boletÍn de las olimpiadas de matemÁtica en...

BOLETÍN DE LASOLIMPIADAS DE MATEMÁTICA

EN GUATEMALA

Artículos, Talleres,Pruebas Nacionales

Ciclo 2008–2009Año 1

GUATEMALA, MARZO DE 2009

I

Comité de OlimpíadasInternacionales de Matemáticas

Coordinación

• Lic. William GutiérrezLicenciatura en Matemática Aplicada,Facultad de Ingeniería, USAC

Profesores-entrenadores

• Sergio MéridaTeoría de Números y Combinatoria

• Ricardo PontazaGeometría

• José Carlos BonillaCombinatoria y Teoría de Números

• Hugo GarcíaGeometría y Álgebra

• Esteban ArreagaÁlgebra y Desigualdades

• William GutiérrezTeoría de Números y Teoría de Conjuntos

Consejo Editorial

Editor: William GutiérrezRevisores: José Bonilla y Hugo GarcíaProblemas y soluciones: profesores-entrenadores, alumnos y profesores invitadosMathematics Subject Classification 2000 (MSC2000): 97U40, 00A07, 11–01, 51–01Conjunto de tipos AMS-LATEX

http://sitios.ingenieria-usac.edu.gt/licmate/

http://foro.mate304.org/

II

Índice general

1. Introducción V

2. Agradecimientos VI

Taller de Geometría — Nivel Básico 1Lic. Aarón Ramírez

1. Ángulos 1

2. Igualdad de Triángulos, Áreas y Perímetros 5

3. Teorema de Pitágoras, Triángulos Notables 9

4. Teorema de Thales, Semejanza de Triángulos 12

5. Ángulos en Circunferencia 17

6. Cuadriláteros Cíclicos 22

7. Potencia de Punto 25

8. Ortocentro y Circuncentro 28

9. Baricentro, Incentro y Excentro 30

10. Algunas Soluciones 36

A. Resultados Preliminares 50

Taller de Teoría de Números — Nivel Básico 57Lic. Riquelmi Cardona

1. Conceptos Básicos: Divisibilidad 57

2. Numeros Primos y MCD 592.1. Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo . . . . . . . . . . . . . . 592.2. Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3. Teorema Fundamental de la Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3. Congruencias 633.1. Definición y Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2. Congruencias Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3. Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Taller de Geometría — Nivel Avanzado 67Lic. Aarón Ramírez

III

Taller de Teoría de Números — Nivel Avanzado 84Lic. Riquelmi Cardona

1. Congruencias Especiales 841.1. Teorema de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.2. Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.3. Teorema Chino del Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2. Ecuaciones Diofánticas 86

3. Resultados Interesantes 873.1. Postulado de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.2. Representación de enteros como suma de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . 88

Exámenes de Selección 2008 90Profesores-entrenadores

Índice de figuras

1. Congruencia de segmentos de recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502. Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513. Triángulo rectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524. Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525. Mediana en un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526. Bisectriz de un ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537. Mediatriz de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538. Altura de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539. Centroide de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410. Incentro de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411. Circuncentro de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5412. Ortocentro de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5513. Ángulos en una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5514. Cuadrilátero cíclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

IV

1. Introducción

Las Olimpíadas de Matemáticas son competencias extracurriculares en la disciplina quehan tenido un crecimiento vertiginoso en los últimos años. Estas competencias se celebran conla finalidad de alcanzar varios objetivos, a saber, la búsqueda de talento para las matemáticasen los jóvenes que aún no han ingresado a la educación superior, el intercambio de experien-cias entre los profesores de la especialidad, la creación de problemas novedosos y atípicos quepermitan despertar interés por el estudio de la disciplina y en general, como menciona unarecomendación de la UNESCO hecha en 1989, para apoyar el talento y la iniciativa científicaentre la juventud.

Son muchos los países de América Latina que tienen una experiencia interesante en Olimpí-adas de Matemáticas. En la región, además de varias Olimpíadas Matemáticas nacionales, hayeventos como la Olimpíada Matemática del Cono Sur y la Olimpíada Matemática de Mayo, quepermiten a los jóvenes ganar experiencia durante su preparación para competencias de mayornivel, como lo son la Olimpíada Iberoamericana de Matemática (OIM), Olimpíada de Mate-mática de Centroamérica y el Caribe (OMCC) y la Olimpíada Internacional de Matemática(OIM).

Desde el año 2001 Guatemala viene participando en este tipo de competencias, con unprogreso muy positivo en cada ocasión en que ha asistido, habiendo obtenido Medallas deBronce y Menciones Honoríficas, tanto en forma individual como por equipos. Asimismo, cabedestacar la obtención de la «Copa Puerto Rico» en el año 2002 al mayor progreso relativo y unaMedalla de Bronce en la Olimpíada Internacional de Matemática del 2008. Éste es el resultadodel trabajo que se realiza como parte del proceso de selección y entrenamiento para olimpíadasque se desarrolla en la Facultad de Ingeniería de la Universidad de San Carlos de Guatemala(USAC) y la Universidad del Valle de Guatemala (UVG).

Con el pasar de los años se han agregado miembros al equipo de profesores, en tanto quealgunos otros se han retirado, varios de los cuales todavía apoyan el proyecto de manera indi-recta. Los ahora profesores —casi todos ex-olímpicos— continúan con el mismo entusiasmo delos entrenamientos sabatinos, para formar a la próxima generación de jóvenes que conforma-rán las delegaciones guatemaltecas, que en un futuro inmediato participarán en las distintascompetencias internacionales.

Para tal fin, se han establecido vínculos con representantes de programas de olimpíadasde países de la región, para hacer intercambios académicos, y como primer paso fue la invi-tación extendida a dos profesores del Programa Jóvenes Talento (PJT) de El Salvador, paraparticipar como conferencistas en la «Semana de Capacitación en la Resolución de Problemasde Olimpíadas de Matemática», celebrada del 23 al 27 de febrero de 2009, en las instalacionesde la Facultad de Ingeniería de la USAC. En dicha semana, asistieron cerca de 30 profesoresde nivel medio y 15 estudiantes, fue organizada por Lic. William Gutiérrez.

La publicación que tiene en sus manos es fruto de estos talleres, está centrada en tópicosde Geometría y Teoría de Números,1 cada uno dividido en dos niveles: Básico y Avanzado, pa-ra una mejor ubicación del lector. La misma contiene una gran variedad de problemas —conalgunas soluciones— orientados para despertar el interés y la intuición propias en la resolu-ción de problemas matemáticos. Además, al final se incluyen los exámenes de selección del

1Las otras disciplinas olímpicas son Combinatoria, Álgebra y Desigualdades, esperamos sean cubiertas en próxi-mos trabajos.

V

año 2008, utilizados para determinar a los jóvenes que participarían en la OMCC y OIM, res-pectivamente. Esperamos que sea una herramienta para incentivar a los jóvenes en esta belladisciplina como lo son las Matemáticas.

2. Agradecimientos

El presente trabajo fue parcialmente financiado por la Secretaría Nacional de Ciencia y Tec-nología (SENACYT) a través del contrato FACYT 053–2008. Los tutores estamos en deuda conlos profesores invitados Aarón Ramírez y Riquelmi Cardona de la Escuela de Matemáticas, Uni-versidad de El Salvador, por compartir sus conocimientos y experiencias, nos serán de muchaayuda al momento de impartir nuestros cursos.

A nuestro amigo y maestro Pedro Morales por su colaboración y asesoramiento continuo.Al joven Alejandro Vargas por la resolución de varios problemas propuestos y el manteni-miento del foro de olimpíadas (http://foro.mate304.org/).

No debemos dejar de mencionar a la Facultad de Ingeniería de la Universidad de San Car-los de Guatemala (USAC), Ministerio de Educación, UNICEF, Fundación «Mariano y RafaelCastillo Córdoba», Fianzas Universales por la confianza brindada al proyecto de olimpíadas.

Los profesores-entrenadoresGuatemala, marzo de 2009

VI

Taller de Geometría — Nivel Básico

Lic. Aarón RamírezUniversidad de El Salvador

23–27 de febrero de 2009

Resumen

Este es un recopilado de problemas de geometría (casi íntegro) elaborado por OscarArmando Morales y Arnoldo Aguilar Cañas en el curso «Geometría Euclídea» duranteel evento «Futuros Dirigentes Técnicos Científicos» realizado en diciembre de 2008 en laUniversidad de El Salvador.

Tal curso está planificado para estudiantes que recién terminan el octavo grado y queno necesariamente se especializan en olimpiadas en matemática, también estudiantes quese preparan a olimpiadas de física o química reciben este curso, inclusive aquellos quese mantienen al margen de la componente olímpica. Esa es justamente la riqueza de estecurso, introduce a estudiantes de capacidades y aptitudes relativamente heterogéneas alpensamiento matemático (tanto plausible como riguroso) a través de la geometría, a pesarque no parezca útil o al menos eficiente en un primer momento, es un verdadero gambito.Esto, aunado a la edad que tienen los estudiantes durante el curso, es algo impensable ennuestro sistema educativo (El Salvador).

También, a este curso se incorporan estudiantes de Honduras y Nicaragua desde hacevarios años, lo cual ha enriquecido de sobremanera la experiencia académica, y de paso,tal experiencia sirve para deshacer fronteras ilógicas que nos separan.

Esperamos también compartir con Guatemala esta experiencia, y en ese sentido felicita-mos a la Coordinación de Olimpiadas de Guatemala por la iniciativa que desarrollan eneste momento, sin duda es acertada.

Finalmente, es importante aclarar que muchos problemas no son originales, sin embar-go, una parte importante sí, lo cual es algo muy raro y destacable dado nuestro entorno.

1. Ángulos

1. En la figura ambos triángulos son equiláteros. Encuentre el valor de ϕ.

1

2. En la figura l1 ‖ l2, encuentre la medida de los ángulos x e y.

3. En la figura, PQ ‖ SR y PS ‖ QR. ¿Cuanto mide el ángulo α?

4. En la figura, ABC y CDE son dos triángulos equiláteros iguales. Si el ∠ACD = 80◦,¿cuánto mide ∠ABD?

5. Hallar la suma de los ángulos α + ε + θ + ϕ en la figura.

2

6. Hallar la suma ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F en la figura.

7. Hallar la suma de los ángulos de los vértices A + B + C + D + E de la estrella de cincopuntas que se muestra en la figura.

8. ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a cuarto para las cinco?

9. DEFG es un cuadrado que se ha trazado fuera del pentágono regular ABCDE. ¿Cuántomide ∠EAF?

10. Se remueve de una pared un ladrillo que tiene forma poligonal regular. Se observa quesi el ladrillo sufriese un giro de 40◦ o de 60◦ en torno a su centro, cabría otra vez en elhueco original. ¿Cuál es el menor número de lados de este polígono?

11. Dado un cuadrado ABCD, se construye exteriormente el triángulo equilátero ABP, einteriormente el triángulo ADQ. Probar que C, P y Q están alineados.

12. El triángulo ABC es equilátero. Si D, E y F son los puntos medio de BC, AB y CE respec-tivamente, demostrar que ∠FDE = 60◦.

3

13. En la figura AB = BC = CD = DE = EF = FG = GA. Calcule la medida de ∠DAE.

14. Sea ABC un triángulo rectángulo con ∠CAB = 90◦, D es un punto sobre la prolongaciónde BC tal que BD = BA, E es un punto en el mismo semiplano que A respecto de BC, talque CE es perpendicular a BC y además CE = CA. Mostrar que A, D y E están alineados.

15. Suponiendo que las rectas AC y BD son paralelas, y que las rectas AB y CD son paralelas,calcule β.

4

16. Sea ABC un triángulo rectángulo en B con AB = BC, se construye exteriormente eltriángulo equilátero BCD. Encuentre el ángulo ∠DAB.

17. En la figura ABCD es un cuadrado y BEF es un triángulo equilátero con AC paralela aEF. Si BG es la prolongación de BE, determine el valor del ángulo ∠BGC.

2. Igualdad de Triángulos, Áreas y Perímetros

18. La figura siguiente se construyó con un cuadrado y la mitad de otro, hay que dividirloen cuatro partes de la misma forma y de igual tamaño.

19. El rectángulo ABCD tiene un área de 40 cm2. Deduzca por un método rápido y sin fór-mulas el área del rectángulo AEFC.

5

20. En figura se muestran seis cuadrados. Sabiendo que el segmento de A a B mide 24, ¿cuáles la suma de los perímetros de los seis cuadrados?

21. En la siguiente figura cada número indica la medida de cada segmento. ¿Cuál es el perí-metro de la figura?

22. Sea ABCD un paralelogramo, demuestre que:

a) AB = CD y BC = AD.

b) Las diagonales AC y BD se cortan en su punto medio.

23. En el rectángulo ABCD se toma un punto E sobre AD tal que (CDE) = 3(ABE). Si sesabe que (CDE) = 22.5 y CD = 5, encuentre el área sombreada.

6

24. Cuatro cilindros de diámetro 1 están pegados apretadamente por una cuerda muy fi-na, como en la figura anexa. Demostrar que la cuerda tiene longitud 4 + π. Demostrartambién que el área sombreada entre los cilindros es 1− π/4.

25. El cuadrado en la figura adjunta tiene lado 4. Demostrar que el area de la rosa de cuatropétalos mostrada es 8π − 16. La rosa es la intersección de semicírculos de radio 2 condiámetros en los lados del cuadrado.

26. Dos cuadrados ABCD y EHGF, ambos de lado l, están colocados en manera tal queun vértice de uno está en el centro del otro (véase la figura). Demuestre que el área delcuadrilátero EJBK es l2/4 y por ende no depende de la posición de J (o K).

7

27. En la figura mostrada, ABC es un triángulo equilátero y CDEF es un cuadrado. Se cons-truye un punto G tal que CF = CG y además ∠CFG = 15◦. Probar que ∠AGC = ∠BDC.

28. En el rectángulo ABCD, M es el punto medio del lado AD, AB = 1 y BC = 2.

a) Demuestre que (AMB) = (MDB).

b) Determine la altura trazada desde M hacia BD.

29. Teorema de Viviani. Sea h la longitud de una altura del triángulo equilátero ABC y sea Pcualquier punto en el interior del triángulo. Sean R, S, T los pies de las perpendicularesdesde P hasta los lados AB, BC y CA respectivamente. Demostrar que PR + PS + PT =h.

30. El punto P está en el interior del triángulo equilátero ABC de lado 3. La distancia de P aAB es d, la distancia de P a AC es 2d y la distancia de P a CB es 3d. Calcule d.

8

31. Dos círculos se intersecan en dos puntos. Demuestre que la recta que une los centros dedichos círculos biseca a la cuerda común.

32. Se cortan las esquinas de una lámina cuadrada de 10 cm de lado para formar un octógonoregular:

a) ¿Cuál es la medida del lado de dicho octógono?

b) Calcule el perímetro del octógono.

c) ¿Cuál es el área de dicho octógono?

33. Dado el rombo ABCD con ∠A = 60◦. Los puntos F, G y H están sobre AD, DC y ACtales que DFHG es un paralelogramo. Probar que FBG es equilátero.

34. Sea ABCD un cuadrado con P y Q sobre AB y BC tales que BP = BQ. Sea H el pie de laperpendicular de B a PC, demuestre que ∠DHQ = 90◦.

3. Teorema de Pitágoras, Triángulos Notables

35. En la siguiente figura el cuadrado mayor tiene un área de 60 cm2. ¿Cuál es la superficiedel cuadrado menor?

36. Encuentre el valor de x en la figura si se sabe que AD =√

3.

9

37. Sea ABCD un cuadrilátero que satisface DAB = ABC = ACD = 90◦ y BCA = 30◦. SiAB = 1 calcular AD y BD.

38. Si AB = 1. Demuestre que: BCBE = 1

1−DE , para α = 30◦.

39. En la figura, ABCD es un cuadrado y los triángulos ABF y DEC son equiláteros. SiAB = 1, ¿cuál es la longitud de EF?

40. Dos círculos de radio 2 y de centros O y P son mutuamente tangentes, como en la figuraadjunta. Si las rectas AD y BD son tangentes, hallar la medida del segmento BD.

41. Se inscribe un círculo de radio 2 en un cuadrado. Un círculo menor, de radio r es tangentetanto al círculo mayor como a dos lados del cuadrado dentro del cuadrado. Calcule r.

10

42. En la figura adjunta, los círculos son concéntricos, la recta AB es tangente al círculo in-terno y AB = 20. Hallar el área del anillo sombreado.

43. Se inscribe un círculo dentro de un cuarto de círculo, como en la figura siguiente. Si elcírculo mayor tiene radio R, determinar el radio del círculo menor.

