La otra ¿mitad? de la investigaciónmatemática en España

Isabel Marrero, profesora de la Universidad de La Laguna, fundadora y codirectora dela revista digital de divulgación matemática Matematicalia, nos presenta en este artículoun estudio sobre la evolución académica e investigadora de la mujer matemática ennuestro país.

En este más que interesante trabajo, los datos obtenidos muestran como el sistemauniversitario español pierde sistemáticamente mujeres a lo largo de la carrera académica,especialmente en la fase posdoctoral.

(Artículo completo en la página 2)

Encuentro Nacional de Estudiantesde Matemáticas

A finales del mes de julio, se ce-lebró en Badajoz el «XI EncuentroNacional de Estudiantes de Mate-máticas».

Algunos estudiantes de la Titula-ción de Matemáticas de la UAL par-ticiparon en dicho encuentro. En estenúmero del Boletín, uno de los asis-tentes al mismo nos cuenta la impre-siones que le ha causado esta expe-riencia.

De esta forma, nos acercamos auna faceta de la participación estu-diantil universitaria un poco diferentey, probablemente, algo desconocida.

(Artículo completo en la página 18)

Editorial

Este curso académico comienza con algunas novedades. Todos los estu-dios superiores universitarios en España se han adaptado al Espacio Europeode Educación Superior y, como no podía ser menos, nuestra Titulación deMatemáticas en la Universidad de Almería se ha transformado en Grado. Laplanificación del mismo se ha realizado desde la perspectiva de una coherenciade contenidos y en la gradualidad del aprendizaje.

Empieza una nueva etapa en los estudios universitarios que deben llevarnosa formar profesionales de las Matemáticas competitivos en el marco global quenos ha tocado vivir.

Por otra parte, hemos renovado la página web del boletín con el objetivode hacerla más agradable, moderna y accesible. Esperamos que sea de vuestroagrado.

Finalmente, no nos queda más que recordaros que el Boletín está abier-to a la participación de todos y todas. Si tienes experiencias, inquietudes oactividades que quieras compartir, puedes enviarlas a los responsables de lassecciones o a la dirección de correo del boletin. Asimismo, en la página 12proponemos un nuevo problema para el concurso dirigido al alumnado. ¡Envíatu solución y podrás ganar un premio!

Resumen

Actividad Matemática p. 2

Enseñanza Secundaria p. 6

Divulgación Matemática p. 9

Concurso de problemas p. 12

Territorio Estudiante p. 17

Correo electrónico:bmatema@ual.es

EDITORES

Juan Cuadra Díazjcdiaz@ual.es

Juan José Moreno Balcázarbalcazar@ual.es

Fernando Reche Loritefreche@ual.es

ISSN 1988-5318

BOLETÍN DE LA TITULACIÓN DE MATEMÁTICAS DE LA UAL

Bo√TitMatUal

Volumen IV. Número 1 22 de octubre de 2010 ‖

Bo√TitMatUal Actividad Matemática Volumen IV. Número 1 2 / 20

INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA

La otra ¿mitad? de la investigaciónmatemática en EspañaIsabel Marrero RodríguezUniversidad de La Laguna

Entre los cursos académicos 1998/99 y 2007/08, lasmujeres han ingresado en una proporción algo menor(47, 94%) que los hombres a la licenciatura de Matemá-ticas y levemente mayor (51, 08% y 52, 61%, respectiva-mente) que ellos a la diplomatura en Estadística y la licen-ciatura en Ciencias y Técnicas Estadísticas. Sin embargo,mantienen una tasa de egreso superior al 50% en todo elperiodo, y conforman, globalmente, el 51, 88% de quienesobtienen la diplomatura, el 57, 38% de quienes se licen-cian en Matemáticas y el 56, 00% de quienes lo hacen enCiencias y Técnicas Estadísticas.

De estos porcentajes podríamos inferir que las muje-res presentan un mayor éxito académico que los hombres,por cuanto invierten menos tiempo en cursar cualquierade las titulaciones. Además, cabría esperar que, puestoque se gradúan más mujeres que hombres, también fueramayor la proporción de aquéllas, frente a la de éstos, queinician y culminan una carrera investigadora accediendo alos puestos de mayor prestigio y responsabilidad.

Pues bien, esas expectativas no se cumplen. En el año2007, el profesorado matemático funcionario se componede un total de 4845 personas, de las cuales 3506 (72, 36%)son hombres y 1339 (27, 64%), mujeres. La presencia feme-nina disminuye a medida que ascendemos en el escalafón:ellas ocupan el 38, 88% de las titularidades de universi-dad, frente al 9, 93% de las cátedras de universidad. Porotra parte, el 54, 19% de los profesores y el 57, 73% delas profesoras son titulares de universidad; pero, signifi-cativamente, el segundo cuerpo docente con mayor pesoson las cátedras de universidad en el caso de los hombres(21, 48%) y las titularidades de escuela universitaria en elcaso de las mujeres (32, 11%). Tan sólo el 6, 20% de lasfuncionarias son catedráticas de universidad.

Las cifras anteriores, que se presentan, con ligeros ma-tices, en todas las áreas científicas y no exclusivamente ennuestro país (las alarmas saltaron hace ya una década, araíz del informe de la Comisión Europea conocido comoInforme ETAN ), ilustran el fenómeno denominado en in-glés «leaky pipeline» o «cañería con goteras»: el sistemauniversitario pierde sistemáticamente mujeres a lo largo dela carrera académica. Gráficamente, este fenómeno produ-ce los denominados «diagramas de tijera».

Las mayores pérdidas ocurren en la fase postdoctoral.El porcentaje de tesis defendidas por mujeres en Matemá-ticas y Ciencias y Técnicas Estadísticas entre los cursosacadémicos 2003/04 y 2007/08 es del 41, 48%; pero des-de la implantación de los programas Juan de la Cierva

(convocatorias 2004-2009) y Ramón y Cajal (convocato-rias 2001-2009), ellas han obtenido tan sólo el 23, 17% yel 10, 75%1, respectivamente, de los contratos en el áreade Matemáticas, dándose la circunstancia de que en lasconvocatorias 2004 y 2009, todos los contratados Ramóny Cajal han sido hombres.Leaky pipeline: Matemáticas

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Fuentes: INE-EU, MICINN

Mujeres

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Leaky pipeline en la Licenciatura en Matemáticas

La lenta promoción de las mujeres dentro del siste-ma académico se ha achacado algunas veces a una escasacompetitividad. Sin embargo, contabilizando el número desexenios de investigación concedidos en áreas de Matemá-ticas en la convocatoria 2007 vemos que se mantiene elequilibrio entre ambos sexos, aun con niveles altos de exi-gencia (al menos tres sexenios). Y un análisis bibliométri-co realizado sobre los departamentos de Matemáticas denueve universidades españolas revela que durante el quin-quenio 2003-2007 las mujeres de la muestra triplicaron suporcentaje de publicaciones en el primer y en el segundocuartiles del Journal Citation Reports.Leaky pipeline: CCTT Estadísticas

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Fuentes: INE-EU, MICINN

Mujeres

Hombres

Leaky pipeline en la Licenciatura en CCTTEstadísticas

Ninguna economía puede permitirse el derroche de in-vertir en la formación de un capital humano cuyas ca-pacidades no rentabiliza; de aquí que se hayan adoptadodiversas iniciativas tanto a nivel europeo (Tratado de Áms-terdam) como nacional (Ley de Igualdad) para consagrarla transversalidad o mainstreaming como principio de laacción política en materia de igualdad de género, según elcual los poderes públicos deben contemplar medidas parapromover activamente la igualdad entre mujeres y hom-bres.

1Excluimos de este cómputo la convocatoria 2002, sobre la cual no hemos conseguido datos.

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Bo√TitMatUal Actividad Matemática Volumen IV. Número 1 3 / 20

En nuestro país se están aplicando las medidas de pa-ridad; por ejemplo, en las tres primeras convocatorias, lasmujeres han pasado de no figurar en las comisiones eva-luadoras de contratos Juan de la Cierva y Ramón y Cajalen Matemáticas a tener una presencia del 40%, la cual,con algunas fluctuaciones a la baja, han mantenido hasta2009. El porcentaje de mujeres investigadoras principalesde proyectos de investigación del Programa Nacional deMatemáticas también está creciendo, pero muy lentamen-te: en el periodo 2000-2003 se mantuvo siempre inferior al10% y, coincidiendo con la implantación de medidas deacción positiva en las convocatorias, aumentó tres puntosporcentuales en 2004; en el trienio 2006-2008 se ha esta-bilizado alrededor del 15%, aunque todavía no se detectauna tendencia decidida al alza.

A la vista del panorama descrito, cabría afirmar que

las mujeres que ya han accedido al sistema están mejoran-do ligeramente su situación en lo tocante a su promociónprofesional y su producción científica, si bien persiste un«techo de cristal» que les impide alcanzar los puestos demayor responsabilidad y prestigio, techo que las medidaspolíticas de acción positiva, por el momento, no han lo-grado romper. El problema aparentemente más acuciantees garantizar el acceso de las jóvenes investigadoras.

Referencias[1] P. González, I. Marrero: Situación de las mujeres ma-temáticas en el sistema español de ciencia y tecnología.Matematicalia 6.2 (2010), Nacional. [Disponible vía weben www.matematicalia.net].[2] P. González, I. Marrero: Mujeres en Matemáticas: em-piezan bien, pero se pierden. La Gaceta de la RSME (enprensa).

Actividades matemáticas

Entrega del premio al gana-dor del concurso de resolu-ción de problemas

El lunes 4 de octubre se hizo en-trega del premio del concurso de pro-blemas del número anterior. En estaocasión, el ganador ha sido el alumnode Bachillerato Francisco Emilio Lina-res Marín, que cursa sus estudios en elIES «Gaviota» de la localidad alme-riense de Adra. Como podéis recordar,el problema planteado tenía relacióncon aspectos matemáticos del clásicoy conocido juego del Buscaminas.

