black jack - kartenzählen 2015. 3. 19. · früher wurde black jack in den casinos mit einem deck...

Black Jack - Kartenzählen

Michael Gabler

24.01.2012Literatur: N. Richard Werthamer:

Risk and Reward - The Science of Casino Blackjack,Springer

Black Jack - Kartenzählen

1 Wie zähle ich Karten?HistorischesHigh/Low-Strategie

2 MathematischesEinführungRunning Count und True CountExpected Return und Invariance TheoremOptimierung des ZählvektorsSelbstversuch

3 Fazit

4 Literatur

Ziel des Vortrags

• Welche Möglichkeiten des Zählens gibt es?• Was sind der Running Count und True Count?• Welche Vorteile habe ich als Spieler?

Historisches

• Früher wurde Black Jack in den Casinos mit einem Deck(52 Karten) gespielt

• War das Deck zu etwa Dreivierteln gespielt, wurde neugemischt

• Durch Merken der gespielten Karten war es möglich, dieZusammensetzung gegen Ende eines Decks sehr genauzu kennen

• Veröffentlichung von Thorpe im Jahre 1962: Beat thedealer

Historisches

• Reaktion der Casinos: Black Jack wird heute zumeist mit 6Decks (312 Karten) gespielt und etwa nach der Hälfte neugemischt

• In manchen Casinos sogar ein Reshuffle nach jeder Runde• Kartenzählen ist nicht strafbar, mit Hausverbot muss

jedoch gerechnet werden

Historisches

Warum wurde mit dem Kartenzählen begonnen?• Wenn man die Verteilung der verbleibenden Karten kennt,

kann man die Wahrscheinlichkeiten genauer berechnen• Der Vorteil des Spielers besteht nun darin, dass er seine

Strategie und Einsätze daran anpassen kann• Beispiel: Bei einer sogenannten Stiff Hand mit 10 und 6

und vielen verbleibenden hohen Karten wird derkartenzählende Spieler keine Karte mehr nehmen,während der Geber eine Karte ziehen muss

High/Low-Strategie

Wie zählt man die Karten?• Am weitesten verbreitet ist die High/Low-Strategie• Einführung eines Zählvektorsi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11αi 1 1 1 1 1 0 0 0 -1 -1

oder

α =

1111000−1−1

Beispiel

• Es fallen nacheinander die Karten 7, 2, 5, 3, K, 5, 9, J, 4, Q• Bei Kartenwert i wird die i-te Komponente des Zählvektors

addiert, gestartet wird bei 0.• Man erhält also den Wert 0+1+1+1-1+1+0-1+1-1=2• Dieser Wert heisst Running Count und berechnet sich mitα ·m

Einführung

NotationenMan bezeichnet• den Wert der Karte mit j• die Wahrscheinlichkeit, eine Karte mit Wert j zu ziehen mit

d(j)• die Anzahl der Decks mit D• die Anzahl der Karten vom Wert j zu Beginn mit

vj = 52Dd0(j)• die Karten vom Wert j, die gezogen werden mit mj

• die Karten, die insgesamt gezogen werden mit M• die Karten vom Wert j, die noch im Spiel sind mit m̃j

• die Karten, die noch im Spiel sind mit M̃ = 52D −M• den Anteil der bereits gespielten Karten mit

f =M

52D

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der verbleibendenKarten erhalten wir:

p(m̃) = δ

∑j

m̃j , M̃

M̃!(52D − M̃)!

(52D)!

∏j

vj !

m̃j !(vj − m̃j !)

oder einfacher

p(m̃) = δ

∑j

m̃j , M̃

∏j

( vjm̃j

)(52D

M̃

)• Dies ist eine Verallgemeinerung der hypergeometrische

Verteilung.• Im Folgenden wird der Einfachheit halber jedoch der Fall

für unendlich große vj betrachtet.

