betonske konstrukcije i - part 1

( book is under construction) Betonske konstrukcije I

1

1. GRANINO STANJE NOSIVOSTI Osnovne postavke prorauna Teorija prorauna prema metodi graninih stanja zasniva se na postizanju prihvatljive vjerovatnoe da projektovana konstrukcija nee biti neprikladna za upotrebu. Pri tome su uzeti u obzir svi tehniki i ekonomski uslovi koji vrijede u bilo koje vrijeme i u bilo kojoj zemlji za sigurnost, funkcionalnost i trajnost konstrukcije.

Granino stanje nosivosti, koje odogovara maksimalnom kapacitetu nosivosti, moe biti: - gubitak ravnotee konstrukcije ili njezina elementa promatranih kao kruto tijelo

(klizanje, prevrtanje, izvijanje); - granino stanje loma ili prekomjerne deformacije kritinog presjeka; - gubitak ravnotee zbog velikih deformacija (teorija II. reda); - granino stanje loma uzrokovano zamorom; - transformacija konstrukcije u mehanizam (proraun po teoriji plastinosti).

Odreivanje statikih veliina za presjeke (normalne, poprene sile, momenti savijanja i torzije) provodi se na idealizovanoj emi konstrukcija za najnepovoljnije kombinacije optereenja. Zavisno od ponaanja materijala konstrukcije i konstrukcije u cjelini, mogu se za direktno i indirektno djelovanje proraunati statike veliine po linearnoj teoriji, linearnoj teoriji sa ogranienom preraspodjelom, teoriji plastinosti i nelinearnoj teoriji.

Linearna teorija, koja se danas jo uvijek najvie upotrebljava, bazira se na linearnom odnosu izmeu napona i deformacija, te pretpostavlja da su presjene sile proporcionalne optereenju.

Metoda graninih stanja promatra stanje deformacija i napona neposredno pred lom presjeka. Da bi se mogla odrediti nosivost presjeka u stanju neposredno pred lom, valja poznavati i ostala naponska stanja koja prethode graninom stanju.

Slika 6.1: Naponska stanja

U naponskom stanju I naponi pritiska i zatezanja su mali i opravdano se moe pretpostaviti linearna raspodjela napona (Navierova hipoteza). Krajnje stanje I (Ia) opisuje najavu otkazivanja vrstoe na zatezanje betona. U naponskom stanju II zategnuta zona je raspucala i iskljuuje se iz nosivosti, dok raspodjela naprezanja na pritisak ide po krivulji.

Edvin Boli

2

Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcija zasnovano je na naponskom stanju II. Naponsko stanje III je stanje neposredno pred lom, kada pukotine doseu neutralnu os i neutralna os se pomjera prema gore, te dolazi do smanjenja pritisnute zone.

Nain na koji e doi do loma armiranobetonskih elemenata zavisi od postotka armiranja, djelovanja presjenih sila i mehanikim karakteristikama betona i armature. U optem sluaju lom moe nastati:

a) iscrpljenjem zategnute armature; b) iscrpljenjem betona na pritisak; c) istodobnim iscrpljenjem zategnute armature i pritisnutog betona.

Lom presjeka usljed iscrpljena zategnute armature jo se naziva duktilan lom, jer lomu prethodi mehanizam otvaranja pukotina i naglaene deformacije armature u zategnutoj zoni.

Lom zbog iscrpljenosti betona nastaje kod relativno veeg postotka armiranja, pri emu naprezanje armature ne dostie granicu razvlaenja. Ovaj lom se deava bez naglaenih pukotina i veih deformacija i jo se naziva neduktilan lom.

Balansirani lom je lom zbog istodobne iscrpljenosti elika i betona i nastaje uz prethodno naglaene deformacije i pukotine.

Prilikom projektovanja konstrukcije preporuuje se dimenzioniranje uz pretpostavku istovremene iscrpljenosti elika i betona ili jo bolje, zbog osiguranja duktilnosti, samo elika.

Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcija prema EC2 zasniva se na slijedeim pretpostavkama:

- presjeci ostaju ravni i nakon deformisanja; - potpuna prionljivost betona i poloene armature; - zanemarenje vrstoe na zatezanje betona; - koritenje zamjenskog raunskog bilinearnog dijagrama ponaanja betona i elika (-

dijagrama) koji priblino opisuju elastina i plastina svojstva materijala. 6.1.1 Raunska nosivost presjeka

Raunska nosivost presjeka je u funkciji karakteristine vrstoe betona i granice razvlaenja elika, parcijalnih koeficijenata sigurnosti za materijale, te dimenzija presjeka i povrine armature.

vrstoa betona na pritisak klasifikuje se prema klasama vrstoe betona, koja odgovara vrstoi na pritisak betonskog cilindra fck ili vrstoa na pritisak betonske kocke fck,cube. U narednoj tabeli daju se klase vrstoe betona.