Alumnado asistente al acto

El acto de entrega tuvo lugar en elsalón de actos del citado centro y con-tó con la presencia de más de 40 alum-nos y alumnas de bachillerato, acom-pañadosiop por el profesorado de ma-temáticas del centro.

Para completar el acto, dos de loseditores del Boletín, Juan J. MorenoBalcázar y Fernando Reche Lorite,impartieron una charla en la que seexpuso las características del nuevo

Grado en Matemáticas que comienzaa impartirse en este curso académico,así como algunas aplicaciones prácti-cas de las Matemáticas relacionadascon la toma de decisiones. La activi-dad contó con una gran participacióne interés por parte del alumnado yprofesorado asistente.

Jornadas Informativas sobreel Espacio Europeo de Edu-cación Superior

Más de 200 profesores de la UAL yde otras universidades participaron enlas «Jornadas Informativas sobre elEspacio Europeo» celebradas el día17 de junio.

Asistentes a las Jornadas

Las jornadas, organizadas por elComisionado para el Espacio Europeode Educación Superior y por el Vice-rrectorado de Profesorado y Ordena-ción Académica, tuvieron como obje-tivo difundir las experiencias de inno-vación docente que se están aplicando

en la Universidad de Almería y que es-tán permitiendo que la incorporaciónal EEES se realice de forma armónicay efectiva.

El número de trabajos presentadospor los Grupos Docentes superó loscincuenta, siendo más de 300 profeso-res los que participan en los trabajosde innovación que se expusieron du-rante esta jornada. Cabe destacar queesta revista, y su grupo docente aso-ciado, fue invitada a participar enla mesa redonda dedicada a la inno-vación docente en la Universidad deAlmería.

La Teoría de Grafos en losViernes Científicos

Alberto Márquez Pérez

En el marco de los Viernes Cien-tíficos, actividad organizada por laFacultad de Ciencias Experimentalesde la Universidad de Almería, cabedestacar la conferencia que pronun-ció el 15 de octubre D. Alberto Már-quez Pérez, Catedrático de Matemáti-

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Bo√TitMatUal Actividad Matemática Volumen IV. Número 1 4 / 20

ca Aplicada en la Universidad de Sevi-lla, titulada «Algunos problemas ac-tuales de la teoría de grafos».

Puedes encontrar más informaciónsobre esta actividad en la página webwww.viernescientificos.org .

Jornadas MatemáTICas pa-ra la Escuela del Siglo XXI

Cartel de la Jornada

Los días 22 y 23 de octubre se cele-brarán las «Jornadas MatemáTICaspara la Escuela del Siglo XXI» en elHotel Victoria de El Ejido. Los objeti-vos más importantes que se planteanson:

N Conocer estrategias para aten-der a la diversidad y trabajar te-mas transversales en el aula dematemáticas.

N Manejar herramientas TIC.

N Establecer buenas prácticas pa-ra el aula de matemáticas.

Más información en página webdel CEP de El Ejido.

I Jornada del Profesoradode Matemáticas de Almería

El pasado 22 de mayo se celebró la«I Jornada del Profesorado de Ma-temáticas de Almería» en la UAL,que contó con un gran éxito de parti-cipación por parte del colectivo mate-mático de nuestra provincia.

La inauguración de la jornada co-rrió a cargo del Rector de la Univer-sidad y del Delegado de Educación deAlmería. Destacó la conferencia ofre-cida por Elena Vázquez Cendón (Uni-versidad de Santiago), en la que se ex-pusieron los resultados contenidos en

el informe realizado por la RSME so-bre el estado de la profesión de mate-mático en nuestro país.

Sesión de pósteres

Otras actividades que se realizarona lo largo de la Jornada fueron la ex-posición «Mujeres en la Informáticay la Telecomunicación» y las presen-taciones tanto de la revista Boletín dela Titulación de Matemáticas comodel nuevo Grado en Matemáticas quese ha comenzado a impartir en estecurso académico.

Además, se impartieron los si-guientes talleres interactivos, especial-mente diseñados para su aplicaciónen el aula: «Iniciación a Geogebra»;«Juegos Topológicos»; «Matemáti-cas bilingües: metodología y ban-co de recursos»; «Estadística conRCommander»; «Braille, Matemá-ticas y Tiflotecnología» y la «Piza-rra Digital Interactiva en el aula deMatemáticas».

Asistentes a la jornada

Todo el material de los talleres seencuentra disponible en la página webde la Jornada.

También se celebró un concursode pósteres, con gran éxito de parti-cipación. La ganadora del premio fueLourdes Sempere del IES «Villavie-ja» de Berja, por el trabajo titulado«Los fractales en el aula de Mate-máticas».

Taller en el aula de informática

Finalmente, como clausura de laJornada, Sixto Romero, profesor dela Universidad de Huelva, impartió laconferencia «Sapere Aude... y porqué no Matemáticas?».

Esta Jornada ha dado lugar a unaactas, publicadas por la Editorial Uni-versidad de Almería, que apareceránel próximo mes de noviembre.

Más información sobre la Jornadaen www.ual.es/Congresos/JPM2010.

Computational Methods inScience and Engineering

Cartel del Congreso

Del 26 al 30 de junio tuvo lugar ladécima edición del congreso «Compu-tational Methods in Science andEngineering» (CMMSE 2010) en elHotel Barceló Cabo de Gata en Al-mería. Los responsables principales dela organización han sido los profesoresJesús Vigo Aguiar, de la Universidadde Salamanca, Bruce A. Wade, de laUniversidad de Wisconsin Milwaukeey Juan Antonio López Ramos, de laUniversidad de Almería.

El congreso se centró en el uso delos métodos matemáticos y compu-tacionales para el desarrollo de otrasdisciplinas científicas.

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Bo√TitMatUal Actividad Matemática Volumen IV. Número 1 5 / 20

Por otra parte, investigadores de laUniversidad de Almería han sido res-ponsables de la organización de dos delos minisymposium. Andrei MartínezFilkenstein y Juan José Moreno Bal-

cázar fueron los responsables de la se-sión de «Polinomios ortogonales yaplicaciones» y Juan Antonio LópezRamos de la sesión de «Aplicacionesdel Álgebra a Criptografía y Teoría

de Códigos».Más información sobre este ecuen-

tro en la página web del congresogsii.usal.es/~CMMSE.

Noticias matemáticas

Fallecimiento de Mandelbrot

Benoît Mandelbrot

El 14 de octubre falleció, a los85 años, Benoît Mandelbrot, pa-dre de la Geometría Fractal y unode los matemáticos vivos más in-fluyentes y populares.

Mandelbrot, de origen polaco,nació en el seno de una familia ju-día de origen lituano. Después desu paso por Francia, donde se doc-

toró en el año 1952, se trasladó a Estados Unidos, paísdonde desarrolló gran parte de su trayectoria científica.

Fue profesor de Economía en la Universidad de Har-vard, Ingeniería en Yale, Fisiología en el Colegio AlbertEinstein de Medicina, y Matemáticas en París y Ginebra.Desde 1958 trabajó en IBM en el Centro de Investigacio-nes Thomas B. Watson en Nueva York.

Rites of Love and Math

«Rites of Love and Math» es un corto de la cineastaReine Graves y el matemático Edward Frenkel, en la queFrenkel participa también como actor.

El corto ha competido en el 43.o Festival Internacio-nal de Cine Fantástico de Sitges 2010 (7 al 17 de octubre)en la sección de Oficial Fantàstic Competició PanoramaCortos.

Sinopsis (traducida del original)Un matemático ha encontrado la fórmula del amor y

está ilusionado ante la posibilidad de que ésta pueda ayu-dar a un gran número de personas. Continuando con susinvestigaciones, descubre que, en malas manos, su fórmulapuede transformarse en un arma contra la Humanidad.

Las fuerzas del Mal acosan al matemático, intentandoque desvele su descubrimiento. Decidido a no dejarles sufórmula, sabe que sus días están contados. El matemáticoestá enamorado de la bella japonesa Mariko. A mediano-che, se presenta en casa de su amada, y le explica que lasfuerzas del Mal desean arrancarle el secreto de su fórmula.El científico decide suicidarse: para que la fórmula le so-breviva, la tatúa sobre la piel de Mariko, y tras una nochede amor apasionada, acaba con su vida.

Más información:[1] Página de Rites of Love and Math (Edward Frenkel).[2] Erotic equations: Love meets mathematics on film,NewScientist, 13 de abril de 2010.

[3] Festival de Sitges: sitgesfilmfestival.com.

Enviado por Marta Macho Stadler

ScientixCon el objetivo de facilitar el acceso de cualquier per-

sona a materiales didácticos, resultados de investigacio-nes y documentos de proyectos financiados por la UE, laComisaría de Investigación, Innovación y Ciencia lanzó elpasado 3 de junio la plataforma «Scientix».

Dicha plataforma, a modo de portal interactivo, per-mitirá la difusión e intercambio de noticias, conocimientostécnicos y mejores prácticas en materia de enseñanza delas ciencias en toda la UE y, por tanto, en particular delas Matemáticas.

Según la Comisaria Márie Georghean-Quinn, la filo-sofía de la plataforma puede resumirse en tres palabras:buscar, encontrar y actuar.

Página web de Scientix

Toda la información alojada en dicho portal puede yaencontrarse en seis idiomas comunitarios, entre ellos elespañol. Asimismo, y con el objetivo de enseñar a optimi-zar al máximo el uso de la plataforma y de fomentar lacreación de redes entre la comunidad científica, se tieneprevisto la realización de varios actos públicos entre losque destaca la Conferencia «Scientix», fijada para los días6, 7 y 8 de mayo de 2011. La gestión del portal Scientixestá a cargo de la Red Escolar Europea, formada por 31Ministerios de Educación de países extra e intracomuni-tarios. Para más información, consultar el enlace de lainiciativa scientix.eu.

