Breve storia della geometria differenziale

Enrico Rogora

7 dicembre 2017

1 Periodo ellenistico

Il problema del calcolo delle tangenti e quello del calcolo delle lunghezze,delle aree e dei volumi sono problemi che, in diverse forme, si sono presentatifin dagli albori della matematica greca anche se solo nel secolo XVII si ericonosciuta la loro generalita e il legame che esiste tra loro. Alcuni autoridel periodo ellenistico investigano problematiche relative alla tangenza tracurve, anche se solo nel caso di curve particolari.

Euclide Per esempio, nella definizione 2 del libro III degli elementi di Eu-clide si definisce che una retta (terminata) e tangente ad un cerchio, quandola retta (comunque prolungata) ha una sola intersezione con il cerchio, e nelladefinizione 3 si definisce che due cerchi sono tangenti, quando i due cerchisi intersecano in un solo punto. Nella proposizione 16 Euclide dimostra, aproposito della tangente ad un cerchio,

che una (retta) tracciata ortogonalmente al diametro di un cerchio, dal

suo estremo, cadra fuori dal cerchio; che un’altra linea retta non puo essere

inserita nello spazio tra la (suddetta) retta e la circonferenza; che l’angolo

del semicerchio e piu grande di qualsiasi angolo acuto rettilineo e (l’angolo)

residuo e minore (di ogni angolo acuto rettilineo).

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Non e possibile inserire nessun angolo rettilineo con lo stesso vertice dell’angolo

curvilineo compreso tra la retta e la circonferenza (angolo corno).

Apollonio considera le rette normali e le tangenti ad una conica, determinal’inviluppo delle normali e determina gli asintoti di un’ iperbole.

La tangente al punto D si costruisce congiungendo D con il punto simmetrico rispetto al

vertice della parabola della proiezione di D sul diametro coniugato alla direttrice.

I problemi di massimo o di minimo sono sempre stati di grande stimolo.

Archimede confronta la lunghezza di curve concave con gli stessi estremie l’area di superfici concave con lo stesso bordo.

Zenodoro Afferma che il cerchio e la figura piana piu grande tra quelleche hanno la stessa ”lunghezza” e la sfera e la figura solida piu grande traquelle che hanno la stessa ”area”. Entrambi gli enunciati verranno dimostratirigorosamente solo nel XIX secolo.

Tra i problemi che verranno poi considerati di pertinenza della geometriadifferenziale ci sono quelli che riguardano la rappresentabilita di una super-ficie su un’altra. I piu antichi sono quelli che riguardano la cartografia, cioala rappresentabilita di una porzione di sfera su un piano.

Tolomeo Nel capitolo 24 della geografia descrive la proiezione stereografi-ca.1 Egli utilizza anche la rappresentazione cartografica ottenuta proiettandola superficie terrestre su un cono tangente alla superficie stessa, ottenendo inquesto modo una miglior rappresentazione delle regioni meglio conosciute alsuo tempo.

2 Cartografia

Le esplorazioni geografiche iniziate nel 1400 ampliarono grandemente la co-noscenza medioevale del mondo e indussero la necessita di preparare carte

1La proiezione stereografica era ben nota anche a Ipparco, che ne conoscevaprobabilmente anche la proprieta di preservare gli angoli, cfr. [225] p. 42.

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geografiche piu accurate. Conseguentemente nuovi metodi di rappresenta-zione furono sviluppati o ripresi da fonti antiche. L’olandese Gemma Frisiusfece uso della proiezione stereografica, gia nota a Tolomeo.

Nella navigazione con la bussola la rotta piu facile da seguire e quellalossodromica che si ottiene tagliando i meridiani tutti con lo stesso angolo,ovvero mantenendo costante l’angolo determinato dalla direzione di naviga-zione con il nord indicato dalla bussola. La curva tracciata sulla superficieterrestre da una rotta lossodromica e una spirale, che in generale non corri-sponde alla linea di minore distanza tra due punti (che e invece un arco dicerchio massimo).

Uno dei problemi principali della cartografia rinascimentale era quello dirappresentare la superficie terrestre in maniera tale da far corrispondere larotta lossodromica ad una retta sulla carta geografica. Mercatore intro-dusse una proiezione cilindrica che proietta la terra dal suo centro sul cilindrotangente all’equatore e applica poi una trasformazione verticale in modo damantenere gli angoli e ottenere quindi una trasformazione conforme.

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Nella proiezione di Mercatore la lossodroma (che Mercatore chiama directio)viene trasformata in una retta mentre la geodetica (plaga), che rappresenta ilcammino piu breve tra due punti, viene invece rappresentata con un’arco dicurva apparentemente piu lungo per l’effetto distorsivo sulle lunghezze dellaproiezione di Mercatore.

Numerose altre rappresentazioni cartografiche furono proposte e studiate inquesto periodo. La rappresentazione di Werner, per esempio, introdottaagli inizi del secolo XVI, preserva le aree.

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3 Il secolo XVII: Leibniz e i fratelli Bernoulli

Con l’avvento del calcolo differenziale si puo cominciare a parlare piu pro-priamente di Geometria differenziale. Lo studio delle curve piane fu il primobanco di prova del nuovo calcolo. De Sluse e Fermat introdussero perprimi il concetto di punto di inflessione2, mentre Huygens introdusse ilconcetto di evoluta ed evolvente di una curva per trattare il problema dellacostruzione di un pendolo perfettamente isocrono, dimostrando in partico-lare che l’evoluta di una cicloide e una cicloide e che l’evolvente intersecaortogonalmente le tangenti dell’evoluta3.

2Tra i primi concetti relativi alla geometria differenziale delle curve piane va ricordatoquello di curvatura. La curvatura misura la rapidita con cui varia la retta tangente su unacurva e l’iverso del suo valore assoluto e il raggio del cerchio osculatore, ossia del cerchioche si ottiene come limite dei cerchi per tre punti della curva quando questi punti tendonoa un punto della curva stessa. Con linguaggio informale, il cerchio osculatore in un puntoP della curva e il cerchio che ha in P contatto tripunto. Se la curva e assegnata in forma

parametrica, (x = x(t), y = y(t)), allora la curvatura e data dalla formula k =∣∣∣ xy−yx(x2+y2)3/2

∣∣∣.3In questa nota richiamiamo le definizioni di inviluppo, evoluta ed evolvente. L’invi-

luppo di una famiglia di rette, o piu in generale di curve, e una curva tale che ogni retta,o curva, della famiglia e tangente alla curva. Analiticamente, se F (x, y, t) e l’equazione

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La parabola come inviluppo delle sue rette tangenti.

della famiglia di curve Ct, cioe se l’equazione cartesiana della curva Ct e F (x, y, t) = 0,allora l’equazione della curva inviluppo si ottiene eliminando t dal sistema

F (x, y, t) = 0∂F∂t (x, y, t) = 0

.

Un esempio elementare e quello relativo all’inviluppo delle rette tangenti a una curvay = f(x) che restituisce la curva stessa. Infatti, la famiglia delle rette tangenti e

y − f(t) = f ′(t)(x− t).

Derivando rispetto a t ottengo f ′′(t)(x− t) = 0 che, se la curva non e una retta e t non eun punto di flesso, restituisce x = t. Sostituendo nella prima equazione ottengo y = f(x).

Un altro esempio elementare: dato un cerchio e un punto P , l’inviluppo delle rette chesono assi delle corde staccate sul cerchio dalle rette per il punto e una conica, che sara unellisse se il punto e interno e una iperbole se e esterno.

L’evoluta di una curva e l’inviluppo delle sue normali, cioe delle rette che sono perpen-dicolari alle tangenti nei punti di contatto di queste con la curva. Il punto dell’evolutache sta sulla retta normale al punto P della curva di partenza e anche il centro di curva-tura della curva di partenza in P , ovvero il centro del cerchio osculatore alla curva in P .L’evoluta di una parabola e una parabola semicubica, mentre l’evoluta di una ellisse e unasteroide. L’evoluta di una cicloide e la cicloide stessa. L’evolvente di una curva e il luogodescritto da un punto di una retta che rotola senza strisciare sulla curva.

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L’evoluta di una ellisse e un asteroide.

Leibniz considera l’analisi delle curve piane come un fertile campo diapplicazione dei suoi metodi di calcolo differenziale. Si accorge immediata-mente dell’importanza della condizione di flesso per lo studio di una curvadi equazione y = f(x), caratterizzata da d2f = 0, introduce l’idea di cerchioosculatore, e definisce le condizioni analitiche che determinano l’inviluppo diun insieme di rette. Con il contributo dei fratelli Johan e Jakob Bernoulliil calcolo leibniziano fu in grado in pochi anni di elaborare compiutamentel’intero schema della geometria differenziale delle curve piane. Questi mate-matici studiarono le proprieta di numerose nuove curve quali le cicloidi, latrattrice e la catenaria, risolsero numerose equazioni differenziali collegate,tra cui quelle per le linee geodetiche su una superficie, e gettarono le fon-damenta del calcolo delle variazioni e delle sue applicazioni, tra cui quellerelative ai problemi isoperimetrici, [123].

Ipocicloide (in blu), cicloide (in verde) ed epicicloide (in rosso).

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La frenetica attivita dei matematici della cerchia di Leibniz e impressio-nante e risalta ancor di piu se confrontata alla sostanziale inerzia dei mate-matici inglesi, che furono incapaci di riconoscere i pregi del calcolo leibnizianonel confronto con quello newtoniano, [125] e si logorarono in sterili polemi-che di priorita, cui Johann Bernoulli, nel 1713 pote rispondere significativa-mente con le seguenti parole che mettono in luce l’importanza del calcolodifferenziale nello studio delle curve.

ora un certo Cheyne se ne va in giro a dire che negli ultimo 20 o 30

anni non abbiamo pubblicato nulla, che non sia un’ennesima ripetizione o

al piu un corollario di poco peso di cio che Newton aveva trovato prima;

quasi che per noi non sia rimasto nulla da fare , e che non siano di nessun

pregio le cose che abbiamo pubblicato, e delle quali in Newton non si trovano

nemmeno le tracce, come le catenarie, le velarie, le isocrone paracentriche,

le brachistocrone, le nuove proprieta della cicloide e i suoi innumerevoli seg-

menti quadrabili, il calcolo dei differenziali e il metodo di differenziarli, la

misura delle covolute, il moto trattorio e reptorio, la riduzione delle curve alle

circolari, e innumerevoli altre che gli inglesi in parte tentarono, ma con tutto

il loro calcolo delle flussioni hanno lasciato irrisolte, come si vede dal solo

problema della catenaria e della trasformazione delle curve, al quale hanno

sudato per lungo tempo senza produrre altro che turpi paralogismi.

4 Il secolo XVIII: Clairaut e Eulero

Il fervente interesse nella geometria delle curve piane si affievolı nel passaggioal nuovo secolo e i cultori del calcolo differenziale preferirono occuparsi diquestioni di carattere fisico piuttosto che geometrico. Nel secolo XVIII duepersonaggi diedero pero contributi fondamentali allo sviluppo della geometriadifferenziale Clairaut e Eulero.

Clairaut inizio a interessarsi giovanissimo alla geometria analitica dellospazio, scrivendo a soli 16 anni un libro sull’argomento, al tempo pratica-mente mai considerato dai matematici. L’oggetto principale del libro e lateoria delle curve dello spazio, che vengono concepite come intersezioni disuperfici.

