branş analizi matematik (lise) - uzmankariyer.com · uuzman z m a n yyakla a k l a ş ı m ı...

uzmanuzmanyaklaşımıyaklaşımı

matematik (lise)Branş Analizi

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi (ÖABT) Matematik (Lise) Sınavı’nda sorular 5 ana kategoriye ayrılmıştır. Analiz, uygulamalı matematik, ce-bir ve geometri gibi matematik alanının temel konularının yanı sıra matematik öğretimi (Eğitim Bilimleri) konusunda sorular sorulmuştur.Buna göre, temel matematik konularına dair soru dağılımı şu şekilde olmuştur.Analiz:10Uygulamalı Matematik:12Cebir 10Geometri:8Analiz başlığı altında; fonksiyon, limit, süreklilik, türev ve türev yorumları, seriler, olasılıkUygulama matematik başlığı altında; integral ve uygulamaları, diferansiyel denklemler, istatistikCebir başlığı altında; sayılar, sayı türleri ve kümeleri, denklem çözümleme, matris ve determinant uygulamaları, soyut cebir (grup, halka, cisim)Geometri başlığı altında; doğrunun analitiği, çember analitiği, uzayın analitik geometrisisorularına yer verilmiştir. Alan eğitimi ile ilgili olarak, lise matematik ve geometri öğretiminde uygulanacak yöntem, öğrenci algısı ve alınacak öğrenci dönütlerine kar-şı doğru geri bildirim sağlanması (45, 46, 47, 48, 50. sorular), kazanımların, kazanım düzeyi ve türlerinin bilinmesi ve belirlenmesi (41, 44, ve 49. sorular) lise müfredat programı (43. soru), Euclid Geometrisinin temel unsurları (42.soru) hakkında yeterlilik ölçümü için sorular so-rulmuştur.

Matematik Zümresi

uzmanuzmanyaklaşımıyaklaşımı

soruların konulara göre dağılımımatematik (lise)

KONU BAŞLIKLARI

Analiz 10

Uygulamalı Matematik 12

Cebir 10

Geometri 8

Alan Eğitimi 10

Toplam 50

uzmanuzman 2013 KPSS

lim tancos

xx1

00

x 0

" + c m

Verilen ifadede L’ospital kuralı uygulanırsa

.

lim tancos lim

tansin

xx

xx

bulunur

11

10

0

0x x0 2

" "+ +

Doğru yanıt “C” seçeneğidir.

1. lim tancosx1

0x

" +

limitinin değeri kaçtır?

A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2


Bir fonksiyonun x a noktasında sürekli olması için .

.

lim lim

lim cos

lim sin

lim sin

f x f x f a gerekir

ax

x

a xx

a xx

a bulunur

1

22

21

x a x a

x

x

x

0 2

0

0

" "

"

"

"

+ +

+

+

+

^ ^ ^

^

h h h

h

Doğru yanıt “D” seçeneğidir.

2.

,

,cosx x

a

x12

f ^ h *

x 0!

x 0

biçiminde tanımlanan f fonksiyonu x 0 noktasında sürekli olduğuna göre, a reel sayısı kaçtır?

A) 3 B) 0 C) 1 D) 21 E) 3

1


Verilen eğri x 1 noktasından geçiyorsa bu nokta, denklemi sağlamalıdır..

.x ise y a

y a bulunur1 1 1 3

2

5

3y x ax5

y x b

,a1 2^ h

Ayrıca y x b doğrusu verilen eğriye x 1 noktasında teğet ise f 1^ h teğet doğrunun

eğimine eşit olmalıdır.,

.

f x x a isem f a

Bu durumda aa bulunur

51 5

5 14

4

^

^

h

h

, ,a1 2 1 6 ^ ^h h noktası aynı zamanda teğet doğru denklemini sağlamalıdır.

.b ise b bulunur6 1 7

Doğru yanıt “E” seçeneğidir.

3. y x ax 35 eğirisinin x 1 noktasındaki teğeti y x b olduğuna göre, b reel sayısı kaçtır?

A) 3 B) 5 C) 0 D) 5 E) 7


Verilen f fonksiyonu için 1. türev tablosu incelenirse;

x 3 3 2 3

f +

f

+

olacaktır. Buna göre;

3 yerel maksimum, 2 yerel minimum noktasıdır. Ayrıca fonksiyon , 33 ^ h ve ,2 3^ h aralığında artan, ,3 2^ h aralığında azalandır.


4. Aşağıda, bir f fonksiyonunun türevinin grafi ği verilmiştir.

y

x

fı(x)

-3

-3

-4

2O

Buna göre, f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangi-si yanlıştır?

A) x 3 kritik noktadır.

B) x 2 noktasında lokal (yerel) minimumu vardır.

C) f fonksiyonu ,3 2^ h aralığında azalır.

D) f fonksiyonunun ,2 3^ h aralığındaki teğetleri eğrinin altındadır.

E) x 3 bir dönüm (büküm) noktasıdır.


Verilen f fonksiyonu için türev tablosu incelenirse

x -1 1 3

f

+ +

3

f

olacaktır. 1 ve 1 yerel ekstrenum noktalarıdır. Yani 0f f1 1 ^ ^h h olmalıdır. Ayrıca 0 dönüm noktası ^ h türev grafi ğinde ekstremum nokta gibi görünür.

Doğru yanıt “A” seçeneğidir.

5. Her noktada türevi alınabilen ve sadece x 0 noktasın-da dönüm (büküm) noktasına sahip olan bir f fonksiyo-nunun grafi ği aşağıda verilmiştir.

y

x2

1-2

-1

y=f(x)

Buna göre, aşağıdaki grafi klerden hangisi f fonksi-yonunun türevinin grafi ği olabilir?

