boi duong hoc sinh gioi toan 9

8/18/2019 Boi Duong Hoc Sinh Gioi Toan 9

1/71

Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013

Thanh Mỹ, ngày 20 háng ! năm 2012

CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.

II. TÍNH CHẤT:1. Số chính phương chỉ c th! c ch" số t#n c$ng bằng %& 1& '& (& )& * + ,h-ng th! c ch"

số t#n c$ng bằng & /& 0& .

. 2h3 ph4n tích 5a th6a số nguyên tố& số chính phương chỉ ch7a c8c th6a số nguyên tố

93 số m; ch?ng 'n h=@c 'n A 1. 2h-ng c số chính

phương nà= c >?ng 'n A h=@c 'n A / Bn ∈ CD.'. Số chính phương chỉ c th! c một t5=ng ha3 >?ng /n h=@c /n A 1. 2h-ng c số chính

phương nà= c >?ng /n A Bn ∈ CD.(. Số chính phương t#n c$ng bằng 1 h=@c * thì ch" số hàng chEc là ch" số ch


2/71


nBn A 1DBn A DBn A /D A 1 J n.Bn A /Bn A 1DBn A D A 1

J Bn A /nDB n A /n A D A 1 BUD

L@t n A /n J t Bt ∈ CD thì BUD J tB t A D A 1 J t A t A 1 J B t A 1 D

J Bn A /n A 1D

Pì n ∈ C nên n

A /n A 1 ∈ C P#y nBn A 1DBn A DBn A /D A 1 là số chính phương.Bà #: Ch5 6 1.$.% " $.%.& " %.&.7 " . . . " 8!8"1#!8"$# Chứng minh rằng &6 " 1 '( số )h*nh +h-ng .

Ha c ,B,A1DB,AD J'

1 ,B,A1DB,AD.' J

'

1 ,B,A1DB,AD.VB,A/D O B,N1DW

J'

1 ,B,A1DB,ADB,A/D N

'

1 ,B,A1DB,ADB,N1D

⇒ S J'

1.1../.' N

'

1.%.1../ A

'

1../.'.( N

'

1.1../.' AXA

'

1 ,B,A1DB,AD

B,A/D N'

1 ,B,A1DB,ADB,N1D J

'

1 ,B,A1DB,ADB,A/D

'S A 1 J ,B,A1DB,ADB,A/D A 1

HhY= ,Gt Zu[ bà3 ⇒ ,B,A1DB,ADB,A/D A 1 là số chính ph ương.Bà $: Ch5 9:y số &;< &&=;< &&&==;< &&&&===;< >

?:y số trên @) xBy 9ng ằng )D)h thêm số &= v(5 giE0 số @ứng trớ) nF.

Chứng minh rằng tGt ) )D) số )/0 9:y trên @Iu '( số )h*nh +h-ng.Ha c ''X'X* J ''X'.. A 1 J ''X' . 1%n A . 11X1 A 1

n ch" số ' nN1 ch" số n ch" số ' n ch" số n ch" số 'n ch" số 1

J '.*

11% −n. 1%n A .

*

11% −n A 1 J

*

*1%.1%.'1%.' +−+− nnn J

*

11%.'1%.' ++ nn

J

+/

11%. n

Ha th\y .1%n A1J%%X%1 c t]ng c8c ch" số ch3a hGt ch= / nênn ch3a hGt ch= /

nN1 ch" số %⇒

+/

11%. n

∈ M hay c8c số c >?ng ''X'X* là số chính phương.

Bà %: Chứng minh rằng )D) số s0u @By '( số )h*nh +h-ngJ A 11>1 " &&>& " 1

$n )hE số 1 n )hE số &

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ


3/71


K 11>1 " 11>1 " LL>L " =

$n )hE số 1 n"1 )hE số 1 n )hE số L

C &&>& " $$>$ " ==>= " M

$n )hE số & n"1 )hE số $ n )hE số =

2Gt Zu[: I J

+/

1%n

+ ^ J

+/

1%n

+ _ J

+/

01%. n

Bà &: Chứng minh rằng )D) số s0u '( số )h*nh +h-ngJ

0. A $$&;;>;1>;

nO$ )hE số ; n )hE số

. K 11>177>7L

n )hE số 1 nO1 )hE số 7

a. I J '.1%n A **X*.1%nA A 1%nA1 A *J '.1%n A B 1%nN O 1 D . 1%nA A 1%nA1 A *

J '.1%n A 1%n O 1%nA A 1%nA1 A *J (.1%n O *%.1%n A *

J B 1(.1%n O / D ⇒ I là số chính phương

b. ^ J 111X1(((X( A 1 J 11X1.1%n A (.11X1 A 1

n ch" số 1 n ch" số ( n ch" số 1 n ch" số 1

J*

11% −n. 1%n A (.

*

11% −n A 1 J

*

*(1%.(1%1% +−+− nnn

J*

'1%.'1% ++ nn J

+/

1%n

là số chính phương B đ3`u ph[3 ch7ng m3nhD

Bà '( Chứng minh rằng tPng )D) ình +h-ng )/0 7 số t nhiên 'iên ti2+ 8h4ng thQ '(m3t số )h*nh +h-ng

R3 ( số tT nh3ên l3ên t3Gp đ là nN& nN1& n & nA1 & nA Bn ∈ C & n D.Ha c B nND A BnN1D A n A B nA1D A B nAD J (.B nAD

Pì n ,h-ng th! t#n c$ng b3 / h=@c >= đ nA ,h-ng thF ch3a hGt ch= (⇒ (.B nAD ,h-ng là số chính phương hay I ,h-ng là số chính phương

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ /


4/71


Bà )( _hứng minh rằng số )F 9Rng nL S n& " $n% " $n$ tr5ng @F n∈ N v( nT1 8h4ng +hi '( số )h*nh +h-ng

n) O n' A n/ An J n.B n' O n A n A D J n.V nBnN1DBnA1D A BnA1D W

J nV BnA1DBn/ O n A D W J nBnA1D.V Bn/A1D O BnN1D WJ nB nA1 D.B n OnAD

P3 n∈ C& n 1 thì n

NnA J Bn N 1D

A 1 B n O 1 D

9à n O n A J n O Bn N 1D d n

P#y B n O 1D d n O n A d n ⇒ n O n A ,h-ng ph[3 là một số chính phương. Bà *( Ch5 7 số )h*nh +h-ng Gt 8ì )F )hE số h(ng )h) 8hD) nh0u )Vn )hE số h(ng

@-n vW @Iu '( L. Chứng minh rằng tPng )D) )hE số h(ng )h) )/0 7 số )h*nh +h-ng @F

'( m3t số )h*nh +h-ng

_8ch 1: Ha b3Gt một số chính phương c ch" số hàng đơn 9e là ) thì ch" số hàng

chEc của n là số lF. Pì 9#y ch" số hàng chEc của ( số chính phương đf ch= là 1&/&(&0&*

,h3 đ t]ng của chúng bằng 1 A / A ( A 0 A * J ( J ( là số chính phương_8ch : CGu một số chính phương J a c ch" số hàng đơn 9e là ) thì ch" số t#n

c$ng của a là ' h=@c ) ⇒ a ⇒ a 'HhY= >\u h3u ch3a hGt ch= ' thì ha3 ch" số t#n c$ng của chỉ c th! là 1)& /)& ()&

0)& *) ⇒ Ha c: 1 A / A ( A 0 A * J ( J ( là số chính phương.Bà !+: Chứng minh rằng tPng ình +h-ng )/0 h0i số 'X Gt 8 8h4ng +hi '( m3t số

)h*nh +h-ng.

a 9à b lF nên a J ,A1& b J mA1 BP3 ,& m∈ CD⇒ a A b J B,A1D A BmA1D J ', A ', A 1 A 'm A 'm A 1 J 'B, A , A m A mD A J 't A BP3 t ∈ CD2h-ng c số chính phương nà= c >?ng 't A Bt ∈ CD >= đ a A b ,h-ng th! là sốchính phương.

Bà !!: Chứng minh rằng n2u + '( t*)h )/0 n số nguyên tố @Zu tiên thì + O 1 v( + " 1

8h4ng thQ '( )D) số )h*nh +h-ng .

Pì p là tích của n số nguyên tố điu t3ên nên p 9à p ,h-ng ch3a hGt ch= ' B1D

a. R3[ sj pA1 là số chính phương . L@t pA1 J m

Bm ∈ CDPì p ch?ng /,A.

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ '


5/71


2h-ng c số chính phương nà= c >?ng /,A ⇒ pN1 ,h-ng là số chính phương .P#y nGu p là tích n số nguyên tố điu t3ên thì pN1 9à pA1 ,h-ng là số chính phương

Bà !": [i s\ N 1.%.7.M>$M.

Chứng minh rằng tr5ng % số nguyên 'iên ti2+ $NO1, $N v( $N"1 8h4ng )F số n(5 '( số

)h*nh +h-ng.a. CN1 J .1./.(.0X%%0 O 1

_ C / ⇒ CN1 ,h-ng ch3a hGt ch= / 9à CN1 J /,A B, ∈ CD⇒ CN1 ,h-ng là số chính phương.

b. C J .1./.(.0X%%0

Pì C lF ⇒ C ,h-ng ch3a hGt ch= 9à C nhưng C ,h-ng ch3a hGt ch= '.C chư 1⇒ CA1 ,h-ng là số chính phương.

Bà !#: Ch5 0 11>1 < 1>7

$= )hE số 1 $M )hE số Chứng minh 1+0 '( số t nhiên.

_8ch 1: Ha c a J 11X1 J *11%%% −

+ b J 1%%X%( J 1%%X% A ( J 1%%%

A ( %% ch" số 1 %%0 ch" số % %% ch"số %

⇒ abA1 J*

D(1%DB11%B %%%% +−

A 1 J*

*(1%.'D1%B %%%% +−+ J

+/

1%%%

1+0 J

+/

1%%%

J/

1%%% +

Ha th\y 1%%% A J 1%%X% / nên/

1%%% + ∈ C hay 1+0 '( số t nhiên.

%%0 ch" số %_8ch : b J 1>7 1%%X% O 1 A ) J **X* A ) J *a A)

%%0 ch" số % %% ch" số % %% ch" số *

⇒ abA1 J aB*a A)D A 1 J *a A )a A 1 J B/aA1D

⇒ 1+0 J .D1/B +0 J /a A 1 ∈ C

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ (


6/71


B. DẠNG ": T,M GI- TỊ C/A BI0N Đ1 BI12 THỨC LÀ SỐ CHÍNH

PHƯƠNGBà!( ]ìm số t nhiên n s05 )h5 )D) số s0u '( số )h*nh +h-ngJ

0. n$ " $n " 1$ . n ! n"% #

). 1%n " % 9. n$ " n " 17=;

R3[3

a. Pì n A n A 1 là số chính phương nên đ@t n A n A 1 J , B, ∈ CD ⇒ Bn A n A 1D A 11 J , ⇔ , O BnA1D J 11 ⇔ B,AnA1DB,NnN1D J 11

Ch#n Kt th\y ,AnA1 ,NnN1 9à chúng là nh"ng số nguyên >ương& nên ta c th! 93Gt

B,AnA1DB,NnN1D J 11.1 ⇔ ,AnA1 J 11 ⇔ , J ) , O n N 1 J 1 n J '

b. L@t nBnA/D J a Bn ∈ CD ⇒ n A /n J a ⇔ 'n A 1n J 'a⇔ B'n A 1n A *D O * J 'a ⇔ Bn A /D . N 'a J *⇔ Bn A / A aDBn A / O aDJ *

Ch#n Kt th\y n A / A a n A / O a 9à chúng là nh"ng số nguyên >ương& nên ta

c th! 93Gt Bn A / A aDBn A / O aD J *.1⇔ n A / A a J * ⇔ n J 1 n A / O a J 1 a J

c. L@t 1/n A / J y B y ∈ CD ⇒ 1/Bn O 1D J y O 1)⇔ 1/Bn O 1D J By A 'DBy O 'D⇒ By A 'DBy O 'D 1/ mà 1/ là số nguyên tố nên y A ' 1/ h=@c y O ' 1/⇒ y J 1/, ± ' BP3 , ∈ CD⇒ 1/Bn O 1D J B1/, ± ' D O 1) J 1/,.B1/, ± D⇒ n J 1/, ± , A 1P#y n J 1/, ± , A 1 BP3 , ∈ CD thì 1/n A / là số chính phương.>. L@t n A n A 1(* J m Bm ∈ CD ⇒ B'n A 1D A )/(( J 'm

⇔ Bm A n A1DBm O n N1D J )/(( Ch#n Kt th\y m A n A1 m O n N1 % 9à chúng là nh"ng số lF& nên ta c th!

93Gt Bm A n A1DBm O n N1D J )/((.1 J 101.( J %(./1 J 1((.'1

Suy 5a n c th! c c8c g38 t5e sau: 1(+ /1)+ '/+ .

