statİk - debis.deu.edu.trdebis.deu.edu.tr/.../statiksoru/statik_ders_notlari_ogrenci_1_.pdf ·...

Prof.Dr. Mehmet Zor Dokuz Eylül Üniversitesi Müh.Fak. Makine Mühendisliği Bölümü

04.09.2019 1

(Son Güncelleme: 04.09. 2019)

04.09.2019 2

ÖnsözSevgili Öğrenci Arkadaşlarım;

Mühendislik Fakültesi’nin farklı bölümlerinde anlattığım Statik dersine ait notlarımı istifadenize sunuyorum. Ders notlarını hazırlarken kendi tecrübelerime dayanarak şu noktalara dikkat etmeye çalıştım:

Öncelikle notlarımda dostane bir hava oluşturmak istedim. Bir zaman çalışmaya çalıştığım bir kitaptaki sert ve resmiüslubun, çok itici geldiğini, kitaptan beni soğuttuğunu ve çalışma şevkimi kırdığını görmüştüm. Dolayısıyla bir kitabınüslubunun, öğrenmeyi etkileyen çok önemli bir faktör olduğunu göze alarak, notlarımla dost olmanızı sağlayacak birüslubu kullanmaya gayret ettim.

Bazen espriler, figürler, karikatürler ve değerli bazı sözlerle samimiyeti arttırmayı ve ders çalışmaktan yorulan zihninize birteneffüs verip toparlanmasını sağlamayı hedefledim.

Konuların içinde, öğrenmeyi kolaylaştıran ve hızlandıran bazı anahtar püf noktaları özellikle vurgulamaya çalıştım. İlk örnek problemleri en zayıf anlayıştaki bir kişinin anlayabileceği tarzda açıklamaya çalıştım. Diğer örneklerde ise çok fazla

detaylı açıklamalara girmedim. Sadece cevabı belli olan bazı soruları konuların sonuna ekleyerek, kendi gayretinizle, hata yapa yapa, düşe kalka doğru

sonucu bulmanızı, bu şekilde konuları daha fazla pekiştirmenizi; ayrıca insanı geliştiren en önemli hadiselerin yenilgiler vebaşarısızlıklar olduğunu hissetmenizi hedefledim.

Sizlerden gelen öneri ve eleştirilerinizi de dikkate alarak, bu notları zaman içerisinde güncellemeyi, en anlaşılır seviyeye getirmeyi ve mümkün olursa ileride kitap halinde bastırmayı amaçlıyorum. Tüm öğrencilere ve statik konusuyla ilgili tüm araştırmacılarafaydası olması dileğiyle…

15.07. 2017-İzmirProf.Dr. Mehmet Zor

(DEU Makine Mühendisliği Bölümü)e-posta [email protected]

04.09.2019 3

1- Motivasyon

04.09.2019 4

BU DERS GERÇEK HAYATTA NE İŞE YARAYACAK?

• Çalıştığınız işletme şekildeki gibi bir portatif hamak seti imal etmek istemektedir.

• Ar-ge mühendisi olarak sizden hamakta kullanılacak iplerin en uygun çapını (d) belirlemenizi istemiştir. Zira ipler

çok ince olursa kopar, çok kalın olursa kopmaz ama pahalı olur.

• Bu sebeple bir mühendis olarak iplerin insan ağırlığına dayanabileceği minimum kalınlığı’nı (çapını)

belirleyebilirseniz, işletmemize en faydalı şekilde bir öneri de bulunabiliriz.

Bu sorunun cevabını bir örnekle anlamaya çalışalım:

• Şimdi birlikte düşünüyoruz: Hamak maksimum 120 kg lık kişiyi taşısın. Ancak 2 katı emniyetli olsun. Yani

durağan halde hamak maksimum 240kg (yaklaşık 2400N) luk bir yükü taşıması gerekir.

Selamlar.. Statik

Dersinde Başarılar!

Motivasyon

04.09.2019 5

İlk adım iplere düşen kuvvetleri (T1, T2) bulmaktır.

2.Adım ise ipin emniyetli çapını (d) hesaplamaktır.

Statik hesaplardan

Mukavemet hesaplarından

• Görüldüğü gibi statik ve mukavemet birbirlerini tamamlayan iki derstir.• Mukavemet dersinde doğrudan gerçek hayata uygulanabilen boyut hesablamaları (d çapının

belirlenmesi gibi) yapılır ki bu hesaplamalar mühendislerden beklenir.• Ancak boyutu hesaplamadan önce kuvvetlerin bilinmesi gerekir. Bu ise Statik dersinin temel

konusudur. • O halde bir mühendis olarak öncelikle statik hesaplarını iyi öğrenmemiz son derece önemlidir.

Şunu unutmayın: ip kuvvetleri (T1, T2 ) bilinmeden minimum çap (d) hesaplanamaz. O halde;

Motivasyon

04.09.2019 6

• Şimdi Çevrenizdeki dış yüklerin etkisine maruz kalan katı cisimlere bir göz atınız.Örneğin, sandalye, masa, sehpa, yatak, dolap, asansör, kitaplık, merdiven,ayakkabılarınız.. Her birisinde, ince olduğu taktirde kırılması, kopması muhtemelparçaları görmeye çalışınız.

W

statikten

mukavemetten

Motivasyon

04.09.20197

• Bu parçaların ince tutarak, malzemeden kazanabilir ekonomik açıdanişletmenize fayda sağlayabileceğinizi düşünebilirsiniz. Ancak budurumda dayanımı riske ettiğinizin farkında olmalısınız. Olayı tam tersidüşünürsek, parçaları kalınlaştırıp dayanım riskini azaltabilirsiniz fakatbu durumda da daha fazla malzeme kullanmanız gerektiğinden imalatıdaha pahalıya getirirsiniz.

• İşte bir mühendis olarak sizden beklenen şey, bu dayanım veekonomiklik şartlarını en iyi şekilde sağlayacak hesaplamalarıyapabilmenizdir ki, bu faaliyete optimizasyon, sonucuna ise optimumçözüm denir.

• Aslında nihai hedefimiz dayanım açısından minimum boyutların tespitedilmesidir. Bu ise mukavemet hesaplarıyla mümkündür. Fakatdediğimiz gibi Statik hesaplar yapılmadan, Mukavemet hesaplarıyapılamaz. Bu sebeple Statik dersi Mukavemet dersinin temelinioluşturur. Statikte ana hedef durağan haldeki katı cisimlere etki edenkuvvetlerin belirlenmesidir.

Motivasyon

04.09.2019 8

Şunu da belirtmekte fayda var ki, boyutların değiştirmekle dayanım ve ekonomiklikaçısından en iyi çözüm bulunabilir ancak bu sırada sistemin işlevselliğinin vekullanılabilirliğinin de kaybedilmemesi gereklidir. Bu da karşımıza üçüncü bir şartolarak çıkmaktadır.

Yüklere dayanabilmiş ancak aşırı şekil değiştirmekle işlevselliğini yitirmiş bir köprü

Motivasyon

04.09.2019 9

Sonuç olarak, yeni bir ürünün tasarım aşamasında veya mevcut bir ürünü iyileştirme faaliyetlerinde, şu 3 şartı en iyi seviyede sağlamak gerekir ki, optimum çözüm elde edilebilsin:

1- Dayanım2- Ekonomiklik3- İşlevsellik

İmalatta kullanılan malzeme israfının önlenerek, işletmelerin giderlerininazaltılması ve dolayısıyla daha fazla kâr yapabilmesi, ancak statik ve mukavemetkonularına yeterince hâkim olan ve bu sayede doğru optimizasyon hesaplamalarıyapabilen mühendislerle mümkündür.

Motivasyon

04.09.2019 10

Sizi niçin işe alalım? Bize ne gibi faydanız olabilir?

Ürünlerinizin dayanım açısından

optimizasyonunu yaparak, en az malzeme maliyeti ile imal

etmenizde yardımcı olabileceğimi düşünüyorum.

Motivasyon

KONULAR

Statik

1. Vektörler

2. Kuvvet Sistemleri

3. 2 Boyutlu Denge

4. 3 Boyutlu Denge

5. Kafes Sistemler

6. Çerçeveler ve Makinalar

7. Ağırlık Merkezi

8. Atalet momenti

Kuvvet Hesaplamaları

9. Sürtünme

10. Virtüel İşler Prensibi

Kuvvet Hesaplamaları

04.09.2019 11

Giriş.

Newton Kanunları

1. Kanun: Başlangıçta durağan halde olan veya sabit hızla bir doğru boyunca

hareket eden bir cisim üzerine dengelenmemiş bir kuvvet etki etmedikçe (net

kuvvet ve moment sıfır ise) bu hareket durumunu korur.

(Bu kanun Statik biliminin temelini oluşturur.)

2. Kanun: Bir parçacığın ivmesi, üzerine etki eden bileşke kuvvetle doğru orantılı

ve kuvvet doğrultusundadır. F=ma

(Bu kanun Dinamik Dersinin Temelini oluşturur.)

3. Kanun: İki parçacık arasındaki etki ve tepki kuvvetleri eşit, aynı doğrultu

üzerinde ve zıt yönlerdedir.

(Bu kanun Mukavemet Dersinin temelidir.)

04.09.2019 12

Giriş.

Statikte Kullanacağımız Birim Sistemleri

Birim SI

Kütle kilogram (kg)

Uzunluk metre (m)

Zaman saniye (s)

Kuvvet Newton (N)

1 Newtonluk kuvvet: 1 kilogramlık kütleyi 1 m/s2 ivmelendiren kuvvet değeridir.

04.09.2019 13

Püf Noktası (PN) – 1.1: Statik denge denklemlerinin sağ tarafı sıfır olduğundan birim dönüşümüne gerek kalmaz.

Ancak tabi ki hesaplamalarda büyüklükler aynı cins birimden yazılmalıdır. (Mesela tüm kuvvetler kN veya Newton

alınmalıdır.)

Giriş.

1. VEKTÖRLER

04.09.2019 14

1.1 konunun önemi

04.09.2019 15

Soru: Bu konuyu öğrenmek bize ne kazandıracak?

Cevap: Bu konuyu iyice anlayabilirsek;

Statik’in temel konusu olan kuvvet hesaplamalarını

yapabilecek ve özellikle üç boyutlu denge problemlerini,

daha kolay ve pratik olarak çözebileceğiz.

Hatırlayın : Kuvvetleri hesaplamanın ne önemi vardı?

Kuvvetleri bilmeden mukavemet hesapları yapılamaz. İncelenen parçanın, kuvvete dayanması için gerekli minimum boyutları mukavemet hesaplamalarıyla belirlenir. Bu minimum boyutlar ise günlük hayatımıza uygulanabilir bir veri elde etmemizi sağlar. Zira boyutlar bu

değerlerden büyük olmalıdır.

1. VEKTÖRLER

Bu konuyu niçin öğrenmeliyim ?

1.2 Skaler büyüklük: Sadece şiddeti bulunan büyüklükler (örn: uzunluk, zaman, kütle, hacim,

enerji, yoğunluk) Bir harf ile sembolize edilebilir. (örn: kütle: m)

1.3 Vektörel büyüklük: Şiddeti ile birlikte yönü olan büyüklüklerdir. (örn: hız, ivme, kuvvet)

1.4 Bir vektörün gösterimi: Bir okla gösterilir. Sembolize edilirken harfin üzerinde bir ok koyulur.

04.09.2019 16

Vektörel Gösterimi: 𝑉

Şiddeti : V veya I 𝑉 I

Doğrultusu : AB

Yönü : A’dan B’ye doğru

Uygulama noktası : A

Yatayla yaptığı açı : q

Şimdi vektörlerle ilgili tanım ve işlemleri sırasıyla işleyip, son kısımda çeşitli örneklerle konuyu pekiştirmeye çalışacağız.

1. VEKTÖRLER

𝜃

𝑉

etkime doğrultusu

A

B

V

04.09.2019 17

1.5 Vektörlerin Sınıflandırılması

P.N 2.1 : Sınıflandırmada esas olan vektörün etkisinin korunmasıdır. (P.N: Püf Noktası)

1-Serbest vektör (Free vector): Belirli bir şiddeti, doğrultusu ve yönü vardır ama etkime doğrultusu uzayda tek bir noktadan geçmez. Sabit bir hızla doğrusal hareket yapan bir aracın hız vektörü buna bir örnektir.

2- Kayan vektör (Sliding vector): Belirli bir şiddeti, doğrultu ve yönü vardır. Uygulama noktası etkime doğrultusu üzerinde herhangi bir nokta olabilir. Rijit bir cisme etki eden kuvvet, aynı etkiyi etkime çizgisi üzerinde herhangi bir noktadan uygulandığında da gösterir ki bu kuvvet kayan vektöre bir örnektir.

3- Sabit vektör (Fixed vector): Belirli bir şiddeti, doğrultu ve yönü vardır. Etkime doğrultusu uzayda tek bir noktadan geçer. Elastik bir çubuğa uygulanan çekme kuvvetleri buna bir misaldir. Kuvvetlerin aynı etkiyi koruması için etkime doğrultusu ve noktası sabit olmalıdır.

1. VEKTÖRLER

1.6 Kaydırılabilme İlkesi (Principle of transmissibility):

Rijit cisim üzerine etkiyen kuvvetin şiddeti, doğrultusu ve yönü aynı kalmak koşuluyla uygulama noktası,

doğrultusu üzerinde herhangi bir noktaya taşınabilir ve bu işlem sonucu cisme etkisi değişmez.

04.09.2019 18

1. VEKTÖRLER

Bir cismi arkadan itsek veya önden aynı doğrultuda aynı kuvvetle çeksek, teorik olarak bu kuvvetlerin mekanik etkisi aynıdır.

1.7.1 Kartezyen Koordinatlar : Birbirine dik (ortogonal) eksenlerden oluşan eksen

takımıdır. İki boyutlu (düzlemsel) durumda x ve y eksenlerini, üç boyutlu (uzaysal)

durumda x, y ve z eksenlerini içerir. Eksenlerin 2si keyfi, diğeri onlara bağlı yerleştirilir.

04.09.2019 19

1. VEKTÖRLER

z

y

x

04.09.2019 20

1.7.2 Eksenlerin yerleştirilmesi nasıl yapılır?

x ve y eksenleri keyfi olarak yerleştirilir; ancak z ekseninin yönü artık keyfi olamaz.

z ekseni sağ el kaidesiyle yerleştirilir.

Yani x ekseni sağ elimizin 4 parmağıyla tutup, y ekseni üzerine kaparsak baş parmağımızın

yönü + z eksenini gösterir.

Sağ elinizin aldığı bu pozisyonda daima, işaret parmağınız x, orta parmağınız, ybaş parmağınız, z yönündedir.

veya

x ve y eksenlerini keyfi yerleştirdikten sonra,Sağ elinizin 4 parmağıyla x eksenini tutup, y ekseni üzerine doğru döndürür gibi yaparsanız, baş parmağınızın yönü z eksenini gösterecektir.

1. VEKTÖRLER

1.8 Vektörelerin toplanması ve çıkarılması

Toplama:

Çıkarma:

04.09.2019 21

Vektörlerin Toplama ve çıkarma işleminde 2 yöntem vardır:

a-) Paralelkenar yöntemi:

Çıkarılan 2nci vektör 180 derece ters çevrilip toplama işlemi aynen yapılır.

Vektörlerin başlangıç noktaları birleştirilir ve bir paralel kenar oluşturulur. Bu paralel kenarın

diyogonali ( 𝑅 ) iki vektörün toplamına eşittir.

Ԧ𝐴𝐵

+

Ԧ𝐴

𝐵 𝑅 = Ԧ𝐴+𝐵

=

Ԧ𝐴 -

𝐵

=Ԧ𝐴

−𝐵

𝑅 = Ԧ𝐴 − 𝐵

1. VEKTÖRLER

b-) Üçgen Yöntemi (uç uca ekleme yöntemi):

04.09.2019 22

Toplama: 2nci vektör 1nci vektörün ucuna (bitim noktasına) eklenir. 1nci vektörün başlangıcından , 2nci vektörün

bitiş noktasına çizilen vektör toplam vektörü (R ) verir.

Çıkarma: 2nci vektör 180 derece çevrilip toplama işlemi aynen uygulanır.

Ԧ𝐴

𝐵

+ 𝐵

𝑅 = Ԧ𝐴+𝐵

=

Ԧ𝐴 -

𝐵

=

Ԧ𝐴

−𝐵

𝑅 = Ԧ𝐴 − 𝐵

1. VEKTÖRLER

c-) Birden Fazla vektörün toplanması veya çıkarılması: Bu durumda üçgen

yöntemi daha pratiktir. Vektörler uç uca eklenir ve ilk vektörün başlangıcından

son vektörün ucuna çizilen vektör bileşkeyi verir. Vektörlerin sırasının önemi

yoktur. Çıkarılacak vektörleri varsa yine 180derece çevrilir.

04.09.2019 23

𝐵

Ԧ𝐴

Ԧ𝐶

Ԧ𝐴

𝐵

Ԧ𝐶

− Ԧ𝐶

Ԧ𝐴

𝐵

1. VEKTÖRLER

1.9 Bir vektörün bir skalerle (bir katsayı ile) çarpımı:

• Sonuç, başka bir vektördür.

• Sonuç vektörün şiddeti = (çarpılan vektörün şiddeti) x (katsayı)

• Sonuç vektörü, ilk vektöre paraleldir ancak yönü değişebilir.

• Eğer çarpım katsayısı pozitif ise sonuç vektörü aynı yönde, katsayı

negatif ise zıt yönde (180derece ters) olur.

04.09.2019 24

1. VEKTÖRLER

Sonuç bir skalerdir (bir sayıdır).

Bu sayı; her iki vektörün şiddetleri ve aralarındaki açının cosinüsünün

çarpılmasıyla bulunur.

Skaler çarpımda arada ‘ . ‘ ( nokta) kullanılır.

04.09.2019 25

1.10 İki Vektörün Birbirleriyle Skaler Çarpımı (.) :

Şiddetler : A = 5, B = 4 ve q = 60o 𝐵 = 5.4.Cos60o = 10Ԧ𝐴 .

Örneğin;

(D2.1)

Hatırlatma: bir vektörün üzerinde ok yoksa bu şiddeti anlamına gelir. Örneğin Ԧ𝐴 vektörünün şiddeti A

ile gösterilir. Şiddetin gösterimi için bir başka alternatif ise Ԧ𝐴 dır.

1. VEKTÖRLER

Sonuç başka bir vektördür.

Sonuç vektörünün şiddeti :her iki vektörün şiddetleri ve

aralarındaki açının sinüsünün çarpılmasıyla bulunur.

Sonuç vektörünün yönü: çarpılan vektörlerin bulunduğu

ortak düzleme diktir ve sağ el kaidesiyle bulunur.

Sağ el kaidesi : Çarpılan ilk vektör sağ elimizin 4

parmağıyla tutulur ve ikinci vektör üzerine kapatılır. Bu

durumda baş parmağımızın yönü sonuç vektörünün

yönünü verir.

Vektörel çarpımda arada ‘ x ‘ veya ‘^’ kullanılır.

04.09.2019 26

𝑏 =Ԧ𝑎 x

1.11 İki Vektörün Birbiriyle Vektörel Çarpımı (x):

(D2.2)Ԧ𝑐 c =a.b.Sinq

Yönü:

Şiddeti:

1. VEKTÖRLER

1.12 Sağ el kaidesini tekrar edelim:

İlk çarpılan vektörü (A) 2nci vektörün (B) üzerine sağ elimizle dört parmağımızla kapatırız. Başparmağımızın

yönü sonuç vektörünün (C) yönünü verir. Bu yön çarpılan vektörlerin düzlemine dik yöndür.

Bu nedenle vektörel çarpımda vektörlerin çarpım sırası önemlidir.

Ԧ𝐴 𝑥 𝐵 + Ԧ𝐶 = Ԧ𝐴 𝑥 𝐵 + Ԧ𝐴 𝑥 Ԧ𝐶

1.13 Vektörel Çapımda Dağılma Özelliği :

04.09.2019 27

Reel sayılardaki bu özellik vektörler için de geçerlidir. Yani:

Yapraksız kaldın diye gövdeni kestirme. Zira bu işin baharı da var. (Mevlana)

Ԧ𝐴 𝑥 𝐵 ≠ 𝐵 𝑥 Ԧ𝐴

Ԧ𝐴 𝑥 𝐵 = −(𝐵 𝑥 Ԧ𝐴)

1. VEKTÖRLER

1.14 Birim Vektör ( 𝑛 ):Herhangi bir doğrultuda, şiddeti 1 birim olan vektördür.

𝑛 = 1

𝑛= Ԧ𝐴

𝐴

Ԧ𝐴 = 𝐴. 𝑛

Birim vektör nasıl bulunur? : Birim vektör; kendisiyle aynı yönde olan bir vektörün kendi şiddetine bölünmesiyle bulunur.