44. En la siguiente figura se tiene que los ángulos ABC y CDE son rectos. ¿Cuánto mide elsegmento AE?

11

45. Sea ABCD un cuadrilátero tal que ∠ADC = 45◦, ∠DCB = 90◦, ∠DAB = ∠ABC yCD = 1. Calcular AD− BC.

46. Sobre una semicircunferencia de diámetro AB = 4 se ubica un punto C. O es el puntomedio de AB, M y N son los puntos medios de OA y OB. Demuestre que CM2 + CN2 =10.

47. Sea ABC un triángulo equilátero. Se construye exteriormente el cuadrado ABDE. SiAD = 4

√2, hallar la medida de la altura del triángulo ABC.

48. Sea ABCD un cuadrilátero de diagonales perpendiculares AC y BD. Demuestre el teo-rema de Arquímedes: AB2 + CD2 = BC2 + DA2.

49. En la figura adjunta, el 4ABC es rectángulo en A y el 4ADB es rectángulo en D. Elpunto E es el punto de intersección de los segmentos AD y BC. Si AC = 15, AD = 16 yBD = 12, hállese el área del4ABE.

50. Sea ABC un triángulo y PQRS un cuadrado con P en AB, Q en AC, y R y S en BC. SeaH el pie de la altura desde A hacia BC. Demuestre que:

a) 1AH + 1

BC = 1PQ .

b) El área de ABC es el doble de PQRS si y solo si AH = BC.

4. Teorema de Thales, Semejanza de Triángulos

51. En figura que se muestra, las rectas MN y AB son paralelas, además: AM = 2MC yBN = 6 cm ¿Cuánto mide NC?

12

52. Considerando el gráfico anterior y asumiendo que la medida del segmento BN excede ala del segmento NC en 2. Calcular NC, si además AM = 3 y MC = 2.

53. En la figura siguiente el4ABC es isósceles. Además AB = BC = 3AC. El perímetro del4ABC es 84. D es el punto medio del segmento BC; E es el punto medio del segmentoDC; F es el punto medio del segmento AC y G es el punto medio del segmento FC.Hállese el perímetro del cuadrilátero sombreado DEGF.

54. La siguiente figura consta de tres paralelas cortadas por dos secantes. Determinar el valorde b, sabiendo que a es un número entero.

55. Considérese los puntos A, B, C y D tales que A y B están sobre el segmento OC y ODrespectivamente, donde O es el centro de la circunferencia de radio r. Si OA ·OC = r2 yOB ·OD = r2, demuestre que:

a) El4AOB es semejante al4DOC.

b) CD =(

r2

OA·OB

)AB (Distancia Inversa).

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56. En cada una de la siguientes figuras, muestre que OP ·OQ = r2, donde O es el centro dela circunferencia y r el radio.

Observación: Las líneas punteadas no son parte de la construcción, sólo pretenden seruna sugerencia.

57. En la figura se tiene que AX, BY y CZ son paralelas. Demostrar que

1AX

+1

BY=

1CZ

.

14

58. ABCD es un paralelogramo. El punto E está sobre la recta CD más allá de D. Se traza elsegmento BE, la intersecando a AD en F y la diagonal AC en G. Demostrar que

1BG

=1

BF+

1BE

.

59. En el4ABC, E y F yacen sobre el lado AB, con E entre A y F, como en la figura siguiente.Se satisface además AE : EF : FB = 1 : 2 : 3. Los puntos G y D yacen sobre el lado CBcon G entre C y D. Se satisface CG : GD : DB = 4 : 3 : 2. Si el segmento FG interseca alsegmento ED en H, determinar la razón DH : HE.

60. En la figura siguiente, el rectángulo ABCD de área a, P, Q y R son los puntos medios delos lados BC, CD y AD, respectivamente. M es el punto medio del segmento QR. Sea bel área del triángulo4APM. Calcule la fracción a

b .

61. En la figura, encuentre los valores de BE y CD si AC = 25. Si los segmentos AB y DEson perpendiculares a BC.

15

62. Las tres circunferencias de la figura siguiente tienen el mismo radio r, sus centros soncolineales y la circunferencia de en medio es tangente a las otras dos. Por O se traza unatangente a la circunferencia de centro C3. Obtenga el valor del segmento AB en funciónde r.

63. En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado, AN ‖ LC y OB ‖ DM. Además, AL =MB = 2. Determinar la medida del área, en unidades cuadradas, de la región sombreadacruzada dentro del cuadrado.

64. El 4ABC tiene lados de 13, 14 y 15 unidades. El 4A′B′C′ esta dentro del 4ABC conlados paralelos a los de este y a 2 unidades de distancia de los lados de los mismos.Calcule (4ABC)− (4A′B′C′).

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65. Sea ABCD un rombo, con AC = 6 y BD = 8. Se construyen exteriormente los cuadradosABEF y BCGH, cuyos centros son O1 y O2, respectivamente. Calcular O1O2.

5. Ángulos en Circunferencia

66. Dado un ángulo inscrito∠BAC, y su ángulo central∠BOC, se sabe que∠BAC+∠BOC =180◦. Calcular ∠OBC.

67. Γ1 y Γ2 representan circunferencias que son tangentes interiormente en el punto A. C yC′ son los extremos del diámetro AC y AC′ respectivamente. Además B y B′ son puntossobre Γ1 y Γ2 respectivamente tales que A, B, B′ están alineados. Pruebe que BC ‖ B′C′.

68. Demuestre las fórmulas siguientes.

a) Fórmula del ángulo interior: ∠AFB =_

AB_

DC.

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b) Fórmula del ángulo exterior: ∠CAD =_

CD_

BE.

69. En la figura, encuentre el valor de θ.

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70. En la figura DE es tangente por D, y C es el punto medio del arco AD. Encuentre el valordel ángulo seminscrito θ.

71. En la figura AC ‖ FD, demuestre que los triángulos ACE y FDB son iguales.

72. En la figura, AB es un diámetro. Por un punto D de la circunferencia se traza una tan-gente, y luego se dibuja una cuerda AC paralela a ella. Probar que BD es la bisectriz de∠ABC.

19

73. Dos círculos de radios desiguales son tangentes externamente en el punto A. Una tan-gente exterior común toca al círculo de menor radio y centro O en B y al círculo de radiomayor y centro O′ en C. Demostrar que ∠BAC = 90◦.

74. Considere la siguiente figura. A y B son los extremos de un diámetro de la circunferenciade centro O, y C un punto de esta tal que CO = 1. Demuestre que los triángulos POC yCOQ son semejantes y que QO = 1

PO .

75. Un rectángulo interseca a un círculo, como en la figura siguiente. Si AB = 4, BC = 5 yDE = 3, calcule la medida de la cuerda EF.

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76. Sobre la circunferencia de centro O, se trazan los diámetros AB y CD tales que AB ⊥ CD.Sea P un punto sobre el arco CBD y Q el punto de intersección de las cuerdas AP y CD.Si DO = 1, demuestre que AP · AQ = 2.

77. Encuentre el valor de θ en la siguiente figura.

78. En la figura: la recta que pasa por A es tangente a la circunferencia S. Demuestre que esarecta tangente es paralela a BC.

79. El arco AB es un cuarto de circunferencia del círculo de centro O que tiene radio R. Losarcos OA y OB son semicírculos congruentes y de diámetro R. Calcule el área de la regiónsombreada.

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6. Cuadriláteros Cíclicos

80. Un cuadrilátero cíclico ABCD satisface ∠ABC = 2θ, ∠CDA = θ. Hallar θ.

81. En un triángulo ABC, BP y CQ son alturas. Probar que el cuadrilátero BCPQ es cíclico.

82. Sea ABCD un trapecio isósceles el cual tiene lados de longitud AD = BC = 5, AB = 4 yDC = 10. El punto C está en el segmento DF y B es el punto medio de la hipotenusa DEdel triángulo rectángulo DEF. ¿Cuál es la longitud del segmento CF?

83. Determine el valor del ángulo θ en la figura siguiente, para que el cuadrilátero BCDO searombo, luego calcule el valor de sus diagonales sabiendo que el radio de la circunferenciamide 6.

84. Las bisectrices de los ángulos en A y en B en la base superior de un trapecio se cortan enel punto R. Determine la razón entre la medida del ángulo agudo en R y la suma de lasmedidas de los ángulos en C y D de la base inferior.

85. Dado un triángulo ABC rectángulo en C, se construye exteriormente el cuadrado ABDEcuyo centro es P. Probar que CP es la bisectriz de ACB.

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86. Teorema de Brahmagupta. ABCD es un cuadrilátero cíclico tal que sus diagonales AC yBD, que se cortan en P, son perpendiculares. E es el pie de la perpendicular a AD por P,EP interseca a BC en M. Probar que M es el punto medio de BC.

87. Teorema de Miquel. En el 4ABC sean D, E, F puntos sobre los lados BC, CA, AB4,respectivamente. Entonces los círculos circunscritos de los triángulos 4AFE, 4BDF,4CED pasan por un punto común.

Sugerencia. Si M es el punto de intersección de los cincuncírculos de los triángulos AFEy BDF, demuestre que:

a) El cuadrilátero CDME es concíclico.

b) Los centros de las tres circunferencias determinan un triángulo semejante al4ABC.

88. En la figura se ha tomado un punto C sobre la circunferencia; AC y BC cortan a la segun-da circunferencia en D y E respectivamente. Probar que OC y DE son perpendiculares.

89. En la figura ABCD es un cuadrado. P es un punto tal que ∠APC = 90◦, Q es el puntode corte de AB y PC, y H es el pie de a perpendicular a AC por Q. Mostrar que P, H y Destán alineados.

90. Sea ABCD un cuadrilátero concíclico cuyas diagonales se cortan en Q. Las prolongacio-nes de DA y CB se cortan en P. Si CD = CP = DQ, mostrar que ∠CAD = 60◦.

23

91. Los vértices A y B de un triángulo equilátero ABC están sobre una circunferencia K deradio l, y el vértice C está en el interior de la circunferencia K. Un punto D, distinto deB, que está en K es tal que AD = AB. La recta DC interseca K por segunda vez en E.Encuentre la longitud del segmento CE.

92. Sea AB = 2 un diámetro de la circunferencia de centro O y sea CD la recta perpendiculara AB en O, tal que CO · DO = 1. Además, E es el punto sobre la circunferencia y elsegmento AD y F el punto sobre la circunferencia y la prolongación de AC, demuestreque:

a) Los triángulos COA y AOD son semejantes.

b) Probar que EF ⊥ OD y que EG = FG.

93. Demuestre que las rectas CB y EF en la figura siguiente son paralelas.

24

94. En un triángulo ABC con incentro I (incentro es el punto de corte de las tres bisectricesde un triángulo), BI y CI cortan a AC y AB en D y E respectivamente. Demuestre que si∠BAC = 60◦ entonces DEI es isósceles.

95. Sea ABCD un cuadrilátero concíclico con diámetro AC, y sea O el centro de su circunfe-rencia. Se construyen los paralelogramos DAOE y BCOF. Demuestre que si E y F estánsobre la circunferencia entonces ABCD es rectángulo.

96. En la figura ABE y CDE son equiláteros. Siendo M y N los puntos medios de AD y BCrespectivamente. Si AB = 4

√3 y CD = 2, calcule el perímetro de MNCD.

7. Potencia de Punto

97. En una circunferencia, una cuerda de longitud 10 y un radio se bisecan mutuamente.Calcular el radio de la circunferencia.

98. En la figura, demuestre que DOP es isósceles, sabiendo que PO =√

28.

99. AB es una cuerda en una circunferencia que mide 5. Se prolonga BA hasta un punto Pexterior al círculo tal que AP = 4. Determinar la longitud de la tangente desde P a lacircunferencia.

25

100. Demostrar que el eje radical biseca a las tangentes comunes de dos circunferencias queno son interiores ni tangentes.

101. DB es una cuerda de un círculo, E es un punto sobre esta cuerda para el cual DE = 3 yEB = 5. Sea O el centro del círculo. El segmento OE se extiende de tal manera que cortaal círculo en C, como en la figura adjunta. Dado que EC = 1, determine el valor del radiodel círculo.

102. Sea E el centro del cuadrado ABCD de área 32 cm2. Determine la potencia del punto Drespecto de cada una de las circunferencias mostradas a continuación.

103. Dos circunferencias ortogonales de centros P y Q se intersecan en los puntos A y B. SiPQ = 17 y AP = 8, hallar la potencia de Q respecto a la circunferencia de centro P.

104. Dada una circunferencia de diámetro BC, se toma un punto P en la prolongación de BC,y se traza la tangente AP. Si PA = AB y O es el centro del círculo, probar que el triánguloACO es equilátero.

105. En la figura adjunta las circunferencias de centro A y B son ortogonales. Si AC = r,determine en función de r:

26

a) La potencia de B respecto de la circunferencia de centro A y radio AC.b) La potencia de A respecto de la circunferencia de centro B y radio BC.

106. Sean C1 y C2 dos circunferencias ortogonales. Si C1 tiene radio R y centro O1 y C2 decentro O2 y radio r, se traza una recta sobre O1 que interseca a C2 en D y E, y una rectasobre O2 que interseca a C1 en F y G. Demuestre que: O1D ·O1E = R, O2F ·O2G = r yque O1O2 =

√O1D ·O1E + O2F ·O2G.

27

107. En la figura A, B y C son centros de sus respectivas circunferencias las cuales tienen igualradio, además ∠DEC = ∠CDE, la recta PA es tangente a la circunferencia de centro C,Pot P(C) = 96 cm2, y la medida del segmento DC es 2

√2, calcule Pot P(A) y Pot P(B).

108. Demuestre que: «Dadas dos circunferencias Γ1 y Γ2 con eje radical l. Si un punto P ∈ lestá contenido en dos rectas a y b tales que, a ∩ Γ1 = {A, C} y b ∩ Γ2 = {B, D}, entoncesA, B, C y D están sobre una circunferencia».

109. Sean Γ1 una circunferencia de centro O y radio R y Γ2 una circunferencia de radio r y cen-tro O′, con R ≥ r. Si M es el punto medio de OO′ entonces el punto H = ER(Γ1, Γ2)OO′

es tal que, MH = R2−r2

2OO′ .

110. Demostrar que si las cuerdas A1B1 y B1C1 en el circuncírculo del4ABC son tangentes alincírculo, la cuerda C1A1 (en el circuncírculo) es también tangente al incírculo.

111. En un triángulo escaleno ABC se traza la bisectriz interior BD, con D sobre AC. Sean Ey F, respectivamente, los pies de las perpendiculares trazadas desde A y C hacia la rectaBD, y sea M el punto sobre el lado BC tal que DM es perpendicular a BC. Demuestreque ∠EMD = ∠DMF.

112. Γ1 es un circulo de diámetro AB y C un punto de esta, D es el pie de la perpendiculardesde AB a C. Γ2 la circunferencia de centro A y radio AD. Γ1 y Γ2 se cortan en P y Q. SiR es la intersección de AC con PR demuestre que

PRRQ

=13

ssi ∠RDQ = 90◦.

8. Ortocentro y Circuncentro

113. En un triángulo isósceles ABC, con AB = BC, la mediatriz de BC interseca a la medianaBM en L. Si ∠LCB = 25◦, hallar ∠LAC.

114. Hallar los ángulos de un triángulo cuyo triángulo órtico tiene ángulos de 20◦, 50◦ y 110◦.

28

115. Sea un triángulo ABC de circuncentro O. Si ∠AOC = 100◦ y ∠OCB = 30◦, determinar lamedida de los ángulos del triángulo ABC.

116. Sea ABC un triángulo rectángulo en C, con ∠A = 75◦. Se traza la altura CH. Demostrarque CH = AB

4 .

117. En un triángulo ABC, ∠BAC = 60◦. Mostrar que B, C, el circuncentro O y el ortocentroH están sobre una misma circunferencia, cuyo radio igual al cincunradio del4ABC.

118. ABC es un triángulo y P un punto en su interior. Sean A′, B′ y C′ las reflexiones de Psobre BC, CA y AB, respectivamente. Además, D, E y F son los pies de las perpendicu-lares respectivos desde A, B y C hacia B′C′, C′A′ y A′B′. Probar que AD, BE y CF sonconcurrentes. ¿Cuál es el punto de concurrencia?

119. Sea O el circuncentro del triángulo ABC con ∠C = 45◦, y sea D el pie de la altura desdeA. Encuentre ∠ODC.

120. Utilice el teorema de Pitágoras para demostrar el siguiente teorema. El4ABC es rectán-gulo en C. Sea D el pie de la perpendicular desde el vértice C hasta el lado AB. Se cons-truye el circuncírculo de radio r1 en el4ACD y otro de radio r2 en el4CDB. Si el radio

del circuncírculo del4ABC es r, demuéstrese que r =√

r21 + r2

2.

121. Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles, con ∠A = 90◦. P y Q son puntos dentro deltriángulo tales que BP = AQ y AP = CQ. Si BP y CQ se cortan en R, demostrar queAR ⊥ PQ.

122. Se ubican los puntos M y K sobre los lados BC y CD del cuadrado ABCD respectiva-mente, de modo que MC = KD. Sea P la intersección de MD y BK, demuestre queAP ⊥ MK.

123. Sea ABC un triángulo acutángulo de circuncentro O. BD es la altura por B. Si ∠DAB =35◦ y ∠OBD = 10◦, encontrar los ángulos del triángulo ABC.

124. En la figura, AB es diámetro de la circunferencia. Si X es la intersección de CG con AB,calcular ∠CXB.

29

125. Sea ABC un triángulo acutángulo de circuncentro O y altura AD. Si ∠OAB = 25◦ y∠OCB = 15◦, calcular ∠DAB.

126. Las reflexiones de H con respecto a los lados del triángulo ABC caen sobre el circuncírcu-lo del mismo, es decir HHa = HaX y análogo para los otros lados también. La altura AHaes bisectriz del ángulo ∠HbHaHc.

127. Si O y H son el circuncentro y el ortocentro de un triángulo ABC respectivamente, en-tonces los ángulos ∠BAH y ∠CAO son iguales.

128. Los circuncírculos de ABC, ABH, BCH, CAH tienen igual radio.

129. A, B, C y H forman un cuadrilátero ortocéntrico, es decir que cada punto es el ortocentrodel triángulo formado por los otros tres.

130. El ortocentro de un triángulo está al interior, sobre un vértice, o afuera del triángulo, siel triángulo es acutángulo, rectángulo, u obtusángulo respectivamente.

9. Baricentro, Incentro y Excentro

131. Martín tiene un terreno de forma triangular, como en la figura anexa, y desea dividirloentre sus cuatro hijos de manera que los lotes tengan la misma superficie y sean de formatriangular y semejante al terreno original. ¿Cómo debe dividirlos?

132. En un triángulo ABC, la bisectriz exterior de ABC y la bisectriz exterior de BCA se cortanen D. La paralela a BC por D corta a AC en L y a AB en M. Si LC = 5 y MB = 7, hallarLM.

30

133. En la figura, G es el centroide. Si GD = 2 y el área sombreada vale 5, hallar AD y el áreadel triángulo ABC.

134. Se construye el incírculo del4ABC, rectángulo en C, como en la figura anexa. El circuloes tangente a la hipotenusa AB en P, en donde AP = 20 y BP = 6. Calcule el inradio.

135. Si las medianas de dos lados de un triángulo son iguales, demostrar que el triángulo esisósceles.

136. Un triángulo ABC tiene AB < AC, AD es bisectriz, y E es un punto en AB tal que∠EDB = 90◦. El punto F sobre AC es tal que los ángulos BED y DEF son iguales.Demuestre que los ángulos BAD y FDC son iguales. Recuerden ciertos puntos llamadosexcentros.

137. En un triángulo ABC, ∠ABC = 90◦ + ∠CAB. Sean D y E los pies de las bisectricesinterior y exterior de BCA respectivamente. Demuestre que CD = CE.

138. En el triángulo ABC, se traza la mediana AM. Demostrar que si BM = AM, entonces eltriángulo es rectángulo en A.

139. Teorema de la bisectriz. En todo triángulo se cumple que los lados que forman el vérticede donde parte la bisectriz interior (exterior) son proporcionales a los segmentos deter-minados por dicha bisectriz sobre el lado opuesto. En la figura siguiente, BD es bisectrizinterior y BE es bisectriz exterior, luego se cumple que:

ABAD

=BCDC

yABAE

=BCCE

.

31

Sugerencia para la demostración: Sea P el punto sobre AB tal que CP ‖ BD . Con unaconstrucción similar demuestre el teorema para el caso en que la bisectriz sea exterior.

140. En la figura, ABGH, BCFG y CDEF son cuadrados. Si I es el centro de ABGH y J es laintersección de DH y BG, mostrar que I, J y F están alineados.

141. Una propiedad importante. Considere un triángulo ABC, cuyo incentro denotamos porI y su excentro relativo a A con Ia. La bisectriz de ∠CAB interseca al circuncírculo nue-vamente en D.

a) Mostrar que BD = DC.

b) Probar que los puntos B, I, C, Ia son concíclicos.

142. En un triángulo ABC, sean P y P1 en BC, Q en CA y R en AB tales que

ARRB

=BPPC

=CQQA

=CP1

P1B

G es el baricentro de ABC, K la intersección de AP1 y RQ. Demuestre que P, G y K estánalineados.

32

143. Dada una circunferencia de centro O y radio r, desde un punto P del plano se trazauna recta secante (o tangente) a dicha circunferencia en el punto X, desde el cual setraza una recta que corta a la circunferencia y al rayo PO en Y, finalmente el punto Qes la intersección del rayo PO la recta que contiene al punto X tal que ∠PXY = ∠YXQ.Demuestre que OP · OQ = r2, donde O es el centro de la circunferencia y r el radio.(Véase la figura).

Observación: Las líneas punteadas no son parte de la construcción, solo pretenden seruna sugerencia.

144. El4ABC es rectángulo en C. Sea D el pie de la perpendicular desde el vértice C hasta ellado AB. Se inscribe un circulo de radio r1 en el 4ACD y otro de radio r2 en el 4CDB.

Si el radio del incírculo del4ABC es r, demuéstrese que r =√

r21 + r2

2.

145. En el 4ABC, los puntos L, M, N yacen sobre los segmentos AB, BC y CA respectiva-mente, satisfaciendo

ALAB

=BMMC

=CNCA

.

Demostrar que los baricentros de los triángulos4ABC y4LMN coinciden.

146. ABCD es un paralelogramo de centroide (baricentro) E, M es el punto medio de AD, y Fes la intersección de AC con BM. Si el área de ABCD vale 1, hallar el área del cuadriláteroDEFM.

147. ABC es un triángulo rectángulo, con ∠A = 90◦. Si I es el incentro, calcular ∠BIC.

148. La suma de las distancias del centroide a los puntos medios de los lados de un triángulovale 20. Calcular la suma de las medianas del triángulo.

149. Sea ABC un triángulo de incentro I. La paralela a BC por I corta a AB y AC en P y Q,respectivamente. Si BP + CQ = 10, calcular PQ.

33

150. En el4ABC, ∠BCA = 30◦. Además, AH es una altura y BM es una mediana. Hállese lamedida de ∠MHC.

151. Sea ABC un triángulo. Se trazan las bisectrices interiores BD y CE tales que D es el puntosobre AC, E es el punto sobre AB, 2∠BDE = 3∠B y ∠CED = 2∠B. Calcular los ángulosdel triángulo ABC.

152. Sea ABC un triángulo rectángulo, con∠BAC = 90◦, y D el pie de la perpendicular desdeA. I y J son los incentros respectivos de los triángulos ABD y ACD. Demostrar que labisectriz de ∠BAC es perpendicular a I J.

153. El circuncentro del triángulo ABC es el ortocentro del triángulo medial A′B′C′.

154. El triángulo ABC es llamado el triángulo tangencial del triángulo DEF. Además, secumplen las siguientes relaciones, donde s denota el semiperímetro del triángulo ABC.

AE = AF = s− a,BD = BF = s− b,CD = CE = s− c.

155. El ortocentro del triángulo ABC es el incentro de su triángulo órtico.

34

156. Dado un triángulo ABC, su triángulo órtico y su triángulo tangencial tienen lados co-rrespondientes paralelos (triángulos homotéticos).

157. La perpendicular trazada desde A al lado del triángulo órtico HbHc pasa por el circun-centro de ABC.

158. Recta de Euler. El baricentro, el ortocentro y el circuncentro de un triángulo están ali-neados, y además GH = 2GO.

159. I es ortocentro del triángulo Ia Ib Ic. Además se cumplen las siguientes relaciones:

AX = AZ = s,BX = BY = s− c,CY = CZ = s− b.

160. El área del triángulo ABC, denotada por (ABC), cumple las siguientes relaciones:

(ABC) =(base) · (altura)

2,

(ABC) =ab · sen C

2=

bc · sen A2

=ca · sen B

2=

abc4R

,

(ABC) = sr,

(ABC) =√

s(s− a)(s− b)(s− c).

35

Nota: la última igualdad es llamada la Fórmula de Herón.

161. El circunradio, el inradio y los exradios cumplen las siguientes relaciones:

ra + rb + rc − r = 4R,(ABC) = ra(s− a) = rb(s− b) = rc(s− c),

r =

√(s− a)(s− b)(s− c)

s,

ra =

√s(s− b)(s− c)

s− a,

rb =

√s(s− a)(s− c)

s− b,

rc =

√s(s− a)(s− b)

s− c.

10. Algunas Soluciones

Problema 1. Sea M el vértice de ϕ, y N el otro punto de intersección entre los triángulos.

∠NDA = 180◦ − 75◦ − 60◦ = 45◦ Suplemento menos ángulo del equilátero∠NAD = 180◦ − 65◦ − 60◦ = 55◦ Suplemento menos ángulo del equilátero∠DNA = 180◦ − 55◦ − 45◦ = 80◦ Suma de todos los ángulos en un triángulo es 180◦

∠DNA = ∠MNF Opuestos por el vérticeϕ = 180◦ − 80◦ − 60◦ = 40◦

75° 65°45° 55°

80°

80°

60°

φ = 40°

D

E

A

F

CB

N

M

Problema 7. Considere la siguiente figura. El ángulo CPQ es ángulo exterior del triánguloBEP, por lo que ∠CPQ = β + ε.

De forma análoga, ∠CQP = α + δ. Sumando los ángulos internos del triángulo CPQ setiene α + β + γ + δ + ε = 180◦.

36

Problema 13. Como AB = BC, el triángulo ABC es isósceles, entonces

∠BAC = ∠BCA = α

y por ángulo externo ∠CBD = 2α, también, el triángulo BCD es isósceles, entonces∠BDC = 2α y∠DCE = 3α, también el triángulo CDE es isósceles, entonces∠CED = 3α.

Razonando similarmente se llega a que ∠GEF = 2α, por lo que

∠FED = ∠CED−∠GEF = 3α− 2α = α.

Entonces, sumando los ángulos internos del triángulo FDE se obtiene 7α = 180◦ por loque α = 180◦

7 .

Problema 17. Trácese el segmento AC. Sea H el punto de intersección entre AC y la prolonga-ción de FB. Como FE ‖ AC, por ángulos correspondientes ∠EFB = ∠CHG. Como ACes la diagonal del cuadrado ABCD, ∠HCG = 45◦. Por la suma de los ángulos internosde un triángulo, ∠HGC = 180◦ − 60◦ − 45◦ = 75◦ = ∠BGC.

37

Problema 18. El siguiente arreglo cumple:

Problema 20. Cada cuadrado toma una porción del segmento AB y su perímetro es cuatroveces tal porción, y dado que los cuadrados están puesto de tal forma que utilizan todoel segmento AB sin sobreponerse, entonces el perímetro total es 4 veces 24, es decir,96 cm.

Problema 22. Como AD ‖ BC, tenemos, por ángulos alternos internos:

• En la diagonal AC, ∠ACB = ∠CAD y ∠BAC = ∠DCA.

• En la diagonal BD, ∠ADB = ∠CBD y ∠BDC = ∠DBA

De esto podemos concluir los siguientes incisos:

• Como∠ADB = ∠CBD,∠BDC = ∠DBA y comparten BD, el4ABD es congruentea 4CDB. Como son congruentes AB = CD y BC = AD, por ser los lados corres-pondientes en triángulos congruentes.

38

• Notar que como ∠ACB = ∠CAD, ∠ADB = ∠CBD y como anteriormente conclui-mos que BC = AD, el4ADE es congruente a4CBE. Por ser lados correspondien-tes en triángulos congruentes, DE = EB y AE = EC, lo que cumple definición depunto medio.

Problema 26. En la siguiente figura, puede demostrarse que el cuadrilátero EPAK es una ro-tación de 90◦ con centro A del cuadrilátero EKBJ, y lo mismo pasa con EQDP y EJCQ.Dada la congruencia, sus áreas son iguales entre si, y de allí se sigue el resultado.

Problema 27. Como CF = CG, el4CFG es isósceles. Por lo tanto∠CFG = ∠CGF = 15◦. Aho-ra consideremos∠ACG = 180◦−∠FCG = 180◦− (180◦−∠CFG−∠CGF) = 2∠CFG =30◦.

Por otro lado, ∠DCB = 90◦ − 60◦ = 30◦. Esto, junto con CG = CF = CD, por ser uncuadrado, y CB = CA, porque 4ABC es equilátero, implica que 4CGA y 4CDB soncongruentes. Por ser ángulos correspondientes, ∠CGA = ∠CDB

39

Problema 29. Procederemos comparando áreas. Nótese que al trazar los segmentos del puntoP a los tres vértices del triángulo, se forman los triángulos4ABP,4ACP y4BCP. Estostres triángulos van a cumplir que sus áreas sumadas son iguales a la del4ABC.

(ABC) = (ABP) + (ACP) + (BCP)

Notándolo como producto de base por altura, las perpendiculares forman la altura decada uno de los triángulos con vértice P, y los lados del triángulo4ABC como base, loscuales son todos iguales por ser equilátero, llámesele l.

l × h2

=l × PR

2+

l × PS2

+l × PT

2h = PR + PS + PT

C B

A

PR

T

S

40

Problema 36. Por triángulos notables, en4ABC, AC = 2AB, y en4ABD, AB =√

3BD.

D√3

3

30°60°

A

CB

6

Problema 40. Considere la siguiente figura. Sea R el punto de tangencia de AD sobre la cir-cunferencia de radio P, se forma así el triángulo rectángulo APR, aplicando el teorema dePitágoras en este triángulo se obtiene AR =

√8. Por propiedades de rectas tangentes a

una circunferencia DR = DB = x, aplicando de nuevo el teorema de Pitágoras ahora altriángulo ABD se tiene (

√8 + x)2 = 42 + x2, y simplificando BD =

√2.

Problema 44. Por Pitágoras AC = 5 y CE = 10, pero además, observe que los triángulosABC y CDE son semejantes (en ese orden), por lo que los ángulos BCA y DCE soncomplementarios, y de allí que el ángulo ACE sea 90◦. Con esto, aplicando nuevamentePitágoras al triángulo ACE se tiene que AE = 5

√5.

Problema 48. Sea E el punto de intersección de las diagonales y a, b, c, d los segmentos AE,

41

BE, CE, DE respectivamente. Por el teorema de Pitágoras se cumple que:

AB2 = a2 + b2

CD2 = c2 + d2

BC2 = b2 + c2

DA2 = d2 + a2

Sumando las primeras dos, y restando las ultimas:

AB2 + CD2 − BC2 − DA2 = a2 + b2 + c2 + d2 − b2 − c2 − d2 − aa

De donde concluimos que, en efecto:

AB2 + CD2 = BC2 + DA2

a

b

c

d

A

B

C

DE

Problema 51-52. Como las rectas MN y AB son paralelas, por el teorema de Thales

NCMC

=BNAM

B

AM C

N

42

51. Si BN = 6 cm, y AM = 2MC, reemplazando

NCMC

=6

2MCDe allí que NC = 3 cm.

