bİlİm ve...
TRANSCRIPT
1
BİLİM ve TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL
TEMELİ
Prof. Dr. İrfan ŞİAP
Yıldız Teknik Üniversitesi
Matematik Bölümü
Temmuz 2011
2
SUNUM AKIŞI
Bilim, Teknoloji ve Matematik nedir? Uygulamalı ve Soyut Matematik Nedir? Matematik ve Görüntü İşleme Matematik ve Hata Düzelten Kodlar Matematik ve Şifreleme Matematik ve Tıp Teknolojisi DNA ve Matematik Sorular
3
Bilim, Matematik ve Teknoloji
BİLİM: Gözlem, benzerlikler ve örüntüler yardımıyla çevremizdeki doğal olayları araştırmaktır.
MATEMATİK: Örüntüleri, düzen ve niceliklerin özelliklerini, ölçümlerini ve aralarındaki ilişkileri araştıran bilim dalıdır.
TEKNOLOJİ: Bilgi üretimi ve uygulaması ile problemleri çözen; sistemler üretilerek yeniliklerin uygulanmasıdır.
4
Aralarındaki ilişki nedir?
BİLİM: Doğayı anlamaya yardımcı olur.
MATEMATİK: Ölçme, tahminde bulunma, olaylar arasında bağıntı kurmaya yardımcı olur.
TEKNOLOJİ: istek ve ihtiyaçlarımızı karşılamak için gerekli yazılım, donanım ve sistemleri sağlar.
BİLİM ve TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL TEMELİ Şubat 2010 -TUSSİDEBİLİM ve TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL TEMELİ Temmuz 2011
5
Matematik, Bilim ve Teknoloji arasındaki ilişki:
Bilim teknoloji için bilgi kaynağı sağlar.Matematik hem bilim hem de teknoloji
için bir araçtır. Teknoloji bilim için araç ve malzeme
sağlar.
MATEMATİK VE BAZI ALANLAR6
MATEMATİKEKONOMİ
Toplumda ve Teknolojide Matematik7
Problem/Uygulama Matematiğin KatkısıMRI veCAT Görüntüleme Integral dönüşümleri, geometriİnternet: arama motorları, sıkıştırma Graf (Çizge) Teorisi, Lineer Cebir, dalgacıklar
(wavelets)Finans Olanaklarını Değerlendirme Black-Scholes modeli ve Monte Carlo simülasyonuUydu ve Benzeri Görüntü Alma Görüntü işleme, veri derlemeGüvenlik ve Emniyet Sayılar Teorisi, Şifreleme, KombinatörikAtmosfer ve Okyanusları Modelleme Dalgacıklar, istatistik, sayısal analizİnsan Genlerin Analizi Veri madenciliği, örüntü tanıma, algoritmalarİlaç tasarımı Veri madenciliği, istatistik, optimizasyonDijital Eğlence, Animasyon Görüntü işleme, geometrik ve grafik algoritmalarAeordinamik Tasarım Diferensiyel denklemler, optimizasyonDeprem Analizi ve Tahminler İstatistik, dinamik sistemler
8
MATEMATİK
Uygulamalı Matematik: Çevremizdeki doğal olayları modelleme ve bu modellerin özelliklerini inceleme ile ilgilenir.
Soyut Matematik: Aksiyomlar ile belirlenmiş kümeler üzerindeki işlemleri inceleme ile ilgilenir.
9
Matematik ve Teknolojik Uygulamaları
DNA ve Matematik
Üzerinde Durulacak Ana Başlıklar
Dijital Bilgi depolama ve aktarımıGörüntü işleme Kodlar- Hata Düzelten KodlarŞifrelemeX ışını –Tomografi ve Radon Dönüşümü
10
GÖRÜNTÜ İŞLEME
Hırsız banka soyar
Araba ile kaçar
Polis tarafından takip edilir.
İyi Haber: Arabanın plakasının fotoğrafı çekilir.
Kötü Haber: Fotoğraf net değildir!