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La cubica gobba.

Per esempio, considera l’intersezione di due cilindri circolari retti perpendi-colari oppure l’intersezione di due cilindri parabolici retti. Clairaut definiscela normale ad una superficie e quindi, implicitamente la nozione di pianotangente. L’interesse di Clairaut per le linee geodetiche su una superficie locondusse a dimostrare un teorema fondamentale relativo alle curve geodetichesu una superficie di rotazione.

Sia γ una geodetica su una superficie di rotazione S, sia ρla distanza di un punto di S dall’asse di rotazione, e sia ψ l’an-golo tra γ e i meridiani di S. Allora ρ sinψ e costante lungo γ.Viceversa, se ρ sinψ e costante lungo una qualche curva γ nellasuperficie, e se nessuna parte di γ e parte di qualche parallelo S,allora γ e una geodetica.

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Illustrazione del teorema di Clairaut. Nella figura φ = π/2− ψ.

I contributi di Eulero alla geometria differenziale furono molto numerosi.Riuscı ad esprimere l’equazione per le geodetiche in modo da poter studiarele geodetiche sopra numerosi tipi di superficie tra cui i coni; introdusse laparametrizzazione di una curva piana con la lunghezza d’arco e con il raggio dicurvatura, dimostro che un punto vincolato ad una superficie e non soggettoad altre forze si muove lungo una geodetica e osservo che, l’n-esima evolventedi una curva tende ad assomigliare sempre piu ad una cicloide. In [109],Eulero introdusse nuovi metodi per la soluzione dei problemi isoperimetricie dimostro che la catenoide, ottenuta per rotazione di una catenaria, e unasuperficie minima4.

4Una superficie M ⊆ R3 e una superficie minima se e solo se ogni punto p ∈ M haun intorno (sferico) in cui, tra tutte le superficie con lo stesso contorno (intersezione dellasuperficie con la sfera), ha area minima. Fisicamente, una superficie M con bordo ∂M eminima se e solo se coincide con il profilo che assume una pellicola di acqua e sapone distesasul bordo ∂M . Successivamente, Meusnier dimostro l’equivalenza di queste definizioni conla condizione che la curvatura media sia nulla.

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La catenoide, l’unica superficie minimale di rotazione, realizzata con una pellicola diacqua e sapone tra due curve.

Ulteriori esempi di superfici minimali: la superficie di Costa e la superficie minimale asella.

L’opera di Eulero [110] del 1760 contiene i primi contributi significativisulla geometria differenziale delle superficie. Per studiare la superficie, Eulerostudia le proprieta delle curve piane che si ottengono come sezioni con i pianiortogonali alla superficie in un punto, ovvero delle sezioni normali . Dimostrache la curvatura r di una sezione normale in un punto fissato assume duevalori estremali f e g tali che ogni altro valore si puo esprimere con la formula

r = f sin2 α + g cos2 α

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dove α e l’angolo tra il piano che contiene la curva di curvatura r nel punto eil piano che contiene una delle sezioni di curvatura massimale, che, dimostra,sono ortogonali.

Le direzioni principali sono ortogonali.

Nello studio delle curve nello spazio, Eulero introduce la mappa che associaad ogni punto il vettore unitario nella direzione della tangente, cioe la mappadi Gauss per le curve.

Nel 1770 mostra che una superficie e sviluppabile (si possono trovarecoordinate t, u in cui la metrica e euclidea) se e un cono o la sviluppabile auna curva, ma non dimostra il viceversa.

4.1 Letture: Eulero - ricerche sulla curvatura dellesuperficie.

Per conoscere la curvatura delle linee curve, la determinazione del raggio osculatore for-nisce la piu giusta misura, presentandoci per ciascun punto della curva un cerchio, la cuicurvatura e esattamente la stessa5. Ma, quando ci si domanda la curvatura di una super-ficie, la questione risulta molto ambigua, e per niente suscettibile di una risposta assoluta,come nel caso precedente. Non si hanno che le superfici sferiche dove si possa misurare lacurvatura, assunto che la curvatura di una sfera sia la stessa che quella dei grandi cerchi,e che il suo raggio possa essere riguardato come la giusta misura. Ma per le altre superfici

5Cfr. [251].

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non si sapra nemmeno confrontare la curvatura con quella di una sfera, nella stessa ma-niera in cui si puo sempre confrontare la curvatura di una curva con quella di un cerchio.La ragione e evidente perche, in ogni punto della superficie, si possono avere un’infinitadi curve differenti. Basta pensare alla superficie di un cilindro, dove secondo le direzioniparallele all’asse non si ha alcuna curvatura mentre nelle sezioni perpendicolari all’asse chesono dei cerchi, la curvatura e la stessa e tutte le altre sezioni fatte obliquamente all’assedanno una curvatura particolare. Ed e cosı in tutte le altre superfici, dove si puo nellastessa maniera arrivare in un certo senso ad una curvatura convessa e in un altro a unacurvatura concava, come nelle superficie che somigliano a una sella.

Dunque la questione relativa alla curvatura delle superfici non e suscettibile di unarisposta semplice, ma esige in un sol colpo una infinita di determinazioni: infatti, dal mo-mento che siamo in grado di tracciare per qualunque punto di una superficie una infinita didirezioni, bisogna conoscere la curvatura secondo ciascuna, prima che ci si possa formareuna giusta idea della curvatura di una superficie. O, per ciascun punto di una superficie, sipuo far passare una infinita di sezioni, non solo in rapporto a tutte le direzioni sulla super-ficie stessa, ma anche in rapporto alla loro differente inclinazione rispetto alla superficie.Ma, per lo scopo presente, e sufficiente considerare, di tutte queste infinite sezioni, soloquelle che sono perpendicolari sulla superficie, allora per ognuna di queste sezioni, il cuinumero e ancora infinito. A tal fine, non c’e che da condurre la linea retta perpendicolarealla superficie6, e tutte le sezioni che passano per questa retta sono anche perpendicolarialla superficie, allora per ognuna di queste sezioni, bisogna cercare la curvatura, o il raggioosculatore, e la considerazione simultanea di di tutti questi raggi ci dara la giusta misuradella curvatura della superficie nel punto dato, dove e opportuno osservare che ciascuno diquesti raggi cade sulla stessa direzione che e perpendicolare alla superficie, e che gli archielementari di tutte queste sezioni appartengono alle curve piu incurvate che e possibiletracciare sulla superficie.

Ora, per rendere queste ricerche piu generali, comincero a determinare il raggio oscu-latore per una qualunque sezione piana secondo cui viene segata la superficie; in seguitoapplichero questa soluzione alle sezioni che sono perpendicolari alla superficie, in un puntodato qualsiasi: e infine confrontero tra loro i raggi osculatori di tutte queste sezioni inrapporto alla loro mutua inclinazione, che ci permettera di stabilire una giusta idea dellacurvatura delle superfici. Eulero ...

5 Monge

Monge e considerato il fondatore della Geometria descrittiva e della Geome-tria differenziale perche e il primo a presentare in maniera organica i principialla base delle due discipline nei suoi libri di testo per l’Ecole Polythecnique.Nel 1771 scrisse un’ampia esposizione della teoria delle curve nello spazio, laprima dopo quella di Clairaut.

Introdusse e studio le proprieta di alcune superfici rigate ottenute comeinviluppo di famiglie di piani associati a una curva gobba: l’inviluppo deipiani osculatori o sviluppabile delle tangenti , di cui la curva di partenza eluogo di punti singolari cuspidali ; l’inviluppo dei piani normali o sviluppabile

6In un punto fissato.

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polare, di cui sono geodetiche le infinite evolventi della curva di partenza7;l’inviluppo dei piani rettificanti o sviluppabile rettificante, di cui la curvaoriginale e una geodetica, cfr. [113]. Introdusse la sfera osculatrice ad unacurva gobba e la suddivisione dei punti di inflessione in due tipi: quelli per cuitre punti infinitamente vicini stanno su una retta e quelli per cui quattro puntiinfinitamente vicini stanno su un piano. Monge studio approfonditamente lesuperfici rigate e in particolare quelle sviluppabili, che caratterizzo come lesviluppabili tangenti a una curva e determino l’equazione differenziale delterzo ordine per le rigate.

Nei lavori di Monge

le formule seguono sempre la dinamica dello sviluppo geometrico, cosı che

l’integrazione di una equazione differenziale alle derivate parziali si trasforma

nella costruzione graduale di un sistema geometrico nello spazio. Nessuno,

eccetto Lie, ha mai superato Monge in questo approccio geometrico. [258],

p. 106.

Monge raccolse molte delle sue idee sulla geometria differenziale nel libro[177], il testo che utilizzava per le sue lezioni all’Ecole Polytechnique di cuifu il direttore dalla sua fondazione, nel 1794, fino alla caduta di Napoleone.

L’idea dominante del libro e l’interpretazione geometrica delle equazioni

differenziali alle derivate parziali e l’interpretazione dei fatti geometrici nel

linguaggio delle equazioni alle derivate parziali. A tal fine Monge svilup-

pa la teoria degli inviluppi, delle caratteristiche e degli spigoli di regresso.

Contemporaneamente mostra il significato del processo di integrazione nello

spazio. [258], p. 111.

Per dare un’idea dell’intreccio tra geometria e calcolo differenziale, conside-riamo il caso delle superfici cilindriche, che possiamo immagine come rigate ilcui piano tangente e parallelo al vettore (a, b, 1) lungo la generatrice, quindi,se la superficie ha equazione z = z(x, y) il vettore normale alla superficie,(p, q,−1), con p = ∂z

∂xe q = ∂z

∂ydeve essere perpendicolare alla direzione

(a, b, 1) e quindi ap+ bq = 1. Questa e l’equazione differenziale che descrivele superfici cilindriche. Una superficie cilindrica con direttrice parallela ad(a, b, 1) ovvero alla direzione x = az, y = bz ha equazione y− bz = φ(x− az)dove φ e una funzione arbitraria (esercizio). Otteniamo in questo modo l’in-tegrale dell’equazione ap + bq = 1. Da questo e possibile risolvere diversiproblemi geometrici sui cilindri.

Monge classifica i suoi problemi a seconda del grado della corrispondenteequazione differenziale alle derivate parziali) (PDE)8. Alla prima categoria,

7Aggiungere riferimento.8Acronimo per Partial Differential Equation.

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che corrisponde a PDE di grado 1, appartengono i cilindri, i coni, le superficicanale9; alla seconda, che corrisponde alla PDE di grado due, appartengonole superfici sviluppabili e le superfici rigate con generatrici parallele a undato piano; alla terza categoria, che corrisponde a una PDE di grado 3,appartengono le superfici rigate generali.

5.1 Lettura - Monge, Indice dei contenuti de Applica-tion de l’analyse a la geometrie

1. Sui piani tangenti e sulle normali alle superfici curve

2. Sulle superfici cilindriche

3. Sulle superfici coniche

4. Sulle superfici di rivoluzione

5. Sulle superfici generate dal movimento di una retta che e sempre orizzontale’ e chepassa sempre per la stessa verticale

6. Sulle superfici che inviluppano un numero infinito di altre superfici; sulle caratteri-stiche e sugli spigoli cuspidali

7. Sulle superfici canale dove l’asse e una curva piana qualunque e orizzontale, e dovele sezioni perpendicolari a quest’asse sono cerchi di raggio costante

8. Sulle superfici dove la linea di massima pendenza e una retta di inclinazione costante

9. Sulla superficie curva che inviluppa lo spazio percorso da una superficie curva qua-lunque, di forma costante, e che, senza ruotare, si mette lungo una curva qualunquea doppia curvatura.

