1

1. Ñèñòåì òýãøèòãýëèéã À. Êðàìåðèéí ä¿ðìýýð áîä. Á. Óðâóó ìàòðèöûí àðãààð áîä.

1.

59971637

28342

zyxzyxzyx

2.

10516352

zyzxyx

3.

36511101523515327

zyxzyxzyx

4.

420

zyxzyxzyx

5.

030

zyxzyxzyx

6.

8271335

42

zyxzyx

zyx

7.

5978167328324

zyxzyx

zyx

8.

10516352

zxzyyx

9.

756173236

zyxyzyx

10.

756173236

zyxyzyx

11.

42

0

zyxzyx

zyx

12.

42

0

zyxzyx

zyx

13.

8721533

42

zyxzyx

zyx

14.

59971367

28492

zyxzyxzyx

15.

10316352

zyyxzx

16.

3611510153251237

zyxzyxzyx

17.

420

zyxzyxzyx

18.

420

zyxzyxzyx

19.

8271353

42

zyxzyx

zyx

20.

57881736

28249

zyxzyx

zyx

21.

70516352

xyzxzy

22.

36101051553215723

zyxzyxzyx

23.

020

zyxzyxzyx

24.

42

0

zyxzyx

zyx

25.

8271335

42

zyxzyx

zyx

26.

5799176328294

zyxzyx

zyx

27.

10516352

yxzyzx

2

28.

361051115523

15732

zyxzyx

zyx

29.

42

0

zyxzyx

zyx

30.

42

0

zyxzyx

zyx

2. ªãºãäñºí âåêòîðóóä øóãàìàí õàìààðàëòàéýñýõèéã òîãòîî.

2.1. a=(1;3;2) b

=(1;-1;3) c

=(-1;1;3) d

=(3;3;2)

2.2. a=(1;-2;3) b

=(1;-3;1) c

=(1;-3;1) d

=(1;-1;5)

2.3. a=(1;2;3) b

=(3;-1;0) c

=(3;-1;0) d

=(-1;-3;-2)

2.4. a=(1;3;-1) b

=(1;5;-1) c

=(1;5;-1) d

=(3;1;2)

2.5. a=(0;1;-1) b

=(1;3;1) c

=(1;3;1) d

=(2;3;1)

2.6. a=(5;1;2) b

=(2;-1;-3) c

=(2;-1;-3) d

=(2;1;1)

2.7. a=(3;-1;2) b

=(3;1;2) c

=(3;1;2) d

=(-3;1;-2)

2.8. a=(-1;4;3) b

=(-2;-3;2) c

=(-2;-3;2) d

=(0;8;3)

2.9. a=(3;-1;2) b

=(2;-2;1) c

=(2;-2;1) d

=(2;-1;3)

2.10. a=(0;1;-1) b

=(1;0;1) c

=(1;0;1) d

=(-1;1;0)

2.11. a=(2;-3;2) b

=(-1;1;1) c

=(1;-3;1) d

=(-1;1;1)

2.12. a=(3;2;1) b

=(2;-3;1) c

=(3;2;1) d

=(2;-3;1)

2.13. a=(3;1;1) b

=(1;-3;1) c

=(-1;1;3) d

=(1;-3;1)

2.14. a=(2;-2;0) b

=(1;-1;0) c

=(1;-1;0) d

=(1;2;1)

2.15. a=(-1;2;2) b

=(1;0;-6) c

=(1;0;-6) d

=(1;0;-3)

2.16. a=(1;2;-1) b

=(2;0;1) c

=(1;1;1) d

=(1;2;-1)

2.17. a=(1;2;-1) b

=(-1;3;-2) c

=(-1;-2;1) d

=(2;3;-1)

2.18. a=(-1;3;3) b

=(0;2;2) c

=(0;1;1) d

=(2;1;1)

2.19. a=(-3;3;2) b

=(4;-4;2) c

=(-2;1;6) d

=(-2;2;1)

2.20. a=(1;2;0) b

=(1;0;3) c

=(0;1;-2) d

=(-1;-2;0)

2.21. a=(6;-2;-4) b

=(-1;1;1) c

=(0;3;-3) d

=(3;-1;-2)

2.22. a=(1;3;-1) b

=(1;2;-2) c

=(1;3;-2) d

=(1;0;-1)

2.23. a=(2;-1;3) b

=(1;-1;-1) c

=(0;-1;1) d

=(2;-2;-2)

2.24. a=(1;3;-1) b

=(2;0;1) c

=(2;-1;0) d

=(-2;0;-1)

2.25. a=(-3;2;1) b

=(3;1;-2) c

=(1;1;-1) d

=(3;-2;1)

3

2.26. a=(3;1;-1) b

=(2;1;-2) c

=(6;2;-2) d

=(1;3;2)

2.27. a=(1;2;6) b

=(-1;3;-6) c

=(0;2;-4) d

=(0;-1;4)

2.28. a=(-1;4;1) b

=(-2;0;1) c

=(-2;-3;0) d

=(2;0;-1)

2.29. a=(1;1;4) b

=(2;-1;5) c

=(5;-1;2) d

=(-1;-1;-4)

2.30. a=(2;1;-1) b

=(1;2;1) c

=(-2;-1;1) d

=(3;0;1)

3. Òîéðãèéí òºâ áà ðàäèóñûã îë.