11
Görüntü işleme
Fotoğraf-Plaka
Bozulmuş Fotoğraf
12
Problemin Çözümü
Fotoğraf
f(x)
Etki eden
g(x)
Bozulmuş Foto
h(x) = f(x)*g(x)
Matematik yardımıyla bozulmaya neden olan g(x) fonksiyonu hesaplanarak, fotoğraftaki hata düzeltilebilir!
13
Görüntü işlendikten sonra:
Plaka okunabiliyor!
14
DİJİTAL GÖRÜNTÜLER
CD DVD MOBİL İLETİŞİM ARAÇLARI TV …
Görüntünün sayısal temsili
15
Diğer Uygulamalar
Animasyon- PIXAR Trigonometri: HareketlerCebir: ParlaklıkAnaliz: Işıklandırma100 adet süper bilgisayar-1/24 saniyelik bir film için 5-6 saat gerekli!
16
CD ve İçindeki Matematik-Hata Düzelten Kodlar
CD
Galois
1sn lik müzik yaklaşık:4 321 800 bit (bit: 0 veya 1)
1 CD dijital formda yaklaşık: 5 km bit!
Yeni bir CD: ortalama
500000 hata olabilir (van Lint)
17
ÖRNEKLERLE KODLAMA HATA KONTROLÜ VE DÜZELTME
Örnek 1: International Standard Book Number (ISBN)
9-758-64403-3
Dil Basımevi kontrol hanesi (bit)Kitap numarası9 - 758 - 64403 - 3
18
18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 mod 119 7 5 8 6 4 4 0 3
Dil Basımevi kontrol hanesi (bit)Kitap numarası9 - 758 - 64403 - 3
Genel olarak: ISBN No:
5 71 2 3 4 6 8 9 10d d d d d d d d d d
510 1 2 3 4
76 8 9
1 2 3 4 56 7 8 9 mod 11
d d d d d dd d d d
10 10d X
ISBN kodlaması bir hata tespit edebilir!
19
Ali, Oya’ın güvenli bir şekilde geçebileceği güzergah yönünü aşağıdaki gibi verir:
KKBKKBBGGBBKKKKBBK
C1 = {00, 01, 10, 11}
000001000001011111010100000000010100
{K, B, G, D}
C2 = {000, 011, 101, 110}
C3 = {00000, 01101, 10110, 11011}
1 hata tespit edilebilir.
1 hata düzeltebilir.
20
BİLGİ TRANSFER ŞEMASI
1011
zararlıetki
1010010
10110101011010
1011
Güncel hayatımızda bu şekilde hataları düzeltme örneğimiz var mı?
21
Örnek 4:"KODLAMA“ sözcüğü
Haberleşme-Depolama Kanalın Özellikleri:
0.1y hatalı sembol ulaşma olasılığı
0.9d hatasız sembol ulaşma olasılığı.
Kodlamadan önce:
7 0.48d doğru bilginin ulaşma olasılığı:
Uzaydan Görüntü İletme:
22
Kodlamadan sonra: ( 5 kez tekrar kodu ile)
“KKKKKOOOOODDDDDLLLLLAAAAAMMMMMAAAAA”
doğru harfi dekodlama olasılığı 5 4 3 25 10 0.99d d y d y
doğru bilginin ulaşma olasılığı! 7(0.99) 0.94
(Tekrarlı) Kodlama yapmadan önce doğru bilgi ulaşma olasılığı:
Kodlamadan sonra ise;7(0.99) 0.94
7 0.48d
23
ŞİFRELEME - KRİPTOGRAFİ
Sade Metin Şifreleme
(Anahtar kullanılır)
Şifrelenmiş
MetinÇözümleme
DeşifrelemeSade Metin
Gönderen Alıcı
24
Simetrik Şifreleme Örneği
Permütasyon Şifrelemesi:
A B C Ç D E F G Ğ H İ I J K L M N O Ö P R S Ş T U
Ü V Y Z
Z A BC
Ç
D
E
F
G
Ğ H İ IJ K LM NO Ö P RSŞ T U
Ü
V Y
A L İ Ğ S D
29! Şifreleme anahtarı mevcuttur.
