bİr devrenİn durum denklemlerİnİn ÇÖzÜmÜ İle sÜreklİ sİnÜzoİdal haldekİ ÇÖzÜmÜn...
DESCRIPTION
BİR DEVRENİN DURUM DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ İLE SÜREKLİ SİNÜZOİDAL HALDEKİ ÇÖZÜMÜN KARŞILAŞTIRILMASI. Sadık Sayim Oğuz Yelbey Ali Pala Mustafa Dursun İTÜ Elektrik-Elektronik Fakültesi Devre ve Sistem Analizi Dersi Yrd. Doç. Dr. Neslihan Serap Şengör Müh. Özkan Karabacak. İÇERİK. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
BİR DEVRENİN DURUM BİR DEVRENİN DURUM DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ İLE DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ İLE SÜREKLİ SİNÜZOİDAL HALDEKİ SÜREKLİ SİNÜZOİDAL HALDEKİ ÇÖZÜMÜN KARŞILAŞTIRILMASIÇÖZÜMÜN KARŞILAŞTIRILMASI
Sadık SayimSadık SayimOğuz YelbeyOğuz Yelbey
Ali PalaAli PalaMustafa DursunMustafa Dursun
İTÜ Elektrik-Elektronik FakültesiİTÜ Elektrik-Elektronik FakültesiDevre ve Sistem Analizi DersiDevre ve Sistem Analizi Dersi
Yrd. Doç. Dr. Neslihan Serap ŞengörYrd. Doç. Dr. Neslihan Serap ŞengörMüh. Özkan KarabacakMüh. Özkan Karabacak
İÇERİKİÇERİK
• Durum Denklemlerinin Analitik Durum Denklemlerinin Analitik ÇözümüÇözümü
• Durum Denklemlerinin Sürekli Durum Denklemlerinin Sürekli Sinüzoidal Haldeki ÇözümüSinüzoidal Haldeki Çözümü
• Asimptotik Kararlı Olma KoşuluAsimptotik Kararlı Olma Koşulu
• Rezonans DurumuRezonans Durumu
• Çeşitli Devrelerin Durum Çeşitli Devrelerin Durum Değişkenlerinin İncelenmesiDeğişkenlerinin İncelenmesi
Durum Denklemlerinin Analitik Durum Denklemlerinin Analitik ÇözümüÇözümü
• Eğer devrede kaynaklar Eğer devrede kaynaklar yoksa….yoksa….
)()( tAtdt
dxx
• Devre DenklemleriDevre Denklemleri
)()()( tBtAtdt
duxx
Devre denklemlerinin çözüm ifadesi…,
)()()( ttt ışzorlanmöztam xxx
t
tAAt dBeet0
)( )()0()( uxx
)]0()()([)0()()( öö xxxx tttt
Başlangıç Koşulları Denklemlerde yerlerine konulursa…
ve genel çözüm….
Sürekli Sinüzoidal Hal ÇözümüSürekli Sinüzoidal Hal Çözümü• NEDEN SSH?NEDEN SSH?
• Birçok devrenin davranışı…Birçok devrenin davranışı…
• Zor diferansiyel denklem takımları…Zor diferansiyel denklem takımları…
• Fazör kavramı ile cebrik denklemler…Fazör kavramı ile cebrik denklemler…
• Bir değişkenin genel ifadesiBir değişkenin genel ifadesi
)cos()( wtAtx• Euler Denklemi ile…Euler Denklemi ile…
][2
)( )()( wtjwtj eeA
tx
Sürekli Sinüzoidal Hal ÇözümüSürekli Sinüzoidal Hal Çözümü
• İfade denklemde yerine konulursa...İfade denklemde yerine konulursa...
jwtjwt
j
eetx
eA
)(
2
)cos(
)cos(
)cos(
)(
)(
)(
)( 22
11
2
1
kkk wtA
wtA
wtA
tx
tx
tx
t
x
Özel ÇözümÖzel ÇözümDurum Vektörünün İfadesiDurum Vektörünün İfadesi
njk
j
j
k eU
eU
eU
U
U
U
U
2
1
2
1
2
1
njn
j
j
n eA
eA
eA
X
X
X
X
22
11
2
1
)()( jwtjwtjwtjwtjwtjwt eeBeeAejwejw aacccc
0])[(])[( jwtjwt eBAjwIeBAjwI acac
ac BAjwI 1)(
elde edilir.elde edilir.
• Başlangıç koşullarından Başlangıç koşullarından bağımsız…bağımsız…
• t tanım bölgesine t tanım bölgesine geçildiğinde bu ifade geçildiğinde bu ifade özel çözüme eşit olur.özel çözüme eşit olur.