Tabela 6.1: Klase vrstoe betona, karakteristina vrstoa pri pritisku fck (cilindar 150/300mm), karakteristina vrstoa pri pritisku fck,cube (kocka150/150mm), karakteristina

vrstoa betona pri zatezanju fctk, srednja vrstoa betona pri zatezanju fctm (N/mm2)

Klase

vrstoe

betona

C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50

fck,cube 16 20 25 30 37 45 50 55 60

fctm 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1

fctk0,05 1,1 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9

fctk0,95 2,0 2,5 2,9 3,3 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3


3

Raunska vrstoa na pritisak betona dobije se reduciranjem karakteristine vrstoe na pritisak sa parcijalnim koeficijentom c = 1,50:

c

ckcd

ff

= (6-1)

Koeficijent uzima u obzir razliku vrstoe u objektu i vrstoe probnog cilindra, koja je prvenstveno posljedica dugotrajnih dejstava. Uzima se vrijednost =1,0 za granino stanje upotrebljivosti i =0,85 za granino stanje nosivosti.

Razvoj vrstoe betona i njegov odnos sa deformacijom zavisi od niza parametara: - tehnologije betona (vrste cementa, koliine cementa, vodocementnog faktora,

agregata, granulometrijskog sastava, hemijskih dodataka); - spravljanja, ugradnje i njegovanja betona; - uslova okoline (temperatura, vlanost); - efektivne debljine elementa; - starosti betona pri nanoenju optereenja; - brzine nanoenja optereenja.

Na slici 6.2 prikazan je - dijagram za nelinearnu analizu presjenih sila, i koji se koristi za proraun kratkotrajnih deformacija.

Slika 6.2: Dijagram naprezanje-deformacija za odreivanje deformacija i presjenih sila [9]

gdje je: Ecm srednja vrijednost modula elastinosti (sekantni modul) fcm srednja vrijednost vrstoe na pritisak cp deformacija na granici velikih izduenja cu maksimalna deformacija fctm srednja vrijednost vrstoe na zatezanje

Granina deformacija betona je cu = -0,0035.

Deformacija betona na granici velikih izduenja je cp = -0,002.

Edvin Boli

4

Slika 6.3: Dijagram naprezanje-deformacija za dokaz nosivosti i dimenzioniranje [9]

Na slici 6.4 dat je dijagram ponaanja armaturnog elika, koji je danas u upotrebi.

Slika 6.4: Dijagram naprezanje-deformacija za armaturni elik [9]

gdje je: ftk karakteristina vrstoa loma (5%-fraktil) s0,2k granica velikih izduenja (5%-fraktil) ek karakteristina elastina granica Es modul elastinosti uk karakteristina deformacija loma


5

Oblik dijagrama u pritisnutom podruju moe se uzeti slian kao u zategnutom podruju. Raunski dijagram armaturnog elika moe se zamijeni bi-linearnim dijagramom prikazanim na slici 6.5.

Slika 6.5: Bi-linearni dijagram sa idealnim plastinim podrujem [9]

Raunska vrstoa armaturnog elika dobije se reduciranjem vrstoe na granici velikih izduenja sa parcijalnim koeficijentom s = 1,15:

s

ff ykyd

= (6-2)

Modul elastinosti armaturnog elika uzima se Es = 200 GPa = 20000 kN/cm2. Maksimalna

deformacija armaturnog elika za dimenzioniranje je su = 0,02.

6.1.2 Granina deformaciona stanja

Slika 6.6: Granina deformaciona stanja

Edvin Boli

6

Kao granina deformaciona stanja oznaavaju se ravnine deformacija za koje su unutar poprenog presjeka dostignute granine deformacije, a da pri tome ni na jednom dijelu poprenog presjeka nisu prekoraene. Na slici 6.6 prikazana su granina defromaciona stanja prema EC2.

Granina deformacija centrino pritisnutog poprenog presjeka postie se kada se pri raunskoj vrstoi na pritisak betona fcd javljaju pripadajua skraenja betona cp. To znai da je granina deformacija centrino pritisnutog betona cp.

Kao slijedee karakteristino granino deformaciono stanje moemo izdvojiti deformacionu ravninu koja prolazi kroz taku 0 i B.U ovom sluaju granina deformacija na gornjem rubu poprenog presjeka je c2 = cu, dok je na donjem rubu deformacija c1 = 0. Podruje u kojem deformaciona ravnina prolazi kroz taku A, oznaeno je kao podruje 1 i predstavlja deformacije presjeka optereenog ekscentrinim pritiskom malog ekscentriciteta.

Slijedea karakteristina granina deformaciona ravnina prolazi kroz taku B, tj. na gornjem rubu poprenog presjeka je granina deformacija c2 = cu, dok istovremeno armatura sa povrinom As1 dostie granicu teenja (s1 = yk,0.95).