10. Sulla superficie generata dal movimento di una retta che non cessa di essere parallelaa un piano di posizione costante.

11. Sulla superficie generata dal movimento di una retta che passa sempre per l’assedelle z

12. Sulle superfici sviluppabili

13. Sulle superfici che inviluppano lo spazio percorso da un’altra superficie data, diforma costante, e che, senza ruotare, si dispone lungo una curva a doppia curvaturainteramente arbitraria

14. Sulla superficie generata dal movimento di una curva data a doppia curvatura,costante di forma, e che, senza rotolare (strisciare), si muove lungo un’altra curvainteramente arbitraria

15. Sulle due curvature di una superficie curva

16. Sulle linee di curvatura dell’elissoide

9Una superficie canale e l’inviluppo di una famiglia di sfere avente centri su una curvagobba.

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17. Sulla generazione della superficie curva dove tutte le linee di curvatura sono in pianiparalleli a un piano dato

18. Sulle superfici dove uno dei raggi di curvatura e costante

19. Sulle superfici dove i due raggi di curvatura in ogni punto sono uguali tra loro ediretti nello stesso lato

20. Sulla superficie curva dove i due raggi di curvatura sono sempre uguali e di segnocontrario

21. Sulla superficie curva generata in generale dal movimento di una linea retta

22. Sulla superficie curva che inviluppa una successione di sfere di raggio variabile, edove i centri sono distribuiti su una curva qualsiasi

23. Sulla superficie curva dove tutte le normali sono tangenti alla superficie di unamedesima sfera

24. Sulla superficie curva dove tutte le normali sono tangenti a una stessa superficieconica a base arbitraria

25. Sulla superficie curva dove tutte le normali sono tangenti a una stessa superficiesviluppabile qualunque

26. Sulla superficie curva che inviluppa lo spazio percorso da una sfera di raggio varia-bile, dove il centro percorre una curva qualunque a doppia curvatura

27. Sulle sviluppabili, i raggi di curvatura e i differenti generi di inflessione selle curvea doppia curvatura

6 La scuola di Monge

L’Ecole polytechnique venne istituita l’11 marzo 1794 per formare gli inge-gneri civili e militari per far fronte alle necessita della Repubblica. L’organiz-zazione della Scuola fu affidata a Monge che si ispiro in un primo momentoalle idee illuministe del filosofo e matematico Jean-Antoine-Nicolas Caritatde Condorcet. L’Ecole polytechnique e stata la fucina della matematicafrancese. Fu dagli allievi di Monge che nacque la geometria proiettiva e si af-fermarono la geometria analitica e differenziale dello spazio. Il ruolo centraledella matematica per lo sviluppo tecnico, economico e politico della Francianapoleonica e messo chiaramente in luce dalle parole di Napoleone a Laplace.

L’avancement, le perfectionnement des mathematiques sont lies a la

prosperite de l’etat.

La matematica si trasformo da disciplina coltivata da pochi ed eletti geni aimpresa di ricerca collettiva. La scuola sopravvisse alle fortune politiche diMonge, coinvolto con la Rivoluzione prima e con l’Impero napoleonico suc-cessivamente e vide affermarsi, tra l’altro, il programma di profondo rinno-vamento dell’analisi di un altro dei suoi famosi insegnanti, Augustin Cauchy

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che, come idee politiche, era agli antipodi di Monge. L’insegnamento dellageometria analitica, della geometria descrittiva e dell’analisi all’Ecole poly-technique servı da modello per l’insegnamento della matematica per almenoun secolo.

Tra i colleghi anziani di Monge ricordiamo Lagrange e Carnot. Tra glistudenti e i giovani colleghi abbiamo Fourier, Ampere, Poisson, Ponce-let, Rodrigues, Lancret, Coriolis, Malus, Dupin, Fresnel, Cau-chy, Sadi Carnot, Sophie Germain.

Meusnier Approssimo una superficie intorno ad un punto con un toro,in modo che le due sezioni normali con i piani principali di curvatura sianodei cerchi di curvatura uguale a quella della superficie da approssimare (sela curvatura di Gauss e positiva)10. Come conseguenza di questa costruzioneriottenne i risultati di Eulero sulle curvature delle curve sezioni con i pianinormali e il teorema di Meusnier che afferma:

Se γ e una curva che sta su una superficie e P e un punto su γ, allora lacurvatura k di γ in P , la curvatura kN della sezione normale della superficiecon il piano che contiene il vettore tangente a γ e il vettore normale allasuperficie in P , e l’angolo θ tra il piano suddetto e il piano osculatore di γ,soddisfano la relazione

kN = k cos θ.

Illustrazione del teorema di Meusnier

Mausnier dimostro anche che i centri dei cerchi osculatori di tutte le curve suuna data superficie che passano per un punto e che hanno la stessa tangente

10Cfr. Mem. sav. etrangers, 1785, pp. 477-510.

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t in P stanno su una circonferenza e che i cerchi osculatori delle curve sezionicon i piani passanti per t formano una sfera.

Mausnier interpreto l’equazione differenziale per le superfici minime tro-vata da Lagrange facendo vedere come la condizione di minimalita si puoequivalentemente esprimere richiedendo che la curvatura media, cioe la som-ma delle curvature principali, sia nulla. Trovo quindi che sono superficiminime la catenoide (cfr. fig. p. 11), gia studiata indipendentemente daEulero e l’elicoide retto (cfr. fig. p. 18).

L’elicoide, l’unica superficie minimale rigata, realizzata con una pellicola di acqua esapone.

Ampere Fu il primo che si pose il problema di trovare espressioni invariantiper le curve rispetto ai cambiamenti di coordinate, trovando per le curvepiane, espressioni invariati per rotazioni e traslazioni, che dipendono dallederivate fino al terzo ordine delle equazioni che definiscono la curva.

Malus Continuo lo studio delle famiglie bidimensionale di rette, gia intra-preso da Monge per affrontare problemi di carattere ingegneristico.

Lancret Introdusse il differenziale delle funzioni che oggi chiamiamo cur-vatura e torsione nel suo studio sistematico delle curve nello spazio. Lanozione di torsione fu introdotta successivamente da Cauchy11.

11Per una curva nello spazio, bisogna considerare due misure per caratterizzarle local-mente. La curvatura, che misura, come nel caso piano, la rapidita di variazione della rettatangente e la torsione, che misura la rapidita di variazione del piano osculatore, cioe delpiano che ha un contatto tripunto con la curva. Se una curva dello spazio ha parametriz-zazione α(t) = (φ(t), ψ(t), χ(t)), allora la curvatura e la torsione sono date rispettivamente

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Charles Dupin Fu il piu famoso allievo di Monge. Nella sua dissertazionedel 1803, preparata sotto la guida di Monge introdusse le ciclidi di Dupin,che si possono ottenere come inversione12 di un toro, di un cilindro o di undoppio cono. Queste superficie sono superfici canale, cioe inviluppo di unafamiglia unodimensionale di sfere, in due maniere e quindi sono una analogodelle quadriche nella Geometria di Lie delle sfere.

Una ciclide di Dupin

Nel 1897 dimostro il teorema sulle superfici ortogonali

In tre sistemi mutuamente ortogonali di superfici, le lineedi curvatura13 su ogni superficie in uno dei sistemi sono le sueintersezioni con le superficie degli altri due sistemi.

Nel suo libro Developpements de geometrie (1813), concepito come continua-zione dei libri di Monge, Dupin separava sistematicamente il punto di vistaanalitico da quello geometrico, cercando, per quanto possibile, due dimo-strazioni, una analitica e una geometrica di ogni teorema e due definizioniper ogni concetto. Per esempio, le linee di curvatura vengono definite ana-liticamente come le curve che sono tangenti in ogni punto a una direzione

dalle formule:

k(t) =‖α′(t)× α′′(t)‖‖α′(t)‖3

τ(t) = −α′(t)× α′′(t) · α′′′(t)‖α′(t)× α′′(t)‖2

.

Torsione e curvatura determinano, a meno di un movimento rigido, la posizione di unacurva nello spazio.

12Inversione rispetto a una sfera.13definite nel prossimo paragrafo.

19

principale di curvatura e geometricamente come le curve lungo le quali lenormali formano una superficie sviluppabile.

Dupin introdusse la nozione di curva indicatrice facendone uno dei capi-saldo della sua teoria delle superfici. L’indicatrice di Dupin caratterizza leproprieta locali di una superficie. Essa si ottiene considerando la sezione diuna superficie con un piano parallelo al piano tangente ad un punto dellasuperficie. Avvicinando il piano sezione al piano tangente e riscaldando op-portunamente la curva sezione si ottiene, al limite, l’indicatrice. Per i puntiellittici di una superficie le curve intersezione sono definite solo quando ilpiano sezione sta dalla stessa parte della superficie rispetto al piano tangentee l’indicatrice e una ellisse con gli assi diretti come le direzioni principali dellasuperficie nel punto. Per i punti iperbolici ci sono due indicatrici a secon-da del semispazio delimitato dal piano tangente in cui si considera il limite.Entrambi le indicatrici hanno gli stessi asintoti che individuano le direzioniasintotiche della superficie14. Una curva tangente alle direzioni asintotiche sidice asintotica ed e caratterizzata dal fatto che il suo piano osculatore coinci-de con il piano tangente alla superficie. Analizzando le indicatrici di un puntoombelicale15 Dupin fornı la prima dimostrazione geometrica del teorema diMonge secondo cui la sfera e la sola superficie reale costituita di tutti puntiombelicali.

Indicatrici di Dupin in un punto ipeerbolico (prima figura) e in un punto ellittico

(seconda figura)

Gli sviluppi della Geometria analitica e differenziale francese sono rias-sunti nelle lezioni [58] di Cauchy.

7 Gauss

La rinascita intellettuale tedesca tra il diciottesimo e il diciannovesimo secoloe segnata dall’apparizione di geni assoluti, quali Beethoven nella Musica,

14Cioe le direzioni nelle quali la curvatura normale e nulla.15Cioe con le due curvature principali coincidenti.

20

Kant nella Filosofica e Gauss nella Matematica. Gauss e un matematicoeclettico, che ha dato importantissimi contributi nei campi piu disparati dellamatematica. Per quanto riguarda la Geometria, Gauss e l’inventore dellageometria differenziale intrinseca e probabilmente va considerato, insieme aBoylai e Lobachevsky, lo scopritore della geometria non euclidea.