3.1. 03522 yxyx 3.2. 04222 yxyx

3.3. 014633 22 yxyx 3.4. 056241022 yxyx

3.5. 08622 yxyx 3.6. 0622 xyx

3.7. 0318822 yxyx 3.8. 0176622 yxyx

3.9. 022222 yxyx 3.10. 017233 22 yxyx

3.11. 016222 yxyx 3.12. 066222 yxyx

3.13. 050122433 22 yxyx 3.14. 036222 yxyx

3.15. 0222 22 yxyx 3.16. 013304545 22 xyx

3.17. 0412020 22 yyx 3.18. 0141644 22 yxyx

3.19. 08622 xyx 3.20. 014222 yxyx

3.21. 0264644 22 yxyx 3.22. 04222 yxyx

3.23. 0512121818 22 yxyx 3.24. 03982444 22 yxyx

3.25. 048307575 22 yyx 3.26. 0321299 22 xyx

3.27. 073481688 22 yxyx 3.28. 022422 yxyx

3.29. 03342444 22 yxyx 3.30. 0321299 22 yyx

4. Âåêòîðóóä ïåðïåíäèêóëÿð áàéõ óòãûã îë.

Âàðèàíò ¹ 1- 15. Õýðýâ |||,| ba ºãºãäñºí áîë -èéí óòãàíä

baba , âåêòîðóóä õàðèëöàí ïåðïåíäèêóëÿð áàéõ âý?

4.1. || a

4 || b

10 4.2. || a

4 || b

6

4

4.3. || a

3 || b

5 4.4. || a

3 || b

6

4.5. || a

10 || b

8 4.6. || a

10 || b

5

4.7. || a

4 || b

1 4.8. || a

4 || b

3

4.9. || a

1 || b

2 4.10. || a

5 || b

2

4.11. || a

10 || b

20 4.12. || a

12 || b

9

4.13. || a

5 || b

3 4.14. || a

6 || b

8

4.15. || a

12 || b

10

Âàðèàíò ¹ 16- 30. -èéí ÿìàð óòãàíä ba

, âåêòîðóóä õàðèëöàí

ïåðïåíäèêóëÿð áàéõ âý?

4.16. a=( ;-3;2) b

=(2;-3;-1) 4.17. a

=( ;-3 ;1) b

=(1;2;- )

4.18. a=(2 ;3;2) b

=(1;2;-3 ) 4.19. a

=(1;3 ;2) b

=(2;3 ;-3)

4.20. a=( ;4;-4 ) b

=( ;-1;1) 4.21. a

=( ;2;- ) b

=(-1;2;4)

4.22. a=(2;8;-3) b

=(- ;3;3 ) 4.23. a

=( ;-2;2) b

=(-4;5;3 )

4.24. a=( ;2;5 ) b

=(-2;9;4) 4.25. a

=(2 ;- ;4) b

=(1;2;-3)

4.26. a=(3 ;-4;2) b

=(1;2;- ) 4.27. a

=(2;-3;4 ) b

=(2 ;4;1)

4.28. a=(1;2 ;5) b

=(2 ;-5;4) 4.29. a

=(5;4;-3) b

=(5 ;-5;0)

4.30. a=(3 ;2;- ) b

=(1;2;4)

5. Äàðààõ ïðîåêöèéã îë.

Âàðèàíò ¹ 1- 10. a âåêòîðûí b

âåêòîð äýýðõ ïðîåêöèéã îë.

5.1. a=(1;-2;2) b

=(5;4;-3) 5.2. a

=(2;4;1) b

=(-1;9;4)

5.3. a=(3;1;5) b

=(10;-3;4) 5.4. a

=(-2;1;1) b

=(4;4;-2)

5.5. a=(5;2;5) b

=(2;-1;2) 5.6. a

=(3;2;3) b

=(3;4;0)

5.7. a=(3;5;-1) b

=(0;8;-6) 5.8. a

=(3;2;1) b

=(-4;4;2)

5.9. a=(2;4;6) b

=(-1;2;1) 5.10. a

=(0;5;-3) b

=(1;-2;3)

Âàðèàíò ¹ 11- 20. c , ,

ba âåêòîðóóä ºãºãäñºí áîë ba

23 âåêòîðûí c

äýýðõ ïðîåêöèéã îë.

5.11. a=(-2;1;1) b

=(1;5;0) c

=(4;4;-2)

5.12. a=(-1;1;2) b

=(1;2;1) c

=(2;-2;1)

5.13. a=(3;-2;1) b

=(6;2;3) c

=(3;1;1)

5.14. a=(1;-2;-1) b

=(8;6;0) c

=(1;1;1)

5

5.15. a=(-2;4;0) b

=(1;3;-5) c

=(6;-1;-2)

5.16. a=(4;1;2) b

=(-4;0;2) c

=(8;-1;1)

5.17. a=(5;2;1) b

=(-3;1;2) c

=(5;-4;-1)

5.18. a=(2;-2;-1) b

=(1;2;3) c

=(5;-6;0)

5.19. a=(1;4;-2) b

=(-4;5;-2) c

=(8;-2;-1)

5.20. a=(3;-1;7) b

=(4;-5;0) c

=(2;-1;3)

Âàðèàíò ¹ 21- 30. c , ,

ba âåêòîðóóä ºãºãäñºí áîë b

5c3 âåêòîðûí a

äýýðõ ïðîåêöèéã îë.5.21. a

=(8;-1;1) b

=(4;1;2) c=(-4;0;2)

5.22. a=(5;-4;-1) b

=(5;2;1) c

=(-3;1;2)

5.23. a=(5;-6;0) b

=(2;-2;-1) c

=(1;2;3)

5.24. a=(8;-2;-1) b

=(1;4;-2) c

=(-4;5;-2)

5.25. a=(2;-1;3) b

=(3;-1;7) c

=(4;-5;0)

5.26. a=(-2;1;1) b

=(4;4;-2) c

=(1;5;0)

5.27. a=(1;1;2) b

=(2;2;1) c

=(-1;2;1)

5.28. a=(3;-2;1) b

=(3;1;1) c

=(6;2;3)

5.29. a=(1;-2;-1) b

=(1;1;1) c

=(8;-6;0)

5.30. a=(-2;4;0) b

=(6;-1;-2) c

=(1;3;-5)

6. Öýãýýñ ºãºãäñºí øóëóóíä áóóëãàñàí ïåðïåíäèêóëÿðûí òýãøèòãýë çîõèî.