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Bo√TitMatUal Enseñanza Secundaria Volumen IV. Número 1 6 / 20

Nos visitaron...

En el transcurso de estos meses nos han visitado nu-merosos investigadores de diferentes universidades con lasque los grupos de investigación de la UAL colaboran acti-vamente en el desarrollo de sus actividades.

Tuvimos el honor de tener entre nosotros a: Radu Mi-culescu y Constantin Nastasescu, de la Universidad de Bu-carest (Rumanía); Armando Villena Muñoz, José CarlosRosales y Pedro A. García Sánchez de la Universidad deGranada; José Antonio Cuenca Mira, de la Universidadde Málaga; Janos Podani, de la Eotvos Lorand University,

Budapest (Hungría); Pavel Bleher, de Indiana University-Purdue University, Indianapolis (EEUU); Ana Peña, de laUniversidad de Zaragoza; Ivan Shestakov, de la Universi-dad de Sao Paulo (Brasil); Sonia Natale, de la Universi-dad Nacional de Córdoba (Argentina); Manuel Delgado,de la Universidad de Porto (Portugal); José Ignacio Fa-rrán, de la Universidad de Valladolid; Manuel Ceballos,de la Universidad de Sevilla; Abdenacer Makhlouf, de laUniversidad de Mulhouse (Francia); Sidy Demba Toure,de la Cheikh Anta Diop University, Dakar (Senegal).

EXPERIENCIA DOCENTE

Matemáticas manipulativasInmaculada Ordóñez RíosIES Cristobal de Monroy (Alcalá de Guadaíra, Sevilla)Joaquín García MolláIES Profesor Tierno Galván (Alcalá de Guadaíra, Sevilla)

El que se hayan incluido en el currículo de la ESO yBachillerato los Proyectos Integrados ha venido a resol-ver gran parte del problema que suponía trabajar con elalumnado día a día con las matemáticas manipulativas,pues siempre estaba el remordimiento de conciencia cuan-do no daba tiempo a acabar los temarios que nos imponeel Proyecto Curricular.

En estas horas campa-mos a nuestras anchas ha-ciendo «de todo» con loschavales. En tres centrosde Alcalá de Guadaíra, elIES «Cristóbal de Mon-roy», el IES «ProfesorTierno Galván» y el IES«Da Leonor de Guzmán», llevamos muchos años tra-bajando con las matemáticas recreativas, llevando a losalumnos a la Feria de la Ciencia de Sevilla y al Salónde Juegos Matemáticos en los colegios de primaria denuestra localidad desde el año 2005.

Hemos organizadojornadas de «Matemá-ticas en la Calle», ac-tividades en los propioscentros en jornadas cul-turales, etc. La motiva-ción del alumnado poreste tipo de actividadeses inmejorable. Prueba

de ello es la cantidad de estudiantes que se matriculancada año en la optativa de libre configuración «Taller dematemáticas» de 4.o de ESO.

Uno de los campos más bonitos y prácticos a la ho-ra de «manipular con las matemáticas» es el campo de laGeometría. Como ejemplo podemos describir un poco más

las actividades realizadas el curso pasado en las clases detaller. Estos se apoyaron en 3 pilares fundamentales: cons-trucción de poliedros con cañitas de refresco y tubos dePVC, geometría fractal y papiroflexia.

En el bloque de cons-trucción de poliedros losalumnos estuvieron cons-truyendo los 5 sólidos pla-tónicos para acabar final-mente en la construccióndel omnipoliedro. Fue unaactividad tan interesanteque optamos por volverlo a repetir, usando tubos de PVC,en las jornadas culturales de nuestros centros y en la Feriade la Ciencia de Sevilla, con unas dimensiones mucho másgrandes.

Para la geometría frac-tal les enseñamos a cons-truir fractales en 3 dimen-siones con ayuda de cañi-tas de refresco, cartulinasy tijeras y nos inventamosla construcción de nuestramaravillosa lámpara frac-

tálica y el tetraedro de Sierpinski.Y en el campo de la pa-

piroflexia les enseñamos aconstruir, entre otras co-sas, estrellitas con una ti-ra de papel, a partir de laconstrucción de un pentá-gono regular, algunos po-liedros estrellados, etc.

Como se iba acercando la fiesta tan destacada de laNavidad, se nos ocurrió comprar un árbol y adornarlo contodo tipo de abalorios construidos por los alumnos. Fuetodo un éxito y una gran ilusión para los chavales, verque todos los compañeros del instituto se paraban a ver elárbol con adornos construidos por ellos.

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Bo√TitMatUal Enseñanza Secundaria Volumen IV. Número 1 7 / 20

Para este curso 2010-2011 vamos a construir otro árboly mostraremos en nuestro blog www.i-matematicas.comcomo confeccionar los distintos adornos para animar aotros compañeros a construirlo. Solamente nos queda una

duda de todo este trabajo: todavía no hemos podido ave-riguar quién disfruta más, si los alumnos o los profesores.Animamos a los lectores a que pongan en práctica paralas próximas Navidades este motivador proyecto.

Problemas de las Pruebas de Acceso a la Universidad

Sean la matrices:

A =

1 0 0

1 1 0

3 0 1

; B =

121

; C =

−2

−5

2

; D =

1

2

−3

; E =

−2

−5

5

.Calcule los valores de los números reales x, y, z, paraque se verifique la siguiente igualdad entre matrices:

E − xA×B = yC + zD.

Problema propuesto en el número anterior

Solución:Antes de nada, hemos de comprobar que las matri-

ces intervinientes en la igualdad poseen las dimensionesadecuadas para que las operaciones involucradas tengansentido.

Las matrices C, D y E tienen dimensión 3× 1, por loque puede realizarse la operación suma y resta entre ellas.La matriz A tiene dimensión 3 × 3 y la matriz B, 3 × 1,por lo que es posible realizar la multiplicación de ambas,obteniéndose una matriz 3 × 1, con la que podemos rea-lizar operaciones de suma y resta con las otras matricesinvolucradas en la igualdad. Como consecuencia de esterazonamiento, la igualdad establecida en el problema tie-ne sentido.

Realicemos ahora la multiplicación entre las matricesA y B. Por todos es bien sabido que la multiplicación en-tre matrices se realiza según el esquema que se presenta acontinuación:

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p

......

. . ....

an1 an2 . . . anp

A : n filas p columnas

b11 b12 . . . b1q

b21 b22 . . . b2q

......

. . ....

bp1 bp2 . . . bpq

B : p filas q columnas

c11 c12 . . . c1q

c21 c22 . . . c2q

......

. . ....

cn1 cn2 . . . cnq

a 21×b 12

a 22×b 22

a 2p×bp2

+

+ . . .+

C = A×B : n filas q columnas

Aplicándolo a los datos del problema, obtenemos que

A×B =

134

.Así pues, la igualdad planteada en el problema queda

de la forma:−2

−5

5

− x

134

= y

−2

−5

2

+ z

1

2

−3

.Realizando las operaciones indicadas, nos queda como

resultado el siguiente sistema de ecuaciones:

x − 2y + z = −2,

3x − 5y + 2z = −5,

4x + 2y − 3z = 5.

Resolvamos ahora este sistema lineal, para lo que uti-lizaremos el método de reducción de Gauss.

Expresando el sistema de ecuaciones de forma matri-cial, iremos haciendo operaciones lineales con las filas conel objeto de obtener una matriz triangular.

Para obtener los ceros de la primera columna sustitui-remos la segunda fila por la combinación lineal −3F1 + F2y la tercera por −4F1 + F3: 1 −2 1 −2

3 −5 2 −5

4 2 −3 5

≡ 1 −2 1 −2

0 1 −1 1

0 10 −7 13

.Ahora, para obtener un cero en la segunda columna

tenemos que sustituir la tercera fila por −10F2+ F3, obte-niendo: 1 −2 1 −2

0 1 −1 1

0 10 −7 13

≡ 1 −2 1 −2

0 1 −1 1

0 0 3 3

.Así pues el sistema, ya triangulado y equivalente al

original, es:x − 2y + z = −2,

y − z = 1,

3z = 3.

De la última ecuación deducimos que z = 1; de la se-gunda, que y − 1 = 1 ⇒ y = 2; y de la primera, quex− 4+ 1 = −2⇒ x = 1, por lo que la solución del proble-ma es

x = 1,

y = 2,

z = 1.

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Bo√TitMatUal Enseñanza Secundaria Volumen IV. Número 1 8 / 20

Sean F1, F2 y F3 las filas primera, segunda y terce-ra, respectivamente, de una matriz B de orden 3,cuyo determinante vale −2. Calcula, indicando laspropiedades que utilices:

1. El determinante de B−1.

2. El determinante de (Bt)4, siendo Bt la matriztraspuesta de B.

3. El determinante de 2B.

4. El determinante de una matriz cuadrada cuyasfilas primera, segunda y tercera son, respecti-vamente, 5F1 − F3, 3F3 y F2.

Nuevo problema propuesto

Os animamos a participar en esta sección. Para ello,no tienes más que enviarnos tu solución a la dirección delcorreo del Boletín: bmatema@ual.es.

Recordamos que en esta sección aparecen ejercicios quehan sido propuestos para elaborar las Pruebas de Accesoa la Universidad en el distrito universitario andaluz.

ENSEÑANZA BILINGÜE EN MATEMÁTICAS

Bingo!Rafael Cabezuelo VivoIES Santos Isasa (Montoro, Córdoba)

Discovering BingoSome of the problems teachers face

when teaching maths in English implyhaving to create a lot of worksheets,searching for different activities on theweb, translating their own exercises,and working with a trial and errortechnique.

Last year I found myself searchingfor something concerning equationsfor my students (3rd year). I disco-vered a Bingo Worksheet for solvinglinear equations on a Web Page fromOswego [1] (New York), that has a lotof different activities on diverse sub-jects. I liked it from the moment I sawit so I decided to try the game. It wasa success and we repeated it once ortwice.