Deneme yanılma ile çözme bilgisayar desteği ile yıllar alır!
İstatistik işe yarar mı?
25
Simetrik Şifreleme Örneği-2
A B C Ç D E F G Ğ H İ I J K L M N O Ö P R S Ş T U0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
011
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Ü V Y Z25 26 27 28
A 0 00000
B 1 00001
Y 27 11011
Z 28 11100
İkili Sistemde-5 uzunluğunda
26
Simetrik Şifreleme Örneği-2 devamı
ALİ 0000001001001010
Bir paragraf yaklaşık 200 kelime
Yaklaşık 600 karakter (harf)
Anahtar = Gelişigüzel (Keyfi) 0 ve 1 lerden oluşan bi sıralı dizi olsun.
Örneğin: 011001001110010010111000110…..1001
2600 Durum sözkonusu Çok güvenli
Pratik yani kullanışlı değil! Neden?
Anahtar Değişimi Gizli Yapılmalı!
Yer, Zaman, Olanaklar!
27
Asimetrik (Açık) Şifreleme Örneği
dinlemeAyça Kaya
Aralarında herhangi bir gizli ön iletişim yok
28
The Diffie-Hellman (1976) Anahtar Değişimi(Açık Şifreleme Metodu)
Zq – özel q seçimi yapılır! Ör: Z5={0,1,2,3,4} q = | Zq | g –Zq grubun üreteci
Ayça Kaya
x ← Zqh1 = gx
y ← Zqh2 = gy
çıktıkA=(h2)x
çıktıkB=(h1)y
gyx gxyEŞİT!
29Diffie-Hellman Metodun Güvenirliği
h1 = gx h2 = gyG,g
Bilinmekte- Halka Açık!
gyx bilinmiyor?
gyx ?
30
Anahtar Kırmak için gerekli zaman!
Anahtar Uzunluğu(bits)
Olası Anahtar Seçeneklerin sayısı
106 çözümleme/ µshızında gerekli zaman
32 232 = 4.3 x 109 2.15 mili saniye
56 256 = 7.2 x 1016 10 saat
128 2128 = 3.4 x 1038 5.4 x 1018 yıl
168 2168 = 3.7 x 1050 5.9 x 1030 yıl
31
Anahtarı Bulmak için Gerekli Zaman
128 bits AES standardı olarak kullanılmakta (2001’den günümüze.)256 bits ABD Çok Gizli İletişim için kullanılmakta
32
RSA – AÇIK ŞİFRELEME ÖRNEĞİ
Bu metodun güvenliği bir sayının (yeterince büyük) çarpanlarına ayrılışının güç (zaman alması) üzerine kuruludur.
77 nin asal çarpanları? 7 ve 11
70058167 nin asal çarpanları nedir? 8867 ve 7901
33
Mesaj şifreleme için kullanılacak küçük sayılan bir anahtar örneği:
27997833911221327870829467638722601621070446786955428537560009929326128400107609345671052955360856061822351910951365788637105954482006576775098580557613579098734950144178863178946295187237869221823983
Asal çarpanları nelerdir?
34
Çarpanlara Ayırma – Bir Örnek
N=pq ve
p = 3532461934402770121272604978198464368671197400197625023649303468776121253679 423200058547956528088349
q = 792586995447833303334708584148005968773797585736421996 0734330341455767872818 152135381409304740185467
N= 279978339112213278708294676387226016210704467869 55428537560009929326128400107609345671052955360856061822351910951365788637105954482006576775098580557613579098734950144178863178946295187237869221823983
RSA-200 challenge, 5/9/05 tarihinde çarpanlarına Jens Franke’in ekibi tarafından BonnÜniversitesi (Almanya) da ayrıldı. Ödül 20,000 A.B.D $.
35
Dijital Fotoğraflarda Bilgi Saklama(Steganography)
Her bir rengi temsil eden sayı grubunun sonuna iki hane eklenmiştir.
(Şifreleyen kişi bilmektedir!)