04.09.2019 28

Bu tanıma göre;

Not: Birim vektör ise aynı yönde başka bir vektörün yardımıyla D2.4 denklemi ile bulunur. Bununla ilgili örnekler ileride verilecektir.

(D2.4)

(D2.5)

D2.5 denklemi bize der ki: Bir vektörün şiddeti belli iken, vektörel ifadesini bulmak istiyorsan; vektörün şiddeti ile vektörle aynı yöndeki birim vektörü çarp.

1. VEKTÖRLER

Kartezyen koordinatlarda eksenler (x,y,z) doğrultularındaki birim vektörler, özel olarak i, j,k ile sembolize edilir. Bunlar birbirlerine dik bir vektörlerdir.

04.09.2019 29

1.15 Kartezyen birim vektörler (i, j ,k)

1.16 Kartezyen birim vektörlerin birbirleriyle vektörel çarpımı:

Örneğin i ve j vektörlerini birbiriyle vektörel çarpımının sonucunu arıyoruz. Ԧ𝑖𝑥Ԧ𝑗 =?

Çıkan sonuç vektörünün şiddeti:

Çarpılan vektörlerin şiddeti ile aralarındaki açının sinüsü çarpılır.

Çıkan sonuç vektörünün yönü: sağ el kaidesiyle +z yönündedir.

Vektörel çarpım gereği sonuç başka bir vektördür. (bknz: 2.11)

Sağ elimizin dört parmağıyla çarpılan 1. vektörü (i) tutup, 2.vektör (j) üzerine kapayınca, baş parmağımızın yönü sonuç vektörünün yönünü gösterir.

Sonuç vektörü, +z doğrultusunda 1 birim şiddetinde çıkmıştır.

Bu ise 𝑘 vektörüdür. O halde;

11.1.190sin ==ji

Ԧ𝑖𝑥Ԧ𝑗 = 𝑘

1. VEKTÖRLER

04.09.2019 30

Benzer şekilde 𝑘𝑥Ԧ𝑗 = −Ԧ𝑖 ve 𝑘𝑥Ԧ𝑖 = Ԧ𝑗 olduğunu görmeye çalışınız.

O halde, Kartezyen birim vektörlerin ikisinin birbiriyle çarpımı diğer Kartezyen birim vektöre eşittir. İşareti ise sağ el kaidesiyle tespit edilir.

1.17 Şema yardımı ile Kartezyen birim vektörlerin vektörel çarpımı:

i,j,k vektörlerinde herhangi ikisinin çarpımı diğer 3ncü vektörü verir. İşareti

ise yandaki şema yardımıyla bulunur. Çarpılan ilk vektörden, çarpılan ikinci

vektöre gidiş yolu saat ibresi yönünde ise sonuç pozitif, aksi halde

negatiftir.

Ԧ𝑗𝑥𝑘 = Ԧ𝑖 Şemada j den k ya gidiş saat ibresi yönünde olduğundan çıkan sonuç + i dir.Örn-1:

Örn-2: Ԧ𝑖𝑥𝑘 = −𝑗 Şemada i den k ya gidiş saat ibresi tersi yönünde olduğundan çıkan sonuç - j dir.

Ԧ𝑗𝑥Ԧ𝑖 = −𝑘 Olduğunu görmeye çalışın.

1. VEKTÖRLER

04.09.2019 31

Kartezyen Birim vektörlerin kendisi ile vektörel çarpımı sıfırdır. Çünkü aralarındaki açı 0 dır.

Ԧ𝑖𝑥Ԧ𝑖 =? 00.1.10sin ==ii

Şiddeti :

Ԧ𝑗𝑥Ԧ𝑗=𝑘𝑥𝑘 = 0

Ԧ𝑖𝑥Ԧ𝑖 =0

Benzer şekilde

Örneğin;

1.18 Kartezyen birim vektörlerin skaler çarpımı:

2.10 maddesinden biliyoruz ki, skaler çarpımda, sonuç bir sayıdır ve çarpılan vektörlerin şiddeti ile aralarındaki açının cosinüsü çarpılır. Kendi aralarındaki açı 0o, diğerleriyle aralarındaki açı 90o dir. Buna göre;

Ԧ𝑖. Ԧ𝑖 = Ԧ𝑖 . Ԧ𝑖 .Cos 0o=1.1.1 =1Kartezyen birim vektörlerin kendisiyle skaler çarpımı sonucu 1 dir. Örneğin:

Kartezyen birim vektörlerin birbirleriyle skaler çarpımı sonucu 0 dir. Örneğin: Ԧ𝑖. Ԧ𝑗 = Ԧ𝑖 . Ԧ𝑗 .Cos 90o=1.1.0 =0

1. VEKTÖRLER

Bir vektörün bir eksen üzerindeki izdüşümü vektörün bitim noktasından o eksene inilen dik ile bulunur.

04.09.2019 32

: D eksenindeki birim vektör

1.19 İzdüşüm :

a- İzdüşümün şiddetini nasıl buluruz?

: V vektörünün D eksenindeki izdüşümüdür.

veya (D2.6)*

D2.6 denklemi der ki: Bir vektörün bir eksen üzerindeki izdüşümünün şiddeti o vektörün o eksendeki birim vektörle skaler çarpımına eşittir.

b- İzdüşümün vektörel ifadesini nasıl buluruz?

D2.5 denklemini önce hatırlamakta fayda var: Bir vektör, kendi şiddeti ile kendisiyle aynı yöndeki birim vektörün skaler çarpımına eşittir.

Buna göre :

D2.6 denklemini de düşünürsek izdüşüm vektörü : (D2.7)

1. VEKTÖRLER

1.20 Bileşen:

Bir vektörün 2 farklı eksen üzerindeki bileşenlerini bulmak için, vektörün ucundan (bitim

noktasından) herbir eksene paralel çizgiler çizeriz. Bu çizgilerin eksenleri kestiği noktalar vektörün

bileşenlerini verir.

04.09.2019 33

(D2.8)

P.N 2.2 : İki vektörün toplama işleminde (bk: 2.8), toplanan vektörlerin aslında bileşenler olduğuna dikkat ediniz.

1. VEKTÖRLER

1.21 Bileşenle İzdüşüm Arasındaki Fark:

Eksenler birbirine dik olduğunda

bileşen ve izdüşümler üst üste çakışır ve

aynı olur.

04.09.2019 34

1.22 Bileşenle İzdüşüm Ne zaman çakışır?

Yandaki şekilde bu fark net olarak görülmektedir. İzdüşüm için tek, bileşen için iki eksenin varlığı gerekli

olduğuna dikkat ediniz. Anlamadı iseniz 2.17 ve 2.18 maddelerini tekrar inceleyiniz.

Dikkat: Kartezyen koordinat eksenleri (x,y,z) birbirlerine diktir. Bu sebeple bu eksenlerdeki izdüşüm

ve bileşenler aynıdır.

1. VEKTÖRLER

04.09.2019 35

1.23 Bir Vektörün Kartezyen Bileşenleri

yx UUU =

jUiUU yx

=

jUUiUU yyxx == ,

D2.5 denklemine göre bir vektör, şiddeti ile birim vektörün çarpına eşit idi. O halde :

yazılabilir

kartezyen bileşenleri belli olan bir vektörün şiddeti :

Yatayla yaptığı açı:

22

yx UUU =

Düzlemde ( iki boyutlu halde)

: Bir U vektörünü x ve y eksenlerinde bileşenlerine (Ux, Uy) ayırıyoruz.

Bu bileşenler aynı zamanda izdüşümlerdir. Çünkü eksenler diktir. (bk:2.20)

(D2.9a)

1. VEKTÖRLER

04.09.2019 36

Üç boyutlu durumda ilaveten Uz bileşine de gelir.

jUiUU

UiUU

yxxy

xyz

=

=

222

zyx UUUU = (D2.9b)Kartezyen bileşenleri belli olan vektörün şiddeti:

kUjUiUU zyx =

1. VEKTÖRLER

1.24 Konum Vektörü: Başlangıç ve bitiş noktasının koordinatları belli olan bir konum vektörü şu şekilde bulunur.

04.09.2019 37

𝐴𝐵 = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2+(𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)

2+(𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)2

Konum vektörünün Şiddeti:

(D2.10)

(D2.11)

(D2.12)Konum vektör cinsinden birim vektör:

Konum vektörü:

1. VEKTÖRLER

1.25 Bir Vektörün Bir Eksene Paralel ve Dik Bileşenini nasıl buluruz? Yani;

04.09.2019 38

U

b

q

D2.7 denklemi ile D2.13 denklemleri aslında aynı şeyi ifade eder.

c-) Dik bileşen:

b-)Şimdi paralel bileşenin vektörel ifadesini ( ) bulalım. 2.5 denklemine göre, bir vektörün vektörelifadesini bulmak istersek; vektörün şiddeti ile kendi doğrultusundaki birim vektörün skaler çarparız.

belli iken b eksenine paralel ve dik bileşenlerini arıyoruz

Ԧ𝑒U ve

=? =? Birim vektör

b

Ԧ𝑒

a-) Önce paralel bileşenin şiddetini ( ) bulalım. D2.6 denklemine göre, bir vektörü başka bir doğrultudaki birim vektörle skaler çarparsak, birim vektörün doğrultusuna paralel izdüşümünün şiddetini buluruz. Yani;

Yani:

(2nci eksen b eksenine dik olduğundan aynı zamanda bileşen olur. bk.: 2.20)

(D2.13)

Şunları da görebilmek gerekir:

Ayrıca: ,

1. VEKTÖRLER

1.26 Vektörel çarpımın matris formatı:

04.09.2019 39

Vektörel çarpımı yaparken aşağıdaki gibi oluşturulan matrisin detarminantını da almak mümkündür. Bu şekilde i, j ve k birim vektörlerinin katsayıları daha kolay bulunabilir.

Vektörel çarpımını hesaplayınız.

Örnek:

1. VEKTÖRLER

1.27 Karışık Üçlü Çarpım: 2 vektörün vektörel çarpımı ile 3ncü bir vektörün skaler çarpımı

sözkonusu ise yine matris formatında çarpım yapılabilir.

zyx

zyx

zyx

zyx

zyxzyx

zyx

zyx

zyx

WWW

VVV

UUU

WVU

WWW

VVV

kji

kUjUiUWVU

kWjWiWW

kVjViVV

kUjUiUU

=

=

=

=

=

veya

04.09.2019 40

Bir kuvvetin bir doğruya göre momenti alınırken bu işlem pratik bir çözüm olabilir. İleride bu konu anlatılacaktır.

1. VEKTÖRLER

1.28 Doğrultman Kosinüsleri

04.09.2019 41

Bir vektörün Kartezyen eksenlerin herbirisi ile yaptığı açıların (a, b, g

Kosinüsleridir. Mukavemetle ilgili bazı hesaplamalarda daha pratik çözümler için kullanılır.

Doğrultman Kosinüsleri

Şimdi vektörlerle ilgili bilgilerimizin zihnimizde daha iyi yerleşmesi için çeşitli örnekler inceleyeceğiz….>>

Ç

1. VEKTÖRLER

Örnek 1.1 : Şekildeki 80 birim şiddetindeki V vektörü, +x ekseni

ile q =300lik açı yapmaktadır.

a-) 𝑉 yi elde ediniz. (V nin vektörel ifadesini bulunuz.)

b-) 𝑉 ile aynı doğrultudaki birim vektörü elde ediniz.

Çözüm:

04.09.2019 42

1. VEKTÖRLER

04.09.2019 43

Örnek 1.2: 800 N şiddetindeki F kuvvetinin a-) x ve y eksenlerindeki bileşenlerini, b-) a-b doğrultularındaki bileşenlerini ve izdüşümlerini bulunuz.

Not: x-y birbirine dik olduğu için bileşenler aynı zamanda izdüşümlere eşit olur.

1. VEKTÖRLER

Örnek 1.3: Şiddeti F=18 birim olan Ԧ𝐹 vektörünü vektörel olarak ifade ediniz.

A(0,1,2) , B(2,0,0)

Ԧ𝐹 = 𝐹. 𝑛 = 18.𝐴𝐵

𝐴𝐵= 18.

2−0 𝑖+ 0−1 𝑗+ 0−2 𝑘

𝐴𝐵= 18.

2𝑖−𝑗−2𝑘

22+12+22=

18(2𝑖−𝑗−2𝑘)

3

→ Ԧ𝐹 = 12𝑖 − 6𝑗 − 12𝑘 bulunur.

Çözüm:

D2.5 e göre bir vektör, şiddeti ile birim vektörün

çarpımına eşittir. Ԧ𝐹 = 𝐹. 𝑛

04.09.2019 44

Bu örnekte cevaplarını bulduğumuz sorular:

1- Bir vektörün şiddeti ve vektör doğrultusu üzerinde 2 noktanın koordinatları belli iken vektörel ifadesini nasıl buluruz?

2- Başlangıç ve bitiş noktalarının yeri belli olan bir konum vektörünü ve aynı yöndeki birim vektörü nasıl buluruz?

Tut ki Ali’den sana miras kaldı Zülfikar. Sende Ali’nin yüreği yoksa Zülfikar neye yarar? (Mevlana)

D2.12 ye göre birim vektör, kendi yönündeki konum vektörünün

şiddetine bölümüne eşittir. 𝑛 = 𝐴𝐵

𝐴𝐵

Bk: D2.11

1. VEKTÖRLER

Örnek 1.4 Şiddeti V= 5 birim olan 𝑉 vektörünü, vektörel olarak ifade ediniz.

A(0,1,2) , B(2,0,0), C(2,1.5,0)

𝑉 = 𝑉. 𝑛

= 5𝐴𝐵𝑥𝐴𝐶

𝐴𝐵𝑥𝐴𝐶

= 52𝑖 − 𝑗 − 2𝑘 𝑥(2𝑖 + 0.5𝑗 − 2𝑘)

𝐴𝐵𝑥𝐴𝐶

=5.(1𝑘+4𝑗+2𝑘+2𝑖−4𝑗+1𝑖

𝐴𝐵𝑥𝐴𝐶= 5.

(3𝑖+3𝑘)

32+32

→ 𝑉 = 3.53𝑖 + 3.53𝑘

Çözüm:

• Bir vektör, kendi şiddeti ile birim vektörün çarpımına eşittir. 𝑉 =𝑉. 𝑛

• V=5 dir. O halde önemli olan 𝑛 birim vektörünün bulunmasıdır.• Birim vektör, kendi doğrultusunda herhangi bir vektörün

şiddetine bölümü ile bulunur. 𝑛 =𝑇

𝑇

• Şimdi önemli olan 𝑛 doğrultusunda herhangi bir 𝑇 vektörü eldeetmektir.

Not: 𝑇 = 𝐶𝐴𝑥𝐶𝐵 veya 𝑇 = 𝐵𝐶𝑥𝐵𝐴 şeklinde alınabilir. Önemli olan n doğrultusunda herhangi bir vektörün oluşmasıdır.

• İki vektörün vektörel çarpımı, bulundukları düzleme dik(düzlem normali doğrultusunda) başka bir vektörü verir. Yönüise sağ el kaidesine göre bulunur.

• Buna göre 𝑇 = 𝐴𝐵𝑥𝐴𝐶 yazılabilir. 𝐴𝐵 𝑣𝑒 𝐴𝐶 koyudüzlemdedir ve çarpımları +n normali doğrultusundadır. AB yiAC ye sağ elimizle kapatırsak baş parmağımız n doğrultusunugösterir.)

04.09.2019 45

Bu örnekte cevaplarını bulduğumuz sorular:

1-Diyogonal (eğimli) bir düzleme dik bir vektörün şiddeti belli iken vektörel ifadesini nasıl buluruz?

2-Diyogonal bir düzlemin normali doğrultusundaki birim vektörü nasıl buluruz?

1. VEKTÖRLER

04.09.2019 46

x

y

z

2 m

2 m

2 m

1,8 m

A

B

CD

1 m

1 mF1

F2

F3

1F AB=

2F DC=

3F AD=

olduğuna göre1 2 3 ?F xF F =

End. Statik 1.vize-2007Örnek (Soru) 1.5:

Cevap: 0.2Ԧ𝑖 + 6Ԧ𝑗 + 7.6𝑘

1. VEKTÖRLER

04.09.2019 47

xy düzlemindeki T ve P vektörlerinin şiddetleri ,

T= 20 , P= 30 dir. Buna göre aşağıdaki

işlemleri yapınız.

a-) ത𝑇 𝑥 ത𝑃 =?

b-)ത𝑇 . ത𝑃 − 3 =?

c-) 2ത𝑇 − ത𝑃 𝑥(ത𝑇 𝑥 3 ത𝑃) =?

ഥ𝐹1 = 3𝑖 + 4𝑗 − 5𝑘 , 𝐹2 = −4𝑖 + 3𝑗 , 𝐹3 = 8𝑗 + 3𝑘

ise aşağıdaki işlemleri yapınız.

a-10p) ( ഥ𝐹1𝑥 𝐹2 ). 𝐹3 =?

b-10p) ( ഥ𝐹1. 𝐹2 ). 𝐹3 =?

c-10p) ഥ𝐹1𝑥 (𝐹2 - 𝐹3 ) =?

Örnek Soru 1.6 (2015 - 1.vize – Makine Muh. Bl.)

Örnek Soru 1.7 (2014 – 1.vize)

1. VEKTÖRLER

04.09.2019 48

Örnek Soru 1.8

Cevap: B(12, 9, 8 )

Örnek Soru 1.9

Şekilde gösterilen vektörler:

ve

olarak veriliyor. Buna göre :a-) bu vektörlerin arasındaki açının değerini hesaplayınız. (cevap:70.55o )b) Bu vektörlerin toplamının şiddetini hesaplayınız.(cevap:10.05)

𝑟1 = 4𝑖 + 3𝑗 𝑟2 = 6𝑖 − 4𝑗

Şekildeki AB direğine bağlı BO halatına Ԧ𝑃 = −120𝑖 − 90𝑗 − 80𝑘 (N) luk bir kuvvet uygulanmıştır. Halatın uzunluğu 17 m olduğuna göre B noktasının koordinatlarını hesaplayınız.

Ç

Ç

1. VEKTÖRLER

04.09.2019 49

40o

A

B

Örnek (Soru) 1.10 A vektörü 27, B vektörü 15 birim şiddetinde olduğuna göre aşağıdaki vektörel işlemlerin sonucunu bulunuz.

𝑎−) Ԧ𝐴 + 𝐵 =?

𝑏−) 𝐵. Ԧ𝐴 =?

c−) 𝑘. (𝐴𝑥𝐵) =?

Cevaplar: a-)18.26, b-)-310.23 c-) 260.28

Örnek (Soru) 1.11.

Şekildeki sistemde V vektörünün şiddeti 200, P vektörünün şiddeti 600 ise V ve P nin vektörelifadelerini bulunuz.

Cevap:

𝑉 = 120𝑖 + 160𝑗

𝑃 = 204.5𝑖 + 339.4𝑗 + 424.25𝑘

1. VEKTÖRLER

04.09.2019 50

Örnek Soru 1.12

𝐹1 = −8Ԧ𝑗 − 6𝑘

𝑀1 = 15.6Ԧ𝑖 − 10Ԧ𝑗 −7.4𝑘

F1=10kN (DCBF düzleminin tam ortasına dik uygulanmış), M1= 20kNm (EFD düzlemine uygulanmış) ise,

𝐹1 =? 𝑀1 =?

Cevaplar:

Ç

1. VEKTÖRLER

04.09.2019 51

2. KUVVET SİSTEMLERİ

F F

W

P P

K

04.09.2019 52

2.1 Konunun Önemi:

Kuvvet vektörel bir büyüklüktür.

Kuvvet Statik dersindeki en önemli kavramdır.

Vektörler için yapılan tüm işlemler kuvvetler için de yapılabilir.

Ayrıca kuvvetlerle yapılabilecek vektörel tanımlar ve işlemler vardır. Bunların öğrenilmesi

dersin amaçları açısından çok önemlidir.

Bu bölümdeki işlemleri iyice kavramamız durumunda statik denge problemlerini çok

daha rahat ve anlayarak çözebileceğiz.