6.1. À(-1;-1;2) öýã, L:1

1

3

2

2

3

zyx

øóëóóí

6.2. B(4;3;-5) öýã, L:3

5

1

3

1

2

zyx

øóëóóí

6.3. C(-2;-3;0) öýã, L:2

1

4

3

2

1

zyx

øóëóóí

6.4. D(0;-1;4) öýã, L:0

6

1

4

3

5

zyx

øóëóóí

6.5. F(2;-3;5) öýã, L:2

1

3

1

1

2

zyx

øóëóóí

6

6.6. E(1;3;-7) öýã, L:3

4

5

3

1

2

zyx

øóëóóí

6.7. À(2;-1;4) öýã, L:2

5

0

1

4

1

zyx øóëóóí

6.8. B(-1;0;1) öýã, L:4

8

1

2

2

3

zyx

øóëóóí

6.9. C(2;-2;1) öýã, L:2

2

4

1

3

5

zyx

øóëóóí

6.10. D(0;-1;2) öýã, L:2

4

41

9

zyx

øóëóóí

6.11. E(4;0;-3) öýã, L:4

5

1

1

2

1

zyx

øóëóóí

6.12. F(2;3;0) öýã, L:2

3

1

2

4

3

zyx

øóëóóí

6.13. G(-1;5;9) öýã, L:5

2

1

1

0

5

zyx

øóëóóí

6.14. H(-2;6;12) öýã, L: 2

4

4

1

3

6

zyx

øóëóóí

6.15. M(1;-3;10) öýã, L: 01

1

2

6 zyx

øóëóóí

6.16. N(1;4;13) öýã, L:3

7

52

3

zyx øóëóóí

6.17. K(3;3;6) öýã, L:1

3

5

1

0

2

zyx øóëóóí

6.18. P(2;4;8) öýã, L:24

1

1

6

zyx

øóëóóí

6.19. Q(1;-2;4) öýã, L:0

3

1

1

5

2

zyx

øóëóóí

6.20. S(3;5;8) öýã, L:1

4

2

3

3

2

zyx

øóëóóí

7

6.21. T(1;-3;2) öýã, L:1

3

2

5

3

1

zyx

øóëóóí

6.22. K(-1;2;3) öýã, L:1

4

0

4

2

6

zyx

øóëóóí

6.23. L(5;2;6) öýã, L:2

3

1

2

3

1

zyx

øóëóóí

6.24. M(2;5;3) öýã, L:14

2

1

4

zyx

øóëóóí

6.25. N(3;4;4) öýã, L:3

7

2

1

1

1

zyx

øóëóóí

6.26. X(6;-1;7) öýã, L:3

5

2

1

1

4

zyx

øóëóóí

6.27. Z(1;6;2) öýã, L:1

3

0

5

2

1

zyx

øóëóóí

6.28. Y(1;0;-3) öýã, L:2

4

1

4

3

6

zyx

øóëóóí

6.29. Q(4;0;8) öýã, L:1

3

4

2

1

1

zyx

øóëóóí

6.30. R(-1;4;3) öýã, L:4

1

2

2

0

4

zyx

øóëóóí

7. Õàâòãàéí òýãøèòãýë áè÷.Âàðèàíò ¹ 1-10. À, Â, Ñ öýã¿¿äèéã äàéðñàí õàâòãàéí

òýãøèòãýë áè÷.7.1. À(2;4;8) B(6;1;7) C(0;2;3) 7.2. À(1;-2;4) B(1;6;2) C(1;0;-2)7.3. À(3;5;8) B(-1;0;5) C(-1;1;2) 7.4. À(1;-3;2) B(7;0;8) C(2;-1;4)

7.5. À(0;1;1) B(1;2;3) C(-1;0;1) 7.6. À(-1;1;2) B(-1;0;5) C(2;-2;1)7.7. À(1;4;1) B(2;3;-1) C(0;-1;0) 7.8. À(0;1;1) B(2;7;1) C(1;0;-1)7.9. À(1;6;2) B(-1;0;2) C(1;2;0) 7.10. À(1;2;0) B(2;3;0) C(0;3;2)

Âàðèàíò ¹ 11-20. ªãºãäñºí õàâòãàéä ïåðïåíäèêóëÿð À, Âöýã¿¿äèéã äàéðñàí õàâòãàéí òýãøèòãýë áè÷.