Bà ": ]ìm 0 @Q )D) số s0u '( nhEng số )h*nh +h-ngJ

0. 0$ " 0 " &%

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ )


7/71


. 0$ " =1

). 0$ " %10 " 1;=&

2Gt Zu[: a. + '+ 1/

b. %+ 1+ '%

c. 1+ //+ '+ *0+ 10)+ //+ ()(+ 10Bà #: ]ìm số t nhiên n ^ 1 s05 )h5 tPng 1_ " $_ " %_ " > " n_ '( m3t số )h*nh

+h-ng .

P3 n J 1 thì 1 J 1 J 1 là số chính phương .

P3 n J thì 1 A J / ,h-ng là số chính phương

P3 n J / thì 1 A A / J 1A1.A1../ J * J / là số chính phương

P3 n ' ta c 1 A A / A ' J 1A1.A1../A1../.' J // cn (+ )+ X+ n đ`u

t#n c$ng b3 % >= đ 1 A A / A X A n c t#n c$ng b3 ch" số / nên n ,h-ng ph[3

là số chính phương .P#y c số tT nh3ên n thoa mfn đ` bà3 là n J 1+ n J /.

Bà $: ]ìm n ∈ N @Q )D) số s0u '( số )h*nh +h-ngJ 0. n$ " $& B 2Gt Zu[: (%%+ 1)'D

. !$% S n#!n S %# B 2Gt Zu[: /+ (+ 0+ 1/+ 1*+ 1+ /D

). n$ " &n " ;M

9. $n " 17

Bà %: CF h0y 8h4ng số t nhiên n @Q $L " n$ '( số )h*nh +h-ng.

R3[ sj %%) A n là số chính phương thì %%) A n J m Bm ∈ CDH6 đ suy 5a m O n J %%) ⇔ Bm A nDBm N nD J %%)

Chư 9#y t5=ng số m 9à n ph[3 c ít nh\t 1 số ch


8/71


= K là ch" số nên K *& ,Gt hrp 93 đ3`u ,3n đ` bà3 ta c K∈ C 9à d K * BDH6 B1D 9à BD ⇒ K chỉ c th! nh#n 1 t5=ng c8c g38 t5e (+ )+ 0.^ằng php thj ta th\y chỉ c K J 0 thoa mfn đ` bà3& ,h3 đ 0) J (00)

Bà ': ]ìm số t nhiên n )F $ )hE số i2t rằng $n"1 v( %n"1 @Iu '( )D) số )h*nh

+h-ng.Ha c 1% n ** nên 1 nA1 1**. Hìm số chính phương lF t5=ng ,h=[ng t5ên ta

đưrc (+ '*+ 1+ 11+ 1)* tương 7ng 93 số n bằng 1+ '+ '%+ )%+ '.

Số /nA1 bằng /0+ 0/+ 11+ 11+ (/. _hỉ c 11 là số chính phương.

P#y n J '%

Bà ): Chứng minh rằng n2u n '( số t nhiên s05 )h5 n"1 v( $n"1 @Iu '( )D) số

)h*nh +h-ng thì n '( 3i số )/0 $&.

Pì nA1 9à nA1 là c8c số chính phương nên đ@t nA1 J , & nA1 J m B,& m ∈ CD

Ha c m là số lF ⇒ m J aA1 ⇒ m J 'a BaA1D A 1 ⇒ n J

1 −m J

D1B' +00 J aBaA1D

⇒ n ch/D

@t ,h8c , ch3a ch= / >ư % h=@c 1& m ch3a ch= / >ư % h=@c 1.

Cên đ! , A m ≡ Bm=>/D thì , ≡ 1 Bm=>/D

m ≡ 1 Bm=>/D⇒ m O , / hay BnA1D O BnA1D/ ⇒ n / BD à B+ /D J 1 B/D

H6 B1D& BD& B/D ⇒ n '.Bà *: ]ìm tGt ) )D) số t nhiên n s05 )h5 số $= " $11 " $n '( số )h*nh +h-ng .

R3[ sj A 11 A n J a Ba ∈ CD thìn J a O ' J BaA'DBaN'D

p

.Z

J BaA'DBaN'D P3 p& Z ∈ C + pAZ J n 9à p Z ⇒ aA' J p ⇒ p O Z J *) ⇔ Z B pNZ N1D J (./aN ' J Z

⇒ Z J ( 9à pNZ J ⇒ p J 0⇒ n J (A0 J 1Hhj l?3 ta c: A 11 A n J %

C. DẠNG #( T,M SỐ CHÍNH PHƯƠNG



9/71


Bà !: Ch5 A '( số )h*nh +h-ng g`m & )hE số. N2u t0 thêm v(5 mai )hE số )/0 A

m3t @-n vW thì t0 @) số )h*nh +h-ng K. H:y tìm )D) số A v( K.

R3 I J abc> J , . CGu thêm 9à= mai ch" số của I một đơn 9e thì ta c số

^ J BaA1DBbA1DBcA1DB>A1D J m

93 ,& m ∈ C 9à / d , d m d 1%% a& b& c& > ∈ C + 1 a * + % b& c& > *⇒ Ha c I J abc> J , ^ J abc> A 1111 J m ⇒ m O , J 1111 ⇔ BmN,DBmA,D J 1111 BUD

Ch#n Kt th\y tích BmN,DBmA,D % nên mN, 9à mA, là số nguyên >ương.

Pà mN, d mA, d %% nên BUD c th! 93Gt BmN,DBmA,D J 11.1%1

= đ m O , JJ 11 ⇔ m J () ⇔ I J %(

m A , J 1%1 n J '( ^ J /1/)Bà ": ]ìm 1 số )h*nh +h-ng g`m & )hE số i2t rằng số g`m $ )hE số @Zu 'ớn h-n

số g`m $ )hE số s0u 1 @-n vW.

L@t abc> J , ta c ab O c> J 1 9à , ∈ C& / , d 1%%Suy 5a 1%1c> J , O 1%% J B,N1%DB,A1%D ⇒ , A1% 1%1 h=@c ,N1% 1%1à B,N1%+ 1%1D J 1 ⇒ , A1% 1%1Pì / , d 1%% nên ' ,A1% d 11% ⇒ ,A1% J 1%1 ⇒ , J *1⇒ abc> J *1 J 1

Bà #: ]ìm số )h*nh +h-ng )F & )hE số i2t rằng $ )hE số @Zu giống nh0u, $ )hE số

)uối giống nh0u.

R3 số chính phương ph[3 tìm là aabb J n 93 a& b ∈ C& 1 a *+ % b *Ha c n J aabb J 11.a%b J 11.B1%%aAbD J 11.B**aAaAbD B1D

Ch#n Kt th\y aabb 11 ⇒ a A b 11à 1 a * + % b * nên 1 aAb 1 ⇒ aAb J 11

Hhay aAb J 11 9à= B1D đưrc n

J 11

B*aA1D >= đ *aA1 là số chính phương .^ằng php thj 93 a J 1+ + X+ * ta th\y chỉ c a J 0 thoa mfn ⇒ b J 'Số cin tìm là 00''

Bà $: ]ìm m3t số )F & )hE số vb0 '( số )h*nh +h-ng vb0 '( m3t 'c+ +h-ng.

R3 số chính phương đ là abc> . Pì abc> 96a là số chính phương 96a là một l#p

phương nên đ@t abc> J K J y/ P3 K& y ∈ C

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ *


10/71


Pì y/ J K nên y c;ng là một số chính phương .

Ha c 1%%% abc> **** ⇒ 1% y 1 9à y chính phương ⇒ y J 1)⇒ abc> J '%*) Bà %: ]ìm m3t số )h*nh +h-ng g`m & )hE số s05 )h5 )hE số )uối '( số nguyên tố,

)dn c) h0i )/0 số @F )F tPng )D) )hE số '( m3t số )h*nh +h-ng.R3 số ph[3 tìm là abc> 93 a& b& c& > nguyên 9à 1 a * + % b&c&> *

abc> chính phương ⇒ >∈ %&1&'&(&)&*v> nguyên tố ⇒ > J (L@t abc> J , d 1%%%% ⇒ / , d 1%%, là một số c ha3 ch" số mà , c t#n c$ng bằng ( ⇒ , t#n c$ng bằng (H]ng c8c ch" số của , là một số chính phương ⇒ , J '(⇒ abc> J %(

P#y số ph[3 tìm là %(Bà &( ]ìm số t nhiên )F h0i )hE số i2t rằng hieu )D) ình +h-ng )/0 số @F v(

vi2t số fi h0i )hE số )/0 số @F nhng th5 thứ t ng) 'Ri '( m3t số )h*nh +h-ng

R3 số tT nh3ên c ha3 ch" số ph[3 tìm là ab B a&b ∈ C& 1 a&b * DSố 93Gt thY= th7 tT ngưrc l?3 ba

Ha c ab N ba J B 1%a A b D O B 1%b A a D J ** B a O b D 11 ⇒ a N b 11way B aNb DBaAb D 11

Pì % d a N b & aAb 1 nên aAb 11 ⇒ a A b J 112h3 đ ab N ba J / . 11 . Ba N bD

L! ab N ba là số chính phương thì a N b ph[3 là số chính phương >= đ aNb J 1

h=@c a N b J '

• CGu aNb J 1 ,Gt hrp 93 aAb J 11 ⇒ a J )& b J (& ab J )( 2h3 đ )( O () J 1%* J //

• CGu a N b J ' ,Gt hrp 93 aAb J 11 ⇒ a J 0&( B l=?3 DP#y số ph[3 tìm là )(

Bà '( Ch5 m3t số )h*nh +h-ng )F & )hE số. N2u thêm % v(5 mai )hE số @F t0 )ng @) m3t số )h*nh +h-ng. ]ìm số )h*nh +h-ng 0n @Zu

B 2Gt Zu[: 11() D

Bà )( ]ìm số )F $ )hE số m( ình +h-ng )/0 số Gy ằng 'c+ +h-ng )/0 tPng )D)

)hE số )/0 nF.

R3 số ph[3 tìm là ab 93 a&b ∈ C 9à 1 a * & % b *

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ 1%


11/71


HhY= g3[ th3Gt ta c : ab J B a A b D/ ⇔ B1%aAbD J B a A b D/

⇒ ab là một l#p phương 9à aAb là một số chính phươngL@t ab J t/ B t ∈ C D & a A b J l B l ∈ C DPì 1% ab ** ⇒ ab J 0 h=@c ab J )'

• CGu ab J 0 ⇒ a A b J * là số chính phương• CGu ab J )' ⇒ a A b J 1% ,h-ng là số chính phương ⇒ l=?3 P#y số cin tìm là ab J 0

Bà *: ]ìm % số 'X 'iên ti2+ m( tPng ình +h-ng '( m3t số )F & )hE số giống nh0u.

R3 / số lF l3ên t3Gp đ là nN1& nA1& nA/ B n ∈ CD Ha c IJ B nN1 D A B nA1D A B nA/ D J 1n A 1n A 11

HhY= đ` bà3 ta đ@t 1n A 1n A 11 J aaaa J 1111.a 93 a lF 9à 1 a *

⇒ 1nB n A 1 D J 11B1%1a O 1 D ⇒ 1%1a O 1 / ⇒ a O 1 / Pì 1 a * nên 1 aN1 10 9à aN1 lF nên a O 1 ∈ /+ *+ 1( v ⇒ a ∈ + (+ v Pì a lF ⇒ a J ( ⇒ n J 1 / số càn tìm là '1+ '/+ '(

Bà !+: ]ìm số )F $ )hE số s05 )h5 t*)h )/0 số @F với tPng )D) )hE số )/0 nF ằng

tPng 'c+ +h-ng )D) )hE số )/0 số @F.

ab Ba A b D J a/ A b/

⇔ 1%a A b J a O ab A b J B a A b D O /ab ⇔ /aB / A b D J B a A b D B a A b O 1 Da A b 9à a A b O 1 nguyên tố c$ng nhau >= đ

a A b J /a h=@c a A b O 1 J /a

a A b O 1 J / A b a A b J / A b

⇒ a J ' & b J h=@c a J / & b J 0 P#y ab J ' h=@c ab J /0.

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ 11


12/71


Thanh Mỹ, ngày 23 háng ! năm 2012

+h$yn . 2( C3C TỊ C/A MỘT BI12 THỨC

x Rxz H{| }~C Cw•H &Rxz H{| Cw€ Cw•H _‚ ƒH ^x„… Hw†_



13/71


1 _h= b3!u th7c ‡B K &y&...D

a Ha n3 g38 t5e ln nh\t B RH}CD của b3!u th7c ‡BK&y...D ,í h3u maK ‡ J nGu ha3

đ3ù ,3n sau đ4y đưrc th=[ mfn:

N P3 m3 K&y... đ! ‡BK&y...D K8c đenh thì :

‡BK&y...D ≤ B hằng sốD B1D

N Hn t?3 K=&y= ... sa= ch=:

‡B K=&y=...D J BD

b Ha n3 m là g38 t5e nho nh\t BRHCCD của b3!u th7c ‡BK&y...D ,í h3u m3n ‡ J m nGu ha3

đ3ù ,3n sau đ4y đưrc th=[ mfn :

N P3 m3 K&y... đ! ‡BK&y...D K8c đenh thì :

‡BK&y...D ≥ m B m hằng sốD B1ˆDN Hn t?3 K=&y= ... sa= ch=:

‡B K=&y=...D J m BˆD

_hú ‰ : CGu chỉ c đ3ù ,3n B1D hay B1ˆD thì chưa c th! n3 gì 9` cTc t5e của một

b3!u th7c chqng h?n& Kt b3!u th7c : I J B KN 1D A B K O /D. @c >$ ta c I ≥ %

nhưng chưa th! ,Gt lu#n đưrc m3nI J % 9ì ,h-ng tn t?3 g38 t5e nà= của K đ! I J % ta

ph[3 g3[3 như sau: I J K O K A 1 A K O )K A * J B K O 'K A (D J BK O D A ≥

I J ⇔ K N J % ⇔ K J

P#y m3nI J ,h3 chỉ ,h3 K J

xx HŠ RHCC &RH}C _I ̂ x„… Hw‹_ _w†I ƒH ^xŒC

1 ]0m thứ) c) h0iJ

Pí >E: _h= tam th7c b#c ha3 J aK A bK A c .

