bilangan kromatik lokasi pada graf...
TRANSCRIPT
-
BILANGAN KROMATIK LOKASI
PADA GRAF BUKU
SKRIPSI
Maiyudi Mariska Windra Yahya
11150940000046
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2020 M / 1441 H
-
i
BILANGAN KROMATIK LOKASI PADA GRAF BUKU
Skripsi
Diajukan kepada
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Fakultas Sains dan Teknologi
Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)
Oleh:
Maiyudi Mariska Windra Yahya
11150940000046
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2020 M / 1441 H
-
ii
-
iii
LEMBAR PENGESAHAN
Skripsi ini berjudul “Bilangan Kromatik Lokasi Pada Graf Buku” yang ditulis oleh
Maiyudi Mariska Windra Yahya NIM. 11150940000046 telah diuji dan dinyatakan
lulus dalam sidang Munaqosah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri
Syarif Hidayatullah Jakarta pada hari Senin, 18 Mei 2020. Skripsi ini telah diterima
untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam memperoleh gelar sarjana strata satu (S1)
Program Studi Matematika.
Menyetujui,
Pembimbing I Pembimbing II
Dr. Nur Inayah, M.Si Wisnu Aribowo, M.Si
NIP. 19740125 200312 2 001 NUPN. 9920113332
Penguji I
Penguji II
Yanne Irene, M.Si Muhaza Liebenlito, M.Si
NIP. 19741231 200501 2 018 NIDN. 2003098802
Mengetahui,
Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Ketua Program Studi
Matematika
Prof. Dr. Lily Surayya Eka Putri, M. Env.Stud
Dr. Suma’inna, M.Si
NIP. 19690404 200501 2 005 NIP. 19791208 200701 2 015
-
iv
-
v
PERSEMBAHAN
Segala perjuangan saya hingga titik ini saya persembahkan kepada
kedua orang tua yang paling berharga dalam hidup saya, yaitu
Ayah Agus Tamar dan Ibu Winarni.
Terima kasih telah menjadi orang tua yang sempurna.
MOTTO
“Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan“
(Q.S. Al-Insyirah:6)
“Hai orang-orang yang beriman, Jadikanlah sabar dan shalatmu
sebagai penolongmu, sesungguhnya Allah beserta orang-orang yang
sabar“
(Q.S. Al-Baqarah:153)
-
vi
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Alhamdulillah, dengan memanjatkan puj dan syukur atas kehadirat Allah
SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini dengan judul “Bilangan Kromatik Lokasi pada Graf
Buku”. Tidak lupa shalawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada
baginda Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabatnya hingga pada
umatnya sampai akhir zaman.
Dalam menyelesaikan penyusunan skripsi ini, penulis mendapatkan
bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak serta bentuk kontribusi lainnya sampai
skripsi ini dapat terselesaikan. Untuk itu, pada kesempatan ini penulis ingin
menyampaikan terima kasih kepada:
1. Ibu Prof. Dr. Lily Surraya Eka Putri,M.Env.Stud, selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi Universitas Islam Negri Syarif Hidayatullah Jakartta.
2. Ibu Dr. Suma’inna, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas
Sains dan Teknologi dan Ibu Irma Fauziah, M.Si, selaku Sekretaris Program
Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi.
3. Ibu Dr. Nur Inayah, M.Si selaku Dosen Pembimbing I dan Bapak Wisnu
Aribowo, M.Si selaku Dosen Pembimbing II yang telah menyediakan
waktunya untuk memberikan bimbingan, pengarahan, motivasi, serta saran
dalam menyelesaikan skripsi ini.
4. Seluruh Ibu dan Bapak Dosen Program Studi Matematika yang telah
memberikan ilmu–ilmunya dan pengalaman yang bermanfaat selama
penulis dimasa studi.
5. Orang tua penulis, Pak Agus Tamar dan Ibu Winarni, serta adik kandung
penulis, Salwa Salsabilah, yang tidak pernah berhenti memberikan doa,
-
vii
kasih sayang, semangat, serta dukungan moril maupun materil sekaligus
menjadi motivasi terbesar penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
6. Teman seperjuangan skripsi penulis Rizki Dini Febri Anggraini yang telah
menemani penulis dalam berdiskusi, memberikan masukan serta semangat
dalam mengerjakan skripsi.
7. Kak Woro dan Kak Bagus yang telah memberikan masukan dan arahan serta
membantu dalam penulisan hingga skripsi ini dapat terselesaikan.
8. Tanjung, Rahilda dan Alun yang telah memberikan semangat untuk penulis
serta berbagi suka dan duka selama masa perkuliahan.
9. Seluruh teman – teman dari Matematika 2015 yang tidak dapat disebutkan
satu persatu. Terimakasih untuk semuanya.
10. Keluarga Himpunan Mahasiswa Matematika yang telah memberikan ilmu,
kepercayaan, dan pengalaman yang luar biasa.
11. Seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi
yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Penulis menyadari penulisan skripsi ini tidaklah sempurna. Kritik dan saran
yang membangun demi perbaikan dan penyempurnaan skripsi ini dapat
disampaikan melalui [email protected]. Akhir kata, penulis berharap
semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Aamiin.
Wassalamu’alaikum Warahmatullahi wabarakatuh
Jakarta. Mei 2020
Penulis
-
viii
DAFTAR ISI
BILANGAN KROMATIK LOKASI PADA GRAF BUKU............................... i
PERNYATAAN ..................................................................................................... ii
LEMBAR PENGESAHAN ................................................................................. iii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ........................................................... iv
PERSEMBAHAN .................................................................................................. v
MOTTO ................................................................................................................. v
KATA PENGANTAR .......................................................................................... vi
DAFTAR ISI ....................................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................. x
ABSTRAK ........................................................................................................... xii
ABSTRACT ........................................................................................................ xiii
I PENDAHULUAN ............................................................................................. 1
1.1. Latar Belakang Masalah ............................................................................ 1
1.2 Perumusan Permasalahan .......................................................................... 3
1.3 Pembatasan Permasalahan ......................................................................... 4
1.4 Tujuan Penelitian ....................................................................................... 4
1.5 Manfaat Penelitian ..................................................................................... 4
II LANDASAN TEORI ...................................................................................... 5
2.1 Konsep Dasar Graf .................................................................................... 5
2.2 Beberapa Graf Khusus ............................................................................... 8
2.2.1 Graf Lintasan ..................................................................................... 8
2.2.2 Graf Lingkaran .................................................................................. 8
2.2.3 Graf Bintang ...................................................................................... 9
2.3 Konsep Bilangan Kromatik Lokasi pada Suatu Graf ................................ 9
2.3.1 Pewarnaan Titik ................................................................................ 9
2.3.2 Dimensi Partisi ................................................................................ 10
2.4 Bilangan Kromatik Lokasi ...................................................................... 10
2.5 Graf Hasil Kali Kartesian ........................................................................ 13
2.6 Graf Buku ................................................................................................ 15
III PEMBAHASAN ........................................................................................... 16
3.1 Bilangan Kromatik Lokasi pada Graf Buku untuk 𝑛 = 1 ....................... 16
-
ix
3.2 Bilangan Kromatik Lokasi pada Graf Buku untuk 𝑛 = 2 ....................... 18
3.3 Bilangan Kromatik Lokasi pada Graf Buku untuk 𝑛 = 3 ....................... 19
3.4 Bilangan Kromatik Lokasi pada Graf Buku untuk 𝑛 = 4 ....................... 21
3.5 Bilangan Kromatik Lokasi pada Graf Buku untuk 𝑛 = 5 ....................... 22
3.6 Bilangan Kromatik Lokasi pada Graf Buku untuk 𝑛 = 6 ....................... 24
3.7 Bilangan Kromatik Lokasi pada Graf Buku untuk 𝑛 = 7 ....................... 26
3.8 Bilangan Kromatik Lokasi pada Graf Buku untuk 𝑛 = 8 ....................... 28
3.9 Konstruksi Hipotesis ............................................................................... 30
3.10 Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku 𝐵𝑛 ............................................. 31
IV PENUTUP .................................................................................................... 38
4.1 Kesimpulan .............................................................................................. 38
4.2 Saran ........................................................................................................ 38
REFERENSI ........................................................................................................ 39
-
DAFTAR GAMBAR
2.1 Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Ilustrasi untuk (a) Graf tidak berarah (b) Graf berarah . . . . . . . . 62.3 Ilustrasi untuk (a) Graf berhingga (b) Graf tidak berhingga . . . . . 62.4 Graf Lintasan P2 dan P4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Graf Lingkaran C3, C4 dan C5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 (a) Graf S4 (b) Graf S8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.7 Pewarnaan pada Graf H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8 Pewarnaan kromatik lokasi Graf G2 dengan 3 warna . . . . . . . . . 122.9 Pewarnaan kromatik lokasi Graf G3 dengan 4 warna . . . . . . . . . 132.10 Graf Sederhana P2 dan S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.11 Graf Hasil Kali Kartesian P2 × S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.12 (a) Graf B3 dan (b) Graf B4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1 Graf Buku B1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Pewarnaan Lokasi 3 warna pada Graf B1 . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Graf Buku B2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Pewarnaan Lokasi 4 warna pada Graf B2 . . . . . . . . . . . . . . . 183.5 Graf Buku B3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6 Pewarnaan Lokasi 4 warna pada Graf B3 . . . . . . . . . . . . . . . 203.7 Graf Buku B4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.8 Pewarnaan Lokasi 4 warna pada Graf B4 . . . . . . . . . . . . . . . 213.9 Graf Buku B5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.10 Pewarnaan Lokasi 4 warna pada Graf B5 . . . . . . . . . . . . . . . 233.11 Graf Buku B6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.12 Pewarnaan Lokasi 4 warna pada Graf B6 . . . . . . . . . . . . . . . 253.13 Graf Buku B7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.14 Pewarnaan Lokasi 5 warna pada Graf B7 . . . . . . . . . . . . . . . 273.15 Graf Buku B7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.16 Pewarnaan Lokasi 5 warna pada Graf B7 . . . . . . . . . . . . . . . 293.17 Graf Buku Bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.18 Ilustrasi Lema 3.10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.19 Ilustrasi Kasus 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.20 Ilustrasi Kasus 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
x
-
3.21 Ilustrasi Kasus 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.22 Ilustrasi Kasus 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
xi
-
xii
ABSTRAK
Maiyudi Mariska Windra Yahya, Bilangan Kromatik Lokasi pada Graf Buku,
dibawah bimbingan Dr. Nur Inayah, M.Si dan Wisnu Aribowo, M.Si.
Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf terhubung dan 𝑐 suatu pewarnaan-𝑘 sejati dari 𝐺
degan warna 1,2, … , 𝑘. Misalkan pula Π = {𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑘} merupakan partisi dari
𝑉(𝐺) yang diinduksi oleh pewarnaan 𝑐. Kode warna, 𝑐Π(𝑣) dari 𝑣 adalah 𝑘-
pasangan terurut (𝑑(𝑣, 𝐶1), 𝑑(𝑣, 𝐶2), . . . . , 𝑑(𝑣, 𝐶𝑘)) dengan 𝑑(𝑣, 𝐶𝑖) =
min{𝑑(𝑣, 𝑥)|𝑥 ∈ 𝐶𝑖} untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘. Jika semua titik di G mempunyai kode
warna berbeda, maka 𝑐 disebut pewarnaan-𝑘 lokasi dari 𝐺. Bilangan kromatik
lokasi dari 𝐺, dinotasikan dengan 𝜒𝐿(𝐺), adalah bilangan terkecil 𝑘 sehingga
𝐺 mempunyai pewarnaan-𝑘 lokasi. Pada penulisan ini akan menentukan bilangan
kromatik lokasi dari graf buku 𝐵𝑛. Bilangan kromatik lokasi pada graf buku 𝐵𝑛
adalah:
𝜒𝐿(𝐵𝑛) = min {𝑘: 𝑛 ≤ 2 (𝑘 − 2
2) + 2(𝑘 − 1) − 1}
Untuk 𝑘 ≥ 4, atau dengan
𝜒𝐿(𝐵𝑛) = ⌈√𝑛 −3
4+
3
2⌉
Kata Kunci : Kode warna, Bilangan kromatik lokasi, Graf buku
-
xiii
ABSTRACT
Maiyudi Mariska Windra Yahya, The Locating-Chromatic Number of Book
Graph, under the guidance of Dr. Nur Inayah, M.Si and Wisnu Aribowo, M.Si.
Let 𝐺 = (𝑉, 𝐸) be a connected graph and 𝑐 be a proper 𝑘-coloring of 𝐺 with
1,2, … , 𝑘 as colors in 𝑐. Let Π = {𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑘} be a partition of 𝑉(𝐺), induced by
the coloring 𝑐. The color code 𝑐Π(𝑣) of 𝑣 is 𝑘-ordered pair (𝑑(𝑣, 𝐶1), 𝑑(𝑣, 𝐶2), … ,
𝑑(𝑣, 𝐶𝑘)) where 𝑑(𝑣, 𝐶𝑖) = min{𝑑(𝑣, 𝑥)|𝑥 ∈ 𝐶𝑖} for 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘. If each of the
vertices of 𝐺 have distinct color code, then 𝑐 is called a 𝑘-locating coloring of 𝐺.
The locating-chromatic number, denoted by 𝜒𝐿(𝐺) is the smallest 𝑘 such that 𝐺 has
a locating 𝑘-coloring. This paper will determine the locating-chromatic number on
book graph 𝐵𝑛. The locating-chromatic number on book graph 𝐵𝑛 is:
𝜒𝐿(𝐵𝑛) = min {𝑘: 𝑛 ≤ 2 (𝑘 − 2
2) + 2(𝑘 − 1) − 1}
For 𝑘 ≥ 4, or
𝜒𝐿(𝐵𝑛) = ⌈√𝑛 −3
4+
3
2⌉
Keywords: Color code, Locating-chromatic number, Book graph
-
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Matematika sering disebut sebagai mother of science yang berarti induk dari
segala ilmu pengetahuan. Artinya, setiap cabang ilmu pengetahuan banyak yang
berakar dari matematika. Peran matematika tidak lepas dari kehidupan sehari-hari
baik secara langsung maupun tidak langsung. Dalam Al-qur’an terdapat sebuah
motivasi untuk mempelajari matematika sebagaimana yang ada dalam surat Yunus
ayat 5:
Artinya:
”Dia-lah yang menjadikan matahari bersinar dan bulan bercahaya dan ditetapkan-
Nya manzilah-manzilah (tempat-tempat) bagi perjalanan bulan itu, supaya kamu
mengetahui bilangan tahun dan perhitungan (waktu). Allah tidak menciptakan yang
demikian itu melainkan dengan hak. Dia menjelaskan tanda-tanda (kebesaran-
Nya) kepada orang-orang yang mengetahui.”
Maka dari itu akan sangat merugi apabila kecerdasan otak manusia yang dibe-
rikan oleh Allah SWT tidak digunakan untuk mempelajari bilangan dan perhitung-
an. Suatu bilangan dan perhitungan dapat dipelajari dalam ilmu matematika, yaitu
seperti aljabar, statistika, geometri, teori graf, dan lain-lain.
Teori graf merupakan salah satu cabang dari matematika yang mempelajari
konsep terkait himpunan titik yang dihubungkan dengan himpunan sisi. Sampai saat
ini, teori graf merupakan pokok bahasan yang mendapat banyak perhatian karena
model-modelnya sangat berguna untuk diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari
1
-
seperti halnya digunakan dalam jaringan komunikasi, ilmu komputer, transportasi,
pembuatan peta dan masih banyak aplikasi lainnya. Teori graf juga banyak dipakai
pada bidang terapan seperti kajian mengenai bilangan kromatik lokasi dari suatu
graf. Konsep bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk
[1] pada tahun 2002, dengan mengembangkan dua konsep graf, yaitu pewarnaan
titik dan dimensi partisi dari suatu graf.
Chartrand dkk (2002) telah mendapatkan bilangan kromatik lokasi dari bebe-
rapa graf, diantaranya pada graf lintasan, graf lingkaran dan graf bintang ganda.
Adapun hasil bilangan kromatik lokasi menurut Chartrand dkk [1]:
1. Graf lintasan Pn diperoleh χL(Pn) = 3 untuk n ≥ 3;
2. Graf Lingkaran Cn diperoleh dua hasil yaitu χL(Cn) = 3 untuk n ganjil dan
χL(Cn) = 4 untuk n genap;
3. Graf bintang ganda Sa,b diperoleh χL(Sa,b) = b+1 bila 1 ≤ a ≤ b dan b ≥ 2.
Selanjutnya pada tahun 2011, Asmiati dkk. telah berhasil menentukan bilang-
an kromatik lokasi pada graf amalgamasi bintang [2]. Bilangan kromatik lokasi
pada graf amalgamasi bintang seragam Sk,m yang merupakan amalgamasi dari k
buah graf bintang K1,m bila ni = m, untuk setiap i diperoleh jika
H(a) = (m+ a− 1)
m+ a− 1m− 1
dengan a ≥ 0, k ≥ 2, dan m ≥ 3 maka:
χL(Sk,m) =
m ; untuk 2 ≤ k ≤ H(0),m ≥ 3m+ 1; untuk H(a− 1) < k ≤ H(a), a ≥ 1Pada tahun 2012, Ali Behtoei dan Behnaz Omoomi telah memaparkan hasil
dari bilangan kromatik lokasi untuk operasi kartesian dari graf Pm×Pn dengan n ≥
m ≥ 2,Km×Pn denganm ≥ 3, n ≥ 2 danKm×Kn denganm ≥ 2, n ≥ 3,m ≤ n
[3]. Adapun hasil bilangan kromatik lokasi untuk operasi kartesian sebagai berikut:
(i) untuk n ≥ m ≥ 2, χL(Pm × Pn) = 4,
2
-
(ii) untuk m ≥ 3, n ≥ 2,
χL(Km × Pn) =
m+ 2, jika m ≤ n− 1m+ 1, jika m ≥ n− 1(iii) untuk m ≥ 2, n ≥ 3, dan m ≤ n, dimana m0 := max{k|k ∈ N, k(k − 1) −
1 ≤ n}
χL(Km ×Kn) =
n+ 1, jika m ≤ m0 − 1n+ 2, jika m0 + 1 ≤ m ≤ n2Penelitian terkait topik bilangan kromatik lokasi pada teori graf semkain ber-
kembang, diantaranya pada tahun 2013 dan 2014, Des Welyyanti dkk telah menen-
tukan bilangan kromatik lokasi untuk graf pohon n-ary lengkap T (n, k) dengan
k = 1, 2, 3 [4] dan bilangan kromatik lokasi untuk graf tak terhubung [5]. Berikut
ini adalah hasil bilangan kromatik lokasi untuk graf pohon n-ary lengkap T (n, k)
dengan k = 1, 2, 3.
(i) χL (T (n, 1)) = χL (T (n, 2)) = n+ 1 untuk k = 1 atau k = 2, dan n ≥ 2,
(ii) χL (T (n, 3)) = n+ 2, untuk k = 3, dan n ≥ 3.
Selanjutnya pada tahun 2018, Chintia Deva Rianti dan Narwen menentukan
bilangan kromatik lokasi pada graf spinner (C3×P2�K1) dan diperoleh bilangan
kromatik lokasi pada graf spinner χL(C3 × P2 �K1) = 4 [6].
Masih banyak kelas graf yang belum ditemukan pada kajian bilangan kromatik
lokasi, namun karena keterbatasan sumberdaya, penulis tertarik pada pembahasan
bilangan kromatik lokasi pada graf bukuBn. Graf buku merupakan hasil kali opera-
si kartesian antara graf lintasan yang memiliki dua titik dengan graf bintang dengan
(n+ 1) titik yaitu Bn = P2 × Sn.
1.2. Perumusan Permasalahan
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, maka permasalahan pada pe-
nulisan ini adalah bagaimana menentukan bilangan kromatik lokasi pada graf buku
Bn.
3
-
1.3. Pembatasan Permasalahan
Dalam penulisan ini, penulis hanya mengkaji bilangan kromatik lokasi dari
graf khusus yaitu graf buku Bn.
1.4. Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan ini adalah untuk menentukan bilangan kromatik lokasi untuk
graf buku Bn.
1.5. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Dapat menentukan bilangan kromatik lokasi untuk graf Bn.
2. Memberikan sumbangan pikiran untuk penelitian selanjutnya serta menam-
bah wawasan bagi penulis dan pembaca mengenai bilangan kromatik lokasi
untuk graf Bn.