This year I have adapted the acti-vity for my first year bilingual group.

RulesThe rules are very simple. The stu-

dents have to make a square bingocard with the same number of rows ascolumns, for example 5×5. Then theyhave to write in the numbers from 1

to 25 in any order. Finally they haveto cross out or shade one of the dia-gonals. Now every student has a diffe-rent bingo card with 20 numbers bet-ween 1 and 25.

Then it is time to select the num-bers. Either a bingo game or the “Ran-dom” function on the calculator canbe used.

Now the students have to solve theequation for the selected number andwrite the solution in the correct box.For instance, if the selected number is14, and the equation is 2x + 2 = 6,then x = 2 must be written in cell 14.If your board has a 14 shaded or cros-sed out, you just have to wait for thenext random number.

The procces continues until so-meone gets a complete line, and thenuntil somebody gets a full house andcalls out “bingo” which means that the

game is finished.

AdaptationWorking with the first year stu-

dents meant making some adaptationsto the game. The first one was usinga 4times4 board in order to get somecomplete lines in the first few games.When they have completed several ga-mes they will be able to play with big-ger boards. They also play in pairs, tohelp each other.

The goal of the activity is to re-view some exercises with different le-vels of difficulty, so I had to createbingo games related to the chapterswe were working on. The first one wasabout Powers and Roots, and the se-cond one was about Divisibility.

One of the opportunities this ac-tivity has is that it can be adaptedto many different situations and lan-guages. It can be played in groups orindividually, with a worksheet or justby reading, writing or projecting theexercises in maths, technology, natu-ral sciences, etc.

For each game of bingo I wrote 4easy, 8 medium and 4 hard exercises.I wrote the Random function in thecalculator and, throughout the class,I asked the students to press the introbutton, just like a hostess on a televi-sion quiz show.

Then, instead of writing the num-

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Bo√TitMatUal Divulgación Matemática Volumen IV. Número 1 9 / 20

bers on the board, or giving thema worksheet with the exercises, eit-her the assistant or I read them twiceslowly, so they had both, to write theexercise on their notebooks followingoral instructions and to solve it.

EvaluationThe first bingo game is the most

difficult one because the studentsdon’t understand the rules at thestart, they need a lot of time to ma-ke their boards and more time to getthrough all the exercise. But the fo-llowing games are much quicker and

more fun. To avoid spending too muchtime in preparing the boards, at leastthe first time, this could be done bythe teacher, so the students just haveto write in the numbers and cross outthe diagonal.

After the first line, some studentswill be able to fill in almost everyrow, that’s why I decided to encoura-ge them to get a full house afterwards.Therefore only with the first correctline do they get a positive mark forthe evaluation of the unit, and thenalso with the first faultless full house.

Besides, the winners of each bingo ga-me are posted on the group’s blog [2],for extra motivation.

I think this is a very good way toreview the lessons and provide extramotivation for the students. They ha-ve to work fast in order to be the firstone to get a line or a full house whichhelps them to finish the tests on time.And best of all, it’s great fun!

References[1] BINGO Worksheet for SolvingEquations.[2] bilingueisasa.blogspot.com

LA HISTORIA Y SUS PERSONAJES

Bernard BolzanoUn sacedorte católico y matemático

Florencio Castaño IglesiasUniversidad de Almería

«Aprecio mucho la parte de las Matemáticasque es al mismo tiempo Filosofía.»

Bernard Bolzano

Aún se sigue explicando en los institutos y universi-dades, posiblemente uno de los mayores descubrimientosen el mundo de la matemática, el Teorema de Bolzano,también conocido como el Teorema de los ceros de Bol-zano.

B. Bolzano

Bernard fue un matemático,filósofo y teólogo checo que realizóimportantes contribuciones a lasmatemáticas y a la teoría del co-nocimiento.

De padre italiano y madrecheco-alemana, Bernard nació el5 de octubre de 1781 en Praga(República Checa) y falleció el 18de diciembre de 1848, también enPraga.

Bernard Bolzano estudió pri-meramente en el liceo religioso dela Orden Piarista (escuelas Pías y

escolapios) de Praga, el mismo que el famoso escritor ju-dío checo-alemán Fran Kafka. En 1796 se inscribió en laFacultad de Filosofía de la Universidad de Praga, dedicán-dose principalmente a la matemática, la lógica, la filosofíay a la teología. En su filosofía, Bolzano criticó el idealismode Hegel y Kant afirmando que los números, las ideas ylas verdades existen de modo independiente a las personasque los piensen.

Al mismo tiempo que estudiaba teología, preparó sutesis doctoral en Geometría, obteniendo el título en 1804.

Dos años más tarde, en 1806, se ordenó como sacerdote ca-tólico y fue designado para ocupar la cátedra de Filosofíade la Religión.

Foto

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Placa conmemorativa en honor a Bolzano

Empezó a impartir conferencias religiosas en la Univer-sidad de Praga, conferencias que destacaban por su origi-nalidad, impregnadas por fuertes ideales pacifistas y poruna viva exigencia de justicia política.

Parroquia de Techobuz

Su manera depensar provocó ungran descontento enlos círculos eclesiás-ticos que, tras al-gunas presiones delgobierno, lo destitu-yeron de su cátedray Bolzano tuvo queabandonar en 1820

la Universidad. Fue apartado, como un simple párroco, ala aldea checa de Techobuz, donde desarrollaba tanto susvocaciones pastorales, como científicas.

En Techobuz fue donde escribió gran parte de su obracientífica, entre la que se destacan los títulos «La ciencia

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lingüística» y «Las paradojas del infinito». Esta últimaobra, publicada tres años después de su muerte, constituyeun interesante precedente de la lógica matemática. Apare-cen conceptos como el término conjunto, anticipándose ala Teoría de Cantor acerca de los números transfinitos. Sepuede decir que Bolzano se adelantó a los analistas rigu-

rosos del siglo XIX, con un nuevo modo de desarrollar elanálisis, a saber: en el concepto de función continua y en lademostración de sus propiedades, en el criterio de conver-gencia de series, y en la existencia de funciones continuasno derivables.

MUJERES Y CIENCIA

Rosalind Elsie FranklinEse Nobel que no se dio

Teresa Valdecantos DemaSPIFA Algeciras (Algeciras, Cádiz)

Rosalind Franklin

En el número 2 del volumen IIIde este Boletín conocimos la histo-ria de Jocelyn Bell, una mujer me-recedora de un Nobel que jamás re-cibió. Si fuera una anécdota seríatriste, pero siendo pauta es patético.Desde 1901 hasta nuestros días, sólo41 mujeres han conseguido el galar-dón, mientras que unos 700 hombreslo poseen.

Centrándonos en las ciencias, hay 17 (bueno 16, tene-mos una repe).

Física: Marie Curie (1903) y María Goeppert-Mayer(1963).

Química: Marie Curie (1911), su hija Irène Joliot-Curie (1935), Dorothy Crowfoot Hodgking (1964) ypor fin el pasado año, Ada Yonath.

Fisiología o Medicina: Gerty Cori (1947), Christia-ne Nüsslein-Volhard (1955), Rosalyn Yalow (1977),Bárbara McClintock (1983), la maravillosa RitaLevi-Montalcini (1986), Gertrude B. Elion (1988),Linda B. Buck (2004), Françoise Barré-Sinoussi(2008), Elisabeth H. Blackburn y Carol W. Greider(2009)

Economía: Elinor Ostrom (2009).

Yo quiero hablar de otra mujer, una de tantas que norecibió el Nobel a pesar de que sus compañeros sí que lohan recibido. Una científica que murió a los 37 años pro-bablemente a causa de sus investigaciones en 1958, cuatroaños antes de que los conocidísimos Crick, Watson y Wil-kins lo recibieran: Rosalind Franklin.

VidaDesde los 15 años tuvo claro que quería dedicarse a

las ciencias, aunque su padre estaba en contra de que lasmujeres fueran a la universidad. Aún así, consiguió su ob-jetivo, graduándose en el Newhman College de Cambridge(1941). En el intervalo de tiempo hasta que se doctoró en

Química por la universidad de Cambridge (1945) investi-gando la estructura cristalográfica del carbón y del grafito,publicó cinco trabajos y diecisiete artículos.

Un punto de inflexión en su labor investigadora fue eltiempo que estuvo en el Laboratoire Central des Servi-ces Chimiques de L’Etat (París, 1947-1950). Seguía es-tudiando el carbón, pero aprendió la técnica de los rayosX para completar sus investigaciones. Probablemente esosrayos impulsaron sus logros a la misma velocidad que mi-naban su salud.

En 1951 Rosalind regresa a Inglaterra para trabajarcon John Randall. En su equipo estaba también MauriceWilkins; aunque no trabajaban en el mismo proyecto: ellaempezó sus investigaciones sobre el ADN mientras Wilkinsestaba ausente.

A su regreso Wilkins la tomó por una ayudante. Noimportó que corrigieran el error: jamás trató a Rosalindcomo colega.

Fotografía 51

La actitud despreciati-va de Wilkins se ve enla desfachatez que tuvomostrando a Watson, sinla autorización de Rosa-lind, la conocida Fotogra-fía 51. Esta fotografía fueel desencadenante del pre-mio Nobel. En ella se po-día observar la difracciónde rayos X al pasar por el

ADN, lo que hizo que Watson se diera cuenta de que lospatrones formados en cruz en la fotografía tenían que estarformados como una hélice.

Virus del tabaco

Desengañada del trato que re-cibía en el King’s College dondela discriminación a las mujeres es-taba a la orden del día y de vercómo Wilkins se apoderaba de susesfuerzos, dejó su investigación so-bre el ADN empezando sus inves-tigaciones sobre el virus del tabaco(TMV) en Birbeck College (Lon-dres). Localizó el ARN en formahelicoidal en el centro de la cápside.