Hìm RHCC của nGu a 〉 %.

Hìm RH}C của nGu a 〈 %

R3[3 : J aK A bK Ac J aB K A0

K D A c J aB K A

0

.D A c N

'

0

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ 1/


14/71


L@t c N0

'

.

J, . = B K A0

.D ≥ % nên :

N CGu a 〉 % thì aB K A0

.D ≥ % & >= đ ≥ ,. 3n J , ,h3 9à chỉ ,h3 K J N

0

.

NCGu a 〈 % thì aB K A 0

. D

Ž≤ % >= đ Ž≤ ,. aK J , ,h3 9à chỉ ,h3 K J N 0

.

$ Đ0 thứ) c) )05 h-n h0iJ

Ha c th! đ]3 b3Gn đ! đưa 9` tam th7c b#c ha3

Pí >E : Hìm RHCC của I J KB KN/DBK O 'DB K O 0D

R3[3 : I J B K N 0KDB K O 0K A 1D

L@t K O 0K A ) J y thì I J B y N )DB y A )D J y N /) ≥ N/)

m3nI J N/) ⇔ y J % ⇔ K

O 0K A ) J % ⇔ K1 J 1& K J ). % KiQu thứ) '( m3t +hBn thứ) J

a h4n th7c c tj là hằng số& mku là tam th7c b#c ha3:

Pí >E : Hìm RHCC của I J *()

x x −− .

R3[3 : I J *()

x x −− . J ()*

+−−

x x J

'D1/B

+−

− x

.

Ha th\y B/K O 1D ≥ % nên B/K O 1D A' ≥ ' >= đ 1

B/ 1D ' x − + ≤ '1

thY= tính ch\t

a ≥ b thì0

1 ≤

1 93 a& b c$ng >\uD. = đ

'D1/B

+−

− x

≥'

− ⇒ I ≥ N.

1

m3nI J N.

1 ⇔ /K O 1 J % ⇔ K J

/

1.

^à3 t#p 8p >Eng:

1. Hìm RH}C của ^H :

1I

K 'K *

=− +

w g3[3:

( )

1 1 1 1I . maK IJ K

K 'K * ( (K (

= = ≤ ⇔ =− + − +

.

. Hìm RH}C của ^H : 1

IK )K 10

=− +

w R3[3:

( )

1 1 1 1I . maK IJ K /

K )K 10 K /

= = ≤ ⇔ =− + − +

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ 1'


15/71


/. B(110D Hìm g38 t5e nho nh\t của b3!u th7c:

/I

K K 0=

+ − + + b h4n th7c c mku là bình phương của nhe th7c.

Pí >E : Hìm RHCC của I J1

)/

+−+−

x x

x x.

R3[3 : _8ch 1 : P3Gt I >ư3 >?ng t]ng ha3 b3!u th7c ,h-ng 4m

I J ( ) ( )

1 ' '

1

x x x x

x x

− + + − +

− + J A

D1B

DB

−−

x

x ≥

m3nI J ,h3 9à ch3 ,h3 K J .

_8ch : L@t K O 1 J y thì K J y A 1 ta c :

I J( ) ( )

/B 1D B 1D ) / ) / ) / 1

1 11 1 1

y y y y y y y

y y y y y y

+ − + + + + − − + − += =

+ + − − ++ − + + J / N

y

.

A .1

y

J B y

1

N1D A

m3nI J ⇔ y J 1 ⇔ K O 1 J 1 ⇔ K J

^à3 t#p 8p >Eng: B^3 >ưng wSR t=8n đ?3 số * H{C Hw| P‘C ICwD

1& B1/%%D Hìm RHCC 9à RH}C của bt:

1

1

x

x x

+=

− +

& B/)1%D Hìm RHCC của bt :

%%)^

x x

x

− +=

/& B '( 1'D Hìm RHCC 9à RH}C của bt:

_

( 0

x

x x=

− +

'& B '0& ' 1(D Hìm RHCC của bt : a&

/

x x

x x

+ +=

+ + b&

1’

' *

x x

x x

+ −=

+ +

c _8c ph4n th7c >?ng ,h8c:

Pí >E : Hìm RHCC 9à RH}C của I J1

'/ +−

x

x

R3[3 L! tìm RHCC & RH}C ta 93Gt tj th7c 9` >?ng bình phương của một số :

I J1

1''

+−−+−

x

x x x J

1

DB

+−

x

x N 1 ≥ N1

3n IJ N1 ,h3 9à chỉ ,h3 K J

Hìm RH}C I J1

1''''

+−−−+

x

x x x J ' N

1

D1B

++

x

x ≤ '

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ 1(


16/71


^à3 t#p 8p >Eng: B^3 >ưng wSR t=8n đ?3 số * H{C Hw| P‘C ICwD

1& B'& '/ 1D Hìm RH}C của bt: a& I x

x=

+ b&

( )

/^

x

x=

+

/& B/(& /) 1D Hìm RHCC của bt: a&

' '

_

x x

x

+ +

= P3 K %+ b&

(

/

x

x

+

= P3 K

%

'& B/'& /) 1D Hìm RHCC của bt: a& /

’ KK

= + 93 K %+ b&/

1“

+=

x

x P3 K %

)& B) ^”x PC H…–—CD Hìm RHCC của bt:( )

10

1

x xj

x

+ +=

+ P3 K %

0& B)* ^”x PC H…–—CD Hìm RHCC của bt:

) /'

{ /

x x

x

+ +

= + P3 K %

& B0% ^”x PC H…–—CD Hìm RHCC của bt:/ %%%

S x

x

+= P3 K %

xxx HŠ RHCC& RH}C _I ^H _˜ ™…IC wš {›CR ^…ƒ_ RxœI _z_ ^xŒC

Pí >E : Hìm RHCC của I J K/ A y/ A Ky b3Gt 5ằng K A y J 1

sj >Eng đ3ù ,3n đf ch= đ! 5út gn b3!u th7c I

I J BK A yDB K OKy AyD A Ky J K O Ky N y A Ky J K A y

LGn đ4y ta c nh3ù c8ch g3[3

_8ch 1: sj >Eng đ3ù ,3n đf ch= làm Ku\t h3n một b3!u th7c c ch7a I

K A y J 1 ⇒ K A Ky A y J 1 B1D

à BK O yD ≥ % way: K N Ky A y ≥ % BD

_ộng B1D 93 BD ta c BK A y D ≥ 1 ⇒ K A y ≥ .

1

m3nI J .1

,h3 9à chỉ ,h3 K J y J .1

_8ch : ^3!u the y thY= K 53 đưa 9` tam th7c b#c ha3 đố3 93 K. Hhay y J K O 1 9à= I

I J K A B1 O KD J BK O KD A1 J BK N.

1D A

.

1 ≥

.

1

m3nI J.

1 ,h3 9à chỉ ,h3 K J y J

.

1

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ 1)


17/71


18/71


D K ' * 1 1 1**' y k x y k+ + − − − +

Hớng 9ln Ha c:

( ) ( ) ( )

1D PH ' ' ' ' 1 1) 1

J KA 1 ' 1 1

x x y y k k

y k

= + + + + + + + + +

+ + + + + ≥

( ) ( ) ( )

D PH J K 1 ' 1 / * 1 ' 1*)

J 1 / / 1*) 1*)

x y y k k

x y k

− + + − + + − + +

− + − + − + ≥

^à3 ': _{: 3n IJ P3 I J ' ( 1% m m+ + m +− + + − +

Hớng 9ln Ha c:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

I J ' ' 1 1% % 0

J .( ( 1

J ( 1

m m+ + + + m +

m + m + +

m + +

− + + − + + − +

− + − + + − +

− + + − + ≥

^à3 (: _{: aK ^ J ' P3 ^ ( ' 1% )0 0 0 = − − − + + −

Hớng 9ln Ha c:

^ ' ' ) * ' 1 '= − + − − + − − + − +0 0 0 ( ) ( ) ( ) J ' N ' ' ) * 1 − + + − + + − + 0 0 0

( ) ( ) ( )

J ' N 1 / − + − + + − 0 0 ( ) ( )

J ' N 1 / ' − + + − ≤ 0

^à3 ): Hìm RHCC của

aD IJa ( ' ( 0 + − − + B Rr3 ‰ ( ) ( )

I J a N b 1 '+ − + D

bD ^ J K / / %* y xy x y+ − − − + B Rr3 ‰ ( ) ( ) ( )

^ J KNy / / %11 y x+ − + − + D

cD _ ' * ' 1 ' /% x y k x y k= + + − + − + B Rr3 ‰ ( ) ( ) ( )

_ J KA / / ' 1 y k+ + + + + D

>D J %K 1 ' ' 1 %1) y xy x y+ − − − + B Rr3 ‰ ( ) ( ) ( )

J 'KN/y 1 / %11 x y+ − + − + D

^à3 0: Hìm c8c số a& b& c& > thoa mfn : ( ) 0 ) 9 0 ) 9 + + + = + + BUD



19/71


Ha c :

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

%

%

' %

' ' ' ' ' ' % %

0 ) 9 0 0 )

0 ) 9 0 ) 9

0 ) 9 0 0) 09

0 ) 9 0 0) 09

0 0 0 0) ) 0 09 9 00 0 ) 0 9 0

+ + + = + +

⇔ + + + − + + =

⇔ + + + − − − =

⇔ + + + − − − =

⇔ − + + − + + − + + =⇔ − + − + − + =

\u ¡J¢ s[y 5a ,h3 : % %0 ) 9 0 ) 9 = = = = ⇔ = = = =

^›x H P£ Cw›:

^à3 1: Hìm c8c số a& b& c& >& Y thoa mfn : ( ) 0 ) 9 0 ) 9 + + + + = + + +

^à3 : Hìm c8c số a& b& c& thoa mfn : 10 0 0 + + = + +

^à3 /: Hìm c8c số a& b& thoa mfn :

' ' ' ' ' ' %0 0 0 + + − + + =^à3 ': Hìm c8c số K& y& Q thoa mfn : ' ) 1' x y k x y k+ + = − + −

^à3 (: Hìm c8c số m& p& thoa mfn : ( ' 1% (m + m+ m ++ = − + +

CD) )ho p 8hi gii (i t5Dn )) trW J

1, Cho p 1: 2h3 tìm ba3 t=8n cTc t5e ta c th! đ]3 b3Gn

Pí >E : Hìm RHCC của B K O 1D A B K O /D

ta đ@t K O J y& b3!u th7c t5 thành By A 1D A By O 1D Jy A≥ ⇒ m3nIJ ⇒ yJ%⇒

KJ

Cho p $& 2h3 tìm cTc t5e của b3!u th7c & nh3ù ,h3 ta thay đ3ù ,3n đ! b3!u th7c này

đ?t cTc t5e b3 đ3ù ,3n tương đương là b3!u th7c ,h8c đ?t cTc t5e

chqng h?n : NI ln nh\t ⇔ I nho nh\t

1

K ln nh\t ⇔ ^ nho nh\t 93 ^ %

Pí >E : Hìm RH}C của'

1B 1D x A x

+=+ B_hú ‰ I % nên I ln nh\t ,h3

1 A

nho nh\t 9à

ngưrc l?3D

Ha c :1

I J

'

' ' '

B 1D 1 1

1 1 1

x x x x

x x x

+ + += = +

+ + +.P#y

1

I ≥ 1

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ 1*


20/71


m3n1

A J 1 ,h3 K J % .= đ maKI J1 ,h3 K J %

/&Cho p % 2h3 tìm RH}C& RHCC của 1 b3!u th7c &ngư¤3 ta thư¤ng sj >Eng c8c ^LH đf

b3Gt

^\t đ¥ng th7c c tính ch\t sau a D a b & c > 93 a& b& c& > % thì a.c b. >

bD a b 9à c % thì a.c b.c

cD a b 9à c d % thì a.c d b.c

>D a b 9à a& b& n % thì an bn

^LH _- s3: a A b ≥ 0 + a A b ≥ ab + Ba A bD≥ 'ab + B a A bD ≥ B aA bD

^\t đqng th7c ^uN nha Ncốp OK,3 : Ba

A b

D B c

A >

D ≥ Bac A b>D

Pí >E _h= K A y J ( . Hìm RH}C của I J K A /y

R3[3 :zp >Eng ^LH ^_S ta c B K A /y D ≤ B A/ D.( ⇒ B K A /y D ≤ 1/.1/.'