4
-
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1. Konsep Dasar Graf
GrafG adalah tripel terurut (V (G), E(G), ψG) yang terdiri dari himpunan titik
tak kosong V (G), himpunan sisi E(G), yang terpisah dari himpunan V (G), dan
fungsi insidensi ψG yang menghubungkan setiap sisi dari G dengan pasangan tak
terurut dari titikG. Jika e adalah sisi dan u dan v adalah titik-titik sehingga ψG(e) =
uv, kemudian e dikatakan terkait dengan u dan v; titik-titik u dan v disebut ujung
dari e [7]. Contoh:
G = (V (G), E(G), ψG)
dimana
V (G) = {v1, v2, v3, v4, v5}
E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8}
dan ψG dapat didefinisikan sebagai
ψG(e1) = v1v2, ψG(e2) = v2v2, ψG(e3) = v2v4, ψG(e4) = v3v4
ψG(e5) = v4v5, ψG(e6) = v5v4, ψG(e7) = v1v5, ψG(e8) = v1v5
Gambar 2.1 Graf G
Graf G pada Gambar 2.1 memiliki 5 titik dan 8 sisi. Graf G terdiri dari him-
punan titik V (G) = {v1, v2, v3, v4, v5} dan himpunan sisi E(G) = {e1, e2, e3, e4,
5
-
e5, e6, e7, e8}. Sebuah graf yang hanya terdiri dari satu buah titik dan tidak memi-
liki sisi disebut dengan graf trivial. Banyaknya titik di dalam sebuah graf disebut
order dan dinotasikan dengan |V (G)|, sementara banyaknya sisi di dalam sebuah
graf disebut size dan dinotasikan dengan |E(G)|.
Order dan size dari graf G berturut-turut adalah lima dan delapan, dinotasikan
dengan |V (G)| = 5, |E(G)| = 8. Misal u dan v adalah sembarang titik pada graf G
yang mengandung sisi u − v, maka G dikatakan graf terhubung. Jika terdapat dua
titik u dan v dimana tidak mengandung sisi u− v pada graf G, maka graf G disebut
graf tidak terhubung [9].
Graf terhubung dengan sisi berarah disebut dengan directed graph atau graf
berarah, sebaliknya graf terhubung dengan sisi tanpa arah disebut dengan undire-
cted graph atau graf tidak berarah. Berdasarkan jumlah titik dan sisi suatu graf
G = (V,E) dikatakan graf berhingga apabila sisi dan titik berhingga, dan sebalik-
nya apabila sisi dan titik tak berhingga, maka dikatakan graf tidak berhingga [8].
Gambar 2.2 Ilustrasi untuk (a) Graf tidak berarah (b) Graf berarah
Gambar 2.3 Ilustrasi untuk (a) Graf berhingga (b) Graf tidak berhingga
Pada Gambar 2.1 v3 disebut sebagai titik akhir (end vertex) yakni titik yang
memiliki tepat satu buah sisi yaitu e4. Sisi e5, e6 dan sisi e7, e8 disebut sebagai
sisi paralel (multiple edges), yakni dua buah sisi atau lebih yang memliki titik-
6
-
titik ujung yang sama. Sisi e2 disebut dengan loop. Loop sendiri adalah sisi yang
menghubungkan sebuah titik kepada dirinya sendiri [10].
Sisi dan titik dalam graf mempunyai hubungan yang biasa dikenal dengan ber-
tetangga (adjacent) dan bersisian (incident). Vasudev (2006) mendefinisikan jika
e = (uv) merupakan sisi di graf G, maka u dan v dikatakan titik yang bertetangga
(adjacent vertices). Sedangkan titik u dan sisi e dikatakan saling (incident) be-
gitupun dengan titik v dan sisi e. Jika dua buah sisi berbeda e dan f keduanya
bersisian dengan sebuah titik yang sama maka kedua sisi tersebut dikatakan berte-
tangga (adjacent edges) [8]. Pada Gambar 2.1 titik v3 bertetangga (adjacent verti-
ces) dengan titik v4. Sisi e4 bersisian (incident) dengan titik v3 dan titik v4. Sisi e5
bertetangga (adjacent edges) dengan sisi e3, e4, e6, e7, e8.
Derajat (degree) dari suatu titik v pada graf G, dinotasikan dengan d(v), me-
rupakan jumlah atau banyaknya sisi yang menempel dengan suatu titik vi (loop
dihitung sebagai dua sisi). Daun (pendant vertex) adalah titik yang berderajat sa-
tu [11]. Pada Gambar 2.1, derajat dari masing-masing titik pada graf G adalah
d(v1) = 3, d(v4) = d(v5) = d(v2) = 4, d(v3) = 1. Titik v3 disebut sebagai da-
un karena d(v3) = 1.
Istilah lain yang sering muncul pada pembahasan graf adalah jalan (walk), lin-
tasan (path), dan sirkuit (circuit). Menurut Deo (1989), Jalan (walk) adalah barisan
berhingga dari titik dan sisi, dimulai dan diakhiri dengan titik, sedemikian sehing-
ga setiap sisi menempel dengan titik sebelum dan sesudahnya. Tidak ada sisi yang
muncul lebih dari sekali dalam satu walk. Lintasan (path) merupakan jalan yang se-
mua titiknya berbeda. Sirkuit (circuit) adalah lintasan tertutup (closed path), yaitu
lintasan yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sirkuit dibedakan men-
jadi dua macam, yaitu sirkuit genap dan sirkuit ganjil. Sirkuit genap adalah sirkuit
yang jumlah titiknya genap, dan sirkuit ganjil adalah sirkuit yang jumlah titiknya
ganjil [12]. Pada Gambar 2.1 contoh jalan (walk) adalah v1-e7-v5-e5-v4-e3-v2-e1-v1-
e8-v5; contoh lintasan (path) adalah v5-v1-v2-v4-v3; contoh sirkuit (circuit) adalah
v1-e8-v5-e5-v4-e3-v2-e1-v1.
7
-
2.2. Beberapa Graf Khusus
Graf khusus yang akan dibahas pada penulisan ini meliputi graf lintasan (Pn),
graf siklus (Cn), dan graf bintang (Sn).
2.2.1. Graf Lintasan
Graf lintasan Pn adalah graf terhubung sederhana dengan |V (Pn)| = |E(Pn)|+
1 yang digambarkan pada semua titik dan sisinya terletak pada garis lurus tunggal.
Graf lintasan dengan n titik dan (n− 1) sisi yang dinotasikan Pn [10]. Gambar 2.4
merupakan contoh graf lintasan dengan n = 2 dan n = 4. Terlihat bahwa pada
graf P2 memiliki jumlah titik 2 dan jumlah sisi 1, sedangkan pada graf P4 memiliki
jumlah titik 4 dan jumlah sisi 3.
Gambar 2.4 Graf Lintasan P2 dan P4
Keterangan :
V (P ) = Himpunan titik-titik (vertex)
E(P ) = Himpunan sisi (edges)
|V (P )| = Banyaknya titik pada graf P
|E(P )| = Banyaknya sisi pada graf P
2.2.2. Graf Lingkaran
Graf lingkaranCn dengan n titik (n ≥ 3) merupakan graf dengan himpunan ti-
tik {v1, v2, . . . , vn} dan himpunan sisi {(v1, v2), (v2, v3), . . . , (v(n−1), vn), (vn, v1)}
[8]. Gambar 2.5 merupakan contoh graf lingkaran C3, C4, dan C5. Terlihat bahwa
pada graf C3 memliki jumlah titik dan sisi sebanyak 3, pada graf C4 memiliki jum-
lah titik dan sisi sebanyak 4, dan graf C5 memiliki jumlah titik dan sisi sebanyak
5.
8
-
Gambar 2.5 Graf Lingkaran C3, C4 dan C5
2.2.3. Graf Bintang
Graf bintang Sn adalah graf dengan (n + 1) titik, dimana terdapat titik pusat
dengan satu titik berderajat n dan n titik berderajat satu. Gambar 2.6(a) adalah graf
bintang S4 dengan 5 titik, sedangkan gambar 2.6(b) adalah graf bintang S8 dengan
9 titik [10].
Gambar 2.6 (a) Graf S4 (b) Graf S8
2.3. Konsep Bilangan Kromatik Lokasi pada Suatu Graf
Bilangan kromatik lokasi merupakan konsep perpaduan dari pewarnaan titik
dan dimensi partisi pada suatu graf. Pada bagian ini akan dibahas tentang awal
munculnya konsep yang mendasari lahirnya bilangan kromatik lokasi.
2.3.1. Pewarnaan Titik
Menurut Chartrand dan Zhang (2009), Pewarnaan titik pada suatu graf G =
(V,E) merupakan suatu pemetaan c : V → N, dimana N adalah himpunan bi-
langan asli {1, 2, . . . , k} sedemikian sehingga c(u) 6= c(v) untuk setiap u, v ∈
V (G) yang bertetangga. Jika setiap warna yang digunakan sebanyak k warna, ma-
ka graf G mempunyai k-pewarnaan. Bilangan bulat terkecil k sedemikian sehing-
ga G mempunyai suatu pewarnaan-k titik sejati disebut bilangan kromatik dari G,
9
-
dan dinotasikan dengan χ(G). Jelas bahwa untuk setiap graf G berorde n, berlaku
1 ≤ χ(G) ≤ n [13].
Gambar 2.7 menunjukkan tiga cara melakukan pewarnaan pada graf H . Pe-
warnaan pada gambar 2.7(a) menggunakan 5 warna, pewarnaan pada gambar 2.7(b)
menggunakan 4 warna, sedangkan pewarnaan pada gambar 2.7(c) menggunakan 3
warna. Karena syarat bilangan kromatik adalah bilangan bulat terkecil k sehingga
H mempunyai suatu k-pewarnaan, maka χ(H) = 3.
Gambar 2.7 Pewarnaan pada Graf H
2.3.2. Dimensi Partisi
Konsep dimensi partisi diperkenalkan oleh Chartrand dkk (1998), sebagai sa-
lah satu konsep yang menjadi latar belakang munculnya bilangan kromatik lokasi.