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También empezó a estudiar el virus de la polio. La-mentablemente sus trabajos fotográficos pasando rayos Xsobre ADN, grafito, etc. le pasaron factura. En 1956 le de-tectaron un cáncer de ovarios y murió en 1958 poco antesde que su último informe se leyera en la Faraday Society.

A buenas horasQue Franklin muriera antes de ser entregado el Nobel a

Wilkins, Watson y Crick no hace que la humillación sufri-da fuese menor. Se ha tardado años en reconocer su parti-cipación en desentrañar uno de los retos más importantesdel siglo XX, el ADN. Sus fotografías dieron la respuestahelicoidal y una imagen dicen que vale más que mil pala-bras, palabras como las que usó Watson al referirse a Rosy(nombre por el que nunca fue conocida). En su libro Ladoble hélice se refiere a ella preguntándose «cómo seríasi se quitase las gafas e hiciese algo distinto con sucabello» y eso fue en 1968.

Incluso Crick, amigo suyo y que estuvo con ella en suenfermedad, reconoce tardíamente que la trataron de unamanera paternal. Cualquier mujer que haya sido tratadade esa manera por un colega sabe lo indigno que es. Y losreconocimientos no han sido a los diez, ni a los veinte añosde su muerte. Han tenido que pasar casi 40 años.

1992, Colocan una placa en la casa de su infancia.

1993, King’s College London cambia el nombre a unaAvenida por el suyo.

1995, Newnham College le dedica una de sus resi-dencias además de colocar su busto en el jardín.

1997, Birkbeck crea el Laboratorio Rosalind Fran-klin.

1998, Añaden su retrato al de Wilkins, Watson yCrick en la National Portrait Gallery.

2000, King’s College London inaugura el edificioFranklin-Wilkins.

2001, El US National Cáncer Institute establece elpremio Rosalind Franklin para mujeres científicas.

2003, la Royal Society crea el premio Rosalind Fran-klin por cualquier contribución a la ciencia, ingenie-ría o tecnología.

2004, Finch University of Health Sciences (Chicago)cambia su nombre por el de Rosalind Franklin Uni-versity of Medicine and Science; la universidad deGroningen (Holanda) crea la beca Rosalind Franklinpara apoyar a jóvenes investigadoras.

2008, Columbia University otorga un premio póstu-mo a Rosalind Franklin.

La escultura de ADN en el Clare College incluye laspalabras: «El modelo de doble hélice fue apoyada porlos trabajos de Rosalind Franklin y Maurice Wilkins».

Webgrafía:[1] www.mujeryciencia.es/2008/10/04/rosalind-franklin.[2] nobelprize.org/nobel_prizes/lists/women.html.[3] www.sdsc.edu/ScienceWomen/franklin.html.[4] library.thinkquest.org/20465/franklin.html.

MATEMÁTICAS Y CULTURA

Matemáticas en la pinturaDetección de obras de arte falsas

Melina GoriniAlumna de la UAL

Las obras de Vincent van Gogh son de las más famo-sas y admiradas del mundo, aunque también son de graninspiración para los falsificadores.

Un equipo de científicos de la Universidad de Prince-ton, dirigido por Ingrid Daubechies, han creado un soft-ware que permite identificar pinturas falsas de van Gogh.Ingrid Daubechies es física y la primera catedrática de Ma-temáticas en la Universidad de Princeton (Estados Uni-dos), y recientemente fue elegida presidenta de la UniónMatemática Internacional.

Una de sus líneas de investigación más importantes esel estudio de las wavelets, un tipo especial de transfor-mada de Fourier que se utiliza para representar señales.Inicialmente eran utilizadas por los geólogos para locali-zar petróleo. Las ondas sonoras viajan a través de distintosmateriales a velocidades distintas. Enviando ondas sísmi-

cas a la tierra y midiendo la rapidez con la que rebota-ban, los geólogos podían deducir el tipo de material quese encontraba bajo la superficie. Si la onda se propagabarápidamente significaba que debajo era muy probable quehubiese petróleo.

El equipo de Daubechies utiliza las wavelets para iden-tificar obras de arte falsas. El objetivo del trabajo es iden-tificar patrones determinados en las pinturas originales devan Gogh, como por ejemplo, el material utilizado, la pa-leta de colores, el estilo de composición, los trazos,... paraasí poder crear una base de datos.

Muchas de estas características estarán ausentes en lasobras de otros artistas y es lo que posibilitará la identi-ficación de las falsificaciones. El equipo ha diseñado unsoftware que permite descomponer las imágenes digitalesen componentes más pequeñas y analizar las característi-cas de las mismas.

Una imagen digital en blanco y negro está compuestapor píxeles, pequeños cuadrados que representan un va-

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lor constante en la escala de grises. Existen 256 valoresde grises diferentes, desde el negro puro al blanco puro,numerados de 0 a 255. Si la imagen es en color, la escalade colores se llama RGB y separa el nivel de color de ca-da pixel en una combinación de Rojo, Verde y Azul. Porejemplo, el color blanco se forma con una mezcla de lostres en cantidades de 255 para todos (el blanco es la uniónde los tres colores), mientras que el negro es mezcla de los3 en cantidades de 0 (el negro es la ausencia de color).

De las tres imágenes queaparecen a la izquierda, la su-perior es la foto original, ladel centro es la versión en es-cala de grises y la foto inferiores la versión en blanco y ne-gro, sin colores intermedios.

Sin embargo, el formatoRGB no permite especificarcompletamente un rango decolor. Para poder abordar es-te problema se utiliza otroformato, el HLS que divide elnivel de color en 3 paráme-tros, nivel de saturación (S),tono (H) y luminancia (L).

La transformada wave-let separa los detalles de unaimagen en diferentes escalas.Si la imagen es de alta resolu-ción, la descomposición per-

mite la extracción de diferencias de alta resolución que sonimperceptibles por el ojo humano. Si aplicamos la trans-formada wavelet a la representación HLS de la imagenpodremos detectar patrones de colores, caracterizar la di-rección de las pinceladas del artista y, además, capturardiferencias locales entre dos imágenes.

La idea básica del algoritmo de descomposición en wa-velets es la siguiente. Supongamos que la imagen es enblanco y negro, el primer paso consiste en dividir la imagen

en cuadrados de 4× 4 píxeles. Cada uno de estos cuadra-dos podemos identificarlos con una matriz 4 × 4 formadapor 16 elementos equivalentes a las distintas tonalidadesde grises. En cada una de estas matrices realizaremos lassiguientes operaciones: media y diferenciación dos a dospor filas. A las matrices que obtengamos como resultadole aplicaremos las mismas operaciones pero por columnas,y así sucesivamente.

A modo de ejemplo consideremos una imagen en blan-co y negro:

Estas aproximaciones sucesivas nos permiten distin-guir diferentes detalles de las imágenes que luego nos seránútiles para comparar con otras.

La gran aportación del análisis de wavelets es que nospermite analizar las imágenes a diferentes escalas y en di-ferentes orientaciones, pudiendo obtener más informaciónde las mismas.Para saber más:[1] Ingrid Daubechies’ Homepage. En esta página podre-mos encontrar la biografía de Ingrid Daubechies y sus tra-bajos.[2] Formatos de color. Información sobre los formatos RGBy HLS.[3] Wavelets: ver el bosque y los árboles.

Concurso de problemas

Un estudio reciente ha revelado que el consumo de gra-sas hidrogenadas (grasas «trans») aumenta en un 25% elriesgo de infarto.Si en una encuesta llevada a cabo entre los alumnos de cier-to centro escolar, el p100% son consumidores habitualesde estas grasas,

1. ¿Cómo seleccionarías una muestra para estimar elvalor de p en tu centro escolar? (Explica el métodoque has utilizado), y

2. Si un adolescente sufriera un infarto, ¿cuál seríala probabilidad de que fuera consumidor de grasas«trans»?, ¿qué opinión te merece el resultado?.

Problema propuesto

♣

Envía tu solución a bmatema@ual.es

Si nos envías tu solución a este problema puedes ob-tener un regalo relacionado con las matemáticas valoradoen unos 50e. ¡La solución más elegante u original tienepremio!

Para participar, sólo tienes que mandar tu solución ala dirección de correo electrónico bmatema@ual.es. Pue-des escanear el papel en el que hayas elaborado la solucióny enviárnosla a dicha dirección de correo electrónico.

Las bases de este concurso pueden consultarse en lapágina web del boletín: boletinmatematico.ual.es.

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Resultado del concurso del número anterior

En primer lugar, queremos agradecer a todas las per-sonas que nos han enviado sus soluciones su interés enparticipar en el concurso y les animamos a que continúenhaciéndolo. Tienen una buena oportunidad con el proble-ma que acabamos de plantear.

El ganador

De entre todas las so-luciones correctas recibi-das, la ganadora ha sidola enviada por Francis-co Emilio Linares Ma-rín del IES «Gaviota» deAdra. Es la primera vezdesde que se instauró esteconcurso que el premio re-cae dos veces en la misma persona. ¡Enhorabuena!

Determina la fórmula para calcular el volumen de unamastaba (monumento funerario del antiguo Egipto) si co-nocemos su altura y los lados de las bases superior e infe-rior.

Imagen de una mastaba

Problema propuesto en el número anterior

Solución enviada por el ganador:En la fotografía del ejercicio se puede observar que una

mastaba es una construcción cuya forma geométrica es untronco de pirámide. En el siguiente dibujo se puede obser-var mejor la estructura de estos monumentos funerariosdel Antiguo Egipto.

Hay múltiples formas de hallar el volumen de un troncode pirámide. Yo voy a hallarlo utilizando la trigonometríay partiendo de que sé todo lo necesario: ángulos, alturas,lados.

En la figura podemosver las diferentes longitu-des involucradas en el pro-blema con las que vamos atrabajar.

Con la mitad de los la-dos de la base inferior y dela base superior (a′ y b′)podemos construir un trapecio rectángulo. A partir de es-tas consideraciones dibujamos una sección del tronco depirámide junto con las cantidades que aparecen involucra-das.