⇒ K A /y ≤ ). P#y maKI J ) ⇔ /

/ %

x y

x y

= + ≥

Hhay y J/

x 9à= K A y J ( ta đưrc 'K A *K J (.' ⇒ K J 1) ⇒ KJ' h=@c KJ N'

P3 K J ' thì y J) th=[ mfn K A/y ≥ % K J N' &y J N) ,h-ng th=[ mfn K A/y ≥ %P#y aK I J ) ⇔ K J' & y J )

/ H5=ng c8c b\t đqng th7c cin chú ‰ đGn c8c mnh đ` sau

N CGu số c t]ng ,h-ng đ]3 thì tích của chúng ln nh\t ,h3 số đ bằng nhau

N CGu số >ương c tích ,h-ng đ]3 thì t]ng của chúng nho nh\t ,h3 số đ bang nhau

Pí >E: Hìm RH}C& RHCC của tích Ky& b3Gt K&y C∈ th=[ mfn K A y J %%(

R3[3 : Ha c 'Ky J BK A yD O BK O yD J %%( N BK O yD

Ky ln nh\t ⇔ K O y nho nh\t + Ky nh nh\t ⇔ K O y ln nh\t

g3[ sj K y B ,h-ng th! K[y 5a K J yD = 1 ≤ y ≤ K ≤ %%' nên 1 ≤ KNy ≤ %%/

Ha c m3nBK OyD J 1 ,h3 K J 1%%/ + y J1%% maKBK OyD J %%/ ,h3 K J%%' & y J 1

= đ maKBKyD J 1%%.1%%/ ,h3 K J 1%%/ & y J 1%%

3n B KyD J %%' ,h3 K J %%' & y J 1

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ %


21/71


Thanh Mỹ, ngày 2/ háng ! năm 2012

MỘT SỐ SAI L4M THƯ5NG G6P 7HI GI8I BÀI T9-N C3C TỊ

1, 60i 'Zm 8hi s\ 9ng nhiIu Gt @qng thứ) 8h0) nh0u

P1: ch= K& y là c8c số >ương thoa mfn K Ay J1 . Hìm RHCC của b3!u th7c :

1 'I J

K y+

R3[3 sa3: zp >Eng b\t đqng th7c c- s3 ch= ha3 số ,h-ng 4m1 '

&K y

ta c:1 ' '

K y xy+ ≥ B1D

}?3 c:1

x y xy

+= ≥ B D

H6 B1D 9à BD suy 5a :1 ' ' '

I J 1K

y xy+ ≥ ≥ =

. P#y 3n I J

h4n tích sa3 lim:Lqng th7c s[y 5a B1D ,h3

1 ''

K x y

y= ⇔ =

Lqng th7c s[y 5a BD ,h3 K J y . H6 đ suy 5a K J y J % B }=?3 9ì K A y J 1D

_ b?n đGn đ4y 2} ,h-ng c g38 t5e nho nh\t c;ng là 2} sa3.

R3[3 đúng: Pì K A y J 1 nên ( )1 ' '

I J KAy (K

x y

y y x

+ = + + ÷

zp >Eng b\t đqng th7c _- S3 ch= ha3 số ,h-ng 4m ' & x y y x

Ha c : ' ' . ' x y x y y x y x

+ ≥ =

\u ¡J¢ K¦y 5a ,h3

1' /

1 1

/

x y x y x

y x x y

y x y

== = ⇔ ⇔ + = =+ =

u pJ N2u s\ 9ng nhiIu KĐ] 8hD) nh0u tr5ng 1 (i t5Dn thì t0 +hi 8iQm tr0 xm )hong

)F @`ng thi sy r0 9Gu ằng 8h4ng. CF nh vcy thì hớng gii )/0 (i t5Dn mới @ong.& Sa3 lim ,h3 ,h-ng sj >Eng hGt đ3`u ,3n của bà3 t=8n:

P:ch= K& y là c8c số >ương thoa mfn KAyJ 1. Hìm RHCC của ^H :

1 1

I J KAK

y y

+ + ÷ ÷



22/71


R3[3 sa3: zp >Eng b\t đqng th7c c- s3 ch= ha3 số ,h-ng 4m1

K&K

Ha c:1 1

KA K. K K

≥ =

B1D

zp >Eng b\t đqng th7c c- s3 ch= ha3 số ,h-ng 4m1

y&

y Ha c:

1 1yA y.

y y

≥ =

BD

H6 B1D 9à BD JI ≥ J 3n I J

h4n tích sa3 lim: Lqng th7c s[y 5a B1D ,h3 1

1K

x x= ⇔ =

Lqng th7c s[y 5a BD ,h31 1

y y y= ⇔ = . H6 đ suy 5a K J y J 1 B }=?3 9ì K A y J 1D

R3[3 đúng: zp >Eng b\t đqng th7c c- s3 ch= ha3 số >ương ta c :

K A y 1 1

' xy xy xy≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤

Ha c :

1 1I J ' A K Ay AK y

+ ÷ ÷

. 2h3 đ: K A y J BK A yD O Ky ≥ 1 N1

J

1

B1D

1 1 1

K y K .y xy+ ≥ = ≥ BD. H6 B1D 9à BD JI ≥ A

1

A' J

(

J3n I J

(

,h3 KJy J

1

u pJ hi gii (i t5Dn m( 8h4ng s\ 9ng h2t @iIu 8ien )/0 @Zu (i thì )Zn 8iQm

tr0 'Ri gi thi2t. CF nh vcy thì hớng gii )/0 (i t5Dn mới @ong./& Sa3 lim t5=ng ch7ng m3nh đ3`u ,3n 1:

P1: Hìm RH}C của bt: 1

I J) 10 x x− +

}¤3 g3[3 sa3: I đ?t aK ,h3 ) 10 x x− + đ?t 3n Ha c : ( ) ) 10 / x x x− + = − + ≥

= đ 3n ( ) ) 10 / x x x− + = ⇔ = . P#y aK I J1

/ x⇔ =

h4n tích sa3 lim: 2Gt Zu[ đúng nhưng l#p lu#n sa3 ch ch= 5ằng ¡ I c tj ,h-ng đ]3

nên đ?t RH}C ,h3 mku đ?t RHCC¢ mà chưa đua 5a nh#n Kt tj 9à mku là c8c số >ương



23/71


}¤3 g3[3 đúng: ^] Kung thêm nh#n Kt ( ) ) 10 / x x x− + = − + ≥ nên tj 9à mku của I là

>ương

P:Hìm RHCC cu[ ^H: I J K A y b3Gt K A y J'

Ha c : I J K A y ≥ Ky J I đ?t RHCC

'

x y xy x y x y

+ =⇔ ⇔ = = + =

2h3 đ 3nI J

h4n tích sa3 lim: L8p số ,= sa3 nhưng l#p lu4n sa3 lim ch ta m3 cm đưrc ‡BK&yD ≥

gBK&yD ch7 chưa cm đưrc ‡BK&yD ≥ m 93 m là h§ng số.

_hqng h?n: H6 K ≥ 'K O ' J K đ?t nho nh\t ⇔ K J 'K O ' ⇔ BK O D J % ⇔ K J

L3 đGn m3n K J ' ⇔ K J ¨ th\y ,Gt Zu[ đúng ph[3 là 3n K J % ⇔ K J%

}¤3 g3[3 đúng: Ha c K A y J' ⇔ ( ) K A y J1) B1D

Ha l?3 c : ( ) K N y % K NKyAy %≥ ⇒ ≥ BD

H6 B1D 9à BD J B K A y D 1)≥ J I J K A y ≥

P#y 3n I J ,h3 9à chỉ ,h3 K J y J .

u pJ CZn nm vEng t) )/0 KĐ] ) thQ tr5ng trng h+ s5 sDnh h0i +hBn

số )F t\ v( mlu '( số t nhiên, số nguyên > CF nh vcy thì hớng gii )/0

(i t5Dn mới @ong.'& Sa3 lim t5=ng ch7ng m3nh đ3`u ,3n

P1: Hìm RHCC của bt: I J K A x

}¤3 g3[3 sa3 : K A x J ( )

1 1 1 1 1 1K A K K

' ' ' ' + − = − − ≥ − ÷

. P#y: 3n I J1

'−

tích sa3 lim: sau ,h3 cm ‡BKD ≥1

'− chưa chỉ 5a t5ư¤ng hrp K[y 5a ‡BKDJ

1

'− ⇔

1

x = −

B9- lí D

}¤3 g3[3 đúng: L2HH x là % x ≥ >= đ : I J K A x %≥ J 3n I J % % x⇔ =

P: Hìm RH}C của ( ) ( ) ( )I J KyK QAy yAQ QAK 93 K& y & Q là c8c số ,h-ng 4m 9à K AyA Q

J1



24/71


}¤3 g3[3 sa3: zp >Eng ^LH ( )

' xy x y≤ + ta c :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

'K QAy KAyAQ 1

'y QAK KAyAQ 1

'Q KAy KAyAQ 1

≤ =

≤ =

≤ =

J ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

)'KyK QAy yAQ QAK 1 JKyK QAy yAQ QAK )'≤ ≤ . P#y aK I J

1

)'

h4n tích sa3 lim: Sa3 lim ch chưa ch3 5a ,h[ n¥ng K[y 5a >\u ¡J¢

L2 đ! aK I J1

)'là :

QAy J K

yAK J Q %

KAQ J y K A Q A y J 1

K A Q A y J 1 K& y& Q %

K& y& Q %

x y k

= = = ⇔ ≥

≥

B 9- lí D

}¤3 g3[3 đúng: Ha c : /1 J K AyA Q / K.y.Q≥ B1D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ J K Ay A QAK A yA Q / K Ay QAK yA Q≥ BD

H6 B1D 9à BD J ( ) ( ) ( )/ / . . . K Ay QAK yA Q x y k≥ hay:/

/ / I I*

≥ => ≤ ÷

aK I J/

* ÷

,h3

( ) ( ) ( )K Ay J QAK J yA Q1

1/

& & %

x y k x y k

x y k

+ + = ⇔ = = = ≥

?%: Hìm g38 t5e nho nh\t của :BK aDBK bD

IK

+ += 93 K %& a& b là c8c hằng số >ương.

}¤3 g3[3 sa3: Ha c: ( ) ( ) aK

aK. bK ' ab bK

x 0 x 0 x x

x

+ ≥ ⇒ + + ≥ =+ ≥

= đ:BK aDBK bD 'K ab

I ' abK K

+ += ≥ = 9#y 3n I J ' ab K a b⇔ = =

h4n tích sa3 lim: CGu 0 ≠ thì ,h-ng c: I J ' ab

}¤3 g3[3 đúng : Ha c2

(x a)(x b) x ax+bx+ab abA x (a b)

x x x

+ + + = = = + + + ÷

.

HhY= b\t đqng th7c _auchy :ab

x 2 abx

+ ≥ nên I ab A a A b J ( ) 2

a b+

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ '


25/71


26/71


CD)h 1 : zp >Eng b\t đqng th7c _auchy ch= / số >ương:

/K y Q K y Q

I / . . /y Q K y Q K

= + + ≥ =

= đ K y Q K y Qm3n / K y Qy Q K y Q K + + = ⇔ = = ⇔ = = ÷

CD)h $ : Ha c :K y Q K y y Q y

y Q K y K Q K K

+ + = + + + − ÷ ÷

. Ha đf cK y

y K

+ ≥ B>= K& y %D nên

đ!

ch7ng m3nhK y Q

/y Q K

+ + ≥ ta chỉ cin ch7ng m3nh :y Q y

1Q K K

+ − ≥ B1D

B1D ⇔ Ky A Q O yQ KQ Bnh4n ha3 9G 93 số >ương KQD

⇔ Ky A Q O yQ O KQ % ⇔ yBK O QD O QBK O QD % ⇔ BK O QDBy O QD % BD

BD đúng 93 g3[ th3Gt 5ằng Q là số nho nh\t t5=ng / số K& y& Q& >= đ B1D đúng. H6 đ tìm

đưrc g38 t5e nho nh\t củaK y Q

y Q K+ + .

? &: Hìm g38 t5e ln nh\t của : I J KyQBK A yDBy A QDBQ A KD 93 K& y& Q % + K A y A Q J

1.

zp >Eng ^LH _auchy ch= ba số ,h-ng 4m K& y& Q ta c: 1 J K A y A Q /. / KyQ B1D

zp >Eng ^LH _auchy ch= ba số ,h-ng 4m KAy& y AQ& Q A K ta c :

J BK A yD A By A QD A BQ A KD /. / BK yDBy QDBQ KD+ + +

BD

Ch4n t6ng 9G của B1D 93 BD B>= ha3 9G đ`u ,h-ng 4mD : *. /

I ⇒ I

/

* ÷

maK I J/

* ÷

,h3 9à chỉ ,h3 K J y J Q J1

/.