Misalkan G = (V,E) suatu graf, v ∈ V (G), dan S ⊂ V (G). Jarak dari titik v
ke himpunan S, dinotasikan dengan d(v, S) adalah min{d(v, x)|x ∈ S
}dengan
d(v, x) adalah jarak dari titik v ke x. Misalkan Π = {S1, S2, . . . , Sk} adalah partisi
dari V (G) dengan {S1, S2, . . . , Sk} kelas-kelas dari Π. Representasi v terhadap Π,
dinotasikan dengan r(v|Π), adalah koordinat(d(v, S1), d(v, S2), . . . , d(v, Sk)
). Se-
lanjutnya, Π disebut partisi pembeda dari V (G) jika r(u|Π) 6= r(v|Π) untuk setiap
dua titik berbeda u, v ∈ V (G). Dimensi partisi dari G, dinotasikan dengan pd(G),
adalah nilai k terkecil sehingga G mempunyai partisi pembeda dengan k kelas [14].
2.4. Bilangan Kromatik Lokasi
Bilangan kromatik lokasi merupakan konsep pengembangan dari pewarnaan
titik dan dimensi partisi suatu graf yang pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk
10
-
(2002).
Misalkan G = (V,E) adalah graf terhubung dan c suatu pewarnaan-k sejati
dari G. Misalkan Π = {C1, C2, . . . , Ck} merupakan partisi dari himpunan titik
V (G) berdasarkan suatu pewarnaan titik, maka representasi v terhadap Π disebut
kode warna dari v dinotasikan dengan cΠ(v). Kode warna cΠ(v) dari titik v ∈ V (G)
didefinisikan sebagai k-vektor:
cΠ(v) ={d(v, C1), d(v, C2), . . . , d(v, Ck)
}dengan d(v, Ci) = min
{d(v, x)|x ∈ Ci
}untuk 1 ≤ i ≤ k. Jika setiap titik di
G mempunyai kode warna yang berbeda, maka c disebut pewarnaan lokasi dari
G. Nilai terkecil k sedemikian sehingga G mempunyai pewarnaan lokasi dengan
k warna disebut sebagai bilangan kromatik lokasi dari G, dan dinotasikan dengan
χL(G) [1].
Berikut ini adalah teroema dasar tentang bilangan kromatik lokasi menurut
Chartrand dkk.
Teorema 2.4.1 Misalkan c adalah pewarnaan lokasi pada graf terhubung G dan
N(v) merupakan himpunan dari tetangga titik v. Jika u dan v adalah dua titik yang
berbeda di G sedemikian sehingga d(u,w) = d(v, w) untuk setiap w ∈ V (G) −
{u, v}, maka c(u) 6= c(v). Dalam hal khusus, jika u dan v adalah titik-titik yang
tidak bertetangga di G sedemikian sehingga N(u) = N(v), maka c(u) 6= c(v).
Bukti. Misalkan c adalah suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung G dan mi-
salkan Π = {C1, C2, . . . , Ck} adalah partisi dari titik-titik G kedalam kelas warna
Ci. Untuk suatu titik u, v ∈ V (G), andaikan c(u) = c(v) sedemikian sehingga
titik u dan v berada dalam kelas warna yang sama, misal Ci dari Π. Akibatnya,
d(u,Ci) = d(v, Ci) = 0. Karena d(u,w) = d(v, w) untuk setiapw ∈ V (G)−{u, v}
maka d(u,Cj) = d(v, Cj) untuk setiap j 6= i, 1 ≤ j ≤ k. Akibatnya cΠ(u) = cΠ(v)
sehingga c bukan pewarnaan lokasi. Jadi, c(u) 6= c(v). �
Sebagai contoh, misal diberikan suatu grafG2 dengan V (G2) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}.
Gambar 2.8 memiliki kelas warna Π = {C1, C2, C3}, dengan partisiC1 = {v1, v3, v5},
C2 = {v2, v6}, dan C3 = {v4}. Selanjutnya akan diperoleh kode warna sebagai ber-
11
-
ikut:
Gambar 2.8 Pewarnaan kromatik lokasi Graf G2 dengan 3 warna
1. cΠ(v1) =(d(v1, C1), d(v1, C2), d(v1, C3)
)= (0, 1, 3)
2. cΠ(v2) =(d(v2, C1), d(v2, C2), d(v2, C3)
)= (1, 0, 2)
3. cΠ(v3) =(d(v3, C1), d(v3, C2), d(v3, C3)
)= (0, 1, 1)
4. cΠ(v4) =(d(v4, C1), d(v4, C2), d(v4, C3)
)= (1, 2, 0)
5. cΠ(v5) =(d(v5, C1), d(v5, C2), d(v5, C3)
)= (0, 1, 1)
6. cΠ(v6) =(d(v6, C1), d(v6, C2), d(v6, C3)
)= (1, 0, 2)
Dari contoh diatas dapat dilihat grafG2 memiliki titik dengan kode warna yang
sama, yaitu cΠ(v2) = cΠ(v6) dan cΠ(v3) = cΠ(v5), sehingga tidak memenuhi syarat
pewarnaan lokasi pada graf G2, akibatnya graf G2 membutuhkan pewarnaan baru
yaitu C4. Misalkan terdapat graf G3 dengan kelas warna Π = {C1, C2, C3, C4}, de-
ngan partisi C1 = {v1, v3}, C2 = {v2, v6}, C3 = {v4}, dan C4 = {v5}. Selanjutnya
akan diperoleh kode warna sebagai berikut:
12
-
Gambar 2.9 Pewarnaan kromatik lokasi Graf G3 dengan 4 warna
1. cΠ(v1) =(d(v1, C1), d(v1, C2), d(v1, C3), d(v1, C4)
)= (0, 1, 3, 2)
2. cΠ(v2) =(d(v2, C1), d(v2, C2), d(v2, C3), d(v2, C4)
)= (1, 0, 2, 3)
3. cΠ(v3) =(d(v3, C1), d(v3, C2), d(v3, C3), d(v3, C4)
)= (0, 1, 1, 2)
4. cΠ(v4) =(d(v4, C1), d(v4, C2), d(v4, C3), d(v4, C4)
)= (1, 2, 0, 1)
5. cΠ(v5) =(d(v5, C1), d(v5, C2), d(v5, C3), d(v5, C4)
)= (2, 1, 1, 0)
6. cΠ(v6) =(d(v6, C1), d(v6, C2), d(v6, C3), d(v6, C4)
)= (1, 0, 2, 1)
Dapat dilihat pada gambar 2.9 memiliki kode warna yang berbeda. Maka Π dengan
4 warna adalah bilangan kromatik lokasi pada graf G3 sehingga χL(G3) = 4.
2.5. Graf Hasil Kali Kartesian
Hasil kali kartesian adalah hasil kali dari graf G1 =(V (G1), E(G1)
)dan
G2 =(V (G2), E(G2)
)yang dinotasikan G1 ×G2 = G = (V,E) sehingga
V (G) ={
(u1, u2)|ui ∈ V (G1), uj ∈ V (G2)}
dan dua titik (u1, u2) ∈ V (G) dan (v1, v2) ∈ V (G) bertetangga di G = G1 × G2jika dan hanya jika u1 = v1 dan u2v2 ∈ E(G2) atau u2 = v2 dan u1v1 ∈ E(G1) [9].
Berikut ini adalah contoh graf hasil kali kartesian:
13
-
Gambar 2.10 Graf Sederhana P2 dan S3
Pada gambar 2.10, diketahui V (P2) = {x, y} dan V (S3) = {0, 1, 2, 3} maka
hasil kali kartesian P2 × S3 menghasilkan:
V (P2 × S3) = (x, y)× (0, 1, 2, 3)
={
(x, 0), (x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 0), (y, 1), (y, 2), (y, 3)}
E(P2 × S3) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10}
e1 = (x, 1)− (y, 1)
e2 = (x, 1)− (x, 0)
e3 = (y, 1)− (y, 0)
e4 = (x, 0)− (y, 0)
e5 = (x, 0)− (x, 2)
e6 = (y, 0)− (y, 2)
e7 = (x, 2)− (y, 2)
e8 = (x, 0)− (x, 3)
e9 = (y, 0)− (y, 3)
e10 = (x, 3)− (y, 3)
Hasil kali kartesian graf P2 × S3 diperoleh 8 titik dan 9 sisi, dapat dilihat pada
gambar 2.11 berikut ini:
14
-
Gambar 2.11 Graf Hasil Kali Kartesian P2 × S3
2.6. Graf Buku
Graf buku merupakan suatu graf yang dibentuk dari hasil kali kartesian antara
graf lintasan dengan dua titik dan graf bintang dengan n+ 1 titik yang dinotasikan
Bn = P2 × Sn [16].
Gambar 2.12 (a) Graf B3 dan (b) Graf B4
Pada gambar 2.12(a) merupakan graf buku dengan n = 3 yang memiliki titik
V (B3) = {u0, v0, u1, v1, u2, v2, u3, v3}
Pada gambar 2.12(b) merupakan graf buku dengan n = 4 yang memiliki titik
V (B4) = {u0, v0, u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4}
15
-
BAB III
PEMBAHASAN
Pada bab ini akan diberikan penjelasan hasil penelitian mengenai bilangan kro-
matik lokasi dari graf buku Bn dengan n ≥ 1. Penelitian ini diawali dengan me-
nentukan pewarnaan titik-titik dan menghitung jarak dari semua titik yang sudah
diberi warna ke kelas warna yang ada pada graf buku. Setelah itu akan menda-
patkan kode warna dari hasil perhitungan jarak tiap warna, apabila kode warna
yang dihasilkan berbeda maka jumlah warna terkecil akan menjadi bilangan kro-
matik lokasi pada graf buku. Graf buku yang dibahas pada bab ini adalah graf
B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7, danB8.
3.1. Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n = 1
Gambar 3.1 Graf Buku B1
Pada Gambar 3.1 graf B1 memiliki himpunan titik V (B1) = {u0, v0, u1, v1}.
Misalkan titik u0 diberi pewarnaan C1, maka menurut syarat pewarnaan titik warna
dari semua titik yang bertetangga dengan titik u0 haruslah berbeda. Sehingga titik
v0 diberi warna C2, dapat dilihat pada gambar diatas titik v0 dan u1 tidak saling
bertetangga maka titik u1 dapat diberi warna C2 begitupun dengan titik v1 tidak
bertetangga dengan u0, maka titik v1 dapat diberi warna C1. Akan tetapi pewarnaan
graf B1 dengan dua warna tidak memenuhi syarat pewarnaan lokasi, karena setelah
dihitung jarak tiap warna akan terdapat kode warna yang sama yaitu: cΠ(u0) =
cΠ(v1) dan cΠ(v0) = cΠ(u1).