1

30

1

yA) B)

C) D)

E)

y y

y

1-3x

x

xx1

-1

y

x-1

-2

-1


Verilen integral parçalı olarak yazılırsa;

.

sin sin sin

cos cos

x dx x dx xdx

x x

bulunur1 0 0 12

2

0

2

2

0

2

^ h## #

0

02

2


6. sin t dt

2

2

#

integralinin değeri kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5


Verilen .a b6 @ aralığı için f (x) fonksiyonunun grafi ği çizilirse

A

a b

f(x)

olacaktır. Buna göre;

â ;

. .

.

A f x dx br

V f x dx br

f x dx

O h lde

f x dx f x dx

bulunur

2

6

6

2 5 2 6 2 5

2

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

2

2 3

2

2

^

^

^

^ ^

h

h

h

h h

#

#

#

# #


7. Her , çx a b i in f x 0! ^ h6 @ olmak üzere,

● y f x ^ h fonksiyonu, x ekseni, x a ve x b doğru-ları arasında kalan bölgenin alanı 2 birimkaredir.

● Bu bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesi sonucu oluşan cismin hacmi ise 6 birimküptür.

Buna göre,

2 f x dx f x dx5a

b

a

b2 ^ ^h h# #

işleminin sonucu kaçtır?

A) 10 B) 5 C)2 D) 0 E) 2


Verilen fonksiyonun birinci türevi alınırsa;

çF x dxd e dt i in t

x

0

2^ fh p#

^

^

^

^

h

h

h

h

Doğru yanıt “B” seçeneğidir.

8. F x e dttx

0

2^ h #

olduğuna göre,

^

^

h

h ifadesi aşağıdakilerden hangi-

sine eşittir?

A) x B) 2x C) 3x D) 4x E) 5x


Her dereceden türevli, gerçel ya da karmaşık bir f fonksiyonunun a h! olmak üzere ,a r a r ^ h aralığındaki Taylor serisi;

3

3

^^

^

^^

^

^

hh

h

hh

h

h

/

/

Maclaurin serisi olacaktır. O hâlde f x x11

^ h fonksiyonuna Maclaurin seri açılımı uy-gulanırsa;

^ ^

^^

^

^^

^

h h

hh

h

hh

h

h

3

3

^^

^^ ^

^

hh

hh h

h

/

/


9. f x x11

^ h

fonksiyonunun x 0 noktasındaki Taylor seri açılımı aşağıdakilerden hangisidir?

A) xn

n 0

3

/

B) x1 n n

n 0

3

^ h/

C) x1 n n

n

1

0

3

^ h/

D) x21 n

n 0

3

/

E) x2 n

n

1

0

3

/


ç ,a R i in a 3! 6 @ aralığındaki g fonksiyonu için g x dx0

3

^ h# yakınsak olsun.

Bu durumda g x dx k0

3

^ h# , k R! olacaktır.

O hâlde 0 f x g x# #^ ^h h olduğuna göre f fonksiyonu sınırlıdır.

Buna göre, f x dx0

3

^ h# yakınsaktır.


10. ç ,a R i in a 3! h6 aralığı üzerinde tanımlı f ve g sürek-li fonksiyonları

0 f x g x# #^ ^h h

eşitsizliğini sağladığına göre, aşağıdakilerden han-gisi her zaman doğrudur?

A)

3 3

^ ^h h# #

B)

33

^ ^h h##

C)

3 3

^ ^h h# #

D)

3 3

^ ^h h# #

E)

33

^ ^h h##


Verilen fonksiyonlar için kısmi türevler alınırsa;, ü ;

.

.

f x y x e olmak zere

xf xe x ye

xf e x x y bulunur

xf ye x x y e xy

xf e x y xy bulunur

2

2

2 2 2

4 2

xy

xy xy

xy

xy xy

xy

2

2

2

2

2 2

2

2 2 2

22

22

2

2

2

2

^

^

^ ^

^

h

h

h h

h

. .

. .

â

, , . .0

.

x yf xe x x y e x

dx dyf e x y x olur

O h lde

xf

x yf e e

e bulunur

2

3

1 1 0 1 1 4 2

7

xy xy

xy

2 2 2

2 3 2

2

2 2 1 0

2 22

2

2

22 22

^

^

^ ^ ^

h

h

h h h


11. ,f x y x exy2 :^ h

fonksiyonu için ,xf

x yf1 12

2 2

2

22 22^ h değeri kaçtır?

A) 3e B) 5e C) 7eD) e3 2 E) e7 6


Verilen f(x,y) için , ,f x y dy f x y dyA x

1

0

1

^ ^fh h p## ## ifadesi analitik düzlemde gösterilirse;

y x

y 1

x

y

1

10

olacaktır. O hâlde aynı f (x,y) fonksiyonu için

, ,f x y dy f x y dx dyA

y

00

1

^ ^fh h p## ## ile gösterilebilir.


12. f (x,y) sürekli olmak üzere,

,f x y dy dxx0

1 1

^f h p# #

integraline denk olan integral aşağıdakilerden han-

gisidir?

A) ,f x y dx dyy

00

1

^f h p##

B) ,f x y dx dyy

10

1

^f h p##

C) ,f x y dx dy/y

y

20

1

^f h p##

D) ,f x y dx dyy

0

0

1

^f h p##

E) ,f x y dx dyx 0

11

^f h p##


Verilen kümelerin elemanları belirlenirse;, 4

, , , 4' ü .,

3,9, 27, ' ü .

A n n Z nise s A t r

B n Z nise s B t r

164 27 8 13 1 4

81 4

n

3 ! # #

! # #

^ ^

^

^ ^

h h

h

h h

"

"

,

,


13. Z tam sayılar kümesi olmak üzere,

,,

A n n Z nB n Z n

4 13 1 4n

3 ! # #

! # #

^ h

"

"

,

,

kümeleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A)

B)

C) ,

D) A\B’nin eleman sayısı 2’dir.

E) B\A’nın eleman sayısı 2’dir.