Slika 6.7: Definicija yk,0.95 [9]

Sva deformaciona stanja podruja 2 i 3 jesu stanja u kojem je na pritisnutom rubu beton iskoriten, dok se armatura nalazi u podruju teenja. Podruje 2 i 3 je podruje deformacija poprenog presjeka optereenog na savijanje ili savijanje sa uzdunom silom pritiska. Podruje 4 je podruje savijanja ili savijanja sa uzdunom silom zatezanja. U tom podruju deformacija armature ima graninu vrijednost su, dok se deformacije betona smanjuju od granine deformacije prema nuli. U podruju 5 kompletan popreni presjek je izloen zateuem naprezanju i ovo je podruje omeeno graninom deformacionom ravninom koja prolazi kroz take C i D, u kojoj je kompletna armatura u poprenom presjeku iskoritena.

Elementi napregnuti na savijanje

Teorija elastinosti

Na slici 6.8 prikazana je greda od idealno elastinog materijala, optereena momentom savijanja Msd.


7

Slika 6.8: Greda napregnuta na savijanje

gdje je : Msd,Vsd presjene sile (z) raspodjela naprezanja (linearna) C rezultantna sila pritiska, koja zamjenjuje djelovanje naprezanja u pritisnutoj zoni pri savijanju T rezultantna sila zatezanja, koja zamjenjuje djelovanje napona u zategnutoj zoni pri savijanju z krak unutranjih sila h visina poprenog presjeka

Dejstvo konstantnog momenta savijanja uzdu grede daje u svim poprenim presjecima istu sliku napona z, koja je prikazana na slici 6.9.

Slika 6.9: isto savijanje, linearna raspodjela naprezanja afina deformacionoj ravnini

U povrinskom elementu dzbdA = na rastojanju z od teine osi Y djeluje sila:

dzb)z(dA)z()z(dN == (6-3)

Pod djelovanjem sile dN(z) javlja se u poprenom presjeku moment:

dzzb)z(z)z(dN)z(dM == (6-4)

Ako primjenimo Hukov zakon i Bernulijevu hipotezu ravnih presjeka:

Edvin Boli

8

)z(E)z( = (6-5) z)z( = (6-6)

Dobije se izraz za reaktivni moment savijanja : dzbzE)z(dN = (6-7)

dzzbE)z(dM 2 = === JEdzzbE)z(dMM2

R (6-8)

Iz RS MM = dobije se izraz za zaokretanje tapnog elementa : EJ

MS= (6-9)

pri emu je : krivljenje (zaokretanje tapnog elementa duine 1 ) SM aktivni moment savijanja RM reaktivni moment savijanja E modul elastinosti J moment inercije poprenog presjeka u odnosu na teinu os

Naprezanje pritisnutog dijela poprenog presjeka moe se zamijeniti rezultantnom silom pritiska C :

=== CSEdzzbE)z(dNC (6-10) Analogno se moe odrediti rezultantna sila zatezanja T:

== tSE)z(dNT (6-11) Ovi izrazi vrijede kada se radi o istom savijanju i nema normalne sile N.

Uslov ravnotee uzdunih sila x=0 : C + T =0

Uslov ravnotee M=0 : RS MM =

aaS zCzTM == (6-12)

Iz (6-12) : tt

Sa S

J

SE

EJ

T

Mz =

== (6-13)

Za pravougaoni popreni presjek je :

4

h

2

hbS;

12

hbJ t

3

=

= ; h3

2

S

JZ

ta == (6-14)

Armiranobetonska greda

vrstoa na zatezanje betona je znatno manja od vrstoe na pritisak. Zbog toga nearmirani betonski presjek ima malu nosivost na savijanje. Dodavanjem armature u zategnutu zonu presjeka kapacitet nosivosti na savijanje se bitno poveava. Rezultanta sila zatezanja je znatno vea od sile zatezanja koju moe da preuzme beton. Beton u zategnutoj zoni ispuca i iskljuuje se iz nosivosti na zatezanje (slika 6.10).

Slika 6.10: Armiranobetonska greda napregnuta na savijanje


9

6.2.3 Dimenzioniranje pravokutnog presjeka

Za dimenzioniranje armiranobetonskih presjeka koristi se raunski dijagram za beton pravac + parabola, te bilinearni dijagram sa horizontalnom gornjom granom do deformacije 20%o za armaturu.

Slika 6.11: Dijagram naprezanja mjerodavan za dimenzioniranje

Priblian proraun moe se provesti zamjenom dijagrama pavougaonik+parabola sa pravougaonim dijagramom, gdje je c = fcd, pri emu se odgovarajue greke pokrivaju time to se u proraunu nosivosti rauna sa 80% pritisnute zone ( x8,0d c = ).