Wahrscheinlichkeitsdichte

• Definiere zunächst die Größe ∆

∆ =

√f

52D(1− f )

• und betrachte nun die Dichte des Wahrscheinlichkeits-vektors d:

ρ(d) =√

2π∆δ

10∑j=1

d(j)− 1

x

10∏j=1

1√2πd0(j)∆

exp[−1

2(d(j)− d0(j))2

d0(j)∆2

]

Wahrscheinlichkeitsdichte

• Die Dichte einer Gaussverteilung ist gegeben durch

f (x) =1

σ√

2πexp

(−1

2

(x − µσ

)2)

σ2 ist die Varianz und µ der Erwartungswert

• Betrachten wir nun wieder ρ(d)

ρ(d) =√

2π∆δ

10∑j=1

d(j)− 1

x

10∏j=1

1√2πd0(j)∆

exp[−1

2(d(j)− d0(j))2

d0(j)∆2

]

σ2 = d0(j)∆2, µ = d0(j)

Running Count und True Count

• Wir erinnern uns an die High/Low-Strategie:• Die laufende Zahl nennt man Running Count• Diese Zahl berücksichtigt nicht die Anzahl der Karten, die

noch im Spiel sind• Einführung einer neuen Zahl: Der True Count γ

γ =~α · ~m

D(1− f )

• Allgemein führt man nun 9 Zählvektoren ein:αn,n = 1, ...,N ≤ 9

• Für den True Count ergibt sich hiermit:γn = αn ·m

Beispiele

• Beispiele

vom Anfang (10 gespielte Karten) beim Spiel mit zwei Decks

~α · ~m = 2

f =M

52D=

10104

= 0.096

→ γ =2

2 · (1− 0.096)= 1.106

vom Anfang mit der Annahme 50 gespielter Karten

~α · ~m = 2

f =M

52D=

50104

= 0.481

→ γ =2

2 · (1− 0.481)= 1.927

Normierte Größen

Einführung normierter Grössen, um eine normalisierte,skaleninvariante Basis zu erhalten:

d̂(i) =√

(d0(i))

α̂(i) = 52d̂(i)∑n′

A−1n,n′(αn′(i)−αn′ · d0)

γ̂n =∑n′

A−1n,n′(γn′ − 〈γn′〉)

Einführung einer Richtungsableitung

∇̂i = d̂(i)

∂

∂d0(i)−∑

j

d0(j)∂

∂d0(j)

sodass

d̂ · ∇̂ = 0

Expected Return

Expected Return bezeichnet den Anteil des Einsatzes, denman pro Spielrunde bekommt (gewinnt oder verliert)

〈Rf (d)〉γ = exp

[−∑

n

(γ̂nα̂n · ∇̂+

12

∆2(α̂n · ∇̂

)2)]

Ro(d0)

InvarianztheoremWenn nicht gezählt wird, ist der erwartete Gewinn unabhängigvon der verbliebenen Anzahl der Karten.

〈Rf (d)〉 = R0(d0)

Vorteile

Betrachten wir im Folgenden, welche Vorteile der Kartenzählergegenüber dem Nichtkartenzähler hat:

Vorteile

Der Vergleich zum Spiel mit einem Deck.

Vorteile

Betrachtet man die Differenzenquotienten(R(γ)− R(0))/(γ − 0), so tauchen bei der zählabhängigenStrategie zwei Knicks in der Nähe der 0 auf.

Ursache:• Der Knick für leicht positive true counts wird verursacht

vom Wechsel von s=16 zu s=17 bei upcard 10• Der Knick für leicht negative true counts wird verursacht

vom Wechsel von s=12 zu s=13 bei upcard 4

Optimierung des Zählvektors

• Da der Zählvektor im Verlauf einer Runde fixiert ist, musseine andere Grösse maximiert werden

• Hierzu definiert man sich den Ertrag Y (yield)• Dieser ist gegeben durch den durchschnittlichen Expected

Return in Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeits-verteilung von γ, gewichtet mit dem Wetteinsatz B unddarüber hinaus gemittelt über alle Deckdicken f bis zumEinstich F

Y =1F

F∫0

df∫

d γ̂p̂(γ̂)B(γ̂)〈Rf (d)〉γ̂

= 〈〈B(γ̂〈Rf (d)〉γ̂〉〉

Ziel ist nun die Maximierung von Y


• Um Y zu maximieren, muss man seine stationären Punktesuchen, d.h. die Nullstellen der ersten Ableitungen inAbhängigkeit von αn.