7.11. 0925 zyx , À(2;0;-1), B(2;2;1)

7.12. 02 zyx , À(-2;3;1), B(-1;1;-3)

8

7.13. 0334 zyx , À(-2;1;-1), B(-1;5;1)

7.14. 0443 zyx , À(-3;3;3), B(0;-1;0)

7.15. 09952 zyx , À(0;2;3), B(-2;0;1)

7.16. 0874 zyx , À(1;0;-2), B(-1;4;0)

7.17. 012 zyx , À(0;1;1), B(2;1;-1)

7.18. 01385 zyx , À(-1;1;2), B(2;3;3)

7.19. 02525 zyx , À(1;2;3), B(1;1;0)

7.20. 052 zyx , À(-1;0;5), B(-5;-2;1)

Âàðèàíò ¹ 21-30. OZ òýíõëýãòýé ïàðàëëåëü áºãººä À, Âöýã¿¿äèéã äàéðñàí õàâòãàéí òýãøèòãýë áè÷.

7.21. À(1;-2;4) B(6;1;7) 7.22. À(2;4;8) B(1;6;2)7.23. À(1;-3;2) B(-1;0;5) 7.24. À(3;5;8) B(7;0;8)

7.25. À(-1;1;2) B(1;2;3) 7.26. À(0;1;1) B(-1;0;5)7.27. À(0;1;1) B(2;3;-1) 7.28. À(1;4;1) B(2;7;1)7.29. À(1;2;0) B(-1;0;2) 7.30. À(1;6;2) B(2;3;0)

8. ABC ãóðâàëæíû A îðîéãîîñ òàòñàí ìåäèàíûòýãøèòãýë áè÷.

8.1. À(-2;1;3) B(2;6;1) C(0;2;-1) 8.2. À(-1;2;2) B(3;7;0) C(1;3;-2)8.3. À(0;3;1) B(4;0;3) C(-1;2;0) 8.4. À(1;4;0) B(1;0;8) C(3;-2;2)8.5. À(2;5;-1) B(3;1;3) C(-1;5;-1) 8.6. À(3;6;-2) B(0;3;4) C(-2;2;1)

8.7. À(5;0;3) B(2;1;5) C(4;-1;8) 8.8. À(6;-2;6) B(2;3;1) C(1;0;0)8.9. À(0;6;1) B(5;0;-2) C(0;2;0) 8.10. À(1;-1;0) B(2;0;1) C(1;3;2)8.11. À(5;2;1) B(3;-1;2) C(0;2;1) 8.12. À(1;1;0) B(0;1;1) C(1;0;1)

8.13. À(1;1;1) B(2;1;0) C(1;0;2) 8.14. À(1;1;2) B(2;2;0) C(2;0;2)8.15. À(2;1;1) B(0;2;3) C(2;0;3) 8.16. À(2;2;2) B(3;0;3) C(0;2;4)8.17. À(2;-1;1) B(5;5;-1) C(3;2;-1) 8.18. À(4;1;3) B(2;2;1) C(1;2;3)

8.19. À(0;0;0) B(1;4;-9) C(1;6;3) 8.20. À(2;1;3) B(2;4;0) C(1;3;8)8.21. À(7;5;2) B(1;1;1) C(4;2;-2) 8.22. À(2;-2;0) B(0;1;2) C(1;3;-2)8.23. À(2;6;4) B(1;0;5) C(3;9;4) 8.24. À(0;-1;2) B(2;1;7) C(2;7;5)

8.25. À(5;6;3) B(3;-2;3) C(4;0;-1) 8.26. À(0;-1;2) B(-1;2;5) C(1;6;0)8.27. À(4;4;3) B(-2;1;-1) C(0;1;1) 8.28. À(2;7;-7) B(0;3;1) C(2;7;-1)8.29. À(2;0;5) B(2;6;4) C(1;2;-2) 8.30. À(3;6;0) B(1;-1;4) C(0;1;1)

9

9. Õÿçãààðûã áîä.

9.1.x

x

x

x

1

1lim 9.2.

1

12

32lim

x

x

x

x

9.3.

4

212

lim

x

x

x

x

9.4.

2

3

1lim

x

x

x

x

9.5.

2

122

222lim

x

x

x

x

9.6.

1

12023

7623lim

x

xx

xx

x

9.7.

2/

152632

lim

x

xx

xx

x

9.8.

13

1

10lim

x

x

x

x

9.9.23

46

76lim

x

x

x

x9.10.

52

7223

1423lim

x

xx

xx

x

9.11.

2/

1212

lim

x

xx

xx

x

9.12.

x

xx

xx

x

3522

7522lim

9.13.

2

1

1lim

x

x

x

x

9.14.

3

3325

1325lim

x

xx

xx

x

9.15.32

13

13lim

x

x

x

x9.16.

2

1322

1722lim

x

xx

xx

x

9.17.4

5

3lim

x

x

x

x9.18.

32

1313

lim

xx

x

x

x

10

9.19.

12

91822

72122lim

x

xx

xx

x9.20.

x

x

x

x

5

110

310lim

9.21.

1

7523

523lim

x

xx

xx

x9.22.

2

1

3lim

x

x

x

x

9.23.

23

552562

lim

x

xx

xx

x9.24.

x

x

x

x

2

4lim

9.25.

2

151127

151827lim

x

xx

xx

x9.26.

1

12

12lim

x

x

x

x

9.27.

22

2313

lim

x

x

xx

x

9.28.

3

1013

313lim

x

x

x

x

9.29.

723

1222

3222lim

x

xx

xx

x9.30.

16/

7

5lim

x

x

x

x

10. Ôóíêö ºãºãäñºí öýã äýýð òàñðàëòã¿é áîëîõûã áàòàë.