Le sue profonde riflessioni teoriche in questi campi si accompagnano allelunghe campagne di rilievi topografici che svolse per il Regno di Sassonia trail 1821 e il 1825. Le sue idee sulla Geometria differenziale sono raccolte nelledisquisitiones generales circa superficies curvas , pubblicato nel 1827. In que-sto lavoro Gauss separa nettamente le proprieta intrinseche dalle proprietaestrinseche di una superficie. Le prime riguardano quelle proprieta che sipossono determinare con misurazioni interne alla superficie, le seconde so-no quelle che dipendono dall’immersione in uno spazio ambiente piu grande.Questa sensibilita nel cogliere le differenze sostanziali tra le due classi, comeabbiamo gia accennato, nasce probabilmente dalla riflessione sul suo lavorodi rilievo topografico che tratta di misurazioni intrinseche di una superficie(il geode) di cui cerca di determinare alcune proprieta senza poterle osservaredall’esterno. Queste misurazioni si limitano alle misure di lunghezze, aree eangoli e quindi, in ultima analisi, alla sole proprieta che si possono calcolarea partire da una struttura metrica. Per esprimere formalmente cosa si debbaintendere con cio, Gauss introduce su una superficie un sistema di coordinatelocali u e v attraverso cui si possa identificare ogni punto di un determinatointorno della superficie stessa con una coppia di numeri, in maniera analogaa come si puo identificare un punto sulla superficie terrestre con latitudine elongitudine. La metrica intrinseca della superficie e quindi determinata dallaprima forma fondamentale

E(u, v)du2 + 2F (u, v)dudv +G(u, v)dv2.

A partire da tale forma e possibile calcolare l’elemento di lunghezza della su-perficie, ds =

√Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 e la lunghezza delle curve. Infatti se

una curva e tutta contenuta nel dominio delle coordinate locali u e v, possia-mo parametrizzare tale curva specificando due funzioni u(t) e v(t) e definirela lunghezza dell’arco di curva compreso tra il punto di coordinate u(0), v(0)e il punto di coordinate u(t), v(t) ”sommando gli elementi di lunghezza dellacurva”, ovvero ponendo

s(t) =

∫ t

0

√E(u(t), v(t))u′(t)2 + 2F (u(t), v(t))u′(t)v′(t) +G(u(t), v(t))v′(t)2dt.16

16Si puo dimostrare che la definizione dipende dalla curva e non dalla suaparametrizzazione.

21

Per calcolare l’area della porzione di superficie parametrizzata da un certodominio Ω del piano delle coordinate, basta calcolare∫ ∫

Ω

√EG− F 2dudv.

Anche l’angolo tra due curve della superficie che si intersecano in un punto sipossono calcolare con riferimento esclusivo alla prima forma fondamentale.Per esempio, l’angolo φ tra le curve coordinate u =costante e v =costante edeterminato da

cosφ =F√EG

.

Se una superficie e immersa nello spazio euclideo tridimensionale con una pa-rametrizzazione x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), la metrica euclidea stan-dard dello spazio euclideo induce una metrica sulla superficie, determinatadai coefficienti E(u, v) = 〈xu,xu〉, F (u, v) = 〈xu,xv〉, G(u, v) = 〈xv,xv〉17.Si osservi pero, e in questo sta l’osservazione geniale di Gauss, che e possibileconsiderare una metrica su una superficie senza alcun bisogno di un’immer-sione nello spazio tridimensionale. Questa idea di studiare la geometria in-trinseca di una superficie si rivelera estremamente feconda nella matematica,a cominciare dalla possibilita di concepire piani con metriche non euclidee18.

17Infatti, l’elemento di lunghezza nello spazio euclideo, con riferimento ai differenzialidelle usuali coordinate cartesiane, e

dx2 + dy2 + dz2

Sulla superficie abbiamo x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) e quindi dx = xudu + xvdv,dy = yudu+ yvdv, dz = zudu+ zvdv. e quindi, sulla superficie

dx2 + dy2 + dz2 = (x2u + y2u + z2u)du2 + 2(xuxv + yuyv + zuzv)dudv + (x2v + y2v + z2v)dv2

ovvero, usando la notazione vettoriale, detta x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

dx2 + dy2 + dz2 =< xu,xu > du2 + 2 < xu,xv > dudv+ < xv,xv > dv2.

Esempio: il toro euclideo si definisce come la superficie di parametrizzazione x(u, v) =((a+r cosu) cos v, (a+r cosu) sin v, r sinu). I coefficienti della metrica indotta sono E = r2,F = 0, G = (r cosu + a)2. Quindi, l’elemento d’area e

√EG− F 2 = r(r cosu + a).

Integrando sul dominio della carta abbiamo che l’area del toro e

A =

∫ 2π

0

∫ 2π

0

r(r cosu+ a)du dv = 4π2ra.

18Per esempio, la metrica

ds2 = 4dx2 + dy2

(1− x2 + y2)

22

Nelle mani di Riemann la geometria intrinseca delle superfici ricevera unaulteriore drastica generalizzazione e portera alla introduzione e allo studiodella geometria intrinseca di varieta di un numero qualunque di dimensioni.

Le Disquisitiones sono un concentrato di nuove idee e di risultati fonda-mentali. Diamo un’idea dei contenuti della prima parte, citando alcuni deibrani originali.

Gauss comincia il suo lavoro introducendo un artificio importantissimoper lo studio delle verita immerse, che prendera il nome di mappa di Gaussdi una superficie.

Disquisitiones, in quibus de directionibus variarum rectarum in spazio

agitur, plerumque ad maius perspicuitatis et simplicitatis fastigium evehun-

tur, in auxilium vocando superficiem sphaericam radio = 1 circa centrum

arbitrarium descriptam, cuius singula puncta repraesentare censebuntur di-

rectiones rectarum radiis ad illa terminatis parallelarum19.

Con l’ausilio della mappa sulla sfera, Gauss fornisce un’interpretazionegeometrica del concetto di curvatura,

Come ad ogni punto sulla superficie curva viene fatto corrispondere unpunto sulla sfera, prendendo la direzione della normale alla superficie curvae trasferendola alla superficie della sfera, cosı anche una qualsiasi curva ouna qualsiasi figura definita su quest’ultima sara rappresentata da una corri-spondente curva o figura sulla prima. Nel confronto tra le due figure, che sicorrispondono l’una con l’altra in questa maniera, l’una immagine dell’altra,bisogna considerare due punti importanti, il primo quando viene considera-ta la sola quantita, il secondo quando, trascurando le relazioni quantitative,viene considerata la sola posizione.

Il primo di questi punti importanti sara a fondamento di alcune idee che

sembra opportuno introdurre nella teoria delle superfici curve. Cosı, ad ogni

parte di una superficie curva delimitata da bordi definiti noi assegnamo una

curvatura totale o integrale, che e rappresentata dall’area della figura sulla

sfera che gli corrisponde. Bisogna distinguere da questa curvatura integrale

quella, in un certo senso piu specifica, che chiameremo misura di curvatu-

ra. Questa seconda si riferisce ad un punto della superficie, e denotera il

quoziente ottenuto quando la curvatura integrale dell’elemento di superficie

intorno ad un punto viene diviso per l’area dell’elemento stesso; e quindi

definisce nel cerchio di raggio unitario la metrica iperbolica le cui geodetiche sono lecirconferenze ortogonali alla circonferenza unitaria.

19Negli studi in cui bisogna considerare le direzioni di diverse rette nello spazio, si ottieneun alto livello di chiarezza e di semplicita se utilizziamo, come ausilio, una sfera di raggiounitario con centro arbitrario supponiamo che i diversi punti della sfera rappresentino ledirezioni delle rette parallele ai raggi che passano per tali punti.

23

indica il rapporto di aree infinitamente piccole che si corrispondono recipro-

camente sulla superficie curva e sulla sfera. L’uso di queste innovazioni sara

abbondantemente giustificato da cio che spiegheremo nel seguito.

Dalla definizione geometrica, segue immediatamente che il piano, i cilin-dri, i coni e le sviluppabili tangenti a una curva hanno curvatura gaussiananulla, mentre una sfera di raggio R ha curvatura gaussiana 1/R2. Inoltree evidente che la curvatura gaussiana si puo calcolare come il determinan-te del differenziale della mappa di Gauss, da cui segue che la curvatura diGauss e il prodotto degli autovalori del differenziale della mappa di Gaussche coincidono, come si puo dimostrare, con i valori delle curvature principalidi Eulero.

La mappa di Gauss e utilissima per affrontare numerosi problemi. Per-mette tra l’altro di fornire una nuova caratterizzazione delle superfici minime,che possono essere definite in maniera equivalente come le superfici per cuila mappa di Gauss e conforme, cioe preserva gli angoli (Bonnet 1860).

Tra i risultati principale ottenuti da Gauss sulla teoria intrinseca delle su-perficie, ricordiamo il famoso theorema egregium: mentre le curvature princi-pali di una superficie in un punto dipendono dall’immersione della superficienello spazio tridimensionale, il loro prodotto, cioe la curvatura gaussiana diuna superficie, dipende solo dalla metrica e quindi dalla geometria intrinsecadella superficie. Per dimostrare cio Gauss riuscı a manipolare l’espressio-ne per la curvatura gaussiana fino a far vedere che in essa figurano i solicoefficienti E, F e G e le loro derivate (cfr. la formula a p. 24).

11.

(. . . )

Sostituendo queste diverse espressioni nella formula per la misura dellacurvature derivata alla fine del precedente articolo, otteniamo la seguenteformula, che coinvolge solo le quantita E, F , G e i loro quozienti differenzialidel primo e del secondo ordine:

4(EG− F 2)k = E

(∂E

∂q· ∂G∂q− 2

∂F

∂p· ∂G∂q

+

(∂G

∂p

)2)

+ F

(∂E

∂p· ∂G∂q− ∂E

∂q· ∂G∂p− 2

∂E

∂q· ∂F∂q

+ 4∂F

∂p· ∂F∂q− 2

∂F

∂p· ∂G∂p

)+G

(∂E

∂p· ∂G∂p− 2

∂E

∂p· ∂F∂q

+

(∂E

∂q

)2)−2(EG−F 2)

(∂2E

∂q2− 2

∂2F

∂p · ∂q+∂2G

∂p2

).

12.

24

Siccome abbiamo sempre

dx2 + dy2 + dz2 = E dp2 + 2F dp · dq +Gdq2,

e chiaro che √E dp2 + 2F dp · dq +Gdq2

e l’espressione generale per l’elemento lineare su una superficie curva. L’a-nalisi sviluppata nel precedente articolo ci mostra che per trovare la misuradi curvatura non c’e necessita di formule finite, che esprimono le coordinatex, y, z come funzione delle indeterminate p, q; ma che l’espressione generaleper la grandezza di ogni elemento lineare e sufficiente. Procediamo a qualcheapplicazione di questo importantissimo teorema20.

Supponiamo che la nostra superficie possa essere sviluppata di un’altrasuperficie, curva o piana, cosı che ogni punto della prima superficie, deter-minato dalle coordinate x, y, z, corrispondera ad un punto definito sullaseconda, le cui coordinate sono x′, y′, z′. Evidentemente x′, y′, z′ potran-no essere riguardate come funzioni delle indeterminate p, q, e percio perl’elemento

√dx′2 + dy′2 + dz′2 avremo un’espressione della forma√

E′ dp2 + 2F ′ dp · dq +G′ dq2

dove E′, F ′, G′ denotano anche loro espressioni di p, q. Ma dalla nozionestessa di sviluppo di una superficie su un’altra e chiaro che gli elementi che sicorrispondono l’uno all’altro sulle due superfici sono necessariamente uguali.Percio avremo identicamente

E = E′, F = F ′, G = G′.

Cosı la formula del precedente articolo ci conduce al notevole21

Teorema Se una superficie curva si sviluppa su una qualsiasi altrasuperficie, la misura di curvatura in ogni punto resta immutata.