Slika 6.12: Pravougaona raspodjela naprezanja u pritisnutoj zoni

gdje je : z (m) - krak unutranjih sila d (m) -statika visina presjeka dc (m) -visina fiktivnog pritisnutog pojasa x (m) -poloaj neutralne osi fcd (MN/m

2) -raunska vrstoa na pritisak betona fck (MN/m

2) -karakteristina vrstoa na pritisak betona MRd (MNm) -reaktivni momenat mjerodavan za dimenzioniranje -bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja

Rezultantna sila pritiska je : ccd AfC = , pri emu je cc dbA =

Reaktivni moment savijanja je :

==

2

dddbfzCM cccdRd (6-15)

Bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja: 2

cd

Rd

dbf

M

= (6-16)

Edvin Boli

10

Ako (6-16) uvrstimo u (6-15) dobije se :

=

d2

d1

d

d cc (6-17)

Uz uvoenje smjene : d

d cc = (6-18)

=

=+

211

022

c

c2

c

c25,1 = (koeficijent poloaja neutralne osi) (6-19)

Hvatite rezultante pritiska lei u teitu rafirane povrine prikazane na slici 6.12.

Mehanizam nosivosti armiranobetonske grede moe se pojednostavljeno prikazati pomou reetkastog modela (slika 6.13). Gornji pojas reetke je beton povrine cdb . Armatura

zategnute zone tvori donji pojas reetke. Hvatite rezultante zateue sile lei u teitu poprenog presjeka armature.

Slika 6.13: Pojednostavljeni model mehanizma nosivosti unutar grede

Krak unutranjih sila je: 2

ddz c= (6-20)

Ako uvedemo odnos : d

z= (koeficijent kraka unutranjih sila) (6-21)

Iz prethodnih izraza je: == 4,012

11 c (6-22)

ili c

2

ccd

2cdRd

d

d

dbf

dbf

C

Mz

=

== (6-23)

Nakon to smo dimenzionirali pritisnuti pojas pristupa se dimenzioniranju zategnutog pojasa. Iznos rezultantne sile pritiska C u pritisnutom pojasu odgovara sili zatezanja T u zategnutom pojasu: x = 0 C = T.

Prema tome sila zatezanja je: z

MT Sd= (6-24)

Ova sila se prihvata pomou armature : ss AT = (6-25)

Zakon ponaanja armaturnog elika dat je na slici 6.14.

Slika 6.14: Bi-linearan dijagram

ponaanja armaturnog elika [9]


11

Na osnovu slinosti trokuta (slika 6.15) moe se uspostaviti veza :

dx

scc +=

cs x

d1

=

cc

ccs

8,01

=

= (6-26)

Za naprezanje u armaturi s = s(s) potrebna povrina armature je :

s

Sds z

MA

= (6-27)

Slika 6.15: Dijagram deformacije armiranobetonskog poprenog presjeka

Ovaj izraz vrijedi openito. Sa pretpostavljenim unutranjim krakom sila se vri preddimenzioniranje. Nakon zavretka dimenzioniranja moe se sraunati tana vrijednost z.

Za popreni presjek kod kojeg je armatura potpuno iskoritena izraz (6-27) dobija oblik :

sd

Sds fz

MA

= (6-28)

Ukoliko se sa izrazom (6-26) dobiju deformacije armature vee od su, pritisnuti pojas nee biti u potpunosti iskoriten. U tom sluaju se unutranji krak sila moe priblino odrediti:

su

su

0035,0

0021,0

+

+= (6-29)

Razlikujemo slijedea podruja dilatacija elika (vidi slika 6.14) :

Podruje 1 - Dilatacija elika lei unutar podruja suse pri emu je :

e - dilatacija na granici elastinosti

su - granina dilatacija = dilatacija pri slomu

Naprezanje u armaturi dostie vrijednost na granici teenja fsd : sds f= Kao posljedica teenja armature dolazi do polaganog loma sa otvaranjem velikih pukotina i velikim progibima.

Podruje 2 - Dilatacija elika vea od su

U ovom sluaju beton u stanju loma nije iskoriten. Presjek je nedovoljno armiran. Nastaje prije slom u armaturi nego u betonu.

sds f=

Edvin Boli

12

Podruje 3 - Dilatacija elika je manja od e

Popreni presjek je prearmiran. Ne dolazi do teenja armature.

sss E = Deava se slom pritisnute zone presjeka bez najave.

