botro dai 8

BỔ TRỢ ĐẠI SỐ 8

TRẦN VĂN PHONG

Chƣơng I. Phép nhân và chia các đa thức

NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Quy tắc nhân đơn thức với đa thức.

Tổng quát: A.(B+C) = A.B + A.C (A, B, C là các đơn thức)

2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: xm.x

n = x

m+n

II. BÀI TẬP:

1. Dạng 1: Làm tính nhân:

Phương pháp: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa

thức.

Bài 1:

a. 2x(7x2 - 5x -1)

b. 5 xy(x3 - 2x

2 + x -1)

2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức:

Phương pháp: - Dựa vào quy tắc nhân đơn thức với đa thức, ta rút gọn biểu thức.

- Thay các giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

a. x(x-y) + y(x-y)

b. x(2x2-3) - x

2(5x + 1) + x

2

Bài 3: Tính giá trị biểu thức:

a. 5x(4x2 -2x + 1) – 2x (10x

2 – 5x – 2) với x = 15 *

b. 5x(x – 4y) – 4y)với x = -1/5, y = -1/2

3. Dạng 3: Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước:

Phương pháp: Thực hiện phép nhân đa thức, biến đổi và rút gọn để đưa đẳng thức

đã cho về dạng: ax = b => x = -b/a (nếu a ≠ 0)

Bài 4: Tìm x biết:

a. 3x(12x – 4) -9x(4x – 3) = 30

b. x(5 – 2x) + 2x(x – 1) = 15 *

4. Dạng 4: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Phương pháp: Ta biến đổi biểu thức đã cho thành một biểu thức không chứa biến.

Bài 5: Chứng minh giá trị biểu thức khg phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a. x(x2 + x + 1) – x

2(x + 1) – x + 5

b. 4(6-x) + x2(2+3x) – x(5x – 4) + 3x

2(1 – x)

NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC


1. Quy tắc nhân đơn thức với đa thức.

Tổng quát: (A + B).(C + D) = A.B + A.D + B.C + B.D


TRẦN VĂN PHONG

(A, B, C, D là các đơn thức)

2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: xm.x

n = x

m+n

II. BÀI TẬP:

1. Dạng 1: Làm tính nhân:

Phương pháp: Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức.

Bài 1:

b. (5 - x)(x3 - 2x

2 + x -1)

c.(x2 – xy + y

2)(x + y)

2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức:

Phương pháp: - Dựa vào quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa

thức ta rút gọn biểu thức.

- Thay các giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.


a. x(x-y) + y(x-y)

b. x(2x2-3) - x

2(5x + 1) + x

2

Bài 3: Tính giá trị biểu thức:

a. 5x(4x2 -2x + 1) – 2x (10x

2 – 5x – 2) với x = 15 *

b. 5x(x – 4y) – 4y(y – 5x) với x = -1/5, y = -1/2

c. (-2x2 + 3x + 5)(x

2 - x + 3) với x = -3


Phương pháp: Thực hiện phép nhân đa thức, biến đổi và rút gọn để đưa đẳng thức

đã cho về dạng: ax = b => x = -b/a (nếu a ≠ 0)


a. x(5 – 2x) + 2x(x – 1) = 15 *

b. (12x – 5)(4x -1 ) + (3x – 7)(1 – 16x) = 81

4. Dạng 4: Chứng minh giá trị biểu thức khg phụ thuộc vào giá trị của biến.

Phương pháp: Ta biến đổi biểu thức đã cho thành một biểu thức không chứa biến.

Bài 5: Chứng minh giá trị biểu thức khg phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a. x(x2 + x + 1) – x

2(x + 1) – x + 5

b. 4(6-x) + x2(2+3x) – x(5x – 4) + 3x

2(1 – x)

HẰNG ĐẲNG THỨC


1. (A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2

2. (A - B)2 = A

2 - 2AB + B

2

3. A2 - B

2 = (A – B)(A + B)

4. (A +B)3

= A3 +3A

2B + 3AB

2 + B

3

5. (A - B)3

= A3 - 3A

2B + 3AB

2 - B

3

6. A3 + B

3 = (A + B)( A

2 - AB + B

2)


TRẦN VĂN PHONG

7. A3 - B

3 = (A - B)( A

2 + AB + B

2)

II. BÀI TẬP:

1. Dạng 1: Áp dụng các HĐT để tính:

Phương pháp: Đưa về một trong 7 HĐT ở trên để tính

Bài 1: Tính:

a. (2x + 3y)2 b. (5x – y)

2 c. (3x + 1)(3x – 1) d. (5x -

3

1)

2

Bài 2: Tính:

a. (x + 7)3, (5 – x)

3, (3a + 2x)

3

b. (x – 3)(x2 + 3x + 9)

c. (2x + y)(4x2 – 2xy + y

2)

2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức

Phương pháp: Áp dụng các HĐT để khai triển và rút gọn.

Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.

Bài 3: a. (x – 10)2 – x(x + 80) với x = 0,98 b. 4x

2 – 28x + 49 với x = 4

c. (x + 1)2 – (x – 1)

2 – 3(x + 1)(x – 1) với x = -2

d. 25x2 – 2xy +

5

1 y

2 với x = -1/5, y = -5

Bài 4: Tính giá trị biểu thức sau:

a. x3- 9x

2 + 27x – 27 với x = 5

b. (x + 1)3 + (x – 1)

3 + x

3 – 3x(x + 1)(x – 1) với x = -2/3

3. Dạng 3: Biểu diễn đa thức dưới dạng bình phương của một tổng (hiệu)

Phương pháp:

Áp dụng các HĐT: A2 + 2AB + B

2 (A + B)

2 và A

2 - 2AB + B

2 = (A - B)

2

Bài 5: a. x2 + 2x + 1 b. 9x

2 + y

2 + 6xy c. 25a

2 + 4b

2 – 20ab d. 9x

2 – 6x

+ 1


Phương pháp: Áp dụng các HĐT biến đổi và rút gọn để đưa đẳng thức đã cho về

dạng: ax = b => x = -b/a (nếu a ≠ 0)

Bài 6: a. (x + 2)2 – 9 = 0 b. (x - 2)

2 – x

2 + 4 = 0 c. (x + 4)

2 – (x + 1)(x – 1) =

16

Bài 7: Tìm x biết: (x + 2)(x2 -2x + 4) – x(x – 3)( x + 3) = 26

5. Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức:

Phương pháp: Đưa biểu thức về dang:

a. M = a + [f(x)]2 với a là hằng số, f(x) là biểu thức chứa biến x. Khi đó M ≥ a

=> giá trị nhỏ nhất của M là a khi f(x) = 0

b. M = b - [f(x)]2 với b là hằng số, f(x) là biểu thức chứa biến x. Khi đó M ≤ b

=> giá trị lớn nhất của M là b khi f(x) = 0

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a. x2 – 20x + 101 b. 4a

2 + 4a + 2 c. x

2 – 4xy + 5y

2 + 10x – 22y + 28


TRẦN VĂN PHONG

Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a. 4x – x2 + 3 b. x - x

2

6. Dạng 6: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Phương pháp: AD các hđt đáng nhớ để biến đổi biểu thức không còn chứa biến:

Bài 10: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào x:

a. (2x + 3)(4x2 – 6x + 9) – 2(4x

3 - 1)

b. (x + 3)3 – (x +9)( x

2 + 27)

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ


1. Đặt nhân tử chung ra ngoài ngoặc theo công thức: A.B + A.C = A.(B + C)

- Nhân tử chung:

+ Hệ số là ước chung lớn nhất của các hệ số trong mọi hạng tử.

+ Các lũy thừa bằng chữ số có mặt trong mọi hạng tử với số mũ nhỏ nhất của nó.

2. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

II. BÀI TẬP:

1. Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp: Đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức

Bài 1: Phương pháp đặt nhân tử chung

a. 2x2 – 6xy

2

b. 3x(x-1) + 7x2(x-1)

c. 9x2y

2 + 15x

2y – 21xy

2

d. 2x(x + 1) + 2(x + 1)

e. 4x(x – 2y) + 8y( 2y – x)

Bài 2: Dùng hằng đẳng thức

a. x2 – 6xy + 9y

2

b. x3 – 64

c. x3 + 6x

2y + 12xy

2 + 8y

3

d. 125x3 + y

6

Bài 3: phân tích da thức thành nhân tử

a. x2 – 2xy + y

2 – xz + yz

b. x2 – y

2 – x + y

c. x4 – x

3 – x

2 + 1

d. ax2 + ay

2 – 7x – 7y

e. 5xy2 – 10xyz +5xz

2

f. x3 +3 x

2 + 3x +1 -27z

3

g. x( x+1 )2 + x ( x-5 ) – 5 ( x+1 )

2


TRẦN VĂN PHONG

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

a.ax3 – ab + b- x

b. x2 – (x + y)

2

c. 4a2b

2 –( a+b+c)

2

d. 3x2(a+b+c) + 36xy(a+b+c) + 108y

2 (a+b+c)

e. x2 – x - 6

f. x4 + 4x

2 – 5

g. x4 + x

2 + 1

h. 81x4 + 4

2. Dạng 2: Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước

Phương pháp: Chuyển hết các hạng tử về vế trái của đẳng thức. Phân tích vế trái

thành nhân tử để được A.B = 0. Lần lượt tìm x từ A = 0, B = 0.


a. (2x – 1)2 – 25 = 0

b. 8x3 – 50x = 0

Bài 6: Tìm x:

a. 3x(x – 1) + x – 1 = 0

b. 2(x – 3) – x2 – 3x = 0

c. x4- 2x

3 + 10x

2 – 20x = 0

d. ( 2x – 3)2 = ( x + 5)

2

Bài 7: Tìm x:

a. 2x(x – 3) + x – 3 = 0

b. 3(x – 2) – x2 – 2x = 0

c. x4- 2x

3 + 10x

2 – 20x = 0

d. ( 4x – 3)2 = ( x + 5)

2

Bài 8: Tìm x:

a. x2 – 3x - 4 = 0

b. x2 – x - 6= 0

c. 4x2 - 25= ( 2x - 5)(2x+ 7)

3. Dạng 3: Áp dung vào số học

Phương pháp:

- Số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số nguyên k sao cho a = b.k

- Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số chia.

Bài 9: Chứng minh rằng: 56 – 10

9 chia hết cho 9

Bài 10: Chứng minh rằng: (n + 3)2 – (n – 1)

2 chia hết cho 8

Bài 11: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:

a) (n + 3)2 – ( n + 1)

2 chia hết cho 8

b) (n + 6)2 – ( n – 6)

2 chia hết cho 24.

4. Dạng 4. Tìm cực trị của một biểu thức đại số.


TRẦN VĂN PHONG

Đưa biểu thức đã cho về dạng:

a) M = a + [ f(x)]2 với a là hằng số, f(x) là biểu thức chưa biến x. Khi đó M ≥ a

với x. Do đó giá trị nhỏ nhất của M bằng a khi f(x) = 0 và phải đi tìm x để

f(x) = 0.

b) M = b - [ f(x)]2 với a là hằng số, f(x) là biểu thức chưa biến x. Khi đó M ≤ a

với x. Do đó giá trị lớn nhất của M bằng a khi f(x) = 0 và phải đi tìm x để

f(x) = 0.

Bài 12: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = x2 – 20x + 101

B = 4a2 + 4a + 2

C = ( x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)

Bài 13:tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = 5 – 8x – x2 B = 6x – x

2 - 5

CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC


Quy tắc chia đơn thức A cho đơn thức B

II. BÀI TẬP:

1. Dạng 1: Làm tính chia

Phương pháp:

Chia hai lũy thừa cùng cơ số: xm:x

n = x

m-n ( m ≥ n ≥0).


Bài 1: Làm tính chia:

a. ( -5/6)5 :( 5/6)

3

b. 64 : 3

4

c. x6 : (-x

4)

d. 3x3y

2 : (-1/2x

2y)

2. Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.

Phương pháp:

- Trước hết rút gọn biểu thức bằng cách chia đơn thức cho đơn thức

- Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.

Bài 2: Tính giá trị:

a. (- 15x3y

5z

4): (5x

2y

4z

4) với x = -2/3, y = -3/2, z = 10000

b. (- 15x3y

5z): (6x

2y

z) x = -4/3, y = 3/2, z = -200

3. Dạng 3: Tìm x:

Phương pháp: Thực hiện phép chia đơn thức cho đơn thức rồi thu gọn các hạng tử

đồng dạng trong đẳng thức. Từ đó tìm x.

Bài 3: Tìm x:

a. 4x4 : (-x

3) + 6x : 3x +5 = 0


TRẦN VĂN PHONG

b. 2

1x : 2x –

(3x – 1) = 0

CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC


1. Quy tắc chia đơn thức A cho đơn thức B

2. Quy tắc chia đa thức A cho đơn thức B

II. BÀI TẬP:

1. Dạng 1: Làm tính chia

Phương pháp:

Chia hai lũy thừa cùng cơ số: xm:x

n = x

m-n ( m ≥ n ≥0).


Quy tắc chia đa thức cho đơn thức: ( A – B +C ) : D = A:D – B:D + C:D

Bài 1: Làm tính chia:

a. 13( a-b)8: (a-b)

3

b. ( 5x4 – 2x

3 + x

2) : 2x

2

c. ( xy2 +

3

1 x

2y

3 +

2

7x

3y) : 5xy

d. ( 15 x3y

5 – 20x

4y

4 – 25x

5y

3) : (- 5x

3y

2)

e. 5(x-y)5- 2(x-y)

3+(y-x)

2 : 2(y-x)2

2. Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.

Phương pháp:

- Trước hết rút gọn biểu thức bằng cách chia đa thức cho đơn thức

- Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.

Bài 2: Tính giá trị:

(- 15x3y

5z

4): (5x

2y

4z

4) với x = -2/3, y = -3/2, z = 10000

3. Dạng 3: Tìm x:

Phương pháp: Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức rồi thu gọn các hạng tử

đồng dạng trong đẳng thức. Từ đó tìm x.

Bài 3: Tìm x:

a. ( 4x4 + 3x

3) : (-x

3) + (15x

2 + 6x) : 3x = 0

b. ( x2 –

2

1x) : 2x – (3x – 1)

2 : (3x – 1) = 0

CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP


1. Các bước thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

2. Đối với hai đa thức một biến A, B tùy ý, B ≠ 0 tồn tại hai đa thức duy

nhất Q và R


TRẦN VĂN PHONG

sao cho A = B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R thấp hơn bậc của B.

Khi R = 0 phép chia A cho B là phép chia hết.

II. BÀI TẬP:

1. Dạng 1: Thực hiện phép chia đa thức.

Phương pháp: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần, chia đa thức theo các bước

như chia các số tự nhiên.

Bài 1: Thực hiện phép chia:

a) ( x3 + x

2 + 4) : ( x + 2)

b) (6x3 – x

2 – 486x + 81) : ( 6x – 1)

2. Dạng 2: Tìm các hệ số để đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x).

Phương pháp:

- Đối với hai đa thức một biến A, B tùy ý, B ≠ 0 tồn tại hai đa thức duy nhất Q và R

sao cho

A = B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R thấp hơn bậc của B.

- Khi R = 0 phép chia A cho B là phép chia hết.

Bài 2: Với giá trị nào của a thì đa thức f(x) = x2 + x +a chia hết cho đa thức g(x) = x –

1

Bài 3: Với giá trị nào của a, b thì đa thức f(x) = x3 + ax

2 + 2x + b chia hết cho đa thức

g(x) = x2 + x + 1

3. Dạng 3: Tìm số nguyên n để biểu thức A(n) chia hết cho biểu thức B(n).

Phương pháp:

- Thực hiện phép chia đa thức A(n) cho đa thức B(n).

- Giả sử: )n(B

)n(A= Q(n) +

)n(B

)n(R. Xác định n để

)n(B

)n(Rlà số nguyên.

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để 2n2 + n – 7 chia hết cho n – 2

ÔN TẬP CHƢƠNG I


1. Quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.

2. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

3. Khi nào đơn thức A chia hết cho đơn thức B

4. Khi nào đa thức A chia hết cho đơn thức B

5. Khi nào đa thức A chia hết cho đa thức B

II. BÀI TẬP:

1. Dạng 1: Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.

Phương pháp: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa

thức.

Bài 1: Làm tính nhân:


TRẦN VĂN PHONG

a) 3x2(5x

2 - 4x + 3)

b) -5xy(3x2y – 5xy – y

2)

c) (5x2 – 4x)(x-3)

d) (x – 3y)(3x2 + 4y

2 + 5xy)

2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Phương pháp: Áp dụng 7 hằng đẳng thức, thực hiện nhân đa thức.


a) (x – 3)(x +7) – (x + 5)(x -1)

b) x(x – 4)(x + 4) – (x2 + 1)(x

2-1)

3. Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán

Phương pháp: Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học

Bài 3: Tính giá trị biểu thức: M = x2 + 4y

2 - 4xy tại x = 18 và y =4

Bài 4: Tìm x: a) 3

2x(x

2 - 9) = 0 b) (x + 3)

2 - (x – 3)(x + 3) = 0

4.Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp: Thêm bớt hạng tử, tách hạng tử

Bài 2

a. x2 – x - 6

b. x4 + 4x

2 – 5

c. x4 + x

2 + 1

d. 81x4 + 4

5.Dạng 5 Rút gọn biểu thức

Phương pháp: Áp dụng 7 hằng đẳng thức, thực hiện nhân đa thức.


a) (x – 3)(x +7) – (x + 5)(x -1)

b) x(x – 4)(x + 4) – (x2 + 1)(x

2-1)

6. Dạng 6: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán

Phương pháp: Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học

Bài 3: Tính giá trị biểu thức: M = x2 + 4y

2 - 4xy tại x = 18 và y =4

Bài 4: Tìm x: a) 3

2x(x

2 - 9) = 0 b) (x + 3)

2 - (x – 3)(x + 3) = 0

7. Dạng 7: Chia đa thức

Phương pháp: Các bước tiến hành thực hiện chia đa thức đã sắp xếp

Bài 5: Thực hiện phép chia:

(3x4 – 5x

3 + 7x

2 – 4x +2):(x

2 – x + 1)

(-6x4 + 5x

3 + 17x

2 -23x +7):(-3x

2 – 2x + 7)

BÀI TẬP NÂNG CAO CHƢƠNG I.