E anche evidente cheTeorema una qualsiasi parte di una superficie curva manterra la stessa

curvatura integrale se viene sviluppata su un’altra superficie.

Superfici sviluppabili sopra un piano costituiscono il caso particolare acui i geometri hanno ristretto finora la loro attenzione. La nostra teoriamostra immediatamente che la misura di curvatura in ogni punto di unasiffatta superficie e uguale a zero. Di conseguenza, se la natura di questesuperfici definita secondo il terzo metodo22, noi avremo in ogni punto

∂2z

∂x2· ∂

2z

∂y2−(

∂2z

∂x · ∂y

)2

= 0

un criterio che, sebbene gia noto da qualche tempo, non e stato, almeno amia conoscenza, dimostrato con sufficiente rigore.

20Progrediamur ad aliquot applicationes huius gravissimi theorematis.21Formula itaque art. praec. sponte perducit ad egregium22Cioe come il grafico di una funzione z(x, y).

25

13.

Cio che abbiamo spiegato nel precedente articolo e collegato ad un partico-lare metodo per studiare le superfici, un metodo molto valido che puo esseresviluppato approfonditamente di geometri. Quando una superficie viene con-siderata, non come il bordo di un solido, ma come un solido flessibile ma nonestensibile, in cui si suppone che una dimensione tenda a svanire, allorale proprieta della superficie dipendono in parte dalla forma a cui possiamopensare che sia ridotta e in parte sono assolute e rimangono invariabili, qua-lunque sia la forma nella quale viene flessa la superficie. A queste proprieta,lo studio delle quali apre ai geometri un nuovo e fertile campo, appartengonola misura di curvatura e la curvatura integrale, nel senso che abbiamo datoa queste espressioni. A queste appartengono anche la teoria delle linee piubrevi, e una gran parte di cio di cui ci riserviamo di trattare successivamente.Da questo punto di vista, una superficie piana e una superficie sviluppabilesu un piano, per esempio le superfici cilindriche, coniche, ecc. devono essereconsiderate come sostanzialmente identiche; e il metodo generale per definirela natura delle superfici da considerare secondo questa prospettiva, e semprebasato sulla formula √

E dp2 + 2F dp · dq +Gdq2,

che esprime l’elemento lineare alle due indeterminate p, q.

Un altro teorema fondamentale dovuto a Gauss, il primo forse della geo-metria differenziale globale e quello relativo ai triangoli geodetici, cioe laconfigurazione di tre vertici e dei tre archi di geodetiche che li connettono:su una superficie regolare la somma degli angoli di un triangolo geodeticomeno π e uguale alla curvatura totale delle regione interna al triangolo.

26

Il teorema di Gauss sui triangoli geodetici.

L’importanza di Gauss per la Geometria differenziale va molto oltre i teore-mi che ha dimostrato e va ricercata nei nuovi punti di vista che ha saputoinfondere nella disciplina.

L’idea di rappresentazione sferica, di geodetiche, di coordinate curvili-

nee, si trovano tutte in Eulero; perche ammiriamo Gauss per il loro uso?

Anche nella considerazione del rapporto tra gli elementi di superficie e la sfe-

ra unitaria Rodrigues aveva preceduto Gauss. Ma, anche se molte di queste

cose erano gia note ad Eulero, nessuno aveva compreso la loro importanza

prima di Gauss, nonostante cinquant’anni di ricerca in Francia. E la luce che

Gauss getta sulle concezioni recenti relative alle proprieta intrinseche delle

superfici, e su quelle piu antiche e del tutto nuova. Struik, [259], pp. 163-164.

Gauss, a differenza di Monge, non creo una scuola, anche se l’influenza deisuoi scritti fu immensa. Tra i matematici di lingua tedesca contemporanei diGauss che diedero significativi contributi alla geometria differenziale, citia-mo Minding, che introdusse la nozione di curvatura geodetica, Jacobi cheapplicando la sua teoria degli integrali abeliani fu in grado di determinarele geodetiche dell’ellissoide, Joachimsthal e Scherk che trovo due nuovi

27

esempi di superfici minime a cinquant’anni di distanza da quelli trovati daMeusnier. Tra i matematici di lingua francese ricordiamo Lame, Bertrand,Serret, Bonnet e Liouville.

Complessivamente i matematici che si dedicarono allo studio della geo-metria differenziale in Francia e in Germania nella prima meta del secolodiciannovesimo non furono molti. Una delle ragioni va ricercata nell’interes-se suscitato dalla Geometria proiettiva, che si andava affermando in queglianni e che distolse dagli studi di Geometria differenziali molte energie.

8 Complementi sulla teoria delle superfici: il

theorema egregium di Gauss

Il contenuto di questo capitolo e tratto in gran parte da [94]Una superficie S ⊆ R3 dello spazio tridimensionale si puo parametrizzare

localmente con una funzione vettoriale

α(u, v) = (x(u, v) y(u, v) z(u, v)) u, v ∈ U ⊆ R2.

I parametri u, v si dicono le coordinate locali della superficie. Assumeremoche le parametrizzazioni siano sempre almeno di classe C3.

Per esempio, equazioni parametriche per la sfera sono

x = cos(t)·cos(u); y = cos(t)·sin(u); z = sin(t) t ∈ (−π/2, π/2), u ∈ (0, 2π)

Equazioni parametriche per la pseudo-sfera sono invece

x =2

ev + e−v· cos(u); y =

2

ev + e−v· sin(u); z = v − ev + e−v

ev − e−vu ∈ (−∞,∞), u ∈ (0, 2π)

Per studiare le proprieta locali di una superficie, data in forma parametri-ca, utilizzeremo il prodotto scalare e vettoriale di R3, e le derivate del primoe del secondo ordine della parametrizzazione. Le derivate del primo ordinesono

αu =

(∂x(u, v)

∂u,∂y(u, v)

∂u,∂z(u, v)

∂u

)αv =

(∂x(u, v)

∂v,∂y(u, v)

∂v,∂z(u, v)

∂v

).

In maniera analoga si definiscono le derivate del secondo ordine

αuu αuv αvv.

28

Un punto della superficie si dice regolare se esiste nel suo intorno una pa-rametrizzazione in cui le derivate sono definite e indipendenti, ovvero taleche lo Jacobiano del differenziale abbia rango uguale 2. Il piano tangente inun punto regolare e lo spazio affine passante per quel punto e avente comedirezione lo spazio vettoriale generato dalle derivate prime. Il piano tangentead una superficie in P rappresenta l’intorno infinitesimo del primo ordinedel punto P 23.

Il piano tangente nel punto α(u, v) e il piano di equazione parametricavettoriale

α(u, v) + λαu(u, v) + µαv(u, v) λ, µ ∈ R.

Il prodotto vettoriale αu × αv definisce un vettore ortogonale al piano tan-gente. La mappa di Gauss della superficie S e quindi la funzione vettoriale

N(u, v) =αu × αv||αu × αv||

che e definita per tutti i punti regolari.Per studiare una superficie nello spazio introduciamo la prima e la secon-

da forma fondamentale e il differenziale della mappa di Gauss (o mappa diWeingarten o operatore forma).

La prima forma fondamentale in un punto p della superficie e sempli-cemente la restrizione del prodotto scalare dello spazio ambiente al pianotangente. Nella base αu, αv tale restrizione e determinata dai coefficienti

E = 〈αu, αu〉 F = 〈αu, αv〉 G = 〈αv, αv〉. (1)

Se u, v sono le coordinate nel piano tangente a u, v, la norma di w = (u, v) equindi ||w||2 = Eu2 + 2Fuv +Gv2 che coincide con il quadrato della normaeuclidea uαu + vαv ma non c’e alcun bisogno dell’immersione per calcolarequesta quantita ma solo dei coefficienti E, F , G.

Il differenziale della mappa di Gauss N : S → S2 in un punto e dN |p :TpS → TN(p)S

2 ∼= TpS; quindi possiamo pensare dN |p come un endomorfismodi TpS. La trasformazione lineare dN |p e determinata dalla sua azione su unabase e quindi, nella base αu, αv, dalla matrice (aij) definita da

dN |p(αu) = Nu = a11αu + a21αv dN |p(αv) = Nv = a12αu + a22αv. (2)

23Si noti che l’idea euristica di punto infinitamente vicino non e esprimibile rigorosamen-te utilizzando un punto classico. Rappresentare un punto infinitamente vicino a un puntodato con un vettore coglie l’idea intuitiva che un punto infinitamente vicino e raggiunto inun tempo infinitamente breve attraverso un moto passante per il punto dato con velocitauguale al vettore assegnato.

29

Verifichiamo che dN |p e autoaggiunto rispetto alla prima forma fonda-mentale. Per la linearita di dN |p basta far vedere che 〈dN |p(αu), αv〉 =〈αu, dN |p(αv)〉 in quanto αu e αv costituiscono una base per TpS. PoichedN |p(αu) = Nu e dN |p(αv) = Nv, bisogna dimostrare che 〈Nu, αv〉 = 〈Nv, αu〉.Derivando rispetto a u la relazione 0 = 〈N,αv〉, otteniamo 〈Nu, αv〉 =−〈N,αuv〉 e derivando rispetto a v la relazione 0 = 〈N,αu〉, otteniamo〈Nv, αu〉 = −〈N,αvu〉 e quindi l’asserto, poiche αuv = αvu.

Per ogni punto p della superficie, consideriamo la forma bilineare IIpdefinita ponendo24

IIp(v, w) = −〈dN |p(v), w〉.La seconda forma fondamentale della superficie in p e la forma quadratica

v 7→ IIp(v, v)

associata a IIp.25

I coefficienti della seconda forma fondamentale, nella base αu, αv sono

e = −〈Nu, αu〉 = 〈N,αuu〉f = −〈Nv, αu〉 = 〈N,αuv〉 = 〈N,αvu〉 = −〈Nu, αv〉g = −〈Nv, αv〉 = 〈N,αvv〉

(3)

Sostituendo (2) e (1) in (3) otteniamo

−f = 〈Nu, αv〉 = a11F + a21G−f = 〈Nv, αu〉 = a12E + a22F−e = 〈Nu, αu〉 = a11E + a21F−g = 〈Nv, αv〉 = a12F + a22G

(4)

Usando la notazione matriciale26(a11 a21

a12 a22

)= −

(e ff g

)·(E FF G

)−1

(5)

da cui abbiamo il seguente legame tra la prima e la seconda forma fonda-mentale e il differenziale della mappa di Gauss

a11 = fF−eGEG−F 2

a12 = gF−fGEG−F 2

a21 = eF−fEEG−F 2

a22 = fF−gEEG−F 2

(6)

24Per un’interpretazione geometrica che giustifica la scelta del segno, cfr. [94], p. 143.25La seconda forma fondamentale si puo interpretare geometricamente nel modo seguen-

te. Sia γ(t) l’equazione parametrica di una curva tangente in zero al vettore v e si considerila funzione d(t) che assegna a t la distanza di γ(t) dal piano tangente alla superficie inγ(0). Allora IIp(v) e il il coefficiente di t2/2 nello sviluppo di Taylor di d(t).

26Si ricordi che la matrice associata ad un operatore autoaggiunto rispetto a un prodottoscalare e simmetrica solo se la base e ortogonale.