10.1. ,125)( xxf 6x 10.2. ,224)( xxf 5x

10.3. ,323)( xxf 4x 10.4. ,422)( xxf 3x

10.5. ,522)( xxf 2x 10.6. ,623)( xxf 1x

10.7. ,724)( xxf 1x 10.8. ,825)( xxf 2x

10.9. ,925)( xxf 3x 10.10. ,924)( xxf 4x

10.11. ,823)( xxf 5x 10.12. ,722)( xxf 6x

10.13. ,622)( xxf 7x 10.14. ,523)( xxf 8x

10.15. ,424)( xxf 9x 10.16. ,325)( xxf 8x

10.17. ,125)( xxf 7x 10.18. ,122)( xxf 6x

11

10.19. ,223)( xxf 5x 10.20. ,322)( xxf 4x

10.21. ,422)( xxf 3x 10.22. ,523)( xxf 2x

10.23. ,624)( xxf 1x 10.24. ,725)( xxf 1x

10.25. ,824)( xxf 2x 10.26. ,923)( xxf 3x

10.27. ,922)( xxf 4x 10.28. ,822)( xxf 5x

10.29. ,723)( xxf 6x 10.30. ,624)( xxf 7x11. Ôóíêöèéí õÿçãààðûã îë.

11.1.5244

)1)(123(lim

1

xx

xxx

x11.2. 2

233lim

1 xx

xx

x

11.3.2223

2)232(lim

1

xxx

xx

x11.4.

2223

2)122(lim

1

xxx

xx

x

11.5.xxx

xx

x 3243

2)322(lim

3

11.6.

124

2)123(lim

1

xx

xx

x

11.7. 5)31(3)1(

lim0 xx

xx

x

11.8.

122

122lim

1

xx

xx

x

11.9.22232

lim1

xx

xx

x11.10.

2524337253

lim1

xxx

xxx

x

11.11.123

233lim

1

xxx

xx

x11.12.

1233523

lim1

xxx

xxx

x

11.13.233

25243lim

1

xx

xxx

x11.14.

1242

14lim

1

xx

x

x

11.15.4233

48253lim

2

xx

xxx

x11.16.

423348253

lim2

xx

xxx

x

11.17.4233

812263lim

2

xx

xxx

x11.18. 2)22(

233lim

1

xx

xx

x

12

11.19.121627348253

lim2

xxx

xxx

x11.20.

2

233lim

2

x

xx

x

11.21.122233

lim1

xx

xx

x11.22.

123122

lim1

xxx

xx

x

11.23.1242

14lim

1

xx

x

x11.24.

2223232

lim1

xxx

xx

x

11.25.2223

122lim

1

xxx

xx

x11.26.

xxx

xx

x 3243322

lim3

11.27.124123

lim1

xx

xx

x11.28. 52

)31(3)1(lim

0 xx

xx

x

11.29.122

12lim

1

xx

x

x11.30.

182123915273

lim3

xxx

xxx

x

12. Ôóíöêèéí õÿçãààðûã îë.

12.1. 2

321lim

4

x

x

x12.2. 32

31lim

8 x

x

x

12.3. 3 121

lim1

x

x

x12.4.

921213

lim3

x

xx

x

12.5.83

23 6lim

2

x

x

x12.6. 4

24lim

16

x

x

x

12.7.23

529lim

8

x

x

x12.8.

x

xxx

x

)1(221lim

0

12.9. 22

3 238lim

0 xx

xx

x

12.10. 3 42

3 273 27lim

0 xx

xx

x

13

12.11. xx

x

x 21

13lim

1

12.12. 3131

11lim

0 xx

xx

x

12.13. xx

x

x 22

23 4lim

2

12.14.

121

lim1

x

x

x

12.15. xx

x

x 23

33 9lim

3

12.16. 2

23 6lim

2

x

x

x

12.17.43 2

529lim

8

x

x

x12.18. xx

x

x 22

23 4lim

2

12.19. 2

321lim

4

x

x

x12.20. 32

31lim

8 x

x

x

12.21. 3 121

lim1

x

x

x12.22.

921213

lim3

x

xx

x

12.23.83

23 6lim

2

x

x

x12.24. 4

24lim

16

x

x

x

12.25.23

529lim

8

x

x

x12.26.

x

xxx

x

)1(221lim

0

12.27. 22

3 238lim

0 xx

xx

x

12.28. 3 42

3 273 27lim

0 xx

xx

x

12.29. xx

x

x 23

33 9lim

3

12.30. 2

23 6lim

2

x

x

x

13. Ôóíêöèéí óëàìæëàëûã îë.

13.1. axaxxxy )ln( 13.2. )22ln( axxy

13.3. )2ln(42 xxy 13.4. 41

2ln

ax

xy

14

13.5 )1ln( xxy 13.6. 22

22ln

xa

xay

13.7. )cos(2ln xxy 13.8. )cos1(3ln xy

13.9. 21

2ln

x

xy

13.10. )2/4/(ln xtgy

13.11. 421

21ln

x

xy

13.12.2

2ln

2

1

x

xxy

13.13.1

42sinln

x

xy 13.14.

tgxy

5log16log

13.15.

tgxy

2log4log 13.16. 2/))sin(ln)(cos(ln xxxy

13.17.12

32cosln

x

xy 13.18. ctgxy lnlg

13.19. 41

1log

xay

13.20. )2212ln( xtgtgxy

13.21. )21ln(arcsin xey 13.22. )41ln(arccos xey

13.23. )222ln( xbabxy 13.24.212212

lnxx

xxy

13.25. )1

ln(arccosx

y 13.26. )21ln( xexey

13.27.)2/(5

)2/(5ln

xtg

xtgy

13.28. )/1sin(

lnln

x

xy

13.29. ))1

1sin(ln(lnx

y 13.30. )2ln3ln(ln xy

14. Çýðýãò -Èëòãýã÷ ôóíêöèéí óëàìæëàëûã îë.