Câu 1. Làm tính nhân

a, 4x. (5x2 - 2x -1)


TRẦN VĂN PHONG

b, ( x2 -2xy +4 ) ( -x y)

c, x2(5x

3-x-3)

d, (-xy)(3xy2-x

2+x)

e, x(x-y)+y(x+y)

f, x(x2-y)-x

2(x+y)+y(x

2-x)

Câu 2 Thực hiện phép tính

a , ( x +3y ) (x2 – 2xy +y )

b, (x +1 ) (x +2 ) (x + 3 )

Câu 3 . Tính

1 / ( 2x + 3y )2

2/ (5x – y ) 2

3/ 4x2-9y

2

4/ (2x+3)3

5/ (x-5)3

6/ 27x3-1

7/ x3+8

Câu 4 . Tìm x biết

1/ x(x-2)+x-2=0

2/ 5x(x-3)-x+3=0

3/ 3x (x -5 ) - ( x -1 ) ( 2 +3x ) =30

4/ (x+2)(x+3)-(x-2)(x+5)=0

5/ (3x+2)(2x+9)-(x+2)(6x+1)=7

6/ 3(2x-1)(3x-1)-(2x-3)(9x-1)=0

7/ 4(x+1)2+(2x-1)

2-8(x-1)(x+1)=11

8/ (x-3)(x2+3x+9)+x(x+2)(2-x)=1

9/ 0)4(3

2 2 xx

10/ (x+2)2-(x-2)(x+2)=0

11/ x(12x+3)-2x(6x+1)-2008=0

12/ 2x(1-x)+2x(x-4)=-6

Câu 5: Chứng minh rằng : a3 + b

3 = (a+b)

3 - 3ab(a+b)

Áp dụng tính : a3 + b

3 biết a.b = 6; a+b = -5

Câu 6 .Tính nhanh giá trị của biểu thức sau :

a, A = x2 +xy +x : Tại x= 22 , y = 77

b, B = x (x –y ) +y (y –x ) : Tại x =63 , y = 3

Câu 7. cho x+y=a và xy=b, tính giá trị của biểu thức

a/ x2+y

2

b/ x3+y

3

c/ x4+y

4


TRẦN VĂN PHONG

d/ x5+y

5

Câu 8

a/ cho x+y=1 tính giá tri của biểu thức x3+y

3+xy

b/ cho x-y=1 tính giá tri của biểu thức x3-y

3-xy

Câu 9. cho x+y=a, x2+y

2=b tính x

3+y

3

câu 10. Rút gọn các biểu thức sau

1) (2x-3y)(2x+3y) - 4(x-y)2 -8xy

2) (3x-1)2 - 2 (3x-1)(2x+3)+ (2x+ 3)

2

3) 2x(2x-1)2-3x(x-3)(x+3)-4x(x+)

2

4) (a-b+c)2-(b-c)

2+2ab-2ac

5) (x-2)3-x(x+1)(x-1)+6x(x-3)

6) (x-2)(x2-2x+4)(x+2)(x

2+2x+4)

Câu 11 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1/ x2+x+1

2/ 2x2+2x+1

3/ x2-3x+5

4/ (2x-1)2+(x+2)

Câu 12 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1/ 4-x2+2x

2/ 4x-x2

Câu 13. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử

chung :

1) 6x2 - 9x

3

2) 2x(x+1) + 2(x+1)

3) y2 (x

2+ y) - mx

2 -my

4) 3x( x - a) + 4a(a-x)

Câu 14.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : dùng hằng đẳng thức

1) 16a2 - 9b

2 2) -a

2+4ab-4b

2

3) x2-2x+1 4) 9x

2+6x+1

5) 9x2-6xy+y

2 6) (2x+3y)

2-2(2x+3y)+1

7) -x3+3x

2-3x+1 8) 8-12x+6x

2-x

3

9) 8x3-y

3 10) (x+y)

2-9x

2

Câu 15 .phối hợp nhiều PP

1/ x2-1+2yx+y

2. 2/ x

4-x

3-x+1.

3/ 5a2 -5ax -7a +7x 4/ 7x

2 -63y

2

5/ 36-4a2 +20ab-25b

2 6/ 2 x - 2y- x

2 + 2xy - y

2

7/ 4x2+1-4x-y

2 8/ 5x

2-4x+20xy-8y

9/ x2(y-x)+x-y 10/ x

2-xy+x-y

11/ 3x2-3xy-5x+5y 12/ 2x

3y-2xy

3-4xy

2-2xy


TRẦN VĂN PHONG

13/ x2-1+2x-y

2 14/ x

2+4x-2xy-4y+4y

2

15/ x3-2x

2+x 16/ 2x

2+4x+2-2y

2

17/ 2xy-x2-y

2+16 18/ x

3+2x

2y+xy

2-9x

19/ 2x-2y-x2+2xy-y

2 20/ x

3-

4

1x

21/ (2x-1)2-(x+3)

2 22/ x

2(x-3)+12-4x

23/ x2-4+(x-2)

2 24/ x

3-2x

2+x-xy

2

25/ x3-4x

2-12x+27 26/ x

3+2x

2+2x+1

27/ x4-2x

3+2x-1 28/ x

2-2x-4y

2-4y

29/ x4+2x

3-4x-4 30/ x

2(1-x

2)-4-4x

2

Câu 16. Phân tích đa thức thành nhân tử PP tách

1/ x2+x-6 2/ x

2+5x+6

3/ x2-4x+3 4/ x

2+5x+4

5/ x2-x-6 6/ 6x

2-11x+3

7/ 2x2+3x-27 8/ 2x

2-5xy-3y

2

9/ x3+2x-3 10/ x

3-7x+6

11/ x3+5x

2+8x+4 12/ x

3-9x

2+6x+16

13/ x3-6x

2-x+30 14/ x

2+x-x+2

Câu 17. Phân tích đa thức thành nhân tử PP thêm bớt

1/ 4x4+1 2/ 4x

4+y

4

3/ x4+324 4/ x

5+x

4+1

Câu 18. Phân tích đa thức thành nhân tử PP đặt ẩn phụ

1/ (x2+x)

2-2(x

2+x)-15 2/ x

2+2xy+y

2-x-y-12

3/ (x2+x+1)(x

2+x+2)-12 4/ (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24

Câu 19. áp dụng PTĐT thành NT để chứng minh chia hết

1/ a2-a chia hết cho 2 2/ a

3-a chia hết cho 3

3/ a5-a chia hết cho 5 4/ a

7-a chia hết cho 7

5/ a3+3a

2+2a chia hết cho 6 6/ (n

2+n-1)

2-1 chia hết cho 24

7/ n3+6n+8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn

8/ n4-10n

2+9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ

9/ n6+n

4-2n

2 chia hết cho 72

10/ 32n

-9 chia hết cho 72

11/ n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Câu 20. Bài tập nâng cao

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc b/ ab(a+b)-bc(b+c)+ac(a-c)

c/ a3(b-c)+b

3(c-a)+c

3(a-b) d/ a(b-c)

3+b(c-a)

3+c(a-c)

3

Câu 21. Làm tính chia:

a)x2yz : xyz b)(-y)

5 : (-y)

4 c)x

10 : (-x)

8


TRẦN VĂN PHONG

Câu 22: Tính giá trị của biểu thức sau :

15x4y

3z

2 : 5xy

2z

2 với x = 2, y=-10, z =2004

Câu 23: Làm tính chia

a) (-2x5 + 3x

2 - 4x

3): 2x

2 b) (3x

2y

2 + 6x

2y

3 - 12xy) : 3xy

c) [3(x-y)4 + 2(x-y)

3 - 5(x-y)

2] : (y-x)

2 d) (25x

2 - 5x

4 + 10x

3): 5x

2

e) (15x3y

2 - 6x

2y -3x

2y

2) : 6x

2y

Câu 24:Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 3n3 + 10n

2 -5 chia hết cho

giá trị của biểu thức 3n+1.