Son iki haneler kullanılarak yukarıdaki gizlenmiş resim elde edilir!
36
Matematik ve TIP Teknolojisi
CAT = Computerised axial tomography
Roengten tarafından icat edilen X-Ray tabanlıdır.
X-Ray: Gölge!
İYİ Kemik (sert doku) incelemesi
KÖTÜ Yumuşak doku incelemesi
37
MODERN MATEMATİK İLE DAHA İYİSİ YAPILABİLİR
Modern CAT Tarayıcıları
CAT Tarayıcıları: Çeşitli sayı ve açılarda X – ışınları göndererek elde edilen verileri matematik yardımıyla fotoğrafa çevirirler!
38
X ışının ölçülmesi ile Nesnenin Şeklinin Belirlenmesi
X-Işın Kaynağı
Nesne
Detektör
X
Detektör deki X ışının yoğunluğu nesnenin
kalınlığına bağlıdır.
Kalınlığı ölçebiliyoruz … Şekli çizebilir miyiz?
Yoğunluk
X
39
CAT’ in Çalışması
Kaynak ve Detektörleri hareket ettirerek, Nesnenin gölgeleri farklı açılardan elde edilir ve X-ışın yoğunlukları ölçülür
40
nesne
kaynak
detektör
X-ışınıρ : Nesnenin merkezinden olan uzaklık
θ : X-ışının açısı
X-Işının Sönümü R(ρ, θ) yi hesaplayalım:
41
Nesne
ρ
θ
Nesnenin Radon Transformu!
R(ρ, θ)’nın grafiği
42
Nesne
R(ρ, θ)’nın grafiği
ρ
θ
kenar kenar
kenar kenar
43
R(ρ, θ)’nın hesaplanması
R(ρ, θ)’nin hesaplanması = nesnenin f(x,y) yoğunluk fonksiyonun hesaplanması
•Radon (1917) tarafından Matematik formül keşfedildi
• Bu formülü kullanacak bilgisayar ve
makinaların icatı için 60 yıl geçmesi gerekiyordu! • Cormack cihazı keşfetti ve Nobel ödülü aldı!
• Radon ödül almadı!
44
Radon Formülü
Radon dönüşümü
Geri Dönüşüm (projeksiyon)
Bir çok farklı uygulamalar:
•X-ışını ve mumyalar
•Isıyı gözlemek
•Uzaktan Algılama …
45
Radon Dönüşümü - Mayınlar
Mayınlar kırsal (orman, vs…) alanlarda yaprak veya benzeri doğal bitkiler ile örtülüdür. Tetikleyici tel gibi tuzaklar gözle kolayca tespit edilememektedir.
46
Tuzak-mayınları tetikleyen tel(ler), nerede?
47
Dijital Foto ile görüntü ve Radon Dönüşümü
••
•
•
x
y
θ
f(x,y)
Radon dönüşümü
ρ
R(ρ,θ)
R(ρ,θ) deki yüksek yoğunluklu noktalar fotoğraftaki tel tuzaklarını göstermektedir!
Noktaları tespit ettikten sonra geri dönüşüm (ters fonksiyon) ile teller tespit edilir!
48
Geri Dönüşüm ile Mayınlar Tespit edilir:
DNA VE MATEMATİK49
…ACGTGACTGAGGACCGTGCGACTGAGACTGACTGGGTCTAGCTAGACTACGTTTTATATATATATACGTCGTCGTACTGATGACTAGATTACAGACTGATTTAGATACCTGACTGATTTTAAAAAAATATT…
DNA DİZİLİMİ E.Coli bakterisi: 5 Milyon Bazı var!
İnsan:1 çekirdek3 Milyar
50DNA Dizilimi (shotgun)
Gelişigüzel kesitler
Bilinen uzaklık İleri-geri okumalar
~500 bp~500 bp
hedef DNA
DNA Dizilimi51
Hedef DNA: AAATGCG
Kesitlerden-DNA Dizlimi Tek değildir!
Kesitler: ACT, CTA, TAC
Farklı dizimler aynı kesitlere sahip olabilir!