14.1. )ln(sin)(sin xxy 14.2. xexy 5)(sin

14.3. xexy )(arcsin 14.4. )ln(5.0)( arctgxarctgxy

15

14.5. xxy 3)(ln 14.6. xxy arcsin

14.7. xexctgy 2)3( 14.8.tgx

exy )(

14.9. xetgxy 4)( 14.10. xexy )5(cos

14.11. )sinsin()sin( xxxxy 14.12. xxy cos)5(

14.13. tgxxy )43( 14.14. 3sin xxy

14.15. xxy sin)12( 14.16. ctgxxy )54(

14.17. 2/5)(sinx

xy 14.18. xxy cos)12(

14.19. 191919 xxy 14.20. xx

xy 23

14.21. xexy/1

)(sin 14.22.ctgx

exy

14.23. xexycos

14.24. xxxy 52

14.25. xexysin

14.26. 4/ln)( tgxtgxy

14.27.arctgx

exy 14.28. tgxxy )18(

14.29. xxxy 2929 14.30. 4/)2ln(cos)2(cos xxy

15. Ïàðàìåòðò ôóíêöèéí óëàìæëàëûã îë.

15.1.

ttgy

tx

1

2115.2.

3 2)1(

1

22

ty

ttx

15.3.

)arccos(cos)arcsin(sinty

tx15.4.

2)(arccos

)21arcsin(

ty

tx

15.5.

21

)12ln(

tty

ttx15.6.

)1arcsin(

22ty

ttx

16

15.7.

ty

ctgtx2cos/1

)ln(15.8.

1

2/

tey

tarctgex

15.9.

21

1

1ln

ty

t

tx

15.10.

)21arcsin(

21

1ln

ty

tx

15.11.

21

21

t

ty

tx

15.12.

)11ln(

21ty

t

tx

15.13.

21

)1/()1(

ty

ttx15.14.

tty

tx2sin/cos

2)2cos1(

15.15.

)/1arcsin(12

)/1arccos(

tty

tx15.16.

)/)211ln((

ln/1

tty

tx

15.17.

ty

tx

1

arcsin15.18.

21/

2)(arcsin

tty

tx

15.19.

ttyttx

/)1(/)1(

15.20.

3

21

tty

tx

15.21.

arctgttytx )21ln(

15.22.

ttyttx

cos)sin1(

15.23.

32

4

tty

ttx15.24.

1213

tty

tx

15.25.

tytx

sin4cos3

15.26.

tytx

sincos2

15.27.

tty

tgtx

2sin2sin2

215.28.

tytx2cos

sin

17

15.29.

tty

tx

3214

15.30.

2

33

ty

tx

16. ªãºãäñºí ýðýìáèéí óëàìæëàëûã îë.

16.1. )1ln()722( xxy ?)5( y 16.2. xxy 2ln)23( ?)3( y

16.3. 2cos xxy ?)3( y 16.4. 12)534( xexy ?)5( y

16.5. )35sin(2 xxy ?)3( y 16.6. xxy 2ln)32( ?)3( y

16.7. 1

)1ln(

x

xy ?)3( y 16.8. 3

)1lg(

x

xy

?)3( y

16.9. 2/)(ln xxy ?)4( y 16.10. arctgxxy )21( ?)3( y

16.11. 3/)(ln xxy ?)4( y 16.12. xxy 2)34( ?)5( y

16.13. xey 21 ?)4( y 16.14. xxy cos)132( ?)4( y

16.15. xxy ln)32( ?)4( y 16.16. xexxy 5.0)21( ?)4( y

16.17. xxy 2sin/)/1( ?)3( y 16.18. )2ln()7( xxy ?)5( y

16.19. xxy 3)73( ?)4( y 16.20. xexy 5.02sin ?)4( y

16.21. x

xy

3

)3ln(?)3( y 16.22.

52

)52ln(

x

xy ?)3( y

16.23. 5/)(ln xxy ?)3( y 16.24. )31ln( xxy ?)4( y

16.25. 34)22( xexy ?)5( y 16.26. 1)122( xexy ?)4( y

16.27. xxy 2)85( ?)4( y 16.28. )2sin2(cos xxxey ?)3( y

16.29. xxy 24)59( ?)4( y 16.30. xxy 2ln)15( ?)3( y

18

17. Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëûã áîä.

17.1. dxxex 3)34( 17.2. dxxarctg 14

17.3. dxxex 3)43( 17.4. xdxx 2cos)24(

17.5. xdxx 4sin)164( 17.6. dxxex 3)25(

17.7. dxxex 2)61( 17.8. dxx )42ln(

17.9. dxx )124ln( 17.10. xdxx 2sin)42(

17.11. dxxarctg 16 17.12. dxxex 2)34(

17.13. dxxex 3)92( 17.14. dxxarctg 12

17.15. dxxarctg 13 17.16. xdxx 2cos)65(

17.17. xdxx 5cos)23( 17.18. xdxx 3cos)74(

17.19. xdxx 2cos)32( 17.20. dxxarctg 15

17.21. xdxx 4cos)52( 17.22. xdxx 5cos)38(

17.23. xdxx 3sin)5( 17.24. xdxx 2sin)32(

17.25. xdxx 5sin)34( 17.26. xdxx 4sin)107(

17.27. xdxx 3sin)82( 17.28. xdxx 2sin

17.29. x

xdx2sin

17.30. x

xdx2cos

18. Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëûã áîä.