30

La curvatura gaussiana in un punto di una superficie e il limite, del rap-porto tra l’area dell’immagine con la mappa di Gauss dell’intorno di un puntoe l’area di tale intorno sulla superficie, al tendere a zero del diametro del-l’intorno. E pertanto esprimibile, a meno del segno, come il determinantedel differenziale della mappa di Gauss. Da (5) otteniamo l’espressione dellacurvatura Gaussiana in funzione dei coefficienti della prima e della secondaforma fondamentale.

K = − det(aij) =eg − f 2

EG− F 2.

Non e difficile dimostrare anche che, per la curvatura media vale la formula

H = tr(aij) =1

2

eG− 2fF + gE

EG− F 2.

Dimostriamo ora che K, a differenza di H dipende solo dai coefficienti dellaprima forma fondamentale e dalle sue derivate. Per fare cio studiamo la“variazione infinitesima”, in un punto P , del sistema di riferimento αu, αv, Ne definiamo

αuu = Γ111αu + Γ2

11αv + l1Nαuv = Γ1

12αu + Γ212αv + l2N

αvu = Γ121αu + Γ2

21αv + l2Nαvv = Γ1

22αu + Γ222αv + l3N

Nu = a11αu + a21αvNv = a12αu + a22αv

(7)

I coefficienti Γijk nella formula (7) si chiamano simboli di Christoffel , in onoredel matematico tedesco Elwin Bruno Christoffel.

Per trarre le conseguenze che ci interessano da questo sistema di equazionipremettiamo alcuni semplici calcoli.

Derivando E = 〈αu, αu〉 otteniamo

Eu = ∂u〈αu, αu〉 = 2〈αuu, αu〉

eEv = ∂v〈αu, αu〉 = 2〈αuv, αu〉.

Derivando F = 〈αu, αv〉 otteniamo

Fu = ∂u〈αu, αv〉 = 〈αuu, αv〉+ 〈αuv, αu〉

eFv = ∂v〈αu, αv〉 = 〈αuv, αv〉+ 〈αvv, αu〉.

31

Derivando G = 〈αv, αv〉 otteniamo

Gu = ∂u〈αv, αv〉 = 2〈αuv, αv〉

eGv = ∂v〈αv, αv〉 = 2〈αvv, αv〉.

Da queste uguaglianze si ricava immediatamente

〈αuu, αu〉 = 12Eu

〈αuu, αv〉 = Fu − 12Eu

〈αuv, αu〉 = 12Ev

〈αuv, αv〉 = 12Gu

〈αvv, αu〉 = Fv − 12Gu

〈αvv, αv〉 = 12Gv

(8)Prendendo il prodotto scalare delle prime quattro relazioni in (7) con

N , si osserva che i coefficienti li coincidono con quelli della seconda formafondamentale, e precisamente l1 = e, l2 = l2 = f, l3 = g.

Prendendo invece il prodotto scalare delle prime quattro relazioni in (7)con αu e αv e utilizzando le formule (8) abbiamo

Γ111E + Γ2

11F = 〈αuu, αu〉 = 12Eu

Γ111F + Γ2

11G = 〈αuu, αv〉 = Fu − 12Ev

Γ112E + Γ2

12F = 〈αuv, αu〉 = 12Ev

Γ112F + Γ2

12G = 〈αuv, αv〉 = 12Gu

Γ122E + Γ2

22F = 〈αvv, αu〉 = Fv − 12Gu

Γ122F + Γ2

22G = 〈αvv, αv〉 = 12Gv

(9)

Le equazioni precedenti sono raggruppate in tre sistemi di due equazioniin due incognite, i simboli di Christoffel. Il determinante di tali sistemi eEG−F 2 che e sempre diverso da zero. E quindi possibile risolvere i sistemi edesprimere i simboli di Christoffel in funzione dei coefficienti della prima formafondamentale e delle loro derivate. Vale quindi il seguente risultato: ogniproprieta di una superficie immersa che e espressa in funzione dei soli simbolidi Christoffel e invariante per isometrie, cioe trasformazioni che preservanola prima forma fondamentale, cfr. p. 25.

Derivando ulteriormente le relazioni (7) e usando le relazioni

(αuu)v − (αuv)u = 0(αvv)u − (αvu)v = 0

Nuv −Nvu = 0(10)

si ottengono nuove relazioni tra i coefficienti della prima e della seconda formafondamentale, dette condizioni di compatibilita.

Derivando la prima relazione di (7) rispetto a v abbiamo

(αuu)v = Γ111αuv + Γ2

11αvv + eNv + (Γ111)vαu + (Γ2

11)vαv + evN.

32

Derivando la seconda rispetto a u abbiamo

(αuv)u = Γ112αuu + Γ2

12αvu + fNu + (Γ112)uαu + (Γ2

12)uαv + fuN.

Possiamo ora uguagliare le due espressioni per la prima di (10), sostituire leespressioni (7) per le derivate seconde e uguagliare i coefficienti di αu, αv eN separatamente, ottenendo in questo modo tre relazioni. Quella relativa alcoefficiente di αv, e

Γ111Γ2

12 + Γ211Γ2

22 + ea22 + (Γ211)v = Γ1

12Γ211 + Γ2

12Γ212 + fa21 + (Γ2

12)u.

Introducendo i valori di aij calcolati in (6) ne segue che

(Γ212)u− (Γ2

11)v + Γ112Γ2

11 + Γ212Γ2

12−Γ211Γ2

22−Γ111Γ2

12 = −E eg − f 2

EG− F 2= −EK.

Da quest’ultima formula si vede come la curvatura gaussiana K della super-ficie dipenda esclusivamente dai coefficienti della prima forma fondamentalee dalle loro derivate. Abbiamo quindi dimostrato il

Theorema Egregium di Gauss La curvatura gaussiana K di una super-ficie e invariante per isometrie locali.

Possiamo ripetere analoghe manipolazioni algebriche sui coefficienti di αue N . Per αu otteniamo una relazione equivalente a quella gia ottenuta.

Per N , otteniamo la prima equazione di Codazzi-Mainardi ,

ev − fu = eΓ112 + f(Γ2

12 − Γ111)− gΓ2

11. (11)

Possiamo agire nella stessa maniera rispetto alla seconda delle equazioni(10). Otteniamo due forme equivalenti dell’equazione di Gauss e la secondaequazione di Codazzi-Mainardi,

fv − gu = eΓ122 + f(Γ2

22 − Γ112)− gΓ2

12. (12)

Dalla terza equazione (10) non si ottengono nuove relazioni.L’Equazione di Gauss e le equazioni di Codazzi - Mainardi sono dette

equazioni di compatibilita. Non esistono altre equazioni di compatibilita.Vale infatti il

Theorema di Bonnet Siano E, F , G, e, f , g funzioni differenziabili,definite su un aperto V ⊆ R2, con E > 0, G > 0. Si assuma che le datefunzioni soddisfino formalmente le equazioni di Gauss e di Codazzi-Mainardie che EG−F 2 > 0. Allora, per ogni q ∈ V , esiste un intorno U ⊆ V di q e un

33

diffeomorfismo α : U → α(U) ⊆ R3 tale che la superficie regolare α(U) ⊆ R3

abbia E, F , G; e, f , g come coefficienti della prima e della seconda formafondamentale rispettivamente.

Inoltre, se U e connesso e se

α : U → α(U) ⊆ R3

e un altro diffeomorfismo che soddisfa le stesse condizioni, allora esiste unatraslazione T e una rotazione ρ in R3 tale che α = T ρ α.

Ai simboli di Christoffel puo essere data un’espressione compatta e util-mente generalizzabile a varieta di dimensione maggiore di due. Si puo infattidimostrare che

Γkij =1

2

∑m

gkm (∂jgim + ∂igjm − ∂mgij)

dove g11 = E, g12 = F , g22 = G e (gij) e la matrice inversa di (gij).I coefficienti di Christoffel entrano anche nelle equazioni differenziali che

determinano le geodetiche, cioe

x+ Γ111x

2 + 2Γ122xy + Γ1

22y2 = 0

y + Γ211x

2 + 2Γ222xy + Γ2

22y2 = 0.

Esempi

Consideriamo una curva parametrizzatax(v) = φ(v)z(v) = ψ(v)

v ∈ (a, b)

nel piano x, z. La superficie di rotazione ottenuta ruotando la curva intornoall’asse z e definita dalle equazioni parametriche

x(u, v) = φ(v) cos(u)y(u, v) = φ(v) sin(u)z(u, v) = ψ(v)

v ∈ (a, b), u ∈ [0, 2π)

34

Dalle definizioni, seguono immediatamente le formule

E = φ2 F = 0 G = φ′2 + ψ′2

N(u, v) =sign(φ)√φ′2 + ψ′2

(ψ′ cosu, ψ′ sinu, φ′)

e = − |φ|ψ′√φ′2 + ψ′2

f = 0 g =sign(φ)(φ′′ψ′ − φ′ψ′′)√

φ′2 + ψ′2

e quindi, dalla formula K = eg−f2EG−F 2 , otteniamo la seguente formula gene-

rale per la curvatura gaussiana di una superficie di rotazione

K =−ψ′2φ′′ + φ′ψ′ψ′′

φ(φ′2 + ψ′2)2. (13)

Per esempio, consideriamo la curva trattrice di equazioni parametrichex(u) = sech(u)z(u) = u− tanh(u)(u)

u ∈ (−∞,+∞)

35

Ruotando la curva attorno all’asse z si ottiene la pseudosfera, la cui cur-vatura gaussiana e costante, uguale a meno uno, come risulta facilmenteapplicando la formula (13) (cfr. [94], ex. 7 p. 170).

36

In questa maniera si e trovato un esempio, dovuto a Beltrami, cfr. [18],di superficie a curvatura costante negativa immersa nello spazio euclideo tri-dimensionale. Tale superficie e un modello locale della geometria iperbolica,come il cilindro e un modello locale della geometria euclidea. Si noti peroche non si tratta di un modello globale. La pseudosfera di Beltrami contieneinfatti una curva di punti singolari (l’intersezone con il piano z = 0). Comedimostrera Hilbert, non puo esistere una superficie non singolare immersain R3 su cui la geometria iperbolica valga senza eccezioni. E possibile perodefinire una tale superficie in maniera intrinseca.

Un modello completo dalla geometria iperbolica si puo avere sul discox2 + y2 < 1 scegliendo come metrica

ds2 =4

(1− x2 − y2)2 (dx2 + dy2)

I coefficienti della prima forma fondamentale di questa superficie sono quindi

E(x, y) = G(x, y) =4

(1− x2 − y2)2 F = 0.

La formula di Gauss per la curvatura, cfr. p. 24 oppure [94], ci da quindil’espressione

4E2 ·K = E(E2y + E2

x) + E(E2x + E2

y)− 2E2(Eyy − Exx),

37

che ancora fornisce il valore costante uguale a meno uno per la curvatura.Le rette iperboliche, cioe le linee di minore lunghezza tra due punti, sono

archi di circonferenze che intersecano il bordo del disco in maniera ortogonale.In particolare, tra le rette iperboliche sono da considerare anche i segmentiper il centro. Si verifica immediatamente che, rispetto alla metrica iperbolica,l’intersezione con il disco iperbolico di una retta per il centro, ha lunghezzainfinita.

