bevægelse i (lineære) magnetfelter 4: mange elementer • bevægelse igennem række elementer •...
TRANSCRIPT
11/11/2009
1
Moderne acceleratorers fysik og anvendelseForelæsning 4
Lineær Beam Optik - betafunktion
Wille kapitel 3.7 til og med 3.13RepetitionBetafunktion og betatron bevægelseFaserumBeam størrelse og emmitansUdregning af betafunktionMatchning af betafunktionerCirkulære acceleratorerCirkulære acceleratorerEksempel (WinAgile)
Repetition 1: Bevægelse i magnetfelt
• Bevægelse i (lineære) magnetfelter– Hill’s ligning
– R er afbøjningsradius i dipol magnet– k er fokuseringsstyrken (af en Quadrupol)
• k negativ: horisontalt fokuserede • k positiv: horisontalt defokuserede
11/11/2009
2
Repetition 2: Matrix transformation
• For en partikel transformeres sted og vinkel gennem et element via en transfer matrixmatrix
Repetition 3: Matricerne
• Matricer for udvalgte elementer
PS: samme matricer som i optik (lasere)
11/11/2009
3
Repetition 4: Mange elementer
• Bevægelse igennem række elementer
• Dispersion
• Man indfører Δp/p som 3. element i matrix beskrivelsen
Repetition 5: Dispersion
ppsDx Δ
⋅=Δ )(
Man indfører Δp/p som 3. element i matrix beskrivelsen
– Hvor m11, m12, m21, og m22 er de samme som før
11/11/2009
4
Størrelse Wille (os) Ofte også brugtAfbøjning radius i magnet R ρVertikal koordinat z y
Symboler
Vertikal koordinat z y
• Indtil nu: Enkelt partikel bevægelse• Nu: partiklernes indhylningskurve• Starter igen med Hill’s ligning
Betafunktion 1
Starter igen med Hill s ligning– Sætter 1/R=0 og Δp/p=0
• Begrænser os til en dimension, dvs
• Hvis k konstant (og <0), så x=Acos(√|k|·s+φ)
11/11/2009
5
• Hill’s ligning:
• Test løsning:
Betafunktion 2
• Amplituden og fasetilvæksten varierer som funktion af s
• Indsættelse giver (1)(2)
• (2) har løsningen( ) g
• som ved indsættelse i (1) giversom dog ikke har nogen analytisk løsning
• Variabel skift: og 2A=ε
• Løsningen til Hill’s ligning bliver da
Betafunktion 3
• Med
• β(s): Betafunktionen (enhed af meter)– Beskriver hvordan den maksimale amplitude i bevægelsen
afhænger af s, afhænger af det magnetiske layout• Ψ(s): Fasetilvækst funktionen, afhænger af det magnetiske layout
• ε er en konstant, som bestemmer den maksimale amplitude (pt. for den enkelte partikel)– ε kaldes emittansen, afhænger af partiklen
• φ er den enkelte partikels (individuelle) faseoffset• Indhylningskurven er givet ved:
11/11/2009
6
Betafunktion 4
• Lad os igen betragte betatron bevægelsen
Betatron ”Bølgelængde”
⎞⎛ 2• Analogt til en harmonisk bølge
kan man også tale om en (lokal) betatron bølgelængde λb
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= xy
λπ2sin
)(1)(2s
sb βλπ
=Ψ′=
βλ )(s⇓
vejlængdeperstenfasetilvæker2
bλπ
• Når beta er lille er bølgelængde kort og omvendt– som det også ses på foregående figur
πλ
2b =
11/11/2009
7
• Position og vinkel af en partikel
Betafunktion 5: emittansellipsen
• hvor
• Sammenskriver man de to ligninger og eliminereog fås
• Hvilket beskriver en ellipse i (x, x’)-rum
Betafunktion 6: emittansellipsen
