1. Lmite de BeltzEl modelo atribuido a Albert Betz (1926) puede utilizarse para determinar la potencia que genera el rotor de una turbina ideal, el empuje del viento en este, y el efecto de la operacin del rotor en el campo de viento local. Este sencillo modelo est basado en la teora del momento lineal que fue desarrollado para predecir el comportamiento de las hlices de los barcos.El anlisis asume un volumen de control cuyas fronteras son: la superficie de un tubo de corriente y dos secciones transversales (ver figura adjunta). El nico flujo es travs de los extremos del tubo de corriente. La turbina se representa por un disco uniforme que crea una discontinuidad de presin en el tubo de aire. Ntese que el anlisis no se limita a algn tipo particular de turbina elica.

Figura 1El anlisis asume lo siguiente: Flujo homogneo, incompresible y estacionario No existe resistencia de rozamiento Nmero infinito de palas Empuje uniforme en todo el disco o rea del rotor Estela no giratoria La presin esttica en las zonas alejadas del rotor es igual a la presin no perturbada del ambiente.Si aplicamos la conservacin del momentum lineal al volumen de control que encierra el sistema completo, uno puede encontrar la fuerza neta sobre el contenido del volumen de control. Esa fuerza es igual y opuesta al empuje , que es la fuerza del viento en la turbina elica. Para una dimensin, flujo incompresible, invariante en el tiempo, el empuje es igual y opuesto al cambio en el momentum de la corriente de aire:

Donde es la densidad, es el rea de la seccin transversal, es la velocidad del aire, y los subndices indican la seccin segn la figura 1. Para flujo estacionario , donde es el flujo msico. Por eso:

El empuje es positivo, por lo que la velocidad despus del rotor es menor que la velocidad de la corriente libre . Ningn trabajo es realizado en ninguno de los lados del rotor de la turbina. En consecuencia, la ecuacin de Bernoulli puede ser usada en los dos volmenes de control (el que est antes y el que est despus de la turbina). En el tubo de corriente ro abajo del disco:

En el tubo de corriente ro arriba del disco:

Donde se asume que las presiones en 1 y 4 son iguales (por estar alejadas del rotor). Y que la velocidad a travs del disco se mantiene constante (). El empuje puede ser expresado tambin como la suma neta de las fuerzas en cada lado del disco:

Resolviendo para usando las ecuaciones 3 y 4, y reemplazando en la ecuacin 5 tenemos:

Igualando los valores de las ecuaciones 2 y 6, y reconociendo que , obtenemos:

En consecuencia, la velocidad del viento en el plano del rotor, usando este modelo sencillo, es el promedio de las velocidades ro arriba y ro abajo. Definimos ahora el factor de induccin axial , como la disminucin fraccional de la velocidad del viento entre la corriente libre y el plano del rotor. Entonces:

La cantidad as llamada a veces como la velocidad inducida en el rotor, en cuyo caso la velocidad del viento en el rotor es una combinacin de la velocidad de corriente libre y de la velocidad de viento inducida. Conforme el factor de induccin axial aumenta desde cero, la velocidad del viento despus del rotor disminuye ms y ms. Si , el viento se ha ralentizado hasta la velocidad nula luego de pasar por el rotor, y la teora ya no es aplicable.La potencia de salida es igual al empuje multiplicado por la velocidad en el disco:

Sustituyendo y de las ecuaciones 9 y 10 tenemos:

Donde el rea de la seccin transversal es reemplazado por el rea del rotor , y la velocidad de corriente libre es reemplazada por .El rendimiento de la turbina elica generalmente es caracterizado por el coeficiente de potencia :

Este coeficiente adimensional representa la fraccin de potencia en el viento que es extrada por el rotor. Combinando las ecuaciones 12 y 13 tenemos:

El mximo valor de se obtiene derivando la ecuacin 14 respecto a , e igualando a cero. Se obtiene . Por lo tanto:

Para este caso, el flujo a travs del disco corresponde a un tubo corriente con una seccin transversal ro arriba equivalente a 2/3 del rea del disco. Ro abajo, la seccin transversal tiene un rea del doble de la del disco. Este resultado indica que, si un rotor ideal estuviera diseado para que la velocidad del viento en el rotor fuera 2/3 de la velocidad de corriente libre, entonces operara en el punto de mxima produccin de potencia. Adems, habiendo tenido en cuenta las leyes bsicas de fsica, este es la mxima potencia posible que se puede extraer del viento.De las ecuaciones 6, 9 y 10, el empuje axial en el disco es:

De manera anloga a la potencia, el empuje en una turbina elica tambin puede caracterizarse por un coeficiente adimensional:

Reemplazando la ecuacin 16 en la 17 resulta:

Este valor tiene un lmite mximo de 1.0 cuando y la velocidad ro abajo es nula. A potencia mxima (), tiene un valor de 8/9. Un grfico de los coeficientes de potencia y empuje para una turbina de Betz ideal, y la velocidad de viento ro abajo adimensional, est representado en la figura 2.