Câu25:Sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm dần rồi thực hiện phép chia

1/ (2x2 - 5x

3 + 2x + 2x

4 - 1): (x

2 - x -1)

2/ (2x4+x

3+3x

2+4x+9): (x

2+1) 3/ (2x

3-11x

2+19x-6): (x

2-3x+1)

4/ (3x4-2x

3-2x

2+4x-8): (x

2-2) 5/ (2x

3-26x-24): (x

2+4x+3)

Câu 26 tìm a để các phép chia sau là phép chia hết:

1/ (4x2-6x+a) : (x-3) 2/ (2x

3-3x+4x

2-a): (x-2)

3/ (x3+ax

2-4): (x

2+4x+4) 4/ (x

3-3x-a): (x+1)

2

5/ (x4-3x

3-6x+a): (x

2-3x-2)

Câu 27: Chứng minh rằng: 55n+1

- 55n chia hết cho 54 (n là số tự nhiên)

Chƣơng II. Phân thức đại số

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ


1. Thế nào là hai phân thức bằng nhau.

2. Tính chất cơ bản của phân thức.

II. BÀI TẬP:

1. Dạng 1: Điền đa thức vào chỗ chấm

Phương pháp: Biến đổi từ vế trái hoặc vế phải bằng cách áp dụng tính chất và quy

tắc đổi dấu

Bài 1: Điền vào chỗ chấm:

a) x

...

xx

3x32

2

b) 2

2

yx5

x5xy5

yx

...

c)

22

22

yx

...

yx

yxy2x

2. Dạng 2:

.

Bài 2: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau hãy tìm các đa thức A trong các

đẳng thức sau:

a) 14

36

12 2

2

x

xx

x

A B)

32

74734 2

x

x

A

xx

Phương pháp: Áp dụng tổng quát D

C

B

A


TRẦN VĂN PHONG

TÍNH CHÂT CƠ BẢN PHÂN THỨC




3. Quy tắc đổi dấu.

4. Cách rút gọn một phân thức.

II. BÀI TẬP:

1. Dạng 1: Điền đa thức vào chỗ chấm

Phương pháp: Biến đổi từ vế trái hoặc vế phải bằng cách áp dụng tính chất và quy

tắc đổi dấu


a) x

...

xx

3x32

2

b) 2

2

yx5

x5xy5

yx

...

c)

22

22

yx

...

yx

yxy2x

2. Dạng 2: Rút gọn phân thức

Phương pháp: Các bước rút gọn phân thức:

- Phân tích tử và mẫu của phân thức thành nhân tử

- Chia cả tử và mẫu của phân thức cho nhân tử chung.

Bài 2: Rút gọn phân thức

a) zyx34

zxy1723

43

b) 2

2

y4xy4

xyy

c)

2

2

xx5

25x

d)

yxy

3x2yx2

3. Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp: Rút gọn biểu thức rồi thay giá trị của biến vào biểu thức đã thu gọn.

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:

A = 3

2

xx41x

x2x22x

với x = -1/2

B = 1y3y3y

yyxyx23

2

với x = -3/4, y = ½

C = 22

44

xaxa

xaax

với a = 3, x = 1/3

RÚT GỌN PHÂN THỨC




3. Quy tắc đổi dấu.

4. Cách rút gọn một phân thức.

II. BÀI TẬP:


TRẦN VĂN PHONG

1. Dạng 1: Rút gọn phân thức

Phương pháp: Các bước rút gọn phân thức:

- Phân tích tử và mẫu của phân thức thành nhân tử

- Chia cả tử và mẫu của phân thức cho nhân tử chung.

Bài 2: Rút gọn phân thức

a) xa

ax

b)

32

25

)(

)(

ax

ax

c)

yxy

xyx

2

)32)(( d)

yzxyxzx

yzxyxzx

2

2

2. Dạng : Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp: Rút gọn biểu thức rồi thay giá trị của biến vào biểu thức đã thu gọn.

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:

A = 22

44

xaxa

xaax

với a = 3, x = 1/3

3. Dạng 3 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y

Bài 3

1

2233

31

19 2

y

yxxy

x

x với x ≠ 1/3 ; y ≠ 1

QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC


1. Thế nào là quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

2. Các bước tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức

3. Cách quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.

II. BÀI TẬP:

1. Dạng 1: Tìm mẫu thức chung

Phương pháp:

- Phân tích mỗi mẫu thức thành nhân tử.

- Lấy tích của BCNN các hệ số và các lũy thừa chung và riêng có mặt trong mẫu

thức với số mũ cao nhất.


a) 32223 bx

ba;

xba

bx;

axb

ax b)

222 yx

y2;

)yx(

x2

c)

3232

2

x

1x2;

xx2x

1x3;

1x

x

2. Dạng 2: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Phương pháp:

- Trước hết tìm MTC

- Xác định các nhân tử phụ: Nhân tử phụ là thương của mẫu thức chung với

từng mẫu thức

- Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ của nó.


TRẦN VĂN PHONG

Bài 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) ab

ab;

bx

bx;

xa

xa222

b)

222 yx

1;

)yx(

yx

c) axx

ax;

aax2x

x222

d)

9x

x23;

x6x2

1x722

e) 22 x2y8

yx;

y2x

4;

x5

7

g)

1x

2;

1xx

x2;

1x

1x23

PHÉP CỘNG PHÂN THỨC ĐẠI SỐ


1. Các bước tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức.


3. Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu, khác mẫu.

II. BÀI TẬP:

1. Dạng 1: Cộng các phân thức:

Phương pháp: Áp dụng quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu, khác mẫu

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a) 2x4

2x5

2x

3

2x

4

b)

29

)1(

3

21

3

1

x

xx

x

x

x

x

c)12

23

1

6

12

23222

xx

x

xxx

x

2. Dạng 2: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

Phương pháp: Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức không còn chứa biến:

Bài 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

zx

xz

yz

zy

xy

yx


Phương pháp: Chuyển các hạng tử không chứa x về một vế rồi rút gọn biểu thức

của x:

Bài 3: Tìm x:

a) x + abb

ab2a2

b

ba32

2

(a, b là những hằng số)

b) x + (a+b)2 =

2

44

ba

ba


PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ


4. Các bước tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức.


6. Quy tắc trừ hai phân thức cùng mẫu, khác mẫu.


TRẦN VĂN PHONG

II. BÀI TẬP:

4. Dạng 1: Cộng (trừ) các phân thức:

Phương pháp: Áp dụng quy tắc trừ hai phân thức cùng mẫu, khác mẫu


a) 24

25

2

3

2

4

x

x

xx

b)

29

)1(

3

21

3

1

x

xx

x

x

x

x

c)

1x2x

2x3

1x

6

1x2x

2x3222

5. Dạng 2: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

Phương pháp: Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức không còn chứa biến:

Bài 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

zxyx

1

zyzx

1

zyyx

1


Phương pháp: Chuyển các hạng tử không chứa x về một vế rồi rút gọn biểu thức của

x:

Bài 3: Tìm x:

a) x - abb

ab2a2

b

ba32

2


b) x - (a+b)2 =

2

44

ba

ba


ÔN TẬP

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) xy + xz + 3x + 3z

b) 11x + 11y - x2 – xy

c) x2 – xy – 8x + 8y

d) x2 – 6x – y

2 + 9

e) x2 + 2xy + y

2 – xz – yz

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A = (x-1)(x-3) +11

b) B = 5 – 4x2 + 4x

a)A = … = x2 – 4x + 14 = (x-2)

2 + 10 ≥ 10

Với mọi x => Giá trị nhỏ nhất của A là 10 khi x = 2

b) B = -(2x + 1)2 + 6 ≤ 6 với mọi x

=> Giá trị lớn nhất của B là 6 khi x = -1/2

Bài 3: Rút gọn biểu thức: A = x5

x

x5x

5x2:

x5x

5x

25x

x222

A =

x5

x

5x2

5xx.

5xx

5x

5x5x

x


TRẦN VĂN PHONG

A =

x5

x

5x2

5xx.

x5x5x

5xx22

A = … = 5x

x5

= -1

Bài 4: Cho biểu thức:

5

4x4.

2x2

3x

1x

3

2x2

1x 2

2

a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định

b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ

thuộc vào giá trị của biến.

Bài 5: Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức 4x

100x.

x10x

2x5

x10x

2x52

2

22

được

xác định.

Tính giá trị của biểu thức tại x = 20070

Bài 6: Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức x5x

25x10x2

2

bằng 0

PHÉP NHÂN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ


Quy tắc nhân phân thức.

II. BÀI TẬP:

1. Dạng 1: Nhân, chia các phân thức:

Phương pháp: Áp dụng quy tắc nhân, chia phân thức.


a) 2

4

2

22

)ba

a.

a

ba

b)

y15x15

y8x8.

y2x2

y3x3

2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức:

Phương pháp: Thực hiện phép nhân, phép chia phân thức để rút gọn biểu thức

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:

a) 2x

x1.