18.1. 12xx

dx18.2.

dx

x

xln118.3.

12xx

dx

18.4.

dxx

xx 2ln218.5.

124 xx

xdx18.6.

2)12(

3

x

dxx

18.7.

dx

x

xtg

)1(2cos

)1(18.8.

dx

xx

x2)sin(

cos118.9.

dxx

xx

14

3

19

18.10. 124 xx

xdx18.11.

3 1x

xdx 18.12.

dxx

x

1

)1ln(1

18.13.

5)133(

)12(

xx

dxx18.14.

dx

x

x

42

3 18.15.

dx

xx

xx

sin22cos

18.16.

dxx

xx21

/118.17.

dx

x

x

14 18.18.

dx

xx

x2)(

12/1

18.19.

dx

x

arctgxx21

18.20.

dxx

xx21

/1 18.21.

dx

x

xarctgx241

28

18.22.

dxxx

x

)1(

118.23.

dx

x

x

12

3 18.24.

dxx

xarctgx21

4

18.25.

dx

x

xarctgx21

418.26.

dx

xx

xx5)sin(cos

cossin

18.27.

dx

xx

xx3)cos3sin2(

cos2sin318.28.

dx

xx

xxx2)sin(

cossin

18.29.

dx

x

x21

13)(arccos18.30.

dx

x

x21

12)(arcsin

19. Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëûã áîä.

19.1.

dx

xx

xxx2)2)(1(

91326319.2.

dx

xx

xxx3)2(

813263

19.3.

dx

xx

xxx3)2)(2(

61326319.4.

dx

xx

xxx3)2)(1(

1014263

19.5.

dx

xx

xxx3)2)(2(

101126319.6.

dx

xx

xxx3)2)(1(

711263

19.7.

dx

xx

xxx3)1)(1(

17263219.8.

dx

xx

xxx3)2)(1(

1010263

20

19.9.

dx

xx

xxx3)1(

27263219.10.

dx

x

xxx3)2(

813263

19.11.

dx

xx

xxx3)2)(1(

71326319.12.

dx

xx

xxx3)2)(1(

614263

19.13.

dx

xx

xxx3)2)(1(

101026319.14.

dx

xx

xx3)2(

23

19.15.

dx

xx

xxx3)1)(1(

210293319.16.

dx

xx

xx3)1(

132

19.17.

dx

xx

xxx3)1)(2(

47263219.18.

dx

xx

xxx3)1)(2(

52632

19.19.

dx

xx

xxx3)1)(2(

7263219.20.

dx

xx

xxx3)1)(2(

452632

19.21.

dx

xx

xxx3)2)(1(

24426319.22.

dx

xx

xxx3)2)(2(

414263

19.23.

dx

xx

xxx3)2)(2(

41826319.24.

dx

xx

xxx3)2)(2(

1210263

19.25.

dx

xx

xxx3)2)(2(

41426319.26.

dx

xx

xxx3)2)(2(

215263

19.27.

dx

xx

xxx3)1)(2(

47263219.28.

dx

xx

xxx3)1)(2(

72632

19.29.

dx

xx

xxx3)2)(2(

521026319.30.

dx

xx

xxx3)2)(2(

613263

21

20. Òîäîðõîé èíòåãðàëûã îë.

20.1.

12

1 1

)1ln(1e

edx

x

x20.2.

2

2 12xx

dx20.3.

3

0 21

4dx

x

xarctgx

20.4. 1

0 2)133(

)12(

xx

dxx20.5.

9

23 1x

xdx20.6.

3

0 21dx

x

arctgxx

20.7.

3

2 124 xx

xdx20.8.

1

0 14

3dx

xxx

20.9.

1sin

0 21

12)(arcsin dxx

x

20.10.

1

0 124 xx

xdx20.11.

1

0 12

3dx

x

x20.12.

2/1

0 21

13)(arccos dxx

x

20.13. 2/1

0 241

28 dxx

xarctgx20.14.

8

3 21

/1 dxx

xx20.15.

4/

0 5)sin(cos

cossindx

xx

xx

20.16.

0

1 )1(2cos

)1( dxx

xtg20.17.

8

3 21

/1 dxx

xx20.18.

2/

4/ 2)sin(

cossin

dx

xx

xxx

20.19.

1

0 21

4 dxx

xarctgx20.20.

2

0 42

3dx

x

x20.21.

1

0 2)133(

)12(

xx

dxx

20.22. 3

1 )1(1 dx

xxx

20.23.

1

0 2)12(

3

x

dxx20.24.

4

1 2)(

12/1 dxxx

x

20.25.

2

2)sin(

cos1 dxxx

x20.26.

1

0 14dx

x

x20.27.

2

sin22cos

xx

xx

20.28.

8

3 21 xx

dx20.29.

edx

xx

1

ln120.30.

edx

xxx

1

2ln2

21. Òîäîðõîé èíòåãðàëûã áîä.

21.1.

22

2/ )cos1(2sin

arctg

xx

dx

21.2.

2/

0 cos2cos

xxdx

21.3.

22

2/ )cos1(2sin

arctg

xx

dx

21.4.

2/

5.02 3)cos1(

cos

arctg x

xdx21.5.

2/

0 2)sin1(

sincosdx

x

xx21.6.

32

22 )cos1(cos

arctg

arctg xxdx

21.7.

5.02

3/12 )sin1(sin

arctg

arctg xxdx

21.8. 2/

0 cos45cos

dxx

x21.9.

