768. Нэг нь нөгөө тойргийн төвийг дайрсан огтлолцсон хоёр тойргийн огтлолцлын цэг нв А, B байна. 1-р тойргийн А цэгийг дайрсан огтлогч нь 2-р тойргийг m:n(m<n) харьцаанд хуваана.

2дахь тойрог анхны тойргийг ямар харьцаанд хуваах вэ?

Бодолт:

Заавар: О1, О2 тойргийн төвүүд ба АР хоёр дахь тойргийн Р цэгийг дайрсан огтлогч шулуун 2-р дахь тойргийг шүргэнэ.

769. 01 баО2 төвтэй хоёр тойргийн огтлолцолын цэг нь А,В байв. 2-р тойргий С цэг нь АВ нумыг АС:СВ=n харьцаанд хуваах ба 1-р тойргийн BD хөвч ABDнумыг Dцэг ямар харьцаанд хуваах вэ?

Бодолт: О1О2 тойргийн төвүүд АС ба ВС нумын өнцгийн хэмжээнүүд нь nx ба x гэвэл∠��� � ��

� анхны тойргийн АВ нумын хэмжээ нь nx байна.

АО2В адил талт гурвалжин бол ∠���� � ��

�180� � �� � 1���

Эхний тойргийн АВ нумын өнцгийн хэмжээ нь 2-р тойргийн АВ нумын өнцгийн хэмжээнээс 4дахин их ба ⌣AB = 2(180∘ − (n + 1)x). Харин эхний тойргийн нумын нөгөө талын гүйцээгч нумын хэмжээ 2(n + 1)x тэй тэнцүү.

Иймд ��������������

� ����

770. ABCD дөрвөн өнцөгтийн АВ ба СD талууд перпендикуляр ба r радиустай огтлолцон хоёр тойргийн диаметр болно. Хэрэв BC : AD = k ABCD дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

Бодолт: AB ба CD хэрчмийн огтлолцлын цэг нь M ба О1 ба О2 нь CD ийн дунджууд болно. В болон С цэгүүд харгалзан AM ба DM хэрчмүүд дээр оршино. Тэгвэл BM = x, MC = y. гэж тэмдэглэе. Тэгвэл BC2 = x2 + y2, AD2 = (x + 2r)2+ (y + 2r)2, O1O2

2= (x + r)2 + (y + r)2. Ба

��� � �� � ����� � 2��� � �� � 2����4�� � �� � ��� � �� � ��� ⟺

��� � �� � 2����5�� �� � ����� � �� � 2���� �� � ���

системийк бичье.

Энэ системээс � � � � ������������ гэж олдоно. Иймд

772. Тойрогт багтсан АВС гурвалжин өгөв. AD тойргийн диаметр нь ВС талыг Е цэгт огтлох ба AE=AC, BE:CE=m бол DE:AE харьцааг ол.

Бодолт. EC = a, AE = x, DE = y, ∠ACE = α Тэмдэглэе.

∠AEC = ∠ACE = α учраас AE = AC бол ∠BED = α, ∠BDA = ∠BCA = α эдгээр өнцгүүд АВ нум дээр оршино. Иймээс BED гурвалжин адил хажуут ба

BD = BE = ma. AD диаметр тэгвэл ∠ABD = 90∘

AEС ба ABDгурвалжингүүдаас гэж олдоно.

Иймээс

776. АВС гурвалжинд багтсан тойрог нь гурвалжны медианыг гурван тэнцүү хуваана. ВС:СА:АВ харьцааг ол.

Бодолт: тойргийн гурвалжны АС:ВС , АВ талуудтай огтлолцсон цагүүд харгалзан K,L,M гэж тэмдэглэвэл гурвалжны BM медианыг FQ цэгээр огтолно. F нь B ба Q цэгийн хооронд байна. К цэг М ба С цэгийн хооронд оршино. BC = a, BF = FQ = QM = x гэвэл BL2 = BQ · BF = 2x2 байна.

Иймд �� � �√2 �� � �� � �√2гэжолдно. Үүнтэй адлаар KM=�√2 байх ба CL=CK MC=BC=a AC=2a AB=AN+NB=a=�√2+�√2 � �2�√2 байна. АВС гурвалжны ВМ медианы хувьд 4BM2=2BC2+2AB2+AC2 буюу

36�� � 2�� � 2�� � 2�√2�� � 4�� тэгштгэлээс � � ��√��

гэж олдоно. �� � � � ��√�

�; �� � 2� � ��√�

�; �� � � � 2�√2 � ���√�

� байх ба үүнээс ��: ��: �� �

5: 10: 13 гэж олдоно.