10x

1x

2x

x.

10x

1x 22

b)

2

22

2

222

x

yx.

yx

y

x

yx.

yx

yx

PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ


1. Phân thức nghịch đảo.


TRẦN VĂN PHONG

2. Quy tắc nhân, chia phân thức.

II. BÀI TẬP:

1.Dạng 1: Nhân, chia các phân thức:

Phương pháp: Áp dụng quy tắc chia phân thức.


a) 1x

6x6:

x1

x33 2

2

b)

2

2

2

2

ba

bab:

bab

ba

2.Dạng 2: Rút gọn biểu thức:

Phương pháp: Thực hiện phép nhân, phép chia phân thức để rút gọn biểu thức

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: x

x

xx

x

xx

x

x

x

66

2:)

6

6

36(

222


Phương pháp: Chuyển các hạng tử không chứa x về một vế rồi rút gọn biểu thức

của x:

Bài 3: Tìm x:

a) a4a

9ax.

4a

a3a2

22

với a 0, a 3, a 4

b) 2

32

2

2

ab3

b4bax.

ba

ab2a

với a 0, b 3, a 2b

ÔN TẬP CHƢƠNG II

Bài 1: Hãy đưa các biểu thức sau về dạng một phân thức:

M = 16

16m.

4m

4m

4m

4m 2

Bài 2: Cho biểu thức: x6

x

x6x

6x2:

x6x

6x

36x

x222

c) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định

d) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ

thuộc vào giá trị của biến.

Bài 3: A = 1-4x4x

1x:

2x

2x3

2x

x23

x4x

xx1622

2

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định.

b) Rút gọn biểu thức A

c) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 2008

Bài 4: Hãy đưa các biểu thức sau về dạng một phân thức:

A = 2

1a:

7a

7

49a

49a

7a

72

2


TRẦN VĂN PHONG

Bài 5: Cho biểu thức: A =

)5x(x2

x550

x

5x

10x2

x2x 2

a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định

b) Tìm x để giá trị của biểu thức A bằng 1

c) Tìm x để giá trị của biểu thức A bằng -1/2

d) Tìm x để giá trị của biểu thức A > 0

Bài 6: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số:

a) A =ab

b

ba

a2.

b2a2

ba

ba

ab222

b) B =

22222

23

yx

y

yx

x.

yx

xyx

yx

x

Bài 7: Rút gọn biểu thức rồi tìm giá trị của x để biểu thức M = 34x

4x.

2x

x 22

có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

BÀI TẬP NÂNG CAO CHƢƠNG II

Bài 1. rút gọn phân thức sau:

3 2

2 2

2 2

3 2 2

2 2

4

2

2

5 10 4 41/ 2 /

25 50 4

2 13 / 4 /

5 5 5 5

36( 2) 3 12 125 / 6 /

32 16 8

7 14 77 /

3

x x x x

x x x

x x x xy

x x y xy

x x x

x x x

x x

x

2

2

4 2 4 3

4 2 4 3 2

3 2 2 2 2

2 2 2

8 /3

5 4 19 / 10 /

10 9 2 1

3 7 5 1 ( ) ( ) ( )11 / 12 /

2 4 3

x xy x y

x x xy x y

x x x x x

x x x x x x

x x x a b c b c a c a b

x x x ab ac

2 3 2

3 3 3

2 2 2

313 /

b bc

a b c abc

a b c ab bc ca

Bài 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:


TRẦN VĂN PHONG

a/ 4

2x 1

12xy

và

2 3

y 2

9x y

b/

7

6x

; 4

x 2y;

2 2

y x

8y 2x

c/ x

x

xx

x

1

2;

45

522

d/ )5)(2(

2;

)1)(2(

53

xx

x

xx

x

e/ 12

1;

1 22

xx

x

x

x d/

1;

1

2;

1 23 x

y

xx

x

x

xy

e/ xx

x

xx

x

123;

168

322

f/ xxx 210

5;

5

32

Bài 3: Tính tổng:

1/ 2 2

5 7 11

6x y 12xy 18xy

2/ 2

2 2 2

2x 1 32x 1 2x

2x x 1 4x 2x x

3/2

7 x 36

x x 6 x 6x

4/ 2

1 3x 6

3x 2 4 9x

5/ )2(3

44

63

2

x

x

x

x 6/

82

3

4

62

xxx

7/ 1

2

22

12

x

x

x

x 8/

xxx

x

6

6

366

122

9/ xyy

x

xyx

y

2

4

2 22

10/

xx

x

x

x

3

32

62

12

11/ 21

1

22 xx

x

12/

xx

x

x

x

22

1

1

3

13/ xx

x

x 62

6

62

32

14/

xxx

x

2

2

2

1

42

2

15/ 1

2

22

3

22 2

2

x

x

x

x

x

x 16/

1

3

1

12

1

32

x

x

x

x

x

x

Bài 4.

0111

1

111

1

111

1/

1222

/

02

1

2

1

2

1/

0

0111

0,,

:

222222222

2

2

2

2

2

2

222

cbacbacba

c

abc

c

cab

b

bca

ab

abccabbcaa

CM

cabcab

cba

cba

cho

Bài 5.Thực hiện phép tính


TRẦN VĂN PHONG

2

2

2

2

2 2

2 2

31/ 1 : 1

1 1

1 12 / 1 1

1 1

1 13 / :

2 44 /

2 1 2 1 45 / :

2 1 2 1 10 5

x x

x x

xx x

x x x

y y y y x

x a a aa

x a x x a

x x x

x x x

2

3

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

1 2 16 / : 2

1

1 1 17 /

1 1 2 1 1

5 2 5 2 1008 /

10 10 4

2 3 99 / .

3 9 3 6 9

2 1 110 / :

4 2 2 2

xx

x x x x

x x

x x x x x

x x x

x x x x x

x x x x

x x x x x

x

x x x x

2 2

2 2

3 2

2 22

2 3

2 1 211/ : 13 / .

2 2 2

4 1 212 / :

4 2 2 2 4 2

4 2 2 3 414 / . . 1

4 2 4 4 2

xy x y x y y x yx

x y x y x y x x y y x y

x x x

x x x x x x x

x x x xx

x x x x x

22 2 2 4 3 15 / 3 :

2 1 1 3

x x x x

x x x x

Chƣơng III. Phƣơng trình bậc nhất một ẩn

PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Bài 1: Trong các số -2; -3/2; -1; ½; 2/3; 2; 3 hãy tìm nghiệm của mỗi phương trình:

a) x2- 2x = 3

b) y -4 = -3 – y

c) 12

43

z

Bài 2:Hai phương trình sau có tương đương không:

a) 1/5x = 0 và 1/5x =x

b) 4x + 3 =0 và 4x2 + 3 = 0

c) x +1 = x và x2 +1 = 0

d) x2 + 3 = 0 và (x

2 + 3)(x - 5) = 0

Bài 3: Giải các phương trình:

a) 7x – 8 = 4x + 7

b) 2x + 5 = 20 – 3x

c) 5y + 12 = 8y + 27

d) 13-2y = y- 2

e) 3+ 2,25x + 6 = 2x + 5 + 0,4x

f) 5x +3,48- 2,35x = 5,38- 2,39x + 10,42


TRẦN VĂN PHONG

GIẢI PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA ĐƢỢC VỀ DẠNG ax +b =0


a) 4

7x2

3

5x12

b) 7

1x16

2

4x5

c) 10

)5x2(2

5

)11x(3

4

)11x(3


a) 15(x + 9)(x - 3)(x + 21) = 0

b) (x2 + 1)(x

2 + 4x + 4) = 0

c) (x2 – 1)(x + 3) = 0

d) (x – 1)(x2 + 5x – 2) – x

3 + 1 = 0

GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TÍCH


a) (5x +2)(x-7) = 0

b) (x2 – 1)(x + 3) = 0

c) (x2 + 1)( x

2 + 4x + 4) = 0

Bài 2: Giải các phương trình

a) x3 + x

2 + x + 1 = 0

b) x2 – 7x + 6 = 0

c) x2 +5x + 6 = 0

d) 2x2 -3x - 5 = 0

Bài 3: Cho biểu thức A = (5x – 3y + 1)(7x + 2y -2)

a) Tìm x sao cho với y = 2 thì A = 0

Tìm y sao cho với x = -2 thì A = 0

GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Dạng 1: Giải các phương trình:

a) xx

x

x

x

x

3

7

3

4

9

203

3

42

b)

131

4

3

52

1

13

xxx

x

x

x

Dạng 2: Cho phương trình ẩn x

23

3

ax

x

x

ax

a) Giải phương trình với a = -1

b) Giải phương trình với a = 2


TRẦN VĂN PHONG

c) Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận x = 1 làm nghiệm

Dạng 3: Xác định m để phương trình sau có một nghiệm duy nhất: 1

12

x

x

mx

x

GIẢI B ÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƢƠNG TRÌNH

Dạng 1: Tỉ sốvà quan hệ giữa các số

1. Một phân số có tử nhỏ hơn mẫu là 13. Nếu tăng tử số lên 3 đơn vị , mẫu giảm đi 5

đơn vị thì ta được phân số bằng ¾. Tìm phân số đã cho

2. Tổng hai số bằng 120. Tỉ số của chúng bằng 1/3. Tìm hai số đó.

3. Tổng hai số bằng 30. Số này gấp đôi số kia. Tìm hai số.

Dạng 2: Dạng Toán chuyển động

1. Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 24km. Một giờ sau một người đi xe

máy từ A đến B trước người đi xe đạp 20 phút. Tính vận tốc của mỗi người biết vận

tốc xe máy gấp 3 lần vận tốc xe đạp

2. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc trung bình 50km/h. Sau khi đi được 24 phút nó

giảm vận tốc 10km/h. Vì vậy nó đến B chậm hơn dự định 18 phút. Tính thời gian dự

định của ô tô.

3. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40km/h và khi từ B về A vận tốc 30km/h. Thời

gian đi và về hết 8h45’. Tính đoạn đường AB.

Dạng 3: Dạng Toán về công việc – Vòi nước

1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 3 giờ 20 phút. Người ta cho mở vòi thớ

nhất trong 3 giờ,vòi thứ hai trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được 4/5 bể. Tính thời

gian mỗi vòi chảy một mình.

2. Biết rằng 200 g muối chứa 50 g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam nước vào

dung dịch đó để được một dung dịch chứa 20% muối.

ÔN TẬP CHƢƠNG 3

I Lý thuyết

1- Phương trình bậc nhất một ẩn

2- Hai phương trình tương đương

3- Giải phương trình đưa về dạng ax + b =0

4- Phương trình tích

5- Phương trình chứa ẩn ở mẫu

6- Giải bài toán bằng cách lập phương trình

II- Bài tập

Dạng 1: Giải các phương trình sau

a)10

)52(2

5

)1(3

4

)11(3

xxx

b)6

27

3

52

10

23

5

4

xxx

xx


TRẦN VĂN PHONG


a) (x – 4)2-25 = 0

b) (x – 3)2 – (x + 1)

2= 0

c) (x2- 4)(2x + 3) = (x- 2)(2x

2+4)

d) x2- 7x -8 = 0


a) 4

8

2

5

2

12

2

x

x

xx

x

b) )3)(1(

8

3

1

2

5

xxx

x

x

x

Dạng 4: Toán chuyển động

1- Hai người đi bộ ở hai địa điểm cách nhau 7 km. Người thứ nhất mỗi giờ đi được

6,6km. Người thứ hai mỗi giờ đi được 7,2km và nghỉ 3 phút. Hỏi sau bao lâu hai

người gặp nhau.

2- Lúc 7 giờ sáng một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40km/h ngay lập tức ô tô đó

quay trở về với vận tốc 50km/h và đến B lúc11giờ 30 phút . Tính quãng đường AB.

Dạng 5: Tìm số

Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp 3 lần chữ số hàng chục

và nếu ta đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới hơn số cũ 54 đơn vị

BÀI TẬP NÂNG CAO CHƢƠNG III

Bài 1. Cho hai PT x2-5x+6=0; x+(x-2)(2x+1)=2

a) Chứng minh rằng hai PT trên có nghiệm chung là x=2

b) Chứng minh rằng x=3 là nghiệm của một nhưng không là nghiệm của hai

c) Hai PT trên có tương đương với nhau không ? vì sao?

Bài 2. Cho PT (m2+5m+4)x

2=m+4, trong đó m là một số. CMR:

a) Khi m=-4 PT nghiệm đúng với mọi giá trị của x

b) Khi m=-1 PT vô nghiệm

c) Khi m=-2 hoặc m=-3 PT vô nghiệm

d) Khi m=0, PT nhận x=1 và x=-1 là nghiệm

Bài 3.Tìm giá trị của m sao cho PT sau đây nhận x=-2 là nghiệm 2x+m=x-1

Bài 4: Giải phương trình :

a) 3-x=x-5

b) 7x+21=0

c) -2x+14=0

d) 0,25x+1,5=0

e) 6,36-5,3x=0

f) 2

1

6

5

3

4x

g) 3x+1=7x-11

h) 5-3x=6x+7

i) 2(x+1)=3+2x


TRẦN VĂN PHONG

j) 3(1-x)+3x-3

k) 1,2-(x-0,8)=-2(0,9+x)

l) 2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x

Bài 5. Giải các PT sau:

1/ 3

216

5

3 xx

2/ 4

)7(235

6

23

xx

3/

xx

5

135

5

32

4/ 57

)12(2

4

17

6

2)1(5

xxx

5/ 3

)1(21

4

1

2

1

xxx

6/ 20032002

11

2001

2 xxx

Bài 6. Tìm giá trị của k sao cho

a) Phương trình (2x+1)(9x+2k)-5(x+2)=40 có nghiệm x=2

b) Phương trình 2(2x+1)+18=3(x+2)(2x+k) có nghiệm x=1


1) (x-1)(x+1)=0

2) (x-2)2=0

3) (4x+20)(2x-6)=0

4) 4x2-1=0

5) 9x2-6x+1=0

6) (2x-4)

3

)31(2

5

27 xx

7) (x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1)

8) 3x(25x+15)-35(5x+3)

9) (2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x)

10) (2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0

11) x3+1=x(x+1)

12 / x3-

4

1x

13 / (2x-1)2-(x+3)

2

14 / x2(x-3)+12-4x

15 / x2-4+(x-2)

2

16) x3+x

2+x+1=0

17) x(x2-5)

2-4x=0

18) x2-4x+3=0

19) 4x2-12x+5=0

20) x3-4x

2+x+6=0

Bài 8. Cho PT (3x+2k-5)(x-3k+1)=0

a) tìm giá trị của k để PT có nghiệm x=1

b) với mỗi k tìm được ở câu a), hãy giải PT đã cho

Bài 9. Biết rằng x=-2 là một nghiệm của PT: x3+ax

2-4x-4=0

a) xác định giá trị của a

b) voéi a tìm được ở phần a) tìm các nghiệm còn lại của PT bằng cách đưa về dạng PT tích


x

xxx

x

xc

x

x

x

xb

x

x

x

xa

1

31

2

12

22

25/

32

101

32

)2(/

1

323

1

1/

2

22

Bài 11. Giải các phƣơng trình sau:


TRẦN VĂN PHONG

2

2

1 6 9 4 (3 2) 1 5 2/ /1

2 2 4 3 ( 2)(3 ) 2

3 2 1 3 2/ 1 /

2 4 2 4 ( 2)(4 )

2 3 3 4 4/ 1 / 2

1 2 2 1 1

3 1/

1 2

x x x x x xa b

x x x x x x x

x x x xc d

x x x x x x

x x xe f

x x x x x x

gx x

9

( 1)( )x x x

Bài 12. Giải và biện luận các PT sau:

ax

aa

1

1

1/ (a là hằng)

22

2

4

8

2

2

2/

ax

a

xa

xa

xa

xb

Giảt toán bằnh cách lập phƣơng trình Bài 13. Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam định với vận tốc 35 km/h. Sau đó 24 phút

,trên cùng tuyến đường đó một ôtô xuất phát từ nam định đi Hà Nội với vận tốc 45km/h .Biết

Quãng đường Hà Nội ,Nam Định dài 90 km. Hỏi hai xe gặp nhau cách Hà Nội bao nhiêu km

Bài 14. Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam định với vận tốc 35 km/h. cùng lúc đó, một

ôtô xuất phát từ nam định đi Hà Nội với vận tốc 45km/h .Biết Quãng đường Hà Nội Nam Định

dài 90 km. Hỏi bao lâu kể từ khi xe máy khởi hành hai xe gặp nhau

Bài 15. Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam định với vận tốc 35 km/h. Sau đó 24 phút

,trên cùng tuyến đường đó một ôtô xuất phát từ nam định đi Hà Nội với vận tốc 45km/h .Biết

Quãng đường Hà Nội Nam Định dài 90 km. Hỏi bao lâu kể từ khi ôtô khởi hành hai xe gặp

nhau

Bài 16. Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ nghỉ tại B ,ôtô lại từ B đi về A với

vận tốc 30 km/h. Tổng thời gian cả đi lẫn về là 10 h 45p(kể cả thời gian nghỉ tại B). Tính quãng

đường AB

Bài 17. Một ôtô đi từ Hà Nội lúc 8 giờ sáng ,dự định đến Hải Phòng vào lúc 10 gời 30 phút.