F


1- Dış Etki: Kuvvetin dış etkisi (external effect) cismi hareket ettirmeye çalışmaktır.

04.09.2019 53

Bir cismin üzerine uygulanan kuvvet, cisim

üzerinde iki ayrı etki meydana getirir:

2.3 Kuvvetin Etkileri

2- İç Etki: Kuvvetilerin iç etkisi (internal effect) ise gerilme ve şekil değiştirmeler oluşturarak cismi

deforme etmeye ve hasar vermeye zorlamaktır. Bu özellikle dengelenmiş kuvvet sistemlerinde daha

belirgin ortaya çıkar. Gerilmelerin ve şekil değiştirmelerin hesabı ise Mukavemet dersinin konusudur.

• Kuvvet, bir cisme dışarıdan uygulanan ve onu harekete zorlayan etkidir.

• Kuvvet Şiddeti, yönü ve uygulama noktası olan vektörel bir büyüklüktür.

2.2 Kuvvet Nedir?

Kuvvet dengelenmiş ise cisim durağandır ve dengeyi sağlayan diğer kuvvetlerin hesabı Statik dersinin

konusudur. (Kuvvet dengelenmemiş ise cisim ivmeli hareket eder ki, bu durumda hareket dinamik dersi kapsamında incelenir.)


a-) Etki ettiği alana göre: Eğer kuvvetin uygulandığı alanın boyutları tüm cismin boyutlarıyla karşılaştırıldığında çok küçük ise kuvvete “tekil” (concentrated) adı verilir. Eğer kuvvetin uygulandığı alan ihmal edilemeyecek kadar geniş ise “yayılı yük” (distributed) adını alır.

Tekil Kuvvet Yayılı Kuvvet

04.09.2019 54

2.4 Kuvvetlerin Sınıflandırılması

K


b-) Uygulama Şekillerine Göre:

04.09.2019 55


c-) Temas ve Sürtünme Kuvvetleri

04.09.2019 56


• İp, halat ve kablolardaki kuvvetler her zaman için ip,

kablo boyunca ve göz önüne alınan cisimden

uzaklaşır yönde gösterilir.

• Yalnız gergin olduklarında kuvvet uygularlar.

• İpler ve Kablolar Sadece Çeki yükü taşırlar.

Ağır Kablo

04.09.2019 57

d-) İp ve Kablolardaki kuvvetler

Hafif Kablo (Ağırlığı ihmal edilir.)


Kasnaklar, ip veya halatların yönlerini değiştirmek ve az bir girdi kuvveti ile yüksek çıktı kuvveti elde etmek için kullanılan oluklu silindirlerdir. Sürtünmesiz durumda kasnaktaki ipin her iki ucundaki gerginlik kuvvetleri birbirine eşittir.

e-) Kasnaklardaki Kuvvetler

04.09.2019 58

kasnak

Sürtünmesiz kasnak


Yay kuvvetleri ;

Yayın uzamasına bağlı olarak artar,

Her zaman yay doğrultusundadır,

Yayı orijinal konumuna döndürmeye çalışacak yöndedir.

04.09.2019 59

f-) Yaylardaki Kuvvetler


2.5 Bir Kuvvetin Üç Boyutlu Vektörel Tanımlanması

a-) Kuvvetin etkime doğrultusu iki açıyla verilmiş ise;

04.09.2019 60


b-) Kuvvetin etkime doğrultusu üzerinde iki noktanın koordinatları verilmiş ise;

2

12

2

12

2

12

121212

:

,:

zzyyxx

kzzjyyixxFF

AB

ABFeFF

AB

ABevektörbirim

ABvektörükonum

F

F

=

==

=

04.09.2019 61


2.6 Kuvvetin Döndürme Etkisi: MOMENT

04.09.2019 62

Bir kuvvet bir cismi ötelemeye zorladığı gibi döndürmeye de zorlar. Bu döndürme etkisine moment denir.

Moment vektörel bir büyüklüktür.


Size en yakın kapıya gidin..Kapıyı sonuna kadar açın.. Şimdi kapıyı;1-Menteşelere en yakın yerden iterek kapatmaya çalışın,2-Ortasından iterek kapatmaya çalışın,3-En ucundan iterek kapatmaya çalışın.Hangisinde zorlandınız?Tabi ki menteşelere en yakın yerden ittiğinizde zorlandınız.. Belki de kapatamadınız..Nedenini biraz düşünün..

04.09.2019 63

a- Momentin etkisini hissedin.


Kapının kapanması itme kuvvetinin döndürme etkisi ile yani momentle ilgilidir. Kapanması için itme kuvvetinizin oluşturacağı moment belli bir şiddeti aşmalıdır.

Momentin şiddeti ise kuvvet (F) ve kuvvet kolu (d) ile doğru orantılıdır.

Kuvvet kolu (d) , kuvvetin dönme eksenine olan dik uzaklığıdır. (Bir önceki sayfadaki şekli inceleyiniz)

Bu durumda.. Momentin şiddeti = Kuvvet x Kuvvet kolu… yani … M = Fxd … olarak tanımlanır.

Dönme ekseninden (menteşelerden) ne kadar uzaksanız aynı moment için o kadar daha az kuvvet

uygularsınız. Çünkü kuvvet kolu «d» artmıştır. Aynı M için daha düşük F yeterlidir. Bu ise sizin daha az kuvvet

uygulamanız ve daha az zorlanmanız anlamına gelir.

04.09.2019 64


04.09.2019 65

a- Momentin etkisini bilen birisi.


04.09.2019 66

2.7 Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti (önemli)

Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti, moment alınan noktadan kuvvet hattı üzerindeki herhangi bir noktaya çizilen konum vektörü ile kuvvetin vektörel çarpımına eşittir.

Yandaki şekle göre; F kuvvetinin A noktasına göre momenti:

𝑀𝐴 = 𝐴𝐵 x 𝐹

Moment alınan nokta

Kuvvet hattı üzerindeki herhangi bir nokta

Kuvvet

𝑀𝐴 = 𝐴𝐶 x 𝐹 = 𝐴𝐷 x 𝐹

PN.3.2 ) Vektörel çarpımda sıra önemlidir. 𝐴𝐵 yerine 𝐵𝐴 yazmak veya Ԧ𝐹 kuvvetini önce yazmak sonucu etkiler.

P.N. 3.3 ) Dik uzaklık (d) ile F i skaler çarparsak sadece Momentin şiddetini elde ederiz. Ancak vektörel çarpım yaparsak bu işleme gerek yoktur. Zira momentin vektörel ifadesi belli olunca, şiddeti de hesaplanabilir.

P.N 3.1 ) Bu tanıma göre kuvvet hattı üzerinde farklı noktalar da alınabilir ve aynı sonuç bulunur.


04.09.2019 67

Momentin vektörel ifadesi bize hem yönünü gösterir, hem şiddetini hesaplamamızı sağlar. Çünkü biliyoruz ki bir vektörün bileşenleri belli iken şiddeti bulunabilir. (Bknz: 2.21)

Bununla birlikte momentin yönü ayrıca sağ el kaidesinden de bulunabilir.

𝐴𝐵 ve 𝐹 vektörlerinin uçları birleştirilir.

İlk çarpılan vektör ( 𝐴𝐵 ) 2nci vektörün üzerine sağ elimizin 4 parmağıyla kapatılır.

Başparmağımızın yönü sonuç vektörü ( 𝑀 ) in yönünü gösterir.Moment vektörü, çarpılan vektörlerin bulunduğu düzleme daima diktir.

222

zyx MMMM =

jMjMiMM zyx

=


Tekrar ediyoruz: F kuvvetinin O noktasına göre momenti, Moment alınan noktadan

(O) , kuvvet hattı üzerindeki herhangi bir noktaya çizilen vektör ile kuvvetin vektörel

çarpımına eşittir.

Momentin Şiddeti:

veya şeklinde bulunduktan sonra,

OA ve F vektörleri k düzlemi üzerindedir. 𝑀𝑜

vektörü k düzlemine diktir.

04.09.2019 68

Dik uzaklık biliniyorsa:

jMjMiMM zyx

=

222

zyx MMMM =


şiddeti;

K

2.8- Varignon Teoremi

Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti o kuvvetin bileşenlerinin aynı noktaya göre

momentlerinin toplamına eşittir.

QrPrQPrMQPRRrM oo

====

pPqQdRM o ==

Dik uzaklıklar biliniyorsa, momentin şiddeti :

04.09.2019 69


(P nin döndürme yönü, Q nun döndürme yönüne göre ters

olduğundan momenti negatif alındığına dikkat ediniz)

Örnek 2.1:

Doğrultusu A(3,8,1) ve B(7,–4,4) noktalarından geçen 130 N şiddetinde olan ve A dan B ye doğru yönlendirilmiş F kuvvetinin O(0,0,0) noktasına göre momentini bulunuz.

04.09.2019 70


04.09.2019 71


Örnek 2.2

y-z düzlemine paralel olan 110kN lukkuvvetin O noktasına göre momentinivektörel olarak hesaplayınız.

S

𝑂𝐵 = 200𝑥(𝐶𝑜𝑠30 Ԧ𝑖 − Sin30Ԧ𝑗 + 120𝑘)

𝑀𝑜 = 𝑂𝐵𝑥 Ԧ𝐹 = 173.2Ԧ𝑖 − 100Ԧ𝑗 + 120𝑘 𝑥(106.22Ԧ𝑗 − 28.47 𝑘)

Ԧ𝐹 = 110𝑥 (𝐶𝑜𝑠15 Ԧ𝑗 − Sin15 𝑘)

Ԧ𝐹 = 106.22Ԧ𝑗 − 28.47 𝑘

𝑂𝐵 = 173.2Ԧ𝑖 − 100Ԧ𝑗 + 120𝑘

𝑀𝑜 = −9899Ԧ𝑖 + 4931Ԧ𝑗 + 18397𝑘 (kN mm)

F=

2.9 Bir Kuvvetin Bir Eksene Göre Momenti

04.09.2019 72

F kuvvetinin D eksenine göre momentini arıyoruz. İşlem adımlarımız şöyle olmalı:

1- Önce F kuvvetinin D ekseni üzerindeki herhangi bir

noktaya (örn: A noktasına) göre momenti (𝑀𝐴 ) hesaplanır. (bknz 3.7)

2- Bu momenti eksene paralel birim vektör

(𝑈∆ ) ile skaler çarparsak F kuvvetinin eksene göremomentinin şiddeti (𝑀∆), bulunur.(bknz 2.17a)

3- Çıkan sonucu tekrar (𝑈∆ ) ile çarparsak, F kuvvetinin

eksene göre momentinin vektörel ifadesi (𝑀∆) elde edelir. (bknz. 2.17b)

Bir kuvvetin bir eksene göre momenti: O kuvvetin eksen üzerindeki bir noktaya göre momentinin eksene göre izdüşümüdür.

𝑀∆ = 𝑀𝐴. 𝑈∆

𝑀𝐴 = 𝐴𝐵𝑥 Ԧ𝐹

𝑀∆ = 𝑀∆. 𝑈∆ = 𝑀𝐴. 𝑈∆ . 𝑈∆

Bu işlem 3 boyutlu bazı problemlerde çok işe yarar., Bulunması istenmeyen kuvvetleri işleme katmamızı ve istenen kuvveti tek işlemle doğrudan bulmamızı sağlar. İleride örnek verilecektir.


Örnek 2.3: Şekildeki dirseğe etki eden Ԧ𝐹 = −20Ԧ𝑖 + 15Ԧ𝑗 + 5𝑘 (N) kuvvetinin;

a-) x eksenine ve b-) OB eksenine göre momentlerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

Bulunan şiddet tekrar birim vektörle çarpılırsa eksene göre momenti vektörel ifadesi bulunur.

Önce eksen üzerindeki bir noktaya göre moment alınır.

Sonra eksenin birim vektörüyle skaler çarpılır ve

eksene göre momentin şiddeti bulunur.

b-)

a-)

O(0,0,0); A(-3,4,6); C (-3,4,0)

04.09.2019 73


𝑀𝑂 = 𝑂𝐴𝑥 Ԧ𝐹 = −3Ԧ𝑖 + 4Ԧ𝑗 + 6𝑘 . (−20Ԧ𝑖 + 15Ԧ𝑗 + 5𝑘)

𝑂𝐴 = −3Ԧ𝑖 + 4Ԧ𝑗 + 6𝑘

𝑀𝑂 = −70Ԧ𝑖 − 105Ԧ𝑗 + 35𝑘

𝑀𝑥 = 𝑀𝑥 = ( 𝑀𝑂). Ԧ𝑖 = −70Ԧ𝑖 − 105Ԧ𝑗 + 35𝑘 . Ԧ𝑖 = −70 𝑁𝑚

𝑀𝑥 = 𝑀𝑥. Ԧ𝑖 = −70. Ԧ𝑖

= −70Ԧ𝑖 − 105Ԧ𝑗 + 35𝑘 . (−3

5. Ԧ𝑖+

4

5. Ԧ𝑗) 𝑀𝑂𝐵 = −42𝑁𝑚

𝑀𝑂𝐵 = 𝑀𝑂𝐵. 𝑢𝑂𝐵 = −42. −3

5. Ԧ𝑖+

4

5. Ԧ𝑗

𝑢𝑂𝐵 =𝑂𝐶

𝑂𝐶=

−3Ԧ𝑖+4Ԧ𝑗

32+42= −

3

5. Ԧ𝑖+

4

5. Ԧ𝑗

𝑀𝑂𝐵 = 𝑀𝑂𝐵. 𝑢𝑂𝐵

𝑀𝑂𝐵 = 25.2Ԧ𝑖 − 33.6Ԧ𝑗

2.10 Kuvvet Çifti : Kupl

04.09.2019 74

Bir cisim üzerindeki döndürme etkisi eğer, eşit şiddette, zıt yönde ve birbirine paralel iki kuvvetten kaynaklanıyorsa bu kuvvetler bir kupl (kuvvet çifti) oluşturur denir. Büyük bir vanayı açarken veya kapatırken iki elimizle bir kupl oluştururuz. Bir kuplun momenti; kuvvetlerin herbirisinin orta noktaya göre momentlerinin toplamıdır. Örn: Vana yarıçapı r ise kupl momenti:

M = F.r + F.r = 2Fr olur.

Direksiyona kupl uygulamayan dikkatsiz bir şoför..


K

F

Fr

M

Bir kuvvet bir noktadan diğer noktaya momenti ile birlikte taşınır. Bu şekilde döndürme etkisi de korunmuş olur.

Bir moment, bir noktadan diğer noktaya aynen taşınır. Çünkü etkisi kaybolmaz.

2.11 Bir kuvvetin bir noktadan diğer noktaya taşınması:

2.12 Bir momentin bir noktadan diğer noktaya taşınması:

04.09.2019 75

B den A’ya taşınan bir kuvvet

B den A’ya taşınan bir moment

Dikkat edilirse taşıma işleminde önemli olan kuvvet veya momentin cisme olan ötelenme veya döndürme etkisinin korunmasıdır.


2.13 Kuvvetler Sisteminin İndirgenmesi ve Bileşkeler

Bir cisme etki eden kuvvet ve moment

sisteminin bir noktaya indirgenmesi demek:

indirgenen noktada aynı etkiyi oluşturacak

şekilde bir bileşke kuvvet (𝑅) ve bir bileşke

moment ( 𝑀𝑜 ) elde etmek demektir. Aslında

indirgeme tüm tekil kuvvetlerin ve

momentlerin indirgenen noktaya taşınması

anlamına gelir.

Şekildeki sistemde O noktasına sol veya sağdaki sistemden hangisi etki ederse etsin aynı etki oluşur.

Sistemi O noktasına indirgeyiniz demek: O noktasındaki ve 𝑅 ve 𝑀𝑜 bileşkelerini bulunuz demektir.

04.09.2019 76


𝐶1, 𝐶2: Tekil Momentler.

(Tüm tekil kuvvetlerin vektörel toplamı)

(Tüm tekil kuvvetlerin indirgenen noktaya göre momentleri + Tekil momentler )

04.09.2019 77

Bileşkenin tek başına bir cisme etkisi, bileşenlerin aynı anda uygulandığı

etkiye eşit olur.


04.09.2019 78

Örnek 2.4: Şekildeki kuvvetler sistemini O noktasına indirgeyiniz

Çözüm: Sorunun farklı şekilde izahı: O noktasında aynı etkiyi oluşturacak bir bileşke kuvvet ve

bileşke moment bulunuz.

Bileşke kuvvet:

Bileşke Moment:


2.14 Vida kavramı:

04.09.2019 79

Bir vidayı tornavida ile sıkarken 2 tür hareket ve yük uygularız.1- Tornavidayı ekseni etrafında çeviririz. Bu sırada vidaya moment uygulamış oluruz.2- Tornavidayı bastırırız. Bu sırada vidaya bastırma kuvveti uygularız.

Uyguladığımız kuvvet ( R ) ve moment (M) vektörlerinin yönü vida ekseni üzerinde çakışırlar. Eğer her ikisi de aynı yönde ise pozitif vida , zıt yönde ise negatif vida oluştururlar.

Pozitif Kuvvet Vidası (Sıkma) Negatif Kuvvet Vidası (Sökme)


𝑴𝑹

𝑴

𝑹

veya=

a-) Vida Oluşturma Durumunun Tespiti:

Eğer bir kuvvetler sistemi bir noktaya indirgendiği zaman, indirgenen noktadaki bileşke kuvvet ve bileşke moment aynı

doğrultu üzerinde ise bunların bir vida oluşturduğu söylenir. Eğer her iki bileşke aynı doğrultu üzerinde iken hem de

aynı yönde ise pozitif vida; aynı doğrultu üzerinde iken farklı yönde ise negatif vida oluştuğu söylenir.

04.09.201980

Soru: Bileşke kuvvet ve momentin vida oluşturup oluşturmadığını nasıl anlarız?

Cevap: Aynı doğrultu üzerindeki 2 vektörün aralarındaki açı 0 veya 180 dir. Bu durumda vektörel çarpımları sıfır olur. (bknz: 2.11). O halde elde edilen bileşke kuvvet ile bileşke momentin vektörel çarpımı sıfır ise vida oluşturduğu söylenir. Yani;

𝑅𝑥𝑀 = 0 ise vida oluştururlar. Değilse vida oluşturmaz ancak indirgenme ihtimali vardır. (bknz: 3.15)


b-) Vidaya İndirgenme Durumunun Tespiti:

04.09.2019 81

Bileşke kuvvet ve moment aynı doğrultu üzerinde değilse vida oluşturmazlar demiştik.

Vidaya indirgenmenin anlamı ise, M bileşke momentinin R bileşke kuvvetine paralel (𝑀𝑅// )

doğrultudaki bileşenini bulmak demektir. Zira 𝑀𝑅// ve 𝑅 vida oluşturur.

Soru: Buna göre vidaya indirgeme şartı nedir?

Cevap: M momentinin R’ ye dik olmamasıdır.

Çünkü dik olursa 𝑀𝑅// diye bir bileşeni olmaz

ve vidaya indirgenemez.

Soru: M ‘in R’ye dik olup olmadığını nasıl anlarız.?

Cevap: M ve R nin skaler çarpımı sıfır ise birbirlerinediktir. Çünkü skaler çarpımda vektörlerin şiddetleri ve aralarındaki açının kosinüsü çarpılır. Açı 90 olursa kosinüsü sıfır olur (bknz: 2.10). Bu durumda vidaya indirgenemez.

𝑅.𝑀 = 0

Özet olarak

𝑅𝑥𝑀 ≠ 0 ise vida oluşturmazlar. (Çünkü aynı doğrultu üzerinde değillerdir.)1-

2- İlaveten 𝑅.𝑀 ≠ 0

ise, vidaya indirgenebilirler. (Çünkü birbirlerine aynı doğru üzerinde olmadıkları gibi birbirlerine dik değillerdir)

ise birbirlerine diktirler. Vida oluşturmazlar.


04.09.2019 82

Soru: 𝑀𝑅// nasıl hesaplanır?

Cevap: 𝑀𝑅// Bileşke momentin R doğrultusundaki

izdüşümüdür ve R doğrultusundaki birim vektörle 2 kez skaler çarpımına eşittir (bknz:2.23)

𝑀𝑅// = 𝑀. 𝑛𝑅 . 𝑛𝑅

Birim vektör: 𝑛𝑅 =𝑅

𝑅

Dik bileşen hesabı:


04.09.2019 83

Örnek 2.5Şekildeki üç kuvvetten oluşan sistemi,a-) A noktasına indirgeyiniz.b-) İndirgenen Sistemin bir vida teşkil edip etmediğini kontrol ediniz.c-) Vida teşkil etmiyor ise vidaya indirgenip indirgenemeyeceğini kontrol ediniz.d-) Vidaya indirgenebiliyorsa, indirgeyiniz.