. . ...n a b cx y z olmak üzere a, b, c sayıları n Z! sayısının asal bölenleridir.

Buna göre;

n n a b c1 1 1 1 1 1 ^ ` c `h j m j şeklinde hesaplanır.

O hâlde, .144 2 34 2 olmak üzere;

144.

144.2

. 2

.bulunur

144 1 21 1 3

1

13

48

^ c ch m m


14. ç 1 ,n Z i in a n ve a n 1! # # ^ h olan a tamsayılarının

sayısı n^ h ile gösterilir ve Euler fonksiyonu olarak ad-landırılır.

Buna göre, 144^ h’ün değeri kaçtır?

A) 24 B) 36 C) 48 D) 60 E) 72


Verilen mod eşitliğinde düzenleme yapılırsa;

2

16

1 .

modmodmodmodmodmod

xxxxxx bulunur

172 17

1716 17 17

1 1717

36

4 9

9

9

9

/

/

/

/

/

/

^

^ ^

^

^ ^

^ ^

^

h

h h

h

h h

h h

h


15. modx2 1736 / ^ h

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2


Bir matrisin tersinin alınabilmesi için öncelikle o matrisin determinantının sıfırdan farklı olması gerekir. Bir A matrisinin kare alt matrislerinden determinantı sıfırdan farklı olan ve türü en büyük olan matrisin türüne a matrisinin rankı denir.

O hâlde 3x3 tipindeki bu matris için A 0^ ise rank A = 3 olmalıdır.


16. A matrisi reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı 3 x 3 biçi-minde bir matristir.

A matrisinin tersi alınabildiğine göre, aşağıdakiler-den hangisi her zaman doğrudur?

A) det A 1 B) rank A 1 C) det A 3D) rank A 3 E) det A rank A


Verilen denklem sistemi için ortadaki eşitlik “” ile çarpılıp denklemler toplanırsa

x y zx y z

y azx y z

x y zy az

az

02 0

00

2 000

+

a 0 z 0

Denklemin sıfırdan farklı çözümleri var ise z 0^ olmalıdır.


17. 02 0

x y zx y z

y az 0

homojen denklem sisteminin sıfırdan farklı çözümleri

vardır.

Buna göre, a kaçtır?

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0


Verilen T matrisinin standart bazdaki gösterimi için T matrisi düzenlenirse;,T x x y x y

xy

2 3 22 13 2

^ ^h h

; ;E E

elde edilir.


18. R reel sayılar olmak üzere,

:, ,

T R RT x y x y x y2 3 2

2 2"

^ ^h h

lineer dönüşümünün R2 için standart bazdaki matris

gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 32 1

; E B) 2 13 2; E C) 3 1

1 2; E

D) 1 22 3

; E E) 3 22 1

; E


Bir kare matriste, tüm elemanlar asal köşegene göre simetrik ise matrise simetrik matris denir. Bir kare matrisinin 1. köşegen üzerindeki elemanları sıfır ve 1. köşegene göre si-metrik elemanları toplamı sıfır ise matrise ters simetrik matris denir.

Örneğin:

6 2 12 3 5

0 2 42 0 3

A

ve

B

1 5 1

4 3 0

3 3x

x3 3

>

>

H

H

Ayrıca bir matris ters simetrik ise B B 0T olacaktır.

Bu durumda;0

.A B B A

A bulunur

T

O hâlde A simetrik ise A B BT toplamı da simetrik matristir.


19. A ve B kare matrislerinden A matrisi simetrik ve B matri-si ters simetriktir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi simetrik matris-tir?

A) A A BT B) A B BT C) A BT D) AB E) AB


Sıfırın çarpma işlemine göre tersi olmadığından ,Z :^ h çarpma işlemine göre grup değildir.


20. Q rasyonel ve Z tam sayılar kümesi olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi verilen işleme göre grup de-ğildir?

A) , , :Q toplama ^ h

B) , , :Z toplama ^ h

C) , , :Z toplama2 ^ h

D) , , : çZ arpma: :^ h

E) * , , : ç , *Q arpma Q Q: : ^ h \ 0" ,


Her cisim bir tamlık bölgesidir, fakat her tamlık bölgesi cisim değildir. , ,z :^ h cisim de-ğildir. Her mertebeden cisim yoktur. Cisimler kendi üzerinde vektör uzayıdır ve bir cismin sıfır ve kendisinden başka ideali yoktur.


21. Cisimler ile ilgili olarak verilen

I. Bir cismin sıfır ve kendisinden başka ideali yoktur. II. Her cisim kendi üzerinde bir vektör uzayıdır. III. Her tamlık bölgesi bir cisimdir. IV. Her mertebeden cisim vardır. ifadelerden hangileri doğrudur?

A) I ve II B) II ve III C) III ve IVD) Yalnız III E) Yalnız IV


Verilen araçların hızları için

V m/dk

2V m/dk

V 5

olarak bulunur.


22. Aynı noktadan kalkan iki gemiden birisi kuzey, diğeri batı istikametine doğru sabit hızlarla ilerlemektedir. Kuzeye giden geminin hızı dakikada 2V metre olup batıya giden geminin hızının 2 katıdır.

Buna göre, 1 dakika sonra bu iki gemi arasındaki mesafenin artış hızı kaçtır?

A) V B) 2V C) V5D) V2 5 E) V2

5


Alanı 144 cm2 olan kare şeklindeki bu kartonun bir kenarı 12 br olacaktır. Kartonun kö-şelerinden x br kenar uzunluğuna sahip kareler çıkarılırsa

xx

xx

x12 2

Şekli elde edilir. Bu şekil ise kıvrılarak

x

x12 2x12 2

prizması elde edilir. Prizmanın hacmi .V x x x12 2 2 ^ ^h h olacaktır.