52. Si BN = NC + 2, MC = 2, y AM = 3, reemplazando

NC2

=NC + 2

33NC = 2NC + 6

NC = 6

Problema 55. Tenemos que OA ·OC = r2 y OB ·OD = r2

a) Como OA ·OC = r2 = OB ·OD, podemos transformar OA ·OC = OB ·OD en

OAOD

=OBOC

Como cumplen la relación de semejanza, y además el ángulo entre OA y OB es elmismo que entre OD y OC por ser compartido, los triángulos4AOB y4DOC sonsemejantes, como se quería demostrar.

b) Como4AOB y4DOC son semejantes, se cumple la siguiente relación

CDAB

=ODOA

Pero, por la condición inicial

OD =r2

OBPor lo tanto, reemplazando y multiplicando todo por AB

CD =

(r2

OA ·OB

)AB

43

Problema 56. Sea D el punto de tangencia, OD = r. Como los triángulos 4ODQ y 4OPDson rectángulos, y tienen un ángulo en común, son semejantes. Por ser semejantes:

OPOD

=ODOQ

OP ·OQ = OD2

OP ·OQ = r2

OP

D

Q

Problema 57. Por el teorema de Thales 4BCZ es semejante a 4BXA. De allí se cumple la si-guiente relación

CZAX

=BZAB

Análogamente, por Thales4ACZ es semejante a4AYB, y se cumple que

CZBY

=AZAB

AZ

B

Y

C

X

Al sumar ambas relaciones, y considerando AB = AZ + BZ

CZAX

+CZBY

=BZAB

+AZAB

CZ(

1AX

+1

BY

)=

BZ + AZAB

1AX

+1

BY=

1CZ

(ABAB

)1

AX+

1BY

=1

CZ

44

Problema 66. Como un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que subtiende, y un ángulocentral es igual al arco que subtiende, tenemos que ∠BAC = ∠BOC

2 . Reemplazando en laecuación inicial

∠BOC2

+∠BOC = 180◦

∠BOC + 2∠BOC = 360◦

3 ·∠BOC = 360∠BOC = 120◦

Problema 68. En realidad el resultado es cierto para cualquier punto C sobre Γ1, no es nece-sario que sea el diametralmente opuesto a A, lo que sí debe cumplirse es que A, C y C′

estén alineados.

Para resolverlo, se traza la tangente común AD, y por ángulos semi-inscritos se observaque los ángulos ACB y AC′B′ son iguales al ángulo DAB, y dado que son ángulos co-rrespondientes (hablando en términos de paralelas cortadas por una secante) entonceslas rectas BC y B′C′ deben ser paralelas.

También, este problema está relacionado con 79 y con 93, se resuelven de forma bastanteparecida.

Problema 71. Por estar inscritos en el mismo arco, tenemos∠BAE = ∠EFB y∠BCE = ∠EDB.Como tienen dos ángulos iguales,4ACE es semejante a4FDB.

Por otro lado, por ángulos alternos internos,

∠BAE = ∠ABF = ∠AEF = ∠BFE.

Por lo tanto,4ABG y4FEG son isósceles. Esto implica que

AG = BGGE = GF

45

Sumando ambas igualdades

AG + GE = BG + GFAE = BF

Como son semejantes y tienen un lado igual,4ACE y4FDB son congruentes.

A B

E

C

DF

G H

Problema 81. Por definición BP ⊥ CA y CQ ⊥ AB, así que∠BPC = ∠CQB = 90◦. Lo anteriorimplica que tanto P como Q están sobre la circunferencia de diamétro BC. Así que loscuatro puntos estan sobre dicha circunferencia. Abajo se ilustran los dos casos posiblesen que el triángulo no tiene un ángulo recto.

Problema 82. Sean P, Q y R los pies de las perpendiculares a CD por A, a CD por B y aEF por B. Note que, por criterio ALA, los triángulos DBQ y BER son congruentes. Enefecto: ∠QDB = ∠RBE por ser correspondientes entre paralelas, DB = BE por hipótesisy ∠DBQ = ∠BER también por ser correspondientes entre paralelas. En particular sededuce que RB = QD, y como BRFQ es un paralelogramo (por construcción BR ‖ FQ yQB ‖ RF), también se deduce que FQ = QD.

Por otro lado, por Pitágoras en los triángulos DPA y CQB, se tiene que DP2 = AD2 −AP2 y CQ2 = BC2 − BQ2, pero AD = BC por hipótesis y AP = BQ porque ABQP es un

46

paralelogramo (AB ‖ CD por hipótesis y AP ‖ BQ por construcción), así que DP = CQ.Por tanto,

CF = QF−QC = DQ− DP = PQ = AB,

es decir CF = 4.

Problema 86. Sea E la intersección de tal perpendicular con DA y P el punto de intersecciónde las diagonales. Llámese j a ∠pDE. Como el triángulo PDE es rectángulo, ∠EDP =90◦ − j. De ahí que ∠MPB = 90◦ − j por ser opuesto por vértice a ∠EDP. Por otro lado,el triángulo DAP también es rectángulo, así que ∠DAC = ∠DAP = 90◦ − j, y comoABCD es cíclico se tiene que ∠PBM = ∠DBC = 90◦ − j también. Así que el triánguloBMP es isósceles con BM = MP.

De manera análoga se demuestra que el triángulo CPM es isósceles con MC = PM. Deaquí se concluye que M es el punto medio de BC.

Problema 87. Dado el triángulo ABC, P, Q, R son puntos cualesquiera de los lados BC, CA, AB,respectivamente. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos ARQ, BPR, CPQ tienen unpunto en común.

Si M es la intersección de los circuncírculos de ARQ y BPQ se cumple que

360◦ −∠RMQ−∠PMR = 360◦ − (180◦ −∠A)− (180◦ −∠B) = 180◦ −∠C.

Por lo tanto, CPMQ es cíclico, lo que significa que M pertenece al circuncírculo de CPQ.

47

Problema 96. Como AC es diámetro, ∠ABC = 90◦ = ∠CDA. Como AOED es paralelogramo(AD ‖ OE) ⊥ CD, y dado que O equidista de C y D, OE debe ser mediatriz de CD.

Por otra parte, como OA y OE son radios, entonces DAOE es además rombo, por lo queAO y AD son iguales (radios), pero OD también es radio, entonces, el triángulo AOD esequilátero.

De nuevo, pero ser DAOE paralelogramo, ODE es también equilátero. Análogamente sedemuestra que OCB y OBF también son triángulos equiláteros. Como el triángulo OCBes equilátero, 60◦ = ∠OCB = ∠ACB = 90◦ −∠BAC, entonces ∠BAC = 30◦, mientrasque ∠DAO = 60◦, porque el triángulo AOD es equilátero. Luego, ∠DAB = 90◦, y∠BCD = 360◦ − 3 · (90◦) = 90◦, es decir, ABCD es rectángulo.

Problema 101. Considere la siguiente figura. Si M pertenece al eje radical, entonces la potencia

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de punto a ambas circunferencias es la misma, y dado que AB es una tangente comúncon puntos de tangencia A y B, entonces MA2 = MB2, y de aquí se concluye que M esel punto medio de AB.

Problema 108. Por definición de eje radical, la potencia de punto de P con respecto a las cir-cunferencias será la misma, es decir PA · PB = PC · PD, y esto significa que existe unacircunferencia en la que se ubican A, B, C, D con respecto a la cual se está calculando lapotencia de P con las rectas AB y CD (P es la intersección de tales rectas).

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A. Resultados Preliminares

Definición A.1 (Congruencia). Se dice que los dos segmentos de rectas AB, CD son congruen-tes si su longitud es la misma, esto se denota AB ≡ CD.1

Figura 1: El segmento de recta AB es congruente con el segmento de recta BC

Definición A.2. Se dice que dos ángulos son congruentes si miden lo mismo.

Definición A.3 (Congruencia de triángulos). Sean ABC y DEF dos triángulos entonces dire-mos que el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF (4ABC ≡ 4DEF) si

AB ≡ DE, AC ≡ DF, BC ≡ EF

y los ángulos en A, B y C son congruentes con los ángulos en D, E y F

Teorema A.1 (Criterio de congruencia lado-ángulo-lado (LAL)). Dos triángulos ABC y DEF soncongruentes si AB ≡ DE, BC ≡ EF y los ángulos en B y E son iguales.

Teorema A.2 (Criterio de congruencia ángulo-lado-ángulo (ALA)). Dos triángulos ABC y DEFson congruentes si el ángulo en A es congruente con el ángulo en D, el ángulo en C es congruente conel ángulo en F y AC ≡ DF

Teorema A.3 (Criterio de congruencia lado-lado-lado (LLL)). Dos triángulos ABC y DEF soncongruentes si2

AB ≡ DE, AC ≡ DF, BC ≡ EF.

Teorema A.4 (Suma de los ángulos internos de un triángulo). La suma de los ángulos internos deun triángulo es de 180◦.

Teorema A.5 (Desigualdad del triángulo). Para cualquier triángulo tenemos que la suma de laslongitudes de dos de sus lados es mayor que la longitud del tercer lado. Es decir, si llamamos a, b y c alas longitudes de los lados del triángulo, tenemos que las siguientes tres desigualdades se cumplen

a + b > c,a + c > b,b + c > a.

1Se usa la palabra congruencia y no “igualdad” ya que se reserva la frase igualdad de segmentos para cuandolos segmentos tienen la misma medida y ocupan el mismo espacio.

2Advierta que este teorema asegura que la verificación de las congruencias de los lados correspondientes essuficiente para demostrar que4ABC ≡ 4DEF sin tener que mostrar las congruencias de los ángulos.

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Teorema A.6 (Thales). Considérense tres rectas, y dos rectas transversales a éstas, como se muestraen la figura. Si AD, BE y CF son paralelas entonces

ABBC

=DEEF

.

Recíprocamente, siABBC

=DEEF

y dos de las rectas AD, BE o CF son paralelas entonces las tres rectas son paralelas.3

Figura 2: Teorema de Thales

Definición A.4. Se dice que dos triángulos ABC y DEF son semejantes (4ABC ∼ 4DEF), sisus ángulos respectivos son congruentes, es decir,

∠ABC ≡ ∠DEF,∠DFE ≡ ∠ACB,∠BAC ≡ ∠EDF,

y sus lados homólogos son proporcionales, esto es,

ABDE

=ACDF

=BCEF

.

Teorema A.7 (Semejanza AAA). Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentesentonces sus lados correspondientes son proporcionales y los triángulos son semejantes.

Teorema A.8 (Semejanza LAL). Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes proporcionales yel ángulo comprendido entre éstos es igual, entonces son semejantes.

Teorema A.9 (Semejanza LLL). Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionalesentonces los triángulos son semejantes.

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Figura 3: El triángulo ABC es rectángulo ya que ∠CAB = 90◦

Definición A.5. Se dice que el triángulo ABC es rectángulo si alguno de sus ángulos es recto,es decir, dicho ángulo tiene medida de 90◦.

Teorema A.10 (Pitágoras). Sea ABC un triángulo de tal manera que las longitudes de su lados sona, b y c entonces4ABC es rectángulo si y sólo si c2 = a2 + b2.

Figura 4: Teorema de Pitágoras

Definición A.6 (Medianas). Sea ABC un triángulo, a la recta l que pasa por el vértice A y quecorta a BC en M de tal forma que BM

MC = 1 se le llama mediana.

Figura 5: La mediana es la recta que pasa por A y M

3El teorema funciona aún cuando A = D.

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Definición A.7 (Bisectrices). Si ABC es un triángulo entonces definimos la bisectriz del ángulo∠CAB del triángulo ABC como la recta que pasa por A que divide al ángulo en dos ángulosiguales.4

Figura 6: Bisectriz de ∠CAB

Definición A.8 (Mediatrices). La mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular alsegmento que pasa por su punto medio

Figura 7: Mediatriz del segmento AB

Definición A.9 (Altura). Si ABC es un triángulo se define la altura desde el vértice A como larecta que pasa por A y que corta a BC en D de tal manera que AD sea perpendicular a BC. Alpunto D usualmente se le llama pie de la altura.

Figura 8: Altura por el vértice A

4La bisectriz tiene la propiedad de ser el conjunto de puntos que equidista de cada lado del ángulo.

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Teorema A.11. Las medianas de un triángulos son concurrentes. Al punto de concurrencia de lasmedianas se le llama centroide.

Figura 9: Al punto G se le llama centroide

Teorema A.12. Las bisectrices internas de un triángulo son concurrentes. Al punto de concurrenciade las bisectrices se le llama incentro.

Figura 10: Al punto I se le llama incentro

Teorema A.13. Las mediatrices de los lados de un triángulo son concurrentes. Al punto de concurren-cia de las mediatrices se le llama circuncentro.

Figura 11: Al punto O se le llama circuncentro

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Teorema A.14. Las alturas de un triángulo son concurrentes. Al punto de concurrencia de las alturasse le llama ortocentro.

Figura 12: Al punto H se le llama ortocentro

Definición A.10 (Ángulo inscrito). Un ángulo inscrito en una circunferencia es el ángulo for-mado por dos cuerdas que tienen un extremo común sobre la circunferencia. Los dos extremosno comunes de las cuerdas definen un arco, al que se llama arco que abre el ángulo inscrito.Un ángulo central es un ángulo formado por dos radios.

Figura 13: (a) Ángulo inscrito (b) Ángulo central

Teorema A.15 (Medida del ángulo inscrito). La medida de un ángulo inscrito en una circunferenciaes igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados, es decir, es la mitad del ángulo central que abreel mismo arco.

Definición A.11 (Cuadrilátero cíclico). Un cuadrilátero se llama cíclico si sus vértices estánsobre una circunferencia.

55

Figura 14: El cuadrilátero ABCD es cíclico

Teorema A.16. Un cuadrilátero es cíclico si y sólo si sus ángulos opuestos son suplementarios.5

Teorema A.17. Un cuadrilátero es cíclico si y sólo si el ángulo entre un lado y una diagonal es igual alángulo entre el lado opuesto y la otra diagonal.

5Dos ángulos son suplementarios si su suma es 180◦.

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Taller de Teoría de Números — Nivel Básico

Lic. Riquelmi CardonaUniversidad de El Salvador


1. Conceptos Básicos: Divisibilidad

Definición 1.1. Dados dos enteros a y b, se dice que a divide a b (o b es divisible por a) si existeun entero c tal que b = a · c. En este caso lo representamos por a | b.

Proposición 1. Sean a, b, c enteros arbitrarios, entonces:

I. a | b ∧ b | c⇒ a | c.

II. a | b ∧ a | c⇒ a | b + c ∧ a | b− c.

III. c 6= 0⇒ (a | b⇐⇒ ac | bc).

IV. a | b ∧ b > 0⇒ a ≤ b.

Teorema 1.1. Dados a ∈ Z y m ∈ N, existen a ∈ Z y r ∈ {0, 1, 2, . . . , m − 1} únicos tales quea = qm + r.

Ejemplos.

1. Determine para cuales números naturales n el número n2 + 1 es divisible por n + 1.

Solución: Tenemos que (n + 1)(n − 1) = n2 − 1, entonces n + 1 | n2 − 1. Por otra parteya sabíamos que n + 1 | n2 + 1. Aplicando la propiedad (II) tenemos que n + 1 | n2 + 1−(n2 − 1) = 2. Los únicos enteros positivos que dividen a 2 son 1 y 2. De las anterioresposibilidades para n + 1, solamente 2 funciona y obtenemos n = 1.

2. Encuentre todos los enteros a 6= 3 tales que a− 3 | a3 − 3.

Solución: Tenemos que aparece una variable elevada al cubo, entonces podemos relacionarlas variables por medio de la diferencia de cubos. Tenemos que (p − 3)(p2 + 3p + 9) =p3 − 27, entonces p− 3 | p3 − 27. Utilizando las propiedades tenemos que p− 3 | p3 − 3−(p3 − 27) = 24. Los enteros positivos que dividen a 24 son

−24,−12,−8,−6,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 4, 6, 8, 12, 24.

De lo anterior obtenemos que p ∈ {−21,−9,−5,−3,−1, 0, 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 15, 27}.

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3. Demuestre que entre m enteros consecutivos hay exactamente uno que es divisible por m.

Solución: Consideremos los m enteros consecutivos siguientes {a + 1, a + 2, . . . , a + m}.Aplicando el teorema de la división se puede escribir a = qm+ r, donde q es el cociente y r esel residuo de la división entera de a entre m. Tomemos el número a+m− r, como r está entre0 y m− 1, entonces m− r estará entre 1 y m. Luego a + m− r = qm + r + m− r = (q + 1)mde donde se tiene que hay al menos un número divisible por m.

A continuación probaremos que el número anterior es único. Supongamos que hay un kentre 1 y m tal que a + k es divisible por m. Entonces a + k = cm, lo que es equivalente aa = cm− k = (c− 1)m + (m− k). Como sabemos que m− k está entre 0 y m− 1 entoncesen la ecuación anterior m− k debe ser el residuo de dividir a entre m, pero como el residuoes único entonces m− k = r o lo que es igual k = m− r que es justamente el número que yateníamos, por lo cual hemos demostrado que es único.

4. Demuestre que existen infinitos naturales n tales que 2n + 1 es divisible por n.

Solución: Se mostrará que todas las potencias de 3 cumplen con lo requerido, es decir,3k | 23k

+ 1 para toda k ∈ N. Para llevar a cabo la demostración necesitamos de dos herra-mientas que nos serán de utilidad. La primera es el método de inducción matemática, quenos dice que si debemos probar un enunciado para cada número natural, entonces bastaprobarlo para 1 y luego probar que si fuera cierto para un natural dado también es cier-to para su sucesor. La segunda herramienta que necesitaremos es la siguiente proposición:3 | 4m − 2m + 1 para todo m ∈ N impar. Para probar esta proposición emplearemos lasfactorizaciones de la diferencia de potencias y la suma de potencias impares.