16
-
Oleh karena itu terdapat pewarnaan C3, apabila titik v1 diberi warna C3 maka
diperoleh kelas warna Π = {C1, C2, C3} dengan titik-titik pada graf B1 yang telah
dipartisi sebagai berikut C1 = {u0}, C2 = {v0, u1}, C3 = {v1}. Pada graf B1 akan
ditentukan terlebih dahulu batas bawah bilangan kromatik lokasi graf Bn. Selanjut-
nya akan diilustrasikan pewarnaan lokasi graf B1 dengan tiga warna pada Gambar
3.2 dan akan didapatkan kode warna dari graf B1 sebagai berikut:
Gambar 3.2 Pewarnaan Lokasi 3 warna pada Graf B1
1. cΠ(u0) =(d(u0, C1), d(u0, C2), d(u0, C3)
)= (0, 1, 2)
2. cΠ(v0) =(d(v0, C1), d(v0, C2), d(v0, C3)
)= (1, 0, 1)
3. cΠ(u1) =(d(u1, C1), d(u1, C2), d(u1, C3)
)= (1, 0, 1)
4. cΠ(v1) =(d(v1, C1), d(v1, C2), d(v1, C3)
)= (2, 1, 0)
Dapat dilihat bahwa terdapat kode yang sama, yaitu: cΠ(v0) = cΠ(u1) maka
hal ini kontradiksi, akibatnya tidak memenuhi syarat pewarnaan lokasi. Oleh karena
itu, tiga warna tidak cukup untuk pewarnaan lokasi pada graf B1. Maka dibutuhkan
sekurang-kurangnya empat warna untuk mewarnai graf B1, dimana pewarnaan C4
dapat mewakili titik v0 atau u1. Sehingga diperoleh batas bawah pewarnaan lokasi
χL(Bn) ≥ 4 dengan n ≥ 1.
17
-
3.2. Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n = 2
Gambar 3.3 Graf Buku B2
Pada Gambar 3.3 graf B2 memiliki himpunan titik V (B2) = {V (B1), u2, v2}.
Misalkan pada graf B2 diberi pewarnaan yang sama seperti graf B1 dimana titik u1
diberi warna C4, dan dapat dilihat pada graf B2 bahwa titik u2 bertetangga dengan
u0 maka kode warna c(u2) 6= c(u0) sedangkan titik v2 bertetangga dengan v0 maka
c(v2) 6= c(v0). Andaikan titik u2 diberi warna C3 dan titik v2 diberi warna C1maka akan diperoleh kelas warna Π = {C1, C2, C3, C4} dengan titik-titik yang telah
dipartisi sebagai berikut C1 = {u0, v2}, C2 = {v0}, C3 = {v1, u2}, C4 = {u1}.
Selanjutnya akan diilustrasikan pewarnaan lokasi grafB2 dengan empat warna pada
Gambar 3.4 dan akan didapatkan kode warna sebagai berikut:
Gambar 3.4 Pewarnaan Lokasi 4 warna pada Graf B2
1. cΠ(u0) =(d(u0, C1), d(u0, C2), d(u0, C3), d(u0, C4)
)= (0, 1, 1, 1)
2. cΠ(v0) =(d(v0, C1), d(v0, C2), d(v0, C3), d(v0, C4)
)= (1, 0, 1, 2)
3. cΠ(u1) =(d(u1, C1), d(u1, C2), d(u1, C3), d(u1, C4)
)= (1, 2, 1, 0)
18
-
4. cΠ(v1) =(d(v1, C1), d(v1, C2), d(v1, C3), d(v1, C4)
)= (2, 1, 0, 1)
5. cΠ(u2) =(d(u2, C1), d(u2, C2), d(u2, C3), d(u2, C4)
)= (1, 2, 0, 2)
6. cΠ(v2) =(d(v2, C1), d(v2, C2), d(v2, C3), d(v2, C4)
)= (0, 1, 1, 3)
Dapat dilihat kode warna dari titik-titik graf B2 berbeda, maka C merupakan
pewarnaan lokasi dengan empat warna sehingga χL(B2) = 4.
3.3. Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n = 3
Gambar 3.5 Graf Buku B3
Pada Gambar 3.5 graf B3 memiliki himpunan titik V (B3) = {V (B2), u3, v3}.
Misalkan pada graf B3 diberi pewarnaan yang sama seperti graf B2, dan dapat di-
lihat pada graf B3 bahwa titik u3 bertetangga dengan u0 maka kode warna c(u3) 6=
c(u0) sedangkan titik v3 bertetangga dengan v0 maka kode warna c(v3) 6= c(v0).
Andaikan titik u3 diberi warna C4 dan titik v3 diberi warna C1 maka akan diperoleh
kelas warna Π = {C1, C2, C3, C4} dengan titik-titik yang telah dipartisi sebagai
berikut C1 = {u0, v2, v3}, C2 = {v0}, C3 = {v1, u2}, C4 = {u1, u3}. Selanjutnya
akan diilustrasikan pewarnaan lokasi graf B3 dengan empat warna pada Gambar
3.6 dan akan didapatkan kode warna sebagai berikut:
19
-
Gambar 3.6 Pewarnaan Lokasi 4 warna pada Graf B3
1. cΠ(u0) =(d(u0, C1), d(u0, C2), d(u0, C3), d(u0, C4)
)= (0, 1, 1, 1)
2. cΠ(v0) =(d(v0, C1), d(v0, C2), d(v0, C3), d(v0, C4)
)= (1, 0, 1, 2)
3. cΠ(u1) =(d(u1, C1), d(u1, C2), d(u1, C3), d(u1, C4)
)= (1, 2, 1, 0)
4. cΠ(v1) =(d(v1, C1), d(v1, C2), d(v1, C3), d(v1, C4)
)= (2, 1, 0, 1)
5. cΠ(u2) =(d(u2, C1), d(u2, C2), d(u2, C3), d(u2, C4)
)= (1, 2, 0, 2)
6. cΠ(v2) =(d(v2, C1), d(v2, C2), d(v2, C3), d(v2, C4)
)= (0, 1, 1, 3)
7. cΠ(u3) =(d(u3, C1), d(u3, C2), d(u3, C3), d(u3, C4)
)= (1, 2, 2, 0)
8. cΠ(v3) =(d(v3, C1), d(v3, C2), d(v3, C3), d(v3, C4)
)= (0, 1, 2, 1)
Dapat dilihat kode warna dari titik-titik graf B3 berbeda, maka C merupakan
pewarnaan lokasi dengan empat warna sehingga χL(B3) = 4.
20
-
3.4. Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n = 4
Gambar 3.7 Graf Buku B4
Pada Gambar 3.7 graf B4 memiliki himpunan titik V (B4) = {V (B3), u4, v4}.
Misalkan pada graf B4 diberi pewarnaan yang sama seperti graf B3, dan dapat di-
lihat pada graf B4 bahwa titik u4 bertetangga dengan u0 maka kode warna c(u4) 6=
c(u0) sedangkan titik v4 bertetangga dengan v0 maka kode warna c(v4) 6= c(v0).
Andaikan titik u4 diberi warna C2 dan titik v4 diberi warna C4 maka akan diperoleh
kelas warna Π = {C1, C2, C3, C4} dengan titik-titik yang telah dipartisi sebagai
berikut C1 = {u0, v2, v3}, C2 = {v0, u4}, C3 = {v1, u2}, C4 = {u1, u3, v4}. Se-
lanjutnya akan diilustrasikan pewarnaan lokasi graf B4 dengan empat warna pada
Gambar 3.8 dan akan didapatkan kode warna sebagai berikut:
Gambar 3.8 Pewarnaan Lokasi 4 warna pada Graf B4
1. cΠ(u0) =(d(u0, C1), d(u0, C2), d(u0, C3), d(u0, C4)
)= (0, 1, 1, 1)
21
-
2. cΠ(v0) =(d(v0, C1), d(v0, C2), d(v0, C3), d(v0, C4)
)= (1, 0, 1, 1)
3. cΠ(u1) =(d(u1, C1), d(u1, C2), d(u1, C3), d(u1, C4)
)= (1, 2, 1, 0)
4. cΠ(v1) =(d(v1, C1), d(v1, C2), d(v1, C3), d(v1, C4)
)= (2, 1, 0, 1)
5. cΠ(u2) =(d(u2, C1), d(u2, C2), d(u2, C3), d(u2, C4)
)= (1, 2, 0, 2)
6. cΠ(v2) =(d(v2, C1), d(v2, C2), d(v2, C3), d(v2, C4)
)= (0, 1, 1, 2)
7. cΠ(u3) =(d(u3, C1), d(u3, C2), d(u3, C3), d(u3, C4)
)= (1, 2, 2, 0)
8. cΠ(v3) =(d(v3, C1), d(v3, C2), d(v3, C3), d(v3, C4)
)= (0, 1, 2, 1)
9. cΠ(u4) =(d(u4, C1), d(u4, C2), d(u4, C3), d(u4, C4)
)= (1, 0, 2, 1)
10. cΠ(v4) =(d(v4, C1), d(v4, C2), d(v4, C3), d(v4, C4)
)= (2, 1, 2, 0)
Dapat dilihat kode warna dari titik-titik graf B4 berbeda, maka C merupakan
pewarnaan lokasi dengan empat warna sehingga χL(B4) = 4.
3.5. Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n = 5
Gambar 3.9 Graf Buku B5
Pada Gambar 3.9 graf B5 memiliki himpunan titik V (B5) = {V (B4), u5,
v5}. Misalkan pada graf B5 diberi pewarnaan yang sama seperti graf B4, dan dapat
dilihat pada grafB5 bahwa titik u5 bertetangga dengan u0 maka kode warna c(u5) 6=
c(u0) sedangkan titik v5 bertetangga dengan v0 maka kode warna c(v5) 6= c(v0).
22
-
Andaikan titik u5 diberi warna C2 dan titik v5 diberi warna C3 maka akan diperoleh
kelas warna Π = {C1, C2, C3, C4} dengan titik-titik yang telah dipartisi sebagai
berikut C1 = {u0, v2, v3}, C2 = {v0, u4, u5}, C3 = {v1, u2, v5}, C4 = {u1, u3, v4}.