Bu prizmanın hacminin maksimum olması için V x 0 ^ h olacak şekildeki x elemanı bu-lunmalıdır.

4 0. 0

.

V x x x xx x

x x bulunur

12 2 12 212 2 12 6

6 2

2

^ ^ ^

^ ^

h h h

h h

x 6^ olacağı için prizmanın hacmi x 2 için;

..

.

V

br bulunur

2 2 12 2 22 8128

2

2

3

^ ^h h


23. Alanı cm144 2 olan kare biçimindeki bir kartonun köşe-lerinden eşit alanlı birer kare kesilerek geriye kalan par-çalardan üstü açık bir prizma yapılıyor.

Bu prizmanın hacmi en fazla kaç cm3 olur?

A) 100 B) 120 C) 124D) 128 E) 130


y p x y p x y p x y f x 1 2 3 ^ ^ ^ ^h h h h şeklinde verilen diferansiyel denklemler üçüncü

mertebedendir.


24. Aşağıdakilerden hangisi üçüncü mertebeden (basa-maktan) bir lineer diferansiyel denklemdir?

A) 3 cosy e x x

B) 2 0y x y y 3

C) y y y2 0 3 ^ h

D) lnx y xy y x 3 3 ^ h

E) y y xy y 0 3


I. yol:

Seçeneklere bakılarak denklemin y eax biçiminde bir çözümü olduğu anlaşılabilir. O hâlde y eax denklemde yerine yazılırsa;

6 0

..

a

a

y ye e e

a e ae ee a a

e a aa ve a bulunur

3

2

6 06 0

6 0

3 2 03 2

ax ax ax

ax ax ax

ax

ax

2

2

^ ^

^

^ ^

h h

h

h h

O hâlde y e veya y ex x3 2 verilen denklemin çözümü olacaktır.

II. yol:

Verilen denklem 2. mertebeden lineer homogen deklemdir.6 0

ö

.

y y yz denklem

bulunur

6 03 2 03 2

22 2 2

2 2

2 2

^

^ ^

h

h h

O hâlde denklemin çözümleri y c e c ex x1

32

2 şeklindedir.

Doğru yanıt ”E” seçeneğidir.

25. 6 0y y y

diferansiyel denkleminin bir çözümü aşağıdakiler-den hangisidir?

A) e x3 B) e x2 C) e x4

D) e x3 E) e x2


^

^

h

h

# #

ç

denklemi i in

c

^

m

h

# #


26. dxd y x ex

2

22

diferansiyel denkleminin y ve y0 1 0 0 ^ ^h h koşul-

larını sağlayan çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

A) y x e 1x3

B) y x x e32 x3

C) y x x e5x4 2

D) y x x e12x4

E) y x x e6x5 2


y ex verilen denklemin bir çözümü ise denklemi sağlamalıdır.

-2 02 0

2 0. 0

.

y ky ye k e e

e ke ee k

k bulunur1

1

x x x

x x x

x

^ ^ ^

^

h h h

h


27. y ky y2 0 diferansiyel denkleminin bir çözümü y ex olduğuna göre, k sabiti kaçtır?

A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2


. .

ln

y y

dtdy y

ydy dt

y y dy t c

yy t c

yy e c bulunur

9

9

9

61

31

31

33 6

33

t

2

2

2

6

c

c

m

m

#

0 .

.

.

y ise e c

c olur

Bu durumda yy e bulunur

0 3 03 0

1

33 t

0

6

^ h


28. y y 9 2

diferansiyel denkleminin y 0 0^ h koşulunu sağlayan çö-zümü ' .y t dir^ h

Buna göre, yy

33 ifadesinin değeri aşağıdakilerden

hangisidir?

A) e t9 B) e t C) 1

D) e t3 E) e t6


Bu kişinin isabet ettirme olasılığı (i) 53 ise hedefi kaçırma olasılığı (K) 5

2 olacaktır.

Bu hedefe 5 atış yapmış bu kişinin 4 defa isabet ettirme durumu iiiiK’nin permütasyonu şeklindedir. Buna göre olasılık,

. . !! .5

352

45 2 5

34 4c c cm m m

olarak bulunur.


29. Dart oynayan bir genç 5 atış yapıyor.

Atışlarda isabet etme olasılığı 53 olduğuna göre,

oyuncunun 4 defa isabet ettirme olasılığı kaçtır?

A) 2 53 4

: c m B) 53 4c m C) 2 5

2 4: c m

D) 53 5c m E) 5

1 3c m


Olasılık teorisine göre; Poisson Olasılık Dağılım Fonksiyonu:

^ h şeklinde ifade edilir ve


30. X rastgele değişkeni

!. , , , ,f x x

e x 0 1 2 0x

: : :

^ ^ ^h h h

olasılık fonksiyonuna sahipse beklenen değeri ne-dir?

A) 1 B) C) 1

D) 2 E) 2


Örneklem ortalaması 65' .X tir565 54 50 82 74

Medyan sayıları küçükten büyüğe doğru sıraladığımızda ortadaki değerdir. O hâlde 50, 54, 65, 74, 82 sıralamasında medyanda 65’tir.


31. Bir sınıftan rastgele seçilen 5 öğrencinin notları 65, 54, 50, 82, 74 olarak veriliyor.

Buna göre, örneklem ortalaması ve medyanı sırasıy-la kaçtır?

A) (65, 65) B) (82, 65) C) (65, 82)D) (50, 82) E) (32, 65)


:X Örneklemin Ortalaması,

X : Örneklemin Standart Sapması olmak üzere;

Test istatistiğinin değeri:

Z X ile hX

ö ;

/ /'

Buna g reX

nve

Z Xn

X

565 50 54 76 80 65

5100

510

10 565 65 0

XX

X X


32. Bir sınıftaki öğrencilerin girdiği bir sınavdan aldığı not-ların beklenen değeri , varyansı 1002 olan normal dağılımı sahiptir. Rastgele seçilen 5 öğrencinin notları sırasıyla 65, 50, 54, 76, 80’dir.