∂Y∂αn

= 〈〈B(γ̂)(−γ̂n∇̂ −∆2α̂n · ∇̂∇̂)〈Rf (d)〉γ̂〉〉

• Da 〈Rf (d)〉γ̂ keine lineare Funktion bzgl. α ist, ist eineexplizite Darstellung von αn nicht möglich.

• Lösung: Annahme unendlich vieler Karten im Spiel undLinearisierung durch Hermite-Entwicklung


• Betrachtung der Terme der Ordnung 0 und 1, da ∆2

vernachlässigbar klein ab 4 Decks

Y = 〈〈B(γ̂)

(1−

∑n

γ̂nα̂n · ∇̂

)R0(d0)〉〉

• Die partielle Ableitung lautet dann∂Y∂αn

= −〈〈Bγn〉〉∇̂R0(d0)


• Diese Gleichung ist linear und kann exakt gelöst werden.• Bei Vorgabe eines n∗ ergibt sich

α∗ ≡ αn∗ =−∇̂R(d0)∣∣∣∇̂R(d0)

∣∣∣ ≡ vb,

• die übrigen Λ− 1 Vektoren stehen orthogonal zu diesem.

Für den Expected Return ergibt sich hiermit

〈Rf (d)〉γ̂ = R0 + Cbγ̂∣∣∣∇̂R0

∣∣∣ ,wobei

Cb = α̂ · vb

die Korrelation zwischen dem echten Zählvektor α̂ und demoptimalen Vektor vb angibt.Offensichtlich ist Cb ≤ 1 und Cb = 1 bei optimalem Zählvektor.


Eingesetzt in den Ausdruck für den Ertrag ergibt sichvereinfacht:

Y = Y0 + Cb · Y1,

wobei• Y0 der stets negative erwartete Ertrag bei der Basic

Strategy ohne Kartenzählen ist und• Cb · Y1 den erwarteten wachsenden Ertrag mittels

Kartenzählen bei Anpassung des Wetteinsatzes darstellt.

KonsequenzZählen verbessert den Ertrag nicht, wenn nicht die Einsätze anden True Count angepasst werden.

Selbstversuch

• Kartenzählen erfordert Höchstmaß an Konzentration undist nur mit viel Übung durchführbar.

• Der Running Count ist noch einfach zu zählen, den TrueCount innerhalb kurzer Zeit im Kopf zu berechnen ist fastunmöglich.

• Das Rechnen ist die eine Kunst, Rechnen ohne dass esjemand merkt, die andere.

• Der Running Count ergibt sehr häufig Werte in der Nähevon 0.

Zusammenfassung

• Welche Möglichkeiten des Zählens gibt es?

→ Man benutzt einen Zählvektor. Jeder Kartenwert erhälteinen Eintrag.

• Was sind Running Count und True Count?

→ Der Running Count bezeichnet die resultierende Zahl ausder Zählung im Verlauf des Spiels, der True Count setzt ihnin Beziehung zur verbleibenden Anzahl der Karten.

• Welche Vorteile habe ich als Spieler?

→ Wenn ich die Zusammensetzung der verbleibenden Kartenabschätzen kann, kann ich meine Wetteinsätze anpassenund meinen Ertrag steigern.

Literatur

• N. Richard Wethamer: Risk and Reward - The Science ofCasino Blackjack, Springer

• J. Bewersdorff: Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel- Methoden, Ergebnisse und Grenzen, Vieweg

• www.casino.de/blackjack

Unbalancierte Strategien

• Balancierte Zählungen starten nach dem Reshuffle bei 0.• Unbalancierte Zählungen machen das nicht.

VorteilBalancierter Zählvektor kann durch Zufügen einer additivenKonstante in einen unbalancierten Zählvektor überführt werden,ohne dass sich seine Performance ändert. Somit lassen sichdie Zahlen im Vektor sowie die Werte für Cb vereinfachen.

NachteilNach dem Reshuffle muss zur Berechnung des True Countsder alte Running Count vom neuen Running Count abgezogenwerden (Stichwort human capability). Darüber hinaus wird f alskonstant angenommen (Werte zwischen 0.6 und 0.75), sodassdie resultierende Wetthöhe B nur approximiert wird.

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