? 7J Hìm RHCC củaKy yQ QK

IQ K y

= + + 93 K& y& Q % & K A y A Q J 1.

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ )


27/71


[iiJ HhY= b\t đqng th7c _auchy :Ky yQ Ky yQ

. yQ K Q K

+ ≥ = .

Hương tT :yQ QK QK Ky

Q + KK y y Q

+ ≥ + ≥ . Suy 5a I BK A y A QD J .

m3n I J 1 93 K J y J Q J

1

/ .

? LJ Hìm RHCC của 1

I 'KyK y Ky

= + ++ 93 : K %& y %& K A y d 1

Ha c:

( )( )( )

'

1 1 1 1 1 ' . '

1 1 1

x y xy x y xy

x y xy x y xy x y x y

x y xy

+ ≥ ⇒ + ≥ ⇒ + + ≥ = ⇒ + ≥ ÷ + + ≥

Ha c: 1 1 1 1 (

I 'Ky 'Ky

K y Ky K y Ky 'Ky 'Ky

= + + = + + + + ÷ ÷

+ +

J( ) ( ) ( ) ( )

' 1 ( ' ( 11I 'Ky. 11

K Ky y 'Ky K y K y K y K y≥ + + = + + = ≥

+ + + + + +

? MJ : _h=1

x ≥ − & Hìm RH}C của I J K ( A KA/ N K x+ +

[ii : Ha c : ( ) ( )I J K ( A KA/ N K J K 1 A KA/ N K x x+ + + + P31

x ≥ − ta c:

K 1 %

% x

+ ≥ + >

8p >Eng b\t đqng th7c _=s3 ch= số K 1& KA+ Ha c: ( ) ( )K 1 KA

K 1 KA

+ +≥ +

way : ( ) ( )/K /

K 1 KA

+≥ + \u ¡ J ¢ K[y 5a ,h3 K 1 KA KJ1+ = ⇔

8p >Eng b\t đqng th7c _=s3 ch= số K /& '+ Ha c: ( )K / '

' / /

x x+ +

≥ + = +

way :K 0

/

x+

≥ + . \u ¡ J ¢ K[y 5a ,h3 K / ' KJ1+ = ⇔

= đ:K 0

I

+≤ +

/K /

+N K J (. \u ¡ J ¢ K[y 5a ,h3 KJ1

? =J : _h= K& y& Q % 9à K A y A Q J1 Hìm RHCC của:1 ' *

S J x y k

+ +



28/71


Ha c: S J ( )1 ' *

K A y A Q x y k

+ + ÷

J

' ' * *1A'A*A

y x k y x k

x y y k k x

+ + + + + ÷ ÷ ÷

8p >Eng b\t đqng th7c _=s3 ch= số >ương'

& y x

x y ta c :

' ' . '

y x y x

x y x y+ ≥ =

Hương tT ta c : ' * ' * . 1 k y k y y k y k

+ ≥ = + * * . ) x k x k k x k x

+ ≥ =

S ≥ 1 A ' A * A ' A 1 A ) J/)

\u ¡J¢ s[y 5a ,h3 :

'1

' /' *' * 1

/)* 1*

11 1

y x

x y y y x y x k y

k y k x x y k

x k x y k x k

x y k k k x x y k

= = = = = = ⇔ ⇔ = ⇔ =

= + + = = + + = = + + =

P#y 3n S J /) ,h31 1 1

& &/ )

y x k= = =

h4ng +hi 'o) n(5 t0 )ng 9ng tr) ti2+ @) Gt @qng thứ) C4si @ối với )D) số tr5ng

@I (i. ?ới @By t0 sw nghiên )ứu m3t số ien +hD+ i2n @Pi m3t iQu thứ) @Q )F thê vBn

9ng KĐ] C4Osi r`i tìm )) trW )/0 nFJ

Kien +hD+ 1J ĐQ tìm )) trW )/0 m3t iQu thứ) t0 tìm )) trW )/0 ình +h-ng iQu thứ)

@F

?1 : Hìm g38 t5e ln nh\t của I / ( 0 / x x= − + − & L2©L :/ ( % ( 0

0 / % / /

x x

x

− ≥⇔ ≤ ≤ − ≥

^ình phương ha3 9G ta c : I J A ( ) ( ) / ( 0 / x x− −

P3( 0

/ / x≤ ≤ . 8p >Eng b\t đqng th7c c-s3 ch= ( )/ ( x − 9à ( )0 / x− ta c:

( ) ( ) ( ) ( )/ ( 0 / / ( 0 / x x x x− + − ≥ − − hay ( ) ( ) / ( 0 / x x≥ − −

I ≤ ' JI ≤ \u ¡J¢ K[y 5a ,h3 : /K N ( J 0 N /K hay K J

?$J Hìm RHCC của b3!u th7c: I J NK NK x x+ + − + + BUD



29/71


L2©L :( ) ( )

( ) ( )

' %NK % '1

1 1 %NK %

x x x x x

x x x x

+ − ≤ + + ≥ − ≤ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − ≤ ≤+ − ≤+ + ≥

2h3 đ ( ) NK NK ) % x x x+ + − + + = + > J I %

H6 BUD J ( ) ( )

I J NK NK NK . NK x x x x+ + + + + − + + + +

( ) ( ) ( ) ( )J NK / 1% ' 1 x x x x x+ + − + − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )J 1 ' . 1 ' x x x x x x x x− + + + − + − − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

J ' . 1 ' 1 ' x x x x x x x− − − + + − + + − +

( ) ( )( )

' 1 ' x x x= − − + − + ≥

I J ( ) ( )' 1 ' % x x x x⇔ − = + − ⇔ =

^›x H Hž }…–šC B ^H n4ng ca= 9à một số chuyên đ` ^$3 9¥n Huyên D

^à3 1 Hìm RHCC& RH}C của hàm số : 1 1 y x x= − + +

^à3 : Hìm RH}C của hàm số : ' y x x= − + −

^à3 /: Hìm RH}C của hàm số : I ( / x x= − + −

^à3 ': Hìm RH}C của hàm số : I / / x x= − + −^à3 (: Hìm RH}C của hàm số : I ( 0 10 ( x x= − + −

^à3 ): Hìm RH}C của hàm số : I / % / x x= − + −

^à3 0:Hìm RH}C của : I K 1 y = − + − b3Gt K A y J '

^à3 Hìm RHCC của : I J NK ' 1 NK / 1% x x+ + − + +

^à3 *B 0)*D Hìm RHCC của :K y Q

I Jy Q K

+ + 93 K& y& Q >ương 9à K A y A Q ≥ 1

^à3 1%: B )( D Hìm RH}C& RHCC của : I K ' y /= − + − b3Gt K A y J 1(

Kien +hD+ $J nhBn v( )hi0 m3t iQu thứ) với )ng m3t số 8hD) 8h4ng.

? Hìm g38 t5e ln nh\t của b3!u th7c:K N *

I J(K

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ *


30/71


R3[3: L2©L: * x ≥ Ha c:K N *

I J(K

J1 K N *K N * /./

1 // )(K ( ( /%

x

x x

+ ÷ ≤ = =

\u ¡J¢ K[y 5a ,h3K N *

/1/

*

x

x

= ⇔ =

≥

^›x H Hž }…–šC

K(i 1J Hìm g38 t5e ln nh\t của b3!u th7c: 0K N (I J0KN*

K(i $J Hìm g38 t5e ln nh\t của b3!u th7c:/

/

K N *^ J

0K

Kien +hD+ %J Ki2n @Pi iQu thứ) 9: )h5 th(nh tPng )/0 )D) iQu thứ) s05 )h5 t*)h )/0

)hong '( m3t hằng sốJ

1# ]D)h 1 hRng t\ th(nh tPng nhiIu hRng t\ ằng nh0u

?1: ch= K % Hìm RHCC của b3!u th7c:'

/

/K 1)I J

x

+

[ii : Ha c'

/ / /

/K 1) 1) 1)I J / x x x x

x x x

+= + = + + +

zp >Eng ^LH _-Ns3 Ha c : '/ /1) 1)

I J KAKAKA ' . . . '. K K x x x≥ = =

P#y 3n I J /1)

x x x

⇔ = ⇔ =

?$: B đ` th3 LwHw wà Cộ3 1**/D Hìm aK 9à 3n I J K yB ' N K N y D 93

& % 9à K A y ) x y ≥ ≤

©t % ' x y≤ + ≤ Ha c :

'K

AyA ' N K N yK I J '. . .yB ' N K N y D '. ' '

x x

+ ÷ ≤ = ÷ ÷ ÷

\u ¡J¢ K¦y 5a ,h3K

J y J ' N K N y y J 1 + K J

⇔

©t ' ) x y≤ + ≤

{¨ th\y: ' O K N y ≤ − B 1D \u ªJˆ K[y 5a ,h3 K A y J )

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ /%


31/71


J I J K yB ' N K N y D đ?t RHCC ,h3 Ky đ?tRH}C

Ha c :( )

//

KAyKAKAy/K.K.y /

K y J

÷ ÷ ≤ ≤

J/ hay Ky ≤ / BD

H6 B1D 9à BD J K yB ' N K N y D ≥ N)' \u ªJˆ K[y 5a ,h3 ) '

x y x x y y

+ = = ⇔ = =

P/ . Hìm RH}C của I J KB/ O KD b3Gt K /.

R3[3 : ©t % K /. P3Gt I >ư3 >?ng : I J '.x

2.x

2.B/ O KD. zp >Eng b\t đqng th7c

_auchy ch= / số ,h-ng 4mx

2&x

2& B/ O KD ta đưrc :

x

2.x

2.B/ O KD

3

x x3 x

2 2 13

+ + − ÷= ÷

÷

.

= đ I ' B1D^›x H Hž }…–šC B ^H n4ng ca= 9à một số chuyên đ` ^$3 9¥n Huyên D

^à3 1B 01D _h= K % & y % 9à K A y ≥ ) Hìm RHCC của1 1)

( / x y x y

= + + +

^à3 B 0%D _h= K % & Hìm RHCC của/ %%%

C x

x

+=

^à3 /B ) D _h= K ≥ & Hìm RHCC của 10

™

B 1D

x x

x

+ +=

+

^à3 'B )* D Hìm RHCC của) /'

/

x x

x

+ +=

+

^à3 (B 0 *D _h= K y 9à K.y J( & Hìm RHCC của 1&

™ x xy y

x y

+ +=−

^à3 )B 0* *D _h= K &y thoa mfn b3!u th7c: K A y J1 9à K % & Hìm RH}C của /^ x y=

$# ]D)h 1 hRng t\ )hứ0 i2n th(nh tPng )/0 m3t hằng số với 1 hRng t\ )hứ0 i2n

s05 )h5 hRng t\ n(y '( nghW)h @5 )/0 1 hRng t\ 8hD) )F tr5ng iQu thứ) @: )h5.

?1J _h= % d K d & Hìm RHCC của*

^

x

x x= +

−

Ha c :* *

^ 1 1 . 0

x x x x

x x x x

− −= + + ≥ + =

− −

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ /1


32/71


3n ^J 0 ⇔* 1

x x x

x x

−= ⇔ =

−

^›x H Hž }…–šC B ^H n4ng ca= 9à một số chuyên đ` ^$3 9¥n HuyGn D

^à3 1B 0' *D _h= % d K d1& Hìm RH}C của/ '

^1 x x

= +−

^à3 B 0/ *D _h= K 1& Hìm RH}C của(

I '1

x x

= ++

^à3 /: _h= K %& Hìm RHCC của b3!u th7c:K ) (

I JK

x− +

^à3 ': Hìm RHCC của b3!u th7c: K N '^ JK

^à3 (: Hìm RHCC của b3!u th7c:

K / 'I J

K

x− +

B^3 >ưng wSR t=8n đ?3 số * H{C Hw| P‘C ICwD

^à3 ): Hìm RHCC của b3!u th7c:1 /

I JKA1

x+ B 93 K N1 D

^à3 0: Hìm RHCC của b3!u th7c:

^ JKN1

x+ B 93 K 1 D

^à3 : Hìm RHCC của b3!u th7c:(

_ JKN1 /

x+ B 93 K 1

D

^à3 *: Hìm RHCC của b3!u th7c:(

J1 N K

x

x+ B 93 % d K d 1 D

Kien +hD+ &J ]hêm 1 hRng t\ v(5 iQu thứ) @: )h5J

P1 : _h= / số >ương K& y& Q thoa mfn đ3`u ,3n K A y A Q J Hìm RHCC của b3!u

th7c:

x y k

y k k x y x= + +

+ + +

Ha c : x

y k+A

'

y k+≥

. .'

x y k x x

y k

+= =

+

y

x k+A

'

x k+≥

. .'

y x k y y

x k

+= =

+



33/71


k

y x+A

'

y x+≥

. .'

k y x k k

y x

+= =

+

J

' ' '

x y k y k x k y x x y k

y k k x y x

+ + ++ + + + + ≥ + + ÷+ + +

way:

x y k x y k x y k

y k k x y x + ++ + + ≥ + + ÷+ + +

J

1

x y k x y k x y k x y k

y k k x y x

+ + + += + + ≥ + + − ≥ =

+ + +

P#y 3n J 1 ⇔

'

' /

'

x y k

y k

y x k x y k

x k k y x

y x

+= +

+ = ⇔ = = =

+ += +

}ưu ‰: CGu ta lin lưrt thêm B K A yD& B Q A yD& B K A QD 9à= Q K y

& &yAK yAQ QAK

ta 9kn ,hj

đưrc BK A yD& B Q A yD& B K A QD nhưng ,h-ng tìm đưrc K& y& Q đ! >\u >\u đqng th7c K[y

5a đng th¤3. 2h3 đ ,h-ng tìm đưrc g38 t5e nho nh\t.