Buna göre, :H 650 yokluk hipotezinin :H 65A alternatif hipotezine karşı testi için test istatistiğinin değeri kaçtır?

A) 0 B) 5 C) 105

D) 55 E) 5

1


ö ü üa vekt r n n b" "

vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu

, .ba b dir1 2" "

O hâlde

, ,, , , , ,

. . .k

k

kk

1 34 0 1 1 3 1

1 34 1 0 3 1 1

2 2 2

1 2

^

^ ^

^ ^

^ ^

h

h h

h h

h h

.

k kk k k

kk bulunur

4 1016 8 10

8 6

43

2 2 2

2 2

^ ^h h


33. Uzayda , , ö ü ü , ,a vekt r n n b k4 0 1 1 3 " "

^ ^h h vek-törü üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu-nun 1 olması için k reel sayısı kaç olmalıdır?

A) 0 B) 41 C) 2

1 D) 43 E) 1


,u 1 2"

^ h vektörüne dik olan doğrunun eğimi ile bu vektörün eğimleri çarpımı 1 ’dir. Ara-nan doğrunun eğimi m olsun.

.

' .

.

m

m dir

y mx ny x n

n ise n bulunur

12 1

21

21

1 21

23

^ h

O hâlde doğru denklemi

.

y x

x y olur21

23

2 3 0


34. Düzlemde A(1, 1) noktasından geçen ve ,u 1 2"

^ h vek-törüne dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 0x y 2

B) x y2 3 0

C) x y2 1 0

D) x y2 2 0

E) x y2 2 0


1 0 1 0x y ve x y doğrularının geçtiği ortak nokta ortak çözüm ile bulunur. Doğruları taraf tarafa toplayalım.

1 01 0

2 21

1 1 0

x yx y

yy

xx 0

+ +

Doğruların geçtiği ortak nokta (0,1)’dir.

O hâlde bu noktadan geçen ve doğrultmanı (1,1) olan doğrunun denklemi

1 0'

x y

x y1

01

1


35. Düzlemde denklemleri x y ve x y1 0 1 0 ile verilen doğruların ortak noktasından geçen ve doğrultmanı (1,1) olan doğrunun denklemi aşağıda-kilerden hangisidir?

A) x y 1 0

B) x y 1 0

C) x y 1 0

D) x y 2 0

E) x y 2 0


Uzayda bir A (a, b, c) noktasının x y z doğrusuna göre simetriği , ,A c b a^ h noktasıdır.

Buna göre A(1,2,3) noktasının x y z doğrusuna göre simetriği , ,A 3 2 1^ h noktasıdır.


36. Uzayda A(1, 2, 3) noktasının, x y z doğrusuna göre simetriği olan noktanın koordinatları aşağıda-kilerden hangisidir?

A) (3, 2, 1) B) (1, 2, 4) C) (3, 5, 2)D) (2, 4, 3) E) (5, 4, 3)


u ve u" "

vektörlerine paralel olan düzlemin doğrultmanı bu vektörlere diktir. O hâlde düz-lemin doğrultmanı ile bu vektörlerin iç çarpımı 0’dır.

A( 1,2,3) noktası 4x7y5z30 düzenleminden geçtiğinden (4.17.25.(3)30)

Ayrıca, , , , , . . ., , , , , . . .

1 2 2 4 7 5 1 4 2 7 2 5 03 1 1 4 7 5 3 4 1 7 1 5 0

1 2

1 2

^ ^

^ ^

h h

h h

olduğundan aranan düzlem denklemi x y z4 7 5 3 0 ’dır.


37. Uzayda A(1, 2, 3) noktası, , ,u 1 2 2 "

^ h ve

, ,v 3 1 1 "

^ h vektörleri veriliyor.

A noktasından geçen, u ve v" "

vektörlerine paralel olan düzlemin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x y z 0

B) x y z2 4 2 0

C) x y z2 2 9 0

D) x y z3 4 0

E) x y z4 7 5 3 0


bx a xy y x a2 1 2 4 8 02 2 2 ^ h denklemi bir çember belirttiğinde xy teriminin katsa-yısı 0 olmalıdır.

1 01' .

1 .

aa dir

a olsunbx y x2 2 4 8 0

2

2 2

"

x ile y nin2 2 katsayıları eşit olacağından ' .b dir1

2 2 4 8 0x y xx y x2 4 0

2 2

2 2

Merkezi (a, b) olan yarıçapı r olan çember denklemi .x a y b r dir2 2 2 ^ ^h h

3, 3 .x y r olamaz1 2 2 2 ^ h

â ' .

â, , ç .

O h lde a dirx y x

x y xx y

O h lde verilen denklemm r olan ember denklemidir

12 2 4 8 0

2 4 01 5

1 0 5

2 2

2 2

2 2 2

^ ^

^

h h

h


38. a ve b reel sayılar olmak üzere,

bx a xy y x a2 1 2 4 8 02 2 2 ^ h

denklemi bir çember belirtmektedir.

Buna göre, çemberin merkezinin koordinatları ve ya-rıçap uzunluğu aşağıdaki seçeneklerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

A) , ,M r br1 0 5 ^ h

B) , , 5M r br1 0 ^ h

C) , , 5M r br0 0 ^ h

D) , ,M r br0 1 5 ^ h

E) , ,M r br1 0 5 ^ h


Verilen doğru 3 boyutlu analitik düzlemde gösterilirse;

z

y

x

3

y t

taban yarıçapı r 3 br olan 9x z2 2 denklemi elde edilir.