4m − 2m + 1 = 4m − 2m + 3− 1− 1= (4m − 1)− (2m + 1) + 3= (4− 1) · s− (2 + 1) · t + 3 = 3(s− t + 1)

donde s y t son las sumas de potencias que quedan de la factorización, cuya forma nos esirrelevante excepto en el hecho de que se trata de expresiones que toman valores enteros pa-ra cada m impar. Es claro que la proposición es válida pues hemos extraído un factor 3 quequeda multiplicando a una expresión entera, así que ahora procedemos a la demostracióndel enunciado principal mediante inducción.

Primero nótese que 3 | 23 + 1, con lo que el enunciado es verdadero para k = 1, ahorasupongamos que es válido para una potencia arbitraria 3r | 23r

+ 1 (la llamada hipótesis deinducción) y mostremos que eso implicaría su validez para la siguiente potencia que es 3r+1.Nótese que 23r+1

+ 1 = 23·3r+ 1 = (23r

)3 + 1 factorizando esta última expresión por la sumade cubos obtenemos

(23r)3 + 1 = (23r

+ 1)((23r

)2 − 23r+ 1)

= (23r+ 1)(22·3r − 23r

+ 1)

= (23r+ 1)

((22)3r − 23r

+ 1)

= (23r+ 1)(43r − 23r

+ 1)

De esta última expresión, el primer factor es divisible entre 3r por hipótesis de inducción, entanto que el segundo factor es divisible entre 3 por la proposición previa ya que 3r siempre

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es impar, con lo cual obtenemos que 3r+1 | (23r+ 1)(43r − 23r

+ 1) = 23r+1+ 1 y así concluye

la demostración.

5. Demuestre que si el residuo de dividir a, b ∈ Z por m ∈ N es 1, entonces el residuo dedividir ab por m es 1.

Solución: Puesto que a y b dejan residuo 1 al dividirlos entre m, entonces existen q, p ∈ Z

(los cocientes de la división) tales que a = qm + 1, b = pm + 1. El producto ab es entonces

ab = (qm + 1)(pm + 1) = qpm2 + qm + pm + 1 = (qpm + q + p)m + 1

con lo que el cociente al dividir ab entre m es qpm + q + p en tanto que el residuo es 1.

Ejercicios.

1. Determine los enteros n para los cuales 7n + 1 es divisible por 3n + 4.

2. ¿Para qué naturales n se cumple que 3n + 2 | 5n2 + 2n + 4?

3. Demuestre que para cualquier a, b ∈ Z se cumple que 17 | 2a + 3b, si y sólo si 17 | 9a + 5b.

4. Demuestre que la suma de los cuadrados de dos naturales consecutivos deja residuo 1 alser dividida por 4.

5. Demuestre que el cuadrado de un entero deja residuo 0 ó 1 al ser dividido por 3.

6. El residuo de dividir el cuadrado de un impar por 8 es 1.

2. Numeros Primos y MCD

2.1. Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

Definición 2.1. Sean a1, a2 dos enteros dados. Cada entero m tal que m | a1 y m | a2 es llamadodivisor común de a1 y a2. Un divisor común m ≥ 0 de a1 y a2 que es divisible por cualquierdivisor común de a1 y a2, es llamado Máximo Común Divisor (MCD) de a1 y a2 y se simbolizapor (a1, a2).

Definición 2.2. Sean a1, a2 dos enteros dados. Cada entero m tal que a1 | m y a2 | m es llamadomúltiplo común de a1 y a2. Un múltiplo común m ≥ 0 de a1 y a2 que divide a cualquier múltiplocomún de a1 y a2, es llamado Mínimo Común Múltiplo (mcm) de a1 y a2 y se simboliza por[a1, a2].

Algoritmo de Euclides. Sean a1, a2 números naturales. Para todo n ≥ 3 tal que an−1 6= 0, denotamospor an el residuo de dividir an−2 por an−1. Siguiendo el proceso, eventualmente se obtiene ak = 0, encuyo caso ak−1 = (a1, a2).

Teorema 2.1. Sean a1, a2 números enteros con MCD (a1, a2), entonces existen enteros k1, k2 tales que(a1, a2) = k1a1 + k2a2.

Teorema 2.2. Sean a1, a2 números enteros, existe el mcm [a1, a2], y tenemos que (a1, a2) · [a1.a2] =|a1 · a2|.Definición 2.3. Los números a1, a2, . . . , an ∈ Z son llamados primos relativos o coprimos si satis-facen (a1, a2, . . . , an) = 1. Los números a1, a2, . . . , an ∈ Z son llamados primos relativos dos a dossi para cualquier par i, j con 1 ≤ i < j ≤ n, se cumple que (ai, aj) = 1.

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Ejemplos.

1. Encuentre el MCD de 263 − 1 y 291 − 1.

Solución: Se empleará el algoritmo de Euclides para determinar el MCD. Aplicando el al-goritmo de la división entre 291 − 1 y 263 − 1 obtenemos

291 − 1 = 228(263 − 1) + (228 − 1)

donde 228 es el cociente y 228− 1 el residuo. Prosiguiendo con la siguiente iteración, tenemosque

263 − 1 = 235(228 − 1) + 235 − 1

pero 235 − 1 es mayor que el divisor, por lo que aún es posible incrementar el cociente,

263 − 1 = 235(228 − 1) + 235 − 1

= 235(228 − 1) + 27(228 − 1) + (27 − 1)

= (235 + 27)(228 − 1) + (27 − 1)

en donde 235 + 27 es el cociente, en tanto que 27 − 1 es el residuo.

Ahora bien 228 − 1 es divisible entre 27 − 1 ya que

228 − 1 = (27)4 − 1 = (27 − 1)(221 + 214 + 27 + 1)

por la factorización de la diferencia de potencias, de donde se infiere que la siguiente itera-ción daría residuo 0, por lo que el residuo anterior, esto es 27 − 1, es el MCD.

2. Demuestre que21n + 414n + 3

es irreducible para todo natural n.

Solución: La fracción 21n+414n+3 es irreducible siempre que el MCD del numerador y el deno-

minador sea 1. Aplicando el algoritmo de Euclides al numerador y denominador, en laprimera iteración tenemos 21n + 4 = 1 · (14n + 3) + (7n + 1). En la segunda iteración,14n + 3 = 2 · (7n + 1) + 1. Una iteración adicional daría residuo 0, por lo que el MCD es 1,como se quería probar.

3. Demuestre que existen infinitos números de la forma tn = n(n+1)2 , n ∈ N, que son primos

relativos dos a dos.

Proposición 2 (Propiedades del MCD). Sean a, b, c enteros arbitrarios, entonces:

I. (ac, bc) = (a, b) · c .

II. Si (a, b) = 1 y a | bc, entonces a | c.

III. d = (a, b) si y sólo si, existen q1, q2 ∈N tales que a = dq1, b = dq2 y (q1, q2) = 1.

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Ejercicios.

1. Encuentre el MCD de los siguientes números cuando n ∈N.

a) (2n + 1, 9n + 4).

b) (2n− 1, 9n + 4).

c) (36n + 3, 90n + 6).

d) (2n + 3, n + 7).

2. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones en los enteros positivos

a) x + y = 150,(x, y) = 30.

b) (x, y) = 45,7x = 11y.

c) xy = 8400,(x, y) = 20.

d) xy = 20,[x, y] = 10.

3. Encuentre el mayor valor que puede tomar el MCD de dos términos consecutivos de lasiguiente secuencia: 101, 104, 109, 116, 125, . . ..

2.2. Números Primos

Definición 2.4. Todo entero n ≥ 2 tiene al menos dos divisores positivos: 1 y n. Si no poseedivisores aparte de los dos anteriores, dicho número es llamado número primo. En caso deposeer más de dos divisores el número será compuesto.

Teorema 2.3. Un entero p ≥ 2 es primo, si y sólo si, se cumple lo siguiente: Para todo par de enteros ay b, la condición p | ab implica que p | a ó p | b.

Ejemplos.

1. Encuentre todos los primos que se pueden escribir como la suma y la resta de pares apro-piados de primos.

Solución: Sean p, q, r, s, t primos tales que p = q + r y p = s− t. Consideremos solamentela primera ecuación. Si q y r fueran ambos impares, entonces su suma, p, sería par, pero elúnico primo par es 2, y los sumandos q y r tendrían que ser primos menores que 2 lo cuales absurdo, por lo tanto uno de los sumandos es par, es decir, uno de ellos es 2, digamos q.No pueden ser ambos 2 pues 4 no es primo, así que el otro sumando es impar, con lo cual ptambién es impar, al ser la suma de un par y un impar.

Ahora consideremos la segunda ecuación. Como p es impar y p + t = s tenemos por elmismo razonamiento que s no puede ser 2 y por lo tanto s es impar, con lo que t = s− p esuna resta de impares y primo, de donde se deduce que t = 2. Al reescribir las ecuacionescon lo que ahora sabemos obtenemos r = p− 2 y s = p + 2, así que p− 2, p y p + 2 deben

61

ser primos. El residuo de p− 2 al dividirlo entre 3 es el mismo que el de p + 1, y puesto quep, p + 1 y p + 2 son tres números consecutivos uno de ellos será múltiplo de tres.

En consecuencia uno de los tres primos p− 2, p y p+ 2 es múltiplo de 3, pero el único primomúltiplo de 3 es el propio 3. A partir de eso es fácil concluir que los primos son 3, 5 y 7, porlo que el único primo que se puede escribir al mismo tiempo como suma de primos y comoresta de primos es 5.

2. Encuentre los números k ∈N0 para los cuales los diez enteros consecutivos k + 1, k + 2, . . . ,k + 10 contienen la mayor cantidad de primos.

3. Demuestre que para todo número natural n, existen n naturales consecutivos tales que nin-guno de ellos es primo.

Solución: Si n es un entero positivo, denotamos con n! al producto de los enteros positivosdesde 1 hasta n. Para cada n ∈N consideremos el conjunto de números consecutivos{

(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, . . . , (n + 1)! + (n + 1)}

.

Puesto que (n + 1)! es divisible entre cada número natural de 1 hasta n + 1, tenemos que elprimer elemento de dicho conjunto es divisible entre 2, el segundo (si lo hubiera) lo es entre3, y en general, el i-ésimo elemento es divisible entre i + 1, para cada i natural de 1 a n. Perotodos los elementos son mayores que n + 1, y por lo tanto ninguno de ellos es primo.

Ejercicios.

1. Muestre que no existe natural n tal que 6n + 5 pueda ser expresado como suma de dosprimos.

2. Encuentre todos los naturales n para los cuales n, n + 10, y n + 14 son todos primos.

3. Encuentre todos los primos p tales que 2p2 + 1 también es primo.

4. Encuentre todos los primos p tales que 4p2 + 1 y 6p2 + 1 también son primos.

5. Demuestre que si p y 8p2 + 1 son ambos primos, entonces 8p2 + 2p + 1 es primo.

6. Demuestre que para todo primo p > 2 el numerador m de la fracción:

mn

= 1 +12+

13+ · · ·+ 1

p− 1

donde m, n ∈N, es divisible por p.

7. Encuentre el conjunto de enteros positivos n con la propiedad de que el conjunto {n, n +1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5} se puede particionar en dos conjuntos tales que el producto delos elementos de un conjunto es igual al producto de los elementos del otro.

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2.3. Teorema Fundamental de la Aritmética

Teorema 2.4. Cualquier natural n ≥ 2 se puede escribir como producto de primos de forma única,salvo por el orden de los factores.

Corolario 1. Si p1, . . . , pk son primos distintos y n1, . . . , nk ∈ N0, entonces cada divisor positivo delnúmero a = pn1

1 · · · pnkk es de la forma pm1

1 · · · pmkk con m1, . . . , mk ∈N0 y m1 ≤ n1, · · · , mk ≤ nk. El

número a tiene exactamente (n1 + 1)(n2 + 1) . . . (nk + 1) divisores positivos.

Corolario 2. Sean p1, . . . , pk primos distintos y n1, . . . , nk, m1, . . . , mk ∈ N0. Ahora definamos ri =mın{ni, mi}, ti = max{ni, mi} para todo i = 1, 2, . . . , k, entonces

(pn11 · · · p

nkk , pm1

1 · · · pmkk ) = pr1

1 · · · prkk .

[pn11 · · · p

nkk , pm1

1 · · · pmkk ] = pt1

1 · · · ptkk .

Ejemplos.

1. Demuestre que existen infinitos primos.

Solución: Supongamos por reducción al absurdo que existe únicamente una cantidad finita,digamos m, de primos, y sea A = {p1, p2, p3, . . . , pm} el conjunto de todos ellos. Considere-mos el número N = p1 · p2 · p3 · · · pm + 1. Puesto que p1 | p1 · p2 · p3 · · · pm, si p1 dividieratambién a N, tendría que dividir a la resta entre ellos N − p1 | p1 · p2 · p3 · · · pm = 1, peroningún primo divide a 1 por lo que p1 no divide a N.

El mismo argumento es válido para cada primo en el conjunto A, por lo que N no es divisi-ble entre ningún primo, y es mayor que 2 ya que 2 ∈ A, lo cual es contradictorio.

2. Demuestre que√

2 es irracional.

3. Muestre que existen infinitos primos de la forma 3k + 2 donde k ∈N0.

Ejercicios.

1. Encuentre (a + b, ab) donde a, b son primos relativos.

2. Muestre que si a > 4 es compuesto, entonces a | (a− 1)!.

3. Demuestre que existen infinitos primos de la forma 4k + 3, donde k ∈N0.

4. Demuestre que si p > 5 es primo, entonces no existe m natural tal que (p− 1)! + 1 = pm.

3. Congruencias

El concepto de congruencia fue introducido por Gauss. A pesar de ser una noción simple,su importancia y utilidad en Teoría de Números es enorme ya que permite presentar argu-mentos complicados en una forma concisa y clara.

63

3.1. Definición y Propiedades Básicas

Definición 3.1. Si los enteros a, b ambos dejan residuo r al ser divididos por el número naturalm, donde 0 ≤ r < m, entonces a y b son congruentes módulo m, y lo denotamos:

a ≡ b (mod m).

En caso contrario, diremos que a y b no son congruentes módulo m,

a 6≡ b (mod m).

Lema 1. Las siguientes condiciones son equivalentes entre sí:

1. a ≡ b (mod m),

2. a = b + mt para un valor apropiado t ∈ Z,

3. m | a− b.

Proposición 3. Sean a, b, c, d enteros arbitrarios y m ∈N, entonces:

1. Las congruencias cumplen las propiedades de reflexividad, transitividad y simetría.

2. Si a ≡ b (mod m) ∧ m = m1 · m2 · · ·mk entonces la congruencia a ≡ b es cierta para losmódulos m1, . . . , mk.

3. Si a ≡ b es cierta para los módulos m1, . . . , mk, entonces a ≡ b (mod [m1, m2, . . . , mk]).

4. a ≡ b (mod m) ∧ c ≡ d (mod m)⇒ a± c ≡ b± d (mod m).

5. a ≡ b (mod m) ∧ c ≡ d (mod m)⇒ a · c ≡ b · d (mod m).

6. a ≡ b (mod m) ∧ n ∈N⇒ an ≡ bn (mod m).

7. ax ≡ bx (mod m)⇐⇒ a ≡ b (mod m(m,x) ).

Ejemplos.

1. Sea S(n) la suma de los dígitos del natural n, demuestre que S(n) ≡ n (mod 9).

Solución: Consideremos la expansión en base 10. Tenemos que n = ∑mi=0 ai · 10i, donde las

ai son las cifras del número n. Puesto que 1 ≡ 10 (mod 9) y empleando las propiedadescuarta y sexta de la proposición 3, obtenemos que

n =m

∑i=0

ai · 10i ≡m

∑i=0

ai · 1i = S(n) (mod 9)

.

2. Encuentre el residuo de dividir 520 por 26.

3. Muestre que para todo n ∈N, 37n+2 + 16n+1 + 23n es divisible por 7.

4. Para todo primo p y a, b ∈ Z se cumple

ap + bp ≡ (a + b)p (mod p).

64

Ejercicios. Demuestre que

1. el número 260 + 730 es divisible por 13.

2. para cualquier par de enteros a, b la congruencia a2 + b2 ≡ 0 (mod 3) implica que a ≡ b ≡ 0(mod 3).