(α, β og γ kaldes ogsåTwiss eller Courant-Snyder parametre)
11/11/2009
8
Betafunktion 7: emittansellipsen
Betafunktion
ittemittansellipse
• For konservative kræfter gælder at arealet af faserumsellipsen er bevaret
Emittansellipsen: Louville’s teorem
• Vi kan ændre formen, men aldrig arealet• Gælder (strengt) for en enkelt partikel og (mestendels)
for et ensemble af partikler
11/11/2009
9
• Indtil nu har vi betragtet en enkelt partikel– men i en rigtig stråle har vi mange partikler
• Disse vil (oftest) følge en Gauss-fordeling
Beam størrelse og emittans
med givne spredninger σx og σz
• En partikel med position σx vil haveen emittans εx,std givet ved,
Denne emittans kalder vi strålens emittans (og benævnes oftes blot εx)
• Tilsvarende med εz
)(, sstdxx βεσ =
• Dimensionen for emittans er [længde]*[vinkel]• med enheden m·rad
– Ofte bruges mmmrad (millimeter milli-radian)
Emittans
• samme som µmrad (10-6 mrad)
– eller nmrad (10-9 mrad)
• Bemærk, at mange (specielt for proton maskiner) ofte bruger begrebet emittans for arealet af faserumsellipsen– Man vil da ofte skrive ε=5πµmrad
• Bemærk også at rad er ”dimensionsløs”, så ved udregning af f.eks. en strålestørrelse ”forsvinder” rad
mmmmrad 111 =⋅== μεβσ
11/11/2009
10
• Strålens størrelse vil variere rundt i maskinen (∝√β)• Samtidig vil vakuumkammerets størrelse d variere• Hvor er mindst, er der mindst plads
Acceptants
Hvor er mindst, er der mindst plads• Vi definere nu den transversale acceptants A som
som er den største emittansen partikel kan have
• Antag at vi kender betafunktionen et givet sted s0
Udregning af betafunktionen
• Wille viser nu at betafunktionen på stedet s1 er givet ved
hvor M er transfermatrixen fra s0 til s1
Will i å d lt ti f• Wille viser også den alternative form
• Brug af computer programmer (WinAgile, MAD, MatLab Acc. Toolbox)
11/11/2009
11
• Vælg et symmetripunkt med betafunktion β*, og α*=0• Så har vi
Betafunktionen omkring en waist (symmetri punkt)
altsåTo ellipser for s=0
*1εβ
*2/ βε
• Det er ret let at vise (Wille kap 3.11) at har man de optiske værdier (β, α, og faseskiftet Ψ) i to punkter s, og s0, så kan man udregne transfermatricen mellem de to
Transfermatricen fra de optiske funktioner
punkter ud fra
11/11/2009
12
• Ofte har man en transportlinie, hvor de optiske funktioner er givet ved indgang og udgang
• Opgaven er da at vælge de optiske elementers styrke (k)
Matching 1
og position så transportlinien transformere de optiske funktioner på den ønskede måde
• Der er generelt ingen analytisk løsning på matchingen• Derfor gæt og iterer
Matching 2
• Wille angiver en metode hvor man ved hjælp af afledte kommer tættere på en løsning– Én dimensional
– Også for n-dimensionalOgså o d e s o a
• Alternativt kan man bruge least-squares-metoder
• Brug for computere– Normalt indbygget i lattice programmer (WinAgile)
11/11/2009
13
• Lad os nu betragte en cirkulær accelerator• Vi har da den periodiske betingelse, L er omkredsen
Periodisk løsning i cirkulær accelerator 1
• Dvs.