777. АВС тэгш өнцөгт гурвалжинг багтаасан тойрог өгөв. А ба В цэгийн төгсгөлөөс С цэгийг дайрсан тойргийн шүргэгчээс АВ шулуун хүртлэх зайнууд харгалзан m ба n бол АС;BC катетуудыг ол. Бодолт: Р ба Q нь А ба В нь шүргэгч шулуун дээрх проекцууд болон. СМ нь АВС гурвалжны өндөр. Тэгвэл АМС гурвалжин, АРС гурвалжинтай тэнцүү болно. ∠PCA = ∠ABC = 90∘ − ∠CAB = ∠ACM (шүргэгч болон хөвчийн хоорондох өнцгийн тухай теорем ёсоор ) . Эндээс АМ=AP=m болно. Нэгэн адил BM = BQ = n эндээс AC2 = AM · AB = m(m + n), BC2= BM · AB = n(m + n).

778. ABCD трапецийн сууриуд AB=a, CD=b (a < b) байна. Трапецийн AD тал нь тойрогтой шүргэлцсэх ба АВС оройнууд тойрог дээр оршино. АС диагналыг ол

Бодолт. Шүргэгч ба огтлогчийн теоромоор ∠��� = ∠��� байна

AB;CD пралель ба ∠��� = ∠���

∆��� ∽ ∆���байхба ����

= ����

Иймээс ��� = �� ⋅ �� = � ⋅ �

780. С цэгийг дайруулсан 2 шулуунууд тойргуудтай харгалзан А;B ба M;N цэгүүдээр огтлолцоно. АВ шулуун тойргийн төвүүдийг холбоно. АВ шулуун тойргийн тойргийн төвүүдийг холбосон шулуунтай паралель бөгөөд MN шулуунтай хамар өнцөг үүсгэнэ.

781. тэгш өнцөгт АВС гурвалжны катетууд AC=3, BC=4. C цэгийн дайруулан татсан шулуун нь гурвалжны катетуудтай 45∘ ийн өнцөг үүсгэнэ. Энэ шулууны шүргэсэн А ба В цэгүүдийн дайруулан татсан тойргийн радиусыг ол.

Бодолт: АВ ийн дундаж уцэгийг Е, ОР ба АВ ийн огтлолцлын цэгийг F, ∠ВМС = 4, ∠ВАС = � гэе.

��� = ��� + ��� = 9 + 16 = 25 ⇒ �� = 5

cos �=����

=�� sin �=��

��=�

�

� = � + 45� ⇒ � = � + 45� хэрэв � нь хурц өнцөг байхад

sin � = sin(� ⋅ cos 45) = sin � ⋅ cos 45 − cos � ⋅ sin 45 = ��

⋅ √��

− ��

⋅ √��

= �√��

− �√���

= √���

cos � = √1 − sin� 4 = �1 − ����

= � �����

= �√���

tan � = �� Гурвалжин АМС ��� �

��= ��� ��

��

√���

⋅ ��

� √����

√���

� √����

⇒ �� � 15

Шүргэгч огтлогчийн теоромоор MP2=MB⋅AM, MP2=(5+15)⋅15=20⋅15=300, MP=10√3

Гурвалжин ��� ⇒ �� � �� ⋅ tan �=10√30 ⋅ ��

� ��√��

∠��� � ∠�� � � � �� � �� cos � � �√��

�� � ��√��

�� ���√���

� √6�

Гурвалжин ��� ⇒ ��� � ��� ���√���

� √6��

� ���

� �� �� � 140�√3 � ��⋅���

� 0

� � ����√���√���

� нь мохоо(α>90) байхад бод.

791. Гурвалжны Бисектрисийн Квадрат нь хоёр талын үржвэрээс бисектрисээр хуваагдсан хэсгүүдийн үржвэрийг хаасан тай тэнцүү гэж батал.

Бодолт: Тойрогт багтсан АВС гурвалжны CD бисектрис тойрогтой огтлолцсон цэгийг М гэвэл CBD ба CMA гурвалжнууд төсөөтэй учраас өнцгүүд тэнцүү.

Ийм учраас буюу

CD2 = AC · BC − CD · DM = AC · BC − AD · BD

(CD·DM=AD· DB нь хөвчийг огтолсон хэрчмийн тухай теоромоор)

788. АВС гурвалжны AD медиан нь багтсан тойргийн М цэгээр огтлоно. ∆�В� -д багтсан тойргийн төв нь Q бол MBQ ба MCQ гурвалжнууд адил хажуут гэж батал.

Бодолт: ∠А � � ; ∠� � � гэе. Багтсан тойргийн төв нь гурвалжны биссектрисийг огтлох цэг байна. АВС ба ВАС өнцгүүд AQ ба BQ биссектрис ба харин AQB∆ -ны дотоод өнцөг BQM –ээс

∠��� � ∠��� � ∠��� � ��

� ��. Багтсан өнцгүүд МВС ба

МАС –үүд нэг нум өнцгүүд учраас

∠�� � � ∠��� � ∠� �� � ∠��� � ∠� �� �β

2�

α

2 байна.

Эндээс ∠BQM = ∠QBM →∆MBQ адил хажууд болж батлагдав.

Үүний адилаар ∠MCQ = ∠MQC болохыг баталж болно.