3. para cualquier par de enteros a, b la congruencia a2 + b2 ≡ 0 (mod 7) implica que a ≡ b ≡ 0(mod 7).

4. existen enteros a, b tales que a2 + b2 ≡ 0 (mod 5) pero la congruencia a ≡ b ≡ 0 (mod 5)no se cumple.

5. no hay entero a tal que a2 + 3a + 5 ≡ 0 (mod 121).

6. si x2 + y2 = z2, entonces 60 | xyz.

7. es posible ubicar los números 1, 2, . . . , 12 alrededor de un círculo de forma que cualquiertrío de vecinos a, b, c con b entre a y c cumplan con que b2 − ac es divisible por 13.

8. Sea N = 44444444, encuentre S(S(S(N))) sin calculadora.

3.2. Congruencias Lineales

Definición 3.2. La congruencia de la forma

ax ≡ b (mod m)

donde x es una incógnita, es llamada congruencia lineal de una variable. Es fácil notar que si x0es solución de la congruencia, todo x ≡ x0 (mod m) también es solución.

Teorema 3.1. Sean a, b y m enteros tales que m > 0 y (a, m) = d. Si d - b, entonces ax ≡ b (mod m)no tiene soluciones. Si d | b, entonces ax ≡ b (mod m) tiene exactamente d soluciones no congruentesmódulo m.

Ejemplos.

1. Resuelva la congruencia 29x ≡ 1 (mod 17).

2. Encuentre todas las soluciones de 9x ≡ 12 (mod 15).

3. Resuelva la congruencia 21x + 5 ≡ 0 (mod 29).

4. Resuelva la congruencia (a + b)x ≡ a2 + b2 (mod ab), donde a, b ∈ N son parámetros con(a, b) = 1.

65

Ejercicios.

1. Resuelva 7x ≡ 15 (mod 9).



4. Sea p un primo impar y k un entero positivo. Muestre que la congruencia x2 ≡ 1 (mod pk)tiene exactamente dos soluciones incongruentes.

5. Muestre que la congruencia x2 ≡ 1 (mod 2k) tiene exactamente cuatro soluciones cuandok > 2. Muestre que cuando k = 1 hay una única solución y cuando k = 2 existen exacta-mente dos soluciones incongruentes.

6. Resuelva la congruencia 2x ≡ 1 (mod m), donde m ∈ N.

3.3. Teorema de Fermat

Teorema 3.2. Para todo primo p y entero a se cumple:

ap ≡ a (mod p)

Además, si (a, p) = 1, entonces ap−1 ≡ 1 (mod p).

Ejemplos.

1. Muestre que para cualquier par de enteros a, b que satisfacen (a, 65) = (b, 65), el númeroa12 − b12 es divisible por 65.

2. Muestre que para primos distintos p, q se tiene

pq−1 + qp−1 ≡ 1 (mod pq).

Solución: Ya que p y q son primos distintos, y por lo tanto primos relativos, tenemos por elteorema de Fermat que pq−1 + qp−1 ≡ pq−1 ≡ 1 (mod q), esto ya que q ≡ 0 (mod q) impli-ca qp−1 ≡ 0 (mod q). Equivalentemente pq−1 + qp−1 ≡ 1 (mod p). Como la congruenciaes cierta para los módulos p y q será también cierta para el módulo [p, q] = pq, esto por latercera propiedad de la proposición 3.

3. Demuestre que para todo n ∈N, el número 222n+1+ 3 es compuesto.

66

Taller de Geometría — Nivel Avanzado

Lic. Aarón RamírezUniversidad de El Salvador


1. Dado el triángulo ABC, sean P, Q, R en BC, CA, AB respectivamente, los puntos de tan-gencia de su incírculo, y L, M, N en QR, RP, PQ respectivamente, los pies de las alturas deltriángulo PQR.

a) Demostrar que las rectas AL, BM y CN son concurrentes.

b) Demostrar que el punto de concurrencia está sobre la recta de Euler del triángulo PQR.

Solución. .

67

a) Es propiedad conocida que los triángulos ABC y LMN son homotéticos (dado que losángulos ARQ, RPQ, RLM son iguales, por lo tanto AB ‖ LM, y análogamente para losotros lados), por lo tanto las rectas AL, BM, CN concurren en un punto T.

b) Sean O y H el circuncentro y ortocentro del triángulo PQR, respectivamente, entoncesOH es la recta de Euler del triángulo PQR. Además, O es el incentro del triángulo ABCy H es el incentro del triángulo LMN, por la homotecia, como los incentros son puntoscorrespondientes, deben estar alineados con el centro de homotecia T, por lo tanto Tpertenece a la recta de Euler del triángulo PQR. ///

2. Dado el triángulo ABC, con P, Q y R en BC, CA y AB respectivamente, puntos de tangen-cia del incírculo, y P′, Q′ y R′ puntos en el incírculo diametralmente opuestos a P, Q y Rrespectivamente. Demuestre que AP′, BQ′ y CR′ son concurrentes.

Solución. Se construye una paralela a BC que pase por P′ y que corta a AB y AC en D y Erespectivamente. Dado que P′ es diametralmente opuesto a P, DE es tangente al incírculo.Observe que A es centro de homotecia del incírculo y el excírculo respecto a A, y esta mismahomotecia transforma a DE en BC.

68

Si P′′ es la intersección de AP′ con BC, entonces P′ se transforma en P′′ en esta homotecia,y resulta entonces que la recta AP′ es una ceviana de Nagel del triángulo ABC dado queP′′ debe ser (por la homotecia) el punto de tangencia de BC en el excírculo respecto a A.Análogamente sucede con BQ′ y CR′, por lo tanto, AP′, BQ′, CR′ concurren en el punto deNagel del triángulo ABC. ///

3. El incentro de un triángulo es el punto de Nagel de su triángulo medial.

Solución. Sea DEF el triángulo medial e I el incentro del triángulo ABC, T y U son lasintersecciones de AI con BC y FE respectivamente.

Dado que BI es bisectriz en el triángulo ABT, por el teorema de la bisectriz

AIIT

=BABT

=ca

b+c=

b + ca

V es la intersección de DI con EF, dado que FE es base media se tiene

UIIT

=UT − IT

IT=

12

(ATIT

)− 1 =

12

(AI + IT

IT

)− 1 =

12

(AIIT− 1)=

s− aa

=VIID

.

Análogamente, si W es la intersección de EI con FD

WIIE

=a− b

b.

Aplicando el teorema de Menelao al triángulo WDI con la transversal FUE se tiene

1 =WFFD· DV

VI· IE

EW=

WFb/2

( ss− a

)(bs

)entonces WF =

s− a2

.

Es fácil ahora probar que EF + FW = ED + DW, por lo que EW es una ceviana de Nagel, yanálogamente para DV, por lo que I es el punto de Nagel del triángulo DEF. ///

69

4. El incentro I, el baricentro G y el punto de Nagel N de un triángulo ABC están alineados, yademás se cumple 2GI = GN.

Solución. El triángulo ABC es homotético a su triángulo medial DEF, con centro de homo-tecia G y razón de homotecia 1/2.

Por la homotecia, N se transforma en el punto de Nagel del triángulo DEF, pero por elproblema anterior, este punto es I, por lo tanto N, G, I están alineados y además, por larazón de homotecia 2GI = GN. ///

5. Popurrí métrico. Dado un triángulo ABC de lados a, b y c, G es el baricentro, H el ortocen-tro, O el circuncentro, I el incentro, M el centro de la circunferencia de los 9 puntos, N elpunto de Nagel, R el circunradio, r el inradio, s el semiperímetro. Se cumplen las siguientespropiedades:

a) H, G, O, M están alineados (HGO es la recta de Euler para el triángulo ABC y OGM esla recta de Euler para el triángulo medial), N, G, I están alineados (problema anterior),HN ‖ OI, ON ‖ MI, y se cumple además

GHGO

=GOGM

=GNGI

=HNIO

=ONIM

= 2.

b) Los lados del triángulos son raíces del polinomio

P(t) = t3 − 2st2 + (s2 + r2 + 4Rr)t− 4sRr

y por Vieta se cumple

a + b + c = 2s,

ab + bc + ca = s2 + r2 + 4Rr,abc = 4sRr.

Con un poco de álgebra se deduce también

a2 + b2 + c2 = 2(s2 − r2 − 4Rr),

a3 + b3 + c3 = 2s(s2 − 3r2 − 6Rr).

70

c) OH2 = 9R2 − (a2 + b2 + c2).

d) IG2 = 19 (s

2 + 5r2 − 16Rr).

e) OI2 = R2 − 2Rr (Fórmula de Euler).

f ) IM = R2 − r (Teorema de Feuerbach).

6. Sea ABC un triángulo con ángulos menores o iguales a 120◦. Sea F el punto de Fermat internodel triángulo ABC (esto es, el punto tal que ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA = 120◦). Para cadauno de los tres triángulos BFC, CFA y AFB, se dibuja su linea de Euler. Pruebe que estastres líneas concurren.

Solución. .

71

Punto de Fermat. Dado un triángulo ABC, se construyen externamente triángulos equi-láteros ABR, BCP, CAQ. Se construye los circuncírculos de BCP y CAQ que se cortan nue-vamente en F. Los cuadriláteros FBPC y FCQA son cíclicos, y dado que sus ángulos en Py Q respectivamente son de 60◦, entonces los ángulos opuestos serán de 120◦, por lo tanto,el cuadrilátero FARB es también cíclico, por lo que F también pertenece al circuncírculo deABR (F es además el centro radical de estas tres circunferencias).

Se observa que ∠BFR = ∠BAR = 60◦, porque sostienen el arco BR, y dado que ∠BFC =120◦, entonces∠RFC = 180◦, es decir, R, F y C están alineados. Análogamente, A, F, P estánalineados, y B, F, Q también, es decir, AP, BQ, CR son rectas que pasan por F, el punto deFermat. También se puede probar que el punto de Fermat (interno) es aquel que minimizaAF + BF + CF (para un F variable sobre el plano).

Triángulo de Napoleón. Dado un triángulo ABC, se construyen externamente (o bien in-ternamente, la demostración es similar) triángulos equiláteros ABR, BCP, CAQ. Entonces, loscircuncentros de estos triángulos forman un triángulo equilátero.

Por lo demostrado anteriormente (F es el punto de intersección de los circuncírculos deABR, BCP, CAQ), está claro que FC es eje radical de los circuncírculos de BCP y CAQ, porlo que si O1 y O2 son los respectivos circuncentros, entonces FC ⊥ O1O1. Análogamente,FB ⊥ O1O3.

Así, se forma el cuadrilátero FXO1Y que es cíclico, dado que los ángulos en X y Y sonopuestos y suman 180◦ (cada uno es un ángulo recto). Con esto, dado que ∠XFY = 120◦,el ángulo opuesto sera suplementario, es decir, ∠XO1Y = 60◦. Haciendo esto simétrica-mente para los otros casos, se observa que O1O2O3 forma un triángulo equilátero, llamadotriángulo de Napoleón.

Si A′ es el punto medio de BC, se sabe que G1, el baricentro de BFC, es un punto sobre elsegmento FA′ tal que FG1

G1 A′ = 2. Además, O1 es también baricentro de BCP, y como PA′ es

72

mediana de dicho triángulo, entonces PO1O1 A′ = 2, por lo que, por el recíproco del teorema de

Thales, se tiene que las rectas PF y O1G1 son paralelas.

Dado que PF (que es la misma recta FA) es perpendicular a O2O3 por lo tanto O1G1 esperpendicular a O2O3. Si O es el circuncentro de O1O2O3 (equilátero), está claro que O1G1,la recta de Euler de BCF, pasa por O. Análogamente, la recta de Euler de ACF y ABFpasarán por O, por lo tanto, concurren. ///

7. A1 A2A2 es un triángulo acutángulo. El pie de la altura trazadas desde Ai es Ki, y el incírculotoca al lado opuesto a Ai en Li. La línea K1K2 es reflejada con respecto a la línea L1L1.Similarmente, la línea K2K3 es reflejada con respecto a la línea L2L2, y K3K1 es reflejada conrespecto a la línea L3L1. Pruebe que las tres nuevas líneas forman un triángulo con vérticessobre el incírculo.

Solución. Considere la siguiente figura. Sea I el incentro del triángulo, K′1K′2 la reflexión deK1K2 con respecto a L1L2, K′′2 K′′3 la reflexión de K2K3 con respecto a L2L3, K′′′3 K′′′1 la reflexiónde K3K1 con respecto a L3L1. X, Y son los puntos de intersección de las rectas K3K′′′3 y K1K′′′1con A1A3.

Los puntos P, Q y R se definen como el problema indica. El problema se reduce a probarque A1 I es mediatriz de L1R porque así IL1 = IR = r, el inradio, y análogamente para losotros lados.

Lema 1. L1 es el circuncentro del triángulo K1K′1K′′′1 .

73

Demostración. Por la reflexión con respecto a L1L2, (K1K′1 ‖ K2K′2) ⊥ L1L2, pero además, sesabe que A3 I ⊥ L1L2, por lo que K1K′1 ‖ K2K′2 ‖ A3 I. Análogamente K1K′′′1 ‖ K3K′′′3 ‖ A2 I.Nuevamente por las reflexiones, L1K′1 = L1K1 = L1K′′′1 , por lo que L1 es el circuncentro deltriángulo K1K′1K′′′1 . QED

Lema 2. Los puntos A1, I, K′1, K′′′1 están alineados.

Demostración. Como K1K′′′1 ‖ A2 I, ∠K′′′1 K1L1 = ∠IA2L1 = 12∠A2, y como L1K1 = L1K′′′1 ,

∠K1K′′′1 L1 = 12∠A2. Análogamente, ∠K′1K1L1 = ∠K1K′1L1 = 1

2∠A3. Luego, por la relaciónentre ángulo inscrito y ángulo central, ∠K′1L1K′′′1 = ∠A2 + ∠A3, y como L1K′1 = L1K′′′1 ,∠L1K′′′1 K′1 = 1

2∠A1.

Con esto, si Z es un punto sobre la prolongación del lado A1 I, calculando el ángulo ex-terno del4A1A2 I, ∠A2 IZ = 1

2∠A1 +12∠A2, mientras que sumando los ángulos obtenidos

anteriormente, K1K′′′1 K′1 = ∠K1K′′′1 L1 + ∠L1K′′′1 K′1 = 12∠A1 +

12∠A2, es decir, ∠A2 IZ =

∠K1K′′′1 K′1, y dado que K1K′′′1 ‖ A2 I, las rectas A1 I y K′1K′′′1 coinciden. QED

Lema 3. L1K′1RK′′′1 es un rombo.

Demostración. Como K3K′′′3 ‖ A2 I, ∠A1K3K′′′3 = ∠A1A2 I = 12∠A2. Como A1A3K1K3 es cícli-

co, ∠A2K3K1 = ∠A1A3K1 = 12∠A3. Entonces, ∠K1K3X2 = 180◦ − 1

2∠A2 −∠A3. Sumando

74

los ángulos internos del 4A3K1Y, ∠A3YK1 = 180◦ − 12∠A2 − ∠A3. Es decir, ∠K1K3X =

∠A3YK1, por lo que el trapecio K1YXK3 es cíclico.

Por la reflexión con respecto a L3L1, esta claro que K1K′′′1 K′′′3 K3 es trapecio isósceles, y portanto es cíclico. Utilizando estos dos trapecios cíclicos se demuestra que XY ‖ K′′′1 K′′′3 , o loque es lo mismo, A1A3 ‖ K′′′1 K′′′3 . Análogamente, A1A2 ‖ K′1K′2.

Como A1, K′′′1 , K′1 están alineados y∠A2A1K′1 = ∠L1K′′′1 K′1 = 12∠A1, entonces A1A2 ‖ K′′′1 L1,

y con lo anterior, A1A2 ‖ K′′′1 L1 ‖ K′1K′2. Análogamente, A1A3 ‖ K′1L1 ‖ K′′′1 K′′′3 . Como Res la intersección de K′1K′2 con K′′′1 K′′′3 , se forma el paralelogramo L1K′1RK′′′1 , y dado queL1K′1 = L1K′′′1 , es además rombo. QED

Así, K′1K′′′1 es mediatriz de L1R, lo que queríamos demostrar. ///

8. Dado el triángulo ABC, sea O su circuncentro; se construye una circunferencia de centroO′ y diámetro OA, y se definen los puntos R y S como las intersecciones de AB y AC conla circunferencia. Sea M la intersección de OR con BO′, y N la intersección de OS con CO′.Sea X un punto sobre MN tal que ∠RAO = ∠SAX. Demuestre que ARMX es cuadriláterocíclico.