Figura 2Como ya hemos mencionado, este modelo idealizado no es vlido para factores de induccin axial mayores a 0.5. En realidad, conforme ste se acerca y excede 0.5, aparecen patrones de flujo complicados que no son representados en este modelo, y resultan en coeficientes de empuje mayores a 2.El lmite de Betz es el coeficiente terico de mxima potencia en el rotor. En la prctica, hay tres factores que tienden a disminuir este coeficiente en las turbinas: La rotacin de la estela detrs del rotor Nmero finito de aletas y prdidas en las puntas Resistencia de arrastre aerodinmico no nuloNtese que la eficiencia global de la turbina es una funcin del coeficiente de potencia y la eficiencia mecnica (incluida la elctrica):

2. Modelos relacionados

Turbina de viento ideal de eje horizontal con rotacin de estelaEn el anlisis anterior utilizando la teora de momento lineal, se asumi que no haba rotacinimpartido al flujo. El anlisis anterior se puede extender al caso en el que el rotor giratoriogenera momento angular, que puede estar relacionado al par del rotor. En el caso de una turbina elica de rotor rotativa, el flujo detrs del rotor gira en la direccin opuesta al rotor, en reaccin al par ejercido por el flujo en el rotor. Un modelo de tubo de corriente anular de este de flujo, que ilustra la rotacin de la estela, se muestra en la figura 3.

Figura 2.1. Modelo de tubo de corriente fluyendo detrs de pala de turbina elica giratoria. Foto de tubo de corriente con rotacin estela, de Lysen (1982).

Figura 2.2. Geometra para el anlisis del rotor; , velocidad del aire no perturbado; , factor de induccin; , el radio.

La generacin de la energa cintica de rotacin la estela, resulta en menos extraccin de energa por el rotor que se esperara sin rotacin estela. En general, la energa cintica adicional en la estela de la turbina ser mayor si el par generado es mayor. Por lo tanto, como se mostrar aqu, las turbinas de viento de baja velocidad (con una velocidad de rotacin baja y un alto par) experimentan ms prdidas de rotacin de estela que las mquinas de viento de alta velocidad con par bajo.La figura 2.2 da un esquema de los parmetros que intervienen en este anlisis. Los subndices denotan valores en las secciones transversales identificados por nmeros. Si se asume que la velocidad angular impartida a la corriente de flujo, , es pequea comparada con la velocidad angular, , del rotor de la turbina elica, entonces, tambin se puede suponer que la presin en las inmediaciones de estela es igual a la presin en la corriente libre. El anlisis que sigue se basa en el uso de un tubo de corriente anular con un radio r y un espesor dr, resultando en un rea de seccin transversal igual a (ver Figura 2.2). La presin, rotacin de estela y los factores de induccin se asume que todos son funciones de radio. Si se utiliza un volumen de control que se mueve con la velocidad angular de los labes, la ecuacin de energa se puede aplicar en las secciones antes y despus de los labes para derivar una expresin para la diferencia de presin a travs de los labes (ver Glauert, 1935 para la derivacin). Tenga en cuenta que a travs del flujo del disco, la velocidad angular del aire en relacin con los aumentos de la hoja de la a , mientras que el componente axial de la velocidad permanece constante. Los resultados son:

El empuje resultante en un elemento anular , es:

Un factor de induccin angular, , se define entonces como:

Tenga en cuenta que cuando la rotacin de estela est incluida en el anlisis, la velocidad inducida en el rotor consiste en no slo el componente axial, , sino tambin un componente en el plano del rotor, . La expresin para el empuje se convierte en:

Tras el anlisis de movimiento lineal anterior, el empuje sobre una seccin transversal anular tambin puede ser determinada por la siguiente expresin que utiliza el factor de induccin axial, , (note que , la velocidad de la corriente libre, se designa con en este anlisis):

Igualando las dos ecuaciones de empuje, nos da:

Donde es la relacin de velocidad local (vase a continuacin). Este resultado se utilizar ms adelante en el anlisis. La relacin de velocidad de la punta, , definida como la relacin de la velocidad de punta de pala para la velocidad del viento corriente libre, viene dada por:

La relacin de velocidad de la punta a menudo se produce en las ecuaciones aerodinmicas para el rotor. La relacin de velocidad local es la relacin de la velocidad del rotor en algn radio intermedia a la velocidad del viento:

A continuacin, se puede derivar una expresin para el par de torsin en el rotor mediante la aplicacin de la conservacin del momento angular. Para esta situacin, el par ejercido sobre el rotor, , debe ser igual al cambio en el momento angular de la estela. En un elemento diferencial de rea anular, esto da:

De y , esta expresin se reduce a:

La potencia generada en cada elemento, , est dada por:

Sustituyendo en esta expresin y el uso de la definicin de la relacin de velocidad local, , (Ecuacin (2.8)), la expresin para la potencia generada en cada elemento se convierte en:

Se puede observar que la potencia de cualquier anillo anular es una funcin de los factores de induccin angulares y axiales, adems de la relacin de velocidad de la punta. Los factores de induccin axial y angular determinan la magnitud y direccin del flujo de aire en el plano del rotor. La relacin de velocidad local es una funcin de la relacin de velocidad de la punta y el radio. La contribucin incremental para el coeficiente de potencia, , de cada anillo anular viene dada por:

As:

Con el fin de integrar esta expresin, hay que relacionar las variables , , y , . Resolviendo la ecuacin (2.6) para expresar en trminos de , se obtiene:

Las condiciones aerodinmicas para la mxima produccin de energa posible se producen cuando el trmino en la ecuacin (2.14) es su mayor valor. Sustituyendo el valor de partir de la ecuacin (2.15) en y estableciendo la derivada con respecto a igual a cero, se obtiene:

Esta ecuacin define el factor de induccin axial para la mxima potencia como una funcin de la relacin de velocidad de la punta local en cada anillo anular. Sustituyendo en la Ecuacin (2.6), se encuentra que, para la mxima potencia en cada anillo anular:

Si la ecuacin (2.16) se diferencia con respecto a , se obtiene una relacin entre y en esas condiciones que resultan en la produccin de mxima potencia:

Ahora, sustituyendo la ecuaciones (2.16) - (2.18) en la expresin para el coeficiente de potencia (ecuacin (2.14)) da:

Aqu, el lmite inferior de integracin, , corresponde al factor de induccin axial para y el lmite superior, , corresponde al factor de induccin axial en . Adems, la ecuacin (2.16):

Tenga en cuenta que la ecuacin (2.16), da a un valor de cero. La ecuacin (2.20) puede resolverse para los valores de que corresponden a la operacin a relaciones de velocidad de la punta de inters. Tenga en cuenta tambin a partir de la ecuacin (2.20), es el lmite superior del factor de induccin axial, , dando una relacin de velocidad de la punta infinitamente grande.

Tabla 2.1. Coeficiente de potencia, , como una funcin de la relacin de velocidad de la punta, factor de induccin axial cuando la relacin de velocidad de la punta es igual a la relacin de velocidad local

La integral definida puede ser evaluada por cambio de variables: sustituyendo por en la ecuacin (3.38). El resultado es: (2.21)

La Tabla 2.1 presenta un resumen de los valores numricos para la como una funcin de , con los valores correspondientes para el factor de induccin axial en la punta, . Los resultados de este anlisis se representan grficamente en la Figura 3.5, que tambin muestra el lmite de Betz de la turbina ideal basado en el anlisis de movimiento lineal anterior. Los resultados muestran que, cuanto mayor es la relacin de velocidad de la punta, ms cerca de la puede acercarse a la mxima terica.

Figura 2.3. Coeficiente de potencia mxima terica como una funcin de la relacin de velocidad de la punta para una turbina elica de eje horizontal ideales, con y sin rotacin estela

Figura 2.4. Factores de induccin para una turbina de viento ideal, con rotacin de estela; relacin de velocidad punta: ; un factor de induccin axial: ; factor de induccin angular: ; radio: ; radio del rotor: R.

Estas ecuaciones se pueden utilizar para mirar el funcionamiento de una turbina de viento ideal, asumiendo rotacin de estela. Por ejemplo, la Figura 2.4 muestra los factores de induccin axial y angular para una turbina con una relacin de velocidad de punta de 7,5. Se puede observar que los factores de induccin axiales estn cerca del ideal de 1 = 3 hasta que se llega cerca del centro. Factores de induccin angulares estn cerca de cero en las partes exteriores del rotor, pero aumentan significativamente cerca del centro. En las dos secciones anteriores, la fsica bsica se ha utilizado para determinar la naturaleza del flujo de aire alrededor de una turbina de viento y lmites tericos de la potencia mxima que se puede extraer del viento.