Bileşke Kuvvet:Çözüm:

Bileşke Moment:

a)

= 𝑀


𝑀𝐴 = 𝐴𝐵𝑥𝐹𝐵 + 𝐴𝐶𝑥𝐹𝐶

𝑅 = Ԧ𝐹 = 600Ԧ𝑖 + 100Ԧ𝑗 + 1600𝑘

𝐹𝐴 = 100Ԧ𝑗 , 𝐹𝐵 = 1600𝑘 , 𝐹𝐶 = 600Ԧ𝑖

𝑀𝐴 = 2Ԧ𝑖𝑥1600𝑘 + (2𝑖 + 3𝑗)𝑥600Ԧ𝑖

𝑀𝐴 = −3200Ԧ𝑗 − 1800𝑘

Ç, S

04.09.2019 84

olduğundan aynı doğrultuda değildir. Ve vida oluşturmaz. (bknz: 3.15)

𝑅𝑥𝑀 = 4940000𝑖 − 1080000𝑗 − 1920000𝑘

𝑅𝑥𝑀 ≠ 0

𝑅.𝑀 = −3200000

𝑅.𝑀 ≠ 0 olduğundan bileşke moment (M) bileşke kuvvete (R’ye) dik değildir. O halde Vidaya indirgenebilir. (bknz: 3.15)

Bileşke kuvvet doğrultusundaki birim vektör:

𝑀𝑅// = 𝑀. 𝑛𝑅 = −3200Ԧ𝑗 − 1800𝑘 . (0,35Ԧ𝑖+0,058Ԧ𝑗 + 0,93𝑘) = 1488.4 𝑁𝑚

Dik Bileşen:


b-)

c-)

d-)

𝑛𝑅 =𝑅

𝑅=

600Ԧ𝑖+100Ԧ𝑗+1600𝑘

6002+1002+16002= 0,35Ԧ𝑖+0,058Ԧ𝑗 + 0,93𝑘

𝑀𝑅// = 𝑀𝑅// . 𝑛𝑅 = (1488,4). (0,35Ԧ𝑖+0,058Ԧ𝑗 + 0,93𝑘)

𝑀𝑅// = 520.94Ԧ𝑖+86.32Ԧ𝑗 + 1384.2𝑘

𝑀𝑅⊥ = 𝑀 −𝑀𝑅// = −3200Ԧ𝑗 − 1800𝑘 -(520.94Ԧ𝑖+86.32Ԧ𝑗 + 1384.2𝑘)

𝑀𝑅⊥ =-520.94Ԧ𝑖 − 3286.32Ԧ𝑗 − 3184.2𝑘)

04.09.2019 85

Örnek 2.6 (2006 1vz. End.)a-) Şekil de görülen kuvvet ve moment sistemini O noktasına indirgeyiniz. (M1 Momenti EFD düzlemindedir. F1 kuvveti ise CBFD düzleminin ortasındaki K noktasından düzlem normali doğrultusunda uygulanmıştır.)

Çözüm:

a-) Öncelikle tüm kuvvet ve momentlerin vektörel ifadelerini sırasıyla bulmalıyız:

𝐹1 = 𝐹1. 𝑛1 , 𝑛1 =𝐵𝐹𝑥𝐵𝐶

𝐵𝐹𝑥𝐵𝐶= 16Ԧ𝑖𝑥(12Ԧ𝑗−16𝑘)

𝐵𝐹𝑥𝐵𝐶=

192𝑘+256Ԧ𝑗

1922+2562=

1

320(192𝑘 + 256Ԧ𝑗)=0.6𝑘 + 0.8Ԧ𝑗)

𝐹1 = 10. (0.8Ԧ𝑗 + 0.6𝑘)

𝐹1 = 8Ԧ𝑗 + 6𝑘

b-) İndirgenen sistemin bir vida teşkil edip etmediğini,c-) Vida Teşkil etmiyorsa, vidaya indirgenip indirgenemeyeceğini kontrol ediniz.d-) Vidaya indirgenebiliyorsa, indirgeyiniz.


04.09.2019 86

𝑛2 =𝐴𝐸

𝐴𝐸= (15Ԧ𝑗−16𝑘)

152+162= 0.68Ԧ𝐽 − 0.73𝑘)𝐹2 = 𝐹2. 𝑛2 , 𝐹2 = 30. (0.68Ԧ𝑗 − 0.73𝑘)

𝐹2 = 20,4Ԧ𝑗 − 21,9𝑘

𝐹3 = −20Ԧ𝑗

𝑀1 = 𝑀1. 𝑛𝑀1 ,

𝑛𝑀1 =𝐸𝐹𝑥𝐸𝐷

𝐸𝐹𝑥𝐸𝐷=

16Ԧ𝑖+13Ԧ𝑗+16𝑘 𝑥(16Ԧ𝑖+25𝑗)

𝐸𝐹𝑥𝐸𝐷=

400𝑘−208𝑘+256Ԧ𝑗−400Ԧ𝑗

4002++2562+1922=

1

512,25(−400Ԧ𝑖 + 256Ԧ𝑗 + 192𝑘)

𝑛𝑀1=−0.782Ԧ𝑖 + 0.5Ԧ𝑗+0.37𝑘 𝑀1 = 20.(−0.782Ԧ𝑖 + 0.5Ԧ𝑗+0.37𝑘)

𝑀1 = −15.6Ԧ𝑖 + 10Ԧ𝑗+7.4𝑘

𝑅 = Ԧ𝐹𝑖 = Ԧ𝐹1 + Ԧ𝐹2 + Ԧ𝐹3 𝑅 = 8,4Ԧ𝑗 − 15,9𝑘

𝑀𝑜 = 𝑀1 + 𝑂𝐸𝑥 Ԧ𝐹2+𝑂𝐾𝑥 Ԧ𝐹1=−15.6Ԧ𝑖 + 10Ԧ𝑗+7.4𝑘+15Ԧ𝑗𝑥(20.4Ԧ𝑗 − 21.9𝑘+(8Ԧ𝑖 + 34Ԧ𝑗 + 8𝑘)x(8Ԧ𝑗 + 6𝑘)

=−15.6Ԧ𝑖 + 10Ԧ𝑗+7.4𝑘 − 328.5Ԧ𝑖 + 64𝑘 − 48Ԧ𝑗 + 204Ԧ𝑖 − 64Ԧ𝑖

𝑀𝑜=−204.1Ԧ𝑖 − 38Ԧ𝑗+71.4𝑘

(Bileşke kuvvet)

(Bileşke Moment)

(hesap şekli için bknz: örn: 2.11)


04.09.2019 87

b-) İndirgenen sistemin bir vida teşkil edip etmediğini kontrol edeceğiz.

d-) Vidaya indirgeyelim:

𝑅 = 8,4Ԧ𝑗 − 15,9𝑘 𝑀𝑜=−204.1Ԧ𝑖 − 38Ԧ𝑗+71.4𝑘

𝑅𝑥𝑀𝑜 ≠ 0 olduğundan vida teşkil etmez.

,

𝑅.𝑀𝑜 ≠ 0 olduğundan vidaya indirgenebilir.

c-) Vida Teşkil etmiyorsa, vidaya indirgenip indirgenemeyeceğini kontrol edelim:

𝑛𝑅 =𝑅

𝑅=

8,4Ԧ𝑗 − 15,9𝑘

8.42 + 15.92= 0.46Ԧ𝑗 − 0.88𝑘

𝑀// = 𝑀𝑜. 𝑛𝑅 = −38𝑥0.46 + 71.4𝑥 −0.88 = −80.3

𝑀// = 𝑀// . 𝑛𝑅 = −80.3 . (0.46Ԧ𝑗 − 0.88𝑘)

𝑀// = −36.94Ԧ𝑗 + 70.66𝑘

= 𝑀𝑜 −𝑀// = −204.1Ԧ𝑖 − 1.06Ԧ𝑗+ 1,28𝑘


04.09.2019 88

Şekildeki prizmatik elemana uygulanan iki kuvvet ve iki kuvvet çiftinden oluşan sistemi O noktasına indirgeyiniz. İndirgenen sistemin bir vida teşkil edip etmediğini kontrol ediniz. F1=20kN, F2 = 10kN C1=8kNm (ADC) C2=5kNm (AOD)

Cevap 𝑅 =−−14.95Ԧ𝑖 + 5.08Ԧ𝑗 − 8.79 Ԧ𝑘

𝑀𝑂 = −52.38Ԧ𝑖 − 51.64Ԧ𝑗 + 50.74 Ԧ𝑘,

Örnek Soru 2.7 (2009 1vz. End.)


04.09.2019 89

Çözüm:


Örnek (Soru) 2.8

04.09.2019 90

Bir tamirci elindeki anahtara şekildeki gibi 50 N kuvvetuyguluyor ve cıvatayı sıkıyor. Bu kuvvetin A noktasına göremomentini vektörel olarak bulunuz.


Cevap: 𝑀𝑜 = −2499.58𝑘 (Nmm)

Örnek (Soru) 2.9

Şekildeki direğe bağlı BA ipine gelen F= 4 kN lukkuvvetin O noktasına göre momentini hesaplayınız.

𝑀𝑜 = −14.72Ԧ𝑖 + 18.4Ԧ𝑗 − 4.56𝑘 … (𝑘𝑁𝑚)Cevap:

04.09.2019 91

Örnek (Soru) 2.10

Borulardan oluşturulmuş yapıya uygulanan kuvvetleri ve momenti A noktasına indirgeyiniz.

Cevap:


𝑅=120Ԧ𝑖 − 80Ԧ𝑗 − 100 Ԧ𝑘

𝑀 = 54562Ԧ𝑗 + 150000 Ԧ𝑘 Nmm

N

x

y

z

2 m

A

B

1 m

C2

2 m

2 m

O

F4

04.09.2019 92

Örnek (Soru) 2.11

𝑀// =−47.67Ԧ𝑖 − 24.4Ԧ𝑗+35.47𝑘

40kN şiddetindeki Ԧ𝐹4 ve 10kNm şiddetindeki Ԧ𝐶2momentinden oluşan sistemi O noktasında

vidaya indirgeyiniz.

Cevap: 𝑅=26.6Ԧ𝑖 − 13.3Ԧ𝑗+26.6𝑘


Örnek (Soru) 2.12* Şekildeki elemana uygulanan iki kuvvet ve iki kuvvet çiftinden oluşan sistemin O noktasında bir vidaya indirgenebileceğini gösteriniz ve indirgeyiniz.

Cevap 𝑀// = −3.4Ԧ𝑖 + 5.43Ԧ𝑗 − 7.18 Ԧ𝑘 ,

= −100.48Ԧ𝑖 − 74.88Ԧ𝑗 − 9.37 Ԧ𝑘

04.09.2019 93

2-) Şekildeki sistemde; F1=20kN, F2=10kN, F3=10kN (DCBF düzleminin tam ortasından ve dik yönde)

M1=20kNm (OHDC düzlemine uygulanıyor), M2= 10kNm (OHGA düzlemine uygulanıyor)

Buna göre;

a-) 𝐹2 kuvvetinin OD eksenindeki izdüşümünü bulunuz. (Cevap: 3.47i + 8.71j)

b-) Sistemi O noktasına indirgeyiniz. (Cevap:

Örnek (Soru) 2.13


𝑅=3.48Ԧ𝑖 − 3.3Ԧ𝑗+ 2.52𝑘, 𝑀𝑜=0.8Ԧ𝑖 + 17.68Ԧ𝑗+ 84𝑘 )

04.09.2019 94

3- STATİK DENGE VE KUVVET ANALİZLERİ

Bu bölümde dış yüklerin etkisine maruz olmasına rağmen, durağan halde (dengede) bulunan rijit cisimler ve sistemler incelenecektir. Amacımız ise bilinmeyen kuvvetleri hesaplamaktır.

3- Statik Denge ve Kuvvet Analizleri

3.1 Denge Şartı:Dış yüklerin etkisine maruz bir cismin veya sistemin hareketsiz kalması yani dengede olabilmesi için; bileşke kuvvetin (R) ve bir noktaya göre bileşke momentin (M) sıfır olması gerekir.

𝑅 = 0

𝑀𝑜 = 0Denge Şartı

Denge Problemleri, vektörel çözümle yapılacaksa bu 2 denklem kullanılır vebilinmeyen kuvvetler bulunur.

Genellikle 3 boyutlu problemler için vektörel çözüm tercih edilir.

04.09.2019 95


(D 3.1)

04.09.2019 96


𝑅 =

𝑖

𝑛

Ԧ𝐹𝑖 =𝐹𝑥Ԧ𝑖 +𝐹𝑦 Ԧ𝑗 +𝐹𝑧𝑘

𝑅 = 0

𝑀𝑜 =𝑀𝑥Ԧ𝑖 +𝑀𝑦 Ԧ𝑗 +𝑀𝑧𝑘

𝑀𝑜 = 0

𝐹𝑥 = 0 ,𝐹𝑦 = 0 ,𝐹𝑧 = 0

𝑀𝑥 = 0 ,𝑀𝑦 = 0 ,𝑀𝑧 = 0

2 Boyutlu (Düzlem) Denge Problemlerinde 3 bağımsız skaler denge denklemi:

Denge Durumunda

𝐹𝑥 = 0 ,𝐹𝑦 = 0 ,𝑀𝑧 = 0

(D 3.2)

(D 3.3)

Skaler Çözüm için Denklemler:

Özet olarak;• 3 boyutlu denge problemlerinde vektörel çözüm için D 3.1 denklemleri , Skaler Çözüm için D 3.2

denklemleri kullanılır. • 2 boyutlu denge problemlerinde vektörel çözüm için D 3.1 denklemleri, Skaler çözüm için D 3.3

denklemleri kullanılır.• 3 boyutta vektörel çözüm, 2 boyutta skaler çözüm daha pratiktir ve tercih edilir.

3 Boyutlu (Uzay) Problemler için, 6 bağımsız skaler denge denklemi:

3.2 - Bağlantı Çeşitleri ve Ortaya Çıkan Tepkiler

P.N 3.1 : Bağlantılarda, ötelenmeye izin verilmeyen doğrultuda tepki kuvveti; dönmeye izin verilmeyen eksende tepki momenti ortaya çıkar.

Parçaların birbirlerine bağlantıları farklı şekillerde olabilir. Bağlantı şekline göre bağlantıda ortaya çıkacak tepki kuvvetleri veya momentleri farklılık gösterir. En önemli püf noktası şudur:

x doğrultusunda ötelenmeye izin veriyor.(altındaki tekerlekler bunu sebebiyle)

y doğrultusunda ötelenmeye izin vermiyor.

z ekseni etrafında dönmeye izin veriyor.

Sadece y doğrultusunda tepki kuvveti oluşur. (Ay)

a- Kayar Mesnet (roller support) Bir yönde ötelenmeye izin verir. Aynı zamanda dönmeye izin verir. Ötelenmeye izin vermediği doğrultuda tepki kuvveti ortaya çıkar. Düzlem problemlerde sözkonudur.

x doğrultusunda ötelenmeye izin vermiyor.

y doğrultusunda ötelenmeye izin veriyor.


Sadece x doğrultusunda tepki kuvveti oluşur. (Ax)

04.09.2019 97


Şimdi bağlantılardan en çok bilinenleri inceleyeceğiz.

x ve y doğrultularında ötelenmeye izin vermiyor.


x ve y doğrultularında tepki kuvveti oluşur. (Ax, Ay)

b- Sabit Mafsal:Düzlem problemler de sözkonusudur. İki eksende ötelenmeye izin vermez. Düzleme dik eksende dönmeye izin verir. Ötelenmeye izin vermediği her iki eksende de tepki kuvveti ortaya çıkar.

x, y ve z eksenlerinde ötelenmeye izin vermiyor.

x, y ve z eksenleri etrafında dönmeye izin veriyor.

x, y ve z doğrultularında tepki kuvveti oluşur. (Ax, Ay ve Az)

c- Küresel Mafsal: Sabit mafsalın 3 boyutlu durumdaki karşılığıdır. 3 eksende de ötelenmeye izin vermez. Ancak tüm eksenlerde dönmeye izin verir. (Örn: omuz eklemimiz veya banyo duş telefonu aparatları.)

04.09.2019 98


04.09.2019 99

Küresel Mafsal Örnekleri

Otomobil Süspansiyon Bağlantısı

Femur Kemiği


x, y ve z doğrultularında ötelenmeye izin vermiyor.

x, y ve z eksenleri etrafında dönmeye izin vermiyor.

Ax, Ay ve Az tepki kuvvetleri oluşur.

d- Ankastre Uç:

Düzlem veya uzay problemler de sözkonusu olabilir. Ağırlığı ihmal edilen bir ip veya kablo kendi ekseni doğrultusunda çeki kuvveti oluşturur. Basıya çalışmaz. Aksi söylenmedikçe kablo veya iplerin ağırlığı ihmal edilir.

Düzlem problemlerde sadece Ax, Ay ve Mz oluşur. (x-y düzleminde)

Mx, My ve Mz tepki momentleri oluşur.

e- Kablo ve İp bağlantıları:

Düzlem veya uzay problemler de sözkonusu olabilir. Hiçbir ydoğrultuda ötelenmeye ve dönmeye izin vermeyen bir bağlantıdır. (Örn: Bir duvara betonlanmış veya kaynaklanmış bir çubuk)

04.09.2019 100


04.09.2019 101


Bağlantı Örneği: Menteşe

Şekildeki kapı menteşesinin sadece z ekseninde dönmeye izin verdiğini görüyoruz. O halde sadece Mz

momenti oluşmayacaktır.

P.N 3.2 ) Önemli bir soru: Bilinmeyen Kuvvetlerin yönünü nasıl seçeriz?

(Örneğin yukarıda menteşe de niçin Ax i sağa seçtik fakat sola seçmedik.? )

Cevap:

• Bilinmeyen kuvvetlerin yönü ilk seferde keyfi seçilir. Eğer hesaplama sonucunda işareti negatif çıkarsa seçtiğimiz yönün tersineymiş denir. Yönü hiç değiştirilmez ve işaretiyle birlikte denklemlerde kullanılır.

• Veya yönü değiştirilince işareti de değiştirilmelidir.• 2nci kez aynı kuvvet diğer cisimde yerleştirilecekse, ilk yerleştirmenin zıttı yönünde yerleştirilmek

zorundadır.

04.09.2019 102


3.3 Serbest Cisim Diyagramı (SCD)

• Bir cismin, diğer cisimlerden teması kesilir,

• boşlukta serbest olarak çizilir ,

• üzerine etki eden ağırlık dahil tüm dış

yükler ve

• temasın kesildiği kısımlardaki tepki

kuvvetleri üzerinde mutlaka gösterilir.

• Buna o cismin Serbest Cisim Diyagramı

denir.

P.N 3.3 SCD çizerken püf noktaları:a-Cisim izole edilirken, her izole edildiği temas kısmında mutlaka kuvvet oluşur,b-İzole edilmediği temas noktalarında ise kuvvet gösterilmez. d-Herbir SCD da tüm kuvvetler birbirini dengeler.

04.09.2019 103


Unutmayın! Statiğin temel konusu kuvvet hesabıdır. Kuvvet hesabının en önemli adımı SCD nin doğru çizilmesidir.

Merdivenin duvardan ve adamdan teması kesilerek SCD çizilmiştir. Temasın kesildiği kısımlarda kuvvet gösterildiğine dikkat ediniz.

3.4 - SCD Örneği-1: Bir trafik lambası üç farklı ip ile asılı tutulmaktadır. İpler bir C halkasına bağlanmıştır. Buna göre gösterilen 1,2 ve 3 izolasyonlarının herbirisi için Serbest Cisim Diyagramları aşağıda çizilmiştir.

04.09.2019 104


WE

TCD

SCD-1 SCD -2

Herbir SCD için, sadece izole edilen (hayali olarak kesilen) iplerde kuvvet ortaya çıktığını fark ediniz.

Soru: SCD 2 de, TCD kuvveti niçin gösterilmemiştir?Cevap: Çünkü 2 nolu izolasyonda TCD kuvvetinin çıktığı CD ipi kesilmemiştir.Soru: SCD-1 ve SCD-3 de TCD kuvvetlerinin yönleri niçin terstir?Cevap: SCD-1 de, trafik ışığına CD ipinden gelen kuvvet; SCD-3 de ise CD ipine trafik ışığından gelen kuvvet çizilmiştir. Etki-tepki prensibine göre bunlar eşit şiddette ve zıt yönde olmalıdır.