Solución. Llamemos Γ a la circunferencia de centro O′ y diámetro OA. Se observa que Γ estangente al circuncírculo de ABC, con A como punto de tangencia; entonces, A es centro dehomotecia de dichas circunferencias, por lo que BC ‖ RS.

Por otra parte, los triángulos BCO′ y RSO (en ese orden) están en perspectiva con respectoa O, y por el teorema de Desargues, M, N y el punto de intersección de BC con RS deben estar

75

alineados, pero estas rectas son paralelas (se cortan en el punto al infinito respectivo a BC),por lo que MN ‖ BC ‖ RS.

Como OA es diámetro ∠ARO = ∠ARM = 90◦. Finalmente, por la definición de X, AX esla conjugada isogonal de AO, así, es perpendicular a BC, y por lo anterior, perpendiculartambién a MN, es decir, ∠AXM = 90◦. Con esto, el cuadrilátero ARMX tiene dos ángulosopuestos perpendiculares (sumando 180◦), y por lo tanto es cíclico. ///

9. Dado el triángulo ABC, sean D y E puntos sobre AB y AC respectivamente, tal que DE yBC sean paralelas. Sea P un punto interior al triángulo ADE, G es la intersección de PBcon DE, H es la intersección de PC con DE. Pruebe que A pertenece al eje radical de loscircuncírculos de PDH y PEG.

Solución. Sea Q el otro punto de corte de los circuncírculos PDH y PEG, J la intersección dePB con DQ, K la intersección PC con EQ. Como BC ‖ DE entonces ∠PBC = ∠PGE. ComoPGQE es cíclico, entonces ∠PGE = ∠PQE, así ∠PBC = ∠PQE, análogamente ∠PCB =∠PQD. Con esto, el ángulo BPC, que es suplementario a la suma de los ángulos PBC y PCB,será también suplementario al ángulo DQE, por lo tanto PJQK es cíclico. Por este cíclico∠PQK = ∠PJK, y de aquí es inmediato que ∠PGE = ∠PJK, por lo tanto JK ‖ DE ‖ BC.

Los triángulos PBC y QDE están entonces en perspectiva (en ese orden) con respecto ala recta JK, dado que la intersección de BC con DE está sobre la recta JK (las tres rectasse cortan en el mismo punto al infinito), y aplicando el teorema de Desargues en esta versióndegenerada, implica que las rectas BD, PQ, CE concurren, es decir, A pertenece a PQ. ///

10. Dadas dos circunferencias de centros O y O′, que se cortan en A y B, si P es un puntovariable sobre la circunferencia de centro O, y P′ es la otra intersección de PB con la circun-ferencia de centro O′, demuestre que se cumplen las siguientes propiedades:

a) Los triángulos AOP y AO′P′ son semejantes en ese orden, y la razón de semejanza esel cociente de los radios.

b) Los triángulos AOO′ y APP′ son semejantes en ese orden.

76

c) Si la circunferencia de centro O puede transformarse en la circunferencia de centro O′

haciendo una rotación en A seguida de una dilatación también en A (lo cual se llamauna rotación dilatativa).

Solución. .

a) Si consideramos la siguiente figura, ∠AOP = 2∠ABP′ = ∠AO′P′, y dado que lostriángulos AOP y AO′P′ son isósceles, la semejanza esta garantizada. Además, la ra-zón de semejanza es AO/AO′, que es justamente el cociente entre los radios.

b) Se basa en la semejanza anterior.

c) La circunferencia de la izquierda la rotamos con centro en A un ángulo igual a∠OAO1y luego, con centro en A también, se hace una homotecia de razón AO/AO′.

///

11. Teorema de Desargues Iterado. Sean abc y a′b′c′ dos triángulo en perspectiva con respectoa un punto P. La recta a′′ es aquella que pasa por los puntos bc′ y cb′, análogamente sedefinen b′′ y c′′. Demuestre que el triángulo a′′b′′c′′ está en perspectiva con abc y a′b′c′ conrespecto a P.

77

Solución. Considere la siguiente figura. Sea A el vértice que se opone a la recta a del trián-gulo abc, y análogamente para el resto de puntos B, C′′, etc. También se denota por Ab elpunto de intersección de a con b′, y de igual manera quedan definidos el resto de puntosAc, Ba, Bc, Ca, Cb.

Se sabe que AA′, BB′ y CC′ concurren en P, y se demostrará que A′′, B′′ y C′′ pertenecena cada una de estas rectas, respectivamente, demostrando así el teorema. Por el teorema deDesargues, los puntos X = cc′, Y = aa′, Z = bb′ están alineados, es el eje de perspectiva delos triángulos abc y a′b′c′.

Con esto, los triángulos aa′c′′ y cc′a′′ están en perspectiva con respecto a Z = bb′, dado queBaBc = b, AbCb = b′, XY pasan por Z, y de nuevo, por el teorema de Desargues. el eje deperspectiva es BB′B′′, es decir, estos tres puntos están alineados. Similarmente para el restode casos. ///

12. Dos circunferencias k1 y k2 se intersectan en dos puntos A y B. Una línea que pasa por Bcorta a k1 en un punto C (aparte de B), y a k2 en un punto E (aparte de B). Otra línea, quepasa por B corta a k1 en un punto D (aparte de B), y a k2 en un punto F (aparte de B).Asuma que el punto B se ubica entre C y E, y entre los puntos D y F. Finalmente, sean M yN los puntos medios de CE y DF. Pruebe que los triángulos ACD, AEF y AMN son todossemejantes entre si.

Solución. Se observa que ∠ADF = β = ∠ACE, porque sostienen el arco AB en k1, mientrasque ∠AEC = γ = ∠AFD, porque sostienen el arco AB en k2. Así, los triángulos ADF yACE (en ese orden) son semejantes, y por tanto ∠DAF = ∠CAE. Restando el ángulo CAFa estos ángulos se obtiene que ∠DAC = α = ∠FAE, y utilizando una vez mas la semejanzaanterior,

ADAC

=AFAE

,

por lo que, por criterio LAL, los triángulos ADC y AFE son semejantes (en ese orden), loque concluye la primera parte.

78

Ahora bien, se probará que los triángulos ADN y ACM son semejantes (en ese orden), enbase a la semejanza de ADF y ACE. Esto se obtiene dado que

DNCM

=DF/2CE/2

=DFCE

=ADAC

,

y ∠ADN = ∠ACM, por lo que por criterio LAL, la semejanza buscada es cierta.

Así ∠DAN = ∠CAM, y restando el ∠CAN se obtiene que ∠DAC = α = ∠NAM, y utili-zando nuevamente que ADN y ACM son semejantes,

ADAC

=ANAM

,

luego,4ADC y4ANM son semejantes, por criterio LAL, lo cual termina la prueba. ///

13. Las diagonales AC y BC, de un cuadrilátero cíclico ABCD, se cortan en X. Los circuncírculosde los triángulos ABX y CDX se cortan en Y (aparte de X). Sea O el circuncentro de ABCD.Asuma que los puntos O, X, Y son todos distintos. Demuestre que OY es perpendiculara XY.

Solución. Sea P la intersección de AB y CD. Se observa que P es el centro radical de loscircuncírculos de ABCD, ABXY y CDYX, por lo que P pertenece también a la recta XY.

Sean Γ, Γ1, Γ2 los circuncírculos de ABCD, ABXY, CDYX, respectivamente, y de centrosO, O1, O2. Se definen también los puntos L, M, N como XY ∩O1O2, AB ∩OO1, CD ∩OO2,respectivamente, y se verifica rápidamente que son además puntos medios de XY, AB, CD,dado que las rectas O1O2, OO1,OO2 son sus respectivas mediatrices.

[1] Utilizando la propiedad enunciada al inicio, aplicando la rotación dilatativa correspon-diente a Γ y Γ1, de centro A, el triángulo AOD se transforma en el triángulo AO1X,es decir, son semejantes en ese orden. Análogamente pasa con los triángulos DOA y

79

DO2X. Sin considerar orden, los tres triángulos en cuestión son isósceles (dado queOA = OD) y semejantes entre si.

[2] También por la misma propiedad, rotando y dilatando Γ1 para convertirla en Γ2, concentro Y, los triángulos isósceles YO1A y YO2C son semejantes en ese orden, al igualque los triángulos isosceles YO1B y YO2D.

Si ∠OAD = α, por [1] ∠ODA = ∠O1AX = ∠O1XA = ∠O2DX = ∠O2XD = α. Si∠XAY = β entonces ∠O1AY = α + β, por [2] ∠O1YA = ∠O2CY = ∠O2YC = α + β, y si∠XDY = γ entonces∠O2DY = α+ γ, también por [2]∠O2YD = O1BY = ∠O1YB = α+ γ.

Por otra parte, ∠BAX = ∠BYX = θ = ∠CYX = ∠CDX, por propiedades de ángulo inscri-to. Finalmente, ∠XO1Y = 2β por ser ángulo central que sostiene el arco XY en Γ1, y comoO1L es mediatriz del triángulo isósceles XO1Y es también bisectriz, por lo que ∠LO1Y = β.Análogamente ∠LO2Y = γ. Sumando los ángulos internos del 4LO1Y se obtiene la rela-ción α + β + γ + θ = 90◦ [3]. Sumando, ∠O1YO2 = 2α + β + γ + 2θ, y por [3] se obtiene

∠O1YO2 = 2(α + β + γ + θ)− (β + γ) = 180◦ − (β + γ).

Pero además, la rotación dilatativa que transforma Γ1 en Γ2 tiene ángulo ∠O1YO2, y dadoque M se transforma en N en dicha transformación, el ángulo que forman con respecto alcentro de la rotación, Y, debe ser el mismo, es decir, ∠MYN = 180◦ − (β + γ).

Por otra parte ∠O1OO2 = ∠MON = 180◦ −∠MPN, dado que OMPN es cíclico, por tenerdos ángulos rectos opuestos, y además ∠MPN = 180◦ − (∠PAD + ∠PDA), por lo que∠O1OO2 = ∠PAD +∠PDA. Se tiene que ∠AOD = 180◦ − 2α = arco(AD), mientras que

80

∠BOC = 2θ = arco(BC), y utilizando la relación de ángulo interior se tiene

∠AXD =arco(AD) + arco(BC)

2= 90◦ + θ − α.

Entonces ∠XAD +∠XDC = 90◦ − θ + α por lo que ∠PAD +∠PDA = 90◦ + α + θ, y por[3], ∠O1OO2 = 180◦ − (β + γ).

De aquí que ∠MYN = 180◦ − (β + γ) = ∠MON, es decir, MYON es cíclico, o equivalente-mente, Y pertenece al circuncírculo de MON, pero dicho circuncírculo pasa también por P,por lo que ∠PYO = ∠PMO = 90◦, o lo que es lo mismo XY ⊥ YO. ///

14. Teorema de Salmon. Si en una circunferencia se trazan tres cuerdas AX, AY, AZ y luego seconstruyen tres circunferencias de diámetros tales cuerdas, se cumple que las circunferen-cias se cortan dos a dos en tres puntos distintos de A que están alineados.

Solución. Se L la otra intersección de la circunferencia de diámetro AX con la circunferenciade diámetro AY, por el resultado de rotación dilatativa los puntos X y Y son correspondien-tes, por lo que deben estar alineados con L.

Definiendo análogamente M y N, se cumple que M pertenece a YZ mientras que B perte-nece a ZX.

Observe que A es un punto sobre el circuncírculo de XYZ, y L, M, N son los pies de lasalturas trazadas desde A hacia los lados del este triángulo, y es resultado conocido (recta deSimson-Wallance) que L, M, N deben estar alineados. ///

15. Teorema de Miquel. Dado el triángulo ABC, y P, Q, R son puntos cualesquiera de los ladosBC, CA, AB, respectivamente. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos ARQ,BPR, CPQ tienen un punto en común.

81

Solución. Si M es la intersección de los circuncírculos de ARQ y BPQ se cumple que

360◦ −∠RMQ−∠PMR = 360◦ − (180◦ −∠A)− (180◦ −∠B) = 180◦ −∠C.

Por lo tanto, CPMQ es cíclico, lo que significa que M pertenece al circuncírculo de CPQ.

///

16. Circuncírculos de un cuadrilátero completo. Dado un cuadrilátero completo ABCD, loscircuncírculos de los cuatro posibles triángulos que generan estas rectas, pasan por un mis-mo punto.

Solución. Considera la siguiente figura, por el teorema de Miquel aplicado sobre el triánguloDEF y los puntos sobre sus lados C, A, B, sobre DE, EF, FD, respectivamente, se tiene quelos circuncírculos de DBC, DAC, FAB pasan por un punto M.

82

Aplicando de nuevo el teorema de Miquel sobre el triángulo ACE, se tiene que los circuncírcu-los de ABF, CBD, EFD también pasan por un mismo punto, pero ese punto debe ser M, yaque en ambos casos es la intersección de los circuncírculos de ABF y BCD, que se cortan enM y B, pero no puede ser B porque debería pertenecer al circuncírculo de EFD. ///

17. Si ABCD es un cuadrilátero cíclico entonces las circunferencias de 9 puntos de los triángulosABC, ABD, ACD, BCD inciden en un punto.

Solución. Sea Γ el circuncírculo del 4ABC. Se definen los puntos P, Q, R, S, T, U como lospuntos medios de AB, BC, CD, DA, BD, AC. Si x es la recta tangente a Γ en el vértice X,con x = a, b, c, d, entonces el punto P′ = ab es el inverso geométrico de P con respecto a Γ,y lo mismo se cumple para Q′, . . . , U′.

Se sabe que la circunferencia de 9 puntos del 4ABC es el circuncírculo del 4PQU, estecircuncírculo se invierte en el circuncírculo del 4P′Q′U′, entonces las circunferencias de9 puntos de los triángulos ABC, ABD, ACD, BCD inciden en un punto si y sólo si si susfiguras inversas, los circuncírculos de los triángulos P′Q′U′, P′T′S′, U′R′S′, Q′R′T′ incidenen un punto, lo cual es cierto, por problema anterior, aplicado al cuadrilátero completoabcd. ///

83

Taller de Teoría de Números — Nivel AvanzadoLic. Riquelmi Cardona

Universidad de El Salvador


1. Congruencias Especiales

1.1. Teorema de Wilson

Teorema 1.1 (Wilson). Para todo primo p se cumple:

(p− 1)! ≡ −1 (mod p).

Ejercicios.

1. Muestre que si p es un primo impar, entonces 1232 · · · (p − 4)2(p − 2)2 ≡ (−1)(p+1)/2

(mod p).

Solución: De acuerdo a el Teorema de Wilson, se tiene que

1 · 2 · · · (p− 2) · (p− 1) ≡ −1 (mod p)

Como k ≡ (−1)(−k) ≡ (−1)(p− k) (mod p), se tiene que

1 · (−1)(p− 2) · 3 · (−1)(p− 4) · · · (p− 2) · (−1)(1) ≡ −1 (mod p)

Puesto que hay (p− 1)/2 números pares entre 1 y p− 1, se tiene que el resultado anteriores congruente con

(−1)(p−1)/2123252 · · · (p− 2)2 ≡ −1 (mod p)

y por lo tanto

123252 · · · (p− 2)2 ≡ (−1)(p−1)/2(−1) ≡ (−1)(p+1)/2 (mod p)

2. Muestre que si p es primo y p ≡ 3 (mod 4), entonces ((p− 1)/2)! ≡ ±1 (mod p)

Solución: Como p ≡ 3 (mod 4), se tiene que p es un primo impar. Por lo tanto hay unnúmero par de residuos no nulos módulo p. Si 1 ≤ k ≤ (p − 1)/2, entonces se tiene quek(p− k) ≡ kp− k2 ≡ (−1)k2 (mod p), por lo tanto, se tiene que

1 · 2 · 3 · · · (p− 3) · (p− 2) · (p− 1) ≡ −1 (mod p)

y además

1 · (p− 1) · 2 · (p− 2) · · · (p− 1)/2 · (p + 1)/2 ≡ −1 (mod p)

84

por lo que(−1)12 · (−1)22 · · · (−1)((p− 1)/2)2 ≡ −1 (mod p)

y entonces(−1)(p−1)/2(((p− 1)/2)!)2 ≡ −1 (mod p)

Puesto que p ≡ 3 (mod 4), tenemos que (p− 1)/2 es impar, por lo tanto

(((p− 1)/2)!)2 ≡ 1 (mod p)

y esto implica que((p− 1)/2)! ≡ ±1 (mod p)

3. Demuestre que si p es primo y p ≡ 1 (mod 4), entonces la congruencia x2 ≡ −1 (mod p)tiene dos soluciones.

Solución: De acuerdo al procedimiento del ejercicio anterior,

(−1)(p−1)/2(((p− 1)/2)!)2 ≡ −1 (mod p)

sin embargo, si p ≡ 1 (mod 4), se tiene que (p− 1)/2 es par, por lo tanto

(((p− 1)/2)!)2 ≡ −1 (mod p)

y la congruencia x2 ≡ −1 (mod p) tiene dos soluciones, x ≡ ((p− 1)/2)! y x ≡ −((p−1)/2)!