?$ : Hìm RHCC của I J K A y b3Gt K& y % thoa mfn a b 1K y

+ = Ba 9à b là hằng số

>ươngD.

[ii . CD)h 1 : I J K A y J 1.BK A yD J ( )a b ay bK

K y a bK y K y

+ + = + + + ÷

.

HhY= b\t đqng th7c _auchy 93 số >ương :ay bK ay bK

. abK y K y

+ ≥ = .

= đ ( )

I a b ab a b≥ + + = + .

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ //


34/71


( )

m3n I a b= + 93

ay bK

K yK a aba b

1K y y b abK& y %

=

= + + = ⇔ = +

>

CD)h $ : $ng b\t đqng th7c ̂ unh3ac-pK,3 :

( )

a b a bI BK yD.1 BK yD K. y. a b

K y K y

= + = + + ≥ + = + ÷ ÷

.

H6 đ tìm đưrc g38 t5e nho nh\t của I.

?% Hìm RHCC của K y Q

IK y y Q Q K

= + ++ + +

b3Gt K& y& Q % & Ky yQ QK 1+ + = .

[ii HhY= P1 ̂ xšC wz ': K y Q K y Q

K y y Q Q K

+ ++ + ≥

+ + +. HhY= b\t đqng th7c

_auchy

K y y Q Q KKy + yQ + QK nên K y Q Ky yQ QK

+ + +≥ ≥ ≥ + + ≥ + + .

Ky yQ QKKAyAQ 1

hay

+ +

≥ =

m3n I J1

1K y Q

/⇔ = = = .

VẬN D:NG BDT I ^ IA^+ ≥ Đ1 T,M C3C TỊ

K(i 1: Hìm RHCC của hàm số : 1 1 y x x x x= + + + − +

CD)h 1: 1 1 1 1 y x x x x x x= + + + − + = + + −

CGu: K d N1 thì 1 1 1 1 y x x x x x= + + − = − − − + = − >

CGu: N1 K 1≤ ≤ thì 1 1 1 1 y x x x x= + + − = + − + =

CGu: K 1 thì 1 1 1 1 y x x x x x= + + − = + + − = >

P#y y nho nh\t bằng ,h3 N1 K 1≤ ≤

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ /'


35/71


CD)h $ : 8p >Eng ^LH 0 0 + ≥ + B \u ¡J¢ s[y 5a ,h3 a.b %≥ D

Ha c : 1 1 1 1 y x x x x= + + − ≥ + + − =

P#y y nho nh\t bằng ,h3 N1 K 1≤ ≤

K(i $: _h= K& y % 9à K A Ky J ' . Hìm RH}C của I J K

yCD)h 1: H6 K A Ky J ' J Ky J ' NK HhG 9à= I ta c :

I J KB' NK D J O ( ) ( )

. x x − + J ( )

x− −

J aK I J ,h31 %

'

x x

y x xy

=− = ⇔ =+ =

CD)h $: Ha c : I J1

. .

x xy . Pì K& y % J K& Ky %. 8p >Eng b\t đqng th7c _=s3 ch=

số K& Ky ta c:( )

. .

'.

x xy x xy x xy x xy x xy x y

++ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ÷

Hhay số ta c :

x y≥ JI

P#y aK I J ,h3 1

'

x xy x

x xy y

= = ⇔ + = =

^›x H Hž }…–—C H‹ŸCR Hž:

^à3 1: Hìm RHCC của wS: a& ' ' 1 ' 1 * y x x x x= − + + − + b&

' ' ) * y x x x x= + + + − +

^à3 : Hìm RHCC của wS: a& ' % ( 1) y x x x x= + + + − + b&

( % ' ( /% * y x x x x= − + + − +

^à3 / Hìm g38 t5e nho nh\t của I K K 1 K K 1= − − + + −

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ /(


36/71

'

'

'

'

'

'

'

/ 1: D

1

/ 1

B 1D

1

B 1D

B 1D

B 1D

B 1 DB 1 D

B 1DB 1D

B 1D

B 1D

0 0CBu

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

− +− − −

− += − + +

− + −=− +

− −=− +

− + − −=+ + − −

+ −

= + +


_huyên đ` 1:=T G>N PH?N THỨC ĐẠI SỐ

I @ PE FF E:N h4n tích tj 9à mku thành nh4n tj BnGu cD đ! tìm nh4n tj chung.N _h3a c[ tj 9à mku ch= nh4n tj chung.

II @ C JKE à OE EF(1-Ruùt goïn phaân thöùc.

B D1: D

' '

B DB D

B D

B D

B D

x 0 xCBu 0

0 x 0x

x 0 x x 0 x

0 x

0 x 0

x 0

0

x 0

+ −+ +

+ − + +

= ++

=+

=+

+$: c

/

/

(

* 1 '

B ' D B D

B ' D B( 1% D B 'D

B D B D

B D ( B D B D

B DB 1D

B DB ( D

B 1D

B 1DB D

1

y y

y y y

y y y

y y y y y

y y y

y y y y y

y y

y y y

y

y y

y

+ ++ + +

+ + +=+ + + + +

+ + +=+ + + + ++ +

= + + ++=

+ +

=+

&i: y ≠ N 9à y ≠ N1

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ /)


37/71


38/71

/

/

)

'

B )D

B 'D

/ )

B DB D

B D /B DB DB D

/

x x x

x x

x x x

x x

x x x

x x

x x x x x

x

x

+ −−

+ −=−

− + −=+ −

− + −= + −+=+


+$2: c +h4ng minh (?ng n@$1 1 1 1

x y k x y k+ + =

+ + hA (ong 6a 8 =, y, C

nhE cFng c myJ B DB DB D % x y y k x k + + + =]*)h 0 nhBn t\ ằng )hứng t rằng *t nhGt +hi )F m3t nhBn t\ ằng , tb @F suy r0 *t nhGt )F m3t )z+ @ối nh0u.

#Q T E U.+$3 : a Tnh giá (J cKa 7hn h4c + L

/

/

)

'

x x x

x x

+ −−

#i = L 200

Gi5i : C =

P3 K J %% thì _ J%11

%1%



39/71


40/71


41/71

'

'

:

.

.

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0

0

+ + − ÷ ÷− + −

− + − − −= ÷ ÷− + + − −

=− +

−=

+


62 &i = L 200I

J%% 1

))*/

−=

63 d % ,h3 K O 1 d % t7c là K d 1. 2Gt hrp 93 đ3`u ,3n.

&>y: nh#n g38 t5e 4m 93 m3 K d 1 t56 c8c g38 t5e %& N1&1

.

6P nh#n g38 t5e nguyên ,h3 BKN1D / hay K N1 J /, B, ∈MD&>y: K J /, A1 B, ∈MD

+$/: a ' gọn 6iQ$ h4c 8a$:

M L

:

0 0 0 0 0

0 0 0

+ + − ÷ ÷− + −

Gi5i: J

+$/: 6 +h4ng O:

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ '1


42/71


1 /

1

0 0

0

+ +≤

+ & 0 {∀ ∈

Gi5i:Ha c: ( )

1 % 1 0 0 0− ≥ ⇔ + ≥ B1D

_h3a c[ ha3 9G của B1D ch= BaA1D& ta đưrc:

1

1

0

0≥

+

= đ: 1

1 1 1

0

0+ ≥ +

+

/ 1

1

0 0

0

+ +⇔ ≥

+

P#y:

1 /

1

0 0

0

+ +≤

+ & 0 {∀ ∈

+$/: c Tnh giá (J cKa 6iQ$ h4c 8a$:/

x 0 x 0 j

x x 0

− − + = − ÷− + − #i

0 x

+=

Gi5i:

&i

0 x

+= , a c:

0 0 x 0 0

+ −− = − =

0 0 x

+ −− = − =

. 1

x 0 0

x 0

− −⇒ = = −

− −Ta WVi c:

/ / /B D

0 0 0 x 0 0

+ − −− + = − + = =

/ / /B D

0 0 0 x 0 0

+ − −+ − = + − = =

/B D . 1

/B D

x 0 0

x 0 0

− + −⇒ = = −+ − −

&>y: ™ J BN1D/NBN1D J N1A1 J %+$Z: a ' gọn 6iQ$ h4c 8a$:

R L1 1 1

B DB D B DB D B DB D0 0 ) ) 0 ) 0 ) + +

− − − − − −&i a, 6, c i m


43/71

1 1 1

B DB D B DB D B DB D

1 1 1

B DB D B DB D B DB D

B D B D B DB DB DB D

B DB DB D

%

0 0 ) ) 0 ) 0 )

0 ) 0 ) 0 ) 0 )

) ) 0 0 0 ) ) 0

) ) 0 0

0 ) ) 0

+ +− − − − − −

− − −= + +− − − − − −

− − − − − −= − − −− + − + − +=

− − −=

B DB D

'.B DB DB D

B DB DB D'. '

B DB DB D

0 ) ) 0 )0

0 ) ) 0

0 ) ) 0

0 ) ) 0

− − − += − − −

− − −= =

− − −


Gi5i: R L

Ba& b& c đ-3 một ,h8c nhauD

+$Z: 6 +h4ng minh (?ng 6iQ$ h4c 8a$ hng 7h; h$


44/71


B a& b& c đ-3 một ,h8c nhau D

+$Z: c Tnh giá (J cKa 6iQ$ h4c 8a$:

x 0 x

x 0 x

+ += +

− − #i

'0 x

0 =

+

Gi5i:

B DB D B DB D

B DB D

' 'B D '

B ' D

B D '

x 0 x

x 0 x x 0 x x 0 x

x 0 x

x x 0x 0 x x 0x 0 x 0 x 0

x 0

x 0 x 0

+ += +

− −+ − + − +

=− −

− + − + + − −=− + +

−=

− + +

Hhay'0

x0

=+

9à= [ ta c:

1) '

B D

1) '

B D

1) '

B D

1)'

B D

0 0

0

0 0 0

0

0 0

0

0 0

0

− + =− +

+

− + =

− +

=

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ ''


45/71


_w…–—C L£ :

PHƯƠNG T,NHC] CHỨA DẤ2 GI- TỊ T2^_T ĐỐI

1D Ch§c l?3 g38 t5e tuyt đố3:K ,h3 K %K

NK ,h3 K d %

≥=

Pí >E:aD + 1% 1%

KA1 ,h3 KA1 % bD KA1

NBKA1D ,h3 KA1d%

= − =

≥=

D R3[3 phương t5ình: IBKD b Bb %D&= ≥ IBKD ^BKD=

aD _8ch g3[3 phương t5ình: IBKD b Bb %D&= ≥

IBKD bIBKD b

IBKD b

== ⇔

= −Pí >E:R3[3 phương t5ình: /KA1 (=

R3[3

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ '(


46/71


47/71


KA1 NKN1 % KA1 KA1

KN1 NKA1 NKA1 % KN1

KA1 A KN1 NK K

^-$c : R3a®3 ca$c ph-ng t5ình thY= ca$c ,h=a®ng

•KdN1: NKJ1% ⇔ KJN( th=[ đ, KdN1

• 1 K 1:J1%− ≤ ≤ P- ngh3m• ©1: KJ1% ⇔ KJ( th=f đ, K1P#y phương t5ình c ngh3m KJ( 9à KJN(_8ch g3[3 : Lưa 9` ' t5ư¤ng hrp sau

Hw1:IBKD %

^BKD %

≥ ≥

ta g3[3 phương t5ình IBKD A ^BKD Jb

Hw :IBKD %

^BKDd%

≥

Ha g3[3 phương t5ình IBKD O ^BKD Jb

Hw /:IBKDd%

^BKD %

≥

Ha g3[3 phương t5ình O IBKD A ^BKD J b

Hw ':IBKDd%

^BKDd%

Ha g3a3 phương t5ình sau OIBKD O ^BKD J b

Pí >E: R3[3 phương t5ình : KA1 KN1 1%+ = BUDR3[3

Hw1:KA1 % K 1

1KN1 % K 1

x≥ ≥ −

⇔ ⇒ ≥ ≥ ≥

hương t5ìnhBUD tương đương 93 phương t5ình KA1AKN1J1% ⇔ KJ( th=fK 1≥

Hw :KA1 % K N1

1 Kd1KN1d% Kd1

≥ ≥ ⇔ ⇔ − ≤

BUD KA1NKA1J1% J1%⇔ ⇔ P- ngh3m

Hw /:KA1d% KdN1

KN1 % K 1

⇔ ≥ ≥

: 2h-ng Kfy 5a

Hw ':KA1d% KdN1

KdN1KN1d% Kd1

⇔ ⇒

BUD BKA1DNBKN1DJ1% KJ1% KJN(⇔ − ⇔ − ⇔ th=f đ, KdN1

P#y phương t5ình c ngh3m: KJ( 9à KJN(Pí >E : R3[3 phương t5ình: K KN1 %− + = B1D

R3[3 }#p b[ng ph8 >\u:

K % 1

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ '0


48/71


49/71


b tg° Jα

α

c=s

s3n c

α

α α

s3n

c=sc=t = g

>α

α α

1s3n

tg

tg

+= Y

α

α

1

1c=s

tg +=

‡ tg° . c=tg° J 1 , α α

c=t1

s3n

1 g +=

l α α

1

c=s

1 tg += & . . . . . . B _ c8c h th7c niyD

' w th7c g3"a c8c c?nh 9à gc của một tam g38c 9u-ng. B t6 đenh ngh¯a suy 5aD. ( R3[3 tam g38c 9u-ng. ) †ng >Eng thTc tG tỉ số }R của gc nhn. B L= ch3`u ca=& đ= ,h=[ng c8ch& đ= >3ntíchD 0 P3Gt đưrc tỉ số }R c8c gc đ@c b3t B %=. /%=& '(=& )%=& *%=X D Sj >Eng th?= m8y tính bo tú3 tìm tỉ số }R gc nhn& tìm gc nhn ,h3 b3Gt tỉ số }Rcủa nX

* 2h83 n3m đư¤ng t5n lưrng g38c đ! l3ên h& nh#n b3Gt s4u s§c hơn 9` tỉ số }R gcnhn.B g33 h?n phin tư th7 nh\tD

".7j kE l Um( ^3Gt c8ch l#p c8c tỉ số lưrng g38c của gc nhn một c8ch thành th?=. Sj >Eng thànhth?= b[ng lưrng g38c h=@c m8y tính bo tú3 đ! tính c8c tỉ số lưrng g38c h=@c tính gc.^3Gt 9#n >Eng l3nh h=?t c8c h th7c t5=ng tam g38c 9u-ng đ! tính một số yGu tố h=@c đ!g3[3 tam g38c 9u-ng N Tng một gc nhn N _h7ng m3nh c8c đqng th7c N {út gn b3!uth7c N Hính ,h=[ng c8ch N Hính ch3`u ca= N Hính >3n tích tam g38c NHính độ >à3 đ=?nthqng X

II.C JKE à nE [(oTUp Eq r s taW\

DKE !( _h7ng m3nh c8c hằng đqng th7c:aD Bs3nK A c=sKD J 1 A s3nK.c=sK

bD Bs3nK O c=sKD J 1 O s3nK.c=sK cD s3n'K A c=s'K J 1 O s3nK c=sK

>D s3nKc=sKB1 A tgKDB1 A c=tgKD J 1 A s3nK . c=sK . YD _h= ∝ là gc nhn của một tam g38c 9u-ng. _h7ng m3nh c8c h th7c:

3D s3n ° J +1

α α

tg tg + 33D c=s ° J α 1

1

tg +

DKE "( Tng một gc nhn b3Gt tỉ số }R của n. Tng gc nhn °& b3Gt 5ằng:

s3n° J.

1+ c=s° J %& + tg° J 1.

DKE #( L]3 c8c tỉ số }R của gc nhn thành tỉ số }R của gc nho hơn '(= .

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ '*


50/71


51/71


52/71


= đ: s3n1%= A s3n%= A s3n/%= A s3n%= A s3n0%= A s3n)%= J X J /D s3n)K A /s3n'K.c=sK A /s3nK.c=s'K A c=s)K/D B1 A c=s°DB1 O c=s°D O s3n°. . . .

'D Lơn g3[n c8c b3!u th7c:I J c=sy A s3ny . tgy

^ Jc=s1+

.c=s1−

_ J 0tg 0 .1s3n + (D Hính:

aD c=s 1= A c=s 0= A c=s 1= A c=s *= bD s3n /= A s3n 1(= A s3n 0(= A s3n 0= .

)D Lơn g3[n b3!u th7c: I J s3nB*%= O KDs3nB1%= O KD ^ J c=sB*%= O KDc=sB1%= O KD

DKE *( ^à3 t=8n cTc t5e

_h= tam g38c I^_ c ha3 đư¤ng t5ung tuyGn ^ 9à _’ 9u-ng gc nhau. Hìm g38t5e nho nh\t

của t]ngtgC tgK

11+ .

DKE !+( R3[3 c8c tam g38c 9u-ng _& b3Gt 5ằng: aD b J 1%cm& A J /%= + bD c J %cm& B J /(= + cD a J 1cm& b J 1cm+ >D a J cm& A J '= .

DKE !!( Hính ,h=[ng c8ch N Hính ch3`u ca= N Hính >3n tích tam g38c N Hính độ >à3đ=?n thqng N _ m c8c h th7c t5=ng tam g38cX. :^ằng c8ch 8p >Eng tỉ số }R gc nhn.

BT !: _h= tam g38c I^_ c I^ J )cm& I_ J (cm& đư¤ng ca= Iw J 'cm. Hínhc?nh ^_.

BT ": _h= tam g38c I^_ c4n BI^ J I_D 9à đư¤ng t5n t4m ² t3Gp Kúc 93 ha3 c?nhI^ 9à

I_ lin lưrt ^ 9à _. H6 đ3!m t5ên cung nho ^_ B ,h8c ^ 9à _D ,F& ’& “

lin lưrt 9u-ng gc 93 c8c đư¤ng thqng ^_& _I& I .̂ 1 _h7ng m3nh c8c t7 g38c ^“& ^_’ nộ3 t3Gp. _h7ng m3nh c8c tam g38c ^ 9à ’_ đng >?ng.

/ _h= gc ^A_ J )%=

9à I^ J & tính b8n ,ính đư¤ng t5n t4m ². BT #:ột c=n s-ng 5ộng (%m. ột ch3Gc đ ch³= 9u-ng gc 93 >ng nưc& 9ì nưc ch[ynên bơ3 /%m m3 sang đưrc t3 b¤ bên ,3a. wo3 >ng nưc đf g3?t ch3Gc đ lch đ3 mộtgc bằng ba= nh3êu.

BT $:aD _h= tam g38c I^_ c A nhn. _h7ng m3nh 5ằng:



53/71


bD SI^_ J .s3n..

1 A AC AK Rr3 ‰ : P´ ^w là đư¤ng ca= của tam g38c

I^_.

^w J I^s3n^Iw+ SI^_ J.

1^w.I_.

cD _h= t7 g38c I^_ c I_ c§t ^ t?3 ² 9à IO^ nhn.

_h7ng m3nh 5ằng: SI^_ J.1 I_.^.s3n IO^.

BT %(_h= đ3!m I nằm bên t5=ng >fy t?= b3 ha3 đư¤ng thqng s=ng s=ng > 9à m lin lưrt

t?3 ^ 9à _.©8c đenh 9e t5í của ^ 9à _. ©8c đenh 9e t5í của ^ 9à _ đ! >3n tích tam g38c I^_

nho nh\t.

BT &(_h= tam g38c I^_ 9u-ng t?3 I& đư¤ng ph4n g38c I. _h7ng m3nh 5ằng:

aD A? AC AK

11=+ bD

111

A? AC AK≤+ .

BT '(_h= hình thang I^_ c ha3 c?nh bên là I 9à ^_ bằng nhau& đư¤ng ch= I_

9u-ng gc 93 c?nh bên ^_. ^3Gt I J (a& I_ J 1a.

aD Hính K K

K K

c=ss3n

c=ss3n

−+

bD Hính ch3`u ca= của hình thang I^_.

BT )(_h= tam g38c I^_. ^3Gt I^ J 1cm& I_ J cm& ^_ J /(cm.

aD _h7ng m3nh tam g38c I^_ 9u-ng+ bD Hính s3n^& s3n_.

BT *( _h= hình thang I^_. ^3Gt đ8y I^ J a 9à _ J a + c?nh bên I J a& gc A J

*%= aD _h7ng m3nh tg_ J 1 +

bD Hính tỉ số >3n tích tam g38c ^_ 9à >3n tích hình thang I^_ + cD Hính tỉ số >3n tích tam g38c I^_ 9à >3n tích tam g38c ^_.

BT !+(

R3 I& ^C& _} là ba đư¤ng ca= của tam g38c I^_. aD _h7ng m3nh: ∆ IC} µ ∆ I^_ +

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ (/


54/71


bD _h7ng m3nh: IC.^}._ J I^.^_._I.c=sIc=s^c=s_.

III.Tà tqa [ v(1 R3úp Ym g3o3 wình hc lp * của Cguy¨n L7c H\n O P± H\t }ộc. S8ch g38= ,h=a wình hc }p 1% O ©u\t b[n n¥m %%%.

/ wình hc lp * n4ng ca= của P; w"u ^ình.

CaXb cd !+ :

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ ('


55/71


BÀI T9-N D3NG H,NH C3 đGn >Tng hình ph[3 nh là >Tng bằng thưc 9à c=mpa.Ha đf hc nh"ng php >Tng hình cơ b[n sau: Tng một đ=?n thqng bằng một đ=?n thqng ch= t5ưc.

Tng một gc bằng một gc ch= t5ưc. Tng đư¤ng t5ung t5Tc của một đ=?n thqng ch= t5ưc &>Tng t5ung đ3!m củamột đ=?n thqng ch= t5ưc.

Tng t3a ph4n g38c của một gc ch= t5ưc . ™ua một đ3!m ch= t5ưc &>Tng một đư¤ng thqng 9u-ng gc 93 một đư¤ng

thqng ch= t5ưc . ™ua một đ3!m nằm ng=à3 đư¤ng thqng ch= t5ưc &>Tng đư¤ng thqng s=ng

s=ng 93 đư¤ng thqng \y .Ha đf 9#n >Eng c8c php >Tng hình cơ b[n đ! >Tng tam g38c b3Gt ba c?nh &h=@c

b3Gt ha3 c?nh 9à gc KYn g3"a&h=@c b3Gt một c?nh 9à gc ,`.H5=ng c8c bà3 t=8n >Tng hình ph7c t?p hơn&ta ph[3 tu4n thủ c8c bưc của phương ph8p >Tng hình như sau:

− Bw !:h4n tích hình.− Bw ": Tng hình.− Bw #(_h7ng m3nh c8ch >Tng t5ên th=[ mfn yêu ciu của đ` t=8n.− Bw $:^3n lu#n: ©Ym l?3 t6ng php >Tng đf thTc h3n đ! KYm c đ3`u ,3n 5àng

buộc ,h-ng.H6 đ suy 5a bà3 t=8n c m\y ngh3m hình.

T Jg !:Tng tam g38c I^_ &b3Gt c?nh ^_ J a &t5ung tuyGn I J m Ba 9à m lành"ng độ >à3 ch= t5ưc D 9à gc α g3"a I 9à đư¤ng ca= Iw.

1. Pn :R3[ sj bà3 t=8n đf g3[3 K=ng&9à ta đf >Tng đưrc tam g38c I^_ th=[mfn yêu ciu của đ` t=8n .h4n tích hình đ thY= hưng ph8t h3n một bộ ph#n củahình hộ3 đủ c8c đ3`u ,3n đ! >Tng đưrc một c8ch chính K8c.L là tam g38c 9u-ngIw c c?nh huy`n I J m&9à · HA| J α ch= t5ưc.Ham g38c đ h=àn t=àn K8cđenh nên >Tng đưrc. Sau ,h3 >Tng K=ng tam g38c 9u-ng Iw &ta h=àn t\t hình

ph[3 >Tng chqng ,h ,h¥n gì.P#y ta c c8ch >Tng như sau :". C JsE(

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ ((


56/71


57/71


tuyGn _I của tam g38c I_ 9à ,= >à3 thêm một đ=?n ^ J_ &t6 đ K8c đenhđỉnh ^ của tam g38c I^_ cin >Tng .

/. CRE :HhY= c8ch >Tng này &5± 5àng tam g38c I^ 9à tam g38c _ bằng

nhauBc&g&cD.H6 đ I J

A?J m & µ A 1J µ ? J α & µ A J β ._h= nên &tam g38c I^_

>Tng đưrc th=[ mfn điy đủ c8c yêu ciu đ` bà3 .'. Bq taW (H5ên đ4y ta n3 ha3 c?nh I_ 9à _ g3a= nhau t?3 _.HhTc 5a là chúng

chỉ g3a= nhau nGu α A β d 9 .= đ bà3 t=8n lu-n g3[3 đưrc 9à c một ngh3mhình.

T Jg #: _h= một gc K²y 9à một đ3!m bên t5=ng gc \y .Tng một đ=?nthqng I^ sa= ch= I∈²K & ^∈²y 9à là t5ung đ3!m của I^.