Selanjutnya akan diilustrasikan pewarnaan lokasi grafB5 dengan empat warna pada
Gambar 3.10 dan akan didapatkan kode warna sebagai berikut:
Gambar 3.10 Pewarnaan Lokasi 4 warna pada Graf B5
1. cΠ(u0) =(d(u0, C1), d(u0, C2), d(u0, C3), d(u0, C4)
)= (0, 1, 1, 1)
2. cΠ(v0) =(d(v0, C1), d(v0, C2), d(v0, C3), d(v0, C4)
)= (1, 0, 1, 1)
3. cΠ(u1) =(d(u1, C1), d(u1, C2), d(u1, C3), d(u1, C4)
)= (1, 2, 1, 0)
4. cΠ(v1) =(d(v1, C1), d(v1, C2), d(v1, C3), d(v1, C4)
)= (2, 1, 0, 1)
5. cΠ(u2) =(d(u2, C1), d(u2, C2), d(u2, C3), d(u2, C4)
)= (1, 2, 0, 2)
6. cΠ(v2) =(d(v2, C1), d(v2, C2), d(v2, C3), d(v2, C4)
)= (0, 1, 1, 2)
7. cΠ(u3) =(d(u3, C1), d(u3, C2), d(u3, C3), d(u3, C4)
)= (1, 2, 2, 0)
8. cΠ(v3) =(d(v3, C1), d(v3, C2), d(v3, C3), d(v3, C4)
)= (0, 1, 2, 1)
9. cΠ(u4) =(d(u4, C1), d(u4, C2), d(u4, C3), d(u4, C4)
)= (1, 0, 2, 1)
10. cΠ(v4) =(d(v4, C1), d(v4, C2), d(v4, C3), d(v4, C4)
)= (2, 1, 2, 0)
11. cΠ(u5) =(d(u5, C1), d(u5, C2), d(u5, C3), d(u5, C4)
)= (1, 0, 1, 2)
23
-
12. cΠ(v5) =(d(v5, C1), d(v5, C2), d(v5, C3), d(v5, C4)
)= (2, 1, 0, 2)
Dapat dilihat kode warna dari titik-titik graf B5 berbeda, maka C merupakan
pewarnaan lokasi dengan empat warna sehingga χL(B5) = 4.
3.6. Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n = 6
Gambar 3.11 Graf Buku B6
Pada Gambar 3.11 grafB6 memiliki himpunan titik V (B6) = {V (B5), u6, v6}.
Misalkan pada graf B6 diberi pewarnaan yang sama seperti graf B5, dan dapat di-
lihat pada graf B6 bahwa titik u6 bertetangga dengan u0 maka kode warna c(u6) 6=
c(u0) sedangkan titik v6 bertetangga dengan v0 maka kode warna c(v6) 6= c(v0).
Andaikan titik u6 diberi warna C3 dan titik v6 diberi warna C4 maka akan di-
peroleh kelas warna Π = {C1, C2, C3, C4} dengan titik-titik yang telah diparti-
si sebagai berikut C1 = {u0, v2, v3}, C2 = {v0, u4, u5}, C3 = {v1, u2, v5, u6},
C4 = {u1, u3, v4, v6}. Selanjutnya akan diilustrasikan pewarnaan lokasi graf B6dengan empat warna pada Gambar 3.12 dan akan didapatkan kode warna sebagai
berikut:
24
-
Gambar 3.12 Pewarnaan Lokasi 4 warna pada Graf B6
1. cΠ(u0) =(d(u0, C1), d(u0, C2), d(u0, C3), d(u0, C4)
)= (0, 1, 1, 1)
2. cΠ(v0) =(d(v0, C1), d(v0, C2), d(v0, C3), d(v0, C4)
)= (1, 0, 1, 1)
3. cΠ(u1) =(d(u1, C1), d(u1, C2), d(u1, C3), d(u1, C4)
)= (1, 2, 1, 0)
4. cΠ(v1) =(d(v1, C1), d(v1, C2), d(v1, C3), d(v1, C4)
)= (2, 1, 0, 1)
5. cΠ(u2) =(d(u2, C1), d(u2, C2), d(u2, C3), d(u2, C4)
)= (1, 2, 0, 2)
6. cΠ(v2) =(d(v2, C1), d(v2, C2), d(v2, C3), d(v2, C4)
)= (0, 1, 1, 2)
7. cΠ(u3) =(d(u3, C1), d(u3, C2), d(u3, C3), d(u3, C4)
)= (1, 2, 2, 0)
8. cΠ(v3) =(d(v3, C1), d(v3, C2), d(v3, C3), d(v3, C4)
)= (0, 1, 2, 1)
9. cΠ(u4) =(d(u4, C1), d(u4, C2), d(u4, C3), d(u4, C4)
)= (1, 0, 2, 1)
10. cΠ(v4) =(d(v4, C1), d(v4, C2), d(v4, C3), d(v4, C4)
)= (2, 1, 2, 0)
11. cΠ(u5) =(d(u5, C1), d(u5, C2), d(u5, C3), d(u5, C4)
)= (1, 0, 1, 2)
12. cΠ(v5) =(d(v5, C1), d(v5, C2), d(v5, C3), d(v5, C4)
)= (2, 1, 0, 2)
13. cΠ(u6) =(d(u6, C1), d(u6, C2), d(u6, C3), d(u6, C4)
)= (1, 2, 0, 1)
25
-
14. cΠ(v6) =(d(v6, C1), d(v6, C2), d(v6, C3), d(v6, C4)
)= (2, 1, 1, 0)
Dapat dilihat kode warna dari titik-titik graf B6 berbeda, maka C merupakan
pewarnaan lokasi dengan empat warna sehingga χL(B6) = 4.
3.7. Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n = 7
Gambar 3.13 Graf Buku B7
Pada Gambar 3.13 grafB7 memiliki himpunan titik V (B7) = {V (B6), u7, v7}.
Misalkan pada graf B7 diberi pewarnaan yang sama seperti graf B6, dan dapat dili-
hat pada graf B7 bahwa titik u7 bertetangga dengan u0 maka warna c(u7) 6= c(u0)
dan titik v7 bertetangga dengan v0 maka warna c(v7) 6= c(v0). Andaikan titik
u7 diberi warna C2 dan titik v7 diberi warna C1 maka akan diperoleh kelas war-
na Π = {C1, C2, C3, C4} dengan titik yang telah dipartisi sebagai berikut C1 =
{u0, v2, v3, v7}, C2 = {v0, u4, u5, u7}, C3 = {v1, u2, v5, u6}, C4 = {u1, u3, v4, v6}.
Selanjutnya akan diilustrasikan pewarnaan lokasi grafB7 dengan empat warna pada
Gambar 3.14 dan akan didapatkan kode warna sebagai berikut:
26
-
Gambar 3.14 Pewarnaan Lokasi 5 warna pada Graf B7
1. cΠ(u0) =(d(u0, C1), d(u0, C2), d(u0, C3), d(u0, C4)
)= (0, 1, 1, 1)
2. cΠ(v0) =(d(v0, C1), d(v0, C2), d(v0, C3), d(v0, C4)
)= (1, 0, 1, 1)
3. cΠ(u1) =(d(u1, C1), d(u1, C2), d(u1, C3), d(u1, C4)
)= (1, 2, 1, 0)
4. cΠ(v1) =(d(v1, C1), d(v1, C2), d(v1, C3), d(v1, C4)
)= (2, 1, 0, 1)
5. cΠ(u2) =(d(u2, C1), d(u2, C2), d(u2, C3), d(u2, C4)
)= (1, 2, 0, 2)
6. cΠ(v2) =(d(v2, C1), d(v2, C2), d(v2, C3), d(v2, C4)
)= (0, 1, 1, 2)
7. cΠ(u3) =(d(u3, C1), d(u3, C2), d(u3, C3), d(u3, C4)
)= (1, 2, 2, 0)
8. cΠ(v3) =(d(v3, C1), d(v3, C2), d(v3, C3), d(v3, C4)
)= (0, 1, 2, 1)
9. cΠ(u4) =(d(u4, C1), d(u4, C2), d(u4, C3), d(u4, C4)
)= (1, 0, 2, 1)
10. cΠ(v4) =(d(v4, C1), d(v4, C2), d(v4, C3), d(v4, C4)
)= (2, 1, 2, 0)
11. cΠ(u5) =(d(u5, C1), d(u5, C2), d(u5, C3), d(u5, C4)
)= (1, 0, 1, 2)
12. cΠ(v5) =(d(v5, C1), d(v5, C2), d(v5, C3), d(v5, C4)
)= (2, 1, 0, 2)
27
-
13. cΠ(u6) =(d(u6, C1), d(u6, C2), d(u6, C3), d(u6, C4)
)= (1, 2, 0, 1)
14. cΠ(v6) =(d(v6, C1), d(v6, C2), d(v6, C3), d(v6, C4)
)= (2, 1, 1, 0)
15. cΠ(u7) =(d(u7, C1), d(u7, C2), d(u7, C3), d(u7, C4)
)= (1, 0, 2, 2)
16. cΠ(v7) =(d(v7, C1), d(v7, C2), d(v7, C3), d(v7, C4)
)= (0, 1, 2, 2)
Dapat dilihat kode warna dari titik-titik graf B7 berbeda, maka C merupakan
pewarnaan lokasi dengan empat warna sehingga χL(B7) = 4.
3.8. Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n = 8
Gambar 3.15 Graf Buku B7
Pada Gambar 3.15 grafB8 memiliki himpunan titik V (B8) = {V (B7), u8, v8}.