Da ne bi dolo do ove pojave mogu se preduzeti slijedee mjere : - poveanje pritisnute zone i/ili kraka unutranjih sila - odabir vee marke betona - postavljanje armature u pritisnutoj zoni

Primjer 1 Zadano je :

Pravougaoni popreni presjek : b = 0,25m; h = 0,85m

vrstoa materijala : fcd = -20 MN/m2; fsd = 478 MN/m

2

Moment savijanja : Msd = 800 kNm Odrediti : Potrebnu povrinu armature As (cm

2)

Preddimenzioniranje:

Pretpostavlja se odstojanje teita zategnute armature od zategnutog ruba presjeka :

ds1=0,05m

m80,005,085,0dhd 1s ===

m72,08,09,0d9,0z ==

kN111172,0

800

z

MT sd ===

243

4

sds cm2,2310

10478

111110

f

TpotA =

==

Usvojeno : 424 (As = 18,10cm

2) 220 (As = 6,28cm

2) usv.As = 24,38cm

2

Slika 6.16: Raspodjela armature


13

Poloaj teita za prikazani raspored armature je: a = 12mm. Prema tome odstojanje teita armature od ruba poprenog presjeka je ds1 = 52+12=64mm 0,07m. Statika visina presjeka je: d = h-ds1 = 0,85-0,07 = 0,78m.

Slika 6.17: Ulazni parametri za dimenzioniranje

Konano dimenzioniranje:

263,078,025,01020

800

dbf

M232

cd

Sd =

=

=

3115,0)263,02(11211c ===

m243,078,03115,0dd cc ===

389,03115,025,125,1 c ===

m304,078,0389,0dx ===

- kontrola dilatacije armature:

0055,0)0035,0(389,0

1389,01cs =

=

= (e < s < su)

8443,03115,0

263,0

c

==

=

m659,078,08443,0dz ===

kN1215659,0

800

z

MT ===

2

3

424

sds cm4,25

10478

101215cm10

f

TpotA =

==

pot.As > usv.As, prema tome potrebna je dopuna armature : 624 (As = 27,14cm2)

Edvin Boli

14

Slika 6.18: Nova raspodjela armature

Statika visina ostaje nepromijenjena: d = h-ds1 = 0,85-0,07 = 0,78m. U nastavku se daje postupak dimenzioniranja za pretpostavljeni raunski dijagram naprezanja betona u obliku parabole (slika 6.19).

Slika 6.19: Rubno naprezanje betona c =cp=-2%o

== dbf3

2xbf

3

2C cdcd (6-30)

d8

31x

8

3dz

== (6-31)

==

8

31dbf

3

2zCM 2cd1 (6-32)

2

2cd

11 4

1

3

2

dbf

M=

= (6-33)

Na slici 6.20. prikazan je dijagram deformacija iskoritenog betona:


15

Slika 6.20: Rubno naprezanje betona c =cu=-3.5%o

0035,0

x

002,0

x1

=

(6-34)

d7/4x1 = (6-35)

==7

4dbf

3

2xbf

3

2C cd1cd1 (6-36)

== )7

41(dbf)xx(bfC cd1cd2 (6-37)

d14

91x

8

5xdz 11

=+= (6-38)

d14

31

2

xxdz 12

=

= (6-39)

22112 zCzCM += (6-40)

2

2cd

22 98

33

21

17

dbf

M=

= (6-41)

Izrazi za dimenzioniranje izvedeni su za slijedea podruja deformacija: - podruje deformacija a: 1 002,0cpc =

Uvoenjem smjene 002,0;;3/1

4/1cp

cp

c =

=

= (6-42)

( )

=

3/13

411

2

3 (6-43)

= )3/1(v c (6-44)

cv

= (6-45)

== 002,0cpc (6-46)

cs

1

= (6-47)

- podruje deformacija b: 21 0035,0002,0 cuccp ==

( ) ( )212216 = (6-48)

( )+= 23

1v c (6-49)

Edvin Boli

16

cv

= (6-50)

( ) cpc 12

= (6-51)

cs

1

= (6-52)

gdje je:2

cd

sd

dbf

M

= bezdimenzionalna vrijednost aktivnog momenta savijanja.

Bezdimenzionialna vrijednost sile u pritisnutom pojasu je : ( )dbf

C

cdc

= (6-53)

i bezdimenzionalna vrijednost sile u zategnutom pojasu je:

dbf

Af

dbf

T

cd

ssd

cds

=

= (6-54)

Potrebna povrina armature dobije se iz uslova ravnotee uzdunih sila:

0sc =+ (6-55)

dbf

fA

sd

cds = (6-56)

U nastavku se uvodi pojam mehaniki stepen armiranja :

db

A s

= i =cd

sd

f

f (6-58)

Ukoliko u duktilnoj armiranobetonskoj konstrukciji mjestimino doe do teenja armature u zategnutoj zoni, posljedica je otvaranja serije prslina, koje zajedno formiraju plastini zglob kao na slici 6.21.