Nhưng mỗi gời ôtô đi chậm hơn dự kiến 10km nên mãi đến 11 gời 20 phút xe mới đến Hải

phòng. tính quãng đường Hà Nội Hải Phòng

Bài 18. Một người đi xe đạp từ A đến B. lúc đầu trên đoạn đường đá người đó đi với vận tốc

10km/h. Trên đoạn đường còn lại là đường nhựa dài gấp rưỡi đoạn đường đá người đó đi với

vận tốc 15 km/h. Sau 4h người đó đến B. Tính độ dài quãng đường AB

Bài 19. Hai xe ôtô cùng khởi hành từ lạng sơn về hà nội , quãng đường dài 163 km. Trong 43

km đầu hai xe có cùng vận tốc. nhưng sau đó xe thứ nhất tăng vận tốc lên gấp 1,2 làn vận tốc

ban đầu, trong khi chiếc xe thứ hai vẫn duy trì vận tốc cũ . Do đó xe thứ nhất đã về Hà Nội sớm

Hơn xe thứ hai 40 phút. Tính vận tốc ban đầu của hai xe.

Bài 20. Lúc 7 giờ sáng, một chiếc canô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36 km, rồi ngay lập tức

quay về và đến bến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của canô khi xuôi dòng, biết rằng vận

tốc nước chảy là 6km/h

Bài 21. Một người đi một nửa quãng đường AB với vận tốc 20 km/h, và đi một nửa quãng

đường còn lại với vận tốc 30km/h . Tính vận tốc trung bình của người đó trên toàn bộ quãng

đường.


TRẦN VĂN PHONG

Bài 22. Một ca nô tuần tra đi xuôi khúc sông từ A đến B hết 1h10p vá đi ngược dòng sông từ B

về A hết 1h30p. Tính vận tộc riêng của canô,biết vận tốc của ròng nước là 2km/h

Bài 23. Một người đi từ A đến B với vận tốc 24km/h rồi đi tiếp từ B đến C với vận tốc 32lm/h.

Tính quãng đường AB và BC biết biết đường AB dai hơn BC 6km và vận tốc trung bình trên

cả hai quãng đường đó là 27km/h

Bài 24. Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ôtô cùng đi từ A đến B

khởi hành lần lượt lúc 7h,8h,9h với vận tốc theo thứ tự bằng 10km/h, 30km/h và 50km/h. Hỏi

đến mấy giờ thì ôtô ở vị trí cách đều xemáy và xe đạp

Bài 25. Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành công việc đó trong 24h. Nếu

đội thứ nhất làm 10h, đội thứ hai làm 15h thì cả hai đội làm được một nửa công việc. Tính thời

gian mỗi đội làm một mình để xong công việc

Bài 26. Hai đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than , theo đó mõi ngày phải khai thác được 50

tấn. Khi thực hiện ,mỗi ngày đội khai thác được 57 tấn. do đó đội đã hoàn thành kế hoạch trước

một ngày và còn vượt mức 13 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội phải khai thác theo kế hoạch bao

nhiêu tấn than

Bài 27: Tổng hai số bằng 80 , hiệu hai số đó bằng 14 tìm hai số đó

Bài 28. Tổng hai số bằng 90, số này gấp đôi số kia tìm hai số đó

Bài 29. Một số tự nhiên lẻ có hai chữ số và chia hết cho 5. Hiệu của số đó và chữ số hàng trục

bằng 68. Tìm số đó

Bài 30. Tìm số Tự nhiên có 4 cgữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 1 vào đằng trước và chữ số

1 vào đằng sau số đó thì số đó tăng gấp 21 lần

Bài 31. Một hình chữ nhật có chu vi bằng 320m. Nếu tăng chiều dài 10m, tăng chiều rọng 20m

thì diện tích tăng 2700m2. Tính mỗi chiều

Bài 32: Trong một buổi lao động, lớp 8A gồm 40 HS chia thành 2 tốp tốp thứ nhất trồng cây và tốp

thứ hai làm vệ sinh. tốp trông fcây đông hơn tốp là vệ sinh 8 HS. Hỏi tốp trồng cây có bao nhiêu

HS

Chƣơng IV. Bất phƣơng trình bậc nhất một ẩn.

ÔN TẬP LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG

I- Lý thuyết

a>b; a<b; a= b

a,b,cR

a>b => a+c>b+c

a<b => a+c<b+c

II- Bài tập

1- Với a bất kỳ , chứng tỏ rằng

a) 3 +a<4+a

b) a-5<a+6

2- Giả sử a>b, hãy so sánh

a) a+30 và b+30

b) a-15 và b-15

3- so sánh a và b


TRẦN VĂN PHONG

a) a- 7 ≤ b-7

b) 35+a ≥ 35+b

4- cho a-5>10, hãy chứng tỏ a> 15

ÔN TẬP LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN

I-Lý thuyết

a>b; a <b; a= b

a,b,cR c>0

a>b => a.c>b.c

a<b => a.c<b.c

a,b,cR c<0

a>b => a.c<b.c

a<b => a.c>b.c

II- Bài tập

Bài 1) Với a bất kỳ , chứng tỏ rằng

a) 3 +2a<4+2a

b) 3a-5<3a+6

Bài 2 ) Cho a>b, hãy so sánh

a) 2a+5 và 2b-5

b) 3a-15 và 3b-15

Bài 3) So sánh a và b

a)4a- 7 ≤ 4b-7

b)21-3a≥-3b+21

B ài 4. Cho a<b, chứng minh;

a) 4a+2 < 4b +2

b) -3a-9 > -3b-9


TRẦN VĂN PHONG

BẤT PHƢƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Bài 1 :

Biểu diễn tập nghiệm của

bất phương trình sau trên

trục số:

a/ x > 5 b/ x < –3

c/ x 4 d/ x – 6

Bài 2 :Áp dụng quy tắc

chuyển vế, giải các bất ph/tr

a/ x – 2 > 4 b/ x + 5 < 7

c/ x – 4 < – 8. d/ x + 3 > – 6

.

Bài 3: Dùng quy tắc nhân để

giải bất ph/tr:

a/ 2

1x > 3 b/ –

3

1 x < – 2.

c/ 3

2x > – 4. d/

5

3 x > 6.

Nội dung quy tắc nhân nói

như thế nào?

Khi nhân (chia) cả hai vế với

cùng số dương thì bất ph/tr

không đổi chiều. Khi nhân

(chia) cả hai vế với cùng số

âm ta được bất ph/tr đổi

chiều

Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình sau trên

trục số:

a/ x > 5

5 0

b/ x < –3

0

-3

c/ x 4

4 0

d/ x – 6

0

-6

a/ x – 2 > 4 b/ x + 5 < 7.

x > 4 + 2 x < 7 – 5

x > 6. x < 2.

c/ x – 4 < – 8. d/ x + 3 > – 6.

x < 4 – 8 x > – 6 – 3

x < – 4. x > – 9.

Dùng quy tắc nhân để giải bất ph/tr:

a/ 2

1x > 3. b/ –

3

1 x < – 2.

x > 3.2 x > (–2).(– 3)

x > 6. x > 6.

c/ 3

2x > – 4. d/

5

3 x > 6.

x > (– 4).2

3 x > 6.(

3

5 )

x > – 6. x > –10.

x > – 3.


TRẦN VĂN PHONG

Bài 4 :Giải bất ph/tr:

a/ 4

13 x> 2

b/ 3

42 x< 3.

Bài 5 :Giải các bất

phương trình:

a/ (x – 1)2 < x(x + 3).

b/ (x – 2)(x+2) > x(x – 4).

Bài 6: Giải các bất ph/tr:

a/ 6

25 x >

3

25 x

b/ 5

5,1 x <

2

54 x

Bài 7: Giải các bất ph/tr:

a/ 4

21 x–2 <

8

51 x.

b/ 4

1x–1 >

3

1x+ 8.

. Tới đây ta làm theo

những cách như thế nào

để có được nghiệm?

Bằng cách kéo léo

chuyển vế hoặc dùng quy

tắc nhân.

Bằng cách quy đồng

khử mẫu, đưa bất ph/tr về

dạng bậc nhất để tìm

nghiệm.

Giải bất ph/tr: a/ 4

13 x> 2 b/

3

42 x< 3.

3x – 1 > 8 2x + 4 < 9

3x > 8 + 1 2x < 9 – 4

x > 3. x < 2,5.

Giải các bất phương trình:

a/ (x – 1)2 < x(x + 3). b/ (x – 2)(x+2) > x(x – 4).

x2 – 2x + 1 < x

2 + 3x x

2 – 4 > x

2 – 4x.

5x > 1 4x > 4

x > 5

1. x > 1.

a/ 6

25 x >

3

25 x b/

5

5,1 x <

2

54 x

6

25 x >

6

410 x

10

23 x <

10

2520 x

5 – 2x > 10x – 4 3 – 2x < 20x + 25

12x < 9 22x > – 22

x < 4

3. x > –1.

a/ 4

21 x–2 <

8

51 x. b/

4

1x–1 >

3

1x+ 8.