SCD -3

TAC

TBcTBc

TAC

TCD

Adam ve Tartı dan oluşan dengede bir sistem (*adamın bastığı kısmın ağırlığı ihmal ediliyorW1: adamın ağırlığı, W2: tartı ağırlığı)

SCD-1: Tüm sistem Tüm Sistem sadece yerden izole edilmiş. Adamın ayaklarının temas ettiği kısımdan izole edilmediğinden burada (adamın ayak kısmında ) bir kuvvet çizilmediğine dikkat ediniz.

SCD-2 : Adam: Adam tartıdan izole edilmiş. İzole edilen temas noktalarında (ayaklarında) tepki kuvvetleri şimdi çizilir.

SCD-3 : Tartı:Tartı hem yerden hem adamdan izole edilmiş. (Diğer SCD lere göre bunu kendiniz yorumlayın)

(SCD) Örneği -2

04.09.2019 105


K

W1

N1 N2

04.09.2019 106

SCD Örneği-3: Şekildeki spor aleti ve sporcudan oluşan sistemde tüm sistemin ve ayrı ayrı parçaların SCD lerini dikkatlice inceleyiniz. (W1, W2

sporcu ve spor aletinin ağırlıkları olup, sporcunun oturduğu siyah yastığın ağırlığı ve sürtünmeler ihmal edilmiştir. )

W1

W2

Nzemin-1 Nzemin-2

N1

N1

T

T

N2

Nzemin-1Nzemin-2

W2

N1

SCD-2 (Sporcu)

SCD-3 (Minder)

SCD-4 (spor aleti)

SCD-1 (Tüm sistem)


3.5- Bağlantı Elemanları için Serbest Cisim Diyagramı (SCD) örnekleri:

Hatırlatma:

• Tepki kuvvetinin yönü ilk seferinde keyfi olarak

seçilir. Hesaplandığı zaman işareti negatif (-)

çıkarsa, seçilen yönün tersineymiş denir.

• Örneğin Ax tepkisinin x doğrultusunda olacağı

kesindir. Ancak + x veya –x yönünde olup

olmadığına her zaman karar vermek zordur. Bu

sebeple, +x veya –x den bir yönde keyfi yerleştirilir.

Sonuçta işareti – çıkarsa ters yöndeymiş denir. (–

çıkması –x yönü anlamına gelmez.)

• Dikkat: Bir tepki kuvveti 2nci kez keyfi

yerleştirilemez. İlk yerleştirmedeki yönü dikkate

alınarak 2nci kez yönü belirlenir. Özellikle bu

durum çerçeve sistemleri konusunda önem kazanır.

• İşareti negatif çıkan tepki kuvvetinin yönü

değiştirilmezse, denklemlerde işaretiyle birlikte

kullanılmalıdır.

04.09.2019 107


3.6 Kuvvet Hesaplarında İşlem Adımları:

1- Dengesi incelenecek sistemin veya cismin serbest cisim diyagramı (SCD) çizilir.

2- Statik denge denklemleri yazılır ve bilinmeyen kuvvetler bu denklemlerden bulunur.

04.09.2019 108


Statik dengedeki bir katı sistemde bilinmeyen kuvvetleri bulmak için 2 basamak vardır:

04.09.2019 109

Örnek 3.1 (2016 - 1.vize)

W = 400 N ağırlığındaki dirseğin Ağırlık

merkezi G noktasındadır. Dirsek A

ucundan sabit mafsala bağlı olup, C

ucuna uygulanan 400 N luk yatay

kuvvet, AG kablosu ile dengelenmiştir.

Buna göre, kabloda ve B bağlantısında

ortaya çıkan kuvvetleri hesaplayınız.


3.7: İki Boyutlu (Düzlem) Denge Problemi Örnekleri

Bu problemlerde skaler çözümü (D 3.3 denklemrini) tercih edeceğiz. .

04.09.2019 110

σ𝐹𝑥 =0 400 − 𝑇𝑆𝑖𝑛20 +𝐵𝑋=0

σ𝐹𝑦 =0 −𝑊 − 𝑇. 𝐶𝑜𝑠20 + 𝐵𝑦=0

σ𝑀𝐺 =0 −400 . 300 + 𝐵𝑋. 230 + 𝐵𝑦 . 230. 𝑡𝑎𝑛40=0

T= 518.45 N, Bx = -222.68 N, By = 775.87 N

Bu 3 denklemden, 3 bilinmeyen bulunabilir.

Dirseğin SCD ‘si

Bx’in ( - ) negatif çıkması seçilen yönün tersi yönünde olduğunu gösterir.

Bx eğer sola doğru seçilseydi işareti + çıkacaktı.

Bx, By nin yönleri başlangıçta keyfi seçilebilir. İşareti ( – ) çıkarsa seçilen yönün tersi imiş denir.

Düzlemde Denge Denklemleri (D 3.3 denklemleri)Çözüm:


Örnek 3.2 : 200 N ağırlığındaki dirseğin B noktasına 50N luk kuvvet, düşeyle 300 lik açı yapacak şekildeuygulanmıştır. Sistem şekilde görülen konumdadengede ise A ve E bağlantılarında ortaya çıkantepkileri hesaplayınız. (Sürtünmeleri ihmal ediniz)(Dirseğin ağırlık merkezi G noktasıdır.)

Çözüm:

2- Kuvvet Hesapları (D 3.3 denge denklemleri ile):

04.09.2019 111


200N

A daki bağlantı dönmeye izin verir, ancak her iki yönde ötelenmeye izin vermez. (sabit mafsal). E deki tekerlek sadece x yönünde ötelenmeye izin vermez.(kayar mesnet)

Örnek 3.3 : 1kN kütleli bir sabit vinç 2.4 kNkütleli bir cismi kaldırmakta kullanılıyor. Vinç A da sabit B de kayıcı mafsal ile mesnetlenmiştir. Vincin kütle merkezi G noktasıdır. A ve B mesnetlerindeki tepkileri bulunuz.

Çözüm: A sabit, B kayar mafsaldır.

B deki mesnet kayıcı mafsal olduğu için y eksenidoğrultusunda kuvvet taşıyamaz. Bundan dolayı Bmesneti sadece x ekseni doğrultusunda tepkikuvveti uygulayabilir.

Bu 3 denklemden;

bulunur.

1- Vinci bağlantılardan izole ederek SCD sini çizelim

2- Kuvvet Hesapları:Denge Denklemleri

04.09.2019112


Örnek 3.4

A ucu bir duvara betonlanmış olan kirişe şekildeki gibi 4 adet

tekil kuvvet ve serbest ucundan 10kN-m lik bir kupl uygulanıyor.

A ucunda ortaya çıkacak tepkileri hesaplayınız.

Çözüm:

1-SCD :A noktasındaki ankastre bağlantıdan kirişi izole ederek SCD sini çizelim. Bu sırada aynı anda C noktasındaki 5kN luk uçtaki kuvveti kendi hattı üzerinde B noktasına kaydırabiliriz. C ucundaki kuvvet çifti (kupl) etkisi sadece döndürme momentidir.

A noktası ankastre uçtur. Hiçbir yönde dönmeye ve ötelenmeye izin vermez.Bu sebeple x ve y doğrultularında tepki kuvvetleri (N, V) ve tepki momenti(M) oluşur. (bknz: 3.2-d)

04.09.2019 113


04.09.2019 114

2- Denge Denklemleri ve Kuvvet hesapları


04.09.2019 115

Örnek 3.5 : Şekildeki denge halindeki sistemde, sürtünmesiz B makarasından geçirilen kabloda ve C bağlantısında ortaya çıkan kuvvetleri bulunuz.

Çözüm:

1-SCD: C sabit mafsaldır.

kablo 1 tane olduğu için tüm kısımlarında aynı çeki kuvveti ( T ) oluşur. (Makarada sürtünme olsaydı kısımlara göre T değişirdi.)

2-Denge Denklemleri


04.09.2019 116

𝑐𝑜𝑠𝜃 =5.6 − 𝑂1𝐸 − 𝑂2𝐷

𝑂1𝑂2=

2.6

2 + 1

𝜃 = 29.93𝑜

σ𝐹𝑥 =0 −𝑅𝑐 . 𝑆𝑖𝑛𝜃 +𝑅𝐵=0 𝑅𝐵 = 115.14𝑘𝑁

σ𝐹𝑦 =0 +𝑅𝐶 . 𝐶𝑜𝑠𝜃-𝑊𝑏=0 𝑅𝐶 = 230.77𝑘𝑁

σ𝐹𝑥 =0

𝑅𝐷 − 100 − 𝑅𝑐 . 𝐶𝑜𝑠𝜃=0

𝑅𝐷 = 300𝑘𝑁

−𝑅𝐴 + 𝑅𝑐 . 𝑆𝑖𝑛𝜃=0

σ𝐹𝑦 =0

𝑅𝐴 = 115.14𝑘𝑁

Örnek 3.6 : Ağırlıkları sırasıyla Wa =100 N ve Wb =200 N olan a ve b silindirleri sabit bir kasanın içine şekildeki gibi yerleştirilmiştir. Sürtünmeleri ihmal edereka-) Silindirlerin birbirlerine uyguladıkları C temas noktasındaki tepki kuvvetini,b-) Zemin (B) ve yanal duvarlar (A, D) dan silindirlere gelen tepki kuvvetlerini hesaplayınız.

Çözüm

1-Herbir silindir için SCD

2-Denge Denklemleri

b silindirinin dengesinden;

a silindirinin dengesinden;


04.09.2019 117

σ𝐹𝑦 =0

σ𝐹𝑥 =0

𝑅𝐴 − 𝑅𝐵=0

𝑅𝐵 = 115.14𝑘𝑁

𝑅𝐷 = 300𝑁

𝑅𝐴 = 115.14𝑘𝑁

Veya b şıkkını tüm sistemin dengesinden de bulabilirdik. Şöyle ki:

1- Tüm sistemin SCD si

−𝑅𝐵 𝑥 2.6 +𝑊𝑏𝑥 3𝑥𝑆𝑖𝑛𝜃 + 1 +𝑊𝑎𝑥1 − 𝑅𝐷𝑥 1 = 0

σ𝑀𝐴 =0

𝑅𝐷 −𝑊𝑏 −𝑊𝑎 = 0

2- Denge Denklemleri

Dikkat edilirse sistem, duvar ve zeminden izole edilmiştir. Silindirlerin arayüzeyinden izole edilmediği için C noktasında bir kuvvet gösterilmez. Çünkü bu sistemin iç kuvveti olarak kalır. Ancak daha önceki sayfada, herbir silindir diğer silindirden de izole edildiği için herbirisinin SCD sine Rc kuvveti koyulması gerekir.


𝑅𝐷 −200 − 100 = 0

−𝑅𝐵 𝑥 2.6 + 200𝑥 3𝑥𝑆𝑖𝑛 29.93 + 1 + 100𝑥1 − 300𝑥 1 = 0

𝑅𝐴 = 𝑅𝐵

04.09.2019 118

Örnek 3.7 : Her biri 360 N ağırlığında olan 2 fıçı şekildeki gibi bir el arabasına yüklenmiş, düşey P kuvveti ile denge durumu sağlanmıştır. Fıçıların kütle merkezleri G1 ve G2 noktalarıdır. Arabanın ağırlığını ve sürtünmeleri ihmal ederek;a-) P kuvvetinin şiddetini hesaplayınız. b-) Fıçıların birbirlerine uyguladıkları kuvveti bulunuz.c-) Üstteki fıçıya arabadan gelen reaksiyon kuvvetini hesaplayınız.

a-)Tüm sistemin dengesindenÇözüm)

Ç

Ç


04.09.2019 119

𝐹𝑥′ = −360. 𝑆𝑖𝑛35𝑜 + 𝑅2 = 0

→ 𝑅2 = 206.48𝑁

𝐹𝑦′ = −360. 𝐶𝑜𝑠35𝑜 + 𝑁2 = 0

→ 𝑁2 = 294.89𝑁

c-)

b-)


04.09.2019 120

G merkezli 250 N ağırlığındaki kutu B den sabitmafsalla, A dan ise eğik düzlemde harekete izinveren bir tekerlekle desteklenmiştir. Buna göreA ve B bağlantılarında oluşan tepki kuvvetlerinibulunuz.

Örnek (Soru) 3.8*

Cevap: 𝐹𝐴 = 51.34𝑁 𝐹𝐵 = 207.13 𝑁


Cevap:

𝐹𝐴 = 419.4𝑁 𝐹𝐶 = 85.69𝑁 𝐹𝐵 = 𝑇 = 88𝑁

Ağırlığı ihmal edilen ve şekildeki gibimesnetlenmiş ve yüklenmiş olan dengedekiçubuğun A, B ve C noktalarında ortaya çıkanreaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız.

Örnek (Soru) 3.9*

04.09.2019 121


Örnek (Soru) 3.10

Şekildeki eğik BAD koluna uygulanan düşey 50N lukkuvvet, A sabit mafsalı ve sürtünmesiz Cmakarasından geçen BCD kablosu iledengelenmiştir. Buna göre A mafsalındaki kuvvetbileşenleri ve kabloda ortaya çıkan kuvvetihesaplayınız.

Cevaplar: Ax = -29.22N, Ay = 177.26N, T = 162.33 N

Örnek (Soru) 3.11Ağırlıkları sırasıyla 300N ve 150 N olan A ve B silindirleriyanal duvarlara ve birbirlerine temas edecek şekildeyerleştirilmiş ve makaradan geçirilen bir ip vasıtasıyladengede tutulmuştur. Sistemdeki tüm sürtünmeleri ihmalederek;a-) İpte ortaya çıkan kuvveti,b-) Silindirlerin birbirlerine uyguladıkları kuvveti bulunuz.

Cevaplar: a-) T= 263.6N, b-) 151.47 N

04.09.2019 122


04.09.2019 123

800N ağırlığındaki otoyol tabelasının ağırlık merkezi G noktasındadır. Deneysel olarak AB ipininmaksimum 1200N luk bir çekme kuvvetine dayanabileceği tespit edilmiştir. Sistemdeki diğerelemanlar yeterince dayanıklıdır. Tabelanın, D ve C sabit mafsallarına ve AB ipine şekildeki gibibağlanması tasarlanıyor. Mukavemet (dayanım) açısından böyle bir tasarım sizce doğru mudur?Cevap: T=1333,33N..> 1200 N dan olduğu için tasarım uygun değildir.

Örnek (Soru) 3.12

2008 Final End.

04.09.2019 124

3.8 Üç Boyutlu Denge Problemi Örnekleri

3 boyutlu denge problemlerini vektörel olarak çözeceğiz. Toplam 2 tane vektörel denklemimiz vardır

(D 3.1 denklemleri):

𝑅 =0

𝑀𝑜 =0

Bileşke kuvvet sıfırdır:

Bileşke moment sıfırdır:

Örnek 3.13

L şeklindeki ABED çubuğunun E noktasına düşey F1 =

200N, yatay F2= 100N luk kuvvetler uygulanmıştır. Bu

kuvvetler, BC kablosu, D küresel mafsalı ve A kaymalı

yatağı ile dengelenmiştir. Buna göre; A ve D

bağlantılarındaki tepki kuvvetlerinin bileşenlerini;

ayrıca BC kablosunda oluşan kuvveti hesaplayınız. (A

yatağı x ekseninde ötelenmeye izin verir ve tüm eksenlerdeki

moment tepkileri ihmal edilebilir.)


F1 = 200N

F2 = 100N

04.09.2019 125

Çözüm:1.adım) SCD

• Önce, herbir noktanın koordinatı yazılır.• A yatağı y ve z eksenlerinde ötelenmeye izin vermiyor.• D küresel mafsal olduğu için tüm eksenlerde

ötelenmeye izin vermiyor. Dönmeye izin veriyor.(bknz:4.5-c)

• TBc kablosu kendi doğrultusunda çeki kuvveti taşır.

𝑇𝐵𝐶 kablo kuvvetinin vektörel ifadesi: şiddeti ile birim vektörün vektörel çarpımdır.

𝑇𝐵𝑐 = 𝑇𝐵𝐶 , 𝑛𝐵𝐶 = 𝑇𝐵𝐶 .𝐵𝐶

𝐵𝐶= 𝑇𝐵𝐶 .

0.2 − 0 Ԧ𝑖 + −1.3 − −1 Ԧ𝑗 + −0.6 − 0 𝑘

𝐵𝐶= 𝑇𝐵𝐶 .

0.2 Ԧ𝑖 + −0.3 Ԧ𝑗 + −0.6 𝑘

0.22 + 0.32 + 0.62

𝑇𝐵𝑐 = 0.285𝑇𝐵𝐶 . Ԧ𝑖-0.428𝑇𝐵𝐶 . Ԧ𝑗 − 0.857𝑇𝐵𝐶 . 𝑘𝑇𝐵𝑐 nin hesabını bir türlü anlayamadım

diyorsan, önce örnek 2.3 ü

anlamalısın.

Öncelikle herbir kuvveti vektörel ifade etmeliyiz.


+z eksenin aşağı doğru olması gerektiğini fark etmelisiniz.

04.09.2019 126

2 ) Kuvvet Hesapları, Denge denklemleri:

𝑀𝐷 = 𝐷𝐴𝑥 Ԧ𝐹𝐴 + 𝐷𝐵𝑥𝑇𝐵𝐶+𝐷𝐸𝑥𝐹1+ 𝐷𝐸𝑥𝐹2= 0

𝑅 =0 , 𝑀 =0

Önce D noktasına göre toplam moment denklemini yazalım:

Moment alınan nokta

Kuvvet hattı üzerindeki koordinatları bilinenHerhangi bir nokta

Kuvvet

𝑀𝐷 = [(−Ԧ𝑖 − 𝑗)x (𝐴𝑦 Ԧ𝑗 + 𝐴𝑧𝑘)]+[(−𝑗)𝑥(0.285𝑇𝐵𝐶 . Ԧ𝑖−0.428𝑇𝐵𝐶 . Ԧ𝑗−0.857𝑇𝐵𝐶 . 𝑘)] + [(−0.5Ԧ𝑗)x (200𝑘 − 100Ԧ𝑖)] = 0

• A daki bileşke kuvvet : Ԧ𝐹𝐴 = 𝐴𝑦 Ԧ𝑗 + 𝐴𝑧𝑘

• D deki bileşke kuvvet : Ԧ𝐹𝐷 = 𝐷𝑥Ԧ𝑖 + 𝐷𝑦 Ԧ𝑗 + 𝐷𝑧𝑘

(bknz: konu 3.7)

= 𝐴𝑦 𝑘 + 𝐴𝑧 Ԧ𝑗-𝐴𝑧Ԧ𝑖 + 0.285𝑇𝐵𝐶𝑘 + 0.857𝑇𝐵𝐶Ԧ𝑖 − 100Ԧ𝑖 − 50𝑘 = 0

uzayda bir vektörel denklem elde ettik. Bu denklem sıfıra eşit olduğundan herbir birim vektörün katsayılarının toplamı da ayrı ayrı sıfıra eşit olmalıdır.

Ԧ𝑖 katsayıları toplamı: -𝐴𝑧 −100 +0.857𝑇𝐵𝐶 = 0

Ԧ𝑗 katsayıları toplamı: 𝐴𝑧 = 0

𝑘 katsayıları toplamı: 𝐴𝑦 +0.285𝑇𝐵𝐶-50=0 𝐴𝑦 = 16.74N

𝐴𝑧 = 0

𝑇𝐵𝐶=116.68 N

Bulunur.

• 𝐹1 = 200𝑘 , 𝐹2 = −100 Ԧ𝑖 olarak ifade edilirler.


04.09.2019 127

𝑅 = σ Ԧ𝐹𝑖 = 𝐹𝐴+𝐹𝐷 + 𝑇𝐵𝐶 + 𝐹1+𝐹2

Şimdi 2nci denge denklemi olan Bileşke kuvvet denklemini yazalım.

𝑇𝐵𝐶= 117.6 ( 0.285Ԧ𝑖-0.428Ԧ𝑗 − 0.857𝑘) 𝑇𝐵𝐶=33.5Ԧ𝑖- 50.3Ԧ𝑗 − 100.8𝑘

Ԧ𝐹𝐴 = 16.74Ԧ𝑗Ԧ𝐹𝐴 = 𝐴𝑦 Ԧ𝑗 + 𝐴𝑧𝑘

𝑅 = 16.74Ԧ𝑗 + 𝐷𝑥Ԧ𝑖 + 𝐷𝑦 Ԧ𝑗 + 𝐷𝑧𝑘 + 33.5Ԧ𝑖 − 50.3Ԧ𝑗 − 100.8𝑘 + 200𝑘 -100Ԧ𝑖= 0

Yine uzayda bir vektörel denklem elde ettik. Bu denklem sıfıra eşit olduğundan herbir birim vektörün katsayılarının toplamı da ayrı ayrı sıfıra eşit olmalıdır.