39. yz düzleminde bulunan ve denklemi

, , ;x z y t t R0 3 ! " , olan doğrunun y ekseni et-rafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin denk-lemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x y z 92 2 2

B) x y z 92 2 2

C) x z 92 2

D) x z 92 2

E) x y 92 2


, ,T x y x y3 2 ^ ^h h öteleme fonksiyonu ve 0 noktası etrafında saatin tersi yönde 45°lik C(x,y) döndürme fonksiyonuna göre ,A 2 2^ h noktasının F ToC bileşke dönüşümü altındaki görüntüsü için önce C sonra T fonksiyonunu uygulayalım.

45452

A

x

y

2

2

x2

y

,A 2 0^ h

2, 2A ^ h nok-tası saatin tersi yönde 45° döner-se ,A 2 0

^ h noktası elde edilir.

Şimdi de ,A 2 0^ h noktasına T dönüşümünü uygulayalım.

, ,, .

Tbulunur

2 0 2 3 0 25 2

^ ^

^

h h

h


40. Düzlemde , ,T x y x y3 2 ^ ^h h öteleme fonksiyonu ve O noktası etrafında saat yönünün tersi yönde 45°lik C(x,y) döndürme fonksiyonu veriliyor.

Buna göre ,A 2 2^ h noktasınında oF T C bileşke dönüşümü altındaki görüntüsü hangi noktadadır?

A) (5, 2) B) (5, 2) C) (5, 2)D) (5, 2) E) (5, 0)


Matematiksel kavramların öğrenciler tarafından yapılandırılması sürecinde kavramların kendi içlerinde, öğrencilerin yaşadıkları çevre ile diğer disiplinlerle ilişkilendirilmesi olduk-ça önemlidir. Bu nedenle tasarlanan matematik derslerinde kavramlar arasındaki ilişki-lerin araştırılması, tartışılması ve genelleştirilmesine olanak sağlayacak ortamlar yaratıl-malıdır. İlişkilendirme becerisi için öğrencilerin;

● Kavramsal ve işlemsel bilgiler arasındaki ilişkileri anlama.

● Kavramları açıklayabilmek için diğer kavramlardan yararlanma.

● Matematiksel kavramları kendi içerisinde ilişkilendirebilme.

● Bir matematiksel kavram, kural ya da ifadenin grafi ksel, sayısal, fi ziksel, cebirsel ve çeşitli matematiksel model ya da temsilleri arasında ilişki kurabilme.

● Farklı disiplinlerde karşılaştığı problemleri matematik ile ilişkilendirerek çözebilme (matematiği diğer disiplinlerle ilişkilendirme)

● Aynı matematiksel kavramın denk temsillerini tanıyabilme.

● Bir kavramdaki işlemi, denk kavramlardaki işlemlerle ilişkilendirebilme.

● Matematiksel fi kirleri fi ziksel materyaller, modellerle, resimlerle ve diyagramlarla ilişkilendirip anlatabilme becerilerinin geliştirilmesi hedefl enmiştir.


41. Uygulanmakta olan Ortaöğretim Matematik (9, 10, 11 ve 12. sınıfl ar) Dersi Öğretim Programı’nda

● Kavramları açıklayabilmek için diğer kavramlardan yararlanır.

● Aynı matematiksel kavramın farklı temsillerini tanır.

kazanımları aşağıdaki temel becerilerden hangisi kapsamında ele alınmıştır?

A) Yaratıcı düşünme

B) Akıl yürütme

C) İletişim

D) İlişkilendirme

E) Eleştirel düşünme


Euclid Geometrisi’nin paraleller postülası olarak görülen E seçeneğinde verilen postu-lat 19.yy’ da değiştirilerek Euclid dışı geometriler kurulmuştur. Nicolai Lobatchevski “Bir doğruya, dışındaki bir noktadan pek çok paralel çizilebilir veya bir üçgenin iç açıları top-lamı 180 dereceden küçüktür.” önermelerini ve Bernhard Riemann ise “Bir doğruya dı-şındaki bir noktadan paralel çizilemez veya bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür.” önermelerini beşinci postülatın yerine geçirerek Öklid dışı geometrilere ulaştı-lar. Felix Klein de bu geometrilerin birbiriyle olan ilişkilerini gösterdi.


42. Euclid Geometrisi’nin beş postulatından birine yönelik şüpheler ve bunun üzerine yapılan çalışmalar Euclid dışı geometrilerin ortaya çıkmasına zemin hazırlamıştır.

Buna göre, bu postulat aşağıdakilerden hangisidir?

A) Merkezi ile yarıçapı verilen bir çember çizilebilir.

B) Bir doğru parçası sınırsız bir şekilde uzatılabilir.

C) İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.

D) Bütün dik açılar eştir.

E) Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir tek pa-ralel doğru çizilir.


Bu soru biraz tecrübe sorusudur. Ücretli öğretmenlik yapanlar bu soruyu kolaylıkla çöz-müş olmalıdır. I. öncülde verilen bir ikinci derece fonksiyon sorusudur bu konu da 10. sı-nıfl arda bulunan “Cebir öğrenme” alanının “İkinci Dereceden Fonksiyonlar” alt öğrenme alanı ile ilgili bir sorudur. II. Öncülde verilen soru ise 9. sınıfta yer alan “Cebir Öğrenme” alanının “Fonksiyon alt öğrenme alanı ile ilgili bir soru”dur. III. öncülde verilen ise üstel bir fonksiyondur. 11.sınıfl arın “Cebir öğrenme” alanının, Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonu alt öğrenme alanı ile ilgilidir.


43.

I. : ,f R R f x x x4 12" ^ h fonksiyonunun alacağı

en büyük değeri bulunuz. II. : ,f R R f x x2 1" ^ h fonksiyonu birebir ve örten

midir? III. : ,f R R f x 3x

" ^ h fonksiyonunun grafi ğini çiziniz.

Yukarıdaki soruları çözmek için gerekli kazanımlar uygulanmakta olan Ortaöğretim Matematik Dersi (9, 10, 11 ve 12. Sınıfl ar) Öğretim Programı’nda ilk kez kaçıncı sınıf düzeyinde ele alınmaktadır?