789. Трапецын хажуу талууд диаметрууд болох тойрогууд өгөгдөв. Бүх дөрөв шүргэгч нь өөр хоорондоо дөрвөнөнцөгтийн диогналын огтлолын цэгээс тойргийн шүргэлтийн цэг хүртлэх зайнууд тэнцүү гэж батал.

Бодолт : ABCD трапецын хажуу талууд АВ ба СD , ба АС ; ВD диогналын огтлолцлын цэг М , АС диогналын АВ диаметартай тойрогтой огтлолцлох цэгийг R. ВD диогналын СD диаметр огтлолцох цэгийг L гэе. ∠��� � ∠��� � 90° тэгвэл BKLC нь багтсан дөрвөнөнцөгт байна.

Иймд АКЛВ дөрвөнөнцөгт бас багтсан дөрвөнөнцөгт болно. Эндээс I ба II тойргийн М цэгээс татсан шүргэлтийн цэгүүд F1 ба F2 байна.

785. АВ нь том тойргийн диаметр байх гадаад А цэгээр шүргэлцсэн хоёр тойрог өгөгдөв. Том тойргийн ВК огтлогч нь жижиг тойргийг С цэгээр огтлоно. АС нь ∆АВК - ны биссектрис байна гэж батал.

Бодолт : О нь жижиг тойргийн төв ∠ВСО � ∠ВКА � 90° мөн СО нь АК – тай параллель учир ∠АСО � ∠КАО , харин ОС ОА-тай тэнцүү СОА адил хажууд гурвалжин. ∠АСО � ∠САО гэдгээс ∠КАС � ∠САО байх ба АС нь ∆АВК -ны биссектрис болно.

794. А цэгээр огтлолцсон дотоод шүргэлттэй хоёр тойрог өгөв. Том тойрогийн радиус ОВ жижиг тойрог С цэгээр шүргэнэ. ∠ВАС �?.

Бодолт : ∠АОВ өнцгийгээ α. Жижиг тойргийн төвийг Q гэе. Энд АОВ адил хажууд гурвалжин

∠АОВ � ���°���

� 90° � �� OQC∆ -ны тэгш гурвалжин. ∠��� � 90° � �.

Энд ∠��� 180°-(90°-α)=90°tα AQC= �� OQC=45°- �

� болно. ∠BAC = ∠OAB − ∠QAC = 45∘.

790.Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгтийн диагоналиудын огтлолцлын цэг нь энэ дөрвөн өнцөгтийн оройнууд дайруулан татсан шүргэгчүүдээр үүссэн дөрвөн өнцөгтийн D-нь огтлолцлын цэгтэй давхцна гэж батал.

Бодолт: байна. Босоо өнцөг sin ∠AME = sin ∠CMG ба sin ∠AEM = sin ∠CGM гэдгээс ��

��� ��

�� болно. EG шулуун

нь ABCD дөрвөнөнцөгтийн АС диагоналиар ����

харьцаанд

хуваагдана. Эндээс FK шулуун нь мөн диагоналийг ����

гэж хуваах ба AE = AK ба CG = CF болно

→ ����

� ����

болно. Иймд FK шулуун М цэгийг дайрна. Үүний адилаар EG ба FK BD-г дайрна гэж баталж болно.

773.АВС гурвалжны тойрогт багтсан байв. AD диаметр ВС талыг Е цэгт огтлох бөгөөд AE = AC, BE : CE = m бол ВЕ:СЕ харьцааг ол. (Сэдэв алдаатай)

787. Адил хажууд трапецын дундаж шугам 10 тай тэнцүү. Уг трапеци тойрог багтаасан байв. Трапецын дундаж шугам нь түүний талбайг �

�� хэсэгт хуваадаг бол трапецын өндөрийг ол.

Бодолт:

KM=10 , AB=BC, ��

��= �

�� BC=?

Багтаасан дөрвөнөнцөгтийн чанар

BC+AD=AB+CD

BC+AD=2AB

BC+AD=20

20=2AB болно AB=BC=10

BCMK : S1=�����

�� �

�� ��������

�

KMDA : S2=�����

�� �

�� ��������

�

���������

� ���������

� ����������

.

����������

� ���

.

Трапецын дундаж шугам: 10=������

BC+AD=20 → BC=20-AD орлуулбал ��������

������ �

�� → �����

������ �

�� → 390-13AD=7AD+70 → 320=20AD → AD=16 BC=4

H=8

786. Тойрог багтаасан трапецийн хажуу талууд 6 ба10. Трапецийн дундаж шугам түүний талбайг �

�� харьцаатай хуваах бол трапецийн

сууриудыг ол.

Бодолт:

Өгсөн нь

AB= 6 , CD=10 , SMBCN : SAMND=5 : 11

AB+CD=BC+AD=16 MN=8

������

�� ���

�� �

����� ������ �

��.

��������

� ���

� �����������

� ���������

� ���

.

11BC+88=120-5BC

16BC=32 BC=����

� 2

AD=16-2=14 AD=14