Ԧ𝑖:

Ԧ𝑗 :

𝑘 :

𝐷𝑥 + 33.5 − 100 = 0

16.74 + 𝐷𝑦 − 50.3 = 0

𝐷𝑧 − 100.8 + 200 = 0

𝐷𝑦=33.56 N

𝐷𝑥=66.5N

𝐷𝑧=- 99.2 N

Ԧ𝐹𝐷 = 66.5Ԧ𝑖+33.56Ԧ𝑗 −99.2𝑘


04.09.2019 128

Sadece 𝑇𝐵𝐶 kuvveti sorulmuş olsaydı:

• Bir eksen üzerinde bulunan kuvvetlerin o eksene göre momentleri sıfırdır.

• AD eksenine göre moment alarak 𝑇𝐵𝐶 kuvvetinin şiddetini doğrudan bulabiliriz. • Zira bu durumda A ve D deki kuvvetlerini AD ekseni üzerinde olduğundan, bu eksene göre

momentleri sıfır olur.

𝑀𝐴𝐷 = 𝑀𝐷 . 𝑛𝐴𝐷 = 0

𝑀𝐷 = 𝐷𝐵𝑥𝑇𝐵𝐶+𝐷𝐸𝑥( Ԧ𝐹1+ Ԧ𝐹2)

=[(-𝑗)𝑥(0.285𝑇𝐵𝐶 . Ԧ𝑖−0.428𝑇𝐵𝐶 . Ԧ𝑗−0.857𝑇𝐵𝐶 . 𝑘)] + [(−0.5Ԧ𝑗)x (200𝑘 − 100Ԧ𝑖)]

= 0.285𝑇𝐵𝐶𝑘 + 0.857𝑇𝐵𝐶Ԧ𝑖 − 100Ԧ𝑖 − 50𝑘

𝑛𝐴𝐷 =𝐴𝐷

𝐴𝐷=

−Ԧ𝑖 − Ԧ𝑗

12 + 12= −0.707Ԧ𝑖 − 0.707Ԧ𝑗

𝑀𝐴𝐷 = (0.285𝑇𝐵𝐶𝑘 + 0.857𝑇𝐵𝐶Ԧ𝑖 − 100Ԧ𝑖 − 50𝑘). (−0.707Ԧ𝑖 − 0.707Ԧ𝑗)

= −0.606𝑇𝐵𝐶+70.7=0 𝑇𝐵𝐶=116.68 N

Denge şartı olarak, AD eksenine göre momentin şiddeti (𝑀𝐴𝐷) sıfır olmalıdır.

Aynı örneğe devam ediyoruz. Eksene göre momentin sağladığı pratikliği burada anlayacağız:

(Eksene göre momenti işlemini hatırlamak için konu 3.9 i inceleyiniz)


04.09.2019 129

Örnek 3.1450 N ağırlığındaki homojen AC çubuğu A ucundan birküresel mafsala, B noktasından ise iki kabloyabağlanmıştır. Kablolar D ve E uçlarından bir duvarasabitlenmiştir. Şekildeki denge konumu için a-)kablolarda,b-)küresel mafsalda ortaya çıkan kuvvetleri tespit ediniz.

Çözüm: 1.Adım) SCD alttaki gibi çizilir.

Ԧ𝐴 = 𝐴𝑥Ԧ𝑖 + 𝐴𝑦 Ԧ𝑗 + 𝐴𝑧𝑘 𝑊 = −100Ԧ𝑗


04.09.2019 130

𝑅 = σ Ԧ𝐹𝑖 = Ԧ𝐴 + 𝑇𝐵𝐷+𝑇𝐵𝐸 +𝑊= (𝐴𝑥−40 − 60)Ԧ𝑖 + (𝐴𝑦 + 40 + 80 − 100)𝑗 + (𝐴𝑧−120 + 120)𝑘 = 0

Ԧ𝑖: 𝐴𝑥 − 40 − 60=0

Ԧ𝑗: 𝐴𝑦 + 80 + 120 − 100=0

𝑘: 𝐴𝑧 − 120 + 120=0

𝐴𝑥=100N

𝐴𝑦=100N

𝐴𝑧=0


𝑇𝐵𝐷 = −40Ԧ𝑖 + 80Ԧ𝑗 − 120𝑘

𝑇𝐵𝐸 = −60Ԧ𝑖 + 120Ԧ𝑗 + 120𝑘

Şekildeki gibi bükülmüş olan EDCOB çubuğunun E noktasına P =3kN ve F = 4kN lukkuvvetler uygulanmıştır. Çubuk C, D yatakları ve BA kablosu ile dengede tutulmaktadır. Yatakların her ikisi de hiçbir eksende ötelenmeye izin vermemektedir. Yataklardaki tepki momentleri ihmal edilebilir. Buna göre BA kablosunda ortaya çıkan çekme kuvveti T yi hesaplayınız. OB = 200 mm.

04.09.2019 131


PFÖrnek 3.15

04.09.2019 132

𝑀𝑂 = 𝑂𝐴𝑥 𝑇+𝑂𝐸𝑥( Ԧ𝑃 + Ԧ𝐹 )

𝑀𝑂 = [(200𝑘)𝑥 𝑇(−𝐶𝑜𝑠30. Ԧ𝑗+𝑆𝑖𝑛30. 𝑘)] + [(280Ԧ𝑖+180Ԧ𝑗)x ( − 3𝑘 + 4Ԧ𝑖)]

𝑀𝑂 = 173.2𝑇 Ԧ𝑖 + 840Ԧ𝑗− 540Ԧ𝑖 − 720𝑘

𝑀𝐶𝐷 = 173.2𝑇 Ԧ𝑖 + 840Ԧ𝑗− 540Ԧ𝑖 − 720𝑘 . Ԧ𝑖 = 0

𝑀𝐶𝐷 = 173.2𝑇 − 540 = 0 𝑇 =540

173.2𝑇 = 3.11𝑘𝑁

𝑀𝐶𝐷 = 𝑀𝑂 . 𝑛𝐶𝐷=𝑀𝑂 . Ԧ𝑖 =𝑀𝑥 = 0

PF

T ile birlikte 7 bilinmeyen var. Tüm bilinmeyenler bulunamaz. Ancak CD yani x eksenine göre moment alarak D ve C deki kuvvetleri hesaplara dahil etmeyiz. Çünkü biliyoruz ki, bir eksen üzerindeki kuvvetlerin o eksene göre momentleri sıfırdır.

Çözüm:


04.09.2019 133

2m

Şekildeki dirseğin E noktasına +x yönünde 3kN luk, +y ekseni yönünde 4kN lukkuvvetler uygulanmıştır. Dirsek A noktasındaki küresel mafsal, DB kablosu C deki bir halka ile dengelenmiştir. C halkası her yönde dönmeye, y yönünde ötelenmeye izin vermektedir. Buna göre, DB kablosunda ortaya çıkan kuvveti, A ve C bağlantılarında oluşan tepkileri hesaplayınız. Cevaplar: T=6.35kN, Cz = 1.9kN, Cx=10.92kNAx=-7.95kN,Ay=-5.46kNAz = -3.36kN

Örnek 3.16

Örnek (Soru) 3.17*: F = 600 N luk bir yük

şekildeki gibi bükülmüş bir rijid borunun G

köşesine uygulanmıştır. Boru E de zemine ve C

de düşey duvara küresel mafsalla bağlanmış,

B de ise BA kablosu yardımı ile sabit duvara

tesbit edilmiştir. Buna göre, BA kablosunda

oluşan kuvvetin şiddetini bulunuz

Cevap: 409.2N

04.09.2019 134


Örnek (Soru) 3.18: Ağırlığı ihmal edilebilen şekildeki direk Onoktasında bir deliğin içine sokulmuştur. HB kablosuna P = 3kN luk çekme kuvveti uygulandığında, CD ve EG kablolarındaortaya çıkacak kuvvetleri hesaplayınız.O daki delik z ekseninde dönme ve ötelenmeye izinvermektedir.

04.09.2019 135


P

3.9 Bir Noktanın Dengesi (Doğrultuları Kesişen Kuvvetler Sistemi)

𝑅 = 0

Statik dengede olan bir sisteme etki eden kuvvetlerin doğrultusu aynı noktada kesişmesi durumunda, uzayda 3, düzlemde 2 bağımsız denklem yazılabilir. Örneğin yandaki gözüken cisme etki eden kuvvetlerin hepsi O noktasında kesişmektedir. Problemi uzay (3 boyutlu ) kabul edelim ve cismin ağırlığını ihmal edelim. Bu durumda toplam kuvvet denklem yazılabilir ve 3 bağımsız skaler denklem elde edilir.

,

𝐹𝑥 = 0 ,𝐹𝑦 = 0 ,𝐹𝑧 = 0

04.09.2019 136


Bundan başka yazılacak moment denklemleri bu 3 denklemin türetilmişhalleri olacaktır. Dolayısıyla 3 den fazla denklem yazmak bize fayda vermez.(düzlemde ise maksimum 2 denklem yazılabilir.)

Bu denklemin yazılması fayda vermez.𝑀 = 0

TripotBu tip yüklemeye bir örnektir.

Örnek 3.19 Kamyonete bağlı üç çubuktan oluşan kaldırma sistemine 400 N luk yük asılmıştır. Herbir Çubuğa düşen kuvveti hesaplayınız?

Çözüm:

Tespit 1: Herbir çubuğun bağlantı noktası + bağlantı harici noktalardaki tekil kuvvet sayısı 2 dir. Dolayısıyla herbir çubuk çift kuvvet elemanıdır.

04.09.2019 137


Tespit 2: Tüm kuvvetler tek noktada kesişiyor. O halde 4.10 maddesinde anlatılan durum sözkonusudur.

1

FAD

FACFAB

W=400N

D (-1.25, 2.5, 0)

C (1, 2.5, 0)

B (0,0,0)

(0,-2.5,3) SCD-1

SCD-1: Sadece kesişim noktası olan A noktasının serbest cisim diyagramını çizelim. Yani A noktasını sistemden 1 nolu çember ile izole edeceğiz. Çember ile hayali olarak kestiğimiz herbir parçada bir kuvvet gösterilmelidir. A ile bağlantısı kesilen cisimler 3 çubuk ve yükün asıldığı zincirdir.

3- Şimdi Denge Denklemleriyle kuvvetleri bulmaya çalışacağız.

Problem 3 boyutlu olduğu için vektörel çözümü tercih ediyoruz.

Ancak bu örnekteki gibi tüm kuvvetler aynı noktadan geçerse, sadece kuvvet denklemi yazabiliriz (bknz 4.15). Ayrıca moment denklemi yazılamaz. Dolayısıyla sadece 1 vektörel denklem yazılabilir.

𝑅 = Ԧ𝐹 = 0

04.09.2019 138


D (-1.25, 2.5, 0)

C (1, 2.5, 0)

B (0,0,0)

A (0,-2.5,3)

𝐹𝐴𝐵 + 𝐹𝐴𝑐 + 𝐹𝐴𝐷 +𝑊 = 0

𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐴𝐵 . 𝑛𝐴𝐵 =𝐴𝐵

𝐴𝐵= 𝐹𝐴𝐵

2.5Ԧ𝑗 − 3𝑘

2.52 + 32= 𝐹𝐴𝐵(0.64Ԧ𝑗 − 0.768𝑘)

𝐹𝐴𝐶 = 𝐹𝐴𝐶 . 𝑛𝐴𝐶 =𝐴𝐶

𝐴𝐶= 𝐹𝐴𝐶

Ԧ𝑖 + 5Ԧ𝑗 − 3𝑘

12 + 52 + 32= 𝐹𝐴𝐶(0.169Ԧ𝑖 + 0.84Ԧ𝑗 − 0.507𝑘)

𝐹𝐴𝐷 = 𝐹𝐴𝐷 . 𝑛𝐴𝐷 =𝐴𝐷

𝐴𝐷= 𝐹𝐴𝐷

−1.25Ԧ𝑖 + 5Ԧ𝑗 − 3𝑘

1.252 + 52 + 32= 𝐹𝐴𝐷(−0.209Ԧ𝑖 + 0.838Ԧ𝑗 − 0.503𝑘)

,𝑊 = −400𝑘

0.169𝐹𝐴𝐶 − 0.209𝐹𝐴𝐷 = 0

0.64𝐹𝐴𝐵 + 0.84𝐹𝐴𝐶 + 0.838𝐹𝐴𝐷 = 0

−0.768𝐹𝐴𝐵 − 0.507𝐹𝐴𝐶 − 0.503𝐹𝐴𝐷 − 400 = 0

Ԧ𝑖:

Ԧ𝑗:

𝑘:

Herbir birim vektörün katsayılarının toplamları ayrı ayrı sıfıra eşit olmalıdır.

𝐹𝐴𝐵 = −1045.88𝑁𝐹𝐴𝐶 = 441,19𝑁𝐹𝐴𝐷 = 356.95𝑁

04.09.2019 139

Şekildeki denge halindeki sistemde AB

ve AC iplerinde meydana gelen

kuvvetleri bulunuz. (W= 400N)

P=100N

A

B

C

Örnek (Soru) 3.20Tekstil 1.vize 2015


Birbirlerine uç noktalarından bağlanmış çubuk elemanların oluşturduğu taşıyıcı sistemlerdir.

4- Kafes Sistemler

Birçok uygulama alanları vardır.

• Çatı sistemlerinde,• Köprülerde,• Kulelerde,• Ve benzeri bir çok yapılarda kullanılır.

4- Kafes Sistemler

4.1 Kafes Sistemlerin Başlıca Özellikleri:

a. Çubuklar uçlarından bağlıdır ve herbir bağlantı

noktasına «düğüm noktası» ismi verilir.

b. Dış kuvvetler, sadece bağlantı (düğüm)

noktalarından etki eder.

c. Bağlantı noktalarında (düğümlerde) sadece tekil

kuvvetler oluşur. Bağlantılardaki moment tepkisi

ihmal edilir.

d. Çözümlerde çubuk ağırlıkları ihmal edilir.

e. Tüm çubuklar çift kuvvet elemanıdır. Dolayısıyla

herbir çubuk kendi doğrultusunda kuvvet taşır

(çeki veya bası kuvveti).

Bu özelliklerden en az birisini taşımayan sistemler

kafes sistem olarak nitelendirilmez.

04.09.2019 142

4- Kafes Sistemler

Düğüm noktası

Çubuk

K

K

K

K

4.2 Kafes Sistemlerin Tipleri:

4.3 Statik Dersi kapsamında amacımız: Kafes Sistemin Geometrisi ve Dış kuvvetler belli

iken, herbir çubuğa veya belirli çubuklara düşen kuvvetleri hesaplamaktır. Ders

kapsamında sadece düzlem kafes sistemler incelenecektir.

1- Uzay Kafes Sistemleri: 3 Boyutlu sistemlerdir.

2- Düzlem Kafes Sistemleri: 2 boyutlu sistemlerdir.

04.09.2019 143

4- Kafes Sistemler

04.09.2019 144

F

F

F

Parmağa dışarıdan uygulanan kuvvet

Parmağa eklemden gelen kuvvet

Ekleme parmaktan gelen kuvvet

Ekleme elin diğer kısımlarından gelen kuvvetF

eklem

Kafes sistemlerde kuvvet dağılımı iyi anlayabilmek için, işaret parmağınızı diğer elinizle çekin. Şekildeki kuvvet dağılımını anlamaya çalışın. Bu sırada, hem parmağın hem eklemin dengede olduğunu, parmağın çift kuvvet elemanı olduğunu farketmelisiniz. İşte kafes sistemler için,Parmak = çubuk, eklem = düğüm … denebilir. Kuvvetler bu mantıktaki gibi kafes sistemlerde dağılır.

4- Kafes Sistemler

• Örnek 4.1 : Kafes sistemlerde herbir düğüm noktasına ve

çubuklara düşün kuvvetleri daha net görebilmek için yandaki

örneği inceleyeceğiz.

30kN

4.4 Çubuk Kuvvetleri ve Hesaplama Yöntemleri :

04.09.2019 145

4- Kafes Sistemler

Bir önceki sayfadaki parmak örneğinden faydalanarak AB ve AC çubukları ve A,B ve C düğümleri arasındaki kuvvet dağılımını iyice anlamaya çalışın. Daha sonra tüm sistemdeki kuvvet dağılımını inceleyiniz.

10kN

04.09.2019 146

P.N 5.1 : Çubuk kuvvetinin yönü nasıl seçilmeli?

İlk kez bu kuvvet yerleştirilirken çubuğa paralel olmak kaydıyla keyfi bir yönde (sağa-sola, yukarı aşağı) seçilir. Ancak aynı kuvvetin yönü 2., 3.,

yerleştirmede keyfi seçilemez. İlk yerleştirmeye bağlı olarak seçilir. Örneğin FAC kuvveti ilk kez yerleştirilirken keyfi olarak A düğümüne sola doğru

etki ettirilmiş. AC çubuğunun A ucuna mecburen sağa olmalıdır (etki-tepki). AC çubuğunun C ucuna sola doğru olmalıdır ki çubuk dengede olsun.

C düğümüne ise sağa olmalıdır (etki-tepki). Hesaplar sonucu kuvvetin işareti «- » çıkarsa seçtiğimiz yönün tersine yönde olduğunu gösterir. Ancak

bu durumda kuvvetin yönü çevrilmez, hesaplarda «-» işareti ile birlikte kullanılır. Çevrilirse işareti de değiştirilmelidir.

4- Kafes Sistemler

• Dikkat edilirse herbir düğüme, kendisine bağlı çubukların herbirinden bir kuvvet gelir.

• Çubuklara ise eşit şiddette-zıt yönde bağlı olduğu herbir düğümden bir tepki kuvveti gelir (etki-tepki).

• Tüm düğüm ve çubuk kuvvetleri sistemin iç kuvvetleri olarak isimlendirilir ve toplamları sıfırdır..

• Bir çubuk kuvvetinin( örn: FAC ) doğrultusu mutlaka çubuk ekseni doğrultusundadir. Çünkü herbir çubuk çift kuvvet elemanıdır.

10kN

Aynı örneğe devam ediyoruz:

Öncelikle bağlantı noktalarındaki kuvvetler

tüm sistemin dengesinde hesaplanır:

σ𝐹𝑥=0 → −𝐸𝑥 + 𝑇. cos 30𝑜 + 10 = 0

σ𝐹𝑦=0 → 𝐸𝑦 + 𝑇. 𝑠𝑖𝑛 30𝑜 − 30 − 20 = 0

σ𝑀𝐸=0 → −𝑇. 5 + 20.5 + 30.10 = 0

T= 80kN

𝐸𝑥= 79.28kN

𝐸𝑦=10 kN

bulunur.

P.N 5.2: Bazı problemlerde mesnet tepkilerini hesaplamaya gerek kalmadan, istenen çubuk kuvvetleri bulunabilir. Bu durumu görebilmek ve alışmak için bol soru çözülmesinde fayda vardır. Kesim yönteminde, mesnetlerin tümü kesimin bir tarafında kalıyorsa mesnet tepkilerini bulmaya gerek kalmaz… .kesimin diğer tarafı incelenir ve çubuk kuvvetleri bulunabilir.

04.09.2019 147

4- Kafes Sistemler

Tüm sistemin dengesinde sistem sadece dış bağlantılardan izole edilir. Düğümlerden izole edilmez. Bu sebeple tüm sistemin dengesinde çubuk kuvvetleri katılmaz.

Şimdi iç kuvvet ismi verdiğimiz çubuk ve düğümlere düşen

kuvvetleri hesaplayacağız. Bunun için 2 yöntem vardır:

1. Yöntem : Düğüm Yöntemi

(The method of Joint)

• Bu yöntemde herbir düğümün dengesi yazılır ve kuvvetler

hesaplanır.

• Herbir düğüm için σ𝐹𝑥=0 , σ𝐹𝑦=0 olmak üzere 2 denklem

yazılabilir. Tüm kuvvetler aynı noktadan geçtiği için moment

denklemi yazılamaz. Bu nedenle bir düğümde 2 bilinmeyen

olması gerekir. Çözüm aşamasında düğüm sırası önemlidir.