α

k

h

m

a′

b′

En primer lugar debemos recordar que la tangente deun ángulo α en un triángulo rectángulo es el cateto opues-to dividido por el adyacente.

A partir de ahí podemos hallar la altura de la pirá-mide (k) y, por consiguiente, del trozo que nos falta paracompletarla (m). Se haría de la siguiente forma:

1. Si sabemos cuánto mide el ángulo α, podemos con-cretar que

tanα =k

a′,

lo que quiere decir que k = a′ tanα.

2. Ahora, el volumen de la pirámide mayor menos el dela pirámide menor nos dará el volumen de tronco depirámide (Vt).

Vt =1

3(k ·ABM − (k− h)ABm)

donde ABM es el área de la base mayor y ABm elárea de la base menor.

Expresado en función de la tangente de α y de a′, te-nemos que

Vt =1

3(ABM · a′ · tanα−ABm(a′ · tanα− h))

Hasta aquí la solución enviada por el ganador, en laque se ha calculado el volumen de la mastaba en función

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Bo√TitMatUal Divulgación Matemática Volumen IV. Número 1 14 / 20

de los lados de las bases, la altura y el ángulo que formala pirámide con respecto al suelo.

Aclaración de los editores:Sin embargo, el ángulo no es un dato suministrado en

el enunciado del problema, y es posible obviar el conoci-miento de α de la siguiente forma.

Utilizando la semejanza de los triángulos involucrados,sabemos que se tiene que cumplir que

m

b′=m+ h

a′,

por lo tanto,

ma′ = (m+ h)b′ ⇒ m =hb′

a′ − b′

y, por lo tanto, tanα puede expresarse de la forma

tanα =m+ h

a′

=hb′

a′−b′ + h

a′

=h

a′ − b′

Si sustituimos tanα por su valor equivalente en la fór-mula del volumen del tronco de pirámide, y teniendo en

cuenta que a′ = a2y b′ = b

2, obtenemos que

Vt =1

3

(ABM · a ·

h

a− b−ABm

(a · h

a− b− h

))=

h

3(a− b)(a ·ABM − b ·ABm)

En el caso particular de que las bases sean cuadradas–que no es el caso de la imagen–, ABM = a2 y ABm = b2,y el volumen del tronco de pirámide queda de la forma

Vt =h

3(a− b)(a3 − b3)

=h

3

(a− b)(a2 + b2 + ab)

(a− b)

=h

3

(a2 + b2 + ab

).

Nota de los editores:Es interesante destacar que este problema fue plantea-

do hace miles de años en el Antiguo Egipto y, de hecho,aparece como el Problema 14 del «Papiro de Moscú». Sucontenido fue publicado por Richard J. Gillings en Mat-hematics in the time of the pharaophs, Editorial Dover,1982.

PASATIEMPOS Y CURIOSIDADES

El área del ovoideRamón Morales AmateIES Turaniana (Roquetas de Mar, Almería)

Un ovoide es una curva cerrada simétrica, formada porcuatro arcos de circunferencia y con una forma caracte-rística de huevo. Dicha curva encierra un área, cuya fór-mula clásicamente no se estudia en los cursos elementalesde matemáticas ni es muy conocida. En este artículo nosproponemos deducirla, aprovechando el que esta curva es-té formada por «trozos» de circunferencias.

En primer lugar, el ovoide tiene dos ejes, el mayor yel menor, cada uno de los cuales es un punto de partidapara su construcción. Es decir, dado uno de estos dos ele-mentos podemos crear un ovoide y calcular la longitud delotro eje. Vamos a ver cómo se construye un ovoide dadoel eje menor (su longitud).

Construcción de un ovoide

Se trata de la siguien-te sencilla construccióncon regla y compás: Dadoel segmento AB (eje me-nor) trazamos su mediatrizpara así conseguir el pun-to medio C del segmento.Trazamos la circunferenciacon centro en C y radio r =12dist(A,B), la cual corta a

la mediatriz en dos puntos,elegimos uno de ellos y lo

llamamos D. Trazamos dos rectas, una que pase por lospuntos A y D y la otra por B y D, y dos arcos de circun-ferencia de centros A y B y radio 2r hasta que corten alas rectas anteriores en los puntos E y F respectivamente.Finalmente se traza el arco de circunferencia de E a F concentro en D, como indica el dibujo anterior.

Apoyándonos en este dibujo, calcularemos el área delovoide. Como podemos observar, el recinto se puede des-componer en varios recintos más sencillos, en cuanto alcálculo de sus áreas. En la parte superior encontramosmedio círculo cuyo área A1 es:

A1 =πr2

2.

En la parte media vemos dos sectores circulares: ABEy BAF, ambos de 45o, ya que el triángulo central ABDes rectángulo e isósceles. Para calcular este área centralhemos de tener en cuenta que ambos sectores compartenuna zona común, el triángulo central ABD. Por tanto setiene que

AABE∪BAF = AABE +ABAF −AABE∩BAF.

Por un lado, AABE = ABAF = πr2

2; y por otro,

AABE∩BAF = AABD = 2r·r2

= r2. Luego

A2 = AABE∪BAF = 2πr2

2− r2 = (π− 1)r2.

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Bo√TitMatUal Divulgación Matemática Volumen IV. Número 1 15 / 20

Por último, en la parte inferior, tenemos un cuarto decírculo de radio δ = dist(D, F). Para averiguar este ra-dio, observemos en el dibujo que se tiene que cumplir queδ = 2r−h, donde h es la hipotenusa del triángulo rectán-gulo ADC. Por tanto,

h =√r2 + r2 =

√2r2 = r

√2.

De aquí ya tenemos que δ = 2r − r√2 = (2 −

√2)r,

luego, como el ángulo EDF es de 90o,

A3 =π(2−

√2)2r2

4.

Aplicando que el área del ovoide es la suma de las áreashalladas, llegamos a:

AO = A1 +A2 +A3 =πr2

2+ (π− 1)r2 +

π(2−√2)2r2

4,

= [(3−√2)π− 1]r2.

Esta sería, por tanto, la fórmula del área del ovoide co-nocido r, esto es, conocida la longitud del eje menor. Perosi lo que conocemos es el eje mayor, podemos relacionar

r con la longitud L de este eje. Para ello observemos queL = 2r+ δ, de donde

L = 2r+ (2−√2)r = (4−

√2)r.

En definitiva, para calcular el área de un ovoide ne-cesitamos el radio r que se calcula dependiendo del datodado:

Si se conoce la longitud l del eje menor, entoncesr = l/2.

Si se conoce la longitud L del eje mayor, entoncesr = L/(4−

√2).

Y se aplica la fórmula:

AO = [(3−√2)π− 1]r2.

Es interesante que, a modo de ejercicio, el lector ex-prese esta fórmula de otras dos formas, en función de laslongitudes L y l de los ejes mayor y menor, respectiva-mente, teniendo en cuenta sus relaciones con r, obtenidasarriba.

Páginas web de interés

Proyecto Gauss

Página principal del proyecto

El Instituto de Tecnologías Educativas auspicia elProyecto Gauss (recursostic.educacion.es/gauss/web). Setrata de un portal educativo con una gran cantidad deaplicaciones matemáticas que fomentan la interactividaden el aula. Enfocado para alumnos de primaria (5.o y 6.o)y de secundaria (1.o y 2.o), constituyen un excelente ma-terial para su utilización con la pizarra digital así como deforma autónoma en el ordenador del alumno.

Contiene numerosos applets deGeoGebra, que se com-binan con una introducción, una breve descripción de cadaactividad, una serie de cuestiones para practicar y algu-nas son autoevaluadas. Muchas actividades están diseña-das para distintos niveles de dificultad.

platea.pntic.mec.es/~jescuder/

platea.pntic.mec.es/~jescuder/

Esta página está realizada por Jesús Escudero, profe-sor del IES «Fray Luis de León» de Salamanca. En ellaha recogido el trabajo realizado por el Departamento deMatemáticas del Centro a lo largo de los últimos años.

Aparecen comentarios y extractos de varios libros decarácter divulgativo sobre Matemáticas. Se tratan temastan variados como acertijos, problemas, humor, curiosida-des, misterios, historia o criptogramas. Entre los acertijos,cabe destacar aquellos en los que se mezcla Matemáticas eingenio a partes iguales. Los problemas matemáticos se ca-muflan en enunciados relacionados con el ajedrez o el len-guaje encriptado. Entre las curiosidades, las citas célebrestienen un lugar destacado. Por ejemplo, se puede leer ladefinición de matemático de Paul Erdős: «un matemático

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Bo√TitMatUal Divulgación Matemática Volumen IV. Número 1 16 / 20

es una máquina que transforma café en teoremas».También son interesantes y entretenidas algunas ilu-

siones ópticas. Es difícil no escuchar alguna carcajada alojear las traducciones a descripciones no matemáticas dealgunos términos matemáticos muy utilizados. En defini-

tiva, es una página muy recomendable porque ejemplificaaquello de aprender entreteniendo y entretener aprendien-do.

Acertijos

Una suma con infinitos términos

Considera la expresión n(n+ 1).

Si asignas a n los valores 1, 2, 3, 4, . . . , obtendrás comoresultado 2, 6, 12, 20, . . .

¿Podrías adivinar cuánto vale la suma de sus inversos,

1

2+1

6+1

12+1

20+ · · · ?

Citas Matemáticas

«La teoría de las probabilidades es, como mucho, sim-ple sentido común reducido a cálculo.»

Pierre Simon Laplace (1749-1827),físico–matemático francés.

«La falta de contacto real entre la Matemática y laBiología es una tragedia, o un escándalo, o un desafío;es difícil decir qué.»

Gian-Carlo Rota (1932-1999),matemático estadounidense.