La costruzione della retta iperbolica per due punti del cerchio iperbolicosi puo fare con riga e compasso.

Siano P e Q due punti del disco, non allineati con il centro O. Si considerila retta t che congiunge il centro O a P e si tracci ad essa la perpendicolarein P . Sia S una delle due intersezioni di tale perpendicolare con il bordodel disco e sia s la perpendicolare in S alla retta OS. Sia P ′ = s ∩ t.Analogamente si costruisca Q′ a partire da Q. Siano m e n gli assi deisegmenti PP ′ e QQ′ rispettivamente e sia C la loro intersezione. L’arco dicerchio centrato in C e passante per P e Q e la retta iperbolica cercata.

Le isometrie del disco iperbolico sono

f(z) =az + c

cz + af(z) =

−az + c

−cz + a(|a| > |c|)

Il modello intrinseco della geometria iperbolica appena descritto e dovutoa Beltrami ed e noto come modello di Beltrami - Poincare per la seguenteinterpretazione fisica (tratta dalle lezioni di Castelnuovo del 1903-4).

38

Sia data una sfera S di raggio R che limita uno spazio in cui la tem-peratura e l’indice di rifrazione siano variabili in funzione della distanza dalcentro; e gli oggetti mobili entro questo spazio si mettono subito in equili-brio di temperatura col posto occupato ed abbiano lo stesso coefficiente didilatazione per modo che la lunghezza di uno di questi corpi possa assumersicome temperatura assoluta.

Si supponga che la temperatura assoluta siaR2 al centro della sfera, 0 alla

superficie, R2−ρ2 a distanza ρ dal centro; l’indice di rifrazione sia 1R2−ρ2 alla

stessa distanza. Per un essere abitante l’interno della sfera le dimensioni dei

corpi sembrerebbero invariabili col movimento, la superficie sferica sarebbe

irraggiungibile e rappresenterebbe l’infinito, i raggi luminosi che verrebbero

detti rettilinei sarebbero in realta cerchi normali alla superficie della sfera,

e per i triangoli limitati da tre raggi luminosi si verificherebbe la geometria

iperbolica.

9 Riemann

Le idee di Gauss sulla geometria differenziale intrinseca delle superfici furonogeneralizzate da Riemann. Nella sua Habilitationsschrift del 1854 Riemannaveva suggerito di estendere il dominio della geometria differenziale dalle cur-ve e dalle superficie alle varieta n dimensionali (che Riemann indicava conil nome di quantita n−volte estese), definite analiticamente come n-ple dinumeri su cui e possibile assegnare l’elemento di lunghezza e quindi studia-re, in analogia con quanto aveva fatto Gauss per le superficie, le proprietageometriche intrinseche.

Le idee di Riemann furono sviluppate da Lipschitz e Christoffel tragli altri, che affrontarono difficolta analitiche formidabili, che resero neces-saria l’introduzione di nuovi concetti. Per esempio, la nozione di curvaturaintrinseca di una varieta non e piu un un numero, come per le superfici, maun tensore quadruplo, detto tensore di curvatura.

La forma esplicita di questo tensore, in funzione del tensore metrico gijdefinito da ds2 =

∑i,j gijdyidyj e

Rijlk =1

2

(∂2gik∂yj∂yl

+∂2gjl∂yi∂yk

− ∂2gil∂yj∂yk

− ∂2gjk∂yi∂yl

)+

n∑α,β=1

gαβ([jl, α][ik, β]− [il, α][ik, β]).

dove

[jk, i] =1

2

(∂gil∂yk

+∂gik∂yj− ∂gjk

∂yi

)39

e gij sono i coefficienti della matrice inversa di gij e tutti gli indici sonocompresi tra 1 e n.

Delle n4 componenti del tensore di curvatura, quelle indipendenti sono in

numero pari a n2(n2−1)12

. Tra gli spazi piu interessanti scoperti da Riemann,ci sono quelli per cui il tensore metrico e un multiplo costante dell’identita.Questi sono gli analoghi n dimensionali delle superfici a curvatura costan-te: il piano, la sfera e la pseudosfera, nelle quali e possibile sviluppare unageometria analoga a quella dello spazio euclideo. La costanza del tensore dicurvatura e condizione necessaria per l’esistenza di un gruppo di isometriedello spazio (movimenti rigidi) che trasformi l’una nell’altra una qualsiasicoppia di riferimenti ortonormali. Come dimostro Lie nel 1890, la condizionerisulta anche sufficiente27.

9.1 Lettura – Riemann:Sulle ipotesi che stanno a fon-damento della Geometria.

Progetto di ricerca. E ben noto che la geometria assume a priori siala nozione di spazio che i primi principi relativi alle costruzioni nello spa-zio. Essa fornisce definizioni che sono veramente nominali, mentre la veradeterminazione appare nella forma di assiomi. La relazione di queste assun-zioni resta quindi nell’ombra; noi non percepiamo ne se la loro connessione enecessaria ne a priori se e possibile.

Da Euclide a Legendre (per nominare il piu famoso dei moderni geome-tri riformatori) queste ombre non sono state diradate ne dai matematici neda quei filosofi che se ne sono occupati. La ragione di cio e senza dubbioche la nozione generale di grandezze multiplamente estese (nella quale sonocomprese le grandezze di spazio) non e stata per niente sviluppata. Io misono posto innanzitutto il compito di costruire la nozione di quantita mul-tiplamente estesa a partire dalle nozioni generali di quantita. Seguira dacio che una quantita multiplamente estesa e capace di diverse relazioni dicarattere metrico e di conseguenza che lo spazio28 e solo un caso speciale digrandezza triplamente estesa. Ma ne segue allora necessariamente che le pro-posizioni della geometria non possono venire derivate dalle nozioni generalidi grandezza, ma che le proprieta che distinguono lo spazio da altre con-cepibili grandezze triplamente estese devono essere necessariamente dedottedall’esperienza. Nasce quindi il problema di scoprire ”principi” piu semplicida cui si possano determinare le relazioni metriche di uno spazio: un proble-

27Inserire un riferimento preciso.28Si intende una grandezza triplamente estesa con tensore metrico definito da ds2 =

dx2 + dy2 + dz2.

40

ma che non e completamente determinato dalla natura della cosa, poiche cipossono essere diversi sistemi di ”principi” che sono sufficienti a determinarele relazioni metriche di uno spazio, il piu importante sistema per i nostri fini,essendo quello di Euclide. Questi principi sono, come tutti i principi, nonnecessari, ma esclusivamente di verosimiglianza empirica: si tratta di ipotesi.Noi possiamo investigare la loro plausibilita, che entro i limiti delle osser-vazioni e naturalmente molto grande, e interrogarci sulla correttezza dellaloro estensione oltre ai limiti di osservazione, sia dal lato dell’infinitamentegrande che da quello dell’infinitamente piccolo.

10 La geometria differenziale in Italia, prima

del 1880

Nell’Italia risorgimentale, il centro piu vitale per le ricerche di Geometriadifferenziale fu senza dubbio Pavia. La personalita di maggior spicco dellamatematica pre risorgimentale a Pavia fu Brunacci. Tra i suoi allievi soloAntonio Maria Bordoni trovera posto all’Universita, succedendo a Bru-nacci sulla cattedra di Calcolo differenziale, e trasferendosi poi su quella diGeodesia. Bordoni

fu anche autore di importanti opere didattiche sulle quali si formarono

generazioni di allievi, tra i quali il piu famoso e Francesco Brioschi. Di Bor-

doni ricordiamo in particolare il Trattato di geodesia elementare (1823) e le

Lezioni di calcolo sublime (1831), opera di derivazione lagrangiana, ma atten-

ta anche ai contributi alla geometria differenziale di studiosi delle generazioni

successive (Grattan-Guinness 1990).

Allievi dell’Universita di Pavia furono anche Gaspare Mainardi e Delfi-no Codazzi che scoprirono mi maniera indipendente le equazioni di compa-tibilita tra i coefficienti della prima e della seconda forma fondamentale, cheinsieme a quella determinate da Gauss forniscono le condizioni necessarie esufficienti perche l’assegnazione di tali coefficienti determinino una superficieimmersa nello spazio tridimensionale.

Tra i matematici pavesi della generazione successiva due personalita diprimo livello diedero contributi rilevanti alla Geometria differenziale: Feli-ce Casorati e Eugenio Beltrami. Casorati, famoso per i suoi studi dianalisi complessa secondo l’approccio Riemanniano, fu anche autore di ricer-che originali di geometria differenziali intrinseca, sugli invariati differenzialidi una superficie. Baltrami raggiunse fama internazionale per la scoperta diuna superficie di curvatura costante negativa su cui e possibile interpreta-re la geometria iperbolica non euclidea, ma la sua ricerca nell’ambito della

41

geometria differenziale non si esaurisce a questo contributo. Nel 1865 ricavovarie estensioni di un teorema di Malus-Dupin e introdusse l’importante con-cetto di parametro differenziale di cui fece frequente applicazione anche nellesue ricerche di fisica matematica. Studio anche, dando contributi di notevo-le interesse, le superfici rigate, le superfici minime, le superfici a curvaturamedia costante e le superfici di rotazione, in particolare quelle a curvaturanegativa. Seguendo le idee di Riemann amplio le sue ricerche alla conside-razioni di spazi a curvatura costante e a spazi di dimensione qualsiasi. Apartire dal 1871 si occupo principalmente di Fisica matematica, ma il suoapproccio fu profondamente influenzato dalle concezioni sullo spazio che gliderivarono dalla sua conoscenza della Geometria differenziale, di cui utilizzoampiamente i metodi nei suoi studi sull’elasticta, sulla dinamica dei fluidi,sull’elettricita e l’elettromagnetismo. Nei suoi studi sulla teoria del poten-ziale introdusse un operatore differenziale su una varieta riemanniana cheriveste un ruolo importantissimo nello studio della geometria di tali varietae che generalizza l’operatore di Laplace, e che verra designato con il nome dioperatore di Laplace Beltrami .

L’altro polo di primaria importanza per gli studi di Geometria differen-ziale in italia fu quello di Pisa dove agirono, anche se con interessi nonesclusivamente rivolti alla geometria differenziale Enrico Betti e UlisseDini.

Nel 1871 Betti, fortemente influenzato dalle idee di Riemann, studio perprimo l’influenza della topologia sulla geometria di una varieta riemannia-na indroducendo i numeri di Betti di una varieta, che contano i buchi didiverse dimensione che sono contenuti in uno spazio. Per esempio, per unasuperficie, b0 e il numero delle componenti connesse, b1 il numero dei buchicircolari e b2 il numero delle cavita bidimensionali (che per una superficiecompatta coincise con il numero delle componenti connesse (teorema di dua-lita di Poincare). L’invarianza topologica dei numeri di Betti fu dimostratada Poincare che li battezzo in onore del matematico italiano. Betti svolseanche importanti ricerche sulla geometria intrinseca delle superfici, semprenel solco delle idee di Riemann, introducendo e studiando le proprieta delleellissi e delle iperboli geodetiche.