Örnekten bu durum daha iyi anlaşılacaktır.

Çözüm:A düğümünden başlanabilir. Çünkü 2 bilinmeyen kuvvet vardır.

σ𝐹𝑥=0

σ𝐹𝑦=0

→ −𝐹𝐴𝐶+𝐹𝐴𝐵 cos 60𝑜 + 10=0

-30+𝐹𝐴𝐵 sin 60𝑜=0→

→ 𝐹𝐴𝐶= 27.32𝑘𝑁, 𝐹𝐴𝐵= 34.64kN

04.09.2019 148

4- Kafes Sistemler

σ𝐹𝑥=0 → −𝐹𝐵𝐶cos 60𝑜 + 𝐹𝐵𝐷 − 34.64 cos 60𝑜=0

σ𝐹𝑦=0 → 𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜 − 34.64. 𝑠𝑖𝑛 60𝑜=0

→ 𝐹𝐵𝐶= 34.64𝑘𝑁, 𝐹𝐵𝐷= 34.64kN

σ𝐹𝑥=0 → 𝐹𝐵𝐶cos 60𝑜 + 𝐹𝐴𝐶 − 𝐹𝐶𝐸 + 𝐹𝐶𝐷 cos 60

𝑜=0

σ𝐹𝑦=0 → −𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜 + 𝐹𝐶𝐷 𝑠𝑖𝑛 60

𝑜-20 = 0

→ 𝐹𝐶𝐷= 57.74𝑘𝑁, 𝐹𝐶𝐸= 73.51kN

Benzer şekilde E veya D düğümlerinin dengesinden 𝐹𝐷𝐸= 11.55𝑘𝑁 bulmaya çalışınız.

Şimdi B düğümüne geçilebilir. Çünkü B düğümünde 2 bilinmeyen kaldı.

04.09.2019 149

4- Kafes Sistemler

2. Yöntem : Kesim Yönetimi

(the method of section)

Aynı örneği kesim yöntemi ile çözeceğiz. Bu yöntem mekaniğin önemli bir

prensibi olan ayırma prensibine dayanır.

Ayrıma prensibi: dış kuvvetlerin etkisindeki bir sistem dengede ise, hayâli

bazda ayırdığımız her bir parçası da iç ve dış kuvvetlerin etkisiyle ayrı ayrı

dengededir. (Bu prensip mukavemet dersinin temelini teşkil eder.)

σ𝐹𝑥=0 → 𝐹𝐵𝐶cos 60𝑜 − 𝐹𝐵𝐷 + 𝐹𝐴𝐶+10=0

σ𝐹𝑦=0 → −𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜-30 = 0

σ𝑀𝐶=0 → 𝐹𝐵𝐷. 5. 𝑠𝑖𝑛60𝑜 +30x5= 0

𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐵𝐷= − 34.64𝑘𝑁,

işaretinin negatif «-» çıkması seçtiğimiz yönün tersine olduğunu gösterir.

I - I kesiminde sol tarafın SCD si ve dengesi

İncelediğimiz örnekteki kafes sistem dış kuvvetlerin etkisi ile dengededir. O halde hayali olarak yaptığımız I-I

kesiminden sonra sol veya sağ parçası da dengededir.

Bu parçalara, kesilen çubuklardaki, çubuk kuvvetleri dış kuvvet gibi etki ettirilir.

Ve 3 denge denklemi ( σ𝐹𝑥=0,σ𝐹𝑦=0, σ𝑀𝐸=0 ) yardımıyla bu çubuk kuvvetleri bulunur.

• Çubuk Kuvvetlerinin yönleri ilk defasında keyfi seçilir.

• İşareti + çıkarsa kuvvet yönü doğru seçilmiş demektir.

• 3 denklemden 3 bilinmeyen bulanabileceği için genelde ilk kesimde 3 çubuk kesilir..

04.09.2019150

4- Kafes Sistemler

𝐹𝐴𝐶 = −27.32𝑘𝑁,

I - I kesiminde sağ tarafın SCD si ve dengesi

σ𝐹𝑥=0 → − 𝐹𝐵𝐶cos60𝑜 + 𝐹𝐵𝐷 − 𝐹𝐴𝐶 - 69.28 + 80. cos 30𝑜 =0

σ𝐹𝑦=0 → 𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜 + 80. sin 30𝑜 − 20 + 10 = 0

σ𝑀𝐸=0 → 𝐹𝐵𝐷. 5. 𝑠𝑖𝑛60𝑜 + 𝑇. 5 − 20.5 + 𝐹𝐵𝐶. sin 60𝑜= 0

𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐵𝐷= − 34.64𝑘𝑁,

II-II kesimi ile → 𝐹𝐶𝐷= 57.74𝑘𝑁, 𝐹𝐶𝐸= 73.51kN, 𝐹𝐷𝐸= 11.55𝑘𝑁 bulmaya çalışınız.

04.09.2019151

4- Kafes Sistemler

Görüldüğü gibi aynı sonuçları elde ettik.

Örnek 4.2 : Verilen kafes sistemindeki

çubuk kuvvetlerini düğüm metodunu

kullanarak bulunuz.

Çözüm: Öncelikle tüm sistemin dengesinde mesnet tepkileri bulunur.

SCD (tüm sistem)

04.09.2019 152

4- Kafes Sistemler

σ𝐹𝑥=0 → 𝐶𝑥+10 = 0

σ𝐹𝑦=0

σ𝑀𝑐=0 → −𝐸𝑦 𝑥 3 + 10 𝑥 12 + 10 𝑥 6 = 0Cy

Cx

Ey

→ 𝐸𝑦 = 60 𝑘𝑁

→ 𝐶𝑥 = −10 𝑘𝑁

→ 𝐶𝑦+𝐸𝑦 − 10 − 10 = 0 → 𝐶𝑦 = −40 𝑘𝑁

−𝐹𝐷𝐸 + 𝐹𝐴𝐷.sin 𝜃 + 𝐹𝐷𝐵 Sin 𝜃 = −𝐹𝐷𝐸+12.5.3

5+𝐹𝐷𝐵

3

5= 0

−𝐹𝐴𝐷.Cos 𝜃 +𝐹𝐷𝐵 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = −12.5.4

5+𝐹𝐷𝐵

4

5= 0

𝐹𝐴𝐵 − 𝐹𝐴𝐷.sin 𝜃 + 10 = 𝐹𝐴𝐵 − 𝐹𝐴𝐷.3

510= 0

𝐹𝐴𝐷.𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 10 = 𝐹𝐴𝐷.4

5− 10 = 0

04.09.2019 153

4- Kafes Sistemler

𝐹𝐴𝐷=12.5 kN

𝐹𝐴𝐵=- 2.5 kN

σ𝐹𝑥=0

σ𝐹𝑦=0

σ𝐹𝑥=0

σ𝐹𝑦=0

𝐹𝐷𝐵=12.5 kN

𝐹𝐷𝐸=15 kN

𝐹𝐵𝐶 + 𝐹𝐵𝐸 .sin𝜃 − 𝐹𝐷𝐵 Sin𝜃 − 𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐵𝐶+𝐹𝐵𝐸 .3

5−12.5

3

5− (−2.5) = 0

−𝐹𝐵𝐸.𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝐹𝐷𝐵 Cos 𝜃 − 10 = −𝐹𝐵𝐸.4

5−12.5.

4

5−10 = 0

σ𝐹𝑥=0

𝐹𝐵𝐶=20 kN

𝐹𝐵𝐸=-25 kN

σ𝐹𝑥=0 𝐹𝐸𝐶.Sin𝜃 − 𝐹𝐵𝐸 Sin𝜃 + 𝐹𝐷𝐸 = 𝐹𝐸𝐶 .3

5− −25

3

5+ 15 = 0 𝐹𝐸𝐶=-50 kN

𝐹𝐸𝐶.Cos 𝜃 + 𝐹𝐵𝐸 Cos 𝜃 + 𝐸𝑦 = −50.4

5−25

4

5+ 60 = 0σ𝐹𝑦=0

Kontrol amaçlı:

σ𝐹𝑦=0

C düğümü Kontrol amaçlı incelenebilir:

σ𝐹𝑥=0 𝐹𝐸𝐶.Sin𝜃 − 𝐹𝐵𝐶 + 𝐶𝑥 = −50.3

5−20 − 10 = 0

σ𝐹𝑦=0 𝐹𝐸𝐶.Cos 𝜃 + 𝐶𝑦 = −50.4

5−40 = 0

Bu denklemler de sağlanıyor.O halde üstte bulduğumuz değerler doğrudur.

Çıkmalıdır

Çıkmalıdır.

Örnek 4.3 Şekildeki kafes sistemde, a-)GE, GC ve BC çubuklarındaki kuvvetleri bulunuz.b-) sistemde boş çubuk var mıdır? Tespit ediniz.

Çözüm: Önce, tüm sistemin dengesinden:

f-f kesimi:

04.09.2019 154

4- Kafes Sistemler

σ𝐹𝑥=0 −𝐴𝑥 + 400 = 0 𝐴𝑥 = 400 𝑁

σ𝑀𝐴=0 −𝐷𝑦𝑥12 + 600𝑥8 − 800𝑥3 = 0

𝐷𝑦 = 200 𝑁

σ𝐹𝑦=0 −𝐴𝑦 + 600 − 𝐷𝑦 = 0 𝐴𝑦 = 400 𝑁

σ𝑀𝐺=0

𝐴𝑦𝑥4 + 𝐴𝑥 𝑥 3 − 𝐹𝐵𝐶𝑥3 = 0

𝐹𝐵𝐶 = 933.33 𝑁

400𝑥4 + 400 𝑥 3 − 𝐹𝐵𝐶𝑥3 = 0

σ𝑀𝐶=0

𝐴𝑦𝑥8 + 𝐹𝐺𝐸𝑥3 = 0

400𝑥8 + 𝐹𝐺𝐸𝑥3 = 0

𝐹𝐺𝐸 = −1066.67 N

σ𝐹𝑦=0

−𝐴𝑦 + 𝐹𝐺𝐶𝑥𝑆𝑖𝑛𝜃 = 0

−400 + 𝐹𝐺𝐶3

5= 0

𝐹𝐺𝐶 = 666.67 𝑁

04.09.2019 155

b-) Boş çubuk: üzerine kuvvet gelmeyen çubuklara denir.

Genel olarak; boş çubuk, bir düğümdeki diğer çubuklarla 90 derece açı yapar ve o düğüme çubuk yönünde dış kuvvet gelmez.

Nasıl tespit edilir?

Bu örnekte GB çubuğu, B düğümündeki diğer çubuklar (AB ve BC ) ile 90 derece bir açı yapıyor ve B düğümüne GB doğrultusunda bir dış kuvvet gelmemektedir. O halde GB boş çubuktur.

İspatı: B düğümünün dengesi:

Hz. Mevlana

4- Kafes Sistemler

σ𝐹𝑦=0 𝐹𝐺𝐵 = 0

Örnek 4.4: Şekildeki kafes sistemde CF çubuğundaki kuvveti bulunuz.

Çözüm: Tüm sistemin dengesinden

Mesnet tepkilerini Ay=3.75 kN, Ax=0, Ey=4.75kN bulunuz.

a

a

O

o

CF

CF

M 0

F sin45 12m 3kN 8 m 4.75kN 4m 0

F 0.589kN C

=

=

=

a-a kesimi

04.09.2019 156

4- Kafes Sistemler

Örnek 4.5: EB çubuğundaki kuvveti bulunuz.

a

ab

b

B

oED

ED

ED

M 0

1000(4) 3000(2) 4000(4)

F sin 30 (4) 0

F 3000 N

F 3000 N (C)

=

=

=

=

x

o oEF

EF

EF

y

o oEF EB

EB

F 0

F cos30 3000cos30 0

F 3000 N

F 3000 N (C)

F 0

F sin 30 3000sin 30 1000 F 0

F 2000 N (T)

=

=

=

=

=

=

=

a-a kesimi

b-b kesimi veya E düğümünün dengesi

04.09.2019 157

4- Kafes Sistemler

Alttaki Kafes Sistemlerde a-) Soru işareti olan çubuklardaki kuvvetleri hesaplayınız. b-)Boş çubukları tespit ediniz. (Cevapları soruların yanında verilmiştir. Yöntem Serbesttir.)

4.6

CD=1.87kN Boş çubuklar: CH, JI, GF, EF

Örnek Sorular :

04.09.2019 158

4- Kafes Sistemler

Boş çubuk: DE

4.7

4.8

4.9

4.10

04.09.2019 159

Cevaplar: EC = -7.5kN, CA = 7.5kN, EF = 4.5kN

Cevaplar: AB= -750N, BC = -600N, BD = 250N

4- Kafes Sistemler

4.11

4.12

5- Çerçeveler ve Basit Makinalar

Çeşitli katı parçaların (elemanların) birbirlerine bağlanması (montajlanması) ile oluşan

sistemlerdir. Kafes sistemlerden farklı olarak, elemanlar birbirlerine 2 den fazla noktadan

bağlanabilir ve dış kuvvetler sadece bağlantı noktalarından değil farklı noktalardan da

elemanlara etki edebilir.

4.1 maddesinde bahsedilen Kafes Sistemlerin Şartlarından birisi ihlal edilirse artık bu sistem

çerçeve sistem veya basit makine haline dönüşmüş olur ve bu kapsamda incelenir.

04.09.2019 161

Amacımız: Her bir elemanın (parçanın) bağlantı noktalarında oluşan kuvvetlerin hesaplanabilmesidir.

Yöntem: Kuvvetleri bulabilmek için toplam 3 adımımız vardır:

1-Sistemdeki Çift Kuvvet Elemanları (ÇKE) tespit edilir.

2- Sistemin bütünü, belli bir kısmı veya belli elemanlarının SCD si çizilir.

3- SCD lere uygulanacak denge denklemleri ile bilinmeyen kuvvetler belirlenir.

5- ÇERÇEVELER VE BASİT MAKİNALAR

K

04.09.2019 162


Problemleri çözerken başlangıçta Çift Kuvvet Elemanlarını tespit

etmek son derece önemlidir. Aksi halde kuvvetler bulunamaz.

Çift Kuvvet Elemanı Nedir?

Cevap: Sadece ve sadece 2 noktasından tekil kuvvete maruz kalan

elemanlardır.

Bu kuvvetler dış kuvvetler olabileceği gibi bağlantı noktalarında

oluşan tepki kuvvetleri de olabilir.

Sonuçta çift kuvvet elemanlarının iki özelliği:

Bağlantı sayısı + bağlantı harici kuvvet sayısı = 2 dir.

• Ağırlıkları ve bağlantılardaki tepki momentleri ihmal edilir.

(Aksi söylenmedikçe bu ihmaller yapılır.)

Çift Kuvvet Elemanı (ÇKE):

Ç.K.E için bir örnek

04.09.2019 163


Çift Kuvvet Elemanı (ÇKE) Örnekleri: Şekildeki kepçe sisteminde, EB, CB, AB, IH çift kuvvet elemanlarıdır. Çünkü her birisi için,

Bağlantı sayısı = 2Bağlantı harici dış kuvvet sayısı = 0

+ Toplam: = 2

Hatırlatma: Kafes sistemlerdeki tüm çubuklar çift kuvvet elemanıdır. Nedenini aranızda tartışınız.

04.09.2019 164

Şekildeki pedal mekanizmasında BC kolu çift kuvvet elemanıdır. Çünkü;

Bağlantı sayısı (B noktası) = 1Bağlantı harici dış kuvvet sayısı (C noktasındaki P kuvveti) = 1

+ Toplam: = 2

P


Soru: L şeklindeki elemanın sadece A ve B noktalarına 2 tekil kuvvet uygulanacaktır. Başka bir bağlantı noktası da yoktur. O halde bu bir çift kuvvet elemanıdır. Bu elemanın dengesi aşağıdaki durumlardan hangisinde sağlanır?

A

B

A

B

P

P

A

B

P

P

A

B

P

P

A

B

P

P

σ𝐹𝑥= 0

σ𝐹𝑦= 0

σ𝑀𝐴 ≠ 0

σ𝐹𝑥= 0

σ𝐹𝑦= 0

σ𝑀𝐴 ≠ 0

σ𝐹𝑥 ≠ 0

σ𝐹𝑦= 0

σ𝑀𝐴 ≠ 0

σ𝐹𝑥= 0

σ𝐹𝑦= 0

σ𝑀𝐴= 0

a-) b-) c-) d-)

Dengede değil Dengede değil Dengede değil Dengede Dengede

04.09.2019 165

Çift Kuvvet Elemanlarının Denge Şartı:

A

B

P

P

e-)

σ𝐹𝑥= 0

σ𝐹𝑦= 0

σ𝑀𝐴= 0


04.09.2019 166

ÇKE için Denge Şartı: Etki eden kuvvetler, etkime noktalarını birleştiren doğrultu üzerinde, eşit şiddette ve zıt yönde olmalıdır.

ÇKE de kuvvetleri yönü:Yukarıdaki şart sağlanacak şekilde, kuvvetlerin yönü birbirlerine doğru (d şıkkı) ya da dışa doğru (e şıkkı) yerleştirilirler. Ancak hesaplamalar sonucu işareti negatif çıkarsa, seçtiğimiz yönün tersine imiş denir.

Denge ancak d ve e şıklarında sağlanır. O halde çift kuvvet elemanlarının dengede olmasının tek şartı vardır:

1. Sistemdeki ÇKE leri öncelikle görmeye çalışın.

2. Çift kuvvet elemanlarında, etki eden kuvvetlerin etkime noktalarını birleştiren doğrultu üzerinde, eşit

şiddette ve zıt yönde olduğunu, (aksi halde dengede olamayacağını),

3. Bir kuvvet bir noktaya yerleştirilirken ilk kez keyfi yönde, 2nci kez yerleştirilirken aynı noktada, ilkine

göre zıt yönde yerleştirildiğini mutlaka fark edin.

Altta gösterilen SCD örneklerinde şu noktalara dikkat edin:


04.09.2019 167


FCB

FCB

FBE

FBE

Çift Kuvvet Elemanlarının SCD leri Diğer Elemanların SCD leri

H

B

C

A

B

I

E

B

E

C

D

A

Örnek 5.1 (SCD örneği)

ÖRNEK 5.2

Tüm sistemin SCD si Herbir Elemanın SCD si

04.09.2019 168


ÇKE

04.09.2019 169

Şimdi Çerçeve Sistemler ve Basit Makinalarla ilgili Örnek Denge Problemleri Çözülecektir.

Öncelikle Adımlarımızı tekrar hatırlayalım: Çerçeve sistemler ve basit makinalarda kuvvetleri bulmak için 3 adımımız vardı:

1-Sistemdeki ÇKE1 ler tespit edilir. 2- Sistemin Tümü, bir kısmı veya bazı elemanlarının SCD2 leri çizilir.3- Herbir SCD ‘ye denge denklemleri uygulanır ve bilinmeyen kuvvetler bulunur.

Şu noktalar da problemleri çözmede ve anlamada size faydası olacaktır:• ÇKE lerin SCD leri kuvvetleri hesaplarken pek işimize yaramaz. Ancak ÇKE olmayan elemanların SCD

leri bizi sonuca götürür. • incelediğimiz problemler düzlem problemler olduğu için 3.3 denklemleri ile skaler çözüm tercih

edilecektir.

1- ÇKE: Çift Kuvvet Elemanı, 2- SCD: Serbest Cisim Diyagramı


04.09.2019 170

Örnek 5.3: Şekildeki sistemde q = 30o

ise, C piminin taşıyacağı kuvvetihesaplayınız.

Çözüm: CD silindiri çift kuvvet elemanıdır.


04.09.2019 171

Örnek 5.4: Şekildeki çerçeve sistemin A ucuna W = 200N lukbir yük asılmıştır. Buna göre, D pimine düşen kuvveti hesaplayınız.

𝑀𝐻 = 0 𝐹𝐵𝐷 =200𝑥100

𝑆𝑖𝑛45𝑜 𝑥 80

𝐹𝐵𝐷 = 353.55 𝑁

−𝑊𝑥100 + 𝐹𝐵𝐷𝑥 𝑆𝑖𝑛45𝑜 𝑥 80 = 0

Çözüm: BD çift kuvvet elemanıdır. Zira sadece 2 noktadan tekil kuvvete maruzdur. FBD

kuvvetinin BD doğrultusunda olduğuna dikkat ediniz.

D pimine çubuktan gelen kuvvet de aynı şiddette ve zıt yöndedir.