Lecturas recomendadas sobre divulgación matemática

Aprendiendo matemáticas con los grandesmaestrosVicente Meavilla.

Ficha TécnicaEditorial Almuzara264 páginasISBN: 978-84-92924-13-4Año 2010

Sin duda alguna, si hay alguna parte de las matemáti-cas cuya presencia es casi inexistente en nuestra formacióninicial universitaria, es la Historia de las Matemáticas. Ylo que es peor, que al ir arrastrando ese déficit lo termina-mos proyectando sobre nuestros propios alumnos, con lo

que la ignorancia tiene su continuidad asegurada a travésde las generaciones. Para intentar romper esta cadena detransmisión de desconocimientos, y dado que las reformasde los planes de estudios universitarios no parecen ir poresa vía, sólo se puede apelar a la curiosidad y responsa-bilidad individual de cada uno de nosotros, por lo que laaparición en el mercado de libros divulgativos de Histo-ria de las Matemáticas siempre es una gran noticia. Nome refiero a libros de consulta, como el clásico de Boyer,sino más bien a novelas como la de Guedj, El teorema delloro, ya comentado en este Boletín (número 3 del volu-men I), que, con la excusa de una trama bien urdida, nosofrece una visión panorámica de esta disciplina; o tam-bién el libro que nos ocupa, que, desde otra óptica y conotro planteamiento, viene a aportar también su granito dearena.

Ahora bien, este no es un libro de Historia de las Ma-temáticas. O no sólo es eso. Es un libro de matemáticas

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con el que se pueden aprender retazos de su historia, peroademás con un planteamiento realmente original y, sobretodo, didáctico. El método que ha seguido el autor es tansencillo como novedoso: en cada capítulo parte de un de-terminado tópico, busca la obra y el matemático que loabordó –en algunos casos por primera vez– y nos lo ofre-ce en su versión original (traducido, claro). De esa formapodemos dar un paseo por los textos originales donde apa-recen el Teorema de Pitágoras, las ternas pitagóricas, lasecuaciones de segundo grado, los sistemas lineales y no li-neales, la integración, la derivación, la Regla de L’Hôpital,etc., todo ello cogidos de las manos ilustres de Euclides, Fi-bonacci, Descartes, Fermat, Newton, L’Hôpital, Simpson,Laplace, Cauchy o Rouché.

Además, Meavilla estructura cada uno de los diecinue-ve capítulos de una manera casi perfecta: comienza conuna breve semblanza biográfica del autor en cuestión, si-gue con la redacción original del texto –complementándolasi es necesario con la correspondiente adaptación a la no-tación actual– y termina con unas interesantes propuestasdidácticas que incluyen actividades para los distintos ni-veles educativos.

Aunque sólo fuera por conocer y paladear los textosoriginales de estos grandes maestros, el libro es digno de

ser disfrutado desde la primera página. Pero a los que noestén tan avezados en los textos históricos es posible queles sorprenda, como le pasó a quien esto escribe, constatarla omnipresencia que ha tenido la geometría a lo largo dela Historia de las Matemáticas, no sólo desde el punto devista conceptual, sino también –y quizá sobre todo– co-mo apoyo para cualquier tipo de demostración; así comoahora tendemos a razonar ayudándonos casi exclusivamen-te del lenguaje algebraico, leyendo esta obra nos damoscuenta de que lo que casi siempre ha funcionado han sidolas construcciones geométricas, por ejemplo para objeti-vos tan dispares como resolver problemas de progresioneso ecuaciones de segundo grado.

Un último comentario: en la segunda lección, dedica-da a Abraham bar Hiia, el lector se encontrará con unademostración de la fórmula del área del círculo que es,sencillamente, deliciosa. Desde nuestra óptica moderna,algo viciada por el rigor quizá excesivo, es posible quenos parezca falta de formalidad, pero desde el punto devista intuitivo es formidable e impecable. Las caras de misalumnos de 3.o de ESO cuando se la expliqué así me loconfirmaron.

Reseña de José Ramón Sánchez GarcíaIES Los Ángeles (Almería)

APLICACIONES DE LAS MATEMÁTICAS

Modelos matemáticos en oftalmologíaDarío Ramos LópezBecario de la UAL

La modelización matemática tie-ne cada vez más importancia en todaslas ramas de la Ciencia. Sin un mode-lo matemático adecuado, se hace di-fícil el estudio sistemático de los pro-cesos de la naturaleza y la extracciónde consecuencias útiles. Varios investi-gadores de la Universidad de Almeríatrabajamos en la mejora de modelosmatemáticos aplicados a la oftalmolo-gía y a la óptica, especialidades dondeel uso de modelos es imprescindible.

Un modelo es una descripción ma-temática de la realidad, incluyendola «traducción» al mundo real de losresultados y predicciones del modelomatemático. En el caso de la oftalmo-logía, el objetivo último es mejorar eldiagnóstico y tratamiento de las dis-tintas enfermedades y defectos en lavisión. Para conseguirlo, son necesa-rios buenos modelos del ojo humano,tanto de la forma de sus distintas par-tes como de su funcionamiento. En es-

pecial es importante tener un modeloadecuado de la superficie de la caraanterior (exterior) de la córnea, ya quees uno de los elementos más importan-tes en la visión.

Todos los aparatos que «captu-ran» la forma de la córnea (llamadostopógrafos corneales) dan como resul-tado una serie de puntos de la superfi-cie, cada uno con sus tres coordenadasen el espacio. Se puede ver una ima-gen de dichos puntos en la siguienteimagen.

Puntos de la córnea capturadospor un topógrafo corneal

Para obtener una descripción ade-cuada de la córnea, es necesario «cons-

truir» una superficie que se ajustebien a los puntos medidos por el apa-rato. Surge aquí el problema matemá-tico de la reconstrucción de superfi-cies, que también se puede considerarcomo una regresión. Este problema sepuede resolver de muy distintas for-mas, cada una con sus ventajas e in-convenientes.

En la siguiente figura se muestrauna reconstrucción de una córnea conmétodos matemáticos.

Superficie de la córneareconstruida a partir de los datos

del topógrafo

Una vez que se tiene este mode-

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lo de la superficie (en resumen, unafórmula matemática que da la formade la córnea) se puede obtener el de-nominado «frente de onda», que en-tre otras cosas, es imprescindible pa-ra las operaciones láser de correcciónde miopía o astigmatismo. También esposible utilizar el modelo de superficiepara simular la visión del ojo y paraconstruir índices o indicadores de pre-sencia de alguna deficiencia.

Los índices son una forma de com-probar la presencia de una posible en-fermedad o defecto ocular. En concre-to, cada índice mide algunos tipos dedeficiencias. Algunos ejemplos de ín-dices comunes en medicina son la ten-

sión arterial o la cantidad de azúcaren sangre. Habitualmente cada índi-ce tiene un rango de valores consi-derado normal; si el índice tiene va-lores dentro de dicho rango, signifi-ca que no se aprecia ninguna anoma-lía. En cambio, un valor fuera de eserango, avisa de la presencia de algunadeficiencia y la cuantifica. En el ca-so del azúcar en sangre, se consideranormal tener entre 80 y 120 mg/dLy anómalo fuera de este rango. Al-gunos índices usados en oftalmologíatienen expresiones matemáticas real-mente sencillas (sumas o productos).Otros, algo más sofisticados, se cons-truyen mediante modelos estadísticos

básicos, de los que se estudian en lacarrera de matemáticas en la univer-sidad. A pesar de su sencillez, se utili-zan en todo el mundo a nivel clínico,mostrando buena fiabilidad y capaci-dad de predicción, y complementandoasí el diagnóstico médico tradicional.

En resumen, muchas técnicas ma-temáticas básicas son utilizadas en elmundo de la óptica y la oftalmología,resolviendo importantes problemas yaportando métodos objetivos de diag-nóstico y corrección de distintas afec-ciones oculares. Cada vez estos mode-los son más precisos, permitiendo asíuna mejora en la salud y la visión delos pacientes.

PARTICIPACIÓN ESTUDIANTIL

Encuentro Nacional de Estudiantes de MatemáticasJuanjo Pascual AlexAlumno de la UAL

Este año el XI Encuentro Nacio-nal de Estudiantes de Matemáticas(ENEM) se ha celebrado en Badajozentre los días 27 de julio y 1 de agos-to. Este ha sido el segundo año quealumnos de Matemáticas de la Uni-versidad de Almería han participadoen este encuentro.

Estudiantes de la UAL asistentesal encuentro

En primer lugar, tenemos que darlas gracias a la Facultad de CienciasExperimentales de nuestra Universi-dad por el esfuerzo que ha hecho fi-nanciándonos el coste del encuentro.

Al llegar a Badajoz, lo primero fueencontrar la Residencia UniversitariaCaja de Badajoz que fue donde estu-vimos alojados durante esa semana.Un residencial confortable y dotadode numerosas instalaciones donde losorganizadores aprovecharon para pre-parar actividades en grupo. Una de

ellas fue una «gymkhana» por gruposcuyas pruebas tenían relación con lasMatemáticas. Estas actividades nosvinieron muy bien para conocer aalumnos de otras universidades que noconocíamos del año anterior en Ma-drid.

A lo largo de la semana se realiza-ron distintas conferencias donde nosacercaron multitud de temas relacio-nados con las Matemáticas. Por ejem-plo, Lorenzo Blanco, Presidente dela Sociedad Española de Investigaciónen Educación Matemática, impartióla conferencia titulada «¿Qué, paraqué, cómo enseñar/aprender Mate-máticas?». En ella se explicó diferen-tes aspectos que había que tener encuenta a la hora de enseñar Matemá-ticas ya que en las diferentes evalua-ciones nacionales e internacionales seponen de manifiesto resultados nega-tivos sobre la educación matemática yseñalan que los estudiantes de secun-daria manifiestan un cierto desinteréshacia una materia que rara vez consi-deran útil y necesaria para desenvol-verse en la vida.