8

42 x–

8

16 <

8

51 x.

12

33 x–

12

12 >

12

44 x +

12

96

2 – 4x – 16 < 1 – 5x 3x – 3 – 12 > 4x + 4 + 96

5x – 4x < 16 + 1 – 2 3x – 4x > 100 + 15

x < 15. x < –115.


TRẦN VĂN PHONG

Bài 8 : Tìm các số n N

thoả mãn mỗi bất ph/tr sau:

a/ 3(5 – 4n) + (27 + 2n) > 0.

b/ (n +2)2–(n – 3)(n + 3) 40.

Bài 9 :Tìm số nguyên lớn

nhất thoả mãn mỗi bất ph/tr:

a/ 5,2 + 0,3x < – 0,5

b/ 1,2 – (2,1 – 0,2x) < 4,4

Bài 10:Với giá trị nào của m

thì ph/tr ẩn x:

a/ x – 3 = 2m + 4 có nghiệm

dương?

b/ 2x – 5 = m + 8 có nghiệm

âm?

Bài 11: Nghiệm của bất ph/tr

5 – 3x < (4 + 2x) – 1 là:

A/ 3

2. B/

7

2.

C/ 5

4. D/ Một đáp số khác

Tìm các số n N thoả mãn mỗi bất ph/tr sau:

a/ 3(5 – 4n) + (27 + 2n) > 0

2n – 12n > –15 – 27

–10n > – 42.

n < 4,2

Vậy n là:0;1; 2; 3; 4

b/(n +2)2- (n–3)(n+3)40.

n2 + 4n + 4 – n

2 + 9 40

4n 40 – 13

n 6,75

Vậy n là:0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Tìm số nguyên lớn nhất thoả mãn mỗi bất ph/tr:

a/ 5,2 + 0,3x < – 0,5 b/ 1,2 – (2,1 – 0,2x) < 4,4.

0,3x < – 0,5 – 5,2 0,2x < 4,4 + 2,1 – 1,2

x < –19. x < 26,5.

Số cần tìm là: –19. Số cần tìm là: 26.

Với giá trị nào của m thì ph/tr ẩn x:

a/ x – 3 = 2m + 4 có nghiệm dương?

x = 2m + 7

Ph/tr có nghiệm dương khi 2m + 7 > 0 m > – 3,5.

b/ 2x – 5 = m + 8 có nghiệm âm?

2x = m + 13

x = 2

13m

Ph/tr có nghiệm âm khi

2

13m < 0 m + 13 < 0 m < –13.


TRẦN VĂN PHONG

PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài 1 : Giải ph/tr:

a/ x5,0 = 3 – 2x.

b/ x2 = 3x + 4.

Bài 2 : Giải ph/tr:

a/ x9 = 2x

b/ 1x = 3x + 2

Bài 3:Giải ph/tr:

a/ x5 – 3x – 2 = 0

b/ x – 5x + x2 – 3 = 0

Giải ph/tr:

a/ x5,0 = 3 – 2x. b/ x2 = 3x + 4.

3 – 2x 0 3x + 4 0

0,5x = 3 – 2x – 2x = 3x + 4

0,5x = 2x – 3 – 2x = – 3x – 4

x 1,5 x 3

4

2,5x = 3 5x = – 4

1,5x = 3 x = – 4

x 1,5 x 3

4

x = 1,2 (N) x = 5

4(N)

x = 2 (loại) x = – 4 (loại).

a/ x9 = 2x b/ 1x = 3x + 2

x 0 x 3

2

x = 9 (N) x = –1,5 (loại)

x = – 3 (loại) x = 4

1 (N).

a/ x5 – 3x – 2 = 0 b/ x – 5x + x2 – 3 = 0

x5 = 3x + 2 x2 = 4x + 3.

x 3

2 x

4

3

x = 1 (N) x = – 0,5 (N)

x = – 0,25 (N) x = –1,5 (loại).


TRẦN VĂN PHONG

ÔN TẬP CHƢƠNG IV

Bài 1:

Cho a > b, chứng tỏ:

a/ 3a + 5 > 3b + 2.

b/ 2 – 4a < 3 – 4b.

Bài 2:

Giải các bất ph/tr và

biểu diễn tập nghiệm

trên trục số:

a/ 2(3x – 1) – 2x < 2x

+ 1. b/ 4x – 8

3(3x – 2) + 4 – 2x

Bài 3:Một người đi bộ

trên một quãng đường.

Ban đầu người đó đi với

vận tốc 5km/h, sau đó

mệt người đó đi với vận

tốc 4km/h. Biết thời

gian đi hết quãng đường

18km của người đó

không quá 4 giờ. Hỏi

quãng đường ngắn nhất,

dài nhất mà người đó đã

đi với vận tốc 5km/ là

bao nhiêu.

Cho a > b, chứng tỏ:

a/ 3a + 5 > 3b + 2 b/ 2 – 4a < 3 – 4b.

Vì a > b 3a > 3b Vì a > b – 4a < – 4b

3a + 5 > 3b + 5 2 – 4a < 2 – 4b

Mà 3b + 5 > 3b + 2 mà 2 – 4b < 3 – 4b.

Vậy 3a + 5 > 3b + 2. Vậy 2 – 4a < 3 – 4b.

Giải các bất ph/tr và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a/ 2(3x – 1) – 2x < 2x + 1. b/ 4x – 8 3(3x – 2) + 4 –

2x.

2x < 3 3x – 6

x < 1,5 x – 2.

01,5

0

-2

Gọi x (km) là đoạn đường người đó đi với vận tốc

5km/h; (x > 0)

Th/gian đi quãng đường với vận tốc 5km/h là 5

x (h).

Th/gian đi quãng đường với vận tốc 4km/h là 4

18 x (h).

Th/gian đi hết quãng đường 18km là 5

x +

4

18 x (h).

Vì th/gian đi hết quãng đường 18km không nhiều hơn

4(h) nên:

5

x +

4

18 x 4.

4x + 90 – 5x 80

– x –10

x 10.

Vậy đoạn đường đi với vận tốc 5km/h phải dài ít nhất

10km và nhiều nhất là 18km.


TRẦN VĂN PHONG

BÀI TẬP NÂNG CAO CHƢƠNG IV

Bài 1. Cho m<n, hãy so sánh:

a) m+2 và n+2

b) m-5 và n-5

Bài 2. Với m bất kỳ, chứng tỏ:

a) 1+m<2+m

b) m-2<3+m

Bài 3. Cho a+2>5 chứng tỏ a>3. Điều ngược lai là gì? điều đó có đúng không?

Bài 4. Cho m<n chứng tỏ:

a) 2m+1<2n+1

b) 4(m-2)<4(n-2)

c) 3-6m>3-6n

d) 4m+1<4n+5

Bài 5. Chứng minh các BĐT sau:

a) a2+b

2-2ab 0

b) ),(2

22

Rbaabba

c) )0(21

xx

x

d) )0,(411

bababa

e) chứng tỏ rằng trong 3 số tự nhiên liên tiếp bình phương của số đứng giữa lớn hơn tích hai số

còn lại.

Bài 6. Với a,b là các số dương hãy CM:

1) a3+b

3 )( baab

2) cabcaba

c

c

b

b

a

333

3) cbaca

ac

bc

cb

ab

ba

222

323333

4) 322

3

22

3

22

3 cba

acac

c

cbcb

b

baba

a

Bài 7. Cho a cb >0 chứng minh rằng:

2

3

ac

c

cb

b

ba

a

Bài 8. Cho a,b,c>0 chứng minh rằng:

1) 2

222 cba

ca

c

ac

b

cb

a

2) cbac

ab

b

ac

a

bc

3) 2

cba

ac

ca

cb

bc

ba

ab

4) cbaa

c

c

b

b

a

222

Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất.


TRẦN VĂN PHONG

a) tìm GTNN của: A=2x2-8x+1

b) tìm GTLN của : B=-5x2-4x+1

c) tìm GTNN của: C=(x-1)2+(x-1)

2

d) tìm GTNN của: D=x(x-3)(x-4)(x-7)

Bài 9. Tìm giá trị nhỏ nhất.

a) tìm GTNN của: A=2956

2

xx

b) tìm GTNN của: B=12

6832

2

xx

xx

c) tìm GTNN của: C=1

432

x

x


1) 2x-3>0

2) 2-5x<17

3) 206

5 x

4) 6

4)1(

4

1

xx

5) 8x+3(x+1)>5x-(2x-6)

6) 2

3

2

)12(

4

13

5

35 2

xxxxx


xx

xx

xx

xx

5445/4

327/3

83/2

62/1

botro dai 8

Documents