Misalkan pada graf B8 diberi pewarnaan yang sama seperti graf B7, dan dapat di-
lihat pada graf B1 sampai graf B7 terdapat kombinasi dua warna untuk pasangan
titik terluar, yaitu titik {(u1 = 4, v1 = 3), (u2 = 3, v2 = 1), (u3 = 4, v3 = 1), (u4 =
2, v4 = 4), (u5 = 2, v5 = 3), (u6 = 3, v6 = 4), dan (u7 = 2, v7 = 1)}. Karena
kombinasi dua titik dari 4 warna sudah tidak bisa digunakan lagi, akibatnya pada
graf B8 harus terdapat warna baru yaitu C5. Andaikan titik u8 diberi warna C5 dan
titik v8 diberi warna C1 maka akan diperoleh kelas warna Π = {C1, C2, C3, C4, C5}
28
-
dengan titik-titik yang telah dipartisi sebagai berikut C1 = {u0, v2, v3, v7}, C2 =
{v0, u4, u5, u7}, C3 = {v1, u2, v5, u6}, C4 = {u1, u3, v4, v6}, C5 = {u8}. Selanjut-
nya akan diilustrasikan pewarnaan lokasi graf B8 dengan lima warna pada Gambar
3.16 dan akan didapatkan kode warna sebagai berikut:
Gambar 3.16 Pewarnaan Lokasi 5 warna pada Graf B7
1. cΠ(u0) =(d(u0, C1), d(u0, C2), d(u0, C3), d(u0, C4), d(u0, C5)
)= (0, 1, 1, 1, 1)
2. cΠ(v0) =(d(v0, C1), d(v0, C2), d(v0, C3), d(v0, C4), d(v0, C5)
)= (1, 0, 1, 1, 2)
3. cΠ(u1) =(d(u1, C1), d(u1, C2), d(u1, C3), d(u1, C4), d(u1, C5)
)= (1, 2, 1, 0, 2)
4. cΠ(v1) =(d(v1, C1), d(v1, C2), d(v1, C3), d(v1, C4), d(v1, C5)
)= (2, 1, 0, 1, 3)
5. cΠ(u2) =(d(u2, C1), d(u2, C2), d(u2, C3), d(u2, C4), d(u2, C5)
)= (1, 2, 0, 2, 2)
6. cΠ(v2) =(d(v2, C1), d(v2, C2), d(v2, C3), d(v2, C4), d(v2, C5)
)= (0, 1, 1, 2, 3)
7. cΠ(u3) =(d(u3, C1), d(u3, C2), d(u3, C3), d(u3, C4), d(u3, C5)
)= (1, 2, 2, 0, 2)
8. cΠ(v3) =(d(v3, C1), d(v3, C2), d(v3, C3), d(v3, C4), d(v3, C5)
)= (0, 1, 2, 1, 3)
9. cΠ(u4) =(d(u4, C1), d(u4, C2), d(u4, C3), d(u4, C4), d(u4, C5)
)= (1, 0, 2, 1, 2)
10. cΠ(v4) =(d(v4, C1), d(v4, C2), d(v4, C3), d(v4, C4), d(v4, C5)
)= (2, 1, 2, 0, 3)
29
-
11. cΠ(u5) =(d(u5, C1), d(u5, C2), d(u5, C3), d(u5, C4), d(u5, C5)
)= (1, 0, 1, 2, 2)
12. cΠ(v5) =(d(v5, C1), d(v5, C2), d(v5, C3), d(v5, C4), d(v5, C5)
)= (2, 1, 0, 2, 3)
13. cΠ(u6) =(d(u6, C1), d(u6, C2), d(u6, C3), d(u6, C4), d(u6, C5)
)= (1, 2, 0, 1, 2)
14. cΠ(v6) =(d(v6, C1), d(v6, C2), d(v6, C3), d(v6, C4), d(v6, C5)
)= (2, 1, 1, 0, 3)
15. cΠ(u7) =(d(u7, C1), d(u7, C2), d(u7, C3), d(u7, C4), d(u7, C5)
)= (1, 0, 2, 2, 2)
16. cΠ(v7) =(d(v7, C1), d(v7, C2), d(v7, C3), d(v7, C4), d(v7, C5)
)= (0, 1, 2, 2, 3)
17. cΠ(u8) =(d(u8, C1), d(u8, C2), d(u8, C3), d(u8, C4), d(u8, C5)
)= (1, 2, 2, 2, 0)
18. cΠ(v8) =(d(v8, C1), d(v8, C2), d(v8, C3), d(v8, C4), d(v8, C5)
)= (0, 1, 2, 2, 1)
Dapat dilihat kode warna dari titik-titik graf B8 berbeda, maka C merupakan
pewarnaan lokasi dengan lima warna sehingga χL(B8) = 5.
3.9. Konstruksi Hipotesis
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dijelaskan diatas, penulis mendapatk-
an bilangan kromatik lokasi pada graf B1 sampai graf B7 adalah 4, yang diperoleh
dengan memberi semua kombinasi dua warna yang memungkinkan pada pasangan
titik terluar, dimana pasangan titik terluar yang bertetangga dengan titik u0 dan ti-
tik v0 tidak boleh diberi kode warna yang sama. Sehingga pada kasus B8 haruslah
terdapat warnaC5, karena kombinasi dua warna pada pasangan titik terluar dari em-
pat kelas warna (C1, C2, C3, C4) yang penulis jabarkan diatas hanya dapat mewakili
graf B1 sampai B7.
Bilangan kromatik lokasi dapat diberi pewarnaan dengan 5 kelas warna (C1, C2
, C3, C4, C5) untuk mewakili pewarnaan pada graf B8 sampai graf B13 dengan dua
kombinasi warna pada pasangan titik terluar yaitu : B8 = (C1, C5), B9 = (C2, C5),
B10 = (C3, C5), B11 = (C5, C3), B12 = (C4, C5), B13 = (C5, C4). Sehingga pe-
nulis mengkonstruksikan suatu hipotesis atas rumus bilangan kromatik lokasi pada
graf Buku Bn adalah sebagai berikut:
30
-
χL(Bn) =
4 , jika 1 ≤ n ≤ 7
5 , jika 8 ≤ n ≤ 13
6 , jika 14 ≤ n ≤ 21
7 , jika 22 ≤ n ≤ 31...
atau secara rumusan umum
χL(Bn) = min
{k : n ≤ 2
(k − 2
2
)+ 2(k − 1)− 1
}, untuk k ≥ 4
3.10. Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku Bn
Gambar 3.17 Graf Buku Bn
Sebelum membuktikan hipotesis umum, penulis akan terlebih dahulu mem-
buktikan beberapa lema yang akan digunakan untuk hasil umum.
Lema 3.10.1 Misalkan terdapat suatu partisi Π untuk pewarnaan graf Bn dengan
n ≥ 1, dan himpunan titik V (Bn) = {ui, vi| i = 0, 1, 2, . . . , n}. Untuk setiap titik
ui dan vi, i = 0, 1, 2, . . . , n harus termuat dalam kelas warna berbeda di Π, dengan
kata lain c(ui) 6= c(vi), untuk i = 0, 1, 2, . . . n.
Bukti. Jelas bahwa setiap titik ui bertetangga dengan titik vi, sehingga menurut sifat
pewarnaan titik pada suatu graf haruslah c(ui) 6= c(vi) untuk i = 0, 1, 2, . . . , n. �
31
-
Lema 3.10.2 Misalkan terdapat suatu partisi Π untuk pewarnaan graf Bn dengan
n ≥ 1, dan himpunan titik V (Bn) = {ui, vi| i = 0, 1, 2, . . . , n}. Titik u0 dengan uidan titik v0 dengan vi untuk i = 1, 2, . . . , n harus termuat dalam kelas warna ber-
beda di Π dengan kata lain c(u0) 6= c(ui) dan c(v0) 6= c(vi) untuk i = 1, 2, . . . , n.
Bukti. Jelas bahwa titik u0 bertetangga dengan titik ui untuk i = 1, 2, . . . , n, dan
titik v0 bertetangga dengan titik vi untuk i = 1, 2, . . . , n. Sehingga menurut sifat
pewarnaan titik pada suatu graf haruslah c(u0) 6= c(ui) dan c(v0) 6= c(vi) untuk
i = 1, 2, . . . , n. �
Lema 3.10.3 Misalkan terdapat suatu partisi Π untuk pewarnaan graf Bn dengan
n ≥ 1, dan himpunan titik V (Bn) = {ui, vj| i, j = 0, 1, 2, . . . , n}. Untuk setiap pa-
sangan terurut kode warna titik pada bagian lembaran terluar selain(c(u0), c(v0)
),
yaitu pasangan terurut(c(ui), c(vi)
)dan pasangan terurut
(c(uj), c(vj)
)untuk
i, j = 1, 2, . . . , n harus memiliki kode warna yang berbeda dengan kata lain(c(ui),
c(vi))6=(c(uj), c(vj)
).
Bukti. Asumsikan sebaliknya(c(ui), c(vi)
)=(c(uj), c(vj)
). Misalkan terdapat
pewarnaan C1 = (u0), C2 = (v0), Cx := c(ui) = c(uj) dan Cy := c(vi) = c(vj)
seperti pada gambar 3.18, maka kode warna yang diperoleh sebagai berikut:
Gambar 3.18 Ilustrasi Lema 3.10.3
1. cΠ(ui) =(d(ui, C1), d(ui, C2), . . . , d(ui, Cx), . . . , d(ui, Cy), . . . )
)= (1, 2, . . . , 0, . . . , 1, . . . )
32
-
2. cΠ(uj) =(d(uj, C1), d(uj, C2), . . . , d(uj, Cx), . . . , d(uj, Cy), . . . )
)= (1, 2, . . . , 0, . . . , 1, . . . )
Untuk mencari kode warna diatas yang belum diperoleh, misalkan w ∈ V (Bn)
sembarang dengan c(w) = Ck, dan misalkan terdapat sembarang pasangan titik
{ua, va} dan {ub, vb}.
Kasus 1
Apabila w = ut untuk suatu t ∈ {1, 2, . . . , n} selain {a, b} maka pada gambar 3.19
diperoleh d(ua, Ck) = 2 dan d(ub, Ck) = 2 yang berarti d(ua, Ck) = 2 = d(ub, Ck)
untuk setiap k = 3, 4, . . . , x− 1, x+ 1, . . . , y − 1, y + 1, . . . .
Gambar 3.19 Ilustrasi Kasus 1
Kasus 2
Apabila w = vt untuk suatu t ∈ {1, 2, . . . , n} selain {a, b} maka pada gambar 3.20
diperoleh d(ua, Ck) = 3 dan d(ub, Ck) = 3 yang berarti d(ua, Ck) = 3 = d(ub, Ck)
untuk setiap k = 3, 4, . . . , x− 1, x+ 1, . . . , y − 1, y + 1, . . . .
33
-
Gambar 3.20 Ilustrasi Kasus 2
karena (i) d(ua, C1) = 1 = d(ub, C1)
(ii) d(ua, C2) = 2 = d(ub, C2)
(iii) d(ua, Cx) = 0 = d(ub, Cx)
(iv) d(ua, Cy) = 1 = d(ub, Cy)
(v) d(ua, Ck) = d(ub, Ck)
untuk k = 3, 4, . . . , x− 1, x+ 1, . . . , y − 1, y + 1, . . .