TTTTTTTTATACACGCGC
İdeal durum
HEDEF: ……TTTTACGC……TTTTTTTTATACACGCGCTGA
Hatalı Durum
DNA 1: ACTACDNA 2: TACTA
1958
EULER- Konigsberg Köprüleri (1736)54
Köprülerin Grafik (Çizge) Gösterimi55
7-Köprü56
Karalara Ulaşım Yolları57
Euler Yaklaşımı58
Hamilton Problemi - NP Zor
Köprülerden en fazla bir kez geçmek koşuluyla tüm köprüleri kullanmak üzere başlangıç noktasına dönecek şekildeki seyahat yolunu bulma.
Köprüler Köşe, Yollar Kenar ise: Tüm köşelerden geçmek üzere an az kenar kullanma problemine Hamilton Problemi denir.
59
Euler (1736) bu problemi denk olan: Köprüleri yol, yolları köşe olmak üzere değiştirdi .Soru (Euler Yolu): Her köşeden tam bir kez geçmek üzere tüm köşeleri içeren, başlangıç noktasına dönmek koşuluyla en kısa seyahat!
ÖRNEK- 4 lü kesitlerden dizilim elde etme
Kesitler: {ATAG, TAGG, AGGC, GGCA, GCAG, CAGG,
AGGA}
60
AGGA
CAGG
AGGC
GCAG
ATAG
GGCA
TAGG
ÖRNEK- 4 lü kesitlerden dizilim elde etme61
AGGA
CAGG
AGGC
GCAG
ATAG
GGCA
TAGG
ATAGTAGGAGGCGGCAGCAGCAGGAGGA
ATAGGCAGGA
ÇÖZÜM: HAMİLTON YOLU
DNA DİZİMİ İLE İLGİLİ LİTERATÜR
Bilinen en iyi uygulamalar:
Tabu arama algoritması: Blazewicz et al., 2000Overlapping windows heuristic: Blazewicz et al.,
2002SOPAS – Genetik algoritma: Endo, 2004
62
DİZİLİMİ BULMA PROBLEMİ63
İdeal Durum (tekrar ve hata olmaksızın) Duruma karşılık gelen çizgede Eulerian yol bulma
problemine denktir. (Pevzner, 1989) Lineer zamanlı bir algoritme (Fleischner, 1990)
Genel durum: NP-zorluğunda bir problem
DNA İLE ÇALIŞAN BİLGİSAYARLAR64
DNA computers, tomorrow’s realityLila Kari
] L.Adleman. Molecular computation of solutions to combinatorial problems.
Science v.266, Nov.1994, 1021– 1024.L.Adleman. On constructing a molecular computer,ftp: /ftp/pub/csinfo/papers/adleman/molecular computer.ps
65
Matematiğin Diğer Uygulama Alanları
•Modelleme (Doğal olaylar, vs.)•Hızlı Hesaplamalar (Bilgisayar, Animasyon-Filmler, Quantum!)•Yaklaşık Hesaplamalar (Modeller, Hesap
makinaları)•İstatistik ve Olasılık (Bankacılık, Sosyal olaylar,vs.)•Veri Düzenleme (Bilgisayar, vs.)•Optimizasyon (Ulaştırma, internet, vs.)• Kombinatöriyel Matematik, Algoritmalar (DNA)
66
MATEMATİK VAZGEÇİLMEZDİR!
Matematik alanındaki gelişmeler Teknolojide kullanılacak olan araçların inşası ve geliştirilmesi için olanaklar (denklemler…) sağlar.
Dolayısıyla, Matematik Teknolojinin gelişmesi için vazgeçilmez bir araçtır.
GALILEO GALILEI (1600)
DOĞA KİTABI MATEMATİK DİLİYLE YAZILMIŞTIR
67
TEŞEKKÜRLER
Siz DinleyenlereVe
Bu etkinliği organize edenSayın Prof. Dr. Mehmet AYİle Ekibi ve destekleri için
TÜBİTAK-BİDEB’naTeşekkürler