2/

22 )cossin1(

arctg xxdx

22

21.10. 2/3

0 cossin1)sin1(

xxdxx

21.11. 2/

0 sin35sin

dxx

x21.12.

2/

0 cossin1)cos1(

xxdxx

21.13. 2/

3/ cossin1cos

xxxdx

21.14. 2/

0 sin2sin

dxx

x21.15.

2/

0 cossin1sin

xxxdx

21.16. 2/12

0 2)sin1(

sin1arctgdx

x

x21.17.

2/

0 2)sin1(

sin

x

xdx 21.18.

4/

0 )cos1(cos

xx

dx

21.19.

0

3/2 )sincos1(cos

xxxdx

21.20.

0

2/ cossin1cos

xxxdx

21.21.

2/

0 2)cossin1(

cos

xx

xdx21.22.

2/12

0 )cos1(2sin

sinarctg

xx

xdx

21.23.

2/

0 2)cossin1(

sin

xx

xdx21.24.

0

2/ 2)cossin1(

sin

xx

xdx

21.25.

0

3/2 2)cossin1(

2cos

xx

xdx21.26.

2/

0 2)cossin1(

2sin

xx

xdx

21.27.

3/2

0 2)cossin1(

2cos

xx

xdx21.28.

2/

0 cossin1sin

xxxdx

21.29.

2/

0 2)cossin1(

xx

dx21.30.

3/12

0 )sin1)(cos1(cosarctg

xxxdx

22. Òîäîðõîé èíòåãðàëûã áîä.

22.1. 16

0

2256 dxx 22.2. 1

0

212 dxxx 22.3.

5

0 225)225( xx

dx

22.4.

3

03/2)29( x

dx22.5.

2/5

0 3)25( x

dx22.6.

2

14

12

x

x

22.7.

2/2

0 3)21(

4

x

dxx22.8.

3

0 3)24( x

dx22.9.

1

03)22(

4

x

dxx

22.10.

2

0 216

2

x

dxx22.11.

2

0

24 dxx 22.12.

4

02/3)216( x

dx

22.13. 4

0

2162 dxxx 22.14.

5.2

0 225

2

x

dxx22.15.

4

0

216 dxx

23

22.16. 5

0

2252 dxxx 22.17.

34

0 3)216( x

dx22.18.

22

24

22dx

x

x

22.19.

3

3

292 dxxx 22.20.

3

1 3)21( x

dx22.21.

6

04

92dx

x

x

22.22.

22

02/3)216(

4

x

dxx22.23.

2

02/3)216( x

dx22.24.

1

0

24 dxx

22.25.

2

02/3)28(

4

x

dxx22.26.

4

24

42dx

x

x22.27.

2

02/3)24(

4

x

dxx

22.28.

2

02/3)24( x

dx22.29.

2/1

02/3)21( x

dx22.30.

1

0 24

2

x

dxx

23. Ôóíêöèéí ãðàôèêààð õÿçãààðëàãäñàíä¿ðñèéí òàëáàéã îë.

23.1. 1,0,0,24 xxyxy 23.2. xxyxy 22,24

23.3. 342,322 xxyxxy 23.4. 84,3)2( xyxy

23.5. )2/0(0,2cossin xyxxy 23.6. 0,242 yxxy

23.7. )2/0(0,2sincos xyxxy 23.8. 2ln,0,1 xyxey

23.9. 3,1,0,

ln1

1exxy

xxy

23.10. 0,29 yxxy

23.11. 22,0,0,282 xxyxxy 23.12. 12,2)1( xyxy

23.13. 2ln,0,1 yxyex 23.14. 1,0),1/( xyxxy

23.15. 0,0,arccos yxyx 23.16. 3,0, xyarctgxy

23.17. 0,24 yxxy 23.18. )2/2/(,0),cos1/(1 xyxy

23.19. 0,0,arccos xyxy 23.20. 84,3)2( yxyx

23.21. )2/0(0,2sin5cos xyxxy 23.22. yyxyx 22,24

24

23.23. 3,1,0,

ln1

1eyyx

yyx

23.24. 0,2162 yxxy

23.25. )2/0(0,cos2 xyxxy 23.26. 1,2,0,2

/1 xxy

x

xey

23.27. 0,1,0,24 yyxyx 23.28. 12,2)1( xyxy

23.29. 342,2)1(4 yyxyx 23.30. 1,0,2)12(

xyx

xy

24. Òóéëûí êîîðäèíàòàä ä¿ðñèéí òàëáàéã îëîõ

24.1. 2cosr 24.2. )2/0(,sin,cos3 rr

24.3. 3cosr 24.4. )2/0(,cos2,sin32 rr

24.5. sin6r 24.6. 2,2,3cos4 rrr

24.7. 4sin2r 24.8. 2,2,3sin4 rrr

24.9. 4cos4r 24.10. 3,3,3sin6 rrr

24.11. 6cos2r 24.12. 3,3,3cos6 rrr

24.13. sin5.0 r 24.14. )2

0(,sin,cos rr

24.15. cos5.0 r 24.16. cos2,cos rr

24.17. cos21r 24.18. sin2,sin rr

24.19. sin21r 24.20. sin5,sin3 rr

24.21. sincos r 24.22. sin4,sin6 rr

24.23. sincos r 24.24. cos)2/3(,cos)2/5( rr

24.25. sin4,sin2 rr 24.26. sin)2/3(,sin)2/5( rr

24.27. cos3,cos2 rr

24.28. )4

30(),4

cos(2,sin rr

24.29. )24

(),4

cos(2,cos rr

24.30. )4

34

(),4

sin(2),4

cos(2 rr