Maka cΠ(ua) = cΠ(ub) yang berarti C bukan pewarnaan kromatik lokasi. �
Lema 3.10.4 Apabila pewarnaan kromatik lokasi untuk graf buku Bn memerlukan
k warna maka haruslah n ≤ 2(k−2
2
)+ 2(k − 1)− 1 dengan k ≥ 4
Bukti. Mulai pewarnaan graf dengan memberi warna C1 dan C2 untuk titik-titik
yang ada di tengah, yaitu c(u0) = C1 dan c(v0) = C2. Dari lema 3.10.2 haruslah
c(ui) 6= C1 dan c(vi) 6= C2 untuk setiap i = 1, 2, . . . , n.
Kasus 1
Misalkan(c(ua), c(va)
)sama sekali tidak mengandung warna C1 maupun C2. Ma-
ka total warna yang bisa dipilih adalah(k−2
2
)× 2 karena disetiap bagian luar dari
lembar buku akan membutuhkan 2 warna yang harus berbeda dari lema 3.10.1, yang
berarti ada(k−2
2
)kemungkinan. Namun, karena c(ua) dan c(va) bisa dibalik tanpa
konsekuensi, maka total yang bisa dipakai adalah(k−2
2
)× 2.
34
-
Kasus 2
Jika c(ua) = 2, maka total kemungkinan warnanya yang bisa dipakai adalah (k−1)
karena c(va) hanya bisa diberi warna 1, 3, 4, . . . , k. Dimana warna 1 hanya dapat
dipakai pada graf buku Bn untuk n ≥ 2. Seperti pada ilustrasi dibawah ini.
Gambar 3.21 Ilustrasi Kasus 2
Kasus 3
Jika c(va) = 1, maka total warna yang bisa dipakai adalah (k − 1) karena c(ua)
hanya bisa diberi warna 2, 3, 4, . . . , k. Dimana warna 2 hanya dapat dipakai pada
graf buku Bn untuk n ≥ 2. Seperti pada ilustrasi dibawah ini.
Gambar 3.22 Ilustrasi Kasus 3
35
-
Karena pewarnaan c(va) = 1 dan c(ua) = 2 sudah digunakan pada kasus 2, maka
pewarnaan ini tidak dapat digunakan lagi, jadi total pewarnaan = (k−1)−1. Maka
jika χL(Bn) memakai k warna, harus memenuhi
n ≤ 2(k − 2
2
)+ (k − 1) + (k − 1)− 1
n ≤ 2(k − 2
2
)+ 2(k − 1)− 1
�
Teorema 3.10.5 Bilangan Kromatik Lokasi untuk graf buku Bn adalah
χL(Bn) = min
{k : n ≤ 2
(k − 2
2
)+ 2(k − 1)− 1
}, untuk k ≥ 4
Bukti. Pertama-tama, akan ditunjukkan keberadaan bilangan χL(Bn) tersebut. Ka-
rena n ∈ N jelas bahwa{k : n ≤ 2
(k−2
2
)+ 2(k − 1)− 1
}merupakan himpunan
bagian dari himpunan bilangan asli. Maka dari well-ordering principle, himpunan
tersebut pasti punya elemen terkecil. Misal
k∗ := min
{k : n ≤ 2
(k − 2
2
)+ 2(k − 1)− 1
}Dari Lema 3.10.4, telah terbukti bahwa terdapat pewarnaan kromatik lokasi dengan
k∗ warna. Sekarang akan ditunjukkan bahwa χL(Bn) = k∗, yaitu bahwa pewarnaan
kromatik lokasi graf Bn minimal membutuhkan k∗ warna. Asumsikan sebaliknya,
yaitu terdapat pewarnaan kromatik lokasi yang menggunakan tepat (k∗− 1) warna.
Ini berarti
(k∗ − 1) ∈{k : n ≤ 2
(k − 2
2
)+ 2(k − 1)− 1
}yang mengakibatkan
(k∗ − 1) ≥ min{k : n ≤ 2
(k − 2
2
)+ 2(k − 1)− 1
}= k∗
Ini merupakan suatu kontradiksi, yang berarti tidak mungkin ada pewarnaan kro-
matik lokasi graf buku Bn yang menggunakan (k∗ − 1) warna. Maka haruslah
χL(Bn) = k∗ = min
{k : n ≤ 2
(k − 2
2
)+ 2(k − 1)− 1
}, untuk k ≥ 4
�
36
-
Akibat 3.10.6 Bilangan kromatik lokasi untuk graf buku Bn adalah
χL(Bn) =
⌈√n− 3
4+
3
2
⌉Bukti. Misal k adalah warna yang dibutuhkan untuk pewarnaan kromatik lokasi
graf buku Bn, maka
n ≤ 2(k − 2
2
)+ 2(k − 1)− 1
n ≤ (k − 2)(k − 3)2
× 2 + 2k − 2− 1
(k2 − 5k + 6 + 2k − 3) ≥ n
k2 − 3k + 3 ≥ n(k − 3
2
)2− 9
4+ 3 ≥ n(
k − 32
)2+
3
4≥ n(
k − 32
)2≥ n− 3
4
k ≥√n− 3
4+
3
2
Maka k terkecil yang mungkin adalah
kmin =
⌈√n− 3
4+
3
2
⌉
�
37
-
BAB IV
PENUTUP
4.1. Kesimpulan
Bilangan kromatik lokasi pada graf buku yang telah ditemukan adalah:
χL(Bn) = min
{k : n ≤ 2
(k − 2
2
)+ 2(k − 1)− 1
}, untuk k ≥ 4
atau
kmin =
⌈√n− 3
4+
3
2
⌉
4.2. Saran
Saran yang dapat diberikan pada penelitian ini yaitu melakukan penilitian un-
tuk menentukan bilangan kromatik lokasi pada graf buku secara umum Bm,n =
Pm× Sn atau graf lain melalui operasi – operasi yang ada pada graf seperti operasi
join, amalgamasi, korona, dll.
38
-
REFERENSI
[1] Chartrand, G., Erwin, D., Henning, M., Slater, P., and Zhang, P., ”The
locating-chromatic number of a graph”, Bull. Inst. Combin. Appl., vol. 36,
pp. 89 – 101, 2002.
[2] Asmiati, H. Assiyatun and E.T Baskoro, ”Locating-chromatic number of
amalgamation of stars”, ITB J.Sci., vol. 43A, no.1,pp. 1-8, 2011.
[3] A. Behtoei and B. Omoomi, ”On the Locating Chromatic Number of the Car-
tesian Product of Graphs”, Ars Comb., vol. 126, pp. 221–235, 2012.
[4] D. Welyyanti, E.T. Baskoro, R.Simanjuntak and S. Uttunggadewa, ”On
locating-chromatic number of complete n-ary Tree”, AKCE Int. J.Graph
Comb., vol.3, no.3, pp.309-315, 2013.
[5] D. Welyyanti, E.T. Baskoro, R.Simanjuntak and S. Uttunggadewa, ”The
Locating-Chromatic Number of Disconnected Graphs”, Far East J.Math. Sci.,
vol. 94, no. 2, pp. 169–182, 2014.
[6] C.D. Rianti and N., ”Bilangan Kromatik Lokasi Dari Graf Spinner”, Jurnal
Matematika UNAND,vol. VII, no. 4, pp. 19-23, 2018.
[7] E. K. Lloyd, J. A. Bondy, and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications,
Math. Gaz., vol. 62, no. 419, p. 63, 1978.
[8] Vasudev C(2006), Graph Theory with Applications. New Delhi: New Age In-
ternational.
[9] Chartrand, dkk. (2005). Applied and Algoritmic Graph Theory. New York:
Mac Graw-Hill, inc.
[10] Gross, J.L dan Jay Yellen.(2006). Graph Theory and Its Applications, 2nd
edition. Chapman and Hall/CRC. New York.
39
-
[11] G. Chartrand dan P. Zhang, Introduction to Graph Theory, New York:
McGraw Hill, 2005.
[12] Deo. N. 1989. Graph Theory with Applications to Engineering and computer
Science. Prentice Hall Inc, New York.
[13] Chartrand, G., and Zhang, P., (2009): Chromatic Graph Theory, Chapman and
Hall/CRC,New York.
[14] Chartrand, G., Salehi, E., and Zhang, P., (1998): On the partition dimension
of graph, Congr. Numer., 130, 157 – 168.
[15] Chartrand, G., dkk., 2016, Graphs and Digraphs, Sixth Edition, Chapman and
Hall/CRC, London
[16] J. A. Gallian, A Dynamic Survey of Graph Labeling, Electron. J. Comb.,
pp.1219, 2009.
40
DAFTAR GAMBARPENDAHULUANLatar Belakang MasalahPerumusan PermasalahanPembatasan PermasalahanTujuan PenelitianManfaat Penelitian
LANDASAN TEORIKonsep Dasar GrafBeberapa Graf KhususGraf LintasanGraf LingkaranGraf Bintang
Konsep Bilangan Kromatik Lokasi pada Suatu GrafPewarnaan TitikDimensi Partisi
Bilangan Kromatik LokasiGraf Hasil Kali KartesianGraf Buku
PEMBAHASANBilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=1Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=2Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=3Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=4Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=5Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=6Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=7Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=8Konstruksi HipotesisBilangan Kromatik Lokasi Graf Buku Bn
PENUTUPKesimpulanSaran
REFERENSIHALAMAN PENGESAHANHALAMAN PERNYATAANHALAMAN PERSEMBAHANHALAMAN MOTTOKATA PENGANTARDAFTAR ISIDAFTAR GAMBARINTISARIABSTRACTPENDAHULUANLatar Belakang MasalahPerumusan PermasalahanPembatasan PermasalahanTujuan PenelitianManfaat Penelitian
LANDASAN TEORIKonsep Dasar GrafBeberapa Graf KhususGraf LintasanGraf LingkaranGraf Bintang
Konsep Bilangan Kromatik Lokasi pada Suatu GrafPewarnaan TitikDimensi Partisi
Bilangan Kromatik LokasiGraf Hasil Kali KartesianGraf Buku
PEMBAHASANBilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=1Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=2Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=3Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=4Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=5Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=6Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=7Bilangan Kromatik Lokasi Graf Buku untuk n=8Konstruksi HipotesisBilangan Kromatik Lokasi Graf Buku Bn
PENUTUPKesimpulanSaran
REFERENSI