Slika 6.21: Otvaranje plastinog zgloba

Rotacija zgloba : ( )=pll

mpl dx (6-59)

jedino je mogua ako se srednje krivljenje m u podruju lpl moe odvijati bez otkaza betona u pritisnutoj zoni. Pri tome se unutarnji krak sila neznatno mijenja.

zAfM ssdpl = (6-60)


17

Pri otvaranju plastinog zgloba dolazi do premjetanja sila u manje optereena podruja (preraspodjela optereenja). Nakon dostizanja momenta teenja dolazi do otvaranja narednog zgloba. Optereenje duktilne konstrukcije moe se poveavati sve do momenta kada konstrukcija postaje mehanizam tj. kada usljed otvaranja narednog plastinog zgloba postaje kinematski pomjerljiva. Pomou plastinog ili nelinearnog proraunskog modela mogue je odrediti granino stanje nosivosti. Preduslov je da na mjestu otvaranja plastinog zgloba postoji dovoljna sposobnost rotacije presjeka pl. Prevelika koliina armature stvara krtost i zbog toga je treba izbjegavati. Da bi se izbjegla krta konstrukcija, treba ispuniti slijedei uslov :

d

x

d

x (6-61)

Najvee mogue odstojanje neutralne osi x*, prema EC2, iznosi: x* = 0,45d za beton C35/45 x* = 0,35d za beton C40/50 Dilatacija armature s ne smije biti manja od dilatacija na granici elastinosti e.

ec

c

d

x

+

=

(6-62)

Dodavanjem armature u pritisnutoj zoni poveava se nosivost pritisnutog pojasa bez dodatnog poveanja dimenzija betonskog presjeka ili kvalitete betona. Najvea mogua sila u betonu CC je za stanje deformacija prikazano na slici 6.22, gdje je c2= -0,0035 na pritisnutom rubu betona, neutralna os je na maksimalno dozvoljenom rastojanju x*.

Slika 6.22: Pritisnuta armatura

= x8,0d c (6-63)

Betonska pritisnuta zona za prikazano deformaciono stanje moe preuzeti slijedei reaktivni momet :

0dbfC ccdc

Edvin Boli

18

Naprezanje u armaturi (Hukov zakon) : 2ss2s E = (6-68)

odnosno u plastinom podruju: sd2s f= (6-69)

Na osnovu izraza (6-66) do (6-69) slijedi izraz za potrebnu povrinu pritisne armature :

( )2s2s2s dd

MA

= (6-70)

U tom sluaju armatura u zategnutoj zoni treba preuzeti sile T i T :

sd

2s

c

sd1s f

dd

M

z

M

f

TTA

+

=+

= (6-71)

Primjer 2

Zadano je : GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE:

Pravougaoni popreni presjek : b = 0,30m; h = 0,60m; d = 0,55m Armatura u poprenom presjeku: As = 38,06cm

2

MATERIJAL:

Beton C 25/30: fck = 25 MN/m2;

Armatura RA 400/500: fyk = 400 MN/m2

DEFORMACIONO STANJE POPRENOG PRESJEKA: 0 = -0,000287; = 0,01071

Za zadane geometrijske karakteristike, karakteristike materijala i deformaciono stanje

poprenog presjeka odrediti presjene sile u presjeku.

0035,0)3,0(01071,0000287,0z 2c02c =+=+=

00293,0)3,0(01071,0000287,0z 1c01c =+=+=


19

00239,0)25,0(01071,0000287,0z 1s01s =+=+=

m3268,0xxd

2c1s2c

=

=+

m1868,0xxx

1cp

1

2c

=

=

1.UDIO BETONA U NOSIVOSTI PRESJEKA

- ZATVORENO RJEENJE

=2

0

z

z

cc dz)z(b)z((N

==2

0

2

0

z

z

z

z

ccc dz)zdN(dz)z)z(b)z((M

- NUMERIKO RJEENJE (SIMPSON-OVO PRAVILO)

cp = -0,002; cm = -0,001;

2cd0 m/MN25f == ; 2

cp

cm

cp

cmcdm m/MN5205,12)2(f =

= ; u = 0

kN65,622b)4(6

xN m0

11c =+=

kN48,700)1868,03268,0(3,016670)xx(bfN 1cd2c ===

kN13,132348,70065,622NNN 2c1cc ==+=

kNm97,55b)z4z3aM mm101c =+=

kNm09,161)2

zzz(NM 1212c2c =

+=

Edvin Boli

20

kNm06,217MMM 2c1cc =+=

- RJEENJE POMOU IZRAZA ZA POVRINU

Povrina kvadratne parabole jednaka je 2/3 povrine opisanog pravougaonika. Presjene sile dobijene primjenom ovog pravila su:

kN79,622N 1c =

kN48,700N 2c =

kN27,1323NNN 2c1cc =+=

kNm99,55)x8

3z(NM 111c1c ==

kNm09,161)2

zzz(NM 1212c2c =

+=

kNm08,217MMM 2c1cc =+=

2.UDIO ARMATURE U NOSIVOSTI PRESJEKA

ssss A)(N =

Ako je : s yd )z(E)z( sss =

s > yd yds f)z( = ; za armaturu RA 400/500 fyd = 400/1,15 = 347,8 MN/m2

00174,0200000

8,347

E

f

s

yd

yd ===

ydsyd1s f00239,0 =>=

kN8,132306,3834782N s ==

kNm96,330)05,0

2

h(8,1323zNM ss ===

2.REAKTIVNE SILE U POPRENOM PRESJEKU

Reaktivne sile = Udio od betona + Udio od zategnute armature

kN08,13238,1323NNN scRd =+=+=

kNm0,54896,33006,217MMM scRd =+=+=

Presjek je napregnut na isto savijanje.


21

Primjer 2b

Zadano je :

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE:

Pravougaoni popreni presjek : b = 0,50m; h = 1,05m; d = 1,00m Armatura u poprenom presjeku: As = 925(44,18cm

2) MATERIJAL: Beton C 30/37: fck = 30 MN/m2; fcd = 30/1,5 = 20 MN/m2 Armatura RA 400/500: fyk = 400 MN/m

2

DEFORMACIONO STANJE POPRENOG PRESJEKA: co = -0,00215; s1 = 0,00189

1.UDIO BETONA U NOSIVOSTI PRESJEKA

m53,0xxd

0c1s0c

=

=+

; m49,015,2

253,02xx

0c1 =

=

=

MN78,2fbx3

2N cd11c ==

MN34,0)49,053,0(5,02085,0)xx(bfN 1cd2c ===

MN12,334,078,2NNN 2c1cc ==+=

MNm01,1)2

)xx(

2

h(N)x

8

3)xx(

2

h(NM 12c111cc =

+=

2.UDIO ARMATURE U NOSIVOSTI PRESJEKA

2ydsyd1s m/MN82,347f00174,000189,0 ===>=

MN54,110000

18,4482,347N s ==

MNm73,0)05,0525,0(54,1zNM ss ===

2.REAKTIVNE SILE U POPRENOM PRESJEKU

Reaktivne sile = Udio od betona + Udio od zategnute armature

MN58,154,112,3NNN scRd =+=+=

MNm74,173,001,1MMM scRd =+=+=

(Presjek napregnut na savijanje sa uzdunom silom.)

Edvin Boli

22

Primjer 3 Zadano je :

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE:

Pravougaoni popreni presjek : b = 0,30m; h = 0,60m; d = 0,55m

MATERIJAL:



STATIKI UTICAJI:

Msd = 283,26 kNm = 0,28326 MNm

2

c

ckcd N/mm 7,165,1

25ff ==

=

;

2

s

yk

yd N/mm 34815,1

400ff ==

=

Odrediti potrebnu armaturu za granino stanje nosivosti.

1. ODREIVANJE DIJAGRAMA DEFORMACIJA

Prvo moramo odrediti stanje deformacija koje je usklaeno sa pripadajuim reaktivnim unutranjim silama.

1. korak : Granino stanje deformacija 4

: slijedi -0,050

-0,0035 : za

su

cu

=

=

m 0,0360,0500,0035

0,00350,55

d x

x

d

s1cu

cu

cus1cu

=+

=

+

==

+

m 0,02060,0035

0,0020,0036

x x

x

x

cu

cp

1cp

1

cu

=

=

==

m 0,285xzz m 0,264xzz m 0,302

hz 101202 =+=====

Odreivanje reaktivnih sila u poprenom presjeku :

MN 0,0688xf3

2bN 1cdc 1 ==

( ) MN 0,0722xxfbN 1cdc 2 ==

MN 0,146NNN c2c1c1 =+=

MNm 0,0191x8

3zNM 11c1c1 =

=

MNm 0,02262

x-xzNM 12c2c2 =

=

MNm 0,0417MMM c2c1c =+=


23

Proraun kraka unutranjih sila :

m 0,286N

Me

c

cc ==

m 0,2505,03,0e s ==

m 0,536eez sc =+=

Reaktivni moment je : MNm 0,07830,5360,146zNM cr ===

MNm 0,283MMM sdrRd =

3. korak : Stanje deformacije

0,010

-0,0035

yds1

cu

==

=

m 241,0N

Me MN 577,0N

c

ccc ===

m 0,491eez MNm 0,139M scc =+==

OK! - MMNm 0,283zNM sdcr ===

csd

s NMN 0,577z

MN ===

( ) yds1syk,0.95s1s

spot. f 0,010

NA =>==

( ) cm 18,84Aa 20 6 odabrano cm 16,5810348

0,577A 224pot. ===

Edvin Boli

24

2. DIMENZIONIRANJE POMOU BLOKA NAPREZANJA

Priblino EC 2 doputa proraun sa dijagramom naprezanja u obliku pravougaonika, s tim da se netanost pokriva tako da se uzima 80 % pritisnute zone.