Soru: FBD nin ve diğer kuvvetlerin yönlerini niçin böyle seçtik?Cevap: Kural: Doğrultusu belli olan bir kuvveti ilk kez yerleştiriken, yönünü (içe veya dışa, sağa veya sola, yukarı veya aişağı vb) keyfi seçiyoruz.. Hesaplamalar sonucunda bu kuvvetin işareti ‘ – ‘ (negatif) çıkarsa seçtiğimiz yönün tersine imiş diyoruz. Seçtiğimiz yönü değiştirmeden işaretiyle birlikte işlemlerde aynen kullanabiliriz. Kuvvetlerin 2nci yerleştirmelerinin ilkine zıt yönde olduğuna dikkat ediniz.


04.09.2019 172

Örnek 5.5: Şekildeki çerçeve sistemde A, B ve C bağlantılarında ortaya çıkan kuvvetleri hesaplayınız.

𝑀𝐶 = 0 𝐹𝐴𝐵 𝑥 𝐶𝑜𝑠45𝑜 𝑥 8 + 𝐹𝐴𝐵 𝑥 𝑆𝑖𝑛45

𝑜 𝑥 4 − 10 𝑥2 − 6 𝑥 4 = 0 → 𝐹𝐴𝐵 = 5.18 𝑁

𝐹𝑥 = 0 𝐹𝐴𝐵 𝑥 𝐶𝑜𝑠45𝑜 − 6 + 𝐶𝑥 = 0 → 𝐶𝑥= −5.18 𝑥 𝐶𝑜𝑠45𝑜 + 6 → 𝐶𝑥 = 2.33 𝑁

𝐹𝑦 = 0 -𝐹𝐴𝐵 𝑥 𝑆𝑖𝑛45𝑜 + 10 + 𝐶𝑦 = 0 → 𝐶𝑦= 5.18 𝑥 𝑆𝑖𝑛45𝑜 − 10 𝐶𝑦 = −6.33 𝑁

Çözüm: AB çift kuvvet elemanıdır. Çünkü 2 bağlantı noktası vardır ve bağlantı haricinde başka bir kuvvet üzerine etki etmiyor. Ağırlığı da ihmal ediliyor.


Örnek 5.6 2010/Final-Makine Muh. Şekildeki mekanizma yükü yukarı kaldırırken onun yatay

konumunu korumak amacıyla tasarlanmıştır. 80 cm çaplı kasnağın dış çevresinde bulunan pim, ABC

kolu üzerindeki kanalda sürtünmesiz olarak kayabilmektedir. ABC ve DE kollarının her birinin

uzunluğu 80 cm olup yukarı kaldırılan yükün ağırlığı 1200 N’dur. Mekanizma, kasnağa sarılı halatın

çekilmesiyle yukarı doğru kaldırılmaktadır. Yükün yerden 80 cm yukarıda dengede tutulması için

halata uygulanması gerekli P kuvvetini ve ABC koluna etkiyen tüm kuvvetleri belirleyiniz.

04.09.2019 173


ÇÖZÜM

Platformun SCDÇift kuvvet elemanı: ED

69.28 mm

30o

60cm

40 cm

04.09.2019 174


04.09.2019 175


Örnek 5.7: Şekildeki Kepçenin ucuna, zemindenP=20kN luk yatay kuvvet gelmektedir. Kepçeninhareketi, GF , BF ve DC hidrolik silindirleri ile kontroledilmektedir. Buna göre, şekildeki denge konumu içinE ve A pimlerinde ortaya çıkan kuvvetleri hesaplayınız.(Kepçedeki tüm elemanların ağırlıklarını ihmal ediniz.)

04.09.2019 176


FB, DC ve FG çift kuvvet elemanlarıdır.Çözüm:

04.09.2019 177


04.09.2019 178

Şekildeki Bağ makasının ucunda kesmeyi sağlayan 3kN lukkuvvetleri oluşturmak için uygulanması gerekli P el kuvvetlerini hesaplayınız.

Örnek 5.8

04.09.2019 179

04.09.2019 180

Örnek Sorular: Şekillerde görülensistemlerde, Çift kuvvet elemanlarındaortaya çıkan kuvvetleri tespit ediniz.

5.9

5.125.10 5.11

04.09.2019 181

Örnek Soru 5.13 Şekildeki kepçe 8kN luk yükle birlikte dengede olduğuna göre,A, C, D ve F pimlerinde ortaya çıkan tepki kuvvetlerini hesaplayınız.Cevaplar: sırasıyla, A=23kN, C=26.8kN, D = 1.01kN, F=4.05kN

04.09.2019 182

Örnek Soru 5.14* Şekildeki Penseyeuygulanan 240N luk el kuvveti sonucunda,penseye sıkıştırılan somuna ne kadarlık birsıkma kuvveti düşer? Hesaplayınız. (Cevap:1680N)

Örnek Soru 5.15* Şekildeki römork bağlantı mekanizmasında 9000 N luk yük sonucu

CF hidrolik silindirinde ortaya çıkan kuvveti hesaplayınız. Sürtünmeleri ihmal ediniz.

Pimler dönmeye izin verir ancak ötelenmeye izin vermez. G pimi bir tekerleğe bağlıdır.

Cevap= 118.7kN

04.09.2019 183


04.09.2019 184

Örnek (Soru) 5.16 (Yaz Okulu-Final) Şekildeki

sistemde kepçe 10kN luk yükü

kaldırmaktadır. H noktası yükün ağırlık

merkezidir ve sistem görülen konumda

dengededir. Buna göre; JK ve BC hidrolik

silindirlerindeki kuvvetleri hesaplayınız.

Cevap: JK = 17.5kN, BC = 29kN

Örnek (Soru) 5.17 (Final Sorusu): Şekildeki inşaat

kulesinin düşey elemanlarını dikmek için tasarlanan özel

bir çerçeve görülmektedir. Düşey A elemanı 15kN

ağırlığında olup ağırlığı 20kN olan B platformu tarafından

yukarı doğru kaldırılmaktadır. B Platformu, soldaki

tekerlekler yardımıyla sabit düşey kolon üzerinde

sürtünmesiz olarak ilerlemektedir. CD hidrolik silindiri ile

EDF ve FH bağlantı elemanları hareket ettirilmektedir.

Görülen konum için hidrolik silindirden D noktasına

etkiyen kuvvet ile E noktasındaki pimde oluşan kuvvetin

şiddetlerini bulunuz. Silindir ve bağlantı elemanlarının

ağırlıklarını ihmal ediniz. Çözümde A elemanı ve B

platformunun ağırlık merkezlerinin bilinmesine gerek

olmadığına dikkat ediniz. Boyutlar metredir.

Cevaplar: 𝐹𝐶𝐷 = 60.87 𝑘𝑁, 𝐹𝐸 = 40.76 kN

04.09.2019 185


6. AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ

• Bu konular denge problemlerinden tamamen bağımsızdır.

• Alanların ağırlık merkezi ve atalet momenti ismi verilen geometrik

özelliklerini hesaplamaya yöneliktir.

• Bu hesaplamalar mukavemet hesaplarında kullanılmaktadır.


04.09.2019 187

6.1 AĞIRLIK MERKEZİ-GEOMETRİK MERKEZ

Tanım: Ağırlık merkezi G, parçacıklar sisteminde ağırlığın bileşkesinin olduğu noktadır. Parçacıların ağırlıklarının paralel kuvvet sistemleri olduğu düşünülür. Ağırlıklar sistemi ağırlık sistemine konacak tek bir ağırlıkla değiştirilebilir.

Toplam Ağırlık1

n

R i

i

W W=

=

Ağırlık Merkezi koordinatları:

1 1 1

1 1 1

n n n

i i i i i i

i i i

n n n

i i i

i i i

xW yW zW

x y z

W W W

= = =

= = =

= = =

, ,

, , .

.

i i i

i

x y z ağırlık merkezinin koordinatları

x y z i parçacığın koordinatı

W i parçacığın ağırlığı

Eğer bir yapı sonsuz sayıda partikülden oluşuyorsa (bir katı cisim ise) ağırlık merkezine integral ifadeleri katılır.

xdW y dW z dWx y z

dW dW dW= = =

yoğunluk

dW dV

g

g

=

V V V

V V V

x dV y dV z dV

x y zdV dV dV

g g g

g g g= = =

Geometrik Merkez

Tanım: Bir nesnenin geometrik merkezidir. Formülasyonu ağırlık merkezine benzer. İzotropik ve homojen cisimlerde ağırlık merkezi ile geometrik merkez aynıdır.

V V V

V V V

x dV y dV z dV

x y zdV dV dV

= = =

a-) Hacimsel merkez:

b-) Alansal merkez:A A A

A A A

x dA y dA z dA

x y zdA dA dA

= = =

c-) Çizgisel merkez:

L L L

L L L

x dL y dL z dL

x y zdL dL dL

= = =

04.09.2019 188


Üçgenin geometrik merkezini bulunuz.Örnek Problem 6.1

ÇÖZÜM: Üçgenin geometrik merkezini iki metodla bulabiliriz.

1. Şerit metodu:

1

2

dA x dy

bdA h y dy

h

bx h y

h

y y

=

=

=

=

0

0

21

61 3

2

h

A

h

A

by h y dyy dA

hy

bdAh y dy

h

bhh

y

bh

= =

= =

h

0A

h

A0

2

1 b bh y h y dyx dA

2 h hx

bdAh y dy

h

1b h

b6x1 3

b h2

= =

= =

2. Çift integral metodu:

dA dx dy

x x

y y

=

=

=

( )

22

2

0 0 0

1( )2

0 0

22 2

322

0

1 12 2

2

( )2

( ) ( )2 6

1

61 3

2

hb x

b bb

A

hb x

b b

A

b

hydydx b x dxy dAb

ybhdA

dydx

h b x dx h b xb bybh bh

bhh

y

bh

= = =

= =

= =

04.09.2019 189


04.09.2019 190

Benzer şekilde

Örnek 6.2

Parabolü ile y = 𝑥 doğrusu arasında kalan alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplayınız.

Örnek 6.3 𝑦2 = 𝑎𝑥

Eğrisi altında kalan alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz.

04.09.2019 191

Örnek 6.4 (Statik-Final-2015)

y = x2 eğrisinin altında kalan şekildeki alanın

ağırlık merkezinin x koordinatını hesaplayınız.

( ҧ𝑥 =? ) Cevap: 2.25m

6.1.2 Temel Alanların Geometrik Merkezi:

ҧ𝑥 = ത𝑦 =4𝑟

3𝜋ҧ𝑥 =

4𝑟

3𝜋, ത𝑦 = 0ത𝑦 =

4𝑟

3𝜋, ҧ𝑥 = 0

Çeyrek daire

Üçgen

G, Kenar ortayların kesim noktasındadır.

Kare, dikdörtgen

ҧ𝑥 =𝑏

2, ത𝑦 =

ℎ

2

Tam Daire

ҧ𝑥 = ത𝑦 =0

Yarım daire

04.09.2019 192


6.1.3 Kompozit alanların geometrik merkezi:

Basit yapıların (temel geometrilerin) birleşmesinden oluşmuş karmaşık yapılara kompozit alanlar denir. Bunların geometrik merkezi bulunurken basit alanların geometrik merkez özelliklerinden yararlanılır.

Çözüm Yöntemi:

• Kompozit alan basit geometrili alt parçalara ayrılır.• Eğer delik veya kesilmiş kısım varsa bunlar negatif alan gibi düşünülür.• Simetri varsa geometrik merkez bu simetri ekseni üzerindedir.• Tablo oluşturulur ve çözüm yapılır.• Konu örneklerle daha iyi anlaşılacaktır.

x-y düzlemindeKompozitAlanlar içinGeometrik merkez:

04.09.2019 193


Örnek 6.5: Şekildeki alanın geometrik merkezinin koordinatlarını hesaplayınız.

Çözüm:

Şekil tam daireden üçgenin çıkarılmasıyla oluşturulmuş kompozit bir alandır.

x eksenine göre simetriklikten dolayı geometrik merkezin y koordinatı sıfır «0» olur.

ҧ𝑥 =ҧ𝑥𝑑𝑎𝑖𝑟𝑒 . 𝐴𝑑𝑎𝑖𝑟𝑒 + ҧ𝑥üç𝑔𝑒𝑛. 𝐴üç𝑔𝑒𝑛

𝐴𝑑𝑎𝑖𝑟𝑒 + 𝐴üç𝑔𝑒𝑛=0. 𝐴𝑑𝑎𝑖𝑟𝑒 + (−

903 ). (−

90.1802 )

𝜋. 1202 + (−90.180

2)

ҧ𝑥 = 6.5𝑚𝑚

üçgenin ağırlık merkezi negatif taraftadır. Üçgen çıkarıldığı için

alanın işareti negatif. Alınıyor.

ҧ𝑥üç𝑔𝑒𝑛=- 90 / 3

y

x

90mm

04.09.2019 194


04.09.2019195

Örnek 6.6: Şekildeki alanın geometrik merkezinin koordinatlarını hesaplayınız. Hesapların düzenli görülmesi için tablo kullanınız.

𝑥𝐺 =132751.67

3343.14= 39.71𝑚𝑚

𝑦𝐺 =101586.73

3343.14= 30.39𝑚𝑚

Şu 4r/3p yianlayamadım bilader. Nerden neresi bu mesafe yahu?

Daima daire merkezinden (O2) ağırlık merkezine (G2) olan yatay veya düşey mesafe oluyor.


Örnek 6.7: Şekildeki alanın geometrik merkezinin koordinatlarını tablo kullanarak bulunuz.

Parça Ai (mm2) xi (mm) Ai . xi yi (mm) Ai . yi

=𝑏.ℎ

2=

12.4

2=

24

= −𝑏

3=

−4

3=

−1.33

24x (-1.33)=

-31.92

0

-24x 0

=

0

4x8 =

32

8/ 2=

4

32x4=

128

-4/2 =

-2

32x(-2)=

-64

𝜋.82

4=

= 50.24

4.𝑟

3𝜋=4.8

3.𝜋

= 3.4

50,24x3.4

= 170.82

4.𝑟

3𝜋=4.8

3.𝜋=

= 3.4

50,24x3.4

= 170.82

−𝜋.22

2=

-6.286

-6.28x6 =

-37.68

-0.85 -6.28x 0.85 =

5.34

12.5

2=

30

12

3=

4 120

-4-y′′=

- 4- (5/3)=

- 5.67-170.1

S 129.96 349.22 -57.94

04.09.2019196


Kesiti simetrik olan eğilmeye maruz bir çubukta bir noktadaki gerilme:

Bu formüldeki I ile gösterilen değer, alanın atalet momentidir.

6.2 Alan Atalet Momentleri:

Atalet momenti cismin geometrik bir büyüklüğüdür. Mukavemet hesaplarında kullanılmaktadır. Örneğin;

formülüyle bulunur. (Bu konu mukavemet dersi kapsamına dahildir.)

Şekildeki herhangi bir geometrideki alan için atalet momentlerinin hesap şekillerini göreceğiz:

04.09.2019 197


Atalet momentlerinin eksen takımının yerine göre farklılık gösterdiğini de farkediniz.

04.09.2019 198


x’

y’ x’

y’

Şekildeki alanın;

Örnek 6.8: Şekilde verilen dikdörtgenin,a. Tabanından geçen yatay x eksenine göre,b. Ağırlık merkezinden geçen yatay xg eksene göre ataletmomentinin bulunuz.

04.09.2019 199


04.09.2019 200

Örnek 6.9:

eğrisi altında kalan alanın x eksenine göre atalet momentini hesaplayınız.

Şerit dA elemanı


6.2.1 Paralel Eksen (Stainer) Teoremi:

Ağırlık merkezinden geçen bir eksene göre atalet momenti belli iken, bu eksene paralel başka bir eksene göre atalet momenti bulunabilir. Şöyle ki:

Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene (xg ) göre atalet momenti ( Ixg )belli iken, x eksenine göre atalet momenti :

A: Alan, d : x – xg eksenleri arasındaki dik uzaklıktır.

Dikkat:

Paralel eksen teoreminin uygulanabilmesi için 2 önemli şart vardır:

1- Eksenler birbirine paralel olmalıdır.

2- Bir eksen mutlaka ağırlık merkezinden geçmelidir.

Benzer şekilde;

04.09.2019201


𝐼𝑥 = 𝐼𝑥𝑔 + 𝐴𝑑2

𝐼𝑦 = 𝐼𝑦𝑔 + 𝐴𝑓2

𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑥𝑔. 𝐼𝑦𝑔 + 𝐴. 𝑑. 𝑓

𝐽𝑜 = 𝐽𝐺 + 𝐴𝜌2

y eksenine göre atalet momenti:

xy eksen takımına göre çarpım atalet momenti:

O noktasına göre Polar atalet momenti:

6.2.3 Temel Alanların Atalet Momentleri: Çeyrek daireYarım daireTam Daire

𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 =𝜋𝑟4

4=𝜋.𝐷4

64

𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 =𝜋𝑟4

8=𝜋.𝐷4

128𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 =

𝜋𝑟4

16=𝜋.𝐷4

256

𝐼𝑥 =𝑏ℎ3

3

𝐼𝑦 =ℎ𝑏3

3

𝐼𝑥𝐺 =𝑏ℎ3

12

𝐼𝑦𝐺 =ℎ𝑏3

12

𝐷𝑖𝑘𝑑ö𝑟𝑡𝑔𝑒𝑛 𝑖ç𝑖𝑛 𝐼𝑥𝑔 𝑏𝑖𝑙𝑖𝑛𝑖𝑟𝑘𝑒𝑛 𝐼𝑥 𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙 𝑒𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒 şö𝑦𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑟𝑖𝑧: 𝐼𝑥 = 𝐼𝑥𝑔 + 𝐴. 𝑑2 =𝑏ℎ3

12+ 𝑏. ℎ. (

ℎ

2)2=

𝑏ℎ3

3

Dikkat: Ix ve Iy daire merkezinden (O dan) geçen eksenlere göredir.

04.09.2019 202


Üçgen

𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 =𝑏ℎ3

12

𝐼𝑥𝐺 = 𝐼𝑦𝐺 =𝑏ℎ3

36

Kare, dikdörtgen

Örnek 6.10 (2009 final sorusu): Tablo kullanarak, şekildeki alanın; a-) ağırlık merkezinin koordinatlarını, b-) şekildeki x eksenine göre atalet momentini, c-) ağırlık merkezinden geçen 𝑥𝐺 eksenine göre atalet momentini hesaplayınız.

04.09.2019 203


𝐼𝑥𝐺 = 𝐼𝑥 − 𝐴𝑥 ത𝑦2 = 2701.7 − 36.86x7.732 = 498.6 𝑐𝑚4

Veya 𝐼𝑥𝐺 değerini paralel eksen teoremini tüm şekle uygulayarak da bulabiliriz.

Çözüm:

• Çeyrek dairenin atalet momenti hesabında, önce ağırlık merkezi (G3) den geçen eksene göre atalet momenti hesaplanmalıdır. • Çünkü paralel eksen teoreminin şartlarından birisi bir eksenin ağırlık merkezinden geçmesidir.

04.09.2019 204


04.09.2019 205

Örnek (Soru) 6.11 (2015- final-tekstil muh.bl)

Şekildeki alanın,

a. ağırlık merkezinin koordinatlarını, ( ҧ𝑥 =? , ത𝑦 =? )

b. ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet

momentini ( 𝐼ഥ𝑥 =? ) hesaplayınız.

Cevap: a-) ҧ𝑥 = 6𝑐𝑚, ഥ𝑦 = 4𝑐𝑚, b-) 𝐼 ҧ𝑥 =533,33cm4

Şekildeki alanın,

a-) ağırlık merkezinin koordinatlarını (xG =? , yG = ?)

b-) ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet

momentini hesaplayınız. (IxG =?)

*çeyrek dairenin yarıçapı: r = 2cm

Cevaplar: a-) xG =1.51cm , yG = 4.69cm, IxG = 182.3cm4

Örnek (Soru) 6.12 (2018- final-tekstil muh.bl)

Örnek Sorular:

Şekildeki alanların ağırlık merkezinden geçen yatay ve düşey eksenlere göre atalet momentlerini (𝐼𝑥𝑔, 𝐼𝑦𝑔 ) hesaplayınız.

(Cevapları şekillerin üzerinde verilmiştir)

04.09.2019 206


𝐼 ҧ𝑥 = 290.67𝑚4

6.13

6.146.15

statİk - debis.deu.edu.trdebis.deu.edu.tr/.../statiksoru/statik_ders_notlari_ogrenci_1_.pdf ·...

Documents