• Eller eksplicit
hvor
rev
kan løses (selv om det ikke er let) og resultatet er
Periodisk løsning i cirkulær accelerator 2
• Dvs. ud fra transfermatricen kan vi udregne betafunktionen (og dermed alt andet)
• Da β skal være reel (og positiv) må det gælde at
rev
β ( g p ) g
• Ved brug af det(M)=1 (Wille 3.73) ses det at være det samme som
• Hvilket altså er en nødvendig betingelse for stabilitet
2)Tr( 2211 <+= mmMrev
Bemærk trykfejl i lign. 3.182
11/11/2009
14
• Tilsvarende fås for dispersionen
Periodisk løsning i cirkulær accelerator 3
• Som giver
• Hvis vi igen finder transfermatricen fra de optiske værdier
Periodisk løsning i cirkulær accelerator 4
• og benytter at for en hel omgang er β=β0, α=α0, og sætter μ=Ψ(fasetilvæksten for en hel omgang), får vi
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
+= μαμμ
βα
μβμαμ
sincossin1sinsincos
2revM Tune:
Q=μ/2πantal svingninger• Heraf ses også let at
• For et symmetripunkt er α= 0 og vi får2cos2)Tr( <⋅= μrevM
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= μμ
β
μβμ
cossin1sincos
revM
antal svingninger per omgang
11/11/2009
15
• For et symmetri punkt er de afledtenul, dvs.
Symmetri punkter
• Det gør udregning af betaværdier lidt simplere
• og vi får et par yderlige betingelser for stabilt lattice
• For en cirkulær accelerator (ring) definere man ringens middelradius Rm som (engelsk ’mean radius’)
Middelradius
2LR =
hvor L er ringens omkreds• Det er et begreb der ofte (mest) benyttes for de store ringe (LHC,
SPS, …), som jo på grund af de høje energier (små afbøjninger) får mange dipoler, så ringens form tilnærmelsesvis er cirkulær.
• Pas på med ikke at forveksleen rings middelradius med
π2Rm
gafbøjningsradius i ringens dipoler.
– Man vil ofte se R brugt som middelradius og så ρ som afbøjningsradius
11/11/2009
16
• Betafunktion (β(s)): Beskriver ”ALT”– Giver formen af partikelbevægelsens indhylningskurve– Beamstørrelse:
Opsummering
)(sβεσ ⋅=– Udregnes ud fra transfermatricerne (vha. computer)
• Emittans (ε): Faserumsareal (på nær π)– Bestemmer amplituden af indhylningskurven
• Dispersion (D(s)): Proportionaliteten mellem positionsskift og impulsafvigelse– Positionsskift:
ppsDx Δ
⋅=Δ )(
• ”Ingeniør”-formler– Stivhed:
– Fokuseringsstyrke:
p
][2998.0]/[][][][eQcGeVpmRTBTmB
⋅=⋅=ρ
][]/[
]/[]/[][2998.0][ 2
TmBmTg
mGevpmTgeQmk
ρ=
⋅⋅=−
ASTRID lattice
11/11/2009
17
Beam envelope og β
Beam envelope = βε ε er konstant, men β=β(s)
Ti omgange i ASTRID. I løbet af mange omgange udfyldeshele arealet indenfor beam envelope. Bemærk sammenhængen mellem β og λ.Rækkefølge: Rød, pink, sort, grøn, sort, …
FODO lattice
• Bemærk at βx er stor ved QF og lille ved QD
11/11/2009
18
Dispersion Revisited: Gravitationel analogi
• Hvorfor falder partiklerne ikke nedenud af maskinen pga. tyngdekraften?– Beamet kommer til at ligge lidt under aksen, og får en større
fb j i d i F lafbøjning opad i F-qpolerne– Afbøjning: , hvor Bρ er stivhedenklz
BlB
z q =Δ
=′Δρ)(
Dispersion Revisited 2
• En partikel med lav impuls afbøjes mere i en magnet
• Der vil blive dannet en ny lukket bane, som er forskudt Forskydningen er givet ud fraer forskudt. Forskydningen er givet ud fra dispersionsfunktionen D(s) (enhed meter)
ppsDx Δ
⋅=Δ )( D~1-10 m, Δp/p~10-4-10-3
Δx~1 mm
11/11/2009
19
• WinAgile: Eksempel 3.13.3 (s. 98)
Demonstration