x0,8d c =

ccccdc dbA AfN ==

==

2

d-ddbfzNM cccdcRd

187,055,03,07,161

285,0

dbf

M

22cd

sd =

=

=

Visina pritisnute zone :

( ) m 0,140,550,261d x 261,021125,1 ===== Unutranji krak sila :

( ) m 0,493dz 896,04,01 ==== Kontrola dilatacije elika :

36,391,9261,0

1261,05,3

15,3s >=

=

=

24

yd

sdpot. cm 16,5010348493,0

283,0

fz

MA =

=

=

Minimalna armatura prema EC 2 : 24

ykmins, cm 48,210400

55,03,06,0

f

db0,6A =

=

>

22mins, cm 50,16cm 48,2db0015,0A

Maksimalna armatura prema EC 2 : 224

cmaxs, cm 50,16cm 721060,030,004,0A04,0A >===

Primjer 4

Zadano je :

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE: Pravougaoni popreni presjek : b = 0,40m; h = 0,80m; d = 0,75m MATERIJAL:

Beton C 25/30: fck = 25 MN/m2; 2

c

ckcd N/mm 7,165,1

25ff ==

=

Armatura RA 400/500: fyk = 500 MN/m2 ; 2

s

ykyd N/mm 83,34715,1

400ff ==

=

STATIKI UTICAJI: Mg = 120,00 kNm ; Mp = 80,00 kNm Potrebno je dimenzionirati presjek optereen na savijanje.

kNm 282801,51201,35M sd =+=

DIMENZIONIRANJE POMOU TABELA U PRILOZIMA


25

075,075,04,067,16

282,0

dbf

M

22cd

sd =

=

=

0789,0= ; 951,0= ; 78,2c = ; % 1,7420,00 es =>=

cm 11,34m 0,0011340,750,4

347,83

16,670,0789A 22s ==

= 2

s cm 12,07A 16 6 : Usvojeno = Primjer 5

Zadano je :

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE: Pravougaoni popreni presjek : b = 0,40m; h = 0,80m; d = 0,75m MATERIJAL:

Beton C 16/20: fck = 16 MN/m2; =0,85; 2

c

ckcd N/mm 67,105,1

16ff ==

=

Armatura RA 400/500: fyk = 400 MN/m2 ; 2

s

yk

yd N/mm 83,34715,1

400ff ==

=

STATIKI UTICAJI: Msd = 800,00 kNm

Potrebno je dimenzionirati presjek optereen na savijanje.

( )400/500RA 332,0392,075,04,067,1085,0

800,0

dbf

M gran.22

cd

sd =>=

=

=

Potrebna je armatura u pritisnutoj zoni.

MNm 771,0332,00,80,410,67,850 M dbf

M 2gran.2

cd

gran.

gran. ==

=

kNm 29771800M ==

PRITISNUTA ARMATURA As2 :

MN 0,41430,70

0,290N s2 ==

( )2

22

yd

s2s2

cm 12,32 28 2 : USVOJENO

cm 91,11m 001191,083,347

4143,0

f

NA

====

ZATEGNUTA ARMATURA :

pomou tabele : 0,332 = 4553,0= 725,0=

50,3c =

% 1,741,79 es == f

( ) cm 81,3591,1190,4111,910,750,4347,83

10,670,4553

f

Ndb

f

fA 2

yd

s2

yd

cds =+=+=+=

2a cm 42,55A 28 9 : Usvojeno =

Edvin Boli

26

Primjer 6

Zadano je :

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE: Pravougaoni popreni presjek : b = 0,30m; h = 0,60m; d = 0,55m

MATERIJAL:



STATIKI UTICAJI:

Msd = 520,00 kNm

Nsd = 200,00 kN

2

c

ckcd N/mm 67,105,1

16ff ==

=

2

s

ykyd N/mm 83,34715,1

400ff ==

=

Potrebno je dimenzionirati presjek optereen na savijanje i normalnu silu.

MOMENAT U ODNOSU NA TEITE ARMATURE :

MNm 470,025,0200,0520,0zNMM ssdsdssd, ===

oo

ooo

o 5,3 ; 62,3 0,8012; 311,055,03,067,16

470,0

dbf

M cs22

cd

sd ===

=

=

=

0727,055,03,067,16

200,0

dbf

N

cd

sd =

=

=

22

yd

sd

yd

ssd,s cm 4,36m 00364,000057,000307,083,347

200,0

83,34755,08012,0

470,0

f

N

df

MA ==+=+

=+

=

betonske konstrukcije i - part 1

Documents