branch bound

Ejemplo Branch & Bound Ejemplo FCPA Bibliografa

Clase Auxiliar:Ejemplos de B&B y FCPA

Diego A. Moran R.

IN77O

18 de junio de 2008

Diego A. Moran R. Modelos y Algoritmos de Optimizacion


Contenidos

1 Ejemplo Branch & Bound

2 Ejemplo FCPA

3 Bibliografa



Contenidos

1 Ejemplo Branch & BoundPreliminaresAlgunas opciones de BrancheoAplicando Branch&Bound

2 Ejemplo FCPA

3 Bibliografa



Preliminares

Problema a Resolver

zIP = max 7x1 + 2x2x1 + 2x2 45x1 + x2 202x1 2x2 7

x Z2+Introduciremos variables de holgura x3, x4, x5 R+. No esnecesario pedir integralidad.



Preliminares

Resolviendo la relajacion (1)

El tableau en el optimo es:

zLP + 311x3 +1611x4 =

33211

+ x1 111x3 + 211x4 = 3611+ x2 + 511x3 +

111x4 =

4011

+ 811x36

11x4 + x5 =7511

con x1, x2 Z+ y x3, x4, x5 R+.



Preliminares

Resolviendo la relajacion (2)

Es decir,

z0LP =33211

x0 =(

36511

4011

0 07511

)El resultado no es el optimo entero hay que branchear,en x1, x3 o x2, variables fraccionarias.



Algunas opciones de Brancheo

Forma muy usada de elegir la variable

Definiendo la parte fraccionaria:

f ij = xij x ij

Se usa la regla:

maxjN i

mn{Dij ,D+ij }con

Dij = pij f

ij

D+ij = p+ij (1 f ij )




Maxima infactibilidad

El criterio de maxima infactibilidad esta dado seteando:

D0j = f0j y D

+0j = 1 f 0j

Es decir, los coeficientes valen uno:

pij = p+ij = 1




Aplicando lo anterior al ejemplo

Calculando,

D01 =3

11, D+01 =

811

, D02 =7

11,D+02 =

411

Y ocupando la regla para elegir la variable:

maxj{1,2}

mn{D0j ,D+0j } = max(

311

,4

11

)=

411

= D+02

Con esto,podramos decidir branchear en la variable x2(x2 3 o x2 2) y examinar el hijo derecho asociado.




Uso de penalizaciones (1)

De las restricciones podemos ver que si x3 o x4crecen, entonces x2 decrece. Con esto podemossetear p+02 =.Siguendo con este razonamiento, zLP decrece en 35(161 ) por unidad que x2 disminuye cuando x3 (x4)sehace variable basica. Con esto podemos setear:

p02 = mn(

35,161

)=

35

Similarmente,

p+01 = 3 y p01 =

162

= 8.





Calculando

D01 =3 811

=2411

, D+01 =8 311

=2411

D02 =35 7

11=

2155

, D+02 =Luego,

maxj{1,2}

mn{D0j ,D+0j } = max(

2411

,2155

)=

2411

= D01 = D+01





Basados en lo anterior, podramos branchear en lavariable x1.Pero, la evidencia emprica indica que estos calculosno valen la pena para problemas de gran tamano.



Aplicando Branch&Bound

Comienza el Bracheo

Usando el criterio de maxima infactibilidad, decidimosbranchear en x2, agregando las restriccion:

x2 4 (x2 t = 4, t 0)Al subproblema as generado lo llamaremos nodo 1




Continuando con el branching. . .

Las restricciones del subproblema (nodo 1) quedandadas por:

zLP + 311x3 +1611x4 =

33211

+ x1 111x3 + 211x4 = 3611+ x2 + 511x3 +

111x4 =

4011

+ 811x3 +611x4 + x5 =

7511

+ 511x3 +111x4 + t = 411

con x , t 0.OBS: En un sistema computacional la restriccion deacotamiento no es agregada explcitamente.




Primera poda

El algoritmo simplex dual muestra inmediatamenteque el problema es primal infactible (miren la ultimarestriccion).Con esto podamos el nodo 1, por infactibilidad.




Explorando otro nodo

Analizando el unico otro subproblema posible, quellamaremos nodo 2, que corresponde al IP original conla restriccion adicional

x2 3, (x2 + s = 3, s 0)La relajacion lineal resultante se escribe:

zLP + 311x3 +1611x4 =

33211

+ x1 111x3 + 211x4 = 3611+ x2 + 511x3 +

111x4 =

4011

+ 811x3 +6

11x4 + x5 =7511

511x3 111x4 + s = 711Diego A. Moran R. Modelos y Algoritmos de Optimizacion



Relajacion lineal nodo 2

Una iteracion del algoritmo dual entrega:

zLP + x1 + 75x4 +35s =

1495

+ x1 + 15x4 15s = 175+ x2 + s = 3

+ 25x4 + x5 +85s =

295

+ x3 + 15x4 115 s = 75Con esto z2LP =

1495 y x

2 =(

175 3

75 0

295

)




Explorando el nodo 2nodo 3

Puesto que x21 es fraccionaria, brancheamos en x1,examinando primero el hijo izquierdo, quellamaremos nodo 3, pues f 21

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