužnu silu za MEd = 0

- nosivost obzirom na podužnu silu za MEd = Mmax

(za simetrično armirane pravokutne presjeke)

Primjer 1. Horizontalno nepomjerljiv stub (izvijanje u ravni izvan crteža nije moguće).

Stepen uklještenja

k1 = 0.1, k2 = 0.55 (zadato)

Vitkost

potrebno je dimenzionirati stub uzimajući u obzir efekte II. reda

Ukupni ekscentricitet

33


Presječne sile za dimenzioniranje u GSN:

- u kritičnom presjeku prema postupku model-stuba:

NEd = - 500 kN, MEd = 0.09∙550 = 50 kNm

- dodatno se treba provjeriti da li je za dimenzioniranje mjerodavna kombinacija momenta i normalne sile na dnu/vrhu stuba bez dodatnih momenata po teoriji II. reda (u našem primjeru to nije slučaj !)

34


Stubovi kod kojih je izvijanje moguće u dva pravca

Za stubove kod kojih je izvijanje moguće u 2 pravca, općenito bi trebalo provesti dokaz po teoriji II. reda za koso savijanje sa normalnom silom. Za pritisnute elemente sa pravokutnim poprečnim presjekom dopuštaju se odvojeni dokazi nosivosti za smjerove y i z, ako je ispunjen jedan od navedenih uvjeta:

- ekscentriciteti po teoriji I. reda u pravcima y i z

Ako je gornji uvjet ispunjen, hvatište sile leži unutar šrafiranog područja na donjoj skici.

Odvojeni dokazi nosivosti za smjerove y i z sa reduciranom širinom

U slučaju da je može se dimenzionirati odvojeno za svaki pravac, ali tako da se dokaz nosivosti u smjeru slabije ose (ovdje y) vrši sa reduciranom širinom hred. Vrijednost hred se može odrediti pod pretpostavkom linearne raspodjele napona u stadiju I prema poznatoj jednadžbi iz otpornosti materijala (traži se neutralna linija, a zatim isključuje zategnuta zona):

odakle je

e se unosi kao apsolutna vrijednost.

35


Primjer. Montažni stub je izložen djelovanju horizontalne sile usljed vjetra Wk te ekscentričnim vertikalnim silama od vlastite težine Ngk i snijega Nqk. Ekscentricitet postoji samo u smjeru z, ali je moguće izvijanje u obje ravni. Traži se dokaz nosivosti uzimajući u obzir dodatne deformacije po teoriji II. reda. Materijali: C35/45, B500S.

Materijali

Presječne sile po teoriji I. reda

Za dimenzioniranje treba provjeriti sljedeće kombinacije opterećenja pri čeku je koeficijent

kombinacije za vjetar i za snijeg (momenti su momenti savijanja oko y ose, normalna sila kao apsolutna vrijednost)

Komb. 1.

Komb. 2.

U slučaju da podužna sila usljed vlastite težine i snijega djeluje povoljno (npr. ne uzrokuje moment savijanja), treba provjeriti:

Komb. 3.

Ovdje će se dimenzionirati za kombinaciju 2.

Izvijanje se može dogoditi u oba pravca. Pošto je , dokaz nosivosti se može napraviti odvojeno za y i z smjer.

36

b/h=1.1/0.5 m


4. Dimenzioniranje temelja

Primjer 1. Dimenzionirati betonski temelj ispod centrično opterećenog zida od opeke debljine c = 24 cm. Klasa čvrstoće betona je C20/25, dopušteni napon pritiska u tlu je σdop

= 250 kN/m2 za karakteristična djelovanja gk = 173 kN/m, qk = 70 kN/m.

Rješenje.

Pretpostavimo da je napon pritiska u tlu usljed vlastite težine temelja σg,temelj ≈ 15 kN/m2. Dakle, dozvoljeni pritisak u tlu za opterećenje gk + qk iznosi:

Potrebna širina temelja je:

Visina temeljne trake:

Odabrano:

Dokaz sa odabranim dimenzijama:

Naponi u tlu:

Dimenzije temelja:

Armatura u temelju nije potrebna.

37


Primjer 2. Armirani trakasti temelj ispod zida od opeke. σdop = 120 kN/m2. Klasa čvrstoće betona je C12/15, armatura B500S. Vlastita težina zida je gk,zid = 100 kN/m, korisno opterećenje sa zida qk,zid = 115 kN/m.

Rješenje.

Opterećenje temelja:

- pod 24 kN/m3∙0.15 m = 3.60 kN/m2

- nasip 20 ∙ 0.50 = 10 kN/m2

- težina temelja 25 ∙ 0.35 = 8.75 kN/m2

∑gtem = 22.35 kN/m2

Naponi u tlu od vlastite težine temelja, nasipa i poda:

Potrebna širina temelja:

Naponi u tlu u stanju granične nosivosti (bez težine temelja i nasipa):

Naponi u zidu:

Proračunski model:

Za zid od opeke (spoj temelja i zida nije monolitan3) vrijedi:

3 U slučaju monolitnog spoja važi: .

38


Dimenzioniranje:

Usvojeno:B500SØ10/10

39


Primjer 3. Potrebno je dimenzionirati centrično opterećen temelj samac. Opterećenje i materijali su: NEk,G = 1390 kN, NEk,Q = 590 kN, C30/37 (stub), C25/30 (temelj), B500S. Dopušteni napon u tlu je σdop = 275 kN/m2.

Rješenje.

Prvo biramo dimenzije temelja i provjeravamo dopušteni napon pritiska u tlu.

bx/by/h = 2.80/2.80/0.65 m

Opterećenja u graničnom stanju nosivosti:

Presječne sile (vl. težina temelja ne utiče na presječne sile):

Mjerodavni moment savijanja prema (1.6) i (1.7) sa predavanja:

Međutim, u slučaju krutog spoja između temelja i stuba, možemo dimenzionirati temelj za moment savijanja na spoju stuba i temelja, tj. u presjeku 2 – 2:

Dakle,

Dimenzioniranje na savijanje

Klasa izloženosti XC2 cmin = 20 mm, Δc = 15 mm.

40


41


Literatura

[1] K.J. Schneider: Bautabellen für Ingenieure, 16. Auflage, Werner, 2004[2] EN 1992, Comite Europeen de Normalisation - CEN, 2004

42

beton ii vjezbe

Documents