3. Tabulacin de diversos perfiles NACA

TABLA 3.1Coordenadas para perfil aerodinmico NACA 6412(Dimensiones en porcentaje de cuerda)

Superficie superiorSuperficie inferior

AbscisaOrdenadaAbscisaOrdenada

--00

.7212.1891.779-1.451

1.7923.2433.208-1.789

4.0974.8475.903-2.035

6.5056.1208.495-2.042

8.9727.19411.028-1.944

14.0158.90915.985-1.597

19.14910.17520.851-1.175

29.55111.61030.449-0.360

40.00011.80340.0000.197

50.17611.12449.8240.542

60.3049.88659.6960.780

70.3658.14769.6350.853

80.3465.93179.6540.735

90.2383.26289.7620.404

95.1451.75194.8550.165

100.0250.12499.9750.404

Radio de borde de ataque1.576

Tangente de radio pasando a travez de la cuerda6/20

TABLA 3.2Coordenadas para perfil aerodinmico NACA 4412(Dimensiones en porcentaje de cuerda)

Superficie superiorSuperficie inferior

AbscisaOrdenadaAbscisaOrdenada

--00

.8902.1061.610-1.614

2.0183.0532.982-2.085

4.3874.4425.613-2.568

6.8265.5058.174-2.787

9.3056.38110.695-2.881

14.3377.74215.663-2.866

19.4298.71020.571-2.710

29.7009.74430.300-2.244

40.0009.80340.000-1.803

50.1189.18249.882-1.404

60.2036.11459.797-1.002

70.2446.35769.756- 0.657

60.2324.83379.768-0 .389

90.1602.66289.840-0.218

95.0981.43894.902-0 .162

100.017.12599.983-0.125

Radio de borde de ataque1.576

Tangente de radio pasando a travez de la cuerda4/20

TABLA 3.3Coordenadas para perfil aerodinmico NACA 4415(Dimensiones en porcentaje de cuerda)

Superficie superiorSuperficie inferior

AbscisaOrdenadaAbscisaOrdenada

--00

.8002.5711.700-2.079

1.8983.6963.102-2.729

4.2345.3175.766-3.443

6.6586.5418.342-3.823

9.1317.54110.869-4.041

14.1719.06915.829-4.193

19.28610.13620.714-4.133

29.62511.24430.375-3.744

40.00011.25440.000-3.254

50.14710.50649.853-2.728

60.2539.25459.747-2.142

70.3057.57069.695-1.570

80.2905.46679.710-1.042

90.2003.02389.600-0.578

95.1231.64294.877-0.366

100.0210.15799.579-0.157

Radio de borde de ataque2.464

Tangente de radio pasando a travez de la cuerda4/20

TABLA 3.4Coordenadas para perfil aerodinmico NACA 6406(Dimensiones en porcentaje de cuerda)

Superficie superiorSuperficie inferior

AbscisaOrdenadaAbscisaOrdenada

--00

0.9861.2781.514- 0.540

2.1461.9852.854- 0.531

4.6493.1265.451-0.314

7.0034.0797.997-0.001

9.4864.91010.5140.340

14.5076.28315.4931.029

19.5747.33720.4261.663

29.7768.61830.2242.632

40.0008.90140.0002.099

50.0888.48049.9123.185

60.1527.61059.8483.066

70.1826.32369.8182.677

30.1734.63379.8272.033

90.1192.54789.8811.119

95.0731.35794.9270.559

100.0120.06299.988-0.62

Radio de borde de ataque0.394

Tangente de radio pasando a travez de la cuerda6/20

TABLA 3.5Coordenadas para perfil aerodinmico NACA 4418(Dimensiones en porcentaje de cuerda)

Superficie superiorSuperficie inferior

AbscisaOrdenadaAbscisaOrdenada

--00

.7093.0361.791-2.544

1.7784.3373.222-3.369

4.0816.1925.919-4.318

6.4907.5778.510-4.859

8.9588.69611.042-5.195

14.00510.39715.995-5.521

19.14411.56320.856-5.563

29.55012.74230.450-5.242

40.00012.70240.000-4.702

50.17611.82949.824-4.051

60.30410.39559.696-3.283

70.3668.48369.634-2.483

80.3486.14279.552-1.698

90.2403.38289.760-0.938

95.1471.83894.853-0.562

100.0250.18799.975-0.187

Radio de borde de ataque3.549

Tangente de radio pasando a travez de la cuerda4/20