1. Pn :R3[ sj bà3 t=8n g3[3 K=ng 9à ta đf >Tng đưrc đ=?n thqng I^ th=[ mfnyêu ciu của đ` bà3 là I ∈²K& ^ ∈²y 9à là t5ung đ3!m của I^.

CGu ,= >à3 ² thêm đ=?n J ² thì∆ I² J ∆ ^Bc&g&cD ⇒ µ} 1J µ ? .H6 đ & ^ P ²K .Cgưrc l?3& nGu t6 ,F ^ P²K B^ ∈²y &53 ^ đGn c§t ²Kt?3 I thì ∆ I² J ∆ ^ Bg&c&gD 93 ¶ | 1J ¶ | Bđố3đỉnhD & ¶ | 1J µ ? Bs= lY t5=ng &^ P²KD 9à J² B>= >Tng D&t6 đ I J ^.

". C JsE (2= >à3 ² thêm đ=?n J ² &53 t6 ,F đư¤ng thqng s=ng 93²K &c§t ²y t?3 ^.H3Gp đGn ,F ^ ch= đGn c§t ²K t?3 I thì là t5ung đ3!m củaI^.

/. CRE : ∆ I² 9à ∆ ^ c :¶ | 1J ¶ | Bđố3 đỉnhD² J Bc8ch K8cŽ đenh đ3!mDµ} 1J · |?K Bs= lY t5=ng O^ P ²KD

= đ : ∆ I² J ∆ ^ Bg&c.gD ⇒ I J .

$.Bq taW : ^à3 t=8n lu-n c một ngh3m.hE chú :^à3 t=8n c th! ph4n tích c8ch ,h8c :

2F¶ CP²K BC∈²yD thì CJ

}A.Cgưrc l?3&

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ (0


58/71


nGu ,F CP²KBC∈²yD&9à l\y đ3!m I t5ên ²K sa= ch= ²I J C&53 ,F I đGn c§t²y t?3 ^ thì c I J^.™u[ 9#y &g3 ^ là t5ung đ3!m của ²I ⇒ ² J I⇒ P²C.P#y ^ ph[3 đ3 Zua t5ung đ3!m của I^&t7c I J ^ .™ua ph4n tích này ta th\y 5± c8ch >Tng 9à ch7ng m3nh .^à3 t=8n lu-n c một ngh3m.

T Jg $ :_h= một gc K²y 9à ha3 đ3!m I&^ .Tng một đ3!m c8ch đù ha3 c?nh²K&²y 9à c8ch đù ha3 đ3!m I&^.

1. Pn ( R3[ sj bà3 t=8n đf g3[3 K=ng 9à ta đf >Tngđưrc đ3!m c8ch đù ha3 c?nh ²K& ²y 9àc8ch đù ha3 đ3!m I&^ &ngh¯a là c w J2 Bw ⊥ ²K&w∈²K& 2 ⊥ ²y&2 ∈²yD 9àIJ^. P#y 9ưà thuộc t3a ph4n g38c ²t của

K²y& 96a thuộc đư¤ng t5ung t5Tc > của I^nên là g3a= đ3!m của ²t 9à > .

". C JsE :Tng t3a ph4n g38c ²t của gc K²y 9àđư¤ng t5ung t5Tc > của I^ &> c§t ²t t?3 . là đ3!m cin >Tng./.CRE :∈²t nên w J 2 .∈> nên I J ^.

$.Bq taW :a. > c§t ²t nGu I^ ,h-ng 9u-ng gc 93 ²t .^à3 t=8n c một ngh3m hình . b. CGu I^ ⊥ ²t 9à ²I ≠ ²^ thì ²t P > :^à3 t=8n 9- ngh3m.c. CGu I^⊥ ²t 9à ²I J ²^ thì > ≡ ²t .^à3 t=8n c 9- số ngh3m&ngh¯a là b\t ,·

đ3!m nà= của ²t c;ng 96a c8ch đù ha3 c?nh ²K 9à ²y&96a c8ch đù I 9à ^.

T Jg % :_h= một gc nhn K²y 9à một đ3!m I t5ên ²y.Hìm một đ3!m t5ênđ=?n ²I sa= ch= nGu ,F J I.

1. Pn :R3[ sj bà3 t=8n đf g3[3 K=ng 9à ta đf >Tng đưrc đ3!m thY=yêu ciu của đ` bà3.

2F CPI 9à C J I thìIC P C &_ ngh¯a là IC ⊥ ²K B1D@t ,h8c C J I J ² nêntam g38c ²C c4n :

µ} 1J µ N 1



59/71


60/71


Bà ": Tng một tam g38c &b3Gt ha3 gc 9à một đư¤ng ph4n g38c .

^3Gt ha3 gc của một tam g38c t7c là b3Gt c[ gc th7 ba &nên ch= b3Gt đư¤ng ph4n g38c thuộc gc nà= c;ng 9#y th-3.= 9#y ta s´ >Tng

tam g38c I^_&b3Gt gc ̂ bằngβ

&gc _ bằngγ

9à đư¤ng ph4n g38c ^ bằng một đ=?n thqng a ch= t5ưc .

1. Pn :R3[ sj bà3 t=8n đf g3[3 K=ng 9à ta đf >Tng đưrc tam g38c I^_ thY= yêu ciu của đ` bà3 .Ha hfy tìm ,h4u¢ đột ph8ˆt7c là

tìm một tam g38c hộ3 đủ c8c đ3`¹u ,3n đ! >Tng đưrc.¨ >àng ph8t h3n đưrc tam g38c Î c ^ Ja &· AK? J J 9à

· K?A J

K

A _ J

β

Aγ

. C JsE :

− H5ưc hGt >Tng một gc x y

J .

− Tng t3a ph4n g38c ̂ t của gc đ.H5ên t3a ̂ t >Tng đ=?n

^ J a.

− H6 >Tng đư¤ng thqng s=ng s=ng 93 ̂y c§t ̂K t?3 ’.Tng

gc· ~?v Jγ .

− _?nh 9 c§t ̂K t?3 I 9à t3a đố3 của t3a 9 c§t ̂y t?3 _.

#. CRE :· K?~ J ?KC J Bs= lY t5=ng D.

P#y· K?A J

· K?~ A· ~?A J A γ .H6 đ suy 5a C J

γ .

P#y tam g38c I^_ đf >Tng c K J & C Jγ

9à t3a ph4n g38c^ J a .

'.Bq taW :bà3 t=8n lu-n c ngh3m hình nGu Aγ

d 9.

Bà # :Tng tam g38c c4n I^_ BI^ J I_ D&b3Gt chu 93 bằng p 9à ch3ù ca= IwJh

1. Pn :R3[ sj bà3 t=8n đf g3[3 K=ng 9à ta >Tng đưrc tam g38c I^_

thY= yêu ciu đ` bà3 .

CGu t5ên t3a đố3 của t3a _^ ta >Tng đ=?n thqng _ J I_ &9à t5ên t3a đố3 của t3a ^_ >Tng đ=?n thqng ^’ J I^ thì đưrc đ=?n ’ J p&9à

đư¤ng ca= IwJh là >Tng đưrc .Sau ,h3 >Tng đưrc tam g38c c4n I’ &ta K8c đenh 9e t5í ha3 đỉnh ^ 9à _ chqng ,h ,h¥n gì &bằng c8ch >Tng

đư¤ng t5ung t5Tc của I’ 9à I.

. C JsE :Tng đ=?n thqng ’ J p.Tng đư¤ng t5ung t5Tc > của ’ &9u-ng gc 93 ’ t?3 w.Tng đ3!m I t5ên > sa= ch= Iw J h .Tng

đư¤ng t5ung t5Tc của I’ 9à I lin lưrt c§t ’ t?3 đỉnh ^ 9à _ cin >Tng .

/. CRE : {=º 5àng Î J ^’ & I_ J _ nên tam g38c I^’ 9à I_ là tam g38c c4n. J ~ & J ? .à tam g38c I’là tam g38c c4nBI’ J ID nên

µ ~ Jµ ? .Hư¸ đ

· AKC J· ACK &9à tam g38c I^_ là tam g38c c4n 93 đư¤ng ca= Iw J h .a»t ,h8c & chu

93 tam g38c I^_ J I^ AI_ A^_ J’^ A ^_ A _ J p .P#y là tam g38c c4nI^_ đf >Tng đ8p 7ng c8c yêu ciu của đ` bà3.

'. Bq taW :

^à3 t=8n lu-n c một ngh3m hình .

Bà $:Tng tam g38c I^_ b3Gt chu 93 bằng p 9à K J & C Jγ .1. Pn :R3[ sj bà3 t=8n đf g3[3 K=ng 9à ta đf >Tng đưrc tam g38c I^_ thY= yêu ciu đ` bà3.

CGu t5ên t3a đố3 của t3a ^_ ta >Tng đ=?n thqng ’̂ J I^ & 9à t5ên t3a đố3 của t3a _^ >Tng đ=?n thqng _ J I_ thì ta đưrc đ=?n thqng ’ J p .wa3

tam g38c I^’ 9à I_ là tam g38c c4n nên: µ ~ J µ K J 9à µ ? J µC J .P#y là tam g38c I’ hộ3 đủ c8c đ3ù ,3n đ! >Tng đưrc.. C JsE : Tng đ=?n thqng ’ J p & >Tng gc ~ J 9à gc ? J &ha3 c?nh ’I 9à I của ha3 gc ’ 9à c§t nhau t?3 I . Tng

đư¤ng t5ung t5Tc của I’ 9à I & c§t ’ t?3 ^ 9à _ cin >Tng .

/. CRE : _8c tam g38c I^’ 9àI_ là tam g38c c4n 9ì ^ thuộc đư¤ng t5ung t5Tc của I’BI^ J ^’ D 9à _ thuộc đư¤ng t5ung t5Tc của

I BI_ J _ D.H6 đ &µ K J

µ ~ J β 9à gcµC J

µ ? Jγ .@t ,h8c & chu 93 tam g38c I^_ J IÂI_A^_J^’A_ A^_ J p.

P#y tam g38c I^_ th=[ mfn yêu ciu đ` bà3 .

'. Bq taW : ^à3 t=8n c một ngh3m hình nGu Aγ

d 9.

G#: Ng$y%n &ăn T' T()*ng TH+S Thanh Mỹ )%


61/71


K• ]€

Bà !:Tng tam g38c I^_ &b3Gt 9e t5í của ba đ3!m : Lỉnh I &t5ung đ3!m của c?nh I_ 9à t5ng t4m R của tam g38c .

HwE Jx :H5ư¤ng hrp >Tng hình như thG niy là 5\t thu#n lr3 &9ì ngay t6 điu đf c tam g38c IR làm cơs đ! h=àn t\t hình cin >Tng .

Bà ":Tng tam g38c I^_ B A J 19D &b3Gt đư¤ng ca= Iw 9à t5ung tuyGn I 7ng 93 c?nh huy`n.

Bà #( Tng một tam g38c 9u-ng b3Gt c?nh huy`n 9à t5ung tuyGn 7ng 93 một c?nh gc 9u-ng.HwE Jx :_hú ‰ 5ằng t5=ng tam g38c 9u-ng &nGu b3Gt c?nh huy`n thì b3Gt lu-n t5ung tuyGn 7ng 93 n&thành 5a b3Gt ha3 t5ung tuyGn 9à t5ng t4m của

tam g38c .

B[y $: Tng một tam g38c b3Gt một c?nh 9à ha3 t5ung tuyGn Ku\t ph8t t6 ha3 mút của c?nh đ .

Bà %:Tng tam g38c I^_ b3Gt c?nh ^_ 9à t5ung tuyGn I&^C.

HwE Jx :^à3 '&( b3Gt ha3 t5ung tuyGn t7c là b3Gt t5ng t4m của tam g38c .

Bà &:Tng một tam g38c b3Gt độ >à3 ca ®ba t5ung tuyGn .

HwE Jx :2= >à3 I thêm một đ=?n x J R J / I. _h7ng m3nh _x J ̂ R .P#y tam g38c _xR là h=àn t=àn K8c đenh&>Tng đưrc .H6 đ h=àn t\t

hình cin >Tng .

Bà ': Tng tam g38c I^_ b3Gt g3a= đ3!m của ba đư¤ng ca= 93 đư¤ng t5n ng=?3 t3Gp

là &’&“.HwE Jx : R3[ sj tam g38c I^_ đf >Tng K=ng &g3 w là t5Tc t4m của tam g38c I^_ &,h3

đ &&’&“ là c8c đ3!m đố3 K7ng của w Zua ^_& _I 9à I^ .⇒ I&^’& _“ là ba đư¤ng ph4n g38c của tam g38c ’“ c§t B²D t?3 I&^&_.Ham

g38c I^_ là tam g38c cin >Tng.

B[z ): Tng hình th=3 I^_ &b3Gt ’ là đ3!m t5ên I_ & là một đ3!m t5ên ̂ & ’ c8ch g3a=

đ3!m ha3 đư¤ng ch= là a B cm D 9à ™ là đ3!m đố3 K7ng của Zua c?nh I .

HwE Jx : R3[ sj hình th=3 I^_ đf >Tng K=n

boi duong hoc sinh gioi toan 9

Documents