Gli studi di Dini nel campo della Geometria differenziale abbracciano unarco di tempo piuttosto breve, dal 1864 al 1870, ma i molti e importantirisultati lo collocarono tra i piu famosi studiosi di Geometria differenzialedella sua epoca. I suoi interessi principali in questo campo, ispirati dalcontatto con Betti, Beltrami e Riemann a Pisa, riguardarono i problemidi applicabilita tra superfici, la teoria della curvatura e lo studio delle lineedi curvatura e delle linee geodetiche. Un suo importante teorema assegnala condizione necessaria e sufficiente perche un doppio sistema di linee sulla

42

sfera costituisca l’immagine delle linee asintotiche di una superficie.

La superficie di Dini, ottenuta torcendo la pseudosfera di Beltrami.

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[195] J. Plucker, Neue Geometrie des Raumes gegrundet auf die Betrachtungder geraden Linie als Raumelement vol. 1, Teubner, Leipzig, 1868.

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[197] Poncelet J. V., Applications d’analyse et de geometrie, vol.1, GauthierVillars, Paris, 1862.

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PPN243919689_0003&DMDID=DMDLOG_0025&LOGID=LOG_0025&PHYSID=

PHYS_0221

[200] Poncelet J. V., “Philosophie mathematique. Analyse d’un memoirepresente a l’academie royale des sciences”, Annales de Mathematiquespures et appliquees, 17, (1826-27), 265 – 272.

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[201] Poncelet J. V., “Note sur divers articles du bulletin des sciences de 1826et de 1827, relatifs a la theorie des polaires reciproques, a la dualite desproprietes de situation de l’etendue, etc.”, Annales de Mathematiquespures et appliquees, 18, (1827-28), 125-142 .

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[202] Poncelet J. V., “Preambule omis dans l’impression de l’analysedu memoire de M. Poncelet”, Annales de Mathematiques pures etappliquees, 18, (1827-28), 142-145.

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[203] Poncelet J. V., “Post-scriptum supprime. Dans l’impression de l’ana-lyse du memoire de M. Poncelet”, Annales de Mathematiques pures etappliquees, 18, (1827-28), 145 – 149 .

60

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[204] Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Springer, New York.

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[207] Riemann B., Habilitationsschrift, Abhandlungen der KoniglichenGesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, 1854.

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[210] Rogora E., Breve storia dell’analisi complessa. Note del corsomonografico di Storia della Matematica, 2015-16.

[211] Rogora E., Breve storia della teoria delle curve algebriche. Note delcorso monografico di Storia della Matematica, 2015-16.

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[212] Rogora E., Breve storia della geometria differenziale. Note del corsomonografico di Storia della Matematica, 2015-16.

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[213] Rogora E., Breve storia della teoria degli invarianti. Note del corsomonografico di Storia della Matematica, 2015-16.

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[214] Rogora E., Breve storia della nascita della geometria algebrica. Notedel corso monografico di Storia della Matematica, 2015-16

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[215] Rogora E., Breve storia della geometria non euclidea. Note del corsomonografico di Storia della Matematica, 2015-16.

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[216] Rogora E., Breve storia della geometria proiettiva. Note del corsomonografico di Storia della Matematica, 2015-16.

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[217] Rogora E., Breve storia della matematica italiana nel risorgimento.Note del corso monografico di Storia della Matematica, 2015-16

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[218] Rogora E., Breve storia della teoria degli integrali ellittici e abeliani.Note del corso monografico di Storia della Matematica, 2015-16.

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[219] Rogora E., Breve storia della geometria superiore. Note del corsomonografico di Storia della Matematica, 2015-16.

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[220] Rogora E., Complementi sulla teoria delle superfici. Note del corsomonografico di Storia della Matematica, 2015-16.

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[221] Rogora E., ”Lettere di de Jonquieres a Cremona”.

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[232] Scorza G., “La scuola geometrica italiana”, in Borgagli Petrucci G.(ed.), L’Italia e la Scienza, Le Monnier, Firenze, (1932), 117 – 145.

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[245] Servois F. J., ”Questions resolues. Solution, avec la regle seulement,du dernier des deux problemes proposes a la page 259 de ce volume”Annales de Mathematiques pures et appliquees, 1, (1810-11), 332 – 336.

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[256] J. Steiner, Die geometrischen Konstruktionen ausgefuhrt mittels dergeraden Linie und eines festen Kreises, Dummler, Berlin 1833.

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[257] J. Steiner, “Allgemeine Eigenschaften algebraischer Kurven”, J. furMath., 47, (1854), 1 – 6,

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[263] Veronese G., “Behandlung der projectivischen Verhaltnisse der Raumevon verschiedenen Dimensionen durch das Princip Projicirens undSchneidens”, Math. Ann., 19, (1882), 61 – 234.

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66

Indice analitico

Ampere, Andre-Marie (1775 –1836), 18

Angolotra curve coordinate, 22

Apollonio di Perga (262 a.C. – 190a.C.), 2

Archimede di Siracusa – ( (287a.c. – 212 a.C), 2

Area di una superficieparametrizzata, 22

Beethoven, Ludvig van (1770 –1827), 20

Beltrami, Eugenio (1835 – 1900),37, 38, 41, 42

Bernoulli, Jakob (1654 – 1705), 5,7

Bernoulli, Johan (1667 – 1748), 5,7, 8

Bertrand, Joseph (1822 – 1900),28

Betti Enrico (1823 – 1892), 42Bolyai, Janos (1802 – 1860), 21Bonnet, Pierre Ossian (1819 –

1892), 24, 28, 33Bordoni, Antonio Maria (1789 –

1860), 41Brunacci, Vincenzo (1768 – 1818),

41

Casorati, Felice (1835 – 1890), 41Catenoide, 18Cauchy, Augustin – Louis (1789 –

1857), 16, 20Centro di curvatura, 6Cerchio osculatore, 5, 7Ciclidi

di Dupin, 19Clairaut, Claude (1713 – 1765), 8,

9, 13

Codazzi, Delfino (1824 – 1873),33, 41

Condizioni di compatibilita, 32Condorcet, Marie Jean Antoine

Nicolas de Caritat (1743 –1794), 16

Coordinatecurvilinee, 27locali, 21

Coordinate locali, 28Curva

asintotica, 20geodetica, 34indicatrice, 20trattrice, 35

Curvatura, 5, 18gaussiana, 24, 31integrale, 23intrinseca, 39media, 31misura di, 23

Curvatureprincipali, 24

de Sluse, Rene-Francois Walter(1622 – 1685), 5

Dini, Ulisse (1845 – 1918), 42Direzioni

asintotica, 20Dupin, Charles (1784 – 1873), 19,

20

Ecole polytechnique, 14, 16Elemento

di lunghezza, 21Elicoide, 18Ellisse

geodetica, 42Equazione

delle geodetiche, 34

67

di Gauss, 33Equazione differenziale

alle derivate parziali, 14per i cilindri, 14per le rigate, 14

Equazionidi Codazzi - Mainardi, 33di compatibilita, 33

Euclide di Alessandria (IV sec. ac– III sec. a.c.), 1

Euler, Leonhard (1707 – 1783), 8,10, 11, 18, 27

Evoluta, 5, 6Evolvente, 5, 6evolvente, 14

Fermat, Pierre (1601 – 1665), 5Flesso, 7Frisius, Gemma (1508 – 1555), 3

Gauss, Carl Friedrich (1777 –1855), 20–24, 26, 27, 29,39

Geodetiche, 9, 27Geometria

della sfera, 19non euclidea, 21, 41

Geometria differenzialeglobale, 26intrinseca, 21

Hilbert, David (1862 – 1943), 37Huygens, Christiaan (1629 –

1695), 5

Indicatricedi Dupin, 20

Invariantidifferenziali, 41

Invarianzaper isometrie, 32

Inversione

sferica, 19Inviluppo, 5Iperbole

geodetica, 42

Jacobi, Carl Gustav Jacob (1804 –1851), 27

Joachmistal, Ferdinand (1818 –1861), 27

Kant, Immanuel (1724 – 1804), 21

Lame, Gabriel (1795 – 1870), 28Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646

– 1716), 5, 7Lie, 19Lie, Sophus (1842 – 1899), 40Liouville, Joseph (1809 – 1882), 28Lobachevsky, Nikolaj Ivanovich

(1792 – 1856), 21Lossodroma, 3Lunghezza

d’arco, 10di una curva, 21

Mainardi, Gaspare (1800 – 1879),33, 41

Malus, Etienne Louis ((1775 –1812), 18

Mappadi Gauss, 29, 31di Weingarten, 29

Mappa di Gauss, 23, 24conforme per le superfici

minime, 24Mercatore, Gerardo (1512 – 1594),

4Metrica

indotta, 22iperbolica, 23, 38

Meusnier, Jean Baptiste (1754 –1793), 10, 17, 28

68

Michel Ange, Lancret (1774 –1807), 18

Minding, Ferdinand (1806 –1885), 27

Modellodi Beltrami - Poincare, 37di Beltrami – Poincare, 38

Monge, Gaspard (1746 – 1818),13, 14, 16, 17, 20, 27

Napoleone, Bonaparte (1769 –1821), 14

Newton, Isaac (1642 – 1727), 8Numeri

di Betti, 42

Operatoreforma, 29

Operatore di Laplace Beltrami, 42Opere

Gauss, disquisitiones generalescirca superficies curvas, 21

Riemann, Habilitationsschrift,39

Parametridifferenziali, 42

Parametrizzazione, 28Piano

osculatore, 18tangente, 9, 29

Poincare, Jules Henri (1854 –1912), 38, 42

Prima forma fondamentale, 21, 29Proiezione

di Mercator, 4di Werner, 4stereografica, 2

Proprietaestrinseche, 21intrinseche, 21

Punti singolari cuspidali, 13

Puntoellittico, 20iperbolico, 20ombelicale, 20regolare, 29

Punto di inflessione, 5

Quantita n- volte estese, 39

Raggio di curvatura, 10Rappresentazione

cartografiche, 2sferica, 27

Retta iperbolicacosruzione, 38

Retteiperboliche, 38

Riemann, Bernhard ( 1826 –1866), 23, 39, 40, 42

Rilievi topografici, 21Rodrigues, Olinde (1795 –1851),

27

Scherk, Heinrich Ferdinand (1798– 1885), 27

Seconda forma fondamentale, 29Serret, Joseph Alfred (1819 –

1885), 28Sezioni normali, 11Sfera osculatrice, 14Simboli

di Christoffel, 31, 32, 34Struttura

metrica, 21Superficie

canale, 19di rotazione, 34

curvatura, 35flessibile non estendibile, 26minima, 24parametrica, 28pseudosfera, 36

69

rigata, 13Sviluppabile

delle tangenti, 13polare, 14rettificante, 14tangente, 14

Sviluppodi una superficie, 25

Tangentead una conica, 2al cerchio, 1

Tangenza tra due cerchi, 1Tensore

di curvatura, 39metrico, 39

Teoremadei triangoli geodetici, 26dell’annullarsi della curvatura

di una sviluppabile, 25delle superfici ortogonali, 19di Bonnet, 33

di Hilbert, 37di invarianza della curvatura

gaussiana per isometrie,25

egregium, 24, 33Tolomeo, Claudio ( 100 ca. – 175

ca.), 2Tolomeo, Claudio, (ca 100 – ca

175), 3Toro, 19, 22Torsione, 18Triangoli

geodetici, 26

Varieta, 39Vettore

normale, 29

Weingarten, Julius (1836 – 1910),29, 31

Werner, Johann (1468 – 1522), 4

Zenodoro, II sec. a.c., 2

70