Otra conferencia fue la impartidapor el profesor de la Universidad deExtremadura, Agustín García Noga-les, llamada «Probabilidad y Esta-dística: las Matemáticas del Azar».En ella se destacaron los conceptos de

azar desde el punto de vista matemá-tico, sobre la propuesta de Kolmogo-rov de que calcular probabilidades tie-ne mucho que ver con el cálculo deáreas de figuras planas o de volúmenesen el espacio, y sobre cómo esa visiónmodificó para siempre la Teoría de laProbabilidad.

También, se realizó una mesa re-donda con el título «¿Cómo ha afec-tado el cambio a los nuevos planesde estudios?» impartida, entre otros,por Mariano Rodríguez-Arias Fernán-dez (Vicedecano de la Facultad deCiencias de la Universidad de Extre-madura) y Antonio Campillo López(Presidente de la Real Sociedad Ma-temática Española) donde nos expli-caron las posturas encontradas entrelos defensores y detractores del gra-do en matemáticas y pudimos pregun-tar todas nuestras dudas así como darnuestra opinión sobre el tema.

Foto de familia

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En esa semana, además de Bada-joz, pudimos conocer dos de las ciuda-des más importantes de Extremadura,como son Cáceres y Mérida, ya que al-gunas de las conferencias se realizaronallí y la organización aprovechó pararealizar visitas guiadas por los lugaresmás característicos de ambas ciudades

como son el Recinto Histórico (en Cá-ceres) o el Anfiteatro romano (en Mé-rida).

Para terminar, decir que el próxi-mo encuentro será en Tenerife y ani-mamos a todos los alumnos de Mate-máticas a que asistan ya que no siem-pre se tiene la oportunidad de conocer

a compañeros de otras universidadesespañolas que estudian lo mismo quetú. Nosotros si podemos repetiremossin dudarlo ya que la experiencia hasido muy positiva y, aunque el calorhizo de las suyas, disfrutamos de unosdías maravillosos que seguro nunca ol-vidaremos.

La labor habitual de un estudiante de posgrado en Matemáticas es trabajar para obtener nuevos resultados que leconduzcan a avanzar en una determinada línea de investigación, y que finalmente le conducirán a la presentación deuna memoria de tesis doctoral. En este camino, es usual encontrar «compañeros de viaje» con los que realizar algunacolaboración. A continuación presentamos un trabajo en el que se muestra este tipo de colaboración.MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS

The description of the Hilbert’s curve bymeans of fractal structuresYoula VerraPostgraduate Student, University of Patras (Greece)

Manuel Fernández MartínezPostgraduate Student, Universidad de Almería (Spain)

Fractals are a special kind of sets which have beenstudied from different points of view. In particular, topo-logy allows the study of this class of non-linear objects bymeans of fractal structures. A fractal structure is just acountable family of sets which approaches the whole spacein which we are working, by means of a discrete sequenceof coverings, called levels. For instance, a fractal structurefor the closed unit interval [0, 1] ⊂ R could be given bythe following family: Γ = {Γn : n ∈ N}, whose levels aredefined as Γn =

{[k2n, k+12n

]: k ∈ {0, 1, . . . , 2n − 1}

}for all

natural number n. Hence, we should mention that thefirst level would be Γ1 =

{[0, 12

],[12, 1]}, the second one

is Γ2 ={[0, 14

],[14, 12

],[12, 34

],[34, 1]}, and so on.

From a historical point of view, fractals were formallyintroduced by French mathematician Benoît Mandelbrot(1924-2010) at the late sixties, although some interestingclassical fractals were presented sometimes asmathemati-cal monsters, due to its novel and counter-intuitive analy-tical properties, and frequently shown as counterexamplesor exceptional objects by some remarkable mathemati-cians of previous centuries, as Giuseppe Peano (1858-1932)and David Hilbert (1862-1943) space-filling curves.

Given any patch of the plane, a plane-filling curve is acontinuous curve which meets every point in that patch.Thus, though the Peano plane-filling curve appeared in1890, the later Hilbert’s curve results also interesting, sin-ce it has neither self-intersections nor touching points atany stage of its construction we are going to explain next.In this way, a big number of space-filling curves has beenstudied after that, but the example proposed by Hilbertbecomes, maybe, one of the most famous, since he pro-vided one of the first graphical visualizations of a fractal

in his original 2-page paper Über die stetige Abbildungeiner Linie auf ein Flächenstück (1891). This curvewas first sketched during a mathematical annual meetingin Bremen (Germany), where Hilbert and Georg Cantor(1845-1918) were working on the foundation of the Ger-man mathematical society.

The elegant iterative construction of the classical Hil-bert’s plane-filling curve may be easily performed bymeans of fractal structures as follows. First of all, we takethe unit closed square [0, 1]× [0, 1] ⊂ R2, and divide himinto four quarters. Accordingly, the first iteration of theconstruction of that curve consists of three line segmentswhich connects the centers of the four given quadrants, aswe show in the attached figure. Let’s denote by α1 to thatfirst approach to the Hilbert’s curve. Then, in the secondstep of the construction, we take each quarter of the pre-vious iteration, and divide also each one of them into fourquarters. Now, we put four reduced copies of the curveα1 into all the new quarters, and turn counterclockwiseby 90 degrees the first of the reduced copies of the curveα1, and clockwise the last of them, also by 90 degrees.Thus, it suffices with connecting the four curves by meansof three line segments, which leads to a new accurate ap-proach to the Hilbert’s curve which we denote by α2. Thisprocedure is repeated inductively, taking into account thefact that each curve αn+1 can be obtained by means ofits preceding one αn, following the same ideas. Therefore,the Hilbert’s plane-filling curve, which we denote by α, isjust the limit of the sequence of maps {αn : n ∈ N}.

Second step of the Hilbert’s plane-filling curveconstruction

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Note that fractal structures describe from a mathema-tical and rigorous point of view that construction. In fact,take the fractal structure Γ = {Γn : n ∈ N}, whose levels aregiven by Γn =

{[k22n ,

k+122n

]: k ∈ {0, 1, . . . , 22n − 1}

}for all

n ∈ N. This family of coverings shows us how the startingsquare is divided into quarters on each level of the startingfractal structure Γ . On the other hand, we can also con-sider another fractal structure ∆ = {∆n : n ∈ N}, whoselevels are defined by ∆n = {α(Γn) : n ∈ N}. For example,

∆1 ={α([0, 14

]), α([14, 12

]), α([12, 34

]), α([34, 1])}

={[0, 12

]2,[12, 1]×[0, 12

],[12, 1]2,[0, 12

]×[12, 1]},

and we can continue in a similar way with the next levels.Accordingly, one of the main advantages of taking into

account the sequence of maps αn : Γn → ∆n consists ofthe fact that the definition of the Hilbert’s curve α is up-dated at any additional stage of its construction, so thatwe get more information about it as we explore deeper

levels of the considered fractal structures.

Three first approaches to the Hilbert’s plane-fillingcurve α

Therefore, nowadays we can understand that Hilbertcould «lift up the veil which hid the future of mathe-matics» (as himself said in his ICM 1900-famous openingconference) and explore the origins of a kind of sets whichhave been applied on a big number of science areas, suchas study of dynamical systems, diagnosis of diseases, eco-logy, earthquakes, detection of eyes in human face images,and the analysis of the human retina, just to name a few.

Responsables de las secciones

2 Actividad Matemática en la UAL

Actividades organizadas : Pedro Martínez(pmartine@ual.es).

Entrevistas e investigación : Juan Cuadra(jcdiaz@ual.es) y Juan José Moreno(balcazar@ual.es).

Foro abierto y preguntas frecuentes : JuanCuadra (jcdiaz@ual.es) y Fernando Reche(freche@ual.es).

2 De la Enseñanza Media a la EnseñanzaUniversitaria:

Experiencias docentes : Manuel Gámez(mgamez@ual.es), Juan Guirado(jfguirado@gmail.com) y Miguel Pino(mpinomej@gmail.com).

Enseñanza bilingüe en Matemáticas : Eva Acosta(evagavilan1@yahoo.es) y Cándida Hernández(candihernandez@hotmail.com). Colaboradora:Johanna Walsh (Cardiff, UK).

2 Divulgación Matemática

La Historia y sus personajes : FlorencioCastaño (fci@ual.es) y Blas Torrecillas(btorreci@ual.es).

Problemas de interés : Juan Guirado(jfguirado@gmail.com), Alicia Juan(ajuan@ual.es) y Miguel Ángel Sánchez(misanche@ual.es).

Las Matemáticas aplicadas en otros campos :Juan Antonio López (jlopez@ual.es), FranciscoLuzón (fluzon@ual.es) y Antonio Salmerón(asalmero@ual.es).

Mujeres y matemáticas : Isabel Ortiz(iortiz@ual.es) y Maribel Ramírez(mramirez@ual.es).

Cultura y Matemáticas : José Cáceres(jcaceres@ual.es) y José Luis Rodríguez(jlrodri@ual.es).

Lecturas recomendadas sobre divulgaciónmatemática : Juan Cuadra (jcdiaz@ual.es) yAntonio Morales (amorales@ual.es).

Páginas web de interés : José Carmona(jcarmona@ual.es) y José Escoriza(jescoriz@ual.es).

Citas matemáticas : Juan Cuadra(jcdiaz@ual.es) y Alicia Juan (ajuan@ual.es).

Pasatiempos y curiosidades : Antonio Andújar(andujar@ual.es) y José Antonio Rodríguez(jarodrig@ual.es).

Acertijos : Juan Carlos Navarro (jcnav@ual.es).

2 Territorio Estudiante: Elisa Berenguel(elisaberenguel@hotmail.com), ManuelFernández (fmm124@ual.es), Carmen Gádor Garzón(cgge19@hotmail.com), Diego José Montoya(chachidiego@hotmail.com), María José Pérez(mariajose1987_@hotmail.com) y Darío Ramos(dariorl@gmail.com).

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