I. II. III.

A) 12. 10. 12.

B) 10. 9. 12.

C) 10. 9. 11.

D) 12. 9. 11.

E) 10. 10. 12.


Van Hiele modeli, geometrik anlamayı sağlama ve geometrik anlamanın gelişimi için oluşturulmuş bir modeldir. Bu model, sınıf içi çalışmalarla geliştirilmiştir. Modelde, öğren-cilerin istenilen amaçlara ulaşmaları için belirlenen etkinliklere katılmaları ve geometrik kavramlarla ilgili özellikleri keşfetmeleri gerekmektedir. Van Hiele modelinin en önemli özelliği, geometrik düşünmenin gelişimini birbiriyle ilişkili beş düzey şeklinde açıklaması-dır. Bu beş düzeyden her biri, geometrik bağlamlarda kullanılan düşünme süreçlerini ta-nımlamaktadır. Bu beş düzey, soru öncülünde tanımlanmıştır. I. öğrenci ispat yapmakta-dır. İspat yapma 4. düzey bir beceridir. II. öğrenci çemberi tanıma aşamasındadır. Bu 1. düzey bir beceridir. II. öğrenci çember ile ilgili bir özellik belirtmiştir. Şekillerin özellikleri-ni bilme 2. düzey bir beceridir.


44. Van Hiele, geometrik düşünmenin gelişiminin aşamalı olarak aşağıda verilen beş düzeyde gerçekleştiğini be-lirmektedir.

1. Düzey: Öğrenci, şekilleri genel görsel özelliklerine göre tanır ve adlandırır.

2. Düzey: Öğrenci, şekillerin özelliklerini belirtir.

3. Düzey: Öğrenci, geometrik şekiller arasında iliş-kiler kurar.

4. Düzey: Öğrenci, bir aksiyomatik yapıyı kullanabilir ve bu yapı içinde ispatlar yapar.

5. Düzey: Öğrenci, farklı aksiyomatik sistemler ara-sındaki benzerlik ve farklılıkları anlar.

Buna göre,

I. Çemberde kiriş ve kesenler ile ilgili özelliklerin doğ-ruluğunu gösterir.

II. Verilen farklı geometrik şekiller arasından çemberi seçer.

III. Çemberde kirişin orta dikmesinin merkezden geçti-ğini ifade eder.

I. II. III.

A) 5. 1. 2.

B) 3. 1. 3.

C) 4. 2. 2.

D) 4. 1. 2.

E) 3. 2. 3.


İspatları incelediğimizde bir tek Ceyda’nın ispatı doğrudur. Doğrudan ispat tekniğini kul-lanmıştır. Bu ispat tekniğinde, bize teorem veya önerme içinde verilen şartlar aynen alı-nıp gösterilmek istenen sonuca ulaşılmaya çalışılır. Yani bilinen veya bize teoremde ve-rilen bilgileri kullanarak istenilen sonuca ulaşmaya çalışılan tekniktir.


45. Bir matematik öğretmeni, öğrencilerinden iki tek sayının toplamının çift sayı olduğunu ispatlamalarını istemiştir. Üç öğrencinin yapmış olduğu ıspat aşağıda verilmiştir.

Ali

6 !

^ h

Burcu

Herhangi iki tek sayı alalım ve toplamlarını inceleyelim.

Buna göre, iki tek sayının toplamı çifttir.

Ceyda

6 !

^

^

h

h

Buna göre, ispatı doğru yapan öğrenci ve kullandı-ğı yöntem aşağıdakilerden hangisinde birlikte veril-miştir?

Öğrenci İspat Yöntemi

A) Ali Tümevarım

B) Burcu Olmayana ergi

C) Ceyda Doğrudan ispat

D) Ali ve Burcu Tümevarım

E) Ali ve Ceyda Doğrudan ispat


Öğrencinin konu ile ilgili bir eksik bilgisi göze çarpmaktadır. İşlem incelenirse hatalı olan satırın . .1 1 1 1 ^ ^ ^ ^h h h h olduğu görülmektedir. O halde öğrenci . .a b a b ‘nin tüm reel sayılar için doğru olduğu kavram yanılgısına sahiptir. Bu sebeple öğrenciye verilmesi gereken dönüt B seçeneğindeki şekilde olmalıdır.


46. Bir öğrenci, köklü sayılarla ilgili özellikleri ve 1i2 eşit-liğini kullanarak

i ii i

1 11 11 1

1

2 2

:

:

:

:

^ ^

^ ^

h h

h h

işlemlerini yapmış ve 1 = 1 sonucunu elde etmiştir.

Bu öğrenciye aşağıdaki geri bildirimlerden hangisini vermek uygundur?

A) 1’in özel bir sayı olduğu ve bazı istisnalara sahip ol-duğu

B) a b a b: : eşitliğinin her a ve b reel sayısı için geçerli olmadığı

C) Negatitf bir reel sayının karekökünün pozitif bir de-ğere sahip olduğu

D) Kök içleri aynı olan terimlerle çarpma işlemi yapılma-yacağı

E) üi olmak zere i i12 2 olması gerektiği


Tablo incelendiğinde öğrencinin f(x)=2 bağıntısına fonksiyon değil dediği görülmektedir. O halde öğrenci bir fonksiyonun gösteriminde mutlaka x değişkeni olması gerektiğini dü-şünüyor olabilir. Aynı bağıntıda tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde sabit bir sayı ile eşleşmektedir. O halde B seçeneğini de düşünüyor olabilir. En az iki terimlile-ri ve ikinci derece bağıntıları fonksiyon olarak işaretlediğine göre C ve E seçeneğini de doğru olarak düşünüyor olabilir. Ancak D seçeneğini düşünüyor olamaz, çünkü g(x) ve h(x) bağıntılarında tanım kümelerindeki bütün elemanlar değer kümesinde tek bir ele-manla eşleşmemektedir.