• Sütun matrislerinin yerlerine konulmasıyla BUAjwIX 1)(
Sürekli Sinüzoidal Hal ÇözümüSürekli Sinüzoidal Hal Çözümü
Asimptotik Kararlı Olma KoşuluAsimptotik Kararlı Olma Koşulu
• t tanım bölgesinde ispat zor….t tanım bölgesinde ispat zor….
t
tAAt dBeet0
)( )()0()( uxx
]0)([)( 1 )x()x( sBuAsIs
• Laplace DönüşümüLaplace Dönüşümüs tanım bölgesis tanım bölgesi
Durum Geçiş MatrisiDurum Geçiş Matrisi
)(
)()( 1
sM
sKAsI
kmm
kk ssssM )()()()( 22
11
m
i
k
l
tllim
i
k
ll
i
liiet
l
R
s
RL
1 1
1,
1 1
,111
)!1()(
Durum Geçiş Matrisi’nin DeterminantıDurum Geçiş Matrisi’nin Determinantı
zaman tanım bölgesine geçilirse…zaman tanım bölgesine geçilirse…
Kalıcı Çözüm ve Özdeğerlerin EtkisiKalıcı Çözüm ve Özdeğerlerin Etkisi
Öz Frekanslar…Öz Frekanslar…
0,
0,
0,
)sin()cos()(
)(
)( 1211
i
i
i
cı twKtwKt
t
t
ö
ö
kalı x
x
x
iii jw
Kökler Sağ Yarı Kökler Sağ Yarı Düzlemde Düzlemde
Kökler Sanal Eksen Kökler Sanal Eksen Üzerinde Üzerinde
Kökler Sol Yarı Kökler Sol Yarı Düzlemde Düzlemde
0i
0i
0i
Rezonans DurumuRezonans Durumu
0i• Bu durumda kökler Bu durumda kökler
sanal eksen sanal eksen üzerinde…üzerinde…
• Kaynağın frekansı, Kaynağın frekansı, devrenin öz devrenin öz frekansına eşit frekansına eşit olursa….olursa….
Çeşitli Devrelerin Durum Çeşitli Devrelerin Durum Değişkenlerinin İncelenmesiDeğişkenlerinin İncelenmesi
)cos(0
1
)(
)(
01
11
)(
)(wtERti
tv
L
CRCti
tv
dt
d
L
C
L
C
• R=0.5R=0.5 C=1C=1 L=1L=1 E=1E=1 w=0.2w=0.2
Devrenin Sayısal Yöntemle Elde Devrenin Sayısal Yöntemle Elde Edilmiş Tam ÇözümüEdilmiş Tam Çözümü
Kapasite GerilimiKapasite Gerilimi Endüktans Akımı Endüktans Akımı
0 50 100 150 200 250 300-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
0 50 100 150 200 250 300-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
12,1 ÖZDEĞERLERÖZDEĞERLER
Dördüncü Mertebeden Bir DevreDördüncü Mertebeden Bir DevreL4R5
C2
C1L3 R6i(t)
Dördüncü Mertebeden Devrenin Dördüncü Mertebeden Devrenin Durum DenklemleriDurum Denklemleri
ÖZDEĞERLER•0.3735
•-0.0168
•-0.6020
•-1.1047
i(t)*
0
0
0C
1
(t)i
(t)i
(t)v
(t)v
*
L
R0
L
10
00L
1
L
1C
1
C
1
CR
1
CR
1
0C
1
CR
1
CR
1
(t)i
(t)i
(t)v
(t)v
dt
d 1
L4
L3
C2
C1
4
5
4
33
222626
11616
L4
L3
C2
C1
• C1=10; C2=2;
• L3=3; L4=4;
• R5=5; R6=6;
• w=2;
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0
2
4
6
8
10
12
14x 10
7iL
3
Zaman
iL3(t)’nin Zamanla DeğişimiiL3(t)’nin Zamanla Değişimi
Seri Rezonans DevresiSeri Rezonans Devresi
• ÖZDEĞERLERÖZDEĞERLER
00 ++ 1j 1j
00 -- 1j 1j
Rezonans Durumunda Durum Rezonans Durumunda Durum DeğişkenleriDeğişkenleri
0 100 200 300 400 500 600-30
-20
-10
0
10
20
30
Zaman
vc1
Rezonans
0 100 200 300 400 500 600-30
-20
-10
0
10
20
30
Zaman
iL1
Rezonans
SONUÇLARSONUÇLAR
• Sürekli Sinüzoidal Halde Çözüm sadece Sürekli Sinüzoidal Halde Çözüm sadece özel çözümü veriyor.özel çözümü veriyor.
• Kalıcı çözümün özel çözüme eşit olması Kalıcı çözümün özel çözüme eşit olması için devre asimptotik kararlı olmalıiçin devre asimptotik kararlı olmalı
• Kaynağın frekansı ile devrenin özfrekansı Kaynağın frekansı ile devrenin özfrekansı aynı olursa; rezonans devresi kararsız aynı olursa; rezonans devresi kararsız olur ve durum değişkenleri zamanla olur ve durum değişkenleri zamanla sonsuz olarak artar. Dolayısıyla özel sonsuz olarak artar. Dolayısıyla özel çözüme ulaşılamaz.çözüme ulaşılamaz.
KAYNAKLARKAYNAKLAR
• Devre Analizi Dersleri – Kısım 1,Devre Analizi Dersleri – Kısım 1, Y. Y. Tokad, İTÜ Yayınları, 1977Tokad, İTÜ Yayınları, 1977
• Devre Analizi Dersleri – Kısım 2, Y. Devre Analizi Dersleri – Kısım 2, Y. Tokad, Çağlayan Kitabevi, 1987Tokad, Çağlayan Kitabevi, 1987
• Devre Analizi Dersleri – Kısım 4, Y. Devre Analizi Dersleri – Kısım 4, Y. Tokad, Çağlayan Kitabevi, 1987Tokad, Çağlayan Kitabevi, 1987
• Linear and Non-linear Circuits, L.O. Linear and Non-linear Circuits, L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh, McGraw-Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh, McGraw-Hill, 1987Hill, 1987