4. Para cuales enteros positivos n el número n4 + 4n es primo.

5. Muestre que si n y n + 2 son primos, entonces 4((n− 1)! + 1) + n ≡ 0 (mod n(n + 2)).

6. Sea p un primo mayor que 5, demuestre que no existe m natural tal que (p− 1)! + 1 = pm.

7. Demuestre que si p es primo y p ≡ 3 (mod 4), entonces para a, b enteros arbitrarios, lacongruenciaa2 + b2 ≡ 0 (mod p) implica que a ≡ b ≡ 0 (mod p).

8. Sea p un primo impar. Sea A = {0, 1, 2, . . . , p− 1} y σ una permutación de los elementos deA. Demostrar que existen i y j tal que iσ(i) = jσ(j) es divisible por p.

1.2. Teorema de Euler

Definición 1.1. Sea n un entero positivo. La función phi de Euler φ(n) se define como elnúmero de enteros positivos menores que n y primos relativos con n.

Teorema 1.2. Para todo natural m = pn11 pn2

2 · · · pnkk , donde p1, . . . , pk (k ≥ 1) son primos distintos y

n1, . . . , nk ∈N, se tiene que:

φ(m) = m ·(

1− 1p1

)· · ·(

1− 1pk

).

Teorema 1.3 (Euler). Para todo número natural m y un entero a tal que (a, m) = 1 se tiene

aφ(m) ≡ 1 (mod m).

85

Ejercicios.

1. Muestre que φ(n) es par para todo n > 2.

2. Demuestre que φ(n) = 14 no tiene soluciones.

3. Encuentre el menor natural n para el cual φ(n) = 6

4. Muestre que si n es un natural compuesto y φ(n) | n− 1 entonces n es libre de cuadrados yes el producto de al menos 3 primos distintos.

5. Muestre que para todo natural impar se tiene que n | 2n! − 1

6. Encuentre todos los primos para los cuales 5p2+ 1 ≡ 0 (mod p2).

1.3. Teorema Chino del Resto

Teorema 1.4. Sean m1, m2, . . . , mr naturales primos relativos dos a dos, entonces el sistema de con-gruencias

x ≡ a1 (mod m1)

x ≡ a2 (mod m2)...

x ≡ ar (mod mr)

tiene una solución única módulo M = m1m2 · · ·mr.

Ejercicios.

1. Determine el menor número de langostas en un tanque si queda una sóla langosta cuandose retiran de 2 en 2, 3 en 3, 5 en 5 ó 7 en 7, pero no quedan langostas al retirarse de 11 en 11.

2. Demuestre que existen arbitrariamente largas cadenas de enteros consecutivos tales quecada uno de ellos es divisible por un cuadrado perfecto.

2. Ecuaciones Diofánticas

Las técnicas habituales para resolver ecuaciones diofánticas incluyen factorización y uso decongruencias para reducir los casos a estudiar o probar que no existen soluciones. En algunasocasiones es útil considerar el máximo común divisor de las variables.

Ejemplos.

1. Muestre que la ecuación a2b2 + b2c2 + 3b2 − c2 − a2 = 2005 no tiene soluciones enteras.

2. Encuentre todos los triángulos rectángulos de lados enteros tales que su área y perímetroson iguales.

3. Encontrar todas las soluciones a la ecuación x2 + y2 = z2.

86

Ejercicios.

1. Encuentre todas las soluciones enteras (n, m) de

n4 + 2n3 + 2n2 + 2n + 1 = m2.

2. Encuentre todas las soluciones enteras de la ecuación

4x2 + 9y2 = 72z2.

3. Pruebe que la ecuaciónx3 + y3 + z3 = 2002

no tiene soluciones en los enteros.

4. Pruebe que la ecuación4x3 − 7y3 = 2003

no tiene soluciones en los enteros.

5. Resuelva la siguiente ecuación x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2.

6. Resuelva la ecuación siguiente para x, y naturales y p primo

1x+

1y=

1p

.

7. Encuentre soluciones enteras al sistema de ecuaciones siguiente:

x2 + 2y2 = z2

2x2 + y2 = u2

8. Resuelva la ecuación siguiente: x2 + y2 + z2 = 2xyz.

9. Para p primo resuleva la siguiente ecuación

x4 + 4x = p.

3. Resultados Interesantes

3.1. Postulado de Bertrand

A pesar de que la secuencia de números primos es infinita, es posible encontrar largassecuencias que carecen de primos. A pesar de esto, existen cotas para el máximo tamaño queuna secuencia de “no primos” puede tener tal como lo muestra el siguiente teorema.

Teorema 3.1. Para todo n ≥ 1, existe un número primo con n < p ≤ 2n.

Demostración. La base de la prueba es la estimación del valor del coeficiente binomial (2nn )

de manera cuidadosa para probar que si el coeficiente no tiene factores primos en el rangon < p ≤ 2n, entonces sería “muy pequeño”. El argumento consta de 5 partes:

87

1. Primero probamos el Postulado de Bertrand para n < 4000 para eso basta con observarla secuencia siguiente de primos:

2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259, 2503, 4001

donde cada elemento es menor que el doble del anterior. Por lo tanto, cada intevalo{y : n < y ≤ 2n}, con n < 4000, contiene uno de estos 14 primos.

2. A continuación probamos que

∏p≤x

p ≤ 4x−1 para todo real x ≥ 2

La prueba se realiza por inducción sobre los primos. El caso q = 2 es fácil de demostrary para q = 2m + 1 se tiene:

∏p≤2m+1

p = ∏p≤m+1

p · ∏m+1<p≤2m+1

p ≤ 4m(

2m + 1m

)≤ 4m22m = 42m.

3. El teorema de Legendre nos permite calcular que el factor p aparece en (2nn ) = (2n)!

n!n!exactamente:

∑k≥1

(⌊2npk

⌋− 2

⌊npk

⌋)Con ayuda de lo anterior se puede demostrar que los primos p tales que 2

3 n < p ≤ n nodividen a (2n

n ) y los primos p >√

2n aparecen a lo sumo una vez.

4. Con lo anterior estimamos el valor de (2nn )

4n

2n≤(

2nn

)≤ ∏

p≤√

2n

2n · ∏√2n<p≤ 2

3 n

p · ∏n<p≤2n

p.

5. Finalmente, en el resultado anterior asumimos que no existe un primo p en el rangon < p ≤ 2n con lo cual llegamos a una desigualdad que es falsa para valores lo suficien-temente grandes de n. �

3.2. Representación de enteros como suma de cuadrados

Una pregunta muy interesante de Teoría de Números es: ¿Qué números se pueden escribircomo suma de dos cuadrados?

El primer paso para identificar la forma de los números anteriores viene dado por el si-guiente lema:

Lema 2. Para primos p = 4m+ 1 la ecuación s2 ≡ −1 (mod p) tiene dos soluciones s ∈ {1, 2, . . . , p−1}, para p = 2 existe una sóla solución, mientras que para los primos de la forma p = 4m+ 3 no existensoluciones.

Demostración. La prueba del lema anterior se basa en la partición de los residuos módulo p enlos siguientes conjuntos:

{x,−x, x,−x}. �

88

Lema 3. Ningún número de la forma n = 4m + 3 es suma de dos cuadrados.

Demostración. Este lema se puede demostrar analizando las congruencias de los cuadradosmódulo 4. �

La siguiente proposición nos permite caracterizar los primos de la forma p = 4m + 1.

Lema 4. Todo primo de la forma p = 4m + 1 es la suma de dos cuadrados, es decir, se puede escribirp = x2 + y2 para algunos naturales x, y.

Demostración. Para probar este lema necesitaremos hacer uso del principio de las casillas y ellema 2. �

Con los resultados anteriores se puede demostrar el teorema principal:

Teorema 3.2. Un natural n se puede representar como suma de dos cuadrados, si y sólo si, cada factorprimo de la forma p = 4m + 3 aparece con exponente par en la descomposición prima de n.

Demostración. Definamos a un número n como representable si n = x2 + y2 para algunosnaturales x, y. El teorema es la consecuencia de las siguientes afirmaciones:

1. Los números 1 y 2 son representables, así como todo primo de la forma p = 4m + 1.

2. El producto de dos números representables es también representable.

3. Si n es representable, entonces nz2 es representable.

Los anteriores hechos prueban la parte del “si” del teorema, la otra parte se demuestra conlo siguiente:

Si p = 4m + 3 es un primo que divide al número representable n, entonces p2 divide a n.Además se obtiene que n/p2 es representable. �

Finalmente, un corolario de lo anterior es la existencia de infinitos primos de la forma4m + 1.

89

.

EXÁMENES DE SELECCIÓN 2008

90

Universidad de San Carlos de GuatemalaFacultad de IngenieríaLicenciatura en Matemática Aplicada

Segundo Examen de SelecciónOLIMPÍADA CENTROAMERICANA Y DEL CARIBE DE MATEMÁTICA

OCCM 2008, San Pedro Sula, Honduras

Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas, dejando constancia de todo su procedimiento. No de-je algo al azar, explique todos sus razonamientos de forma clara y concisa. No se permite el uso decalculadora.

Problema 1. Se dice que una mano de dominó tiene una falla si alguno de los números entre el0 y el 6 no aparece en la mano. Demuestre que el número de manos de dominó que no tienenfalla es 501, 015.

Problema 2. En los lados AB, AC de un triángulo1 4ABC, encuentre dos puntos D y E (enAB y AC respectivamente) tales que los segmentos AD, DE y EC sean iguales.

Problema 3. Demuestre que existen por lo menos 10 000 números de 10 dígitos divisibles por7, que tienen la mismas cifras (sólo cambia el orden de las mismas). Por ejemplo, 392 y 329 sonnúmeros divisibles entre 7 con las mismas cifras.

Problema 4. Construir un triángulo equilátero equivalente a un triángulo dado.Nota: Un triángulo es equivalente a un triángulo dado si tiene la misma área que el triángulodado.

Problema 5. Sobre una mesa se tienen 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del otro (nose especifica cuántas con el lado rojo hacia arriba y cuántas con el color negro hacia arriba).Dos personas juegan alternadamente. Cada persona en su turno hace una de las siguientesjugadas:

1. Retirar cualquier cantidad de fichas, con la condición que todas tienen que ser del mismocolor hacia arriba.

2. Voltear cualquier cantidad de fichas, con la condición que todas las volteadas tengan elmismo color hacia arriba.

Gana el que tome la última ficha. ¿Cuál de los jugadores puede asegurar que ganará, el primeroo el segundo?

Problema 6. En dos circunferencias dadas, encontrar dos puntos tales que la distancia entreellos esté dada y que el segmento que los une tenga una dirección dada.

El examen tiene una duración de 4 1/2 horas.Sólo se resolverán dudas respecto a los enunciados.

1Los lados pueden ser extendidos, si es necesario.

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Primer Examen de SelecciónOLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA

OIM 2008, Salvador Bahia, Brasil


Problema 1. Demostrar que toda pareja de triángulos es copolar (Decimos que una parejade triángulos 4ABC y 4A′B′C′ son copolares si AA′, BB′ y CC′ concurren) si y sólo si escoaxial (Decimos que una pareja de triángulos4ABC y4A′B′C′ son coaxiales si siendo P =BC ∩ B′C′, Q = AC ∩ A′C′ y R = AB ∩ A′B′, se da que P, Q y R son colineales).

Problema 2. Sean n y r enteros positivos tales que n ≥ 2 y r 6≡ 0 mod n, y sea g el máximocomún divisor de n y r. Pruebe que:

n−1

∑i=1

{r · in

}=

12(n− g)

donde {x} es la parte fraccionaria de x.

Problema 3. Resolver lo siguiente:

1. Se tiene un conjunto de n parejas de casados. Se desea redistribuir a las 2n personasnuevamente en n parejas (cualquiera con cualquiera, incluso pueden quedar hombrescon hombres y mujeres con mujeres, aunque no necesariamente), para realizar algún tipode actividad que no viene al caso describir. ¿Qué probabilidad hay de que cada hombrequede con su esposa?

2. En el problema anterior, ¿Qué probabilidad hay de que cada hombre quede con algunamujer?

3. En una olimpíada de matemática en la que participan n países, en la que cada país llevaun equipo formado por k alumnos (equipo completo todos los países) identificados conlos números del 1 al k (por ejemplo: GUA1, GUA2, . . . , GUAk), los nk participantes sonredistribuidos nuevamente en n grupos de k miembros para la prueba por equipos. ¿Cuáles la probabilidad de que al menos uno de esos grupos tenga al menos 2 miembros conel mismo número de identificación?


92


Segundo Examen de SelecciónOLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA



Problema 1. Sean n, k ∈ Z+ y suponga que el polinomio x2k − xk + 1 divide a x2n + xn + 1.Pruebe que x2k + xk + 1 divide a x2n + xn + 1.

Problema 2. Determine todos los conjuntos no vacíos S de enteros positivos que satisfacen

i + jmcd (i, j)

es un elemento de S para toda i y j (no necesariamente distintos) en S.

Problema 3. Muestre que el segmento que une el ortocentro de un triángulo con el circuncen-tro del triángulo formado por los excentros del triángulo dado, es bisectado por el incentro deltriángulo medial del triángulo dado.


93


Tercer Examen de SelecciónOLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA



Problema 1. Sea P(x) un polinomio con coeficientes no negativos y suponga que P(x)P( 1x ) ≥

k para x = 1 y k ∈ Z+ ∪ {0}. Demuestre que P(x)P( 1x ) ≥ k para cualquier x ∈ R+.

Problema 2. Sean AA′, BB′, CC′ tres cevianas interiores concurrentes de un triángulo4ABC.Demuestre que siendo X1 ∈ BC, la sucesión de puntos:

X1 ∈ BC,X2 = X1B′ ∩ BA, X3 = X2A′ ∩ AC,X4 = X3C′ ∩ CB, X5 = X4B′ ∩ BA,X6 = X5A′ ∩ AC, X7 = X6C′ ∩ CB;

cumple que X1 = X7, ∀X1 ∈ BC.

Problema 3. Dado un punto en un espacio Rn, si éste se traslada en cualquier dirección fijauna distancia l > 0, el punto deja un rastro o estela en forma de segmento de recta. Si a estesegmento se le traslada la misma distancia l en una dirección perpendicular a la anteriormen-te elegida, el rastro toma la forma de un cuadrado, y si este cuadrado se traslada la mismadistancia en una dirección perpendicular a las anteriores, se obtiene un cubo.

Llamaremos n-cubo de medida l a la figura geométrica obtenida repitiendo n veces elproceso anteriormente descrito, utilizando una distancia l para realizar los traslados. Así, unpunto será un 0-cubo, un segmento de recta será un 1-cubo, un cuadrado un 2-cubo, etc. Demanera general nos referiremos a todos ellos como hipercubos.

Los vértices de cualquier n-cubo se denominarán también 0-cubos limítrofes del n-cubo.Si tenemos un n-cubo de medida l, llamaremos k-cubo limítrofe del n-cubo a cualquier k-cubode medida l cuyos vértices sean todos vértices del n-cubo. De esta manera, las caras de uncubo son sus 2-cubos limítrofes, mientras que sus aristas son sus 1-cubo limítrofes.

Sea⊕n

k la cantidad de k-cubos limítrofes de un n-cubo (considerando rotaciones y refle-xiones como el mismo k-cubo limítrofe) entonces encuentre una forma cerrada para

⊕nk en

términos de n y k.

Problema 4. Sean a, b ∈ Z+ tales que an + n | bn + n para todo entero positivo n. Demuestreque a = b.


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Bibliografía

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[2] Burton, David M.: Elementary Number Theory. International Series in Pure and AppliedMathematics. Editorial McGraw-Hill, EUA, cuarta edición, 1998.

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[5] Lebossé, C. y C. Hémery: Géométrie. Classe de Mathématiques. Éditions Jacques Gabay,Francia, 1997.

[6] Ogilvy, Stanley: Excursions in Geometry. Dover Publications, Inc., EUA, 1969.

[7] Pérez, María: Teoría de Números. Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas. Instituto deMatemáticas, UNAM, México, 2003.

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