47. Aşağıdaki tabloda, bir öğrencinin reel sayılar kümesinde tanımlı f, g ve h bağıntılarının fonksiyon olup olmamasıy-la ilgili verdiği cevaplar gösterilmektedir.

Bağıntı Fonksiyondur. Fonksiyon

değildir.

21

f xg x xh x x

2

2

^

^

^

h

h

h

+

+

+

Buna göre, bu öğrenci aşağıdakilerden hangisini dü-şünüyor olamaz?

A) Bir fonksiyonun gösteriminde x değişkeni olmalıdır.

B) Bir bağıntıda tanım kümesindeki her eleman değer kümesindeki sabit bir sayı ile eşleşiyorsa bu bağıntı fonksiyon değildir.

C) Bir fonksiyonun gösteriminde en az iki terim bulun-malıdır.

D) Bir fonksiyonun tanım kümesindeki bütün elemanlar değer kümesinde yalnız bir elemanla eşleşebilir.

E) Bir bağıntı ikinci dereceden ise bu bağıntı bir fonksi-yon belirtir.


Öğrencinin işlemleri yaparken bir hata yapmadığını görmekteyiz. Ancak çözüm kümesini yanlış söylediği görülmektedir. Bu sebeple burada ilk yapılması gereken öğrencinin kav-ram yanılgısı ile yüzleştirilmesidir. Bu da yanlış olan bir örnek göstererek mümkün ola-bilir. Bu sebeple D seçeneğinde verilen. x=0 ve y =0 için denklemin sağlanmayacağı ile yüzleştirilmesi uygun olacaktır.


48. Ali Öğretmen, öğrencilerinden

2 3x yx y2 4 6

denklem sisteminin çözüm kümesini bulmalarını istemiş-

tir.

Aşağıda bir öğrencinin bu soruya verdiği cevap yer al-maktadır.

2 4 6

x yx y

x yx y

2 2 32 4 6

2 4 6

0 0

^ h

+

Dolayısıyla çözüm kümesi tüm reel sayılardır.

Buna göre, Ali Öğretmen’in, yaptığı hatayı fark ettir-mek için öğrencisine aşağıdaki sorulardan hangisini sorması daha uygundur?

A) Yok etme yöntemini doğru kullandın mı?B) Denklemleri taraf tarafa toplarken hata yapmadığın-

dan emin misin?C) Çözüm kümesi reel sayılar mı yoksa R2 midir?

D) x ve y0 0 için bu denklemler sağlanıyor mu?

E) 0 0 elde ettiğin için çözümün boş küme olması ge-rekmez mi?


Olasılık makinesine baktığımızda, makine topun verilen bir yolu takip etme olasılığının kaç olduğunu gösterebilir. Eş olasılı örneklem uzayında gerçekleşen olayların olasılığı-nı gösterebilir. Çünkü eş olasılı durumlara sahiptir.Teorik olarak bir olasılık hesaplattırıla-rak deneysel olarak da ilişki kurulabilir. Pascal üçgeni ile olasılık değerleri arasındaki iliş-ki de gösterilebilir. Ancak öznel olasılık yani kişiye göre değişen olasılığın olasılık maki-nesi ile ilişkisi yoktur.


49.

Şekildeki olasılık makinesinde üstten atılan bir topun en-gelle çarptıktan sonra engelin sağından gitme olasılığı ile solundan gitme olasılığı birbirine eşittir.

Bu makineyi matematik dersinde kullanmak isteyen bir öğretmenin amacı aşağıdakilerden hangisi ola-maz?

A) Topun verilen bir yolu takip etme olasılığının kaç ol-duğunu göstermek

B) Eş olasılı örneklem uzayında gerçekleşen olayların olasılığını göstermek

C) Deneysel olasılık ile teorik olasılık değeri arasındaki ilişkiyi fark ettirmek

D) Olasılık değerleri ile Pascal üçgeni arasındaki ilişkiyi fark ettirmek

E) Her bir çıktının eş olasılı olmadığı durumlarda öznel olasılığın kullanılacağını göstermek


Öğrenci, eğriye bir noktada teğet olan bir doğrunun eğriyi kesmemesi gerektiğini düşün-mektedir. O halde öğrencinin düşüncesi bir eğriye teğet olma durumunun tüm eğriler için geçerli olacağını düşünmesidir. Bu durum sağdan ve soldan teğet ile, birden fazla teğet çizilmesi ile ya da ikinci türev ile ilgisi yoktur.


50. Türevin geometrik anlamını öğrencilerine bilgisayar des-tekli bir ortamda anlatan bir öğretmen, bilgisayarda aşa-ğıdaki gibi bir eğri ve bu eğrisinin A noktasındaki teğetini çizer.

y

0dx

A

Ancak öğrencilerden biri teğetin eğriyi sadece değme noktasında kesmesi gerektiğini belirterek d doğrusunun bir teğet doğrusu olmadığını iddia eder.

Buna göre, öğrencinin bu düşüncesinin nedeni aşa-ğıdakilerden hangisi olabilir?

A) Bir eğrinin bir noktasındaki sağdan ve soldan teğet-lerinin farklı olamayacağını düşünmektedir.

B) Bir doğrunun bir çembere teğet olma durumunun di-ğer eğriler için de geçerli olduğunu düşünmektedir.

C) Bazı eğrilerde bir noktada birden fazla teğet çizile-meyeceğini düşünmektedir.

D) İkinci türevin geometrik anlamını yanlış yorumla-maktadır.

E) Öğrenci doğru düşünmektedir, çünkü bilgisayar te-ğeti yanlış çizmiştir.

branş analizi matematik (lise) - uzmankariyer.com · uuzman z m a n yyakla a k l a ş ı m ı...

Documents